2018年高考数学破解命题陷阱专题11三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用

专题11 三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用1.三角形的中线问题2.三角形中的角平分线问题3.三角形边的范围问题4.三角形中角的范围问题5.多个三角形的问题6.三角的实际应用7.三角形中的最值问题8.正余弦的混合及灵活应用9.三角形的判断问题 二．陷阱警示及演练1.三角形的中线问题（运用向量陷阱）例1．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c coscos CA =。

（1）求A 的值；（2）若B=30°，BC 边上的中线ABC 的面积。

【答案】（1）30A =；（2【解析】（1）cos cos C A =， cos cos CA = ()2sin cos B A A C ∴=+()sin sin ,2sin cos A C B B A B +=∴=因为sin 02cos cos B A A ≠∴==， 又018030A A ∈∴=（，）， （2）3030A B ==，， 120,C AC BC ∴==【防陷阱措施】解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.练习1.在ABC ∆中， a = 3b =， 1cos 3A =-． （Ⅰ）求sinB ；（Ⅱ）设BC 的中点为D ，求中线AD 的长．【答案】(1) sin B =AD =【解析】（Ⅰ）由1cos 3A =-知，且0πA <<．所以sin A =由正弦定理及题设得sin sin a b A B =．即3sin 3B=．所以sin B =（Ⅱ）因为b a <,所以B 为锐角.所以cos B ==. 因为πA B C ∠+∠+∠=，所以cos cos()=cos cos sin sin C A B A B A B =-+-+．所以1cos 3C ==．在ACD ∆中， D 为BC 的中点，所以CD =．由余弦定理及题设得222+2cos AD AC CD AC CD C =-⋅22323=-⨯ 2=．所以中线AD =练习2 .ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知边2c =，且sin sin 2sin sin a A a B C b B -=-. (1)若()sin 2C sin B A sin A +-=,求ABC ∆的面积； (2)记AB 边的中点为M ，求CM 的最大值，并说明理由.【答案】（1（2【解析】2c = ，故sin sin 2sin sin sin sin a A a B C b B a A a B -=-⇔-222sin sin c C b B a b c ab =-⇒+-=，由余弦定理可得2221cos ,6022a b c C C ab +-==∴= .（2）由于AB 边的中点为M ，故()212CM CA CB CM =+⇒ ()()222211244CA CB CB CA a b ab =++⋅=++ ， 2,60c C ==， ∴由余弦定理知， 224a b ab +=+，于是2112CM ab =+ ，而2242,4ab a b ab ab +=+≥∴≤， 23,CM CM ∴≤∴ 当2a b c ===时取等号）.练习3. 已知函数()22sin cos 444f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间及其对称中心；（Ⅱ）在ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c 且角A 满足()1f A =.若3a =，BC 边上的中线长为3，求ABC 的面积S .【答案】（1）单调递增区间： (),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，对称中心122k ππ⎛-+ ⎝（2【解析】（1）()πf x 1cos +2x 2⎤⎛⎫=-⎪⎥⎝⎭⎦πsin 2x 2⎛⎫++= ⎪⎝⎭ cos2x +π2sin 2x 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2k π2x 26-+≤+ ππ2k πk π23≤+⇒-+ πx k π6≤≤+ 所以函数()f x 的单调递增区间： ππk π,k π36⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈令π2x k π6+=⇒ πk πx 122=-+，则对称中心122k ππ⎛-+ ⎝2.三角形中的角平分线问题陷阱例2. 如图，在ABC ∆中， 3BC =， AC = 6B π=， 2BAC π∠>， ,AE AF 是BAC ∠的三等分角平分线，分别交BC 于点,E F .（1）求角C 的大小； （2）求线段EF 的长.【答案】（1）12C π=;（2）3.【解析】（1）因为sin sin AC BC B BAC =∠，即，得sin 2BAC ∠=2BAC π∠>，则34BAC π∠=，所以34612C BAC B πππππ=-∠-=--=.【防陷阱措施】角平分线问题要注意几个方面：（1）利用对称性，（2）利用角平分线定理，（3）利用三角形的面积练习1. 在ABC 中， D 是BC 上的点， AD 平分BAC ∠， ABD 是ADC 面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若1,AD DC == ，求BD 和AC 的长．【答案】（1）sin 1sin 2B C =；（2）BD =， 1AC =. 【解析】（1）∵ABD 是ADC 面积的2倍 ∴2BD DC = 由正弦定理可知：sin 1sin 2B DC C BD ==（2）由（1）知， 2BD DC == ∵ABD 是ADC 面积的2倍∴ 2AB AC = 设AC x =，由余弦定理得： ()22222112x x ⎛+-=+- ⎝⎭，解得1AC =. 练习2. 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足()cos 2sin sin A B A B -=. （1）判断ABC ∆的形状；（2）若3a =， 6c =， CD 为角C 的平分线，求BCD ∆的面积.【答案】(1) 直角三角形 【解析】（I ）由()cos 2sin sin A B A B -=，得cos cos sin sin 2sin sin A B A B A B +=, cos cos sin sin 0A B A B ∴-=,()cos 0A B ∴+=. 90C ∴=︒, 故ABC ∆为直角三角形.练习3. 如图，在ABC ∆中， sin C =,22C AB ππ<<=， 3sin sin BAC AB B ∠=⋅.（1）求ABC ∆的面积；（2）已知D 在线段BC 上，且BAD CAD ∠=∠，求sin ADC ∠的值.【答案】（1；（2）78.（2）依题意, 2227cos 28b c a BAC bc +-∠==， 2cos 12sin BAC DAC ∠=-∠，即1sin 4DAC ∠=，故()117sin sin 448ADC DAC C ⎛⎫∠=∠+∠=⨯-= ⎪⎝⎭ 3.三角形边的范围问题陷阱例3. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin sin c A Ba b A C+=--. （1）求角B 的大小；（2）点B 满足3BD BC =，且线段2AD =，求3a c +的取值范围. 【答案】(1) 3B π=;(2) (]2,4. 【解析】（1）∵sinA sinB sin sin c a b A C +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=-- ∴()()()c a c a b a b -=+-，即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=，∴ 1cos 2B = ∵()0,B π∈ ∴3B π=（2）在ABD ∆中由余弦定理知： ()222323cos602c a a c +-⋅⋅⋅︒=，∴()23433a c ac +-=⋅∵2332a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()2233434a c a c +-≤+，即()2316a c +≤， 当且仅当3a c =，即23a =， 2c =时取等号，所以3a c +的最大值为432ABD a c +>又在三角形中故3a c +的范围是(]2,4.【防陷阱措施】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.练习1.已知a b c 、、分别是ABC ∆的内角A B C 、、对的边， b =（1）若5π6C =， ABC ∆c ； （2）若π3B =，求2a c -的取值范围.【答案】（1）c =；（2）(.【解析】试题分析：（1）首先根据三角形面积公式， 1sin 2ABC S ab C ∆=，求解a ，再根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,求c ；（2）根据正弦定理sin sin sin b a c B A C== ，用正弦表示表示2a c - ，再根据三角函数恒等变形为2a c C -=，最后根据角C 的范围求解.试题解析：（1）∵5π6C =， ABC ∆的面积为2， b =∴111sin 222ab C a =⨯=2a =. 由余弦定理得222b 2cos c a ab C =+-432213⎛=+-⨯= ⎝⎭.∴c .练习2. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且·sin ?cos a B A ． （1）求角A 的大小；（2）若a =12b c +的范围．【答案】(1) 3A π=;(2) 范围为⎤⎦.【解析】（1）由·sin ?cos a B A =及正弦定理可得sin sin cos A B B A =，∵0B π<<， ∴sin 0B >则有sin A A =故tan A = 又∵0A π<<， ∴3A π=；（2）由正弦定理，2sin sin sin sin 3a b c R A B C =====可得2?sin ,2?sin b R B c R C ==，∴11122?sin sin 2?sin sin 2223b c R B C R B B π⎛⎫⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=12?sin 2?4sin 24R B B B R B B B π⎤⎫⎛⎫+==+⎪⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭∵203B π<<， ∴114412B πππ<+<，∴sin 144B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，4sin 44B π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，c +的范围为⎤⎦．练习3. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 2sin sin sin A B C A B C -+=.（1）求角B 的大小； （2）若b =,42A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求边长c 的取值范围.【答案】(1) 4B π=;(2) )2c ∈.（2）∵A B C π++=，∴ 34C A B A ππ=--=-，由正弦定理，得2sin sin 2c b C B===，∴ 32sin 2sin 4c C A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∵42A ππ<<，∴3442A πππ<-<3sin 14A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴)2c ∈.练习4. 已知函数()2sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A = 4b c +=，求a 的取值范围.【答案】(1) ()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[)2,4a ∈（2）()sin 232f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 0,2A π<< 22333A πππ-<-<所以233A ππ-= 解得3A π=，又4b c +=，在△ABC 中， ()()22222344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈。