王后雄教育顶级名师刘振诚高三数学专题-解析专题定点与定值问题
高考数学专题06 解析几何中的定点、定值问题(第五篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题06 解析几何中的定点、定值问题【典例1】【四川省内江市2019届高三第三次模拟】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线0x y +=与圆222x y b +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设5(,0)4P ，过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅u u u v u u u v为定值. 【思路引导】（1）根据题意布列关于a ，b 的方程组，即可得到椭圆C 的方程；（2）设l 的方程：1x my =+.联立方程可得()222210m y my ++-=，利用韦达定理表示PA PB ⋅u u u v u u u v，即可得到结果. 【详解】解：（1）∵椭圆C 的离心率为2，∴a =,∵直线0x y +=与圆222x y b +=相切，∴1b ==，∴a ==∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+.由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，1221222212m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴12242x x m +=+，2122312m x x m -=++，112255,,44PA PB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ()121212525416x x x x y y =-+++223641721616m m --=+=-+. 当直线l 与x轴重合时，55,0,044PA PB ⎫⎛⎫⋅=⋅⎪⎪⎭⎝⎭u u u v u u u v 25721616=-=-. ∴故PA PB ⋅u u u v u u u v为定值716-. 【典例2】【北京市人大附中2019届高三高考信息卷】已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：离心率等于12，()23P ，、()Q 2,3-是椭圆上的两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由. 【思路引导】（1）由题意列式关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b 的值，则椭圆C 的方程可求；（2）设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为﹣k ，P A 的直线方程为y ﹣3＝k （x ﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x 1+2，同理PB 的直线方程为y ﹣3＝﹣k （x ﹣2），可得x 2+2，从而得出AB 的斜率为定值． 【详解】解：（1）由题意可得2222212491c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝4，b =，c ＝2．∴椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当∠APQ ＝∠BPQ ，则P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ， 则PB 的斜率为﹣k ，直线P A 的直线方程为y ﹣3＝k （x ﹣2），联立()222311612y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，得（3+4k 2）x 2+8k （3﹣2k ）x +4（3﹣2k ）2﹣48＝0．∴()12823234k k x k-+=+．同理直线PB 的直线方程为y ﹣3＝﹣k （x ﹣2）， 可得()()22282382323434k k k k x kk---++==++．∴2122161234k x x k-+=+，1224834k x x k --=+， ()()()12121212121223234AB k x k x k x x ky y k x x x x x x -++--+--===---2221612413448234k k k k k k -⋅-+==-+，∴AB 的斜率为定值12．【典例3】【陕西省咸阳市2020届高三模拟检测】已知点Q 是圆22(y 36:M x ++=上的动点，点N ，若线段QN 的垂直平分线MQ 于点P .(I)求动点P 的轨迹E 的方程(II)若A 是轨迹E 的左顶点，过点D （-3，8）的直线l 与轨迹E 交于B ，C 两点，求证：直线AB 、AC 的斜率之和为定值. 【思路引导】（Ⅰ）线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ，所以PN PQ =，则PM PN PM PQ +=+为定值，所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出AB AC k k +化简可得定值. 【详解】解：（Ⅰ）由题可知，线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ，所以PN PQ =，则6PM PN PM PQ +=+=> 所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，设该椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则26,a c ==24b =，可得动点P 的轨迹E 的方程为22194x y +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D 的直线l 斜率存在且不为0， 故可设l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,B x y C x y ，由22194y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22249189360k x kmx m +++-=，()()()()2222218449936144940km k m k m ∆=-+-=-+>2121222189364949km m x x x x k k-+=-=++ 而()()()()()()()()()()2211221121212123333333333AB ACy x y x kx m x kx m x y y k k x x x x x x +++++++++=+==++++++ ()()()1212121223639kx x k m x x mx x x x ++++=+++()22222293618236494993618394949m km k k m m k k m km k k -⎛⎫⨯++-+ ⎪++⎝⎭=-⎛⎫+⨯-+ ⎪++⎝⎭()833m k =-由于直线l 过点()3,8D -，所以38k m -+=， 所以13AB AC k k +=（即为定值）【典例4】【河北省保定市2019届高三4月第一次模拟】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且其离心率为12。
高考数学一轮复习第9章第9节第3课时定点定值探索性问题课件理2
|跟踪训练| 3．(2019 届昆明市高三质检)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l.已知以 F 为圆心，半径为 4 的圆与 l 交于 A，B 两点，E 是该圆与抛物线 C 的一个交点，∠EAB ＝90°. (1)求 p 的值； (2)已知点 P 的纵坐标为－1 且在抛物线 C 上，Q，R 是抛物线 C 上异于点 P 的两点， 且满足直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为－1，试问直线 QR 是否经过一定点？若是，求 出定点的坐标；否则，请说明理由．
又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝kx1＋x1t－1. 同理，|ON|＝kx2＋x2t－1.
y＝kx＋t， 由x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， 则 x1＋x2＝－1＋4k2tk2，x1x2＝12＋t2－2k22.
所以|OM|·|ON|＝kx1＋x1t－1·kx2＋x2t－1 ＝k2x1x2＋k（t－1）（x1xx12＋x2）＋（t－1）2 ＝k2·12＋t2－2k22＋k（t－112）＋t2－·2－k22 1＋4k2tk2＋（t－1）2 ＝211＋－tt.又|OM|·|ON|＝2，所以 211＋－tt＝2， 解得 t＝0，所以直线 l 恒过定点(0，0)．
证明：直线 AB 的斜率与 OD 的斜率的乘积为定值．
[解] (1)由题意知 2c＝4，即 c＝2， 则椭圆 C 的方程为ax22＋a2y－2 4＝1.
因为点
P2，
55在椭圆
C
上，
所以a42＋5（a21－4）＝1，解得 a2＝5 或 a2＝156(舍去)， 所以椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1.
[解] (1)由椭圆的离心率 e＝ 22，得ac22＝b2＋c2 c2＝12，则 b＝c.
解析几何专题(定点与定值问题) (终)
两点 ( A 、 B 不是左 , 右顶点 : l 过定点 , 并求出该点的
你是否想说 点什么了？
归纳 : 动直线过定点问题 将直线方程（斜率存在 ）设为 y kx t , 由题设 ( m , 0 ).
条件将 t 用 k 表示为 t mk , 得直线恒过定点
撸起袖子干一干
抛物线 C：y ＝2px 经过点 M(4，－4)， (1)不过点 M 的直线 l 分别交抛物线于 A、 B 两点， 1 当直线 l 的斜率为 时，求证：直线 MA 与直线 MB 2 的倾斜角互补． (2)不经过点 M 的动直线 l 交抛物线 C 于 P、 Q两 点，且以 PQ 为直径的圆过点 M，那么直线 l 是否过 定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．
（分析一） (1)设直线 l： y＝kx＋b(k≠0， b≠0)， A(x1， y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2， 得(k2＋9)x2＋2kbx＋ x1＋x2 －kb 9b b －m ＝0，故 xM＝ ＝ 2 ，yM＝kxM＋b＝ 2 . 2 k ＋9 k ＋9
解析几何专题 —定点与定值
沿河民族中学：阚 辉
一、温顾高考
考题展望
定点定值问题是解析几何的三种基本问题之一， 2015年全国卷Ⅱ第20题第Ⅰ问，2016年全国卷Ⅰ 第20题第Ⅰ问，北京卷第Ⅱ问，山东卷第Ⅱ问等 均为定点定值问题，由此可见定点定值问题它是 解析几何综合问题的基本形式，预测2017年高考 这种可能命题的可能性比较大。
（ 2 ）在平面直角坐标系 使得 ｜ＱＡ｜ ｜ＱＢ｜ ＝ | PA | | PB |
定点Ｑ，
的坐标，若不存在，请
2 2
于是直线 OM 的斜率 kOM＝ －9.
高考数学一轮复习 第8章 解析几何 第9讲 第3课时 定点、定值、探索性问题课件
3．解决探索性问题的答题模板
12/11/2021
〔变式训练3〕 (2020·河南省八市重点高中联盟联考)已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，M为l上
一动点，过点M作抛物线C的切线，切点分别为A，B．
(1)求证：△MAB是直角三角形； (2)x轴上是否存在一定点P，使A，P，B三点共线．
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(2)不存在，理由如下： 若|AC|＝|BD|，则 1＝|AB|＝|AC|＋|CB|＝|DB|＋|CB|＝|DC|.
y＝kx－ 3
联立x42＋y2＝1
，整得，
得(4k2＋1)x2－8 3k2x＋12k2－4＝0.
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设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，
x1＋x2＝48k2＋3k12
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∴y1·y2＝－34x1x2，3m3＋2－4k42k2＝－34·43m＋2－4k32 ， ∴2m2－4k2＝3，满足①， ∵|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1·x2] ＝ 1＋k2[－3＋8km4k22－4×43m＋2－4k122]＝2 3·|m1| ＋k2， ∴S△OAB＝12·d·|AB|＝12× 1|m＋| k2×2 3·|m1| ＋k2＝ 3为定值．
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(2)由(1)可得 y2＝4x，设 M(14y20，y0)， ∴直线 OM 的方程 y＝y40x， 当 x＝－2 时，∴yH＝－y80， 代入抛物线方程 y2＝4x，可得 xN＝1y620 ， ∴N(1y620 ，－y80)，
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∴直线 MN 的斜率 k＝yy4200－＋1yy86020 ＝y204－y08， 直线 MN 的方程为 y－y0＝y204－y08(x－14y20)， 整理可得 y＝y204－y08(x－2)，故直线 MN 过点(2,0)．
高中解析几何定点定值问题
专题二定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何答题中又一考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线和圆、圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数与方程等数学思想方法。
定点定值问题主要考查三个题型：1.定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。
2.定值问题解题关键在于选定一个适合该题设的德参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果。
3.定轨迹问题实质是求轨迹方程，可用求轨迹方程的方法求解。
典例探究考点1 定点问题例1.已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程是4x+y-20=0.（1）求抛物线S的方程;【y2=16x】（2）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ，试说明动直线PQ是否过一定点.【M（16，0）】变式训练1：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值是3，最小值是1.（1） 求椭圆C 的标准方程 ;【x 2/4+y 2/3=1】（2） 若直线l ：y =kx+m 与椭圆C 相交于A 、B 两点且A 、B 不是左右顶点，以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出改点的坐标.【（2/7，0）】变式训练2：已知A 、B 是抛物线(0)2x =2py p >上的两动点，O 为坐标原点，非零向量OA 、OB 满足||||OA OB OA OB +=-.（1） 求证：直线AB 经过一定点; 【（0，2p ）】（2） 当AB 的中点到直线20y x -=时，求p 的值. 考点2 定值问题例2. 已知点F （1，0），直线l ：x =1-，P 为平面上的动点，过P 做直线l 的垂线，垂足为点Q ，且**QP QF FP FQ =（1） 求动点P 的轨迹C ; 【y 2=4x 】（2） 过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值 .【0】变式训练3：已知双曲线222x y -=的左右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的动直线与双曲线交与A 、B 两点，O 为坐标原点。
高考解析几何定点、定值问题例题以及答案详解
解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。
3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。
（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； （2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 解答题专项五 第1课时 定点与定值问题
考向1直接消参法求证圆锥曲线中的定点问题
例题过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点.
(1)若|AB|=8,求直线l的方程;
(2)若点A关于x轴的对称点为点D,证明直线BD过定点,并求出该点的坐标.
解 (1)由y2=4x知焦点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线
【教师讲评】 (1)利用待定系数法求椭圆的方程,因为已知椭圆上两点,焦
点位置未知,为了避免分类讨论,可设mx2+ny2=1(m>0,n>0),将给定点代入
求解即可;
(2)先分析直线MN斜率不存在的情况,得出直线所过的定点,再在一般情况
下,设出直线方程,与椭圆C的方程联立,证明此时直线也过这个定点.
分
2
的方程为 3
2
=1. ........................................................................3
4
分
4 = 1,
9
4
+ = 1,
故椭圆 E
+
(2)证明 由点 A(0,-2),B
3
,-1
2
,可知直线 AB 的方程为
BD 恒过定点(-1,0).
规律方法 直接消参法求证圆锥曲线中的定点问题的一般步骤
3
对点训练(2023·湖南长沙模拟)已知双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x,且过点
3
P(3, 2).
(1)求C的方程;
(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过点P且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C
交于另一点D,过点Q作QN⊥AD于点N,证明:直线AD过定点M,且点N在以
高考新课程数学二轮课件解答题定值与定点问
• 创新题型设计，如多选题、结构不良问题等。
命题趋势及备考建议
01
备考建议
02
系统复习基础知识，形成知识网络。
03
加强解题训练，提高解题速度与准确性。
04
关注实际问题背景，增强数学建模意识。
拓展练习与提高
拓展练习
1
2
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$在区间$[0, 3]$ 上的最大值和最小值。
确定函数表达式
首先根据题目条件，确定函数的表达式，包括定义域 和值域。
分析函数性质
通过分析函数的单调性、周期性、奇偶性等性质，确 定函数在特定区间内的取值情况。
求解定值或定点
根据函数性质，结合题目要求，通过计算或推理求解 定值或定点。
利用几何意义求解
01
转化几何图形
将题目中的代数表达式转化为几何图形，如直线、圆、 椭圆等。
01 多做历年高考真题和模拟题，熟悉考试形式和难 度，提高应试能力。
02 注重解题思路和方法的训练，掌握各类题型的解 题技巧。
03 对错题进行反思和总结，找出自己的不足之处， 及时调整复习策略。
谢谢聆听
04 高考真题回顾与拓展
历年高考真题回顾
01
（2019全国卷I）已知函数$f(x) = x^2 + ax + b$，若 $f(x)$在$x = 1$处取得极小值，则$a + b$的取值范围 是____。
02
（2020全国卷II）已知抛物线$C: y^2 = 2px (p > 0)$ 的焦点为$F$，过点$F$的直线与抛物线交于$A, B$两 点，若线段$AB$的中点坐标为$(3, 2)$，则抛物线$C$ 的方程为____。
高考数学一轮复习 第九章 专题研究三 定值、定点与存在性问题课件 理
∴x1＋x2＝4－k28＋km3，x1x2＝44mk22－＋132.①
∵以MN为直径的圆过点A，A点的坐标为(2,0)， ∴A→M·A→N＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.② ∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2) ＋m2.③ 将①③式代入②式，得7m2＋16km＋4k2＝0. ∴mk ＝－27或mk ＝－2，且都满足Δ>0.
【答案】 (1)y2＝8x (2)恒过定点(1,0)
探究1 定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时， 某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有 关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考 查的是代数运算能力．
思考题1 (2015·山 东 淄 博 期 末 ) 已 知 动 圆 C 与 圆 C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2＋y2＝9相内切， 设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.
【解析】 (1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2 ＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8， 直线AO的方程为y＝yx11x；BD的方程为x＝x2.
解得交点D的坐标为(x2，yx1x1 2)． 注意到x1x2＝－8及x21＝4y1，则有y＝y1xx211x2＝－48y1y1＝－2. 因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上． (2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0， 设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得 x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0. 由Δ＝0，得(4a)2＋16b＝0，化简整理，得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
高考数学复习压抽题专项突破—解析几何中的定值与定点问题
高考数学复习压抽题专项突破—解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：[：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=，PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224x y y x x -=-由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =- 切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-，故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-，当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB - 是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，①又221x y += ，②①-②得():221AB m x my -+=，可得11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________．【答案】28,09T ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩，同理222122214164641416N k k x k k --==++．121814M k y k =+，1211616N k y k -=+,取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（）A ．为定值3-B ．为定值3C ．为定值1-D ．不是定值【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx by x =+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=；设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k -+=，2122b x x k =；又因为3221=k k ，即121223y y x x = ，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+==，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+；当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >）和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba 的取值范围是（）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1).将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b + .又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动，当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a =，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（）A.1B.2C ．3D ．4【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值，是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ，若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0），“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16，此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（）A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ，∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线，∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线，∴|OQ |＝a ．故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=1=，3a =-±当3a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--3a 时，圆C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此3a ≤--．只有D 满足．故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ：224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．48,99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．24,99⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+=即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=，又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-=即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A.8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2(22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++==222212121212()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=- 为定值.故B 正确.,OQ AB ⊥∴ 点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（）A ．1324M M M M ⋅B ．14FM FM ⋅C ．1234M M M M ⋅D ．112FM M M ⋅【答案】C【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k ++==．过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ，则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确．对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L-距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=，当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=；当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-；当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=；当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ．12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+，由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+；②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b+，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p ），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2，k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p =2t sp+（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ，则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（）A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅===．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题【答案】C【解析】 1a =，2b =，∴c =，1(0)F，20)F ，设点)P m，∴2222()))1504mOP OF F P m m m+⋅=⋅=+-+=，∴2165m=，5m=±，则3545()55P±，14PF===，∴2122PF PF a=-=，∴12422PFPFλ===，故选：C.15．已知1F，2F是双曲线221169x y-=的焦点，PQ是过焦点1F的弦，且PQ的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ的值为A．16B．12C．8D．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y-=知，28a=，双曲线的渐近线方程为34y x=±直线PQ的倾斜角为60︒，所以34PQk=>，又直线PQ过焦点1F，如图所以直线PQ与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a-==…………(1)，2128QF QF a-== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF+-+=，2216PF QF PQ∴+-=.故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b +=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+，12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外).因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC过定点（）A ．(1,0)B．C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=，所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++，()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --== ,，AB AC ⊥，所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =，当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意；当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫-⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=，因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=，所以3344(,0),(0,)M N x y ，因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OMON+=+=+==，故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（）A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩，解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++，代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14yk x =+，22y k x =+，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________．【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++-24b b=-=0，∴0b =（舍去）或4b =,故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =，整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=，又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =.22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则22222221)222tan ,tan ,2tan 11,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t r a rt tAPB t t r r+-+∠=∠=+--∴∠==-+-+=+∴=-∴∠==-+-+ ∵∠APB 的大小恒为定值，∴t|OP|=23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________.【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由222242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以2202AB AC k k +=+=.24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______．【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，①()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫⎪⎝⎭.25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2），设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2，∴y 1y 2-2x 1x 2=0，∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++ =﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ）=（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0，∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0，∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ 为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-，此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠时，有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+ ，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----．故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B -2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PB y y y x x k k x =⋅=+--=PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB⊥易知:33441PA PB PB QB PA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-.故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ= ，2PN NF λ= ，规定12λλ+=PM PN MF NF + ，则PM PN MF NF+ 的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF + 的定值为________.【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c a b x x b a k-⋅=+，过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==-- ，222=x PN x c NFλ=-- ，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=- ⎪---++-++⎝⎭将22122222a k cx xb a k+=-+，2222212222a k c a bx xb a k-⋅=+代入化简得：21222abλλ+=-.故答案为：22 2a b -.30．若M，P是椭圆2214x y+=两动点，点M关于x轴的对称点为N，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A(m，0)，B(n，0)，则mn=_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题【答案】4【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=-直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bc m d b-=-同理有PM d bk c a +=-直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bc n d b+=+则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==-31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++ =﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ）=（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0，∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0，∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为（1，0）．。
2025年高考数学一轮复习-第五板块-解析几何-微专题(四)解析几何中的证明、定点、定值问题【课件】
则 c＝ 3，椭圆的另一个焦点为 F2( 3，0)， 由椭圆定义得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝72＋12＝4，则 a＝2， 所以 b＝ a2－c2＝1，所以 C 的方程为x42＋y2＝1.
y＝kx＋m， (2)证明：由已知得 D(0,1)，由x42＋y2＝1， 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(4k2＋1－m2)，由 Δ>0 得 4k2＋1>m2， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝1－＋84kkm2，x1x2＝41m＋2－4k42 ， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝1＋2m4k2，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m12＋－44kk22， 由 AD⊥BD 得，―D→A ·―D→B ＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
(1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设 A 为椭圆 E 的右顶点，过点 M(－2a,0)且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 E 相交于点 B，C(点 B 在 MC 之间)，若 N 为线段 BC 上的点，且满足||MMBC||＝||BNNC||， 证明：∠ANC＝2∠AMC.
[关键点拨]
(1)根据题意得到关于a，b，c的方程，进而可求出结果；(2)设
解：(1)因为椭圆
C
的离心率为
22，所以ac＝
2 2.
又当 T 位于上顶点或者下顶点时，△TF1F2 面积最大，即 bc＝1.
又 a2＝b2＋c2，所以 b＝c＝1，a＝ 2.
所以椭圆 C 的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)证明：由题知，直线 l 的斜率存在，所以设直线 l 的方程为 y＝kx＋12，设 M(x1， y1)，N(x2，y2)， 将直线 l 代入椭圆 C 的方程得：(4k2＋2)x2＋4kx－3＝0， 由根与系数的关系得：x1＋x2＝4－k2＋4k2，x1x2＝4k－2＋3 2， 直线 AM 的方程为 y＝y1x－1 1x＋1，直线 AN 的方程为 y＝y2x－2 1x＋1，所以 Py－1－x11，0，Qy－2－x21，0， 所以以 PQ 为直径的圆为x＋y1x－1 1x＋y2x－2 1＋y2＝0，
2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何高考解答题专项五第1课时定点与定值问题
,k2=
,
1 +2
2 +2
(1 +2)+3
(2 +2)+3
1
1
∴k1+k2=
+
=2k+3(
+
)
1 +2
2 +2
1 +2
2 +2
2
16
+24+4
2
1 +2 +4
4
+9
=2k+3
=2k+3[ 2
]=2k+(-2k+3)=3,
2
(1 +2)(2 +2)
16 +48-32 +48+4
2
,x1x2=1.
22 +4
由抛物线的弦长公式知|AB|=x1+x2+2=8,则
直线 l 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1.
2
=6,即 k2=1,解得 k=±1.所以
(2)证明由(1)及抛物线的对称性知,点 D 的坐标为(x1,-y1),直线 BD 的斜率Fra bibliotek +1
kBD=
2 -1
2 2
对点训练 2 已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(
3
1,0),F2(1,0),点 M 1, 为椭圆 C 上一点.
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F1(-1,0)作动直线l与椭圆交于A,B两点,过点A作直线x=-4的垂线,垂
足为N,求证:直线BN过定点.
2020年 名师讲解高考数学总复习 高考专题突破5 第2课时 定点、定值问题
第2课时 定点、定值问题题型一 定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)· 4m 2－44k 2＋1＋(m －1)· －8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点． (1)解 由题意可得2c ＝22，即c ＝2， 设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， PQ ＝2n ，AB ＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3，则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4， 可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①解 将直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程， 可得(1＋2k 2)x 2＝4，解得x ＝±21＋2k 2， 可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2，由E 是3x ＋3y －2＝0上一点， 可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k 2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以OE ⊥MN ，OM ＝d ， 即有23－m m ＝－1k，①4＋4k 21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k 2，②由①得m ＝2k3(k －1)(k ≠1)，代入②式，化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47.②证明 由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 解得x N ＝2－4k 21＋2k 2，y N ＝k (x N ＋2)＝4k 1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)， 以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点， 可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2· (t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型二 定值问题例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题意可知，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1，椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)， 由题意知直线PQ 斜率存在， 设其方程为y ＝k (x －2)－2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0.所以x 1,2＝(42k 2＋42k )±[－(42k 2＋42k )]2－4(2k 2＋1)(4k 2＋8k ＋2)2(2k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2.由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1 ＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1， ∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 (2018·南通考试)如图，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，过点P (0,1)的直线与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝uPB →，求证：λ＋u 为定值．证明 当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合， 从而λ＝2，u ＝23，λ＋u ＝83.当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 由题设，得x 1＋1k ＝λx 1，x 2＋1k ＝ux 2，即λ＝1＋1x 1k ，u ＝1＋1x 2k.所以λ＋u ＝1＋1x 1k ＋1＋1kx 2＝2＋x 1＋x 2kx 1x 2，将y ＝kx ＋1代入x 2＋y 2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0， 则Δ>0，x 1,2＝－2k ±4k 2＋12(1＋k 2)2(1＋k 2)，x 1＋x 2＝－2k 1＋k 2，x 1x 2＝－31＋k 2， 所以λ＋u ＝2＋－2k 1＋k 2k · ⎝⎛⎭⎫－31＋k 2＝83.综上，λ＋u 为定值83.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．例 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m2－32x 0， 所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 02k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0· 2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．1．(2019·江苏省明德实验学校调研)如图，已知A ，B 是圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点，P 为直线l ：x ＝4上的动点，P A ，PB 与圆的另一个交点分别为M ，N .(1)若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程； (2)求证：直线MN 过定点．(1)解 由题意可知直线P A 的方程为y ＝x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2＋y 2＝4，解得M (0,2)， 直线PB 的方程为y ＝3x －6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －6，x 2＋y 2＝4，解得N ⎝⎛⎭⎫85，－65， 所以MN 的方程为y ＝－2x ＋2，即2x ＋y －2＝0.(2)证明 设P (4，t )，则直线P A 的方程为y ＝t6(x ＋2)，直线PB 的方程为y ＝t2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2t 236＋t 2，24t 36＋t 2， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－84＋t 2，－8t 4＋t 2， 直线MN 的斜率k ＝24t 36＋t 2－－8t 4＋t 272－2t 236＋t 2－2t 2－84＋t 2＝8t12－t 2，直线MN 的方程为y ＝8t 12－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2t 2－84＋t 2－8t4＋t 2， 化简得y ＝8t 12－t 2x －8t12－t 2，所以直线MN 过定点(1,0)．2．设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值． 解 (1)由椭圆定义得MF 1＋MF 2＝4，①由垂直得MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝4(4－b 2)，②由题意得12MF F S V ＝12MF 1· MF 2＝1，③由①②③，可得b 2＝1，C的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，H (0,1)，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)， 因为直线RS 过点(2，－1)， 所以－1＝2k ＋m ，即2k ＝－m －1，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 故x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km4m 2－4＝2k －2km m ＋1＝2k m ＋1＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.3．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)求证：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )． (1)解 由题意可知OA ＝5，因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45， 由题意可知D (5,0)， 显然，直线CD 的斜率存在， 设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b ，将C ，D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x ＋7y －5＝0. (2)证明 设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以D 点坐标为(5m ＋4,0)． 设△OCD 的外接圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为 x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 解得x ＝0，y ＝0(舍)或x ＝2，y ＝－1. △OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．4．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明 由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0. 直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0， Δ＝16(k －1)2>0， ∴x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝k 2＋4k ＋4k 2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k ，∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2] ＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k · 2k 2＋8k 2－2k ＝8k ， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k ＝－1，∴直线AB 的斜率为定值－1.5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值． (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋yb ＝1，即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b ＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →· OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1,2＝－8km ±64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)2(1＋4k 2)，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ， 所以OA →· OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足MA ＝MB .求证：1OA 2＋1OB 2＋2OM 2为定值． (1)解 将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由MA ＝MB ，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1b 2＋1b 2＋2a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时 1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1a 2＋1a 2＋2b2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 12＝123＋4k 2，y 12＝12k 23＋4k 2， 所以OA 2＝OB 2＝x 12＋y 12＝12(1＋k 2)3＋4k 2，同理，OM 2＝12(1＋k 2)4＋3k 2.所以1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝2×3＋4k 212(1＋k 2)＋2(4＋3k 2)12(1＋k 2)＝76.综上，1OA 2＋1OB 2＋2OM 2为定值76.。
初探高考解析几何中的定点、定值问题
初探高考解析几何中的定点、定值问题作者：林全德来源：《理科爱好者(教育教学版)》2018年第02期【摘要】解析几何是高考中数学的重要组成部分，每年的高考都会涉及若干个小题，及一道大题。
这道大题经常考查直线与圆锥曲线的位置关系，其中尤为常见的是考查直线过定点、某些几何量的斜率、长度、角度、面积为定值等问题。
这部分内容对考生的运算求解能力、数形结合思想、坐标建模思维、用代数方法解决几何问题要求比较高。
本文通过近三年全国各地高考试卷定点、定值问题的分析，希望对考生如何做好解析几何此类问题有所帮助。
【关键词】解析几何；定点；定值【中图分类号】G633.65 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0066-02题型一：过定点问题直线或者曲线过定点问题，是高考中数学的热点，我们通常可以通过联立方程组，求出直线中含有参数的方程，然后证明其过某个定点。
例1.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上。
（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点。
分析：（1）略；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，在设直线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l：y=kx+m（M=1），将y=kx+m代入+y2=1，写出判别式，韦达定理，表示出k1+k2，根据k1+k2=-1列出等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点。
解法：设P2A，P2B的斜率分别为k1，k2（k1+k2=-1）P2A与P2B两直线方程为（k1x+1-y）（k2x+1-y）=0化简得k1k2x2+（1-y）2+（1-y）（k1+k2）x=0椭圆方程变形为x2=4（1-y2），代入可得得4k1k2（1-y2）+（1-y）2-x（1-y）=0，此方程的解是椭圆与两条直线的三个公共点P2，A，B的坐标。
2021-2022年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第79讲 圆锥曲线中的定点和定值问题的解法
2021年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第79讲圆锥曲线中的定点和定值问题的解法【知识要点】一、定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.二、定值问题：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.【方法讲评】题型一定点问题特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明方法一该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.分离参数法：若等式对恒成立，则同时成立，运用这一原理，方法二可以证明直线或曲线过定点问题.一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.【例1】设点和是抛物线上原点以外的两个动点，且，求证直线过定点.【解析一】取写出直线的方程；再取写出直线的方程；最后求出两条直线的交点，得交点为.设，直线的方程为，由题意得两式相减得，即，直线的方程为，整理得①【点评】（1）证明直线过定点，一般有两种方法.方法一：特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.方法二：分离参数法：若等式对恒成立，则同时成立，运用这一原理，可以证明直线或曲线过定点问题.一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.（2）解析一使用的就是方法一，解析二使用的就是方法二. 大家注意灵活选择.【反馈检测1】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【反馈检测2】在直角坐标系中,椭圆的离心率,且过点,椭圆的长轴的两端点为,点为椭圆上异于的动点,定直线与直线、分别交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在定点经过以为直径的圆,若存在,求定点坐标；若不存在,说明理由.题型二定值问题方法一特殊探究，一般证明.方法二直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.【例2】过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（）．A． B． C． D．又由，消去得∴，【点评】定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.【反馈检测3】椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，且交椭圆于不同于的点，求证：为定值．【反馈检测4】如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第79讲：圆锥曲线中的定点和定值问题的解法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）直线过定点，定点坐标为．（Ⅱ）设，，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，，即，，，．【反馈检测2答案】(1)；(2)存在，.【反馈检测2详细解析】（1）,椭圆的方程为. （2）设、的斜率分别为.即,由知,由知,的中点.以为直径的圆的方程为,令,,即,解得或,存在定点经过以为直径的圆.【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测4答案】（1）；（2）的面积为定值1.【反馈检测4详细解析】（1）由题可得解得，故椭圆的标准方程为. （2）设，，则，.由，即.（*）①当直线的斜率不存在时，.②当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得，则，，同理，代入（*），整理得，此时，，∴. 综上，的面积为定值1.。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.11 定值问题(原卷版)
第十一讲 定值问题一．定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值. 二、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数. 三、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算考向一 特殊探究，一般证明【例1】过抛物线y ＝ax 2（a ＞0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则+等于（ ）A ．2aB ．C ．4aD ．【举一反三】1.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22，且椭圆过点(√2,1). （1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.2．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线y =4x 的焦点重合，且椭圆的离心率为12． （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆E 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．考向二 直接推理求值【例2】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点(√3，12)，且离心率为√32． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知A （0，b ），B （a ，0），点P 是椭圆C 上位于第三象限的动点，直线AP 、BP 分别将x 轴、y 轴于点M 、N ，求证：|AN|•|BM|为定值．【举一反三】1．已知椭圆C1：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，椭圆C2：x23a2+y23b2=1(a>b>0)经过点(√32,√32).（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：ΔNAB面积为定值.2．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为k(k≠0)，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：|MF||PQ|为定值．考向三问题转化【例3】．已知定点F(1,0)，横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，若|TF|=|TH|+1.（1）求动点T的轨迹C的方程；（2）若点P(4,4)不在直l:y=kx+m线上，并且直线l与曲线C相交于A,B两个不同点.问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA,PB斜率之和是一个定值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【举一反三】1.在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点.（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1与d2的乘积为定值.（2）y轴上是否存在点P，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.1．已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为4.(1)求抛物线C的方程；(2)已知P(2,1)，过(−2,0)的直线m与抛物线C相交于A,B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2，求证：k1∙k2为定值，并求出定值.2．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F，其离心率为12，点P是椭圆C上任一点，且ΔPF1F2面积的最大值为√3.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率不为0的直线与椭圆C相交于M，N两个不同点，且OMPN是平行四边形，证明：四边形OMPN的面积为定值.3．已知抛物线的顶点为原点，关于y 轴对称，且过点N(−1,12).（1）求抛物线的方程；（2）已知C(0,−2)，若直线y =kx +2与抛物线交于A ，B 两点，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2+k 2为定值．4．已知在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，点A(−3p,0)(p >0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12CQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，动点Q 的轨迹为曲线M . （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）作曲线M 的任意一条切线（不含y 轴）l ，直线x =−2p 与切线l 相交于E 点，直线x =2p 与切线l 、x 轴分别相交于F 点与D 点，试探究DE 2−DF 2OD 2的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定值请说明理由.5．已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，直线l ：y =kx +t 交椭圆于A ，B 两点，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且点M 在椭圆C 上，当k =12时，t =1. （1）求椭圆方程；（2）试探究四边形OAMB 的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.6．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=4√3x 的焦点重合，且离心率为√32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若三直线OM 、l 、ON 的斜率与k 1，k ，k 2点成等比数列，求直线l 的斜率及|OM|2+|ON|2的值.7．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y =43x ，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点（不同于A 1，A 2），直线A 1P ，A 2P 分别与直线l:x =95交于M ，N 两点．（1）求双曲线的方程． （2）证明FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值．8.如图，21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，E D ,是椭圆的两个顶点，32||21=F F ，5||=DE ，若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(0by a x N 称为点M 的一个“椭点”.直线l 与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.9．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(0,−1)，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明：k1+k2为定值，并求出该定值.10．已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 离心率等于12，P(2，3)、Q (2,−3)是椭圆上的两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）A,B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当A,B 运动时，满足∠APQ =∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.11．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P (√3，√32)，且其中一个焦点的坐标为(1，0)， （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l:x =my +1(m ∈R )与椭圆交于两点A ，B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.12．已知椭圆C 1：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√63，椭圆C 2：x 23a +y 23b =1(a >b >0)经过点(√32,√32). （1）求椭圆C 1的标准方程；（2）设点M 是椭圆C 1上的任意一点，射线MO 与椭圆C 2交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个相异点，证明：ΔNAB 面积为定值.13．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，椭圆C 截直线y =1所得的线段的长度为2√2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.。
2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课八定点与定值问题课件
题后师说
求定值问题的策略
巩固训练2 (1)[2023·河北张家口期末]已知⊙O1：(x＋1)2＋y2＝1，⊙O2：(x－1)2 ＋y2＝9，⊙M与⊙O1外切，与⊙O2内切． ①求点M的轨迹方程； ②若A，B是点M的轨迹上的两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜
率分别为k1，k2，直线AB的斜率存在，△AOB的面积为 3，证明： k1·k2为定值．
题后师说
求解直线或曲线过定点问题的策略
巩固训练1
(1)[2023·河南洛阳模拟]已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴
上，且抛物线C经过点P(2，1).
①求抛物线C的方程；
②A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线PA和直线PB的斜
率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若k11
+
1 ＝2，求证：直线AB过定点．
例2
[2023·山东临沂模拟]已知双曲线C：xa22
−
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的左、
右焦点分别为F1，F2，离心率为32，A为C的左顶点，且AF1 · AF2＝－
5．
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、
N.求证：点M与点N的横坐标之积为定值．
k2
(2)[2023·辽
宁辽阳期
末
]已知
双
曲线C：
x2 a2
−
y2 b2
＝
1(a>0 ， b>0)
过
点
P(3 2，4)，且C的渐近线方程为y＝±43x.
①求C的方程；
②A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，QA，QB与
y轴分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆过两个定点．
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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→=得，22()()OB OA OC OA -=-，因为1OA OB OC ===，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α所以，cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+2112(cos )22α=--即，AB AC ⋅的最小值为12-，故选B 。
【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y yx ==，所以()1,0F 在直线BD 上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=213y y -===±，故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x. （2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。