(人教a版)必修一同步课件：分段函数及映射

x 1, x ［ 1,0］， . x, x (0,1］
2.(1)设车费为y元，行车里程为xkm.
10,0＜x 4, 则根据题意得 y 1.2x 5.2,4＜x 18， 1.8x 5.6, x＞ 18.
(2)当x=20时，y=1.8〓20-5.6=30.4,即当乘车20km时，要付 车费30.4元.
2 =2,得a=1(舍去)，所以a=〒1. a
【拓展提升】 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间 . (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止 . 当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值 .
2.已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出字母的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
D1∩D2=∅.( )
1 ，x 0, ，x＜0 1
(3)函数 f x
是分段函数.(
)
提示：(1)错误.分段函数的图象可以是一条连续的曲线，也可 以是点或几段图象. (2)错误.虽然分段函数在x的不同取值范围，对应不同的对应 关系，但D1∩D2可能不是空集，如函数 f x (3)正确.它符合分段函数的定义. 答案：(1)〓 (2)〓 (3)√
2.某市出租车的计价标准是：4km以内10元，超过4km且不超
过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关
系式.
(2)如果某人乘车行驶了20km，他要付多少车费？
【解题探究】1.已知函数图象，一般用什么方法求其解析式 ? 2.怎样建立题2中的函数关系？
2.利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言 .
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法 .
类型 三
映射及映射的判断
【典型例题】
1.(2013·安庆高一检测)设集合A={x|1≤x≤2},
B={y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射 的是( ) B.f:x→y=3x-2 D.f:x→y=4 -x2
【拓展提升】
1.由分段函数的图象确定函数解析式的方法
(1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定
函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出
该段内的解析式. (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的 取值范围.
探究提示：
1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式.
2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段
函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系.
【解析】1.选C.当x∈［-1,0］时，设f(x)=ax+b,由图象过点 (-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;当x∈(0,1］ 时，设f(x)=ax,由图象过(1,-1)，得a=-1,所以f(x)=-x. 所以 f x
第2课时 分段函数及映射
一、分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同 的_________ 对应关系 的函数.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续. ( )
(2)若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则
【解析】函数定义域为［0,1］∪(1,2］=［0,2］. 当x∈(1,2］时，f(x)∈［0,1),故函数值域为 ［0,1)∪［0,1］=［0,1］. 答案：［0,2］ ［0,1］
(1)对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其
对应关系不同，但分段函数是一个函数. (2)定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集 . (3)值域：分段函数值域为各段函数值的并集. (4)图象：其图象由几段曲线构成，在作图时注意衔接点的虚实 .
类型 一
分段函数求值问题
【典型例题】
x 2 1 ，x 1, 1.(2012·江西高考)设函数 f x 2 则f(f(3))=( ) ，x＞1, x A.1 B.3 C. 2 D. 13 5 3 9 x, x 0, 2.(2013·温州高一检测)设函数 f x 若f(a)=4,则 2 x , x＞0,
类型 二
分段函数的图象及应用问题
【典型例题】 1.已知函数f(x)定义在［-1,1］上，图象如图所示，那么f(x) 的解析式是( )
x 1, x ［ 1,0］ A. f x
x, x (0,1］ x 1, x ［ 1,0］ B. f x x, x (0,1］ x 1, x ［ 1,0］ C.f x x, x (0,1］ ［ 1,0) D.f x x 1, x ［0,1］ x, x
A.f:x→y=x2 C.f:x→y=-x+4
【变式训练】设M={x|0≤x≤2},N={y|1≤y≤2},给出下面4个
图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是______.
【解析】(1)(2)中，当0≤x≤2时，有部分与x对应的y值不在
集合N中；(3)中，x在［0,2)内取值时，在集合N中有两个元 素与之对应；只有(4)符合函数的概念. 答案：(4)
x,0 x 1, x, 1 B
思考：映射与函数有什么区别与联系?
提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集
合，函数中集合A，B必须是数集.
联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广 .
【知识点拨】
1.对分段函数的认识
【防范措施】 1.正确理解分段函数的含义 分段函数是一个函数，只是在定义域的不同子区间内对应关
系不同，因此在求值时要注意自变量的取值.如本例，若不对
自变量取值进行讨论，则易出错.
2.分类标准要明确
已知分段函数值求自变量的值时，要注意分类讨论，确定讨
论标准是关键，讨论一般是以子区间的端点为标准 . 如本例
是以-1和2为分界点来讨论的.
1.已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的
映射的是(
)
【解析】选C.A，B，D均满足映射的定义，C不满足A中任一元 素在B中都有唯一元素与之对应，且A中元素b在B中无元素与 之对应．
5. f x
［0,1］， x，x 的定义域为______，值域为______. 2 x，x (1, 2］
实数a=(
)
A.-4或-2 C.-2或4
B.-4或2 D.-2或2
2 2 13 【解析】1.选D.f(3)= , f(f(3))=f( )= . 3 9 3
2.选B.当a≤0时，由-a=4,得a=-4; 当a＞0时，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2.
【互动探究】题1条件不变，若f(a)+f(-1)=4,求a的值. 【解析】因为-1≤1,所以f(-1)=2, 又f(a)+f(-1)=4,所以f(a)=2, 当a≤1时，由a2+1=2,得a=〒1; 当a＞1时，由 综上，a=〒1.