学生高二年级第一学期11月22日早测数学试题
高二年级11月月考数学理试题
河北容城中学高二年级2014年11月份月考数学试题命题人 段美英 审题人 段飞华一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知椭圆2214x y +=，则椭圆的焦距长为（ ）(A). 1 (B). 2 (C). (D). 232. 一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1-50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( )（A ） 抽签法 (B)系统抽样法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法 3.若命题“p ∨q ”为真，“﹁p ”为真，则（ ） (A) p 真q 真 (B) p 假q 假 (C)p 真q 假 (D)p 假q 真4.从区间()0,1内任取一个实数，则这个数小于56的概率是( )（A ）35 (B) 45 (C)56 (D)16255.已知椭圆C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，若椭圆C 1比C 2更圆，则e 1与e 2的大小关系正确的是 ( )（A ）e 1＜e 2 (B) e 1=e 2 (C) e 1＞e 2 (D) e 1、e 2大小不确定 6.计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号与10进制得对应关系如下表：例如用16进制表示D+E ＝1B ，则A×B=( )（A ） 6E (B) 7C (C)5F (D) B07.某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )(A)0.99 (B)0.98 (C)0.97 (D)0.968．将x=2005输入如图所示的程序框图得结果 （ ）（A ）-2005 (B) 2005 (C) 0(D) 20069.已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，则当x ，y ∈Z 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率为( )(A)225 (B) 425 (C) 625 (D) 82510．已知椭圆22143x y +=的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，若直线PA 的斜率k PA ＝12，则直线PB 的斜率k PB 为( )(A)32 (B) －32 (C)34 (D) －3411.下列说法正确的是( )（A ）“1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件 （B ）命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” （C ）“1-=x ”是“0322=++x x ”的必要不充分条件 （D ） 命题:p “2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则p ⌝是真命题12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若AB 10=,BF 8=,4cos ABF 5∠=,则C 的离心率为 ( )（A ） (B) (C) (D)二、填空题(每题5分，共20分)13.如图阴影部分是圆O 的内接正方形，随机撒314粒黄豆，则预测黄豆落在正方形内的约_____粒.14．已知x,y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.95,y x a a ∧=+=则15. 表示椭圆，则k 的取值范围为___________16.已知2214x y +=，1F ,2F 分别为其左右焦点,P 为椭圆上一点,则12F PF ∠的取值范围是 三、解答题：（共70分）17. （10分）求椭圆9x 2+25y 2=900的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. .18. （12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A 、B 、C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据如下表（单位：人）（1）求x 、y ；（2）若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人来自高校C 的概率。
辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)
沈阳二中2024-2025学年度上学期10月阶段测试高二（26届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.过点，倾斜角为的直线方程为（ ）A. B. C. D.2.已知两条直线：，：，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.当点到直线：的距离最大时，直线的一般式方程是（ ）A. B. C. D.4.关于空间向量，以下说法错误的是（ ）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若，则与的夹角是锐角C.已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量D.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面5.如图，正四棱柱中，，点和分别是线段与上的动点，则间最小距离为（ ）B.16.直线过点，且与圆：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）A.6B.7C.8D.9()4,2-3π420x y -+=20x y ++=2x y -=10x y -+=1l 410ax y +-=2l 20x ay ++=2a =12l l ∥()2,1P --l ()()()131240x y λλλλ+++--=∈R l 3250x y +-=2310x y -+=3250x y ++=2320x y -+=0a b ⋅> a b a b c 2a b c a - O 1121243OP OA OB OC =++ P A B C 1111ABCD A B C D -122AA AB ==E F 1AC BD EF l ()2,1C ()()222410x y -+-=7.直线关于直线对称的直线方程为（ ）A. B. C. D.8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥（以为顶点）的侧面积的最大值为（ ）A.6B.C.D.二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.设，，是不同的直线，，是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）A.若，，，则B.若，，，则C.若直线，，且，，则D.若，是异面直线，，，且，，则10.下列结论正确的是（ ）A.已知点在圆：上，则的最大值是4B.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离D.已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称11.设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ）A.的取值范围为 B.四边形C.存在点使D.直线过定点第Ⅱ卷（92分）1y x =+2y x =310x y --=420x y --=530x y --=750x y --=A BCD -O AD ⊥ABC π2BAC ∠=2AD =O 22πA BCD -A 212252272l m n αβl α∥m β∥αβ∥l m∥αβ⊥l α∥m β∥l m∥m α⊂n α⊂l m ⊥l n ⊥l α⊥l m l α⊂m β⊂l β∥m α∥αβ∥(),P x y C ()()22112x y -+-=x y +10kx y --=()3,1M -()3,2N k 213k -≤≤(),P a b 222x y r +=l 2ax by r +=l 1l 20mx y -+=2l 20x my ++=m 1l 2l 0x y +=C ()()22113x y -+-=l 10x y ++=P l P C PA PB A B PA ⎫+∞⎪⎪⎭PACB P 120APB ∠︒=AB ()0,0三、填空题（每空5分，共15分）12.若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为______.13.已知三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是______.14.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2023-2024学年陕西省高二上学期第一次月考数学质量检测模拟试题(A)(含解析)
2023-2024学年陕西省高二上册第一次月考数学模拟试题（A）一、单选题1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B ⋂等于（）A ．{}2,1--B ．{}1,2C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【正确答案】D【分析】求出集合A ，利用交集运算可求得结果.【详解】{}{}{}2230130,1,2A x x x x x =∈--<=∈-<<=Z Z ，{}2,1,0,1,2B =--，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：D.2．经过直线20x y -=与60x y +-=的交点，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为（）A ．280x y +-=B ．260x y --=C ．2100x y +-=D ．260x y -+=【正确答案】D【分析】根据题意，联立方程组交点为(2,4)P ，设所求直线方程为20x y m -+=，把点P 代入直线20x y m -+=，求得6m =，即可求解.【详解】由题意，联立方程组2060x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得2,4x y ==，即交点为(2,4)P ，设与直线210x y +-=垂直的直线方程为20x y m -+=，把点(2,4)P 代入20x y m -+=，即280-+=m ，解得6m =，即所求直线方程为260x y -+=.故选：D.3．函数3()xx f x e=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据题意，由33()()()xxx x f x f x ee---==-=-，可知()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，据此分析可得答案.【详解】解：由33()()()xxx x f x f x ee---==-=-，可知()f x 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，排除D ，故选：C.本题考查函数的图象分析，注意分析选项中函数图象的异同，利用排除法分析.属于中档题.4．已知0a >，且1a ≠，函数log ,0()21,0a x x a x f x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（）A ．34-B ．78-C ．3D ．7【正确答案】A【分析】根据分段函数的解析式和()3f a =求出a 的值，然后代入即可求解.【详解】因为()3f a =，又0a >，所以()log 13a f a a a a =+=+=，解得：2a =，所以2log 2,0()21,0x x x f x x +>⎧=⎨-≤⎩，则()23(2)214f a f --=-=-=-，故选.A5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B ．62C ．10D ．82【正确答案】C【详解】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S = ，18A AB S = ，110A AC S = ，162A BC S = 所以四个面中面积最大的是10，故选C ．点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．已知直线1:210l mx y m -+-=过定点P ，若点P 在直线2:20l Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】先求出定点(2,1)P --，然后利用点P 在直线2l 上得到22A B +=，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为直线1:210l mx y m -+-=可化为：(2)(1)0m x y +-+=，令2010x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点(2,1)P --，又因为点P 在直线2:20l Ax By ++=上，所以22A B +=，则12112141(2)((4)(44222B A A B A B A B A B +=++=⨯++≥⨯+=，当且仅当4B AA B =，即1,12A B ==时取等号，所以12A B+的最小值为4，故选.D7．若直线l 将圆()()22129x y -++=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（）A ．10x y ++=或20x y +=B ．10x y -+=或20x y +=C ．10x y -+=或20x y -=D ．10x y --=或20x y -=【正确答案】A【分析】分两种情况讨论：（1）直线l 过原点；（2）直线l 在两坐标轴上的截距非零，且相等.分别求出两种情况下直线l 的方程，即可得解.【详解】由题意可知，直线l 过圆心()1,2-，分以下两种情况讨论：（1）直线l 过原点，则该直线的斜率为20210k --==--，此时直线l 的方程为2y x =-，即20x y +=；（2）直线l 在两坐标轴上的截距非零且相等，可设直线l 的方程为()0x y a a +=≠，则有121a =-=-，此时，直线l 的方程为10x y ++=.综上所述，直线l 的方程为10x y ++=或20x y +=.故选：A.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若22coscos 212A BC +-=，4sin 3sin B A =，1a b -=，则c 的值为（）A B ．7C ．37D ．6【正确答案】A【分析】利用余弦的降幂公式，化简已知条件求得C ；再利用正弦定理将角化边结合已知求得,a b ，再用余弦定理即可求得c .【详解】由22coscos 212A BC +-=得221cos()(2cos 1)22cos cos 1A B C C C ++--=--=，即22cos cos 10C C +-=，解得1cos 2C =或cos 1C =-(舍去)．由4sin 3sin B A =及正弦定理，得43b a =，结合1a b -=，得4,3a b ==.由余弦定理，知2222212cos 43243132c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A9．函数f (x )=A cos(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线12x =-；③f (x )在132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上是减函数；④f (x )的最大值为A .则正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】由题图可知，函数的最小正周期为2，函数过点1(,0)4和5(,0)4，可得对称轴x 3+4=k (k ∈Z )和单调减区间2k -14≤x ≤2k +34(k ∈Z )时，即可得出结果.【详解】由题图可知，函数f (x )的最小正周期T =2×51()44-=2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点1(,0)4和5(,0)4，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x =1513(+24424⋅=kT +k (k ∈Z )，故直线x =12-不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当144-T +kT ≤x ≤+1+44T +kT (k ∈Z )，即2k -14≤x ≤2k +34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是-A ，故④不正确.综上知正确结论的个数为2.故选：B本题考查了三角函数图形的性质，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.10．已知点P 在直线21y x =+上，过点P 作圆22:(2)1C x y -+=的切线，切点为A ，则||PA 的最小值为（）AB ．2C D ．3【正确答案】B求出PC 的最小值，由切线长公式可结论．【详解】圆半径为1r =，PA =，因为P 在直线21y x =+即210x y -+=上，圆心(2,0)C 到P 点的最小值为d =所以min 2PA =．故选：B ．本题考查切线长公式，属于基础题．11．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【正确答案】C【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值【详解】将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'366410P M +=，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9故选：C12．在ABC 中，90A ∠=︒，34AB AC ==，，动点P 在ABC 的内切圆上若BP AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．12【正确答案】C由题意，以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，求出内切圆方程，再根据直线与圆的位置关系即可求出最值．【详解】解：由题意，以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()3,0B ，()0,4C ，∵,3,42A AB AC π===，∴5BC =，∵ABC 的面积为13462S =⨯⨯=，∴ABC 的内切圆半径()6113452r ==++，∴内切圆圆心()1,1M ，∵点P 在ABC 的内切圆上，设(),P x y ，∴()()22111x y -+-=，由BP AB AC λμ=+得()()3,3,4x y λμ-=，即334x y λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴令334x yz λμ-=+=+，即4443y x z =-++，即4312120x y z +--=，由几何知识，当直线4443y x z =-++与圆M 相切时334x yz -=+有最值，此时4312121z +--=，解得0z =，或65z =-，∴λμ+的最大值为0，故选：C ．关键点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，通过题意建立以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴的直角坐标系求出内切圆的方程，利用点到直线的距离公式求解是解决本题的关键.二、填空题13．经过点(,3),(1,)P m Q m -的直线的倾斜角为135︒，则实数m 的值为___________．【正确答案】1【分析】由直线的倾斜角和斜率公式可得结果.【详解】由题意可知：3tan1351m m-︒=+，解得1m =，故1．14．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d ，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．15．过点(2,4)P 引圆22(1)(1)1x y -+-=的切线，则切线方程为__________．【正确答案】2x =或4340x y -+=【详解】圆心坐标(1,1)，半径1r =，∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离1d r ==，若直线无斜率，其方程为2x =符合题意，若直线存在斜率，设其方程为4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，1d =，解得43k =，∴切线方程为2x =或4340x y -+=，故答案为2x =或4340x y -+=.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.16．方程()21sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于______.【正确答案】8【详解】因为2sin y x π=与11y x =--的图像都关于点()1,0成中心对称，共8个交点，所以，其和为8.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，11a =，2a 是1a 与6a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.（1）由题得()()21115a d a a d +=⋅+，化简即得3d =和数列{}n a 的通项；（2）利用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知得2216a a a =⋅，∴()()21115a d a a d +=⋅+，化简得23d d =，∵0d ≠，∴3d =，∴32n a n =-.（2）由（1）知()()1111323133231n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等比中项的应用，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．某景区对2018年1-5月的游客量x 与利润y 的统计数据如表：月份12345游客量（万人）46578利润（万元）1934264145(1)根据所给统计数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；(2)据估计6月份将有10万游客光临，请你判断景区上半年的总利润能否突破220万元？（参考数据：511057i i i x y ==∑，521190i i x ==∑）()()()1122211nni ii ii i n niii i x x yyx y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$．【正确答案】(1)ˆ 6.77.2yx =-；(2)能，理由见解析.【分析】（1）由已知结合公式即可求得y 关于x 的线性回归方程;（2）在（1）中的线性回归方程中，取10x =，求得y 值，进一步求得景区上半年的估计总利润得答案.【详解】（1）6,33x y == ，515221510575633ˆ 6.71905365i i i i i x y x yb xx ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑，ˆˆ33 6.767.2ay bx ∴=-=-⨯=-，ˆ 6.77.2yx ∴=-（2）当10x =时，ˆ 6.7107.259.8y=⨯-=，上半年景区总利润为：193426414559.8224.8220+++++=>万元，据估计景区上半年的总利润能突破220万元.19．已知函数()22cos 212sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调增区间；(2)设a ，b ，c 为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知()12f A =，a =8+=b c ，求△ABC 的面积．【正确答案】(1)πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】(1)将函数利用两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简，然后利用正弦函数的单调增区间即可求解；(2)先根据条件求出角A ，再利用余弦定理和题中条件得到8bc =，然后利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为函数()22π1cos(2)12sin cos 2sin 2cos 2322f x x x x x x =-+-=-++1πcos 2sin 2sin(2)226x x x =+=+，令πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，解得：ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由（1）可知：()π1sin(262f A A =+=，因为(0,π)A ∈，所以ππ13π2(,)666A +∈，则π5π266A +=，解得：π3A =，又a =8+=b c ，由余弦定理可得：22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+-+--==，也即16424022bc bc --=，解得：8bc =，所以11sin 8222ABC S bc A ==⨯⨯=△20．已知圆C 经过两点()1,3P --，()3,1Q -，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为()12530k x y k -++-=．(1)求圆C 方程；(2)证明：直线l 与圆C 一定有交点；(3)求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．【正确答案】(1)22(2)(1)25x y -+-=；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）先求得PQ 的中垂线方程，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩求得圆心即可；（2）将直线l 的方程化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩得到定点(3,1)M -，转化为点与圆的位置关系求解；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d，由弦长L ==d 的范围求解.【详解】（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则L ==，∵0||d CM ≤≤，即0d ≤≤∴10L ≤≤，即弦长的取值范围是．21．n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2243n n n a a S +=+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和．【正确答案】(1)n a =21n +；(2)125102n n -+-.【分析】（1）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{}n a 的递推公式，再由等差数列的定义写出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）数列{}n b 的通项公式，再由错位相减法求其前n 项和．【详解】（1）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4na 即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；（2）由（1）知，n b =1212n n -+，所以数列{n b }前n 项和为0213572+12222n n n T -=++++ ,23113572121222222n n nn n T --+∴=+++++ ,两式相减得，23112222213222222n n nn T -+=+++++- 即231111112132()222222n n n n T -+=+++++- 112122321212n n n -+=+⨯--2552nn +=-，125102n n n T -+∴=-.22．已知圆1C 与圆()()222:124C x y +++=关于直线1y x =+对称.（1）求圆1C 的方程及圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）设过点()0,3A 的直线l 与圆1C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅ 的最小值及此时直线l 的方程.【正确答案】（1）圆1C 的方程为()2234x y ++=，公共弦长为（2）OM ON ⋅的最小值为14-，此时直线l的方程为)13y x =+.（1）设点()1,C a b ，由题意可知，两圆圆心关于直线1y x =+对称，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，可求得圆1C 的方程，求得两圆的公共弦方程，求出公共弦截圆1C 所得弦长，即可得解；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线l 的方程为3y kx =+，将直线l 的方程与圆1C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出OM ON⋅ 关于k 的关系式，进而可求得OM ON ⋅ 的最小值以及对应的k 值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）设()1,C a b ，则由题意得2111121022b a a b +⎧⋅=-⎪⎪+⎨--⎪-+=⎪⎩，解得30a b =-⎧⎨=⎩，∴圆1C 的方程为()2234x y ++=.将圆1C 与圆2C 的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为10x y -+=，圆心()13,0C -=，两圆的公共弦长为=（2）若直线l 与y 轴重合，此时直线l 与圆1C 相离，不合乎题意；所以，直线l 的斜率存在，设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线l 的方程为3y kx =+，联立()22334y kx x y =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，整理得()()22161140k x k x ++++=，()()()222361561451850k k k k ∆=+-+=-++>，解得9955k -+<<，由韦达定理得()122611k x x k ++=-+，122141x x k =+，所以，()()()2212121212218139231k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=-+ ()218151k k -=-+，其中9955k -+<<.要求OM ON ⋅ 最小值，只需在10k ->的情形下计算.令1k t -=，则218185551492222t OM ON t t t t ⋅=-=-≥--++++当且仅当t =OM ON ⋅取得最小值14-此时1k =，则直线l的方程为)13y x =+.本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用韦达定理求平面向量数量积的最值，考查计算能力，属于中等题.。
江苏省扬州中学2023-2024学年高二上学期11月期中试题 数学答案
江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1. 经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】求出直线AB 的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则0πα≤<，且tan α==，故π3α=.故选：B.2. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的准线求得p 的值【详解】由题意可得：22p-=，则4p =-故选：B3. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】根据题意，可设12cos ,5sin x y θθ==，得到13sin()x y θϕ+=+，求得x y +的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆22114425x y +=，可设12cos ,5sin x y θθ==，其中[]0,2πθ∈，则12cos 5sin 13sin()x y θθθϕ=+=++，其中12tan 5ϕ=，因为1sin()1θϕ-≤+≤，所以1313x y -≤+≤，即x y +的取值范围为[]13,13-，结合选项，可得A 符合题意.故选：A.4. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10 B. 16C. 20D. 26【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义可得122MF MF a +=，122NF NF a +=，代入即可求出答案.【详解】由椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，.则2MNF 的周长为：22112244520MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++==⨯=.故选：C .6. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A. 小于1 B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 的坐标，由对称性可得OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，由正弦定理得到12sin OM R OAB =∠，22sin OMR OBA=∠，故12R R =，故面积比值为1.【详解】由题意得，抛物线2:16C y x =的焦点坐标为()4,0F ，将4x =代入2:16C y x =中，8y =±，不妨令()()4,8,4,8A B -，由对称性可知,A B 两点关于y 轴对称，OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，当点M 在A 点上方时，()12sin sin πsin OM OM OM R OAM OAB OAB===∠-∠∠，当点M 在A 点上方时，12sin OMR OAB=∠，同理22sin OMR OBA=∠，因为OBA OAB ∠=∠，所以12R R =，所以圆1C 圆2C 面积的比值为1.故选：B7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为a y x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a ca b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB + 的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点(),P x y ，根据垂径定理可得点P 的轨迹方程，进而可得MP的取值范围，又2MA MB MP +=，即可得解.【详解】设AB 中点(),P x y ，则()6,CP x y =- ，()4,NP x y =-，所以()()2640CP NP x x y ⋅=--+= ，即()2251x y -+=，所以点P 的轨迹为以()5,0E 为圆心，1为半径的圆，所以11ME MP ME -≤≤+，5ME ==，所以46MP ≤≤，又2MA MB MP +=，所以MA MB +的最大值为12，故选：A.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=【答案】ABD 【解析】【分析】坐标代入方程检验判断A ，根据垂直的条件判断B ，求出两坐标轴上截距判断C ，求出平行线间距离判断D ．【详解】选项A ，把坐标(0,1)代入直线方程而立，A 正确；选项B ，1a =-时直线l 方程为10x y -+=，斜率是1，直线0x y +=斜率是1-，两直线垂直，B 正确；选项C ，0a =时直线方程为10x y -+=，在x 轴上截距为=1x -，在y 轴上截距为1y =，不相等，C 错；选项D ，211a a ++=即0a =或1-时，直线l 方程为10x y -+=与直线0x y -=平行，距离为d ==D 正确．故选：ABD ．10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上【答案】ABD.【解析】【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据222a b c =+之间的关系即可求解，故选项A 正确；根据2221,22,2c e b a b c a ====+即可求解，故选项B 正确；12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定12,2c a c e a ===，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确；设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上，所以()2222224,09c c b c b a =-+=+==，即可求出椭圆E 标准方程,故选项D 正确.故选：ABD.11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =- B. 121=x x C. 254PQ =D. 1l 与2l 之间的距离为4【答案】BC 【解析】【分析】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =，由韦达定理得124y y =-，进而求得121=x x ，可判断B ；先求点P 的坐标，再结合124y y =-可得点Q 的坐标，然后利用斜率公式即可判断A ；根据抛物线的定义可知12Q x p P x ++=，可判断C ；由于1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离12d y y =-，可判断D .【详解】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121=x x ，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为(1,14)，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，121254244PQ x x p =++=++=，故C 正确；1l 与2l 平行，1l ∴与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选：BC.12. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8B. 212PF PF OP -为定值C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.【答案】AB 【解析】【分析】设00(,)P x y ，由222128PF PF x -=，可判定A 正确；化简2122PF PF OP -=，可判定B 正确；设直线l 的方程为x my n =+，联立方程组，结合Δ0=，得到2213n m =-，在化简123y y =-，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ==，所以焦点12(2,0),(2,0)F F -，且1222PF PF a -==，设00(,)P x y ，则01x ≥，且220013y x -=，即220033=-y x ，双曲线C的两条渐近线的方程为y =，对于A 中，由()][()22222212000002288PF PF x y x y x ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以A 正确；对于B中，2221200()PF PF OP x y -=-+2200(33)x x =-+-2000(21)(21)(43)2x x x =+---=（定值），所以B 正确；对于C 中，不妨设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为x my n =+，联立方程组2213x my ny x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(31)6330m y mny n -++-=，若直线l 与双曲线C 相切，则22223612(31)(1)0m n m n ∆=---=，整理得2213n m =-，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =M的纵坐标为1y =，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =N的纵坐标为2y =，则点,M N的纵坐标之积为21222233(13)33113y n m mm y ---===-=--所以C 不正确；对于D 中，若点Q 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为226ba=，若点Q 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为226a =<，所以D 错误.故选：AB.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．【答案】y =【解析】【分析】由c e a ===b a =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>c e a ===222b a =，所以b a =，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>渐近线方程为：b y x a =±=.故答案为：y =14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭##()0.25,1-【解析】【分析】作出图象，结合题意可知A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P 点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P 点的坐标.【详解】根据题意，由y 2＝－4x 得p ＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为PF 等于P 到准线的距离PQ ，所以PF PA PQ PA AQ +=+≥，可知当A ，P 及P 到准线垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，此时点P 的纵坐标为1，将y ＝1代入抛物线方程求得14x =-，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，再结合222a c b -=即可求解出a 、b ，进而求出面积.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，记AB 的中点为M ，即(2,1)M -，因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得121242x x y y +=⎧⎨+=-⎩，因为直线AB 过椭圆焦点()3,0F ，所以直线AB 斜率为121201132y y k x x --===--，又因为A ，B 在椭圆22221x y a b+=上，的所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，代值化简得222b a =，因为椭圆22221x y a b+=的焦点为()3,0F ，所以22a b 9-=，得a =，3b =，由题意可知，椭圆的面积为ab π=.故答案为：.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，由P 在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，进而求直线12C C 的斜率，再根据直线12C C 、(0)y kx k =>倾斜角的关系求k 值.【详解】由题设，圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，且一个交点P (3,2)，∴1C 和2C 在第一象限，若,a b 分别是圆1C 和圆2C 的半径，可令1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，∴222222(3)+(2){(3)+(2)ma a a mb b b --=--=，易知：,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，又132ab =，∴213132m =，可得m =12C C k =，而直线12C C 的倾斜角是直线(0)y kx k =>的一半，∴1212221C C C C k k k ==-.故答案为：【点睛】关键点点睛：分析圆心的坐标并设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，结合已知确定,a b 为方程的两个根，应用韦达定理求参数m ，进而求12C C 斜率，由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k 值.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.【答案】（1）163m = （2）4m =-，()±【解析】【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；（2）根据题中条件得4m =-，进一步计算得到c 的值，即可求解.【小问1详解】因为方程为焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b ==则离心率12c e a ===，解得163m =故163m =【小问2详解】由题意得 4m =-，c ===故焦点坐标为()±18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】的.【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.【答案】（1）()22116x y -+=（2）3x =或3490x y --=【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，令0y =，可得20x Dx F ++=，则122x x D +=-=，将()()1,4,5,0A B 代入可得，116402550D E F D F ++++=⎧⎨++=⎩，解得2015D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆C 方程为222150x y x +--=，即()22116x y -+=.【小问2详解】圆C 的圆心()1,0C ，圆M 的圆心与()1,0C 关于10x y -+=对称，∴设圆M 的圆心为(),M a b 则11022111a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，圆M 的标准方程为：()()221216x y ++-=，若过点()3,0的直线斜率不存在，则方程为3x =，此时圆心()1,2C -到直线3x =的距离为314r +==，满足题意；若过点()3,0且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，则圆心到直线30kx y k --=4，解得34k =，所以切线方程为39044x y --=，即3490x y --=，综上，过点()3,0且与圆C 相切的直线方程为3x =或3490x y --=.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8x ty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .【答案】（1）28y x =（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l 与抛物线联立后，利用韦达定理求出0OA OB ⋅= 即可得证.【小问1详解】由双曲线方程()2211551x y m m m -=<<--知其焦点在x 轴上且焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以2(2,0)F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，得242p p =⇒=，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22886408x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，2644640t ∆=+⨯>由韦达定理得128y y t +=，1264y y =-所以12121212(8)(8)OA OB x x y y ty ty y y ⋅=+=+++ 21212(1)8()64t y y t y y =++++2(1)(64)8(8)640t t t =+-++=所以OA OB ⊥ ，所以以AB 为直径的圆经过原点O .得证21. 已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB （O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.【答案】（11k <<（2）k =【解析】【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解；（2）通过OAB 面积求解出12x x -，从而求解出k 的值.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩，整理得：()221390,k x ---=因为直线:R)l y kx k =∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点，所以()2212212130361090130k k x x k x x ⎧-≠⎪=->⎪⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪+=<⎪⎩ ，解得210,13k k ><<1k <<，【小问2详解】设点O到直线:R)l y kx k =∈的距离为d，则d =，212OAB S AB d x ==-=- ，又因为S =，所以1212,5x x -=又因为12125x x -==，代入12212913x x k x x -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩125，整理得4236210k k+-=1k <<，解得k =，此时直线l的斜率k.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:184x y C += （2）存在，1y =【解析】【分析】（1）由椭圆离心率可得222a b =，再将(2代入椭圆的方程可得228,4a b ==，即可求出椭圆的方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立直线MN 和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线AN 的方程和直线BM 的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.【小问1详解】，即c e a ===，所以2212b a =，所以222a b =，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2，所以224212b b +=，解得：228,4a b ==，所以椭圆C 方程为22184x y +=.【小问2详解】因为()()0,2,0,2A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立方程221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221216240k x kx +++=，()()222Δ164241264960,k k k =-⨯⋅+=->得232k >则1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++直线AN 的方程为：2222y y x x --= ，直线BM 的方程为：1122y y x x ++=，联立两直线方程消元：()()2112112122222226y x kx x x y y y x kx x x -+-==+++ 法1：由()221216240k x kx +++=解得：12x x ==，代入化简，2123y y -===-+，解得：1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法2：由韦达定理得1221612k x x k-=-+代入化简()()22222222224162824211212242324612612k k x k k x y k k k y k k x x k -⎛⎫+- ⎪--+-++⎝⎭===-+++++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法3：由1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++，得()121232x x kx x -+=⋅代入化简()()1211223221232362x x x y y x x x -++-==-+-++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法4： 代()11,M x y 点进椭圆方程得2211184x y +=化简得()()221111221844y y x y +-=-=进而得到()()1111222y x y x -=+，代入化简()()121222222y y y y x x ----=+⋅转化为韦达定理代入()()()()1212121222222222y y kx kx y y x x x x ----++-==+⋅⋅()22221212122241622422412122412k k k k x x k x x k k x x k ⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⎡⎤-+++++⎣⎦⎝⎭==⋅+22222243248211224312k k k k k -++-⋅+=-+，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.。
山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考(11月)数学试题
山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考（11月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知直线21:20l x a y -+=，直线()2:230l ax a y ---=，若12l l ^，则实数a 可能的取值为（ ）五、证明题18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，F 为11B C 的中点．(1)求证：EF //平面ABCD ；(2)求直线DE ，BF 所成角的余弦值．六、计算题19．在平面直角坐标系xOy 中，点C 到()1,0A -，()10B ,两点的距离之和为4(1)写出C 点轨迹的方程；(2)若直线y x m =+与轨迹C 有两个交点，求m 的取值范围.七、证明题20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AB ^平面P AD ，E 是AD 的所以由图可知实数m的取值范围为4故选：BC.【详解】（1）证明：如图连11B D∵几何体1111ABCD A B C D -为正方体，∴11EF B D ∥，∴EF ∥BD∵EF ∥BD ，BD Ì平面ABCD ，EF Ì/平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ；（2）解：以D 为坐标原点，向量DA uuu r ，DC uuur ，1DD uuuu r 方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系令2AB =，可得点D 的坐标为()0,0,0，点E 的坐标为()0,1,2，点F 的坐标为()1,2,2，点B 的坐标为()2,2,0，()1,0,2BF =-uuu r ，()0,1,2DE =uuu r。
广东省江门市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024～2025学年度第一学期期中考试高二级数学试题班别： 学号： 姓名： 成绩：一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）A ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BC 12B P PC =AP =1AP BD π61113B P BC = 11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 2312．经过两点的直线的方向向量为,则 .13．如图，在平行六面体中，，，则 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.17．（本小题15分）(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA ===90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE m如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD 12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T高二级数学答案一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BCA ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.12．经过两点的直线的方向向量为,则 2 .13．如图，在平行六面体中， ，，则 7 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.12B P PC=AP =1AP BD π61113B P BC =11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 23(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA === 90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >16672000ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.解：（1）由题意得，，解得.........4分因为，............8分所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. (9)分（2）由题意得，因为，那么第70百分位数位于之间.m ()0.020.030.040.0651m ++++⨯=0.05m =()0.0227.50.0432.50.0637.50.0542.50.0347.5538.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=()0.0350.15,0.030.0550.4⨯=+⨯=40~45设第70百分位数为，则，解得.………………14分故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ……………15分17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．证明：（1）在四棱锥中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，…………1分，设平面的法向量为，则，令，得，…………3分则，而平面，所以平面.…………5分（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.…………9分（3）解：由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，…………11分x ()450.050.15x -⨯=42x =P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD P ABCD -D ,,DA DC DP ,,x y z 2DC =()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,1,1A B P E ()()()2,0,2,2,2,0,0,1,1PA DB DE =-==EDB ()111,,m x y z =11112200DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11y =-()1,1,1m =- 220PA m ⋅=-=PA ⊄EDB //PA EDB ()2,2,2PB =-0220PB DE ⋅=+-=PB ED ⊥EF PB ⊥,,EF DE E EF ED =⊂ EFD PB ⊥EFD ()0,2,0C ()()2,0,0,0,2,2CB PC ==-CPB ()222,,n x y z = 22220220CB n x PC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩21y =()0,1,1n =18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u 0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu 0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T的正方形，高为2的长方体，的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，|||2}z x +≤。
河南省周口市太康县第二高级中学2022-2023学年高二上学期11月月考文科数学试题(含答案解析)
河南省周口市太康县第二高级中学2022-2023学年高二上学期11月月考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量()2,1,3a =- ，()4,2,3b =- ，则2a b +=（）A ．()4,2,6-B ．()8,4,6-C ．()0,0,9D ．()2,1,6-2．若()1,1,3A m n +-，()2,,2B m n m n -，()3,3,9C m n +-三点共线，则m n +的值为（）A ．0B ．1-C ．1D ．2-3．已知()1,0,1a =r ，(),1,2b x =- ，且3a b ⋅= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．56πB ．6πC ．3πD ．23π4．在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（）A ．34B ．34-C D ．65．已知(2,4)A ､(3,1)B -两点，直线l ：y kx =与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围（）A ．[2,)+∞B ．(,0][2,)-∞⋃+∞C ．1,[1,)3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D ．1,[2,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 6．直线1:0l ax y b -+=，2:0(0)l bx y a ab +-=≠的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C -+()4,D a ，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D8．已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．B ．C ．8D ．二、多选题9．设{},,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若,a b b c ⊥⊥r r r r ，则a c⊥B ．,,a b c 两两共面，但,,a b c不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(, , )x y z ，使p xa yb zc =++D ．,,a b b c c a +++一定能构成空间的一个基底10．四边形ABCD 中，4AB BD DA ===，BC CD ==ABD △沿BD 拆起，当二面角A BD C --的大小在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，直线AB 和平面BCD 所成的角为α，则cos α的值可以为（）A ．12B ．4C ．34D ．211．若椭圆221259x y +=上一点P 与左右焦点1F ，2F 组成一个直角三角形，则点P 到x 轴的距离可以是（）A ．165B ．94C ．95D ．4512．已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x ym +=的离心率是（）A ．2B．3C．4D ．2或4三、填空题13．若(1,1,0)a = ,(1,0,2)b =- ,则与a b +同方向的单位向量是_______.14．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是______.15．若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．16．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF =______.四、解答题17．已知()1,1,2a λλ=+，()6,21,2b μ=- .（1）若//a b，分别求λ与μ的值；（2）若a = ，且a 与()2,2,c λλ=-- 垂直，求a.18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且13AA =，E ，F 分别为1CC ，1BD 的中点.（1）证明：EF ⊥平面11BB D D ；（2）若60DAB ∠=︒，求二面角11A BE D --的余弦值.19．已知直线方程l 经过两条直线1:3420l x y +-=与2:220l x y ++=的交点P .(1)求垂直于直线3:210l x y --=的直线l 的方程；(2)求与坐标轴相交于两点，且以P 为中点的直线方程．20．已知圆22:2220C x y x y ++--=，点(),1A m -、()4,2B m +，其中m R ∈．（1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程；（2）若以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，求实数m 的取值范围．21．已知椭圆2222:1x y C a b +=的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 的最短距离1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(20)E ，且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于M 、N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N F P 、、三点共线．22．已知椭圆222:1(0)9x y C b b+=>上的动点P 到右焦点距离的最小值为3-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 和椭圆C 交于M 、N 两点，A 为椭圆的右顶点，0AM AN ⋅=，求AMN 面积的最大值.参考答案：1．C【分析】根据空间向量的坐标运算公式求解即可.【详解】因为()2,1,3a =- ，所以()24,2,6a =- ，又()4,2,3b =- ，所以()20,0,9a b +=．故选：C.2．A【解析】三点共线转化为向量,AB AC共线，由向量共线可得．【详解】由题意(1,1,23),(2,2,6)AB m m n AC =---=-，,,A B C 三点共线，即,AB AC 共线，所以存在实数λ，使得AB AC λ=，所以1212236m m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪--=⎩，解得0012m n λ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩．所以0m n +=．故选：A ．【点睛】本题考查空间向量共线定理，考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．3．B【分析】先求出向量a 与b 的夹角的余弦值，即可求出a 与b的夹角.【详解】()1,0,1a =r (),1,2b x =- ，3a b ⋅=所以·23a b x =+=，∴1x =，∴()1,1,2b =-，∴cos ||||a ba b a b ⋅==⨯，=，又∵]0[a b π∈ ，，，∴a 与b 的夹角为6π.故选：B.4．A【分析】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正方向建系，则可求出11,,,A F B E 的坐标，进而可求出1A F ，1B E的坐标，代入公式即可求解.【详解】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,2,0F ，()14,0,4B ，()0,1,4E ，则()12,2,4A F =- ，()14,1,0B E =-.设直线1A F 与1B E 所成角的大小为θ，则02πθ≤≤，所以1111cos 34A F B E A F B Eθ⋅=== .故选：A .【点睛】本题考查空间向量中异面直线夹角的求法，关键在于建立适当的坐标系，属基础题.5．D【分析】作出图形，求出当直线l 分别经过点A 、B 时，直线l 的斜率k 的值，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】直线:l y kx =恒过点()0,0O ，则直线OA 的斜率为40220AO k -==-，直线OB 的斜率为101303OB k -==---，如图，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围是[)1,2,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：D 6．C【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定1l ，判断另外一条是否与之相符【详解】直线1l 可化为y ax b =+，直线2l 可化为y bx a =-+.A 中，由1l 可知，0,0a b ><，但此时与2l 图像不符，错误；B 中，由1l 可知，0,0a b >>，但此时与2l 图像不符，错误；C 中，由1l 可知，0,0a b <>，此时2l 图像合理，正确；D 中，由1l 可知，0,0a b >>，但此时与2l 图像不符，错误.故选：C 7．C【分析】设出圆的一般式220x y Dx Ey F ++++=，根据()((2,0,3,2,1,2,A B C -+求出444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，然后将点()4,D a 带入圆的方程即可求得结果.【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得((((2222222020323201220D F D E F D E F ⎧+++=⎪⎪+-++-+=⎨⎪⎪++++++=⎩，解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以224440x y x y +--+=，又因为点()4,D a 在圆上，所以22444440a a +-⨯-+=，即2a =.故选：C.8．A【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由直线方程可确定直线所过定点；由过圆内一点最长弦为直径、最短弦为与最长弦垂直的弦，结合垂径定理可求得最长弦和最短弦，由对角线垂直的四边形面积公式可求得结果.【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ的距离为=dPQ ∴===；∴四边形PMQN的面积11422S MN PQ =⋅=⨯⨯故选：A.【点睛】结论点睛：过圆内一点()00,P x y 的最长弦为圆的直径；最短弦为过P 且与最长弦垂直的弦.9．BCD【分析】对于A 选项，垂直关系不传递判断；对于B 选项，由基底的概念判断；对于C 选项，由空间向量的基本定理判断；对于D 选项，易知,,a b c不共面．假设,,a b b c a c +++ 共面，利用反证法判断.【详解】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，A 选项错误．对于B 选项，根据基底的概念可知,,a b c 两两共面，但,,a b c不可能共面，B 选项正确．对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确．对于D 选项，由于{},,a b c 是空间一个基底，所以,,a b c不共面．假设,,a b b c a c +++ 共面，不妨设()()a b x b c y c a +=+++r r r r r r ，化简得()()()110y a x b x y c -+--+=r r r r ，因为,,a b c 不共面，则10100y x x y -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，而方程无解，所以,,a b b c a c +++ 不共面，可以作为空间的一个基底，D 选项正确．故选：BCD ．10．AB【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得cos α的取值范围，由此确定正确选项.【详解】ABD △是边长为4的等边三角形，BCD △是以BCD ∠为直角的等腰三角形，设BD 的中点为O ，则,OA BD OC BD ⊥⊥，二面角A BD C --的平面角为AOC ∠.以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B ，设2,33AOC ππθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦.则()0,cos ,sin A OA OA θθ⋅⋅，即()0,,A θθ，()2,,BA θθ=-，平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，直线AB 与平面BCD 所成角为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则sin sin 2n BA n BAαθ⋅==⋅，cos α2223339317sin ,sin ,1,sin ,,1sin ,444164416θθθθ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈∈-∈---∈⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1cos 24α⎡∈⎢⎣⎦.故选：AB11．BC【分析】先由椭圆的标准方程求得,,a b c ，当112PF F F ⊥时，利用代入法即可求得所求；当212PF F F ⊥时，利用椭圆的对称性即可得解；当12PF PF ⊥时，利用椭圆的定义与勾股定理，结合三角形面积公式即可得解.【详解】因为椭圆221259x y +=，所以2225,9a b ==，则5a =，3b =，216c =，4c =，所以()()124,0,4,0F F -，1228F F c ==，当112PF F F ⊥时，不妨设()04,P y -，则()22041259y -+=，解得095y =±，所以点P 到x 轴的距离为095y =；当212PF F F ⊥时，由椭圆的对称性可知该情况与112PF F F ⊥的情况类同，故点P 到x 轴的距离也为95；当12PF PF ⊥时，不妨设12,PF m PF n ==，则222121064m n m n F F +=⎧⎪⎨+==⎪⎩，所以()()22221006436mn m n m n =+-+=-=，则18=mn ，所以,m n 是方程210180x x -+=的两根，易得()2104180∆=--⨯>，即存在,m n 满足题意，设点P 到x 轴的距离为h ，则12121122PF F S mn F F h == ，所以1218984mn h F F ===，即点P 到x 轴的距离为94；综上：点P 到x 轴的距离为95或94.故选：BC.12．AB【分析】根据已知条件可得6m =±，再分6m =和6m =-两种情况讨论，结合,,a b c 的关系以及离心率公式即可求解.【详解】因为m 是3与12的等比中项，所以231236m =⨯=，可得6m =±，当6m =时，曲线方程为22162x y +=，可得26a =，22b =，所以222624c a b =-=-=，所以2224263c e a ===，此时3e =，当6m =-时，曲线方程为22126y x -=，可得22a =，26b =，所以222268c a b =+=+=，所以222842c e a ===，此时2e =，所以圆锥曲线2212x y m +=的离心率是2或3，故选：AB.13．0,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由已知求出a b + 的坐标，再除以a b + 可得答案【详解】因为(1,1,0)a = ,(1,0,2)b =- ，所以(0,1,2)a b +=所以与a b +⎛= ⎝⎭，故答案为：55⎛⎫ ⎪⎝⎭14．1⎡⎤-⎣⎦【解析】曲线3y =表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出b 的取值范围.【详解】由240x x - ，解得04x根据二次函数的性质得出02，即13y曲线3y =可化为22(2)(3)4-+-=x y ，()04,13x y所以该曲线表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆因为直线y x b =+与曲线3y =有公共点，所以它位于12,l l 之间，如下图所示当直线y x b =+运动到1l 时，过(0,3)，代入y x b =+得：3b =当直线y x b =+运动到2l 时，此时y x b =+与曲线相切2=，解得1b =-或1+要使得直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则[1b ∈-故答案为：1⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.15．22(2)16x y -+=【解析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612a b ==，则24c =所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4.根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为()22216x y -+=.故答案为：()22216x y -+=.16．239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解.【详解】设(,)p p P x y ，中点(0,)m n .由题意得12(F F ，4a =，e =1PF 的中点在y 轴上，则有02p x =，p x =22=1169x y +中得P 点坐标为9()4或9()4-根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==，∴12||23||9PF PF =.故答案为：239.【点睛】考查椭圆的焦半径公式,解题关键要求出P 点坐标.17．（1）15λ=，3μ=；（2）()0,1,2a =- .【分析】（1）根据平行关系可得a tb = ，由此构造方程组求得结果；（2）根据向量垂直和模长可构造方程组求得λ，由此得到a.【详解】（1）由//a b 得：a tb = ，即()1612122t t t λμλ+=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：153λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）a c ⊥ ，()222122220a c λλλλ∴⋅=+--=-+= ，又a = ，=，即25230λλ+-=，由225230220λλλ⎧+-=⎨-+=⎩得：1λ=-，()0,1,2a ∴=- .18．（1）证明见解析；（2）26.【分析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点，易得四边形OFEC 为平行四边形，从而//OC FE ，再利用线面垂直的判定定理证得OC ⊥平面11BB D D 即可.（2）以O 为原点，以OB ，OC ，OF 建立空间直角坐标系，分别求得平面1A BE 的一个法向量(),,n x y z =r 和平面1D BE 的一个法向量()111,,m x y z =r ，然后由cos ,m n n m m n⋅=⋅ 求解.【详解】（1）如图所示：连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点，所以1//OF DD ，112OF DD =，又E 为1CC 的中点﹐11//CC DD ，所以1//CE DD ，112CE DD =，所以//OF CE ，OF CE =，所以四边形OFEC 为平行四边形，//OC FE .直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，所以1DD OC ⊥.又因为底面ABCD 是菱形，所以OC BD ⊥，又1DD BD D =I ，1DD ⊂平面11BB D D ，BD ⊂平面11BB D D ，所以OC ⊥平面11BB D D .所以EF ⊥平面11BB D D .（2）建立如图空间直角坐标系O xyz -，由60DAB ∠=︒，知2BD AB BC ===，又13AA =，则()1,0,0B，32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,A ，()11,0,3D -，设(),,n x y z =r 为平面1A BE 的一个法向量.由100n A B n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得30302x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =()4n = .设()111,,m x y z =r 为平面1D BE 的一个法向量.由100m BD m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111230302x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令13x =，可得()3,0,2m =r.7cos ,26m n n m m n ⋅==⋅ .如图可知二面角11A BE D --为锐角，所以二面角11A BE D --的余弦值是26.【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅ .2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．（1）220x y ++=；（2）40x y -+=.【详解】试题分析：（1）联立方程组求出两直线的交点()2,2P -，再由直线垂直的条件求得直线的斜率，代入直线方程的点斜式可得到直线l 的方程；（2）设过点()2,2P -的直线l 与x 轴交于点(),0A a 与y 轴交于点()0,B b ，由中点坐标公式求得,a b 的值，得到,A B 的坐标，可求出,A B 所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.试题解析：(1)由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得22x y =-⎧⎨=⎩，∴点P 的坐标是(－2,2)．∵所求直线l 与l 3垂直，∴设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，得C ＝2.∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)设与x 轴交于A (a,0)，与y 轴交于B (0，b )，∵点P (－2,2)为中点，∴a ＝－4，b ＝4，直线方程l 为44x y +＝1，即x －y ＋4＝0.20．（1）34170x y -+=或3430x y --=；（2）33.⎡⎤--⎣⎦【解析】（1）求出圆心C 的圆心坐标与半径长，求出直线AB 的方程，利用直线AB 与圆C 相切可得出圆心C 到直线AB 的距离等于圆C 的半径，可得出关于实数m 的等式，求出m 的值，进而可求得直线AB 的方程；（2）求出线段AB 的中点D 的坐标，由题意可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）圆C 的标准方程为()()22114x y ++-=，圆心()1,1C -，半径为2r =，直线AB 的斜率为()21344AB k m m +==+-，所以，直线AB 的方程为()314y x m +=-，即34340x y m ---=，由于直线AB 与圆C 相切，则31125m --=，解得13m =-或7m =-，因此，直线AB 的方程为34170x y -+=或3430x y --=；（2）线段AB 的中点为12,2D m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5AB =，由于以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，则22AB AB r CD r -≤≤+，可得1922≤≤，解得33m --≤≤-，故实数m的取值范围为33⎡⎤--⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题考查利用两圆有公共点求参数的取值范围，若两圆圆心分别为1C 、2C ，半径分别为1r 、2r ，可将问题等价转化为121212r r C C r r -≤≤+来处理.21．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【详解】本试题主要是考查了椭圆的方程和性质的运用，以及直线与椭圆的位置关系的运用．（1）利用椭圆的几何性质得到a,b,c 的关系式，从而解得（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和向量的关系式得到证明．解：(I)由题可知：22{1b c a c =-=解得1a c ==，1b ∴=∴椭圆C 的方程为（II ）设直线：(2)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，11()P x y -，，(10)F ，，由22(2){12y k x x y =-+=，，得2222(21)8820k x k x k +-+-=.所以2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.而2222(1)(12)FN x y x kx k =-=-- ，，，1111(1)(12)FP x y x kx k =--=--+ ，，，1221(1)(2)(1)(2)x kx k x kx k -----+ 1212[23()4]k x x x x =-++22221642442121k k k k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭0=//FN FP∴ ∴N F P 、、三点共线22．（1）2219x y +=；（2）38.【分析】（1）由题意，得到33a a c =⎧⎪⎨-=-⎪⎩c =1b =，即可得到椭圆C 的方程；（2）设直线AM 的方程为(3)y k x =-，进而得到直线AN 的方程为1(3)y x k=--，联立方程组，求得点M 的横坐标21227391k x k -=+，得出,AM AN ,进而得到AMN 的面积的表达式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆222:1(0)9x y C b b+=>上的动点P到右焦点距离的最小值为3-，可得33a a c =⎧⎪⎨-=-⎪⎩c =1b ==，故椭圆C 的方程为2219x y +=.（2）设直线AM 的方程为(3)y k x =-，不妨设0k >.因为0AM AN ⋅= ，则直线AN 的方程为1(3)y x k=--.由22(3),19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222291548190k x k x k +-+-=.设()11,M x y ，因为点A 的坐标为(3,0)，所以212819391k x k -=+，即21227391k x k -=+，所以126||91AM x k =-=+，同理可得2266||991k AN k k ==++，所以AMN 的面积1||||2S AM AN =⋅()()()22213612991k k k k =+⋅++()()()222422218118198299164k k k k k k k k ++==++++()22183891641k k k k =≤+++，当且仅当()2226491k k =+，即43k =时等号成立.所以AMN 面积的最大值为38.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．。
辽宁省沈阳市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题含解析
辽宁省2023-2024学年度上学期期中阶段测试高二年级数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试题满分：150分命题人：高一数学组校对人：高一数学组一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（）A.()1,2,1-- B.()1,2,1- C.()1,2,1--- D.()1,2,1--2.已知M 是椭圆22:159x y C +=上的一点，则点M 到两焦点的距离之和是（）A.6B.9C.10D.183.如图，方程10x y +-=表示的曲线是（）．A. B.C. D.4.,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（）A.3 B.3C.2D.125.设直线l 的方程为sin 20θ--=x y ，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A.[]0,π B.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦6.已知直线l 经过()()1,1,1,0,2,0A B 两点，则点()002P ,,到l 的距离是（）A. B. C.3D.37.圆心在直线x -y -4＝0上，且经过两圆x 2+y 2+6x -4＝0和x 2+y 2+6y -28＝0的交点的圆的方程为（）A.x 2+y 2-x +7y -32＝0B.x 2+y 2-x +7y -16＝0C.x 2+y 2-4x +4y +9＝0D.x 2+y 2-4x +4y -8＝08.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A.,βγαγ<< B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D.,αβγβ<<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间向量,,a b c不共面，则下列各选项中的三个向量共面的有（）A.,,a b b c c a--- B.,,a b b c c a+++ C.,,a b a c b c ++-D.2,32,37-+-++-+ a b c a b c a b10.下列命题正确的是（）A.经过定点()0,2A 的直线都可以用方程2y kx =+表示B.经过两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C.过点()2,1且在两坐标轴上截距相等的直线有2条D.方程222210x y mx y +--+=不一定表示圆11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A.AC 与1BD 的夹角为60︒B.二面角1D AC D --2C.1AB 与平面1ACD 2D.点D 到平面1ACD 的距离为3312.已知点3,12D ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:l 2220kx y k --+=，圆:C 2221x y x +-=，过点(0,2)P -分别作圆C 的两条切线PA ，PB （A ，B 为切点），H 在ABC 的外接圆上，则（）A.直线AB 的方程是210x y +-=B.l 被圆C 截得的3C.四边形PACB 6D.DH 的取值范围为535,22⎣⎦三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知02,01<<<<x y 22222222(1)(2)(2)(1)+++-+-++-+-x y x y x y x y 的最小值是________.14.已知A α∈，直线AB 与平面α所成的角为30︒，直线AC 与平面α所成的角为45︒，6,2AB AC ==，且斜线段,AB AC 在平面α内的射影相互垂直，则BC =________.15.长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，12AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小值是________.16.已知ABC 的顶点()6,0A -，()0,6B ，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为30x y -+=，则顶点C 的坐标是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点P 到定点()1,0F -的距离与到定直线:4l x =-的距离之比为12，（1）求点P 的轨迹方程；（2）若120PFO ∠=︒，求PFO △的面积.18.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,2,5==='AB AD AA ，90,60BAD BAA DAA ''∠=︒∠=∠=︒.求：（1）AC '的长；（2）直线AC '与CD '所成的角的余弦值.19.已知直线1l 的方程为2250x y +-=，若直线2l 在y 轴上的截距为12，且12l l ⊥．（1）求直线1l 和2l 的交点坐标；（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为258，求直线3l 的方程．20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是2，且它们所在的两个半平面所成的角为120︒.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且AM FN x ==.（1）用x 表示出MN 的长度，并求出MN 的长的取值范围；（2）当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成角的余弦值.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点()4,1M -，且与圆22:60+--+=D x y x y a 相切于点()1,2N .（1）求圆C 的方程；（2）圆D 上是否存在点P ，使得2212+=PO PC ？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由；22.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面,//ABCD AB CD ，且2CD =，1,1,,,===⊥AB BC PA AB BC E F 分别为,PD BC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是13？若存在，求出DMDP 的值，若不存任，说明理由；（3）在平面PBC 内是否存在点H ，满足0HD HA ⋅=，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.辽宁省2023-2024学年度上学期期中阶段测试高二年级数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分命题人：高一数学组校对人：高一数学组一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（）A.()1,2,1-- B.()1,2,1- C.()1,2,1--- D.()1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2.已知M 是椭圆22:159x y C +=上的一点，则点M 到两焦点的距离之和是（）A.6 B.9C.10D.18【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可知，椭圆上任何一点到其两焦点的距离之和为定值，且定值为长轴的长度，由此即可得解.【详解】由题意可知椭圆22:159x y C +=中的长半轴长3a ==，设其两焦点分别为12F F 、，又因为点M 是椭圆22:159x y C +=上的一点，所以点M 到两焦点的距离之和是122236MF MF a +==⨯=.故选：A.3.如图，方程10x y +-=表示的曲线是（）．A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】分1y ≥和1y <，去掉绝对值，得到相应的曲线.【详解】10x y +-=，当1y ≥时，10x y +-=，当1y <时，10x y +-=，画出符合题意的曲线，为B 选项，故选：B4.,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（）A.3 B.3C.2D.12【答案】B 【解析】【分析】作图，找到直线PC 在平面PAB 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中进行分析.【详解】解法一：如图，设直线PC 在平面PAB 的射影为PD ，作CG PD ⊥于点G ，CH PA ⊥于点H ，连接HG ，易得CG PA ⊥，又,,CH CG C CH CG ⋂=⊂平面CHG ，则PA ⊥平面CHG ，又HG ⊂平面CHG ，则PA HG ⊥，有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠．已知60,30APC APD ∠=︒∠=︒，故cos cos603cos cos cos303CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==为所求．解法二：如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ，所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，所以6cos ,3||||PC n PC n PC n ⋅〈〉===⋅．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以sin |cos ,|3PC n θ=〈〉= ，所以cos θ==故选B ．5.设直线l 的方程为sin 20θ--=x y ，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A.[]0,π B.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】分sin 0θ=和sin 0θ≠两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.【详解】当sin 0θ=时，方程为2x =，倾斜角为π2α=当sin 0θ≠时，直线的斜率1tan sin k αθ==，因为[)(]sin 1,00,1θ∈- ，则)tan ,1]1,([α∈-∞-+∞ ，所以πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝∈⎦；综上所述：线l 的倾斜角α的范围是π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C ．6.已知直线l 经过()()1,1,1,0,2,0A B 两点，则点()002P ,,到l 的距离是（）A.B. C.433D.263【答案】D 【解析】【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】因为()()1,1,1,0,2,0A B ，()002P ,,，可得(1,1,1)AB =-- ，(1,1,1)=--uu u rAP ，可知||=uu u r AP AP 在AB上的投影为3||⋅=AP AB AB uu u r uu u ruu u r ，则点P 到直线AB的距离为3=.故选：D ．7.圆心在直线x -y -4＝0上，且经过两圆x 2+y 2+6x -4＝0和x 2+y 2+6y -28＝0的交点的圆的方程为（）A.x 2+y 2-x +7y -32＝0B.x 2+y 2-x +7y -16＝0C.x 2+y 2-4x +4y +9＝0D.x 2+y 2-4x +4y -8＝0【答案】A 【解析】【分析】设所求圆的方程为(x 2+y 2+6x -4)+λ(x 2+y 2+6y -28)＝0，用λ表示出圆心，代入直线x -y -4＝0，求出λ，从而可求出所求圆的方程．【详解】根据题意知，所求圆经过圆x 2+y 2+6x -4＝0和圆x 2+y 2+6y -28＝0的交点，设其方程为(x 2+y 2+6x -4)+λ(x 2+y 2+6y -28)＝0，即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy -4-28λ＝0，其圆心坐标为31λ-⎛+⎝，31λλ-⎫⎪+⎭，又由圆心在直线x -y -4＝0上，所以31λ-+-31λλ-⎛⎫⎪+⎝⎭-4＝0，解得λ＝-7，所以所求圆的方程为：(-6)x 2+(-6)y 2+6x -42y +192＝0，即x 2+y 2-x +7y -32＝0，故选：A ．8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A.,βγαγ<< B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D.,αβγβ<<【答案】B 【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间向量,,a b c不共面，则下列各选项中的三个向量共面的有（）A.,,a b b c c a ---B.,,a b b c c a+++ C.,,a b a c b c++- D.2,32,37-+-++-+ a b c a b c a b【答案】ACD 【解析】【分析】根据共面向量的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为()()a b b c c a -=---- ，所以,,a b b c c a --- 共面，故A 正确；对于选项B ：假设存在,λμ∈R ，使得()()λμ+=+++a b b c c a ，整理得()a b a b c μλλμ+=+++ ，则110μλλμ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，即不存在,λμ∈R ，使得()()λμ+=+++a b b c c a ，所以,,a b b c c a +++不共面，故B 错误；对于选项C ：因为()()-=+-+r r r r r r b c a b a c ，所以,,a b a c b c ++- 共面，故C 正确；对于选项D ：因为()()112323722-+=-++--+r r r r r r r ra b c a b c a b ，所以2,32,37-+-++-+a b c a b c a b 共面，故D 正确；故选：ACD.10.下列命题正确的是（）A.经过定点()0,2A 的直线都可以用方程2y kx =+表示B.经过两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C.过点()2,1且在两坐标轴上截距相等的直线有2条D.方程222210x y mx y +--+=不一定表示圆【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线方程的性质和圆的标准方程的性质逐项判断.【详解】对于A ：经过定点()0,2A 且斜率存在的直线才可以用方程2y kx =+表示，斜率不存在时，用方程0x =来表示，故A 选项错误；对于B ：经过两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线有两种情况：当12x x ≠时，直线方程为211121()y y y y x x x x --=--，整理得121121()()()()y y x x x x y y --=--；当12x x =时，直线方程为1x x =，即方程121121()()()()y y x x x x y y --=--成立.综上所述，经过两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示，故B 选项正确；对于C ：当直线在x 轴和y 轴上截距为0时，可设直线方程为y kx =，直线过()2,1，则所求直线方程为12y x =；当直线在x 轴和y 轴上截距不为0时，可设直线方程为1x ya a+=，即x y a +=，直线过()2,1，则所求直线方程为3x y +=.综上所述，过点()2,1且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故C 选项正确；对于D ：222210x y mx y +--+=化为222()(1)x m y m -+-=，所以该方程0m ≠时才表示圆，故D 选项正确.故选：BCD.11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A.AC 与1BD 的夹角为60︒B.二面角1D AC D --C.1AB 与平面1ACD D.点D 到平面1ACD 的距离为33【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1A C B D B ，∴()()11,1,0,1,1,1AC BD =-=-- ，10AC BD ⋅= ，即1AC BD ⊥ ，AC 与1BD 的夹角为90 ，故A 错误；设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z=，()()11,1,0,1,0,1AC AD =-=- ，所以100m AC x y m AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则()1,1,1m = ，平面DAC 的法向量可取()0,0,1n =，二面角1D AC D --的平面角为θ，则cos cos ,3m n θ==，所以2sin cos ,tan 23m n θθ===B 正确；因为()10,1,1AB =，设1AB 与平面1ACD 所成角为α，则1263sin cos ,cos ,tan 23323AB m ααα=⋅====⋅，故C 正确；因为()1,0,0=DA，设点D 到平面1ACD 的距离为d ，则1333DA m d m ⋅===，故D 正确.故选：BCD.12.已知点3,12D ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:l 2220kx y k --+=，圆:C 2221x y x +-=，过点(0,2)P -分别作圆C 的两条切线PA ，PB （A ，B 为切点），H 在ABC 的外接圆上，则（）A.直线AB 的方程是210x y +-=B.l 被圆C 3C.四边形PACB 6D.DH的取值范围为,22⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】求出以PC 为直径的圆的方程，与圆C 的方程联立可得直线AB 的方程判断A ；求出直线l 所过定点，得到圆心到直线l 的最小距离，再由垂径定理求l 被圆C 截得的最短弦的长判断B ；直接求出四边形PACB 的面积判断C ；求解DT ，再分别减去ABC 的外接圆半径与加上ABC 的外接圆半径求得DH 的取值范围判断D ．【详解】对于A ，圆C ：2221x y x +-=，即()2212x y -+=，圆心坐标为()1,0C，半径1r =，又()0,2P -，则PC 的中点为1,12T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又PC =，则以PC 为直径的圆的方程为()2215124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，又圆C ：2221x y x +-=，两式作差可得直线AB 的方程是210x y ++=，故A 错误；对于B ，直线l ：2220kx y k --+=可化为()21220k x y --+=，由210220x y -=⎧⎨-+=⎩，解得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1,12R ⎛⎫⎪⎝⎭，因为221511224⎛⎫-+=< ⎪⎝⎭，所以定点R 在圆C 内，当且仅当CR MN ⊥时，弦长MN最短，又2CR ==，所以MN的最小值为=，故B 正确；对于C ，四边形PACB 的对角线AB 、PC 互相垂直，则四边形PACB 的面积12S AB PC =，圆心()1,0C 到直线AB 的距离d ==，因为5AB ===，PC =，所以125PACB S =⨯=，故C 正确；对于D ，由题意知，ABC 的外接圆恰好是经过P 、A 、C 、B 四点的圆，因为PC 的中点1,12T ⎛⎫-⎪⎝⎭为外接圆的圆心，所以圆上的点H 到点D 距离最小值是22DT r -==，最大值是22DT r +==，所以DH 的取值范围为,22⎥⎣⎦，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知02,01<<<<x y +++的最小值是________.【答案】【解析】【分析】根据两点间距离的几何意义结合图形分析求解.【详解】设()()()()(),,0,0,2,0,2,1,0,1P x y O A B C ，因为02,01<<<<x y ，则点(),P x y 在矩形ABCD 内部，如图所示，22222222(1)(2)(2)(1)++-+-+-+-=+++x y x y x y x y OP CP AP BP ()()25=+++≥+=OP BP CP AP OB AC 当且仅当P 为,OB AC 的交点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，等号成立，故答案为：514.已知A α∈，直线AB 与平面α所成的角为30︒，直线AC 与平面α所成的角为45︒，6,2AB AC ==，且斜线段,AB AC 在平面α内的射影相互垂直，则BC =________.【答案】211【解析】【分析】结合题意作出图形，可得30,45BAD CAE ∠=︒∠=︒，从而可求得,,,AD BD AE CE ，进而证得CE DE ⊥，再利用勾股定理即可得解.【详解】如图，设点B 在平面α内的射影为D ，点C 在平面α内的射影为E ，则,BD CE αα⊥⊥，AE AD ⊥，所以30,45BAD CAE ∠=︒∠=︒，又6,2AB AC ==则33,3,4,4AD BD AE CE ====，所以271643DE =+=，因为,BD CE αα⊥⊥，所以//BD CE ，在线段CE 上取点F ，使得EF BD =，所以四边形BDEF 为平行四边形，所以BF DE ==，//BF DE ，因为,CE DE αα⊥⊂，所以CE DE ⊥，所以CE BF ⊥，又1CF CE BD =-=，所以BC ==故答案为：.15.长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，12AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小值是________.【答案】2.【解析】【分析】先由题意，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出1A 点、C 点坐标，再设出点P 坐标，表示出1,PA PC 的长，根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求出结果.【详解】由题意，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为1AB =，1AD =，12AA =，所以1(1,0,2)A ，(0,1,0)C ，又P 是棱1DD 上的动点，所以，设(0,0,)(02)P z z ≤≤，所以1PA =，PC =1A C ==，因此2222111112cos 2PA PC AC z z CPA PA PCPA PC+--∠==，所以1sin CPA ∠=，因此1111sin 2PA CS PA PC CPA ∆=∠==当且仅当1z =时，取最小值.故答案为32【点睛】本题主要考查空间中的解三角形问题，熟记余弦定理，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.16.已知ABC 的顶点()6,0A -，()0,6B ，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为30x y -+=，则顶点C 的坐标是________.【答案】()3,0或()0,3-【解析】【分析】设顶点C 的坐标是(),m n ，根据重心坐标公式结合外心的定义和性质运算求解.【详解】设顶点C 的坐标是(),m n ，则ABC 的重心坐标为66,33-+⎛⎫⎪⎝⎭m n ，由题意可知：663033-+-+=m n ，即3m n =+，可知线段AB 的中点为()3,3-，斜率()60106-==--AB k ，则线段AB 的中垂线的方程为()33-=-+y x ，即y x =-，联立方程30y x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即ABC 的外心坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由MC MA =，即22223333602222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭m n ，=，解得0n =或3n =-，即()3,0C 或()0,3C-，经检验()3,0C 或()0,3C-均符合题意.故答案为：()3,0或()0,3-.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点P 到定点()1,0F -的距离与到定直线:4l x =-的距离之比为12，（1）求点P 的轨迹方程；（2）若120PFO ∠=︒，求PFO △的面积.【答案】（1）22143x y +=（2）10【解析】【分析】（1）设(),P x y ，根据题意列方程，两边平方化简即可.（2）先在焦点三角形中借助余弦定理求出PF ，然后再利用面积公式求出面积.【小问1详解】设点(),P x y ，点P 到直线l 的距离为d ，依题意有12PF d=，即12PF d =，而4d x =+，142x =+，两边平方化简整理得22143x y +=，所以点P 的轨迹方程为22143x y +=.【小问2详解】由（1）得，2FF '=，1OF =，4PF PF '+=，又120PFO ∠=︒，所以在PFF ' 中，222=2cos PF PF FF PF FF PFO '''+-⋅∠，即65PF =，所以133sin 210PFO S OF PF PFO =⋅∠=.18.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,2,5==='AB AD AA ，90,60BAD BAA DAA ''∠=︒∠=∠=︒.求：（1）AC '的长；（2）直线AC '与CD '所成的角的余弦值.【答案】（1）53（2）2715【解析】【分析】（1）利用向量线性运算可得AC AB AD AA =+'+' ，由向量数量积的定义和运算律可求得2AC ' ，由此可得结果；（2）可知''=-uuu r uuu r uu u rCD AA AB ，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角.【小问1详解】由题意可得：110,4510,25522''⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r AB AD AB AA AD AA ，因为AC AC CC AB AD AA '''=+=++，可得()22222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''=++=+++⋅+⋅+⋅ 1642502102575=++++⨯+⨯=，所以'=uuu rAC AC '的长为.【小问2详解】因为'''=-=-uuu r uuur uuu r uuu r uu u rCD DD DC AA AB ，可得()22222252101621''''=-=-⋅+=-⨯+=uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r CD AA ABAA AA AB AB，即'=uuu r CD 且()()2225165014''''''⋅=++⋅-=-+⋅-⋅=-+-=uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r AC CD AB AD AA AA AB AA AB AA AD AB AD ，则cos ,''⋅''=''uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AC CD AC CD AC CD 所以直线AC '与CD '19.已知直线1l 的方程为2250x y +-=，若直线2l 在y 轴上的截距为12，且12l l ⊥．（1）求直线1l 和2l 的交点坐标；（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为258，求直线3l 的方程．【答案】（1）31,2（）；（2）502x y +-=或94150x y +-=.【解析】【分析】（1）由12l l ⊥，可得直线2l 的斜率21k =，从而可得21:2l y x =+，联立方程组即可求得交点；（2）由题意知3l 的斜率k 存在，设33:(1)2l y k x -=-，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.【小问1详解】（1）因为12l l ⊥，又直线1l 的斜率11k =-,所以直线2l 的斜率21k =,则21:2l y x =+.由112322502x y x y x y =⎧⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪+-=⎩⎩所以直线1l 和2l 的交点坐标为31,2（）.【小问2详解】由题意知3l 的斜率k 存在，设33:(1)2l y k x -=-令0x =得32y k =-，令0y =得312x k=-+，因为直线3l 与两坐标轴的正半轴相交，所以3023102k k ⎧->⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得0k <，1332512228S k k ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由，解得1k =-或94k =-，即35:02l x y +-=或94150x y +-=.20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是2，且它们所在的两个半平面所成的角为120︒.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且AM FN x ==.（1）用x 表示出MN 的长度，并求出MN 的长的取值范围；（2）当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成角的余弦值.【答案】（1）=MN ⎤∈⎦MN （2）35【解析】【分析】（1）过点M 作MG AB ⊥，垂足为G，连接GN ，分析可知2MG x=，22=-GN x ，120MGN ∠=︒，利用余弦定理结合二次函数分析求解；（2）由（1）可知：当且仅当,M N 为相应边的中点时，MN 的长取到最小，取MN 的中点H ，连接,AH BH ，分析可知平面MNA 与平面MNB 所成角为AHB ∠（或其补角），利用余弦定理运算求解.【小问1详解】过点M 作MG AB ⊥，垂足为G ，可知MG ∥BC ，可得==AG AM AB AC ，且22MG AG AM x ===，连接GN ，则==AG NF AB BF ，即GN ∥AF ，可得NG AB ⊥，且22NG x =-，由题意可知：两个半平面所成的角为120MGN ∠=︒，在MGN ，由余弦定理可得=MN=，即=MN (2132=+y x ，因为x ⎡∈⎣，则([]2133,42=+∈y x ，所以⎤∈⎦MN .【小问2详解】由（1）可知：当且仅当x =,M N 为相应边的中点时，MN 的长取到最小，此时====MA NA MB NB ，则≅△△MAN MBN ，取MN 的中点H ，连接,AH BH ，可知,AH MN BH MN ⊥⊥，所以平面MNA 与平面MNB 所成角为AHB ∠（或其补角），因为5,22===AH BH AB ，在ABH 中，由余弦定理可得2223cos 25+-∠==-⋅AH BH AB AHB AH BH ，所以平面MNA 与平面MNB 所成角的余弦值为35.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点()4,1M -，且与圆22:60+--+=D x y x y a 相切于点()1,2N .（1）求圆C 的方程；（2）圆D 上是否存在点P ，使得2212+=PO PC ？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由；【答案】21.()2225x y -+=22.存在，2个【解析】【分析】（1）根据题意利用圆系方程运算求解；（2）设(),P x y ，根据题意可知点P 轨迹是以()1,0M 为圆心，半径5R =析判断.【小问1详解】将点()1,2N 代入圆D 可得圆141120+--+=a ，解得8a =，即圆22:680+--+=D x y x y ，将点()1,2N 表示成“点圆”形式：()()22120x y -+-=，可设圆C 的方程为()()()222268120λ+---+-=++x y x y x y ，代入点()4,1M -可得18270λ+=，解得23λ=-，所以圆C 的方程为()()()22222681203-+--=+--+x x y x y y ，即()2225x y -+=.【小问2详解】由（1）可知：()2,0C ，圆D 的圆心1,32D ⎫⎛⎪⎝⎭，半径52r =，设(),P x y ，因为2212+=PO PC ，即()2222212+++-=x y y x ，整理得()2215x y -+=，可知点P 轨迹是以()1,0M 为圆心，半径R =且(),,222CM R r R r ⎛⎫=∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，可知圆D 与圆M 的位置关系为相交，两圆有2个公共点，所以圆D 上存在2个点P ，使得2212+=PO PC .22.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面,//ABCD AB CD ，且2CD =，1,1,,,===⊥AB BC PA AB BC E F 分别为,PD BC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是13？若存在，求出DMDP 的值，若不存任，说明理由；（3）在平面PBC 内是否存在点H ，满足0HD HA ⋅=，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）过E 作EG AD ⊥交AD 于点G,连接,EG GF ,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明；（2）先求出面PBC 的法向量(0,1,1)n =，设(01)DM tPD t =≤≤,利用向量法结合线面角得正弦值求解即可;（3）由,HD HA H ⊥点在空间内轨迹为以AD 中点为球心,1322AD =为半径的球,而AD 中点到平面PBC 的距离为342<,即可求解.【小问1详解】如图，过E 作EG AD ⊥交AD 于点G,连接,EG GF ,因为,E F 分别为,PD BC 的中点，EG AD ⊥，所以G 也为AD 中点，所以//EG PA ，//GF AB ，而EG ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//EG 平面PAB ，同理//GF 平面PAB ，又因为EG GF G = ，,EG GF ⊂平面EGF ，所以平面//EGF 平面PAB ，而EF ⊂平面EGF ,所以//EF 平面PAB ；【小问2详解】设(01)DM tPD t =≤≤如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,则(0,0,1),(0,1,0),(22,1,0),(22,1,0)P B C D -，故(0,1,1),(22,1,1),(22,1,1),(0,2,0)PB PC PD CD =-=-=--=-，则(2,2,)CM CD DM CD tPD t t t =+=-=--，设平面PBC 的法向量(,,)n x y z = ,则有0220n PB y z n PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩,取(0,1,1)n = ,222||1|cos ,|3||||2(22)(2)n CM n CM n CM t t t ⋅〈〉===⨯-+-+整理得241670t t -+=,解得12t =或72(舍去)，所以当12DM DP =时,直线 C M 与平面PBC 所成角的正弦值是13;【小问3详解】由（2）知，平面PBC 的一个法向量(0,1,1)n =，点(0,1,0),B AD 中点12,,0)2G -，则3(2,,0)2BG =- ,则AD 中点到平面PBC 的距离为330211023224112n n BG ⎛⎫⨯+⨯-+⨯- ⎪⋅⎝⎭=+ ，由0HD HA ⋅= ，即,HD HA H ⊥点在空间内轨迹为以AD 中点为球心,1322AD =为半径的球，故存在符合题意的H ,此时H 轨迹是半径为324的圆.【点睛】假设存在点H ，满足0HD HA ⋅=，设()000,,H x y z ,()000(0,1,1),2,0,0),,1,,BP BC BH x y z =-==-,,BP BC BH 共面，存在唯一实数对(,)x y ,使得BH xBP yBC =+,所以()000,1,,,)x y z x x -=-，0001,x y x z x ⎧=⎪∴-=-⎨⎪=⎩则0001x y x z x⎧=⎪=-+⎨⎪=⎩，,1,)H x x ∴-+，,2,)HD x x ∴=---，(,1,),HA x x =---2)(2)(1)0,HD HA x x x ∴⋅=--+--+= 整理得，2231421991664x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，。
高 二 数 学 月 考 试 题
高二年级2010-2011学年第一 学期第一次月考测试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是 ( ) A ．割圆术B ．更相减损术C ．秦九韶算法D ．孙子乘余定理2．在输入语句中，若同时输入多个变量，则变量之间的分隔符号是 ( ) A ．逗号 B ．空格 C ．分号 D ．顿号 3．假设a=123,那么在执行b=a/10-a\10后b 的值为 ( ) A ．0 B ．12 C ．3 D ．0.34. 某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人；甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法： ①应该采用分层抽样法；②高一、高二年级应分别抽取100人和135人； ③乙被抽到的可能性比甲大；④该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生.其中正确说法的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 从2 008名学生中选取50名学生参加数学竞赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2 008人中剔除8人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人,则在2 008人中,每人入选的机会 （ ） A.不全相等 B.均不相等 C. 都相等,且为251004D.都相等,且为1406．下列各数中，最小的数是 （ ） A. (2)111111 B. (8)105 C. (6)200 D. 75 7. 方程x 2+y 2+2ax-2ay=0(a ≠0)表示的圆（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称（C ）关于直线x-y=0对称 （D ）关于直线x+y=0对称8．如果下边图形所示程序执行后输出的结果是132，那么在程序until 后面的“条件”应 为 ( ) A. i > 11 B. i >=11 C. i <=11 D. i<119．下边图形所示程序执行后输出的结果是 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．210.200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如右下图所示，则时速在 [50，70)的汽车大约有 （ ） Ａ．60辆 B ．80辆 Ｃ．70辆 Ｄ．140辆11.如果 AB ＞0, BC ＞0, 那么直线 Ax-By-C=0 不经过的象限是（ ）(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限12. 若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1有两个公共点，则点P （a ，b ）与圆的位置关系是：（A ） 在圆上 （B ） 在园外 （C ）在圆内 （D ）以上都有可能二、填空题（每题5分，共20分） 13.如下程序）要使输出的y 值最小，则输入的x 的值为 .14．若1+3+5+7+…+n ﹥10000,设计一个程序,寻找满足条件的最小整数n. S=0 n=1WHINE S ﹤﹦10000 S=S+n n=n+2 WENDPRINT “最小整数为” ;------- END画线部分应填多少?15. 经过点P （2，-3）作圆x 2+y 2=20的弦AB ，且使得点P 平分AB ，则弦AB 所在直线的方程是 16. 分别写出下列算法语句（1），（2）运行的结果（1）--------，（2）------- （ 1） （2）S=0 s=0 i=0 i=0 DO DOS=S+i i=i+1 i=i+1 S=S+iLOOP UNTIL S ﹥ 20 LOOP UNTIL S ﹥ 20 PRINT i PRINT i END END三、解答题（6大题，共70分. 解答须写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤） 17. 已知如下算法：（1）指出其功能（用算式表示），（2）将该算法用流程图表示出来。
河南省部分学校2022高二数学上学期11月联考试题Apdf
.7．已知直线l:x-my —l =O 与圆C:X 2+y 2+2x —24=0相交于M,N 两点，则IMNI 的最小值为A . 2互B. 2互C.厚D.可河南省部分学校2022高二上学期11月联考数学(A卷）试题8．如图，在长方体ABCD -A ]凡C ]队中，AB =AD =2,AA 1=l,P,M 分别为线段BC,A ]凡的中点，Q,N 分别为线段几C1,AD 上的动点，若P Q.l_MN ，则线段QN 的长度的最小值为A .雇C．乔B．屈D.2D Q l ,r------AA二c考生注意：l ．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修笫一册。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线x+2y —5=0的一个方向向量是m =(2,k)，则实数K的值为A. 4B. -4C. 1D.—12若方程x 2+y 2+2kx-4y ＋妒十k-2=0表示的曲线是圆，则实数K的取值范围是A.（—6，十=)B.[—6,+=)C.（—=,6]D.（—=,6)>》》3如图，在三棱柱ABC -A 1B 心中，G 是BC1与比C 的交点，若AB =a ,AC =b ,AA 1J ,=c，则A1G =Ata ＋沪飞eB沪－归＋te/ABt,/、、`'A1, 1., 1 C.-—a+—b+�c 2 2 2 1 1 1 D.�a+—b+�c 2 2 22 24．已知椭圆C::飞=l (a>O )的焦点分别为F)（—岛，o ），凡（瓦，o )，则C 的离心率为昼2A 3_4 B1_2 c1_4 D 5，已知直线l 的一个方向向量是a =(1,2,—了），平面a 的一个法向量是b =（—4,m ,2)，若l ／压，则m = 229．已知双曲线C::—汾＝l 的离心率为迈且C 过点（迈，－1），直线l:y =k(x-2)与C 的右支有两个不同的交点，则实数K的取值范围是A.（—~,—1) u(1，十=)C.（—我，屈）10.巳知a>O ，直线伈x+ay =2a+4与y 轴的交点为A ，如2x+ay =2a+8与x 轴的交点为B ,l 1与l 2的交点为C ．当四边形OACB 的面积取最小值时，点B 到直线h的距离是屈＿3A A. 6立32 B11.过椭圆C ：气十斗＝l(a>b>O)的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为3易，过点P(2,1)且斜率为—1a b的直线与C 相交于A,B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为B. 2拉＋312．在如图所示的四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PADJ_平面ABCD,PA =PD ＝岛，一一2病AB =4，点M在侧棱PB 上，且PM =入PB ，直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值是—-，则实数入9的值是1A.—2l 17C.—或—2 22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省本溪市本溪县高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题(含答案)
2022-2023学年度上学期高二第一次月考试题数学考试时间：120分钟 试卷总分：150分命题范围：必修第一册+第二册+第三册+第四册的第九章+必修四的第十章结束占20%；必修四的第十一章+选择性必修一第一章+第二章2.1~2.4（曲线方程）结束占80%说明：本试卷由第1卷和第11卷组成.第1卷为选择题，第11卷为主观题，按要求答在答题纸相应位置上.第I 卷（选择题60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）1.已知复数3i213iz +=+-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在ABC 中，若45,60,A B BC ===AC =（ ）B. C. D. 3.如图所示的Rt O A B '''中，O A A B =''''，斜边1O B ''=，该图是一个平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是（ ）B.1 D. 4.已知()()6,0,2,1,21,2a b λμλ==+-，若a b ∥，则实数,λμ的值分别为（ ） A.11,52B.11,52--C.5，2D.5,2--5.甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12,23，则谜题没被破解的概率为（ ） A.1 B.56 C.13 D.166.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）A.13.25立方丈B.26.5立方C.53立方丈D.106立方丈7.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3y x =+的最短距离为（ ）B.1C.2D. 8.如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示.则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（ ）A.CD 与BE 是异面直线B.异面直线AB 与CD 所成角的大小为45C.由A B C ､､三点确定的平面截球所得的截面面积为3πD.球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为3二､多项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）9.下列说法中，正确的有（ ）A.过点()1,2P 且在,x y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B.圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是外切C.直线10x -+=的倾斜角为60D.过点()5,4且倾斜角为90的直线方程为50x -=10.已知函数()()()122log 2log 4f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A.()f x 的定义域是[]4,2- B.()1y f x =-是偶函数C.()f x 在区间[)1,2-上是增函数 D.()f x 的图象关于直线1x =-对称11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（ ）A.多面体有12个顶点，14个面B.多面体的表面积为3C.多面体的体积为56D.多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）12.已知曲线4C =，以下判断正确的是（ ） A.曲线C 与x 轴交点为()2,0± B.曲线C 关于原点对称C.曲线C.的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣D.曲线C第I 卷（主观题90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.平面α的法向量为m ，若向量AB m ⊥，则直线AB 与平面α的位置关系为__________.14.函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为__________. 15.已知向量,a b 满足||1,||2,||3a b a b ==-=，则a b -在b 上投影的数量为__________. 16.已知圆22:240C x y x y m ++-+=与y 轴相切，过()2,4P -作圆C 的切线则切线1的方程为__________.四､解答题（本大题共6小题，共计70分）17.（本小题满分10分）已知直线12:330,:20l ax y l x y ++=++=. （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l ∥时，求直线1l 与2l 之间的距离.18.（本小题满分12分）已知()()1,4,2,2,2,4a b =-=-. （1）若12c b =，求cos ,a c 的值； （2）若()()3ka b a b +⊥-，求实数k 的值.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是矩形，1326BC CC ==，D 为AB 的中点，且1A D =（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1CB 与平面1A CD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，G 是棱1CC 上一点，且12C G GC =.（1）证明：EF ∥平面11ABB A ；（2）从①三棱锥1C ABC -的体积为1；①1C C 与底面ABC 所成的角为60°；①异面直线1BB 与AE 所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角A EG F --的余弦值. 22.已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =. （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分①EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由.2022-2023学年度上学期高二9月月考试题数学试卷标准答案一､【单项选择题】1.A2.C3.A4.A5.D6.B7.A8.C二､【多项选择题】9.BD 10.BCD 11.ACD 12.BCD【详细解答】1.3i22i 13iz +=+=+-由复数的几何意义可知选A. 2.在ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC AC A B =，即2sin45sin60AC=，解得：AC =故选C ；3.画出原图形AOB ，如图所示，在Rt O A B '''中，,1O A A B O B ''''''==，则2O A ''=，故在原图形AOB中，,1OA OB OA OB ⊥==，所以这个平面图形的面积是112⨯=故选：A.4.()()()()6,0,2,1,21,2,1,21,26,0,2a b x λμλλμλ==+-∴+-=，1165210,1222x x λλμμλ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪∴-=∴⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故选A5.设“甲独立地破解出谜题”为事件A ，“乙独立地破解出谜题”为事件B ，()()12,23P A P B ==，故()()12,23P A P B ==，所以()111236P AB =⨯=，即谜题没被破解的概率为16.选D ； 6.由题意，下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈. 则刍童的体积为()()124332342326.56V ⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⎣⎦丈.故选B . 7.由直线与圆的位置关系可知选A8.取,DF EF 中点,N M ，连接,,,,,AB BC AC BM MN CN ，如图，因BEF 为正三角形，则BM EF ⊥，而平面BEF ⊥平面DFE ，平面BEF ⋂平面DFE EF =，BM ⊂平面BEF ，于是得BM ⊥平面DFE ，同理CN ⊥平面DFE ，即,BM CN BM CN ==∥因此，四边形BCNM 是平行四边形，有BC NM DE ∥∥，则直线CD 与BE 在同一平面内，A 不正确； 由选项A ，同理可得AB DF ∥，则异面直线AB 与CD 所成角等于直线DF 与CD 所成角60，B 不正确；由选项A 知，132BC MN DE ===，同理可得3AB AC ==，正ABC 外接圆半径r = 由A B C ､､三点确定的平面截球所得的截面圆是ABC 的外接圆，此截面面积为3,C π正确；体积为36π的球半径R ，由34363R ππ=得3R =，由选项C 知，球心到平面ABC 的距离d ==由选项A ，同理可得点A 到平面DFE 的距离为，即平面ABC 与平面DFE 的距离为，所以球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为3R d BM ++=+，D 不正确. 故选：C9.过点()1,2P 且在,x y 轴截距相等的直线有两条，一条经过原点，另一条不经过原点，故A 错误； 一个圆的圆心为()0,0，半径为2，另一圆的圆心为()4,3，半径为3，根据圆与圆的位置关系可知B 正确；由于直线10x -+=30，故C 错误； 过点()5,4且倾斜角为90的直线方程为50x -=，故D 正确，故答案为：BD .10.对于A ，由题意可得函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦，由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为()4,2-，故A 错误；对于()()()2,1log 33B y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()()2log 33g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦， 即()1y f x =-是偶函数，故B 正确： 对于C ，()()()()22222212log 24log 28log (1)9log (1)9f x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+=--+=--++=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦令2(1)9t x =-++，可得12log y t =，当[)1,2x ∈-时，2(1)9t x =-++是减函数，外层函数12log y t =也是减函数， 所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 正确；对于()()()()2,2log 42D f x x x f x ⎡⎤--=-+-=⎣⎦，得()f x 的图象关于 直线1x =-对称，故D 正确.故选BCD .11.解：可将半正多面体补成棱长为1的正方体，其顶点是正方体各棱的中点，总共有12个顶点，6814+=个面，故A 正确；半正多面体的棱长为2，表面积为22863S =+⨯=⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 体积可看作正方体割去八个三棱锥，31115182326V ⎛⎫∴=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故C 正确；又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以该多面体有外接球，故D 正确.故选ACD .12.对于A ，令0y =，有214,x x +==x 轴的交点为()),，故A 错误；对于B ，若(),x y 4=，将(),x y --代入得：4,==即曲线C 是关于原点对称的，故B 正确；对于C ，欲求y 的范围，只需令0x =即可，有2214,5y y -==或3-（舍），y ∴=y 的取值范围是⎡⎣，故C 正确；对于D ，设曲线C 上的点的坐标为(),x y ，到原点的距离的平方为222r x y =+，4=4=，()2221164r y ∴+=+，如欲r 尽可能地小，则20y =，解得2min min 3,r r ==D 正确；故选BC D.三､【填空题】13.AB ⊂平面α或AB ∥平面α. 14.()5112,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【注：不写k Z ∈不给分】 15.32-16.2x =-或34100x y +-= 【详细解答】13.由题意，平面α的法向量为m ，向量AB m ⊥，若AB ⊂平面α，则AB m ⊥成立，若AB ⊄平面α，则AB ∥平面α，∴直线AB 与平面α的位置关系为AB ⊂平面α或AB ∥平面α， 故答案为：AB ⊂平面α或AB ∥平面α.14.()sin sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令322,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得51122,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5112,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 15.因为1,2,3a b a b ==-=，所以222()23a b a b a b -=+-⋅=，所以1a b ⋅=，所以a b -在b上投影的数量为()2143222a b b a b b b-⋅⋅--===-. 16.由圆22:240C x y x y m ++-+=，得22(1)(2)5x y m ++-=-，因为圆22:240C x y x y m ++-+=与y 1=，解得4m =当过()2,4P -的直线的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-， 圆心到直线2x =-的距离为1，符合题意；当过()2,4P -的直线的斜率存在时，设直线方程为()24y k x =++，1=，解得34k =-，则切线l 的方程为3542y x =-+，即34100x y +-=.所以满足条件的切线l 的方程为2x =-或34100x y +-=.四､【解答题】【详细答案】17.【解析】（本小题满分10分）（1）直线1212:330,:20,l ax y l x y l l ++=++=⊥， 所以30a +=，解得3a =-. （2）当12l l ∥时，3a =，直线1:330l ax y ++=为：10x y ++=， 所以直线1l 与2l之间的距离为：d ==18.【解析】（本小题满分12分） 因为已知()()1,4,2,2,2,4a b =-=-， （1）若()11,1,22c b ==-， 则144cos ,116a c a c a c -++-⋅===⋅+. （2）()()()223133ka b a b ka k a b b +⋅-=+-⋅-()()21132883240,k k=+-⨯-+--⨯=求得实数7427k =. 19.（1）由已知得113AA CC ==，1AD =，1A D =， 22211AD AA A D ∴+=，1AA AD ∴⊥，11//CC AA ，1CC BC ⊥，1AA BC ∴⊥，又AD BC B =，且AD ，BC ⊂平面ABC ，1AA ∴⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，1CD AA ∴⊥，在正三角形ABC 中，D 为AB 的中点，则CD AB ⊥， 又1AB AA A ⋂=，CD平面11ABB A ；（2）如图所示，取BC 的中点为O ，11B C 的中点为Q ，由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而OA ，OB ，OQ 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OQ ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0C -，12D ⎛ ⎝⎭，(1A ，()11,3,0B ，3,0,22CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1CA =，()12,3,0CB =， 设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30230x z x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩， 令1x =，则z =23y =，所以21,,3n ⎛= ⎝，设直线1CB 与平面1A CD 所成角为θ，则1113130sin cos ,65n CB n CB n CB θ⋅===⋅20.【解析】（本小题满分12分）（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=， 所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d ==则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB = 所以公共弦长为【解法一】设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫-⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +-+-=.【解法二】由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得x =；当x =时，y =；当x =y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b ⎧⎛⎛⎛⎛⎪+=+ ⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222321722222r ⎛⎫⎛=-+--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（1）证明：取11A B 的中点M ，连接ME ，MB ，因为E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则11////ME B C BF ，111122ME B C BC BF ===， ∴四边形MEFB 为平行四边形，//EF MB ∴，EF ⊂/平面11ABB A ，MB ⊂平面11ABB A ，//EF ∴平面11ABB A .（2）解：在平面ACC 1中过点1C 作1C O AC ⊥于O ，连接OB ， 平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1C O ∴⊥平面ABC ，选择条件①：三棱锥1C ABC -的体积1111121332ABCV C O SC O =⋅⋅=⋅⋅⨯，1C O ∴= 在1Rt C OC中，1OC =，∴点O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥，故以O 为原点，OB ､OC ､1OC 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)B，(0,E -，1,02F ⎫⎪⎪⎝⎭，20,3G ⎛⎝⎭，∴33,22EF ⎛=⎝，50,,3EG ⎛= ⎝⎭， OB AC ⊥，平面ABC 平面11ACC A AC =，OB ⊂平面ABC ， OB ∴⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A 即平面AEG 的一个法向量为()3,0,0=OB ，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则00nEF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3022503x y y z +=⎪⎨⎪=⎪⎩，令1y =，则3x =，z =，∴23,1,3n ⎛= ⎝⎭，cos ,||||3OB nOB n OB n ⋅∴===⋅⨯，显然二面角A EG F --为锐二面角，故二面角A EG F --. 选择条件①：1C C 与底面所成的角为60︒，160C CO ∴∠=︒，1OC ∴=，∴点O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥，故以O 为原点，OB ､OC ､1OC 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则)B，(0,E -，1,02F ⎫⎪⎪⎝⎭，20,3G ⎛⎝⎭，∴33,22EF ⎛=⎝，50,,3EG ⎛= ⎝⎭， OB AC ⊥，平面ABC 平面11ACC A AC =，OB ⊂平面ABC ， OB ∴⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A 即平面AEG 的一个法向量为()3,0,0=OB ，设平面EFG 的法向量为(),,n x yz =，则00n EFn EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30253x y y z +=⎨⎪=⎪⎩，令1y =，则x =z =，∴23,1,3n ⎛=⎝⎭， cos ,||||3OB nOB n OB n ⋅∴===⋅⨯，显然二面角A EG F --为锐二面角，故二面角A EG F --. 选择条件①：11BB AA ∥，1A AE ∴∠即为异面直线1BB 与AE 所成的角，即130A AE ∠=︒， 12AA =，11A E =，160AA E ∴∠=︒，即160C CO ∠=︒，1OC ∴=，故以O 为原点，OB ､OC ､1OC 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)B，(0,E -，1,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,33G ⎛⎝⎭，∴33,22EF ⎛=⎝，50,,3EG ⎛= ⎝⎭， OB AC ⊥，平面ABC 平面11ACC A AC =，OB ⊂平面ABC ， OB ∴⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A 即平面AEG 的一个法向量为()3,0,0=OB ，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则00n EF nEG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3025033x y y z +=⎨⎪-=⎪⎩， 令1y=，则3x =，z =，∴23,1,3n ⎛= ⎝⎭，cos ,||||3OB nOB n OB n ⋅∴===⋅⨯，显然二面角A EG F --为锐二面角，故二面角A EG F --.22.【解析】（1）设(),P x y ，由于2PB PA =.=224x y +=. （2）①设存在定点Q 满足条件，设直线l 的方程为y kx b =+.设()()1122,,,E x y F x y .联立224y kx bx y =+⎧⎨+=⎩， 化为：22()4x kx b ++=，所以()2221240,Δ0kxkbx b +++-=>.212122224,,11kb b x x x x k k-∴+=-=++无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，则0kDE kDF +=所以1212033y y x x +=--.所以()()()()1221330kx b x kx b x +-++-=， 所以()()12122360kx x b k x x b +-+-=，所以()22242236011b kbk b k b k k -⋅---=++， 化为：33430..144k b k b y b x ⎛⎫+=∴=-∴=-+ ⎪⎝⎭，可得直线经过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭. ②如果斜率不存在时，直线过定点Q 时，满足题意.∴存在过定点4,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线C 相交于不同两点,E F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠.。
2023-2024学年江苏省常州市高二上学期11月月练数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高二上册11月月练数学模拟试题一、单选题1．已知(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，则=a （）A ．2B ．92C ．2或8-D ．2或92【正确答案】D【分析】分(2,0),(4,)-A B a 在:3410l x y -+=的同侧和异侧分类讨论求解.【详解】（1）若(2,0),(4,)-A B a 在:3410l x y -+=的同侧，则34AB l k k ==，所以364a =，92a =，（2）若(2,0),(4,)-A B a 在:3410l x y -+=的异侧，则(2,0),(4,)-A B a 的中点1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭在直线:3410l x y -+=上，所以420a -=解得2a =,故选:D.2．“2b ac =”是“,,a b c 成等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不必要也不充分条件【正确答案】B【详解】分析：先说明必要性，由a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得b 2=ac ；再说明充分性，可以举一个反例，满足b 2=ac ，但a 、b 、c 不成等比数列，从而得到正确的选项．解答：若a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得：b 2=ac ，∴“b 2=ac”是“a ，b ，c 成等比数列”的必要条件；若b=0，a=2，c=0，满足b 2=ac ，但a 、b 、c 显然不成等比数列，∴“b 2=ac”是“a ，b ，c 成等比数列”的非充分条件．∴“b 2=ac”是“a 、b 、c 成等比数列”的必要非充分条件．故选B点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．解题的关键应用a ，b ，c 成等比数列时，一定要考虑a ，b ，c 都等于0的特殊情况．3．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，若12π3F AF ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．14B ．34C ．12D 【正确答案】C【分析】求出1,c =1π6F AO ∠=，则1m m ，得到a ，则得到离心率.【详解】由题意可得1,c b m ==，如下图所示：又因为12π3F AF ∠=,根据对称性可得1π6F AO ∠=,可得11tan F AO m ∠==解得m =.故2a =，故离心率为12c a =，故选：C.4．已知圆1C ：()()22341x y -++=与2C ：()()2239x a y a -+-+=恰好有4条公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．((),11-∞+∞ C ．()0,4D ．()(),13,-∞-⋃+∞【正确答案】D【分析】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得a 的取值范围.【详解】因为圆1C ：()()22341x y -++=与2C ：()()2239x a y a -+-+=恰好有4条公切线，所以圆1C 与2C 4>，解得3a >或1a <-，即实数a 的取值范围是()(),13,-∞-⋃+∞.故选：D.5．在数列{}n a 中，12a =，对任意正整数m ，n ，m n m n a a a +=恒成立，n S 为{}n a 的前n 项和，若254n S =，则n =（）．A ．7B ．6C ．5D ．4【正确答案】A【分析】令1m =可求出公比q ，得出等比数列前n 项和，进而得解.【详解】令1m =，由m n m n a a a +=可得11n n a a a +=，即112n na a a +==，所以该数列为等比数列，12a q ==，所以()()11122122121n n n n a q S q +--===---，令254n S =，解得7n =.故选：A6．已知抛物线C ：24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，点F 是抛物线C 的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于另一点N ，O 为坐标原点，则点M 到ON 的距离为（）A ．25BC ．45D【正确答案】D【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，设M 的纵坐标为2，即可求出M 的横坐标，从而得到M 、N 的坐标，再利用等面积法计算可得.【详解】解：抛物线C ：24y x =的焦点坐标为()1,0F ，又M 到x 轴的距离为2，不妨令2M y =，则224M x =，解得1M x =，即()1,2M ，此时直线MF 为1x =，所以()1,2N -，所以ON ==M 到ON 的距离为d ，则1122ONM S ON d MN OF ==⋅，即114122=⨯⨯，解得d =故选：D7．设等差数列{}n a 满足11a =，()*0N n a n >∈，其前n 项和为n S，若数列也为等差数列，则102n nS a +的最大值是（）A ．310B ．212C ．180D ．121【正确答案】D【分析】设数列{}n a 的公差为d ，得到()11n a n d =+-，()1112n n n d S ++-⎡⎤⎣⎦=，然后利用数列为等差数列，得到=2d =，即可得到2102121242n n S a n +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，根据数列2121242n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭的增减性即可得到1011221121n n S S a a +≤=.【详解】解：∵等差数列{}n a 满足11a =，()0n a n >∈*N ，设公差为d ，则()11n a n d =+-，其前n 项和为()1112n n n d S ++-⎡⎤⎣⎦=，=1===∵数列也为等差数列，∴=∴1=解得2d =．∴()21010n S n +=+，()2221na n =-，∴221021012121242n n S n a n n ++⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，由于2121242n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调递减数列，∴2101122111121n n S S a a +≤==，故选：D ．8．已知双曲线C ：2214y x -=的左、右顶点为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若PD QD μ=且2DQP DPQ ∠=∠，则μ=（）ABCD 【正确答案】D【分析】设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，由4DP DQ k k ⋅=得出3cos 3θ=，再由正弦定理||||sin 2sin DP DQ θθ=得出μ.【详解】如图所示，设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，设11(,)D x y ，则221114y x -=，即212141y x =-，由双曲线方程可得(1,0),(1,0)P Q -，所以211121114111DP DQy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，又2DQP DPQ ∠=∠，tan ,tan(2)DP DQ k k θπθ==-，则tan tan(2)4θπθ⋅-=，解得tan 2θ=，则3cos 3θ=，在三角形DPQ 中，由正弦定理||||sin 2sin DP DQ θθ=，可得||sin 2232cos ||sin 3DP DQ θμθθ====故选：D 二、多选题9．已知圆()()221:1311C x y -+-=与圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，则下列说法正确的是（）A ．若圆2C 与x 轴相切，则2m =B ．若3m =-，则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为()246220x m y m +-++=D ．直线210kx y k --+=与圆C 1始终有两个交点【正确答案】BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线210kx y k --+=过定点()2,1以及()2,1在圆C 1内判断即可.【详解】因为221:(1)(3)11C x y -+-=，222:(1)()4C x y m ++-=，对A ，故若圆2C 与x 轴相切，则有||2m =，故A 错误；对B ，当3m =-时，1262C C =>+B 正确；对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程24(62)20x m y m +-+-=，故C 错误；对D ，直线210kx y k --+=过定点()2,1，而22(21)(13)511-+-=<，故点()2,1在圆221:(1)(3)11C x y -+-=内部，所以直线210kx y k --+=与圆1C 始终有两个交点，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 是公比1q ≠的正项等比数列，M 是3a 与11a 的等比中项，N 是5a 与9a 等差中项，则下列说法正确的是（）A ．72a N =B ．227a M=C ．M N <D ．M N>【正确答案】BC【分析】首先利用等差，等比中项的定义，判断AB ；再利用基本不等式判断CD.【详解】由等比中项的定义可知，223117M a a a =⋅=，等差中项的定义可知，592N a a =+，592a a N +=故A 错误，B 正确；若M 是负数，则M N <，若M 是正数，则M =592a a N +=，因为数列{}n a 是公比1q ≠的正项等比数列，所以59a a ≠，根据基本不等式可知M N <，故C 正确；D 错误.故选：BC11．已知数列{}n a 满足()111,2n n n a a a n N *+=+=∈，则下列结论中确的是（）A ．45a =B ．{}n a (2,n n ≥∈N )为等差数列C ．2024122023213a a a -++⋯+=D ．2023122022223a a a -++⋯+=【正确答案】ACD【分析】A.逐项求解判断；B.利用等差数列的定义判断；C.利用并项求和判断；D.利用并项求和判断.【详解】由11a =，则1222,1a a a +==，又2334,3a a a +==，同理33442,5a a a +==，故A 正确；因为21320,2a a a a -=-=，所以{}n a 不是等差数列，故B 错误；1220231235204222023()()()a a a a a a a a a a=+++++++++++ 1011101220242420224(14)412112+2++2=1+==1433---=+- ，故C 正确；()()()122022123420212022a a a a a a a a a +++=++++++ ()101110112023132021214242222+2++2===1433-⨯--=- ，故D 正确.故选：ACD12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（）A ．椭圆的长轴长为B ．线段AB 长度的取值范围是4,2+⎡⎣C ．ABF △面积的最小值是4D ．AFG 的周长为4+【正确答案】ABD【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断A ；由椭圆性质可判断B ；取特值，结合OA 长度的取值范围可判断C ；由椭圆定义可判断D.【详解】由题知，椭圆中的几何量2b c ==，得a =2a =，A 正确；2AB OB OA OA =+=+，由椭圆性质可知2OA ≤≤，所以42AB ≤≤+B 正确；记AOF θ∠=，则11sin sin()22ABF AOF OBF S S S OA OF OB OF θπθ=+=⋅+⋅- sin 2sin (2)sin OA OA θθθ=+=+取6πθ=，则1111422ABF S =+≤+⨯ ，C 错误；由椭圆定义知，2AF AG a +==，所以AFG 的周长4L FG =+=+，D 正确.故选：ABD三、填空题13．已知圆C 的圆心为(1,0)-，且圆C 经过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的标准方程为___________．【正确答案】22(1)9x y ++=【分析】求出抛物线的焦点坐标，从而求出圆的半径，得到圆的标准方程.【详解】因为抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以圆C 的半径为3，则圆C 的标准方程为22(1)9x y ++=．故答案为.22(1)9x y ++=14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若231152a a a ⋅=，且4128S S S λ+=，则λ=__________.【正确答案】83【分析】由231152a a a ⋅=可得42q =，根据前n 项和公式即可求解.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以有22311752a a a a ⋅==，所以247252a q a ==，所以1q ≠，因为4128S S S λ+=，所以4128111(1)(1)(1)111a q a q a q q q qλ---+=---，即412811(1)q q q λ-+-=-，即：321212(12)λ-+-=-，解得.83λ=故答案为.8315．已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,,e e P 是它们的一个公共点.若1260F PF ∠=︒，则12e e ⋅的最小值为__________.【分析】根据椭圆和双曲线的定义、余弦定理列方程，结合基本不等式求得12e e ⋅的最小值.【详解】设椭圆1C 对应11,,a b c ，双曲线2C 对应22,,a b c ，12,PF m PF n ==，所以12m n a +=，两边平方得222124m n mn a ++=①，22m n a -=，两边平方得222224m n mn a +-=②，①+②并整理得22221222m n a a +=+；①-②并整理得2212mn a a =-.由余弦定理得22241cos 6022m n c mn +-︒==，整理得2224m n c mn +-=，所以222221212224a a c a a +-=-，2221234a a c +=，所以22212121212121221331144a a a a c c c e e a a a a a a a a ⎛⎫+⋅=⋅==⋅=+ ⎪⎝⎭142≥⨯，当且仅当1212213,a a a a a ===时等号成立.故216．数列{}n a 中，112a =，()()*11N 1n n n na n a n na ++=∈+，若不等式()2410n n n a t n ++-≥对所有的正奇数n 恒成立，则实数t 的取值范围为__________．【正确答案】28,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】对已知等式变形可得1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得()11n a n n =+，将问题转化为45n t n ++≥，对所有的正奇数n 恒成立，然后求出45n n++的最小值即可.【详解】解：由()()*111nn n na n a n N na ++=∈+，得()()*1111N 1n nn n a na +-=∈+，则1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，所以1211nn n na =+-=+，所以()11n a n n =+，不等式()2410nn n a t n ++-≥对所有的正奇数n 恒成立，即45n t n++≥，对所有的正奇数n 恒成立，当1n =时，4510n n++=，当3n =时，4285103n n ++=<，()45f n n n=++在*N n ∈且3n ≥上单调递增，所以()min 283f n =，则实数t 的取值范围为28,3⎛⎤-∞ ⎝⎦．故答案为.28,3⎛⎤-∞ ⎝⎦四、解答题17．数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．(1)求2a ，3a ；(2)设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式．【正确答案】(1)232a =，352a =-(2)证明见解析，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】（1）由数列{}n a 的递推关系，令2n =和3n =即可求出答案；（2）由题意可求出1n b +=12n b ，即可求出数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，即可求出{}n b 的通项公式.【详解】（1）由11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，令2n =，则2113122a a =+=，令3n =，则32354422a a =-=-=-故232a =，352a =-；（2）()()()()12221212111221221421222n n n n nb a a n a n a n n ++++=-=++-=+-=-+-()2211112222n n n a a b =-=-=．因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．已知圆C 与x 轴相切，圆心C 在直线2y x =上，且与y轴正半轴相交所得弦长为(1)求圆C 的方程；(2)过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 交圆于C ，于E ，F两点，且EF =l 的方程．【正确答案】(1)22(1)(2)4x y -+-=(2)12x =或6850x y -+=【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),2m m ，再利用与x 轴的正半轴相切，截y轴所得弦的弦长为（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222EF R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）设圆心(,2)C m m ，因为圆C 与x 轴的正半轴相切，所以0m >，圆C 的半径为2m ，因为圆C 截y轴所得弦的弦长为所以222(2)m m +=，即233m =，又0m >，所以1m =，所以圆22:(1)(2)4C x y -+-=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以方程为：12x =，代入22(1)(2)4x y -+-=中解得：22y =±，此时22EF ⎛⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：11(22202y k x kx y k -=-⇔--+=，由圆心()1,2C 到直线l 的距离为：d =，由2222EF R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22222⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得：34k =，所以直线l 的方程为：6850x y -+=，综上，直线l 的方程为：12x =或6850x y -+=.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且111a b ==，32312S b ==．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若1n n n n c a b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32=n a n -，14n n b -=(2)()121141133nn n T -⋅=+【分析】（1）利用基本量的计算即可求解等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法和等比数列前n 项和公式求解即可【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意得：13312a d +=，解得：3d =，所以()13132n a n n =+-=-，由2312b =得：24b =，所以214a q a ==，所以14n n b -=（2）()113244n n n n n n b c a b n -+==+-⋅+，则()2344474324n n T n =+⨯+⨯+-'+ ①，()2341444474324n n T n +=+⨯+⨯+-'+ ②，两式相减得：()23413434343434324n n n T n +-=+⨯+⨯+⨯+⨯--'+ ()()111164433241233414n n n n n +++-=+⨯--=-+--，所以()1414n n T n +=+-'，{}n b 的前n 项和为413n -，所以()121141133nn n T -⋅=+.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点()()2,0,0,1A B --.(1)求椭圆C 的方程及其离心率；(2)若P 为椭圆C 上第一象限的点，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N ，且有//MN AB ，求点P 的坐标.【正确答案】(1)2214x y +=(2)2⎭【分析】（1）由题意可得2,1a b ==，继而求出c ，即可得方程和离心率；（2）设(),P m n ，则2214m n +=，又由//MN AB 可得PM PN MA NB =，继而得到2m n =，联立即可解得m ，n 的值.【详解】（1）依题知：2,1a b ==，所以c ==所以椭圆方程为2214x y +=，离心率c e a ==（2）如图：设(),P m n ，第一象限有,0m n >，2214m n +=①；由//MN AB 得：PM PN MA NB =，又2PA PMx m MA x ==，1P B PN y n n NB y ===，因此2m n =②，联立①②解得2m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P ⎭.21．已知有一系列双曲线n C ：221n a x y -=，其中0n a >，*n ∈N ，记第n 条双曲线的离心率为n e ，且满足()1122212n n n n e e e e -++⋅⋅⋅+=-⋅，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证.1211134n a a a ++⋅⋅⋅+<【正确答案】(1)22n a n n=+(2)证明见解析【分析】（1）首先利用已知数列{}12n n e -的前n 项和求n e ，再根据双曲线的方程，得n a 与n e 的关系，求数列{}n a 的通项公式；（2）首先表示211111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用错位相减法求和，即可证明不等式.【详解】（1）因为()1122212n n n n e e e e -++⋅⋅⋅+=-⋅，当1n =时，()1121e e =-，解得12=e ；当2n ≥时，()2112112212n n n n e e e e ----++⋅⋅⋅+=-⋅，两式相减，可得()()11121212n n n n n n e e e ---=-⋅--⋅，所以()112n n e e n --=≥，所以{}n e 是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以()211n e n n =+-=+.由题意，得n e =，所以2212n n a e n n =-=+.（2）所以211111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故121111111111112324112n a a a n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭1111113112212224n n ⎛⎫⎛⎫=+--<+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得证.22．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，且经过点()()2,0A p m m >，5AF =．(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥．过点A 作AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【正确答案】(1)2p =，4m =；(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有||252p AF p =+=求p ，由A 在抛物线上求m 即可.（2）令:MN x ky n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据AM AN ⊥ 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定MN 所过定点B ，再由AD MN ⊥易知D 在以AB 为直径的圆上，即可证结论.【详解】（1）由抛物线定义知：||252p AF p =+=，则2p =，又()()4,0A m m >在抛物线上，则244m =⨯，可得4m =.（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由（1）知：(4,4)A ，所以11(4,4)AM x y =-- ，22(4,4)AN x y =-- ，又AM AN ⊥，所以121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=，令直线:MN x ky n =+，联立2:4C y x =，整理得2440y ky n --=，且216160k n ∆=+>，所以124y y k +=，124y y n =-，则21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=，综上，2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=，当84n k =+时，:(4)8MN x k y =++过定点()8,4B -；当44n k =-时，:(4)4MN x k y =-+过定点(4,4)，即,,A M N 共线，不合题意；所以直线MN 过定点()8,4B -，又AD MN ⊥，故D 在以AB 为直径的圆上，而AB 中点为()6,0Q ，即2ABDQ ==.。
三晋联盟山西名校2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试题
三晋联盟山西名校2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===，则()U M N ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}3,42．已知复数z 满足1i1iz --=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．2i+D ．2i-3．已知函数()f x 是定义在上的偶函数，当0x ≥时，()2xf x =，则()1f -=（）A ．1B ．2C ．12D ．04．从{}2,3和{}4,5两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（）A ．16B ．13C ．12D ．145．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽6m ，水面下降1m 后，水面宽度为（）A ．B ．C ．D ．8m6．已知椭圆22:194x y C +=，过点()1,1M -的直线l 交C 于A 、B 两点，且M 是AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A ．49B ．29C ．23D ．437．若动圆过定点()2,0A ，且和定圆C ：()2221x y ++=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（）A ．2213y x -=（12x ≥）B ．2213y x -=（12x ≤-）C ．2244115y x -=（12x ≤-）D ．2244115y x -=（12x ≥）8．已知()20A ，，()100B ，，若直线420tx y -+=上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则t 的取值范围为（）A ．2135⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．21,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)2135⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦，，D ．(]975⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，二、多选题9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线):1l y x =-与C 在第一象限的交点为P ，过点P 作C 的准线的垂线，垂足为M ，下列结论正确的是（）A ．直线l 过点FB ．直线l 的倾斜角为π3C ．π2FPM ∠=D ．FPM 是等边三角形10．已知函数()()2sin cos sin 1f x x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线5π8x =对称C ．()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 在ππ,410⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．若E ∉平面γ，F ∈平面γ，⊥EF 平面γ，则称点F 为点E 在平面γ内的正投影，记为().F t E γ=如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2BC AD =，AD AB ⊥，,P N 分别为1AA ，1CC 的中点，13DQ QD =，1 6.AB BC AA ===记平面1A BC 为α，平面ABCD 为β，1(01)AH AA λλ=<<，()()12..a a K t t H K t t H ββ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦（）A ．若111122A N AQ A P A B μ=-+ ，则1μ=B ．存在点H ，使得1//HK 平面αC ．线段1HKD ．存在点H ，使得12HK HK ⊥三、填空题12．已知单位向量,a b 满足a b a -= ，则a 与b 的夹角为.13．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，F 是1CD 的中点，则AF AC ⋅=.14．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n -=>>有公共焦点121,,F F C 与2C 在第一象限的交点为P ，且12PF PF ⊥，记12,C C 的离心率分别为12,e e ，则221211e e +=.四、解答题15．已知在ABC V 中，()2,1A ，()2,3B ，()6,1C ，记ABC V 的外接圆为圆M .(1)求圆M 的标准方程；(2)求过点A 且与圆M 相切的直线的方程.16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，,,E F G 分别为11,,CC AB CD 的中点，12AA AB =.(1)证明：EF ∥平面1AGD .(2)求二面角1G AD D --的余弦值.17．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线()22:20C y px p =>的焦点重合，过点F 且与x 轴垂直的直线交2C 于,A B 两点，M 是1C 与2C 的一个公共点，5MF =，6AF =.(1)求1C 与2C 的标准方程；(2)过点A 且与2C 相切的直线l 与1C 交于点,C D ，求CD .18．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB 为等边三角形，ABC V 为等腰直角三角形，2,PA AC BC =⊥，平面PAB ⊥平面ABC .(1)证明：AB PC ⊥.(2)点D 在线段PC 上，求直线AD 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值.19．已知O 为坐标原点，双曲线G22−22=1>0,>0的左､右顶点分别为12,A A ，圆221x y +=过点2A ，与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为D，且1A D =(1)求C 的方程；(2)过点()(),0M t t a ->且斜率不为0的直线l 与双曲线C 的左､右两支的交点分别为Q ，P ，连接QO 并延长，交双曲线C 于点R ，记直线1A R 与直线2A P 的交点为B ，证明：点B 在曲线()22221x y b t a a t a+=-+上.。
浙江省金华市武义第一中学2023-2024学年高二上学期11月检测2数学试题
所以| AB |= 2 ´
12 - (
2 )2 5
=
25 5
.
故选：A 7．B 【分析】
由 双 曲 线 定 义 有 | AF2 | - | AF1 |=| BF1 | - | BF2 |= 2a = 10 ， 设 | BF2 |= x 易 得 | AF1 |= x + 5 ，
| BF1 |= x +10 ，在VABF1 中应用余弦定理求参数，即可求 AF1 + AF2 . 【详解】由题设知：| AF2 | - | AF1 |=| BF1 | - | BF2 |= 2a = 10 ，
减少的概率，则 n 至少为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、多选题 9．已知直线 l1 : 4x - 3y + 3 = 0 ， l2 : (m + 2)x - (m +1) y + m = 0 (m Î R) ，则（ ）
A．直线 l2 过定点 (1, 2)
B．当 m = 2 时， l1//l2
C．当 m = -1时， l1 ^ l2
A． 110 3
B．26
C．25
D．23
8．有 5 张未刮码的卡片，其中 n 张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这 5
张卡片随机抽取 2 张.你有资金 100 元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一
半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中
奖”，则输掉下注的资金.抽取的 2 张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金
又直线经过点(-1, 2)，所以直线 l 的方程为 y - 2 = -2( x +1) ，即 2x + y = 0 .
高二第一学期月考数学试题
高二第一学期月考数学试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 若函数，则函数从到的平均变化率为（）A. 1B. 2C. 3D.2. 设是实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 用系统抽样方法从编号为,,,…,的学生中抽样人,若第段中编号为的学生被抽中,则第段中被抽中的学生编号为( )A. B.C. D.4. 如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的否命题是( )A. 真命题B. 假命题C. 不一定是真命题D. 不一定是假命题5. 执行如图所示的程序框图,输入的值为,则( )A. B.C. D.6. 已知函数的导函数为,且满足,则( )A. B.C. D.7. 已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）A. B.C. D.8. （2017全国Ⅰ文）已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是.则的面积为( )A. B.C. D.9. 已知命题:函数恒过定点，函数的最大值为，则（）A. 为假B. 为真C. 为真D. 为真10. 已知正四面体的棱长为,点,分别是,的中点,则的值为( )A. B.C. D.11. 设，（为常数）则等于（）A. B.C. D.12. 若,则( )A. B.C. D.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. (2018全国Ⅱ卷文)曲线在点处的切线方程为__________.14. 若命题“,使得”是假命题,则实数的取值范围是__________.15. 下列命题: ①若,则; ②函数,的值域为;③设是定义在区间上的连续函数.若,则函数无零点; ④函数既是奇函数又是减函数. 其中正确的命题有__________.16. 若,则双曲线的离心率的取值范围是__________.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 已知方程表示圆;:方程表示焦点在轴上的椭圆. (1)若为真命题,求实数的取值范围; (2)若“”为假,“”为真,求实数的取值范围.18. 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,,,这三张卡片除标记的数字外其余完全相同.随机有放回地抽取次,每次抽取张,将抽取的卡片上的数字依次记为. (1)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率.19. 从某居民区随机抽取个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，。
广东省江门市第二中学2020学年高二数学11月月考试题(含解析)
2020 学年第一学期第二次考试高二年级数学试题 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分, 考试用时 120 分钟.选择题答案请用 2B 铅 笔涂在答题卡相应答题区域，填空题、解答题请用黑色字迹的钢笔或签字笔写在 答题卡相应答题区域一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。
在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（ ）A.，B.，C.，D.，【答案】D 【解析】该题命题的否定是：，。
特称命题和全程命题的否定，固定的变换方式是：换量词，否结论，不变条件。
故答案选 D。
2.设集合，集合 B=，则 =（ ）A. （2,4） B. {2.4} C. {3} D. {2,3}【答案】D【解析】【分析】利用题意首先求得集合 A，然后进行交集运算即可求得最终结果．【详解】集合 A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}={x∈Z|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则 A∩B={2，3}，故选：D．【点睛】本题考查了交集运算，二次不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．3.不等式表示的区域在直线的（ ）A. 右上方 B. 右下方 C. 左上方 D. 左下方【答案】B【解析】将 代入不等式成立， 在直线的右下方，所以不等式表示的区域在直线的右下方，故选 B.4.已知原命题：若 ，则，那么原命题与其逆命题的真假分别是（ ）．A. 真 假 B. 真 真 C. 假 真 D. 假 假 【答案】A 【解析】，则，∴原命题为真，若，则或，，∴逆命题为假．故选 A.5.在△ABC 中，已知A.B.C.【答案】C【解析】，则角 A 大小为（ ） D.由余弦定理知，所以,故选 A.6.在等差数列 中，，则 （ ）A. 12 B. 14 【答案】D 【解析】 【分析】C. 16D. . 18先由等差数列的概念得到公差 d，再由等差数列的通项得到 即可.【详解】等差数列 中，，故答案为：D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小 题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项 间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 7.在△ABC 中，a＝15，b＝20，A＝30°，则 cos B＝( )A. ±B.C. －D.【答案】A 【解析】,解得,故 B 有两解,所以±,故选 A.8.在等比数列 中，若，则 的前 项和 等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知等比数列 中，若，设公比为，解得则此数列的前 5 项的和故选 C 9.下列函数中，最小值为 4 的是（ ）A.B.C.（） D.【答案】B 【解析】 【分析】 对于 A 可以直接利用基本不等式求解即可；对于 B 根据基本不等式成立的条件满足时，运用基本不等式即可求出最小值; 对于 C 最小值取 4 时 sinx=2，这不可能； 对于 D，取特殊值 x=﹣1 时，y=﹣5 显然最小值不是 4. 【详解】A y=log3x+4logx3，当 log3x＞0，logx3＞0，∴y=log3x+4logx3≥4，此时 x=9，当 log3x＜0，logx3＜0 故不正确； B y=ex+4e﹣x≥4，当且仅当 x=ln2 时等号成立．正确.（），y=≥4，此时 sinx=2，这不可能，故不正确；④，当 x=﹣1 时，y=﹣5 显然最小值不是 4，故不正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的值域，解题的关键是最值能否 取到，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等 技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式 的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错 误.10.数列前 项的和为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】数列前项的和故选 B．11.已知正实数 a，b 满足，则A. 1 B.C.D.【答案】C的最小值为（ ）【解析】，利用做乘法，借助基本不等式求最值,.选 C.12.已知数列：，即此数列第一项是 ，接下来两项是 ，再接下来三项是，依此类推，……，设 是此数列的前 项的和，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】将数列分组：第一组有一项 ；第二组有二项 ；第 项有 项，前 项组共有，，故选 A.【方法点晴】本题主要考查归纳推理及等比数列的求和公式和利用“分组求和 法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和常见类型 有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列 求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别 用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13.“1<x<2”是“x<2”成立的______________条件．(填“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“1＜x＜2”则“x＜2”成立， 若 x=0 满足 x＜2，但 1＜x＜2 不成立， 即“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．判断充要条件的 方法是：①若 p⇒ q 为真命题且 q⇒ p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要 条件；②若 p⇒ q 为假命题且 q⇒ p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条 件；③若 p⇒ q 为真命题且 q⇒ p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；④若 p⇒ q 为假命题且 q⇒ p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件．⑤ 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则， 判断命题 p 与命题 q 的关系．14.若变量 满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】3 【解析】 试题分析：先画出可行域,易知的平行线经过可行域内 （0，-1）时 最大.考点：简单的线性规划 点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，其中角点法是解答线性规划小题最 常用的方法，一定要熟练掌握． 15.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 的视角，则 B、C 间的距离是___________________海里． 【答案】 【解析】因为,所以,由正弦定理知，解得，故填 ．16.数列的前 项和为_______________________.【答案】【解析】 由题意可得，三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤．17.已知关于 x 的不等式 ax2+5x-2>0 的解集是{x| <x<2}。
江苏省盐城市东台市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学试题（考试时间120分钟 总分150分）命题人：审题人：第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）1．经过，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定4．已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体。
”事实上，有很多代数问题可以转化可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）A ．B ．CD ．7．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（）()1,3A -()1,1B -45︒60︒90︒135︒30xy +-=260x y -+=230x y +-=4290x y +-=290xy -+=290x y +-=4290x y -+=,a b 1ax by +=221x y +=(),P a b 221:1C x y +=()()222:3449C x y -+-=:l y kx =-2360x y +-=l ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭(),M x y (),N a b y =+3()1,0M -()1,0N 0x y m -+=P 0PM PN ⋅=m (][),22,-∞-+∞ (),-∞+∞[]2,2-⎡⎣22:1C x y +=P 240x y +-=P C ,PA PB ,A B ABA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法不正确的是（）A ．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．不经过原点的直线都可以用方程表示C ．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件D ．直线的倾斜角的取值范围是11．设直线与圆，则下列结论正确的为（）A ．可能将的周长平分B ．若直线与圆相切，则C ．当时，圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1D ．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12．已知，则P 点关于直线的对称点的坐标为______．13．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为______．14．已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为______；点到直线的最大距离为______．四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知的三个顶点为，，．（1）求边上的高的直线方程；11,42⎛⎫⎪⎝⎭11,24⎛⎫⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎭⎛⎝l ()3,2-l 230x y +=320x y +=50x y --=10x y +-=1x ya b+=210a x y -+=20x ay --=1a =-sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭():4l y kx k =+∈R 22:4C x y +=l C l C k =1k =C l l C ,A B ABC △()2,1P :30l x y -+=Q 230x y -+=340ax y +-=d d ()()2200:4M x x y y -+-=()3,4N M ,NP NQ P Q π3PNQ ∠=M M 34250x y ++=ABC △()4,0A ()2,3B ()4,6C BC AD（2）求过点且与两点距离相等的直线方程．16．（本小题满分15分）已知圆的圆心在轴上，且经过点，．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．17．已知圆．（1）若满足，求的取值范围；（2）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求的取值范围；18．（本小题满分17分）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点．（1）求点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；（3）当取得最小值时，求的面积．19．（本小题满分17分）．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为．（1）求点的轨迹方程；（2）若，求点的轨迹的方程；（3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．B AC 、C x ()1,0A -()1,2B C ()0,2P l C ,M N MN =l 22:2O x y +=,x y 222x y +=2y x+:2l y kx =-O ,A B AOB ∠k :20l ax y a -+-=P x y ,A B O P O l l PA PB ⋅AOB △A B 、λ0λ>1λ≠xOy ()1,0A ()2,0B -P 12PA PB=P 1C P PA AQ =Q 2C A 1l 2l Q 2C M N 、P Q 、MPNQ2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学答案第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）题号12345678答案CBBADADA二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）题号91011答案ACABCBCD第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分）．12．1314．；14四、解答题：15．（本小题满分13分）．【解析】（1）由点的坐标，得直线的斜率，由，得直线的斜率，由点斜式方程得直线的方程为，整理得，所以边上的高的直线方程为．（2）由点的坐标，得线段的中点坐标为，①到直线的距离相等，而直线轴，于是直线的方程为；②到与直线平行的直线的距离也相等，而直线轴，此时所求直线方程为，所以过点且与距离相等的直线方程为和．16．（本小题满分15分）．【解析】（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，()2,5-()()223416x y -+-=B C 、BC 633422BC k -==-AD BC ⊥AD 123AD BC k k =-=-AD ()2043y x -=--2380x y +-=BC AD 2380x y +-=A C 、AC E ()4,3,A C BE BE y ⊥BE 3y =,A C AC AC x ⊥2x =B ,A C 2x =3y =AB D ()0,1D CD AB ⊥1CD AB K K ⨯=-1CD K =-所以线段的垂直平分线方程是．设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；②当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或．17．（本小题满分15分）【解析】（1），令，即直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径解得或．即（2）设的坐标分别为，，将直线代入，整理，得，，，，即，当为锐角时，AB 10x y +-=C ()222x a y r -+=(),0C a ()0r r >(),0C a CD 1a =()1,0C 2r CA ==C ()2214x y -+=F MN CF l ⊥FM FN ==C l 1d CF ===l l 0x =1CF =l l 2y kx =+20kx y -+=d 34k =-l 324y x =-+3480x y +-=l 0x =3480x y +-=22:2O x y +=2y k x+=:20l kx y --= l O ∴()0,0O l r =d =≤1k ≤-1k ≥][()2,11,y x+∈-∞-+∞ ,A B ()11,x y ()22,x y :2l y kx =-222x y +=()221420k x kx +-+=12241k x x k ∴+=+12221x x k =+()()224810k k ∆=--+>21k >AOB ∠()()1212121222OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--，解得，又，或．故的取值范围为．（用几何法同样得分）18．（本小题满分17分）【解析】（1）直线，整理可得：，可得直线恒过；（2）要使点到直线的距离最大，则，可得，即到直线的距离两边平方可得：，整理得，所以，所以，即．（3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得，，且、，因为，所以，，所以，仅当时等号成立，所以时取最小值，当，则，，此时的面积为；当，则，，此时的面积为；()()22121226212401k kx x k x x k-=+-++=>+23k <21k >1k <<-1k <<k ()(1- :20l ax y a -+-=()120a x y --+=()1,2P O l OP l ⊥OP ==O l d 224451a a a -+=+()22441210a a a ++=+=12a =-15022x y --+=250x y +-=2,0a A a -⎛⎫⎪⎝⎭()0,2B a -0a ≠2a ≠()1,2P PA ==PB ==124PA PB a a ⎛⎫⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭1a =±1a =±PA PB ⋅1a =()1,0A -()0,1B AOB △121a =-()3,0A ()0,3B AOB △92所以的面积为或．19．（本小题满分17分）【解析】（1）设点，化简可得．（2）设点，，由（1）点满足方程：即 代入上式消去可得的轨迹方程为．（3）设圆心到直线，的距离分别为，则当且仅当时，等号成立因此，四边形面积的最大值为7．AOB △1292(),P x y =()2224x y -+=(),Q x y ()00,P x y P ()202024x y -+=PA AQ= ()()001,1,x y x y ∴--=-0011x x y y-=-⎧⎨-=⎩002x xy y=-⎧∴⎨=-⎩Q 224x y +=O 1l 2l 12,d d 222121d d OA +==12S MN PQ =⋅==()()()22121222448817d d d d ≤-+-=-+=-=12d d =MPNQ。
2023-2024学年安徽省A10联盟高二上学期11月期中考试数学试题
2023-2024学年安徽省A10联盟高二上学期11月期中考试数学试题1. 直线√3x +y −1=0的倾斜角为（ ）A ． π6B ． π3C ． 2π3D ． 5π62. 若双曲线y 22−x 2m =1的焦点与椭圆x 24+y29=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．73. 以A(2,0),B(0,−4)两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ）A ． (x +1)2+(y −2)2=20B ． (x +1)2+(y −2)2=5C ． (x −1)2+(y +2)2=20D ． (x −1)2+(y +2)2=54. 堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，若AA 1=2AC =2BC =2，则异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为（ ）A ． √3010B ． −√3010C ． √7010D ． −√70105. 已知椭圆C:x 225+y 216=1的左､右焦点分别为F 1,F 2,A,B 两点都在C 上，且A,B 关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A ． |AB| 的最大值为10 B ． |AF 2|+|BF 2| 为定值 C ． C 的焦距是短轴长的 34D ．存在点 A ，使得 AF 1⟂AF 26. 已知在ΔABC 中，顶点A(1,1)，点B 在直线l:x −y +2=0上，点C 在x 轴上，则ΔABC 的周长的最小值为（ ）A ． √5B ． 2√5C ． 4√5D ． 5√527. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P −ABCD 中，PA⟂平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC与BD 交于点O,E,F 分别为PD,PB 的中点，点G 满足AG⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1),PA =4,AB =2，若OG//平面CEF ，则λ=（ ）A．14B．13C．12D．238.已知底边BC长为2的等腰直角三角形ABC,D是平面ABC内一点，且满足DB:DC=√3:1，则ΔABD面积的最大值是（）A．3+√62B．3−√62C．3√2+2√32D．3√2−2√329.直线l的方向向量为a，平面α,β的法向量分别为n⃗ ,m⃗⃗ ，则下列命题为真命题的是（）A．若m⃗⃗ ⟂n⃗，则α⟂βB．若l∥α，则a ⟂n⃗C．若cos⟨a ,n⃗ ⟩=√32，则直线l与平面α所成角的大小为π6D．若cos⟨m⃗⃗ ,n⃗ ⟩=12，则平面α,β的夹角大小为π310.若方程x25−t +y2t−1=1所表示的曲线为C，则（）A．曲线C可能是圆B．若1<t<5，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1<t<3D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则t<111.下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．过点(3,4)且在x,y轴上的截距相等的直线方程为x−y−7=0B．若直线kx−y−k−1=0和以M(2,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为[32,2]C．若点P(a,b)是圆x2+y2=r2(r>0)外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与圆相离D．若圆(x−1)2+y2=4上恰有3个点到直线y=x+b的距离等于1，则实数b=−1±√212.已知O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y=√3x，且F1到l的距离为3√3，P为C在第一象限上的一点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ为∠F1PF2的平分线，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的方程为x29−y227=1B．双曲线C的离心率为2C．|PF1|=3|PF2|D．点P到x轴的距离为3√15213.已知圆C:x2+y2=4，过点P(1,1)的直线被圆C截得弦长最短时，直线的方程为__________.14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，AA1=2,E为A1D的中点，F为CC1上靠近点C的三等分点，则点E到平面BDF的距离为__________.15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的离心率是√5,F1,F2分别为双曲线C的左､右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2的值为__________.16.过直线l:x−y+4=0上任意点P作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分别为A,B，直线AB过定点__________；记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为__________.17.已知ΔABC的三个顶点分别是A(4,0),B(6,7),C(0,3).(1)求边BC的高所在的直线方程；(2)求平分ΔABC的面积且过点B的直线的方程.18.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y=0垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为2√55.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M(3,2)，求直线l的斜率.19.已知点P(4,0)，圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且圆C与y轴切于点M(0,−2).(1)求圆C的方程；(2)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为2√2，求直线l的方程.20.一动圆与圆C1:x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆C2:x2+y2−6x−91=0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值.21.如图，在三棱锥S−ABC中，ΔSAB是边长为2的等边三角形，AC⟂平面SAB，M,N,P,Q分别是SB,BC,SA,CN的中点.(1)求证：PQ∥平面AMN；(2)若AC=2，求平面AMN与平面SAC夹角的余弦值.22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M与点F1的最大距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，若直线l与x轴､椭圆C顺次交于P,Q,R（点P在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q+∠PF1R=π，求ΔRQF1面积的最大值.。
河南省洛阳市洛龙区洛阳市第一高级中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题
D．当 m + n = 1时，线段 QC 的长度的最小值为 6 4
试卷第31 页，共33 页
三、填空题
13．已知 A(0, 2), B (3,0),C (m,1 - m) 三点共线，则 m =
．
14．一组样本数据为1, a,4,5,b,8 ，若 a,b 是方程 x - 3 = 1的两根，则这个样本的方差是 ． 15．已知圆台 O1O 的体积为 7p ，且其上、下底面半径分别为 1，2，若 AB 为下底面圆
故选：D． 8．C
【分析】作
BM
垂直
AC
于
M
,
DN
垂直
AC
于
N
，可知
uuur BD
=
uuuur BM
+
uuuur MN
+
uuur ND
，结合空间向
量的数量积运算求解.
【详解】因为 AB2 + BC 2 = AD2 + CD2 = AC 2 ，则 VABC,VACD 均为直角三角形，
答案第41 页，共22 页
B． 32π 3
C．16π
D． 64π 3
7．设 VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 c = 2 ，且 b + acosC = 0 ，则 VABC
的面积的最大值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
1 2
8．如图，在四面体 ABCD 中， AC = 2AB = 2CD = 2, BC = AD =
=
90°
，若
uuur AQ
=
uuur m AB
+
uuur n AD
+
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高二年级第一学期11月22日早测数学试题
考试时间：30分钟；命题人：王鑫
1．已知命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<，则p ⌝为（ ）
A ．x R ∀∈，2460x x ++≥
B ．0x R ∃∈，200460x x ++>
C ．x R ∀∈，200460x x ++>
D ．0x R ∃∈，200460x x ++≥
2．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）
上为减函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ）
A ．不存在0x R ∈，020x >
B ．存在0x R ∈，020x ≥
C ．对任意的x R ∈，20x >
D ．对任意的x R ∈，20x ≤
4．不等式⎩⎨⎧≤-≥+4
21y x y x 的解集记为D ，有下列四个命题：
22,),(:1-≥+∈∀y x D y x p 22,),(:2≥+∈∃y x D y x p
32,),(:3≤+∈∀y x D y x p 12,),(:4-≤+∈∃y x D y x p
其中真命题的是（ ）
A ．31,p p
B ．41,p p
C ．21,p p
D ．32,p p
5．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ”
B ．“1=m ”是“直线0=-my x 和直线0=+my x 互相垂直”的充要条件
C ．命题“R x ∈∃0，使得01020<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有012<++x x ”
D ．命题”已知B A ,为一个三角形的两内角，若B A =，则B A sin sin =”的否命题为真命题
6．已知条件1)(:2++=mx x x f p 在区间),21
(+∞上单调递增，条件3
4:-≥m q ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x x
π∀∈+>，则下列判断正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是假命题 D ．()p q ∧⌝是真命题
8．下列命题正确的个数是（ ）
①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2
,13x R x x ∀∈+≤”； ②函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π是“1a =”的必要不充分条件；
③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立()()2max min 2x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立；
④“平面向量a 与b 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“0a b < ”
． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
9．命题p ：若b a >，则22bc ac >；命题p ：00>∃x ，使得0ln 100=--x x ，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．q p ∧
B ．)(q p ⌝∨
C ．q p ∧⌝)(
D ．)()(q p ⌝∧⌝
10．下列说法中正确的是（ ）
A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的必要不充分条件
B ．若0:p x R ∃∈，20010x x -->，则:p x R ⌝∀∈ ，210x x --<
C ．命题“若210x -=，则1x =或1x =-”的否命题是“若210x -≠，则1x ≠或1x ≠-”
D ．命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题
11．“3x >”是“不等式220x x ->”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要不充分条件
D ．非充分必要条件
12．设R a ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
13．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”
B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件
C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x <成立
D ．“若tan α≠3π
α≠”是真命题
14．设条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ；条件:01q a <<，则条件p 是条件q 成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
15．给定两个命题p,q,若⌝p 是q 的必要而不充分条件,则p 是⌝q 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件。