2013高三立体几何选择填空问题集(较难,有答案)

2013高三立体几何选择填空问题集(有难度有答案)

班级______姓名________

一． 选择题

1．定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是（ ）

（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４

3．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，

C 在平面α内的射影为C 1，且C 1∉AB ，则△C 1AB 为 （ ）

（Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 4．已知四点，无三点共线，则可以确定( )

A.1个平面

B.4个平面

C.1个或4个平面

D.无法确定 5． 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )

A.4

B.3

C.2

D.5 6．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6

1

，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )

A.43

B.23

C.2

D. 3

7．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A ．

45π B ．87π C ．π D ．4

7π 8．某刺猬有2013根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四

根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。 A ．2013 B ．4022 C ．4024 D ．4026

命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c ②非零向量、

，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤

9．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）

A 、3

π

π（，） B 、23ππ（

，） C 、（0，2

π） D 、23ππ

（，）

3 10．以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面

的概率为 （ ） A ．

367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18

385

二．填空题

11．在三棱锥P —ABC 中，底面是边长为2 cm 的正三角形，PA ＝PB ＝3 cm

，转动点P 时，三棱锥的最大体积为 ．

12．P 为ABC ∆所在平面外一点，PA 、

PB 、PC 与平面ABC 所的角均相等，又PA 与

BC 垂直，那么ABC ∆的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形 13．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底

面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ .

14．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为

1，点M 在A 上，且AM=31

AB ，点P 在平面ABCD

上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M

的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动 点P 的轨迹方程是 .

15．三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，则此直线与另外一条直线所成的角 。

16．在水平横梁上A 、B 两点处各挂长为50cm 的细绳， AM 、BN 、AB 的长度为60cm ，在MN 处挂长为60cm 的木条，MN 平行于横梁，木条的中点为O ，若木条 绕过O 的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了 _________.

17．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A 在α平面内.其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别是1、2和4. P 是正方体其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：

①3；②4；③5；④6；⑤7.

以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号．．） 18.如图，棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O 1、O 2、O 3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m 3.

A

B C

D A 1 B 1

D 1 C 1 x y

M P 图－1 S

C

参考答案：

1．【答案】D 解析： 过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求 2．【答案】A 解析：设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．

3．【答案】C 解析：∵C 1A 2+C 1B 2

＝AB, ∴∠AC 1B 为钝角，则△C 1AB 为钝角三角形． 4．【答案】C.解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.

5．【答案】B 解析： 如图，设球的半径是r ，则πBD 2＝5π，πAC 2

＝8π，

∴BD 2＝5，AC 2

＝8.又AB ＝1，设OA ＝x.

∴x 2+8＝r 2,(x+1)2+5＝r 2.

解之，得r ＝3 故选B. 6．【答案】B 解析： 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr ＝4π,∴r ＝2.如图，设三点A 、B 、C ，O

为球心，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝3

π

，又∵OA ＝OB

∴ΔAOB 是等边三角形

同理，ΔBOC 、ΔCOA 都是等边三角形，得ΔABC 为等边三角形. 边长等于球半径R ，r 为ΔABC 的外接圆半径.

r ＝33AB ＝33

R

R ＝3

3r ＝23

∴应选B.

7．【答案】A ．解析：S=

41π·12×3+81×4π·12=4

5π。

8．【答案】B ．解析：当有n 根刺时有a n 种支撑法，n = 4，5， 6，… ，则a n+1=a n +3－1=a n +2或a n+1=a n +4

－2=a n +2，∴{a n }n = 4，5，6，…， 为等差数列，∵a 4 = 4∴a n =2n －4，A 2013＝4022 。 9．【答案】A ．解析：法一：考察正三棱锥P –ABC ，O 为底面中心，不妨将底面正△ABC 固定，顶点P 运动，相邻两侧面所成二面角为∠AHC.

当PO →0时，面PAB →△OAB ，面PBC →△OBC ，∠AHC →π 当PO →+∞时，∠AHC →∠ABC=3π. 故3

π

<∠AHC <π，选A.

法二：不妨设AB=2，PC= x ，则x > OC =3

3

2. 等腰△PBC 中，S △PBC =

21x ·CH =21·2·⇒-1x 2CH =

2x

112- 等腰△AHC 中，sin 2

x 1

121

CH 2AC

2AHC -==∠ 由x>332得2AHC sin 21∠<<1，∴3

22AHC 6π

⇒π<∠<π＜∠AHC ＜π.

10．【答案】A 解析：此问题可以分解成五个小问题： （１）由正方体的八个顶点可以组成3

856c =个三角形； （２）正方体八个顶点中四点共面有12个平面；

（３）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有2

44c =个；

（４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率2

43561218

358

c p c ==；

（５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得

18367

1;385385

P =-

=故选A ．

11.。3

6

2cm 3.解析:点P 到面ABC 距离最大时体积最大，此时面PAB ⊥面ABC ，

高PD=22cm ．V=362224433

1=⨯⨯⨯3cm . 12．由题意可知ABC ∆的外心在BC 边的高线上，故一定有AB=AC 选（1）（2）（4）。

13．37.解析：原四个顶点截去后剩下截面为边长为1的正三角形，而原四面体的四个侧面变为边长为1的正六边形，其表积为 374

3

64434=⨯⨯+⨯ . 14．9

1

322-=

x y 。解析：过P 点作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连PH ，利用三垂线定理可证PH ⊥A 1D 1. 设P （x ，y ），∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x 2 +1- [(x 13

-)2+y 2] =1，化简得91322-=x y .

15. 45o .利用长方体性质。

16.10cm,可利用向量。 17.①②④ 18.6

5

P

A B

C

H

O