弦图及其在数学教学中的应用
全国高中数学 青年教师展评课 赵爽弦图中的不等式性质的再探究教学设计(林)
诚西郊市崇武区沿街学校赵爽弦图中的不等式性质的再探究教学设计一．教学内容解析根本不等式是高中最重要的一个不等式，其构造简单、均匀对称，意蕴深沉。
由两个正数通过加法、乘法、除法和开方四种运算，产生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律，实现了概念原理、符号语言、图形语言与自然语言的有机结合和高度统一，数学之美、数学之奇、数学之简、数学之趣尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素。
赵爽弦图中的不等式性质的再探究是根本不等式内容的延伸。
教学中选用“赵爽弦图〞作为“数学探究〞的素材和平台，以问题为线索，以TI-NspireCX-CCAS〔图形计算器〕为手段，搭建探究平台，引导学生通过观察，试验，猜想、验证及应用，并适当进展扩大或者者引伸，从中获得新的结果，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程。
不仅扩大了学生的数学视野，促进对数学本质的理解，而且逐渐优化认知构造，使学生更深化体会数学的文化价值和应用价值。
基于以上的分析，本节课的教学重点确定为：在利用赵爽弦图学习勾股定理和根本不等式的根底上，进一步挖掘和探究弦图中蕴含的不等式性质及其数学内涵.二．教学目的设置本节课立足学生的思维程度和认知特点，着眼于培养学生的探究、发现才能，详细教学目确实定为以下三点：〔1〕利用赵爽弦图，深化挖掘其中说蕴含的丰富的不等关系〔即根本不等式链〕。
〔2〕启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，经历根本不等式链的发现、建构、应用，感受数学的拓广过程，体会数形结合思想，进步数学的归纳才能和抽象才能。
〔3〕通过赵爽弦图中不等式性质的探究，培养学生擅长考虑、乐于探究的良好品质.三．学情分析学生在初中时通过赵爽弦图学习了勾股定理，在推导根本不等式时学生再次学习赵爽弦图，一样的图形背景，不同的问题指向，从等量关系〔勾股定理222c b a=+〕到不等关系〔根本不等式ab b a 2≥+〕，从平面几何到不等式的研究，是知识和思维的延续、拓展.此前学生已经学习了不等式及其性质、解三角形、解析几何等有关知识，具备了必要的认知根底，也具有了一定的观察分析、抽象概括才能，并能用TI 〔图形计算器〕解决常用的数学问题。
模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(解析版)
1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线．2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a+b）2，整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2，∴c2＝a2+b2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．例题精讲考点一：行程最短问题【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是20 cm．（π取3）解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，根据题意可得：AC是圆周的一半，∴AC＝×2×4π＝12，∴AB＝＝20cm．变式训练【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10cm，母线长为40cm，C为母线PA的中点，一只蚂蚁欲从点B处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是20cm．解：由题意知，底面圆的直径AB＝20，故底面周长等于20π设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°∵根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，20π＝，解得n＝90°∴展开图中扇形圆心角＝90°，作CE⊥PB于E，则CE＝PE＝10，BE＝40﹣10，∵根据勾股定理求得它爬行的最短距离是＝20cm∴蚂蚁爬行的最短距离为20cm【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15．【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5米．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．考点二：弦图模型的应用【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是49．解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49．故答案为：49．变式训练【变式2-1】．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是38．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案是：38．【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为16．解：由题意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四边形EFHI为正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心，如图，过点K作KM⊥FH于点M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，则FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，∴＝，＝＝2b，∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．故答案为：16．1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤9解：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S＝5+＝5+．即6＜S≤7．故选：B．2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为（）A．B．C．D．解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝DH，设AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝＝，故选：C．3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．30解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．4．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．解：由已知条件可知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2＝（）2，解得x＝5．则较长边的边长为x+2＝5+2＝7．故tanθ＝＝．故选：B．5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故选：A．6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为13．解：因为圆柱底面圆的周长为2π×＝12，高为5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为＝13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．7．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π＝，解得n＝90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：＝＝4．8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝12．解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），根据图1得：a+b＝6，根据图2得：a﹣b＝2，联立解得：，∴S1＝16，S2＝4，则S1﹣S2＝12．故答案为：12．9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为16．解：由题意作出如下图，得AC＝，BD＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34，△ADC面积＝（5×3﹣2×3）＝4.5，阴影部分的面积S＝34﹣4×4.5＝16，故答案为：16．10．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5秒．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为98cm2．解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为20．解：如图，取CD的中点F，连接BF、BE、DE、EF，由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，∴BF是EC的垂直平分线，∴∠FBC+∠BCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠FBC＝∠DCE，又∵∠BCF＝∠CED＝90°，∴△BCF∽△CED，∴＝＝，∵BC＝CD＝AB＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，∴BF＝＝＝5，∴＝＝，解得：CE＝4，ED＝2，＝×CE×DE＝×4×2＝20，∴S△CDE故答案为：20．13．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．解：如图，过点A作AM⊥EG的延长线于点M，过点F作FR⊥GH于点R，过点B作BN⊥GH，过点F作FN∥GH，延长GH交CK于K，∵四边形AGFL、DEGH、BCHF均为正方形，∴AG＝FG，BF＝FH＝CH，EG＝GH，∠AGF＝∠BFH＝90°＝∠AMG＝∠FRG＝∠BNF ＝∠CKH，∴∠AGM+∠FGM＝∠FGR+∠FGM，∴∠AGM＝∠FGR，∴△AGM≌△FGR（AAS），∴AM＝FR，GM＝GR，同理，△BFN≌△HFR≌△CHK（AAS），∴FR＝FN＝HK＝AM，BN＝HR，设AM＝x，BN＝y，AM＝FR＝z，则FR＝FN＝HK＝AM＝x，BN＝HR＝y，由勾股定理得：FH2＝x2+y2，FG2＝x2+z2，GH＝y+z，根据题意，得：FH2+FG2＝GH2，∴x2+z2+x2+y2＝（y+z）2，∴x2＝yz①，∵AM+GR+RH+HK＝9，BN+FR+EG＝11，∴2x+y+z＝9②，x+2y+z＝11③，②﹣③，得：x﹣y＝﹣2，即y＝x+2④，②×2﹣③，得：3x+z＝7，即z＝7﹣3x⑤，将④⑤代入①，得：x2＝（x+2）（7﹣3x），解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去），∴y＝4，z＝1，∴GH＝5，FG2＝5，FH2＝20，∴勾股定理演示教具的正面面积为：S＝25+5+20+××2＝55，∵教具的厚度等于木盒的内高，∴盒子的空间利用率为：＝，故答案为：．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP以上说法正确的是①③④.（填写序号）解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG＝AE，∠CGP＝∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP＝∠MAE，∴△CGP≌△AEM（ASA），＝S△AEM，CP＝ME，∴S△CGP﹣S△CGP＝S四边形MEFP∴S△AFP∵HE＝GF，∴HM＝PF，＝S四边形MHGP＝S正方形EFGH＝1，∴S四边形MEFP﹣S△CGP＝1，∴S△AFP∵DH2+CH2＝DC2＝9，∴（DH+CH）2＝DH2+CH2+2DH•CH＝9+2DH•CH，∵CH﹣DH＝HG，∴（CH﹣DH）2＝HG2＝2，∴CH2+DH2﹣2DH•CH＝2，∴2DH•CH＝7，∴（DH+CH）2＝9+7＝16，∴DH+CH＝4，∵CH﹣DH＝，∴HC＝＝2+，故答案为：①③④．15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．解：（1）如图1，连接BD，∵AD＝12，AB＝4，∴BD2＝AD2+AB2＝122+42＝160，∴CD＝＝＝13（dm）．∵13dm＞12.5dm，∴长为12.5dm的铁棒能放进去；（2）如图2所示，CD＝＝dm．如图3所示，CD＝＝dm，如图4所示，CD＝＝dm，∵＞＞，∴爬行的最短路程是dm．16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．（1）证明：，另一方面，即a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2；（2）解：设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，∵S1+S2+S3＝16，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16，∴4y+x＝，∴S2＝4y+x＝．故答案为：．17．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．解：（1）在Rt△ABC中，由面积的两种算法可得：，解得：CD＝．（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得＝．。
中考数学几何模型 第6讲弦图模型(解析版)
中考数学几何模型第6讲弦图模型(解析版)中考数学几何模型第6讲弦图模型(解析版)弦图模型是中考数学中的一个重要概念，它在解决几何问题中起到了重要的作用。
本文将为大家介绍弦图模型的概念、性质以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
1. 弦图模型的概念弦图是指在一个平面上画出的一条封闭曲线，该曲线穿过图中的所有顶点，而且没有自交。
而弦图模型就是利用弦图的特性来解决几何问题的一种方法。
2. 弦图模型的性质弦图中有几个重要的性质，包括弦的交点、弦的性质以及连接弦和圆心的关系。
首先是弦的交点，对于任意的弦，其交点一定在圆心上。
这是由于封闭曲线的特性所决定的。
其次是弦的性质，弦分为三种情况：直径、割线和弦。
直径是连接圆上任意两点的弦，割线是不通过圆心的弦，而弦则是连接圆上任意两点的弦。
最后是连接弦和圆心的关系，对于任意一条弦和圆心，连接它们的线段被称为弦上的垂线，垂线平分弦，且垂线所垂直弦的两条弧相等。
3. 弦图模型的应用弦图模型在解决几何问题时有广泛的应用，可以帮助我们快速、准确地得到问题的解答。
应用一：利用弦图模型证明几何定理。
弦图模型可以通过连接弦和圆心的关系来证明一些几何定理，比如证明割线的性质、直径的性质等。
应用二：求解几何问题。
弦图模型可以帮助我们求解一些几何问题，比如求弦长、角度等。
通过利用弦图的性质，我们可以建立方程组，进而解得所求的未知数。
应用三：构造几何图形。
弦图模型可以用来构造一些特定的几何图形，如正多边形、相似图形等。
通过利用弦图的性质，我们可以找到适当的弦长度，从而得到我们想要构造的图形。
4. 弦图模型的解题技巧在运用弦图模型解题时，我们需要注意一些技巧，以便能够更好地应用这一模型。
首先是要熟练掌握弦图的性质，包括弦的交点、弦的性质以及连接弦和圆心的关系。
只有深入理解这些性质，才能在解题中运用自如，做到有的放矢。
其次是要通过观察题目中给出的条件，找到与弦图模型相关的部分。
有时候，题目中的条件并不明显，我们需要通过转化或运用其他知识来抓住其中的关键信息。
北师大版八年级数学直角三角形(1)教案
“直角三角形〔第一课时〕〞教学设计一、教材的地位与作用“直角三角形〔第一课时〕〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章第二节。
本课是《直角三角形》(第1课时)的教学内容，是在学生学习和掌握了直角三角形相关知识的根底上，进步探讨直角三角形的性质定理以及判定定理。
教学内容主要为勾股定理及其逆定理的证明方法，了解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，让学生经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性，并通过具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
本节通过观察、操作、推理、交流等数学活动进一步探索直角三角形的性质和判定。
以直观认识为根底进行简单的说理,将直观与简单推理相结合，表达具体--抽象--具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。
二、学情分析在图形的学习中，学生已经历观察、画图、推理、合作等活动体验，具备了本节课所需的探索、交流和演绎推理能力。
本节课在学生已经认识了直角三角形的性质和判定方法的根底上，将进一步探索直角三角形的性质和判定的证明方法。
让学生对命题的条件和结论经历观察、归纳出他们的共性，以得出互逆命题、逆命题的概念。
并能解决一些简单的实际问题。
同时注重培养学生寻找生活中蕴含数学知识的例子。
在活动中引导学生主动参与、相互合作，让他们感受到数学的乐趣、魅力和成功的快乐。
让学生参与知识的产生和开展教学过程，注重培养他们的自主学习的能力。
三、教学目标1.知识与能力目标〔1〕掌握直角三角形的性质定理及判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股定理逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.〔2〕结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.2.过程与方法目标〔1〕经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，开展抽象思维。
北师大版八年级上册勾股定理经典图形--赵爽弦图在中考的应用
勾股定理经典图形--赵爽弦图在中考的应用一、赵爽弦图的历史我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，如图1，后人称之为“赵爽弦 图”，流传至今．二、赵爽弦图的几何意义 1.证明勾股定理 ：222c a b =+. 2.GH=b-a ；3. 222ABCD S c a b ==+正方形,2-a)S b =正方形EFGH （， S 阴影=ABCD S 正方形-S 正方形EFGH =2c -2-a)b （=（22a b +）-2-a)b （.三、赵爽弦图的应用1.正确识别赵爽弦图例1 （2019•湖北省咸宁市）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是 （ ）A ．B ．C ．D ．解析：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，故选：B ．点评：熟记赵爽弦图的基本构造，明白弦图的构成要素，清楚弦图的构造方式，懂的弦图的构造原理，把握弦图的意义，是解题的关键.通过弦图的识记，也培养自己的爱国热情.2.探求赵爽弦图中四个直角三角形的面积和例2（2020.绍兴）如图2，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图3放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图3中阴影部分面积为 ．解析：由题意可得，223ABCD S c ==正方形=9，直角三角形的另一条直角边长为：=，∴S 阴影=ABCD S 正方形-S 正方形EFGH =2c -2-a)b （=9-25-2)（=9-（9-45）=45. 点评：运用勾股定理，求得直角三角形的另一直角边长是解题的关键.3.变式赵爽弦图，探求2a+b)（的值 例3（2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图4），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图5的形式摆放，那么图5中最大的正方形的面积为 ．解析：根据赵爽弦图的几何意义，得22a b +=15，2-a)b （=3，图5中大正方形的面积为：2a+b)（，∵2-a)b （=3，∴222a ab b -+=3，∴15﹣2ab=3，∴2ab=12，∴2a+b)（=2-a)b （+4ab=3+2×12=27，或2a+b)（=22a b ++2ab=15+12=27. 点评：熟练运用赵爽弦图的几何意义是解题的关键，其次，灵活进行和的完全平方公式，差的完全平方公式的变形计算，也是解题的重要基本技能.4.构造赵爽弦图，探求直角边积的最值例4（2020·湖南娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图6所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积。
《基本不等式(第1课时)》教学设计
课题：基本不等式（第1课时）一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系.认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况，符合学生的认知规律．学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的“最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题．同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容．教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程．有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一．《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”、“还应注重提高学生的数学思维能力”．本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识．二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A 版《数学（必修5）》第三章 3.4基本不等式：2a b +≤的第1课时． “基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型．基本不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化．这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量．这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
赵爽弦图中的不等式性质的再探究课件
赵爽弦图中不等式性 质的再探究
设计的魅力是创意
教学的活力是生成
基本不等式是高中最重要 的一个不等式，其结构简单、 均匀对称，意蕴深厚，实现了 概念原理、符号语言、图形语 言与自然语言的有机结合和高 度统一。数学之美、数学之奇、
数学之简、数学之趣尽在其中，
蕴含了丰富的数学文化特征和 多样的数学智慧因素。
ab a 2 b2 ab 1 1 2 2 a b 2
问题：赵爽弦图是在正方形中构造直
角三角形，请大家思考能否在其它图
形中构造类似的弦图来推导基本不等 式？
学生能够运用类比的方法猜
想并重构赵爽弦图，在“变”
的现象中发现“不变”的本 质，从“不变”的本质中探 索“变”的规律，设计“私 人定制”的弦图，探索推导 基本不等式的新途径，是一 种超越，是一种创意．
ab ab 1 1 2 a b 2
a2 b2 2
知识与能力
过程与方法
情感与态度
利用赵爽弦图，深 入挖掘其中蕴含的 丰富的不等关系（
即基本不等式链）
。
启动观察、分析、 归纳、总结、抽象 概括等思维活动， 经历基本不等式链 的发现、建构、应 用，感受数学的拓 广过程，体会数形 结合思想，提高数 学的归纳能力和抽 象能力。
Hale Waihona Puke 通过观察、分析、归纳、概括、猜想、应用等思维活动，使学生 充分地经历基本不等式链的探究发现和证明应用的过程。
问题：请同学们回忆一下以前借助赵爽弦 图主要研究了什么？
赵爽弦图的直观再现， 基本不等式的重新回 顾，促使学生在直观 丰富的情境下感知公
式的基本特征和形式，
有效强化“抽象知识” 和“几何原型”之间 的本质联系.
弦图的几例应用_宋晶靓
北京市枣营中学（１００１２５） 宋晶靓 人教版初中数学八年级下册中，应用我国古代数学家赵爽构造的“弦图”（如图１）证明了勾股定理，数形结合，招法俊巧，过程简捷，深受师生的欢迎．正如课本所说：“赵爽弦图表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．”今天，我们应用“赵爽弦图”证明几道中考数学题和初中数学竞赛中的正方形问题，发扬我国古代数学的光辉，过程依然是简单明了．一、赵爽弦图的结构特征首先我们分析赵爽弦图的几何构造特征，应用时就不再一一证明了．１．如图１所示，赵爽弦图是以四个全等的直角三角形的斜边ｃ为边长的正方形，其中的小正方形的边长为该直角三角形两直角边之差ｂ－ａ（ｂ＞ａ）．图１图２２．如图２所示，延长直角三角形ＡＢＥ的直角边ＡＥ，与ＢＣ相交于点Ｐ，因为ＥＰ∥ＦＣ，所以ＢＰ：ＰＣ＝ＢＥ：ＥＦ，从而把大正方形ＡＢＣＤ的分割边长之比与直角△ＢＦＣ的分割边长之比建立了等量关系．３．如图２所示，四边形ＡＥＣＧ为平行四边形，大正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与小正方形ＨＥＦＧ的对角线ＧＥ互相平分，即大正方形与小正方形的中心重合．还有如图２中有与△ＢＥＰ全等的四小直角三角形等等，我们就不一一说明了．二、弦图的应用例１ （２０１４年重庆中考数学试题）如图３所示，正方形ＡＢＣＤ的边长为６，点Ｏ是对角线ＡＣ、ＢＤ的交点．点Ｅ在ＣＤ上，且ＤＥ＝２ＣＥ，连接ＢＥ．过点Ｃ作ＣＦ⊥ＢＥ，垂足是Ｆ，连接ＯＦ，则ＯＦ的长为．此题是２０１４年重庆中考的填空题的第１８题，为填空题的压轴题，难度大，在原证明中要利用四点共圆，相似三角形等知识才能证明，我们观察到Ｒｔ△ＢＣＦ是以正方形ＡＢＣＤ的边为斜边的直角三角形，从而想到应用赵爽弦图．解 如图３，添加辅助线，构造弦图，易知点Ｏ为小正方形ＦＧＩＨ的中心，于是ＯＦ应是为小正方形对角线的一半．下面的步骤是先求出小正方形的边长ＦＧ，后确定ＯＦ的长．图３在Ｒｔ△ＢＣＥ中，∵ ＣＥ＝２，ＢＣ＝６，∴ ＢＥ＝ＢＣ２＋ＣＥ槡２＝６２＋２槡２槡＝２ １０．∵ ＣＦ⊥ＢＥ，∴ ＢＥ·ＣＦ＝ＢＣ·ＣＥ．∴ ＣＦ３ ＝槡１０５．∵ ＥＦ∥ＧＤ，∴ ＣＥＤＥ＝ＣＦＧＦ＝１２．∴ ＧＦ＝２ＣＦ６ ＝槡１０５．数学竞赛之窗从而 ＯＦ＝ＦＧ槡２＝６槡１０５槡２＝６槡５５．例２ （２００７年浙江省初中数学竞赛题）如图４所示，以Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＢＣ为一边，在△ＡＢＣ的同侧作正方形ＢＣＥＦ，设正方形的中心为Ｏ，连结ＡＯ，若ＡＢ＝４，ＡＯ＝６槡２，那么ＡＣ的长等于（ ）．图４（Ａ）１２ （Ｂ）１６ （Ｃ）４槡３ （Ｄ）８槡２我们看到的解答要用到四点共圆，添加辅助线方法奇特，考生不易想到，依然是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边为正方形ＢＣＥＦ的一边，构造弦图可简解之．解 如图４所示，构造弦图，易知大正方形ＢＣＥＦ的中心Ｏ也为小正方形ＡＧＨＫ的中心，ＯＡ为小正方形对角线的一半．因此 ＡＫ＝槡２ＯＡ＝槡２×６槡２＝１２．又可知 ＣＫ＝ＡＢ，所以 ＡＣ＝ＡＫ＋ＫＣ＝１２＋４＝１６．故选（Ｂ）．因为是选择题，添出弦图后，心算即可．得正确答案，这是解选择题的上策．例３ （２００４年河北省初中数学竞赛试题）如图５所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＢＤ是中线，ＡＥ⊥ＢＤ交ＢＣ于点Ｅ，求证：ＢＥ＝２ＥＣ．这是一道非常优秀的几何题，把ＢＥ＝２ＥＣ变化为ＥＣＢＥ＝１２有多种证法，并且有种种推广，我们应用弦图再一次证明它．证明 如图５所示，把等腰直角△ＡＢＣ补全为正方形ＡＢＮＣ，∵ ＡＥ⊥ＢＤ，设垂足为Ｆ，图５∴ Ｒｔ△ＡＦＢ是以正方形ＡＢＮＣ一边ＡＢ为斜边．因此作赵爽弦图．∵ Ｄ为ＡＣ的中点，∴ Ｐ、Ｒ、Ｑ分别为ＣＮ、ＮＢ、ＢＡ的中点．在△ＣＭＮ中，ＰＥ∥ＮＭ，Ｐ为ＣＮ的中点，从而 ＣＥ＝ＥＭ．在△ＢＡＥ中，ＱＭ∥ＡＥ，Ｑ为ＢＡ的中点，又有 ＢＭ＝ＭＥ．所以 ＢＥ＝２ＥＣ．总而言之，凡正方形中，有以其一边为斜边的直角三角形问题，不妨画出赵爽弦图，观察弦图是否有功效，这样的数学活动经验我们应当掌握，往往能事半功倍．（责审 周春荔櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒毃毃毃毃）智慧窗《剪剪拼拼》参考答案。
初中数学解题模型专题讲解27---弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用
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内角或某 2 个内角之和能不能成为一个正多边形的内角. 1.当有一个内角为α 的三角形的对边已知，α 能成为一个正多边形的外角(即剩下
2 个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其 面积最大值；
内弦图
图1
图2
弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面 积最大值问题.
例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值；
(2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.
解：(1) 如图 3，取 4 个这样的全等直角三角
形组
成外弦图，直角三角形面积等于外
正方形的面
的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结
果.
外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小
值，而内正方形的半径最小值为 2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的
1 面积最大值为： ×2×2=2.
2
分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定 值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决 这类问题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们 能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而 且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.
1 S = absinA 、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例 1(2)与例 2(2)，
2 发现 90°和 120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角 可以是 45°！我们应当放弃这种方法！
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习本文没有明显的格式错误和问题段落。
以下是小幅度改写后的文章：本教案旨在帮助学生掌握高中数学中重要的等式性质与不等式性质，这是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。
同时，等式性质与不等式性质也为学生以后顺利研究基本不等式起到重要的铺垫。
教学目标包括掌握等式性质与不等式性质及其推论，能够运用其解决简单的问题，进一步掌握比较法比较实数的大小，以及通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
教学重点是掌握不等式性质及其应用，难点则是不等式性质的应用。
为此，我们采用以学生为主体的诱思探究式教学，精讲多练的教学方法，借助多媒体等教学工具，引导学生独立思考、小组讨论，充分发挥学生的主动性和创造性。
在教学过程中，我们通过情景导入，引导学生观察和思考现实生活中的相等关系和不等关系；通过预课本，引入新课，让学生自主思考和探究不等式的基本性质、比较多项式大小的方法以及重要不等式等内容；通过典例分析和举一反三，帮助学生更好地应用不等式性质解决实际问题。
最后，我们希望通过本教案的教学，能够培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等方面的素养，提高学生的数学思维水平和解决实际问题的能力。
已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范围。
首先，可以将2a+b拆开，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界为4.然后，将2a+b拆开，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界为3.因此，2a+b的取值范围为3<2a+b<4.基本不等式”是必修1的重要内容。
它是在研究不等关系和不等式性质，掌握不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时，它也是为了以后研究选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
人教版高中选修3-1一《周髀算经》与赵爽弦图课程设计
人教版高中选修3-1一《周髀算经》与赵爽弦图课程设计1. 前言本文档是一份针对高中数学选修3-1一《周髀算经》和赵爽弦图的课程设计，旨在帮助教师更好地开展教学工作，同时让学生更好地理解《周髀算经》和赵爽弦图相关的知识。
2. 课程设计内容和目标2.1 课程设计内容本次课程设计主要涉及以下内容：•学习《周髀算经》中的各种算法和运算方法；•理解赵爽弦图的相关知识，包括图的性质，算法等；•进行相关案例分析，掌握实际应用和解决问题的方法。
2.2 课程设计目标通过本次课程设计，学生将会掌握以下知识和技能：•理解和运用《周髀算经》中的算法和运算方法；•掌握赵爽弦图的相关知识，包括图的性质，算法等；•能够进行相关案例分析，解决实际问题。
3. 课程设计方法和步骤3.1 课程设计方法本次课程设计采用了多种教学方法，包括：•讲授法：通过讲解相应的概念，理论知识和算法，提高学生的认识水平；•实践法：通过练习和案例分析，让学生掌握具体应用技能；•探究法：引导学生自主发现、思考和研究问题，提高学习主动性和创造力。
3.2 课程设计步骤本次课程设计的具体步骤如下：•第一步：讲授《周髀算经》中的算法和运算方法；•第二步：讲解赵爽弦图的相关知识，包括图的性质、算法等；•第三步：进行相关案例分析，提高学生的应用能力；•第四步：总结课程内容，为下一步教学做铺垫。
4. 课程设计的关键知识点和难点4.1 关键知识点本次课程设计的关键知识点包括：•《周髀算经》中的各种算法和运算方法；•赵爽弦图的性质、算法等；•相关案例分析。
4.2 难点本次课程设计的难点主要有：•算法和运算方法的理解和掌握；•赵爽弦图的性质和算法的理解；•案例分析中的问题解决思路和方法。
5. 课程设计的考核方式为了能够全面评估学生的教学效果，本次课程设计将采用以下考核方式：•课堂参与度和表现；•作业完成情况；•考试成绩。
6. 结语本次课程设计旨在帮助学生更好地理解和掌握《周髀算经》和赵爽弦图相关的知识，同时能够在实际应用中解决实际问题。
弦图练习题(打印版)
弦图练习题（打印版）# 弦图练习题（打印版）## 一、基本概念题1. 定义解释：请解释什么是弦图，并简述其在数学中的重要性。
2. 图形识别：给出一个图形，请判断它是否为弦图，并说明理由。
## 二、理论应用题1. 弦图性质：弦图有哪些基本性质？请列举至少三个。
2. 弦图判定：若一个图有n个顶点，且任意两个顶点之间的距离至少为k，证明或反驳该图是弦图。
## 三、计算题1. 弦图边数：给定一个弦图，顶点数为10，求该弦图可能的最大边数。
2. 弦图的最小生成树：在一个弦图中，若已知所有顶点的权重，请找出其最小生成树，并说明计算方法。
## 四、证明题1. 弦图的闭包：证明弦图的闭包仍然是弦图。
2. 弦图的连通性：证明弦图是强连通的。
## 五、综合应用题1. 弦图的着色问题：在一个弦图中，每个顶点需要被着色，使得相邻的顶点颜色不同，求最少需要多少种颜色，并给出着色方案。
2. 弦图的最短路径：在给定的弦图中，找出从一个顶点到另一个顶点的最短路径，并证明其最短。
## 六、开放性问题1. 弦图在实际应用中的例子：请列举弦图在实际问题中的应用场景，并简述其作用。
2. 弦图的扩展研究：提出一个关于弦图的研究方向或问题，并简要说明研究的意义。
注意事项：- 请在答题前仔细阅读题目要求。
- 答题时请保持思路清晰，逻辑严密。
- 确保答案准确无误，避免出现计算错误或逻辑漏洞。
打印说明：- 本练习题为打印版，适合在纸上作答。
- 请使用清晰的字迹，保持卷面整洁。
- 如有需要，可使用图表辅助说明。
祝答题愉快！。
正方形弦图讲解及应用[讲解]
![正方形弦图讲解及应用[讲解]](https://img.taocdn.com/s3/m/db499de1bb0d4a7302768e9951e79b89680268ed.png)
正方形弦图讲解及应用
[例1] 如图，321l l l 、、是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两
条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上， 正方形ABCD 的面积是25.
（1） 连接EF,证明△ABE 、△FBE 、△ED 、△CDF 的面积相等
（2） 求h 的值
[例2] 已知，在直角梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BDC=α,以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE,连接AE,CE.
(1) 当α
=45°时，求△EDA 的面积 (2) 当α
=30°时，求△EDA 的面积 (3) 当0°＜α＜90°时，猜想△EDA 的面积与α大小有何关系？若有关系写出△EDA 的面积S 与α的关系式；若无关系，请证明结论
[例3] 如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG。
过A做AH⊥BC与H，AH的反向延长线与EG交与P，求证：BC=2AP
[例4] 如图，已知正方形ABCD边长为a，对角线AC、BD相交于点O，将另一边长为A的正方形OEFG的一个顶点放在O处，其相邻两边与正方形ABCD的相邻两边相交于M、N两点，当正方形OEFG绕着O点旋转任意角度时，请探索：在旋转过程中，两个正方形重叠部分图形的周长与面积是否发生变化，若变化，请求出其变化范围；若不变，请求出相应的定值
[例5]E、F分别是正方形ADCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，求证：AH=AB
[例6]如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√5，BP=√2，PC=1，求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长。
研究数学中的弦图理论
数学中的弦图理论是图论的一个重要分支，其研究对象是弦图。
弦图是指具有特殊性质的图，它在各个领域中有着广泛的应用，如算法设计、网络优化等。
弦图是指一个简单图，它的所有环（长为3或更多的环）都至少有一个弦，也就是连接环上非相邻顶点的边。
简单地说，弦图可以看作是一个具有“穿线”的图。
研究弦图理论的一个重要原因是弦图具有很多优良的性质。
首先，弦图是完美图，即任何弦图的补图也是弦图。
这个性质在图着色和极大团的研究中起到了重要的作用。
其次，弦图的最大团问题可以在多项式时间内解决。
最大团问题是指在一个图中找到顶点数最多的完全子图，而弦图的最大团问题可以通过最大完全子图和分治思想来解决。
弦图的给定问题是研究弦图性质的另一个重要方面。
其中一个著名的问题是给定一个图，判断它是否为弦图。
对于这个问题，已经有了很多经典的算法和判定准则。
其中，最著名的是Perfect Graph定理，它给出了判定一个图是否为弦图的充分必要条件。
Perfect Graph定理是对弦图家族的完全描述，它的证明使用了极大团和最大独立集的性质。
此外，弦图还广泛应用于现实生活中的问题。
例如，在路由算法中，弦图被用于寻找网络中的最短路径和最小生成树。
在可视化问题中，弦图可以用于绘制图的布局，使得图的结构更清晰，方便观察和分析。
在生物学中，弦图可以用于研究RNA二级结构的折叠问题。
总之，弦图理论是数学中的一个重要研究领域，它涉及到了多个数学分支的知识，如图论、算法设计等。
弦图在算法设计和网络优化等领域中有着广泛的应用，其性质和特点也使得它成为研究的热点问题。
随着研究的深入，弦图理论必将为解决实际问题提供更多的工具和方法。
我们相信，在未来的研究中，弦图理论将继续发挥重要的作用，为数学和应用领域带来更多的创新和突破。
弦图证明基本不等式
弦图证明基本不等式弦图证明基本不等式是一种数学应用，用于证明关于函数，椭圆或曲线的一类重要不等式，也就是所谓的基本不等式。
弦图证明基本不等式被认为是数学应用之一，也是数学分析学的一个重要领域。
在数学中，基本不等式指的是满足下列基本条件的不等式或等式：给定实数集合A，a，b，c，d，f，g，h，j，k，l，m，n，p，r，s，t，u，v，w，x，y和z，存在实数x，使得以下不等式成立。
a < b, c < d, f < g, h < j, k < l, m < n, p < r, s < t, u < v, w < x, y < z。
由于这些不等式满足基本性质，这些不等式称为基本不等式。
弦图证明基本不等式是一种利用弦图证明基本不等式的数学方法。
在这种情况下，特定的函数y = f (x)将被转换成一个弦图，同时也可以将基本不等式表示成一个弦图。
弦图证明基本不等式的步骤如下：首先，应该将函数y = f (x)转换成一个弦图。
通常，这个弦图可以根据函数中的系数来绘制，或者通过曲线拟合的方法。
绘制的弦图的形状会受到函数的形式以及系数的影响。
其次，应该将基本不等式表示成一个弦图。
基本不等式弦图也是一个曲线，其中包含有满足下列基本关系的点：a < b, c < d, f < g, h < j, k < l, m < n, p < r, s < t, u < v, w < x, y < z最后，在使用弦图证明基本不等式时，应该将这两个弦图进行比较，以进行证明。
根据该证明，一个函数弦图小于另一个基本不等式弦图，而且这两个弦图均满足相关的不等式条件，则可以证明该基本不等式的正确性。
因此，弦图证明基本不等式是一种实用的数学工具，可以帮助我们证明函数，椭圆或曲线的一类重要不等式。
使用弦图证明的数学模型可以轻松验证基本不等式的正确性。
数学史融入数学教学的教学案例探究——基本不等式的证明教学案例
㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学史融入数学教学的教学案例探究数学史融入数学教学的教学案例探究㊀㊀㊀ 基本不等式的证明教学案例Һ张㊀薇㊀（江苏省奔牛高级中学，江苏㊀常州㊀２１３１３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过ＨＰＭ理论与实践研究，开展形式多样的数学史学习活动，在教学中渗透数学文化，探寻教材与学生数学史学习的有效契合点，落实学生在教学活动中的主体地位．本文基于数学史融入数学教学的案例研究，旨在表明学习数学史对学生深度学习数学㊁激发数学学习积极性㊁增强数学学习自信㊁全面提高数学核心素养有着极为重要的作用．ʌ关键词ɔ数学文化；数学史；深度学习；核心素养一㊁背景描述‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“指出：新课程的目标之一为通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑㊁善于思考㊁严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值㊁应用价值㊁文化价值和审美价值．课程的设计依据数学学科特点，关注数学逻辑体系㊁内容主线㊁知识之间的关联，重视数学实践和数学文化．数学文化是指数学的思想㊁精神㊁语言㊁方法㊁观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动，而数学的价值与数学文化密切相关．［１］英国数学史学家福韦尔认为数学史让学生认识数学文化的多元性，提供了社会和文化因素决定数学发展的例子，他总结了数学教学中运用数学史的１５条理由：（１）增加学生的学习动机；（２）改变学生的数学观；（３）因为知道并非只有他们自己有困难，因而得到安慰；（４）使数学不那么可怕；（５）有助于保持对数学的兴趣；（６）给予数学人文的一面；（７）有助于解释数学在社会中的作用；（８）有助于发展多元文化进路；（９）历史发展有助于安排课程内容顺序；（１０）告诉学生概念如何发展，有助于他们对概念的理解；（１１）通过古今方法的对比，确立现代方法的价值；（１２）提供探究的机会；（１３）过去的发展障碍有助于解释今天学生的学习困难；（１４）培养优秀生的远见卓识；（１５）提供跨学科合作的机会．［２］由此可见，数学史在数学教育中有重要作用．基本不等式是中学数学的重要内容．课程标准要求：掌握基本不等式ａｂɤａ＋ｂ２（ａȡ０，ｂȡ０）．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．以下给出 基本不等式 一节在四版教科书中的位置㊁呈现方式以及前后知识顺序．教科书版本位置呈现方式前后知识顺序人教版Ａ版必修五３．４基本不等式探究赵爽弦图，引出基本不等式，利用作差法证明基本不等式，利用圆中的线段给出基本不等式的几何解释．先学习不等式关系与不等式（含重要不等式），再学习基本不等式，最后学习一元二次不等式和二元一次不等式人教版Ｂ版必修一２．２．４均值不等式及其应用从等周问题及等面积问题引出基本不等式，列举表格，利用特值判断大小关系，利用圆中的线段给出基本不等式的几何解释．先学习不等式的基本性质，然后学习一元二次不等式的解法与其他不等式的解法，最后学习基本不等式及其应用．沪教版高一第一学期２．４基本不等式从等周问题引出基本不等式，通过作差法证明基本不等式，利用弦图和直角三角形模型给出基本不等式的几何模型．先学习不等式的基本性质，然后学习一元二次不等式的解法与其他不等式的解法，最后学习基本不等式及其应用．苏教版必修一３．２基本不等式通过不等臂天平问题引出基本不等式，给出基本不等式的三种证明方法，利用圆中的线段给出基本不等式的几何模型，赵爽弦图作为课后习题出现．先学习不等关系，然后学习基本不等式，最后学习从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式．在呈现方式上，四版教科书分别从赵爽弦图㊁等周问题㊁等周问题㊁不等臂天平问题引出基本不等式，在顺序上都是先学习不等关系再学习基本不等式．二㊁案例展示以下就 基本不等式的证明 的几种不同教学设计略谈一孔之见．设计一：从不等臂天平引入１．片段１ 设置问题情境一位富有的珠宝商有很多漂亮别致的珠宝，很多人去他那买珠宝，可是回家一称，发现重量上有出入．于是大家求助消费者权益保护协会，在调查员的询问下，这位珠宝商终于承认自己在天平上做了手脚，店里所有的天平都是不等臂天平．他提出的调解方案：称两次，天平右盘称得质量为㊀㊀㊀㊀㊀ａ，左盘称得质量为ｂ，取平均值ａ＋ｂ２（ａʂｂ）作为珠宝的实际质量，退差价．如果你是消费者，你是否同意该珠宝商的方案？ʌ设计意图ɔ给不等臂天平赋予趣味性的背景，激发学生的兴趣，调动学生的积极性，激发学生解决问题的强烈愿望．２．片段２ 组织探究活动问题１：用这个不等臂的天平，你能不能求出珠宝的实际质量？生１：由物理中所学的杠杆原理，设物体质量为Ｍ，天平两边的力臂分别为ｌ１，ｌ２，则有Ｍｌ１＝ａｌ２，Ｍｌ２＝ｂｌ１（ｌ１ʂｌ２），两式相乘，化简可得Ｍ＝ａｂ．问题２：你是否赞同珠宝商的方案？生２：这就要比较ａ＋ｂ２（ａʂｂ）和ａｂ的大小，从而看哪个数值对我们更有利．问题３：ａ＋ｂ２与ａｂ，哪个大？生３：我用具体数值代入计算，发现：当ａʂｂ时，ａｂ＜ａ＋ｂ２；当ａ＝ｂ时，ａｂ＝ａ＋ｂ２．师：非常好！同学们已经走出了得到数学真理的第一步：实验 猜想 归纳．数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观获得的结论，而要用严谨的推理来证明这个结论．你能给出它的证明吗？ʌ设计意图ɔ学生从案例出发，有了解决问题的迫切需要．３．片段３ 展开科学论证学生独立证明并板书，教师总结．生４：ａｂ－ａ＋ｂ２＝－（ａ）２－２ａｂ＋（ｂ）２２＝－（ａ－ｂ）２２ɤ０．生５：ȵａｂɤａ＋ｂ２，ʑａｂɤａ＋ｂ２()２，ʑ４ａｂɤａ２＋２ａｂ＋ｂ２，ʑａ２－２ａｂ＋ｂ２ȡ０，即（ａ－ｂ）２ȡ０，显然成立．师：观察两位同学的证明过程，说说你的看法．生６：第一种方法是作差比较法，也可以平方以后作差；第二种方法把要证明的结论当条件用了，需要把顺序颠倒一下．ȵ（ａ－ｂ）２ȡ０，ʑａ２－２ａｂ＋ｂ２ȡ０，ʑ４ａｂɤａ２＋２ａｂ＋ｂ２，ʑａｂɤａ＋ｂ２()２．ȵａ＞０，ｂ＞０，ʑａｂɤａ＋ｂ２．生７：老师，你看这样改可以吗？要证ａｂɤａ＋ｂ２，只要证ａｂɤａ＋ｂ２()２，即证４ａｂɤａ２＋２ａｂ＋ｂ２，即证ａ２－２ａｂ＋ｂ２ȡ０，即（ａ－ｂ）２ȡ０．因为（ａ－ｂ）２ȡ０成立，所以等式成立．师：非常好！虽然第二种方法有点小问题，但是我们稍微改动一下就得到两种不同的方法，其中学生７的方法我们称之为分析法，学生６的方法我们称之为综合法．我们发现学生６的方法并不是一眼就能看出来的，而是建立在先对题目进行分析，也就是分析法的基础上书写的．所以，一般我们可以先用分析法进行分析，再用综合法证明．看来珠宝商还是多赚钱的，只有ａ＝ｂ时他才是一个守法的商人啊！ʌ设计意图ɔ本环节请同学板演，选一位从结论开始证明的同学，在同学们的分析中发现问题，经过自己的思考得到正确的结果．学生经历了猜想 尝试 修正 得到结论的过程，收获了成功的喜悦，对问题有了更深层次的理解．这是学生进行的一次深度学习，经历了一次从旧知到新知的过程．学生对自己猜想的结果进行证明，获得了新的知识，激发了学习数学的兴趣，完成了一次科学探究的过程： 提出问题 猜想与假设 实验和论证 ．问题４：对于基本不等式，你有哪些认识？生８：不等式左边是积的形式，右边是和的形式．生９：要注意不等式成立的前提条件是非负数，等号成立的条件是两式相等．师：我们还可以通过半圆中的半径与半弦的关系来解释基本不等式．我们将ａｂ称为正数ａ，ｂ的几何平均数，将ａ＋ｂ２称为正数ａ，ｂ的算术平均数．几何直观能启迪思路㊁帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学是数学学习中的重要方面，只有做到了直观上的理解才是真正的理解．ʌ设计意图ɔ通过对基本不等式结构的再分析，使学生对基本不等式有更深层次的理解．设计二：从赵爽弦图引入，设置问题情境师：同学们，请欣赏一下赵爽弦图．赵爽，又名婴，字君卿，东汉末至三国时代吴国人，是我国历史上著名的数学家与天文学家，代表作品‘勾股圆方图注“．问题１：你能在这个图中找到一些相等关系和不等关系吗？图１生１：四个直角三角形全等，对应的边角都是相等的．生２：直角三角形的直角边小于斜边，小正方形的边长小于直角三角形的边长．师：研究一个图形，除了研究边角关系外，还研究它的周长与面积．从这个方面看，你还能得到哪些不等关系？㊀㊀㊀㊀㊀㊀生３：每个三角形的面积小于大正方形的面积．生４：四个三角形的面积之和小于大正方形的面积．问题２：正方形ＡＢＣＤ中有４个全等的直角三角形，设直角三角形的直角边分别为ａ，ｂ，你能用数学符号来表示这个结论吗？生５：２ａｂ＜ａ２＋ｂ２（ａ＞０，ｂ＞０）．师：该不等式能否成为等式？ａ，ｂ的范围能否扩大？生６：当直角三角形变为等腰直角三角形即ａ＝ｂ时，２ａｂ＝ａ２＋ｂ２（ａɪＲ，ｂɪＲ）．师：非常好．由此我们得到一个重要不等式：２ａｂɤａ２＋ｂ２（ａɪＲ，ｂɪＲ）．如果我们用ａ，ｂ代替上式中的ａ，ｂ，能得到什么结论？生７：２ａｂɤａ＋ｂ（ａȡ０，ｂȡ０）．师：这就是我们今天要学习的基本不等式．下同设计一．ʌ设计意图ɔ通过赵爽弦图研究面积关系，引入重要不等式与基本不等式．学生通过赵爽弦图了解数学家赵爽，燃起了强烈的民族自豪感．设计三：从等周问题引入，设置问题情境师：海岛很大，古人既没有航拍图，也无法测算精确的岛屿面积，他们是怎么确定面积的呢？公元前５世纪，雅典人修昔底德测量西西里岛大小的时候，乘船绕海岸线一周，记录航行时间．在修昔底德看来，绕岛一周所花费的时间越长，海岸线越长，也就说明该岛的面积越大．同学们，你们觉得这个方法有数学依据吗？生１：有数学依据．绕岛时间越长，说明海岸线越长，意味着岛越大．师：公元前２世纪，历史学家波利比乌斯曾说，有人对于等诸城的两个营地可以容纳不同数量的人感到困惑不解．公元１世纪，博物学家老普林尼根据周长来估算不同地区的面积．公元５世纪，古希腊哲学家普罗克拉斯提到，在他所生活的时代，在某些公有制社会里，有人将周长更大但面积更小的土地分配给别人，而把周长更小面积更大的土地分给自己，还被视为大公无私．那么，海岸线越长，就意味着岛越大吗？生２：不一定．一个图形周长确定的时候，面积不能确定．师：测量的时候还遇到一个问题：有两座岛周长相等，那么哪个面积大呢？聪明的你怎么解决这个问题呢？生３：我们将海岛想象成矩形就可以做了．师：非常好的思路，为了让这个问题更利于我们现在解读，可以简化，假设两个图形都是矩形．问题１：你能证明 在周长为定值的所有矩形中，面积最大的是正方形吗 ？生４：设矩形长与宽分别为ａ与ｂ，矩形面积Ｓ＝ａｂ，当ａ＝ｂ时，正方形面积Ｓᶄ＝ａ＋ｂ２()２＝ａ２＝ｂ２，作差得Ｓᶄ－Ｓ＝（ａ＋ｂ）２２－ａｂ＝（ａ－ｂ）２２ȡ０，当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立．所以，ａｂɤ（ａ＋ｂ）２２，即ＳɤＳᶄ，即周长为定值的矩形中，面积最大的是正方形．师：从上面的分析过程发现Ｓᶄ－Ｓ＝（ａ＋ｂ）２２－ａｂ＝（ａ－ｂ）２２，这个等式也与欧几里得‘几何原本“中的式子等价，在课堂中我们能与先哲的方法遥相呼应，也是很有意思的事．我们把不等式２ａｂɤ（ａ＋ｂ）２（ａɪＲ，ｂɪＲ）称为重要不等式，当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立．下同设计一．ʌ设计意图ɔ从数学史上的等周问题入手引入基本不等式，学生经历了一次生活 数学 生活的学习过程，把握了问题的本质，化繁为简，通过联想已有的学习经验，运用现有知识解决问题，并由此建构了新知识，成为教学活动的主体．在这样的深度教学下，学生发现高级知识都可以由低级知识而来，激发学生学好数学的自信．三㊁稚化点评课堂是教师㊁学生㊁教材三要素相互碰撞的场所，最大限度地调动学生的学习积极性㊁充分发挥学生的主体地位㊁让学生深度学习是数学课堂教学的重要任务．因此，创设一个好的课堂情境是数学教学中的一个重要环节． 基本不等式 是一节典型的新授课，有很多的情境引入方式．设计一从学生感兴趣的实际问题出发，对书中的情境进行改编，使之更有趣味性，从学生原有的知识和经验中寻找新知识的生长点，与物理知识的结合更是拓展了学生的思维．设计二从赵爽弦图入手，问题的设置引发学生积极思考，在追寻先人的脚步中获得成功的喜悦．设计三从等周问题入手，对书中比较简单的情境引入进行史料的丰富，激发学生的学习动机和解决问题的愿望．笔者所在的教研组对 基本不等式的证明 进行了同题异构，三位教师分别采用了设计一㊁二㊁三进行课堂教学．从三节不同的课例实践来看，设计三的学生上课反映及接受程度更好．除了外在的一些原因，如学生本身的水平及执教教师问题的设置，更多在于情境的设置非常生动有趣，直接将学生代入情境，使学生有了迫切解决问题的愿望．在数学教学中融入数学史并不是为历史而历史，而是要使数学史发挥其独特的作用，否则就毫无意义，只会挤占课堂时间．任何一个主题的背后都有丰富的史料，但并非所有史料都适合课堂教学，这就需要执教教师大量阅读，有丰富的知识积累，化繁为简，设计适合学情的情境，让学生在数学知识学习中提高数学素养，在深度学习中发展兴趣㊁培养自信㊁获得成功．将数学史融入数学教学过程，教师会遇到很多困难，如资料欠缺㊁学生无基础等，但要明白在教学中融入数学史的价值与重要性，只有提高自己的数学史积累才能做到融会贯通㊁引入自然㊁润物细无声．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２０．［２］汪晓勤．ＨＰＭ：数学史与数学教育［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［３］汪晓勤，沈中宇．数学史与高中数学教学：理论㊁实践与案例［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２０２０．。
弦图模型练习题
弦图模型练习题弦图（Chordal Graph），也被称为完美消除序列图（Perfect Elimination Ordering Graph），是一种重要且广泛应用于图论和图模型中的特殊图结构。
在这篇文章中，我们将介绍弦图模型的基本概念和性质，并提供一些练习题供读者练习。
一、弦图的定义与性质弦图是指任意一个环的长度大于等于4的简单图，如果它的任意一个环中存在一个完全连接该环上所有顶点的边，则称该图为弦图。
弦图具有以下性质：1. 弦图是一种传递性图，即如果存在两条边都与同一个顶点相连，则这两条边之间也必然存在一条边。
2. 弦图的任意一个极大团都是完全图，即团中的任意两个顶点之间都有边相连。
3. 弦图的最大团是唯一的，而且最大团的大小等于其最大团的团数。
二、弦图的判定算法给定一个无向图，判定它是否为弦图是一个典型的算法问题。
弦图的判定可以通过以下基本算法来进行：1. 构造完美消除序列：首先选取一个无向图的任意一个顶点，将其标记为0，然后按照标记顺序，依次标记其他顶点的序号，并使得每个顶点的标号比其邻接顶点的标号大。
2. 验证完美消除序列：对于构造好的完美消除序列，可以通过检查序列中每个顶点与其标号之后的顶点形成的团是否都是完全图来验证是否为弦图。
三、弦图模型的应用弦图模型在图论和图模型中具有广泛的应用，其中一些典型的应用包括：1. 数据冲突分析：弦图可以用于分析并发系统中的数据冲突，通过构建弦图，可以有效地检测到并发操作中可能导致数据冲突的路径。
2. 生物信息学：在基因组学和蛋白质结构预测中，弦图被用于建模和分析DNA和蛋白质的相互作用关系，从而推断其结构和功能。
3. 计算机网络：在网络拓扑分析中，弦图被用于分析网络中节点的关系和连接方式，以优化网络性能和资源分配。
四、练习题下面是一些弦图模型的练习题，供读者加深对弦图的理解和应用：1. 给定一个无向图，如何构造其对应的完美消除序列？2. 给定一个无向图的完美消除序列，如何验证该图是否为弦图？3. 请用弦图模型解决一个实际问题，并描述求解过程。