数学：1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像2》课件(新人教A版必修4)
2019-2020学年人教A版必修4 1.5.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2) 课件(23张)
第一章 三角函数
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.5.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(2)
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
题知 点识知点识判巩断固
提能达标过关
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
数学 必修4 A
第一章 三角函数
1．掌握 3 种方法 给出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定 A，ω，φ 的方 法 (1)第一零点法：如果从图象可直接确定 A 和 ω，则选取“第 一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋ φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得 φ.
由 2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2，k
∈Z，解得单调递增区间 单调性
由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π，k
∈Z，解得单调递减区间
数学 必修4 A
第一章 三角函数
题点知识巩固
数学 必修4 A
第一章 三角函数
知识点一 y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义
1．已知简谐运动 f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|<π2的图象经过点 (0,1)，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( )
数学 必修4 A
第一章 三角函数
解析：选 A 将函数 y＝sin2x＋π5的图象向右平移1π0个单 位长度后的解析式为 y＝sin2x－1π0＋π5＝sin 2x，则函数 y＝sin 2x 的 一个 单调 递增 区间 为 34π，54π ，一个 单调 递减 区间 为 54π，74π.由此可判断选项 A 正确．
第一章 三角函数
解法二：待定系数法
由图象知 A＝3.
高一数学必修4课件 1.5y=Asin(ωx+φ)的图象(2)
5、把函数y f ( x )的图像沿x轴向右平移
8
个单位,
1 再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 , 2 恰好得到y cos x的图像, 求函数f ( x ).
解 : 设y f ( x ),向右平移
8
则得到y f ( x
8
),
1 横坐标缩短为原来的 则得到y f ( 2 x ) 2 8 t 由f ( 2 x ) cos x，设t 2 x ，则x 8 8 2 16 t x f ( t ) cos( ) f ( x ) cos( ) 2 16 2 16
.
(2)左右伸缩变换
(3)上下ห้องสมุดไป่ตู้缩变换
2
一、复习回顾 由y sin x 到y A sin( x )的图象变换步骤 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
画出y sin x在0， 2 上的简图
沿 x轴 横坐标 纵坐标
平行移动 伸长或缩短 伸长或缩短
得到y sin( x )在长度为2的区间内的简图
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往 复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式。 y/cm E 2 · A ·
O
0.4 B
D. 0.8 · C
1.2 F
x/s
9
10
四、例题分析
例2、已知函数y A sin( x )( A 0, 0, ) 2 在一个周期内的简图(如图)，求其相应的函数表达 式，并说明它是由y sin x的图像怎么变换得到的。
(平移 个单位)
6
三、针对性练习
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件(人教A版必修4)
第11页
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第一章
三角函数
(2)对于函数 y＝sin(x＋φ)与 y＝sin(ωx＋φ)之间的图像变 换称为周期变换，它实质上是横向的伸缩，此时，y＝sin(ωx 2π ＋φ)的周期 T＝ ，其振幅不变． ω (3)对于函数 y＝sin(ωx＋φ)与 y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像 变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅不 改变周期和相位．
1 π y＝2sin2x＋6的图像．
第16页
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第一章
三角函数
第17页
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第一章
三角函数
变式训练 1
1 用“五点法”作出函数 y＝ cos2x 的简图． 2
解
列表 2x x 1 2cos2x 0 0 1 2 π 2 π 4 0 π π 2 1 －2 3 π 2 3 π 4 0 2π π 1 2
§1.5
函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图像
课前热身
名师讲解
典例剖析
考题精选
技能提升
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第一章
三角函数
课前热身
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第一章
三角函数
1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种画法 π 3π (1)五点法：①列表(ωx＋φ 通常取 0， ，π， ，2π 这五 2 2 个值)；②描点；③________.
第20页
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第一章
三角函数
解法 1
y＝
y＝Байду номын сангаасin2x
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋3.
第21页
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第一章
三角函数
π π 分析 2 x→x＋3→2x＋3.
新课标高中数学人教A版必修四全册课件1.5.2函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
第五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：
第六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
f：
第十页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.
第七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.
A由图象的振幅决定；
由图象的周期决定；
求常用的两种方法：
(1) 平移法；
(2) 代点法.
第二十一页，编辑于星期日：十三点 十八分。
课后作业
1. 阅读教材P.49-P.55；
2. 阅读教材P.56练习第3、4题； 3. 《习案》作业十三.
第二十二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
例2.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课 y tan x 3
例3. 下图所示的曲线是 y Asin(x ) ( A 0, 0)的图象的一部分，求这 个
必修四1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》课件
-4-
3
x
0
2
3 2 2
y sin x 0 1 0 -1 0
2 7 5
x
36 3
6
3
X x
3
0
2
3
2
2
y sin(x )
3
0
1
0 -1 0
1.y=sin(x+ )与y=sinx的图象关系
-5-
y
y sin(x )
3
1
x
2 7 5
（2）向左( >0)或向右( <0)
平移| |个单位长度
y=sin( x+ ) 的图象
（3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) y=Asin(x+ )的图象
或缩短(0<A<1)到原来的A倍
-26-
y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象两种变换关系图
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
3
6
所表示的函数为( D )
A. y sin(2x ) 2
B. y sin(2x ) 6
C. y sin(2x 3) 2
D. y sin 2x
-33-
C
B
C
4
y sin( x ) 的图象,只要把C上所有的点( A )
34
A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的1/3,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的1/3,横坐标不变
-32-
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位长度,这时图象
人教A版高中数学高一必修4课件1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(二)
28
3. 若 函 数 y ＝ sin(ωx ＋ φ)(x∈R ， ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A.ω＝2π，φ＝4π
B.ω＝π3，φ＝π6
C.ω＝4π，φ＝4π
D.ω＝π4，φ＝54π
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
1234
29
解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T＝8. 又∵T＝2ωπ，∴ω＝4π.
方法一 (单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴23π＋φ∈[2π＋2kπ，32π＋2kπ](k∈Z). 由 sin(23π＋φ)＝0，得23π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
23
∴φ＝2kπ＋3π(k∈Z). ∵|φ|<π，∴φ＝π3.
方法二 (最值点法) 将最高点坐标(4π，5)代入 y＝5sin(32x＋φ)，
13
跟踪演练 1 作出函数 y＝32sin13x－3π在长度为一个周期的
闭区间上的图象.
解 列表：
X＝13x－π3
x
0
π 2
π
3π 2
2π
π
5π 2
4π
11π 2
7π
y＝32sin13x－3π
0
3 2
0 －32 0
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
14
描点画图(如图所示)：
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
21
跟踪演练2 如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该 函数解析式. 解 由图象知A＝5.
【公开课课件】必修4：§1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象课件
3
3
问探题究二2．：ω画(yω>0s)i对n 2y＝x 和siyn(ωsxi＋n 1φ)x，x的∈图R像的，图并象观的察影其与响y sin x 的图像关系
y
2
y sin 2x
y sin 1 x
1
2
0
-1
y sin x
y sin x
2
3
4
y sin x 1
纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍
一、参数φ, ω, A 对图象的影响
Φ：沿x轴平 移 |φ|个单位 ， 口诀： “左加” “右减”
ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω
A：纵坐标伸长或缩短为原来的A倍
小结：y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
沿x轴平移 |φ|个单位 y=sin(x+φ)
3
3
2
1
o
6 -１
3
-2
-3
y=sinx
5
3
6
y=sin2x
y=sin(2x+ 3)
5
3
2
x
如何由 y sin x 图象变成 y 2sin(1 x )的图象？
36
由 y 2sin(1 x ) 的图象经过怎样的
36
变换得到 y sin x 的图象？
小结：y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系
y sin(x )
4
y sin(x )
6
探究1．φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
一 般 地 , 函 数 y=sin(x+φ),(φ≠0) 的 图
1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件-高中数学人教A版必修4
y=sinx与y=sinx的图象关系:
作函数 y sin 2x 及 y sin 1 x 的图象.
2
2x 0 3 2
2
2
1x 2
0
2
3 2
2
x
0
42
3
4
x 0 2 3 4
sin2x 0 1 02
y
1
O
3
42 4
-1
3 2
2 5
2
y sin 2x
y sin x
探究： 对函数图象的影响
y试=s研in(究x+y )与siyn=(sxinx的),图y 象s关in(系x : )
与 y sin x 的图象关系3.
6
y
sin(x
)
y 1
3
y sin x
y sin(x )
6
O
2
3
2 3 5 2 13 x
6 23
23
6
-1
一、函数y=sin(x+)图象: 平移变换
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
2
2
y
1
O 1
2
3
2
2 x
物理中简谐振动的相关物理量
y Asin(x )(其中A 0, 0)在简谐
运动中的相关概念: A：振幅
(运动的物体离开平衡位置的最大距离) T：周期T＝ 2
函数 y=Asinx(A>0且A1) 的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的. y=Asinx，xR的值域是[－A, A]， 最大值是A，最小值是－A.
人教版高中数学必修4讲义 1.5 函数y=Asin(ωxφ)的图象
1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1.理解参数A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响；能够将y ＝sin x 的图象进行交换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象.(难点)2.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图；能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.(重点)3.求函数解析式时φ值的确定.(易错点)[基础·初探]教材整理1 φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响 阅读教材P 49～P 50“探索二”以上内容，完成下列问题. y ＝sin x ――→φ>0时，向左平移|φ|个单位长度φ<0时，向右平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ).将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的解析式是________.【解析】 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 【答案】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 教材整理2 ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响阅读教材P 50“探索二”以下至P 51第六行以上内容，完成下列问题.y ＝sin(x ＋φ)ω>1时，所有点的横坐标缩短到原来1ω,0<ω<1时，所有点的横坐标伸长到原来1ω倍y ＝sin(ωx ＋φ).要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标________.【解析】 要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍.【答案】 缩短为原来的12倍教材整理3 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响阅读教材P 51第六行以下至P 53“例1”以上内容，完成下列问题. 1.y ＝sin(ωx ＋φ)――→A >1时，所有点纵坐标伸长到原来的A 倍0<A <1时，所有点纵坐标缩短到原来的A 倍 y ＝A sin(ωx ＋φ).2.正弦曲线到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程： y ＝sin x 的图象――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍所得到的图象的解析式为y ＝12sin x .( )(2)把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，所得图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.( ) 【答案】 (1)× (2)×教材整理4 A ，ω，φ的物理意义阅读教材P 54“例2”以上内容，完成下列问题.在y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)(A >0，ω>0)中，各参数的物理意义.振幅 A 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离周期 T ＝2πω它是物体往复运动一次所需要的时间 频率 f ＝1T ＝ω2π 它是单位时间内往复运动的次数相位ωx ＋φ其中φ为初相已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________.【解析】 由函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋π7的解析式知，振幅为3，最小正周期为T ＝2πω＝10π，初相为π7.【答案】 10π 3 π7[小组合作型]“五点法”作函数图象及相关问题作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图，并说明它与y ＝sin x 的图象之间的关系. 【导学号：00680024】【精彩点拨】 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令2x ＋π3取0，π2，π，3π2，2π即可找到五点.【自主解答】 列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 03－3利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图.从图可以看出，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是用下面方法得到的. 法一：⎝⎛⎭⎫x →x ＋π3→2x ＋π3， y ＝sin x的图象――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象――→横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象――→横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 法二：⎝⎛⎭⎫x →2x →2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2x ＋π3， y ＝sin x 的图象――→横坐标缩短为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin 2x的图象――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍y＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象.1.用五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.2.图象变换方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移|φ|和⎪⎪⎪⎪φω是不同的，但由于平移时的对象已有变化，所以得到的结果都是一致的.[再练一题]1.作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的图象. 【解】 令X ＝2x －π4，列表如下：X 0 π2 π 3π2 2π xπ83π85π87π89π8y 0 2 0－2三角函数图象之间的变换(1)要得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，只需将y ＝3sin 2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π8个单位D.向右平移π8个单位(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，则所得图象的解析式为( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B.y ＝－sin 2x C.y ＝cos 2xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (3)已知函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位，这样得到的曲线和y ＝2sin x 的图象相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________.【精彩点拨】 (1)可利用左右平移时“左加右减”，自变量“x ”的加减来判断； (2)可利用横坐标伸缩到1ω(ω>0)倍时，解析式中“x ”换为“ωx ”；(3)可利用纵坐标变为A (A >0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以A . 【自主解答】 (1)y ＝3sin 2x 的图象――→向左平移π8个单位长度y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象.(2)由题意y ＝sin x 的图象――→各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象――→向左平移π4个单位长度y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象. (3)y ＝2sin x 的图象――→向右平移π2个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π2――→图象上各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2――→图象上各点纵坐标缩小为原来的14横坐标不变y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，即f (x )＝－12cos 2x 的图象. 【答案】 (1)C (2)C (3)f (x )＝－12cos 2x三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：(1)确定函数y ＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.[再练一题]2.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；②向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；③向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变).其中正确的是________.【解析】 y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.【答案】 ③求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式如图1-5-1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象，确定其中一个函数解析式.图1-5-1【精彩点拨】 解答本题可由最高点、最低点确定A ，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.【自主解答】 法一：由图象知振幅A ＝3. 又T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.又过点⎝⎛⎭⎫－π6，0， 则得sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二：由图象知A ＝3，且图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0， 根据五点作图法原理，有⎩⎨⎧π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三：由图象，知A ＝3，T ＝π，又图象过点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0， ∴所求图象由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到，∴y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.[再练一题]3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图象如图1-5-2所示.求此函数的解析式.图1-5-2【解】 由图象可知A ＝2，T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π，∴y ＝2sin(πx ＋φ).代入⎝⎛⎭⎫13，2得2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. [探究共研型]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称性探究1 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程？【提示】 与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z ).探究2 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心？【提示】 与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称； 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称.设函数y ＝cos 12πx 的图象位于y 轴右侧的所有对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，则A 1 009的坐标是________.【精彩点拨】 利用y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心的坐标即可解出.【尝试解答】 因为函数y ＝cos ωx 的图象的对称中心是点⎝⎛⎭⎫π2ω＋k πω，0(k ∈Z )，所以y＝cos 12πx 的图象的对称中心为(2k ＋1,0)(k ∈Z )，所以A 1(1,0)，A 2(3,0)，…，A n (2(n －1)＋1,0)，…，故A 1 009的坐标为(2 017,0).【答案】 (2 017,0)对于y ＝A cos (ωx ＋φ)的图象的对称轴可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解出，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π±\f(π,2)(k ∈Z )解出.[再练一题]4.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .【解析】 f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32. f ⎝⎛⎭⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎫43π－π3＝0， 故①错，②正确.令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确.函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，故④错.【答案】 ②③1.函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A.3,4 B.3，π2C.π2，4 D.π2，3 【解析】 由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，∴振幅是3，周期T ＝2ππ2＝4. 【答案】 A2.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( ) 【导学号：00680025】A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C.y ＝sin 12xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6【解析】 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，再将此图象向左平移π3个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象，选D.【答案】 D3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是( )A.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x －π6 B.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6 C.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π42 D.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x －π42 【解析】 由已知得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，ω＝2πT ＝7，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6.故选B. 【答案】 B4.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的一条对称轴是____.(填序号) ①x ＝－π2；②x ＝0；③x ＝π6；④x ＝－π6.【解析】 由正弦函数对称轴可知.x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，x ＝k π＋π6，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π6. 【答案】 ③5.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R . (1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 【导学号：70512016】 【解】 (1)由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴方程是x ＝π3＋k2π，k ∈Z ；由2x－π6＝k π，k ∈Z 解得对称中心是⎝⎛⎭⎫π12＋k 2π，0，k ∈Z ；由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z 解得单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z ；由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值为－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取最大值为2.。
数学人教A版必修四 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二) 上课课件
2π 3sin2x－ 3 ＝－
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函
数表达式 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 中的参数 A 和 ω ，再选取 “第一个 零点 ” ( 即五点作图法中的第一个 ) 的数据代入 “ ωx ＋ φ ＝ 0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解
方法一
以 N 为第一个零点，
则 A＝－
5π π 3，T＝2 6 －3＝π，
∴ω＝2，此时解析式为 y＝－ 3sin(2x＋φ)． ∵点
π N－6，0，
π π ∴－6×2＋φ＝0，∴φ＝3， 所求解析式为 y＝－
π 3sin2x＋3．
π 答案 (12，0)
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规律方法 三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 y＝Asin(ωx ＋φ) y＝Acos(ωx ＋φ) y＝Atan(ωx ＋φ) 令 ωx＋φ＝kπ π ＋2(k∈Z) 令 ωx＋φ＝ kπ(k∈Z) 对称中心 令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称 中心横坐标 π 令 ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)求 对称中心横坐标 kπ 令 ωx＋φ＝ 2 (k∈Z)求对称 中心横坐标
名称 定义域 值域 周期性 对称性 对称轴 性质
R __________ [－A，A] ____________ 2π ω T＝__________ π－φ 对称中心 ， 0 (k∈Z) ω
kπ π－2φ x＝ ω ＋ 2ω (k∈Z)
【数学】1.5 函数y=Asin(ωx φ)的图象(人教A版必修4)2
2
O
y sin( x ) 6
3
2
6 2 3
3 5 2 13 x 2 3 6
-1
一、函数y=sin(x+)图象: 平移变换
函数 y=sin(x+)(0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当>0时)或 向右(当<0时)平行移动||个单位而得到的.
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平移 | | 个单位
y=sinx
y=sin(x+)
的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
探究： 对函数图象的影响
2x
0
0
2
y=sinx与y=sinx的图象关系: 1 作函数 y sin 2 x 及 y sin x 的图象.
3sin(2x+π/3) y 3
5 6
1
0
-1
0
0
3
0
-3
0
2
1
3
oπ 6 12 -1
2
3 2Biblioteka 2x-2 -3
用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩):
向左平移π /3个单位长度 y=sin(x+π/3)的图象 y=sinx 的图象 第1步: 横坐标缩短到原来的1/2 y=sin(2x+ π/3)的图象 (纵坐标不变) 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ π/3)的图象 第3步: y=sin(2x+ π/3)的图象 (横坐标不变) y
2 1 O -1 -2
Asin(ωx+φ)的图象(2)课件 新人教A版必修4
本 例如，(1)若函数 f(x)＝5sin(2x＋α)是偶函数，则 α 等于( D )
课
时 A．kπ，k∈Z
B．(2k＋1)π，k∈Z
栏 目 开
C．2kπ＋π2，k∈Z
D．kπ＋π2，k∈Z
关
解析 f(0)＝5sin α＝±5，∴sin α＝±1.
∴α＝kπ＋2π，k∈Z.
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＝32π，ωx5＋φ＝2π.
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(2)由图象确定系数 ω，φ 通常采用两种方法：
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 x1(第一个零点
本 的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接
课
时 解出 ω 和 φ，或由方程(组)求出．
栏
目 开
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图
目 开 关
“ωx＋φ”这一个整体依次取 0、π2、π、32π、2π，再求出 x 的
值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定 x 的
值，后求“ωx＋φ”的值．
2．由 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式，可以根据“五点”
作图法逆向思维，从图象上确定“五点”中的某些点的横坐标，
建立关于参数 ω、φ 的方程，列方程组求出 ω 和 φ 的值.
关
象确定 ω 和 φ.
(3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解 A 的方
程求出．
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例如，已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)
的部分图象如图所示，则 ω＝___2_____，
本 课
φ＝__－__π6____.
时
高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)课件 新人教A版必修4
(2)令 2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，则 x＝k2π＋π6(k∈Z)， 所以对称轴方程为 x＝k2π＋π6(k∈Z)． 令 2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－1π2(k∈Z)， 所以对称中心为k2π－1π2，0(k∈Z)．
(3)sin2x＋π6＝－1，即 2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)， x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为34，此时 x 的取值集合 是
最高点ωx＋φ＝π2或最低点ωx＋φ＝32π不易出错，而用零点时 一定要分清是“上始点”(ωx＋φ＝0)，还是“下始点”(ωx＋φ ＝π)，否则将有可能得出错解．此外，若 φ 不在要求的范围内， 可通过加 2kπ(k∈Z)来完成．
1．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)中，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，函数 的最大值为 2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为 3π，又 图象过点(0， 2)，求函数 f(x)的解析式．
∴5π36π·ω·ω＋＋φφ＝＝π2，π，
ω＝2， 解得φ＝π3.
∴y＝3sin2x＋π3.
确定三角函数解析式的一般思路 (1)由图示纵坐标，如最高点、最低点的纵坐标确定 A. (2)由图示两点的横坐标确定周期 T，进而由 ω＝2Tπ求得 ω. (3)由五个点中的任一点横坐标代入 ωx＋φ 均可求得 φ，其 关键是要认清所选择的点是“五点法”中的哪一个点．一般用
规范解答系列(二) 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
(12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M34π，0对称，且在区间0，π2 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
【规范思维】第一步，看结论：求初相φ和ω的值． 第二步，想方法：由sin φ的值确定φ；再由对称性求ω的 值． 第三步，建联系：由函数为偶函数确定sin φ并求出φ的 值；由图象的对称性求出ω的表达式，再由单调区间确定ω的 值．
人教A版高中数学必修四1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)
• (1)y＝ sin x
4 1 • (2)y＝ cos(3x＋ )
32
1
2
4
图形应用
已知关于x的方程 2 sin(x ) k在[0, )上
4 有两解，求实数k的取值范围
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经
4 过点 (0, 5) ，求这个函数的解析式。
2
练习2.已知函数 y Asin(x ) ( A 0, 0) 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
Y
2
0
6
-2
2
X
3
• 例4．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值 时x的集合。
答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是 多少;
（２）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
2A
E
0.4 0.8
1.2
o
B
DF
x/s
C
• 例3：已知函数y＝Asin(ωx＋φ) （A>0,ω>0）一个周期内的函数图象， 如下图所示，求函数的一个解析式。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
高中数学人教A版必修4第一章函数y=Asin(ωx+φ)的图像公开课名师课件PPT全文课件
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5
3 2
x
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纵坐标 不变
③纵坐标伸长 横坐标 到原来的3倍 不变
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6
o
- -
23
2
6 23
3 5
13
2 3 2 6
x
-1
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小结
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C
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Y=SinX 横坐标不变 Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍 左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
3. 周期变换：
Y=SinX
4. 平移变换：
Y=SinX
演示完毕 敬请指导！
画出函数 Y=Sin2X,X∈R Y=Sin0.5X,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 π/4 1 π/2 π π/2 0 π 3π/2 3π/4 -1 3π/2 2π π 0 2π
X
Sin0.5X
0
0
π
1
2π
0
3π
-1
4π
0
1 O -1
Y X
4 2
3 4
3 2
2
3
4
Y=Sin2X
函数Y=ASin(ωX+ψ)的图象
(第一课时)
1. 函数Y=ASinX与Y=SinX的图 象的联系
例1
x Sin X 2Sin X 0.5Sin X
画出函数 Y=2 SinX,X∈R Y=0.5 SinX,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 1 2 1/2 π 0 0 0 3π/2 -1 -2 -1/2 2π 0 0 0
不变）而得到。这种变换叫做振幅变换，A叫做函数
Y=ASinX的振幅。 函数Y=ASinX,X∈R的值域是[-A,A]，最大值是A， 最小值是-A。 横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍
2. 函数Y=SinωX与Y=SinX的 图象的联系
例2
2X X Sin2X 0.5X
3. 函数Y=Sin（X+ψ）与 Y=SinX的图象的联系
例3
x+
X
3
画出函数 Y=Sin (X+ 3 ),X∈R Y=Sin(X- 4 ) ,X∈R 的简图。
0
-π/3 0 0 π/4 0
π/2
π/6 1 π/2 3π/4 1
π
2π/3 0 π 5π/4 0
3π/2
7π/6 -1 3π/2 7π/4 -1
左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
练习
1. 画出函数Y=Sin（2X+
Y
4 周期的闭区间上的简图。
1
）,X∈R在长度为一个
8
-1
O
8
3 8
5 8
7 8
X
左移π/2个单位长度 2.将y=SinX的图象_____________________
可得到y=CosX的图象。 3. 将y=Sin（X+ 4 ）的图象向左平移π/2个单位可 得到_________________________的图象。
2π
5π/3 0 2π 9π/4 0
Sin(X+ 3) x-
4
Sin(X- 4)
X
1
2
Y
7 6
3 2
5 4
7 4
9 4
2
X
3Oຫໍສະໝຸດ 2 3 6 4 2 3 4
5 3
-1
一般地，函数Y=Sin(X+ψ),X∈R （其中ψ≠0）的 图象，可以看作正弦曲线上所有点向左(当ψ>0时)或向右 (当ψ<0时) 平行移动│ψ│个单位长度而得到。 这种变换称为平移变换。 Y=SinX
Y=SinX
Y=Sin0.5X
一般地，函数Y=SinωX,X∈R （其中ω>0， 且ω≠1）的图象，可以看作正弦曲线上所有点的横坐标
缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时) 到原来的1/ω倍（纵坐标
不变）而得到。 这种变换称为周期变换。 Y=SinX 纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍
这两个函数的 思考： 周期都是2π ， 函数Y=2 SinX,X∈R 我们先画出它们 Y=0.5 SinX,X∈R 的值域是什么？ 在[0, 2π]上的简图。
2 1
0.5 -0.5
Y
X
2
O
3 2
2
-1 -2
一般地，函数Y=ASinX,X∈R （其中A>0， 且A≠1）的图象，可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标 伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍（横坐标
Y=Sin(X+ + ) 纵标不变，横标伸长到原来的9倍 4.由y=Sin3X的图象_________________________ 得到y=Sin（X/3）的图象。
小结： 1.用五点法作Y=ASin(ωX+ψ)函数的简图时， 首先把ωX+ψ看作一个整体Z， 再令Z＝0， π/2，π，3π/2，2π，求出X， 最后，列表、描点、连线。