2015年四川省成都市双流县初三上学期期末数学试卷[解析版]

2014-2015学年四川省成都市双流县初三上学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合要求的，把符合要求的选项的代号填入题后的答题卡内．
1．（3分）一元二次方程x2=9的根是（）
A．x1=x2=3B．x1=x2=﹣3C．x1=3，x2=﹣3D．x1=x2=
2．（3分）下列几何体，主视图是三角形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，c=4cm，则线段d的长是（）
A．6cm B．5cm C．cm D．cm
4．（3分）已知∠BAC在正方形网格线中的位置如图所示，则tanA的值为（）
A．B．C．D．
5．（3分）关于反比例函数y=，下列说法错误的是（）
A．函数的图象不经过原点
B．函数的图象一定在一、三象限
C．y的值随x值的增大而减小
D．点（，2）在函数的图象上
6．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（）
A．n2﹣4mk＜0B．n2﹣4mk=0C．n2﹣4mk＞0D．n2﹣4mk≥0 7．（3分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE的是（）
A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED 8．（3分）小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”，那么，小明第三次掷硬币时，“反面朝上”的概率是（）A．B．C．D．1
9．（3分）函数y=kx+b与y=（kb≠0）在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当△AED与N、M、C为顶点的三角形相似时，CM的长为（）
A．B．C．或D．
二、填空题（每小题4分，共l6分）
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A=度．
12．（4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=的图象经过A（﹣1，y1）、
B（2，y2）两点，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
13．（4分）如图，∠A=∠CBD，AB=2，BC=3，AC=4，BD=6，则CD的长为．
14．（4分）已知方程2x2+kx﹣5=0的一个根是2，则方程的另一个根是．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：（x+8）（x+1）=﹣12．
16．（6分）如图，一旗杆AB需要被一根钢绳PA固定，施工者在点P处测得旗杆顶端A的仰角为53°．已知旗杆AB的高度为12m，那么施工者至少需要准备多长的钢绳？
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
17．（8分）如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与一次函数y=﹣x+3的图象交于A（1，m），B（n，1）两点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请直接写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．
18．（8分）如图，要测量建筑物AH的高度，可以采用以下方法：立两根高2米
长的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD=20米，并使D，B，H三点在一条直线上；从点B处退行5米到点F处，人的眼睛贴着地面观察A点，使A，C，F三点成一线；从D处退行6米到点G处，从G观察A点，使A，E，G三点也成一线．请你利用以上的信息计算出AH的高度（测量过程中，建筑物AH，标杆BC和DH均与地面垂直）．
19．（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．
20．（10分）如图，菱形ABCD中，AB=10，sinA=，点E在AB上，AE=4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=5秒时，求PQ的长；
（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）若（abc≠0），则=．
22．（4分）连续掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的概率是．
23．（4分）对于每个非零自然数n，一元二次方程的两个根在数轴上对应的点分别为A n，B n，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值是．
24．（4分）如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数
y=的图象相交于B、C两点．若AB=BC，则k1•k2的值为．
25．（4分）如图，在▱ABCD中，AB=15，AC=20，AB⊥AC．点P是射线BC上的一个动点，过点P作MP⊥AP，使点M与点B在直线AP的两侧，且∠PAM=∠CAD，连接MD．当△AMD为等腰三角形时，BP的长是．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）已知关于x的一元二次方程4x2+（4b﹣4）x+b2=0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1x2≠0．
（1）求b的取值范围；
（2）否存在实数b，使得+=1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
27．（10分）如图，在△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数
y=3x﹣4经过点A，交y轴于C，双曲线y=（x＞0）的图象也经过A点．（1）求反比例函数的解析式；
（2）过O点作OD⊥AC于D点，求CD2﹣AD2的值；
（3）若点P是x轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得△PAQ 是以AQ为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（12分）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D在BC边上移动，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折，点C的对应点为C1．
（1）当AC1⊥BC时，CD的长是多少？
（2）如果CD=3，请求出△AC1D与△ABC重叠部分的面积；
（3）当CD≤4时，在点D移动的过程中，是否存在△BC1D为直角三角形的情形？
若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年四川省成都市双流县初三上学期期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合要求的，把符合要求的选项的代号填入题后的答题卡内．
1．（3分）一元二次方程x2=9的根是（）
A．x 1=x2=3B．x1=x2=﹣3C．x1=3，x2=﹣3D．x1=x2=
【解答】解：x2=9，
两边直接开平方得：x=±3，
则x1=3，x2=﹣3．
故选：C．
2．（3分）下列几何体，主视图是三角形的是（）
A．B．C．D．
【解答】A、主视图为两个左右相邻的长方形，错误；
B、主视图为长方形，错误；
C、主视图为三角形，错误；
D、主视图为长方形，错误．
故选：C．
3．（3分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，c=4cm，则线段d的长是（）
A．6cm B．5cm C．cm D．cm
【解答】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，
∴，
∵a=2cm，b=3cm，c=4cm，
∴
解得：d=6．
故选：A．
4．（3分）已知∠BAC在正方形网格线中的位置如图所示，则tanA的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，AE=2，DE=3，∠AED=90°，
则tanA==，
故选：D．
5．（3分）关于反比例函数y=，下列说法错误的是（）
A．函数的图象不经过原点
B．函数的图象一定在一、三象限
C．y的值随x值的增大而减小
D．点（，2）在函数的图象上
【解答】解：A、反比例函数y=的图象是双曲线，不经过原点，故本选项不符合题意；
B、反比例函数y=中的5＞0，则该函数图象经过第一、三象限，故本选项不符
合题意；
B、反比例函数y=的图象是经过第一、三象限的双曲线，且在每一象限内y随
x的增大而减小，故本选项符合题意；
D、因为×2=5=k，则该点在函数y=的图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则
下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（）
A．n2﹣4mk＜0B．n2﹣4mk=0C．n2﹣4mk＞0D．n2﹣4mk≥0【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，
∴△=n2﹣4mk≥0，
故选：D．
7．（3分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE的是（）
A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED 【解答】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：B．
8．（3分）小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”，那么，小明第三次掷硬币时，“反面朝上”的概率是（）A．B．C．D．1
【解答】解：小明第三次掷硬币时，结果是“正面朝上”和“反面朝上”两种可能，则反面朝上”的概率是，
故选：B．
9．（3分）函数y=kx+b与y=（kb≠0）在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0，所以函数y=（kb≠0）的图象经过第二、四象限，故本选项符合题意；
B、函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0，所以
函数y=（kb≠0）的图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0，所以
函数y=（kb≠0）的图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意；
D、函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0，所以
函数y=（kb≠0）的图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当△AED与N、M、C为顶点的三角形相似时，CM的长为（）
A．B．C．或D．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE=1，
∴DE==，
当△AED∽△CNM时，=，即=，
解得CM=，
当△AED∽△CMN时，=，即=，
解得CM=．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共l6分）
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A=30度．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∵sin30°=，
∴∠A=30°．
12．（4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=的图象经过A（﹣1，y1）、B（2，y2）两点，则y1＞y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过第二、四象限，
∴A（﹣1，y1）在第二象限，B（2，y2）在第四象限，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
13．（4分）如图，∠A=∠CBD，AB=2，BC=3，AC=4，BD=6，则CD的长为．
【解答】解：∵，==，
∴，
∵∠A=∠CBD，
∴△ABC∽△BCD，
∴，
∴CD=．
故答案为：．
14．（4分）已知方程2x2+kx﹣5=0的一个根是2，则方程的另一个根是﹣．【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2•t=﹣，
所以t=﹣，
即方程的另一个根为﹣．
故答案为﹣．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：（x+8）（x+1）=﹣12．
【解答】解：（1）原式=2﹣4×+1﹣4=﹣3；
（2）方程整理得：x2+9x+20=0，
分解因式得：（x+4）（x+5）=0，
解得：x1=﹣4，x2=﹣5．
16．（6分）如图，一旗杆AB需要被一根钢绳PA固定，施工者在点P处测得旗杆顶端A的仰角为53°．已知旗杆AB的高度为12m，那么施工者至少需要准备多长的钢绳？
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【解答】解：由题意知AB=10，∠P=53°，
故AP==≈12.5米，
答：施工者至少需要准备12.5米的钢绳．
17．（8分）如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与一次函数y=﹣x+3的图象交于A（1，m），B（n，1）两点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请直接写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y=﹣x+3的得：m=2，则A的坐标是（1，2），把B（n，1）代入y=﹣x+3得：n=2，则B的坐标是（2，1）．
解得：k=2×1=2，
则反比例函数的解析式是y=；
（2）∵A（1，2），B（2，1），
观察图象可知，当0＜x＜1或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
故一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是0＜x＜1或x＞2．18．（8分）如图，要测量建筑物AH的高度，可以采用以下方法：立两根高2米长的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD=20米，并使D，B，H三点在一条直线上；从点B处退行5米到点F处，人的眼睛贴着地面观察A点，使A，C，F三点成一线；从D处退行6米到点G处，从G观察A点，使A，E，G三点也成一线．请你利用以上的信息计算出AH的高度（测量过程中，建筑物AH，标杆BC和DH均与地面垂直）．
【解答】解：设AH=x，BH=y，由题意可知，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴=，=，
∵BF=5，HF=HB+BF=y+5，DG=6，HG=HB+BD+DG=y+20+6，CB=ED=2，
∴，即，
解得x=42．
答：建筑物AH的高度为42米．
19．（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到10元购物券，至多可得到50元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．
【解答】解：（1）10，50；
（2）解法一（树状图）：
从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P（不低于30元）=；
解法二（列表法）：
0102030
第二次
第一次
0﹣﹣102030
1010﹣﹣3040
202030﹣﹣50
30304050﹣﹣
（以下过程同“解法一”）
20．（10分）如图，菱形ABCD中，AB=10，sinA=，点E在AB上，AE=4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=5秒时，求PQ的长；
（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比．
【解答】解：（1）根据题意画出图形，如图1所示：
过点P作PM⊥EF，垂足为M，
由题意可知AE=4，AP=EQ=5，则EP=1，
∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠A，即sin∠BEF=sinA=，
即=，则PM=，
根据勾股定理得：EM=，
则MQ=5﹣=，
在直角三角形PQM中，根据勾股定理得：PQ==2；
（2）根据题意画出图形，如图2所示：
∵BQ平分∠ABC，
∴∠EBQ=∠CBQ，
又∵BC∥EF，
∴∠CBQ=∠EQB，
∴∠EBQ=∠EQB，
∴EB=EQ=10﹣4=6，
则t=6，AP=6，
∴BP=4，QF=4，
设PQ交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠EPQ=∠FMQ，∠PEQ=∠MFQ，
∴△EPQ∽△FMQ，
∴=，即=，
∴FM=，
∴MD=4﹣=，MC=，
∴直线PM分菱形分成的两部分的周长分别为AP+AD+MD和PB+BC+CM，即菱形的周长被分为和，
则这两部分的比为7：8．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）若（abc≠0），则=．
【解答】解：设=k，那么a=2k，b=3k，c=5k，
∴==．
故答案是：．
22．（4分）连续掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的
概率是．
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的只有1种情况，∴3次抛掷的结果都是正面朝上的概率是：．
故答案为：．
23．（4分）对于每个非零自然数n，一元二次方程的两个根在数轴上对应的点分别为A n，B n，以A n B n表示这两点间的距离，则
A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值是．
【解答】解：令y=，
∴解得x=，或x=，
∴抛物线y=x2﹣x+与x轴的交点为（，0），（，0），
∴A n B n=﹣，
∴A1B1+A2B2+…+A2015B2015=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，
故答案为：．
24．（4分）如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数
y=的图象相交于B、C两点．若AB=BC，则k1•k2的值为﹣2．
【解答】解：k1•k2=﹣2，是定值．理由如下：
∵一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），
∴设一次函数的解析式为y=k1x+3，反比例函数解析式y=，
∴k1x+3=，
整理得k1x2+3x﹣k2=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∵AB=BC，
∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2=2x1，
∴x1+x2=3x1=﹣，x1x2=2x12=﹣，
∴﹣=（﹣）2，
整理得，k1k2=﹣2，是定值．
故答案为﹣2．
25．（4分）如图，在▱ABCD中，AB=15，AC=20，AB⊥AC．点P是射线BC上的一个动点，过点P作MP⊥AP，使点M与点B在直线AP的两侧，且∠PAM=∠CAD，连接MD．当△AMD为等腰三角形时，BP的长是12.5或5或45．
【解答】解：∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴Rt△APM∽Rt△ACD，
∴AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，
又∠PAC=∠MAD，
∴△PAC∽△MAD，
∴当△AMD为等腰三角形时，△APC也为等腰三角形．
①当点M在平行四边形内时，如图1．点P只能在EC上．
∵∠APC为钝角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°﹣∠PAC，∠B=90°﹣∠PCA，
∴∠PAB=∠B，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=BC=12.5，
即BP=12.5；
②当点M在平行四边形外时，
（i）若P在BC上，如图2．点P只能在BE上．
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=20，则BP=5；
（ii）若P在BC的延长线上，如图3．
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=20，则BP=45．
综上可知，当△AMD为等腰三角形时，BP的长为12.5或5或45．故答案为：12.5或5或45．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）已知关于x的一元二次方程4x2+（4b﹣4）x+b2=0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1x2≠0．
（1）求b的取值范围；
（2）否存在实数b，使得+=1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）△=（4b﹣4）2﹣4•4b2＞0，
所以b＜；
（2）存在．
根据题意得x1+x2=﹣=1﹣b，x1x2=，
∵+=1，
∴=1，
∴=1，
整理得b2+4b﹣4=0，解得b1=﹣2﹣2，b2=2+2，
而b＜，
∴b=﹣2﹣2．
27．（10分）如图，在△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数
y=3x﹣4经过点A，交y轴于C，双曲线y=（x＞0）的图象也经过A点．（1）求反比例函数的解析式；
（2）过O点作OD⊥AC于D点，求CD2﹣AD2的值；
（3）若点P是x轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得△PAQ
是以AQ为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于N，
则AM=AN，
设A（a，a）代入y=3x﹣4中，a=3a﹣4，
解得：a=2，
∴A（2，2），
代入y=中，xy=k=4，
∴y=；
（2）∵A（2，2），
∴AO2=22+22=8，
又∵y=3x﹣4，x=0时，y=﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴CO=4，CO2=16，
在Rt△AOD中，
AD2=OA2﹣OD2①，
在Rt△COD中，
CD2=OC2﹣OD2②，
②﹣①：CD2﹣AD2=OC2﹣OA2=16﹣8=8；
（3）能，
如图3过点A作AE⊥x轴于点E，交双曲线于点Q，作QF⊥x轴于点F．
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠APQ=90°，AP=PQ．
∴∠APE+∠QPF=90°，
又∵AE⊥x轴于点E，即∠EAP+∠QPF=90°，
∴∠EAP=∠QPF，
在△APE和△PQF中，
，
∴△APE≌△PQF（AAS），
∴PF=AE=2，
设Q的横坐标是m，则横坐标是，EP=QF=m．
=4+m，
解得：m=2﹣2或﹣2﹣2（舍去）．
则Q的纵坐标是=2+2．
Q的坐标是（2+2，2﹣2）．
28．（12分）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D在BC边上移动，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折，点C的对应点为C1．
（1）当AC1⊥BC时，CD的长是多少？
（2）如果CD=3，请求出△AC1D与△ABC重叠部分的面积；
（3）当CD≤4时，在点D移动的过程中，是否存在△BC1D为直角三角形的情形？
若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
设AC1交边BC于点E．
∵AC1与BC垂直，AB=AC=5，BC=8，
∴CE=BC=4，
在Rt△AEC中，AE==3，
∵C1D=CD，AC1=AC=5，EC1=AC1﹣AE=2，ED=EC﹣CD，
∴在Rt△EDC1中，有ED2+EC12=C1D2，即CD2=22+（4﹣CD）2，
解得：CD=；
（2）如图2，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠C1=∠C，
∴∠C1=∠B，
又∵∠AOB=∠DOC1，
∴△AOB∽△DOC1，
∴=，
设BO=y，
∵CD=C1D=3，
∴OD=8﹣3﹣y=5﹣y，
∴，
∴OA=（5﹣y），OC1=y，
∵AC1=OA+OC1=5，
∴（5﹣y）+y=5，
∴y=，
∴OD=，
∴△AC1D与△ABC重叠部分的面积为S△AOD=OD×AE=×3=（3）存在．
当∠BDC1=90°时，过点A作AE⊥BC于E，
∴AE=3，BE=4，
由折叠知，∠AC1D=∠C=∠ABC，
∵∠AOB=∠C1OD，
∴∠BAO=∠BDC1=90°，
∴∠BAE+∠OAE=90°，
∵∠ABC+∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，cos∠ABC=
在Rt△AOE中，cos∠OAE=，
∴，
∴OA=，
∴OC1=AC1﹣OA=5﹣=，
易知，△AOE∽△C1OD，
∴=3，
∴C1D==1，
即：CD=1
当∠BC1D=90°时，
过点A作AE⊥BC于E，
∴AE=3，BE=4，
由折叠知，∠AC1D=∠C=∠ABC，AC1=AC=AB=5，
∴∠AC1B+∠ABC=90°，
∵∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠AC1B，
过点A作AF⊥BC1于F，
∴BC1=2FC1，
在△ABE和△C1AF中，，
∴△ABE≌△C1AF，
∴FC1=AE=3，
∴BC 1=2FC1=6，
在Rt△BC1D中，BD=8﹣C1D，根据勾股定理得，BC12+C1D2=BD2，∴36+C1D2=（8﹣C1D）2，
∴C1D=，
即：CD=
存在△BC1D为直角三角形，此时CD=1，或CD=．
附赠模型一：手拉手模型—全等
等边三角形
条件：△OAB，△OCD均为等边三角形
结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）
等腰RT
△
条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形
结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）
导角核心图形
任意等腰三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD
结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）
模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD
模型二：手拉手模型—相似
条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置
结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；
且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明
手拉手相似（特殊情况）
当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏
OCD OA
OB
OC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21
（对角线互相垂直四边形）。