福建省南安一中2013届高三上学期期末数学理试题
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19（本小题满分13分）已知椭圆 过点 ，且离心率 。
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。
解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为 ……2分
又点 在椭圆上 ∴椭圆的方程为 ……4分
（Ⅱ）设
由
消去 并整理得 ……6分
∵直线 与椭圆有两个交点
2．如果复数 是纯虚数，则实数 的值为（）
. . . 或 . 或
3．已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A． B．
C． D．
4.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）
A．65B．64C．63D．62
5.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，
南安一中2012～2013学年度上学期期末考高三数学科参考解答（理科）
一、选择题：BADBC BCABC
二、填空题：11. 12。113.-814. 15.
三、解答题
16(本小题满分13分)
△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知A＝ ，c＝ ，b＝1 (1)求a的长及B的大小；
(2)若0＜x≤B，求函数f(x)＝2sinxcosx＋2 cos2x－ 的值域.
17.(本小题满分13分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，
击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别
为 和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为 ，假设
甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值；
(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
8．定义行列式运算： 将函数 的图象向左平移 个单位 ，若所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
9.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）
（1）（本小题满分7分）矩阵与变换
二阶矩阵 对应的变换将向量 ， 分别变换成向量 ， ，直线 在 的变换下所得到的直线 的方程是 ，求直线 的方程．
（1）解：设 ，则由题知 所以
，解得 ，所以 。……（3分）
设点 是直线 上任一点，在 变换下对应的点为 ，那么
即 。……（5分）
因为 ， 即 ，
因此直线 的方程是 。……（7分）
南安一中2012～2013学年度上学期期末考
高三数学科试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|－1＜x≤2，x∈N}，集合B＝{2，3}，则A∪B等于（） . {1，2，3} .{0，1，2，3} .{2} .{－1，0，1，2，3}
（Ⅰ）求证： 平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．
解:方法一：⑴．证明：连结OC
…………1分
， ．………2分
在 中，由已知可得
而 ，
即 …………………4分
∴ 平面 ．……………………………5分
⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为
BC的中点知 ，
（1）（本小题满分7分）矩阵与变换
二阶矩阵 对应的变换将向量 ， 分别变换成向量 ， ，直线 在 的变换下所得到的直线 的方程是 ，求直线 的方程．
（2）（本小题满分7分）已知圆 .
（1）写出此圆的参数方程.
（2）求圆上一点M到直线 ： 距离的最小值.
（3）（本小题满分7分）不等式选讲
若不等式 ，对满足 的一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围．
20．（本小题满分14分）已知函数 ，其中 。
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 成立，求实数 的取值范围．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．
由 ≥ ，得 ≥ ，
又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．……11分
③当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在 上是减函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ ．……13分
综上所述， 的取值范围为 ．……14分
21、本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．
∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，……………7分
在 中，
是直角 斜边AC上的中线，∴
∴ ，………………………8分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为 ．…………………………9分
⑶．解：设点E到平面ACD的距离为 ． ， ………………………………………………12分
在 中， ,ks5u
(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则 ……1分
依题意得 ，……3分
解得 ，故p的值为 .……5分
(2)ξ的取值分别为0，2，4.……6分
，
，
，……9分
∴ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P
……12分
∴Eξ= ……13分
18如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（3）（本小题满分7分）不等式选讲
若不等式 ，对满足 的一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
解:由柯西不等式 ,……(3分)
即 ,当且仅当 (4分)
即 时, 取得最大值.3．……(5分)
不等式 ,对满足 的一切实数 恒成立,只需 解得 或 , 或 ．即实数的取值范围是 ．……(7分)
,而 ， ．
∴ ，∴点E到平面ACD的距离为 …13分
方法二：⑴．同方法一．
⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
，……………8分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为 ．……9分
⑶．解：设平面ACD的法向量为 则
，
∴ ，令 得 是平面ACD的一个法向量．…11分
又 ∴点E到平面ACD的距离 ．…13分
（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程
已知圆 .（1）写出此圆的参数方程.
（2）求圆上一点M到直线 ： 距离的最小值.
解：（1）此圆的参数方程为: ……(2)分
（2）直线 的直角坐标方程为： .……(4)分
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ……(6)分
因此点M到直线 距离的最小值 ……(7分)
解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccossA＝4－2 cos ＝1
a＝1……4
∴B＝A＝ ；……6
(2)f(x)＝2sinxcosx＋2 cos2x－ ＝sin2x＋ cos2x＝2sin(2x＋ )……9
由(1)，0＜x≤ ＜2x＋ ≤ ≤sin(2x＋ )≤1……12
∴函数的值域为[ ，2]……13
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，
∴ ．……4分
解法2：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 （舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
—
0
＋
极小值
依题意， ，即 ，
∵ ，∴ ．……4分
（2）解：对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的 都有 ≥ ．
(1)求p的值；
(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
18.(本小题满分13分)
如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（1）求证： 平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点E到平面ACD的距离．
19.（本小题满分13分）已知椭圆 过点 ，且离心率 。
当 ［1， ］时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ．……6分
∵ ，且 ， ．……7分
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ 不合题意．……9分
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，
若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
(1)求a的长及B的大小；
(2)若0＜x≤B，求函数f(x)＝2sinxcosx＋2 cos2x－ 的值域.
17.(本小题满分13分)甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为 和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为 ，假设甲、乙两人射击互不影响.
则 的值为.
13．设变量 满足约束条件： ，
则 的最小值是.
14.执行右边的程序框图，若 ，则输出的 .
15．如图，一个类似杨辉三角的递推式，则
第n行(n≥2)的第2个数为.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．(本小题满分13分)△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知A＝ ，c＝ ，b＝1
则这个椭圆的离心率等于（）
A. B. C. D.
6.等差数列 为一个确定的常数，则下列各个前 项和中，也为确定的常数的是（）
A．S6B．Sຫໍສະໝຸດ Baidu1C．S12D．S13
7.已知p：关于x的不等式x2+2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的那么（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
A．24种B．36种C．48种D．72种
10．现有四个函数：① ② ③ ④ 的图像（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是（）
A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分
11.函数 的最大值是.
12．若 ，
，即 ……8分
又
中点 的坐标为 ……10分
设 的垂直平分线 方程：
在 上
即
……12分
将上式代入 得
即 或
的取值范围为 ………13分
20．（本小题满分14分）
已知函数 ，其中 。
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 成立，求实数 的取值范围。
1）解法1：∵ ，其定义域为 ，
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。
解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为 ……2分
又点 在椭圆上 ∴椭圆的方程为 ……4分
（Ⅱ）设
由
消去 并整理得 ……6分
∵直线 与椭圆有两个交点
2．如果复数 是纯虚数，则实数 的值为（）
. . . 或 . 或
3．已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A． B．
C． D．
4.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）
A．65B．64C．63D．62
5.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，
南安一中2012～2013学年度上学期期末考高三数学科参考解答（理科）
一、选择题：BADBC BCABC
二、填空题：11. 12。113.-814. 15.
三、解答题
16(本小题满分13分)
△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知A＝ ，c＝ ，b＝1 (1)求a的长及B的大小；
(2)若0＜x≤B，求函数f(x)＝2sinxcosx＋2 cos2x－ 的值域.
17.(本小题满分13分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，
击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别
为 和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为 ，假设
甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值；
(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
8．定义行列式运算： 将函数 的图象向左平移 个单位 ，若所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
9.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）
（1）（本小题满分7分）矩阵与变换
二阶矩阵 对应的变换将向量 ， 分别变换成向量 ， ，直线 在 的变换下所得到的直线 的方程是 ，求直线 的方程．
（1）解：设 ，则由题知 所以
，解得 ，所以 。……（3分）
设点 是直线 上任一点，在 变换下对应的点为 ，那么
即 。……（5分）
因为 ， 即 ，
因此直线 的方程是 。……（7分）
南安一中2012～2013学年度上学期期末考
高三数学科试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|－1＜x≤2，x∈N}，集合B＝{2，3}，则A∪B等于（） . {1，2，3} .{0，1，2，3} .{2} .{－1，0，1，2，3}
（Ⅰ）求证： 平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．
解:方法一：⑴．证明：连结OC
…………1分
， ．………2分
在 中，由已知可得
而 ，
即 …………………4分
∴ 平面 ．……………………………5分
⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为
BC的中点知 ，
（1）（本小题满分7分）矩阵与变换
二阶矩阵 对应的变换将向量 ， 分别变换成向量 ， ，直线 在 的变换下所得到的直线 的方程是 ，求直线 的方程．
（2）（本小题满分7分）已知圆 .
（1）写出此圆的参数方程.
（2）求圆上一点M到直线 ： 距离的最小值.
（3）（本小题满分7分）不等式选讲
若不等式 ，对满足 的一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围．
20．（本小题满分14分）已知函数 ，其中 。
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 成立，求实数 的取值范围．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．
由 ≥ ，得 ≥ ，
又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．……11分
③当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在 上是减函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ ．……13分
综上所述， 的取值范围为 ．……14分
21、本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．
∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，……………7分
在 中，
是直角 斜边AC上的中线，∴
∴ ，………………………8分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为 ．…………………………9分
⑶．解：设点E到平面ACD的距离为 ． ， ………………………………………………12分
在 中， ,ks5u
(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则 ……1分
依题意得 ，……3分
解得 ，故p的值为 .……5分
(2)ξ的取值分别为0，2，4.……6分
，
，
，……9分
∴ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P
……12分
∴Eξ= ……13分
18如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（3）（本小题满分7分）不等式选讲
若不等式 ，对满足 的一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
解:由柯西不等式 ,……(3分)
即 ,当且仅当 (4分)
即 时, 取得最大值.3．……(5分)
不等式 ,对满足 的一切实数 恒成立,只需 解得 或 , 或 ．即实数的取值范围是 ．……(7分)
,而 ， ．
∴ ，∴点E到平面ACD的距离为 …13分
方法二：⑴．同方法一．
⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
，……………8分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为 ．……9分
⑶．解：设平面ACD的法向量为 则
，
∴ ，令 得 是平面ACD的一个法向量．…11分
又 ∴点E到平面ACD的距离 ．…13分
（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程
已知圆 .（1）写出此圆的参数方程.
（2）求圆上一点M到直线 ： 距离的最小值.
解：（1）此圆的参数方程为: ……(2)分
（2）直线 的直角坐标方程为： .……(4)分
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ……(6)分
因此点M到直线 距离的最小值 ……(7分)
解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccossA＝4－2 cos ＝1
a＝1……4
∴B＝A＝ ；……6
(2)f(x)＝2sinxcosx＋2 cos2x－ ＝sin2x＋ cos2x＝2sin(2x＋ )……9
由(1)，0＜x≤ ＜2x＋ ≤ ≤sin(2x＋ )≤1……12
∴函数的值域为[ ，2]……13
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，
∴ ．……4分
解法2：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 （舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
—
0
＋
极小值
依题意， ，即 ，
∵ ，∴ ．……4分
（2）解：对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的 都有 ≥ ．
(1)求p的值；
(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
18.(本小题满分13分)
如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（1）求证： 平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点E到平面ACD的距离．
19.（本小题满分13分）已知椭圆 过点 ，且离心率 。
当 ［1， ］时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ．……6分
∵ ，且 ， ．……7分
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ 不合题意．……9分
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，
若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
(1)求a的长及B的大小；
(2)若0＜x≤B，求函数f(x)＝2sinxcosx＋2 cos2x－ 的值域.
17.(本小题满分13分)甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为 和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为 ，假设甲、乙两人射击互不影响.
则 的值为.
13．设变量 满足约束条件： ，
则 的最小值是.
14.执行右边的程序框图，若 ，则输出的 .
15．如图，一个类似杨辉三角的递推式，则
第n行(n≥2)的第2个数为.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．(本小题满分13分)△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知A＝ ，c＝ ，b＝1
则这个椭圆的离心率等于（）
A. B. C. D.
6.等差数列 为一个确定的常数，则下列各个前 项和中，也为确定的常数的是（）
A．S6B．Sຫໍສະໝຸດ Baidu1C．S12D．S13
7.已知p：关于x的不等式x2+2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的那么（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
A．24种B．36种C．48种D．72种
10．现有四个函数：① ② ③ ④ 的图像（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是（）
A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分
11.函数 的最大值是.
12．若 ，
，即 ……8分
又
中点 的坐标为 ……10分
设 的垂直平分线 方程：
在 上
即
……12分
将上式代入 得
即 或
的取值范围为 ………13分
20．（本小题满分14分）
已知函数 ，其中 。
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 成立，求实数 的取值范围。
1）解法1：∵ ，其定义域为 ，