2012高三数学一轮复习阶段性测试题(1)：集合与常用逻辑用语
2012届高三一轮复习名师一号文科数学第一模块集合与常用逻辑用语综合检测
第一模块集合与常用逻辑用语综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中,正确的是( )A.存在一个实数,使-2x2+x-4=0B.所有的质数都是奇数C.在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行D.对数函数在定义域上是单调增函数答案:C2.“m>0>n”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3.已知集合A={x|x2-3x<0},B={x||x|<1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,3)D.(-1,3)答案:D4.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B5.已知命题p:|x-1|≥2,命题q:x∈Z,如果“p且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x为( )A.{x|x≥3或x≤-1,x∉Z}B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}解析:由题意知p假q真,由p假可知|x-1|<2,-1<x<3,由q真知x∈Z,∴x=0,1,2,故选D.答案:D6.已知集合I=R,集合M={x|x2-x<0},集合N={x|1x≤1}.则下列关系正确的是( )A.M ∁I NB.M ∁I NC.M=∁I ND.∁I M∪N=R 解析:∵M={x|0<x<1},N=11xx⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤=1xxx-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤={x|x<0或x≥1},∴∁I N={x|0≤x<1},故选A. 答案:A7.已知函数f(x)=2(1)(1)log x x x c x ⎧⎨+<⎩≤,则“c=-1”是函数f(x)在R 上递增的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当c=-1时,f(x)在(-∞,1)､[1,+∞)上分别是增函数,且log 21=0,则f(x)在R 上是增函数,反之,当f(x)在R 上是增函数,只须1+c≤0,而c≤-1,∴“c=-1”是“函数f(x)在R 上递增”的充分不必要条件.答案:A8.P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R },Q={β|β=(1,-2)+n(2,3),n∈R }是两个向量集合,则P∩Q 等于( )A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(1,2)}D.{(-23,-13)}解析:先化简,α=(m-1,2m+1),β=(2n+1,3n-2).依题意,α=β.得121,2132,m n m n -=+⎧⎨+=-⎩解得n=-7,m=-12.∴α=β=(-13,-23),故选B.答案:B9.给出下列四个命题:①点(a,b)关于直线y=1的对称点的坐标是(a,2-b);②与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x+y=0;③直线Ax+By=0与圆x 2+y 2+Ax+By=0相切;④直线y=xtan α+b 的倾斜角一定是角α.其中正确命题的是( )A.①②B.③④C.①③D.②④解析:与坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,故②不正确;直线y=xtan α+b,当α∉(0,π)时,不是直线的倾斜角,故④不正确.故选C.答案:C10.对任意x∈R ,kx 2-kx-1<0是真命题,则实数k 的最大取值范围为( )A.-4≤k≤0B.-4≤k<0C.-4<k≤0D.-4<k<0解析:当k=0时,kx 2-kx-1=-1<0, 当k≠0时,2040,k K k <⎧⎨+<⎩得-4<k<0, ∴-4<k≤0,故选C.答案:C二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.已知P={x|2≤x≤6},Q={x|a≤x≤a+1},若Q ⊆P,则a 的取值范围是________.解析:由题意知,216a a ⎧⎨+⎩≥≤,∴2≤a≤5. 答案:{a|2≤a≤5}12.命题p:对任意x∈R ,x 2-x+14<0,命题q:存在x∈R ,sinx=sin2x,则命题“p 且q”、“p 或q”、“¬p”、“¬q”中真命题有________个.解析:∵x 2-x+14=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0, ∴命题p 为假命题.∵当x=0时,sinx=sin2x,∴命题q 为真命题.故p 且q 为假,p 或q 为真,¬p 为真,¬q 为假.答案:2 13.命题:“对任意x∈13110,,32xlog x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的否定是____________________. 答案:存在x∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,1312xlog x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ 14.设命题p:点(2x+3-x 2,x-2)在第四象限,命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 解析:命题p:223020x x x ⎧+->⎨-<⎩,∴-1<x<2.命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,即(x-a)(x-2a-6)<0,当a<-6,q:2a+6<x<a,当a>-6,q:a<x<2a+6. 由题可知¬p ⇐¬q,∴p ⇒q,∴62612a a a <-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥或61262a a a >-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≥解得-2≤a≤-1.经检验a=-1和a=-2时,符合条件. 答案:[-2,-1]15.“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1”的________条件.解析:对任意正数x,2x+ax≥1,即2x2+a≥x,即2x2-x+a≥0恒成立,∴2214x⎛⎫-⎪⎝⎭≥18-a恒成立,∴18-a≤0,a≥18,故“a=18”是它的充分不必要条件.答案:充分不必要三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知全集U=R,A={x|x2-2x>0},B=322xxx+⎧⎫⎨⎬-⎩⎭≥,求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B). 解:(1)A={x|x<0或x>2},由32xx+-≥2得72xx--≤0,即2<x≤7,∴B={x|2<x≤7},∴A∩B={x|2<x≤7}.(2)∁U A={x|0≤x≤2},∁U B={x|x≤2或x>7},(∁U A)∩(∁U B)={x|0≤x≤2}.17.(2011•福建模拟)已知p:x2-3x-4<0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.解:由x2-3x-4<0,得-1<x<4,∴¬p:x≤-1或x≥4.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,∴¬q:x<1-m或x>1+m.∵¬p是¬q的充分不必要条件,∴1141mm--⎧⎨+⎩≤≥,∴0<m≤2.经检验m=2时¬p是¬q的充分不必要条件. 故实数m的取值范围为0<m≤2.18.已知A={x|2x2-ax+b=0},B={x|bx2+(a+2)x+5+b=0},且A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,求A∪B.解:∵A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,∴12为方程2x2-ax+b=0及bx2+(a+2)x+5+b=0的公共根,∴2211202211(2)5022a bb a b⎧⎛⎫⨯-⨯+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯++⨯++=⎪⎪⎝⎭⎩解得439269ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴A=2432612620,9929x x x ⎧⎫⎧⎫+-==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B=22625191190,999213x x x ⎧⎫⎧⎫--+==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭. ∴A∪B=11926,,2139⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 19.已知c>0,设命题p:函数y=c x 为减函数.命题q:当x∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,函数f(x)=x+11x c >恒成立.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题.求c 的取值范围.解:由命题p 知0<c<1｡ 由命题q 知2≤x+1x ≤52, 要使此式恒成立,则2>1c ,即c>12, 又由p 或q 为真,p 且q 为假知,p 、q 必有一真一假,当p 为真,q 为假时,c 的取值范围为0<c≤12, 当p 为假,q 为真时,c 的取值范围为c≥1,综上知,c 的取值范围为{c|0<c≤12或c≥1}. 20.已知三个集合A=10mx x x -⎧⎫<⎨⎬⎩⎭,B={x|x 2-3x-4≤0},C={x|12log x>1};三个命题p:实数m 为小于6的正整数,q:A 是B 成立的充分不必要条件,r:A 是C 成立的必要不充分条件.已知三个命题p 、q 、r 都是真命题,求实数m 的值.解:∵命题p 是真命题,即0<m<6,m∈N* ①∵A=11|0|0mx x x x x m -⎧⎫⎧⎫<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B={x|x 2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}, C={x|12log x>1}=102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭, 又∵命题q 、r 都是真命题, ∴14112m m ⎧⎪⎪⎨⎪>⎪⎩≤,②由①②得m=1. 21.已知函数f(x)=4sin 2(4πcos2x-1,且满足条件p:“4π≤x≤2π”. (1)求f(x)的最大值和最小值;(2)若又给条件q:“|f(x)-m|<2”,且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=2[1-cos(2πcos2x-1214(2)13x sin x π+=-+, ∵4π≤x≤2π, ∴6π≤2x -3π≤23π, ∴2≤4sin(2x -3π)≤4, ∴3≤f(x)≤5.即f(x)的最大值为5,最小值为3.(2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2,又p是q的充分条件,∴2325mm-<⎧⎨+>⎩,解得3<m<5,即m的取值范围是(3,5).。
2012年高考数学集合与常用逻辑用语专题练习及答案
绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题一 集合与常用逻辑用语考试范围：集合与常用逻辑用语一、选择题(本大题共15小题；每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．将集合{{}512),(=+=-y x y x y x 用列举法表示，正确的是 （ ） A ．}{3,2 B ．()}{3,2 C ．}{3,2==y x D ．()3,22.设集合=U R ，{|2011}M x x =>，集合}10|{<<=x x N ，则下列关系中正确的是（ ）A ．()R N C M U =B ．{}10＜＜x x N M =C ．()M C N U ⊆D ．φ≠N M3．已知集合{}9|7|＜-=x x M ，{|N x y =，且N M 、都是全集U 的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合 A ．{}23-≤-＜x x B ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x 4．定义集合}{n x x x A ,...,,21=，{}()+∈=N m n y y y B m ,,,...,21，若m n y y y x x x +++=+++......2121则称集合A 、B 为等和集合。
已知以正整数为元素的集合M ，N 是等和集合，其中集合}{3,2,1=M ，则集合N 的个数有 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是 （ ）A ．所有不能被5整除的数都是偶数B ．所有能被5整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被5整除的数都是偶数D ．存在一个能被5整除的数不是偶数6．若集合22310.5|25|1{|3},{|log (44)0},{|2}252x x x A x B x x x C x x -+-=<=-+>=<-，则“B A x ∈”是“C x ∈” （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 （1）（理）非负整数a ,b 满足1=+-ab b a ，记集合(){}b a M ,=，则M 的元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（文）下列特称命题中，假命题是 （ ）A ．∃x ∈R ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一直线D ．∃x ∈{x |x 是无理数}，使x 2是有理数8．（理）下列命题中的真命题是 （ ）A ．3是有理数B ．22是实数C ．2e 是有理数D ．{}R x x =是小数|（文）若三角方程cos 0x =与cos 20x =的解集分别为E,F ，则 （ ）A ．E ⊃≠ FB ．E ⊂≠FC ．E=FD ．φ=F E9．已知平面向a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为 60，则1=m 是()a b m a ⊥-的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条10．在下列结论中，正确的结论为 （ ）①“q p 且”为真是“q p 或”为真的充分不必要条件;②“q p 且”为假是“q p 或”为真的充分不必要条件;③“q p 或”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件;④“p ⌝”为真是“q p 且”为假的必要不充分条件.A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11．设有两个命题，命题p ：对a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，＞b a +1是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈32,0πθ的充要条件，命题q ：若函数28y kx kx =--的值恒小于0，则320k -<<，那么（ ）A ．“p 且q ”为真命题B ．“p 或q ”为真命题C ．“﹁p ”为真命题D ．“﹁q ”为假命题 12．已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，试求[1,1]x ∀∈-，ax x f ≥|)(|成立的充要条件 （ ） A ．(][)+∞--∞∈,01, aB ．[]0,1-∈aC ．[]1,0∈aD ．[)0,1-∈a 13．对于数列{}n a ，“)3,2,1(,,21⋯=++n a a a n n n 成等比数列”是“221++=n n n a a a ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．在四棱锥V-ABCD 中，B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 上的点，则命题P ：“若B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体AB 1CD 1的体积与四棱锥V-ABCD 的体积之比为1：4”和它的逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．（理）设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数t 和向量M a ∈ ,都有M a t ∈ ,则称M 为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①2{(,)|}x y x y ≥；②0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭； ③22{(,)|20}x y x y x +-≥； ④22{(,)|3260}x y x y +-<；上述为“点射域”的集合的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（文）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]={5n+k n ∈Z }，k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②-3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“b a -∈[0]”.其中正确的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共15小题；每小题5分，共75分。
高考数学一轮复习专题一集合与常用逻辑用语1集合综合集训含解析新人教A版
专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合 基础篇 【基础集训】考点一 集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二 集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇 【综合集训】考法一 集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析 因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。
专题1集合与常用逻辑用语(必刷1~60题)【一轮必刷600题】高三数学一轮复习专项训练(含答案)
专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【必刷24】若集合{}4A y y x ==-，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}xx <≤∣C ．{12}xx ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷55】设x ∈R ，则“|1|4x -<”是“502x x -<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷56】已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷57】已知命题2:log 1p x >，命题2:20q x x ->，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷58】设a 、b都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b = 成立的充分条件是（）A ．a b =r r 且a b∥B ．a b=-r r C ．a b∥D ．2a b= 【必刷59】已知向量a 和b ，则“||||a b a b ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷60】设实数0x >，则“2log 1x <”成立的一个必要不充分条件是（）A ．122x <<B ．12x <<C ．1x <D ．2x <专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【答案】A【解析】先写出集合M ，然后逐项验证即可；【详解】由题知{2,4,5}M =，对比选项知，A 正确，BCD 错误，故选：A【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ ，23,x ∴≤x Z ∈ ，1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意可知，集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【解析】先求得A B ，然后求得A B 子集的个数.【详解】{}0,1A B = ，所以A B 子集的个数为224=个.故选：B【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解方程组可求得A B ，根据A B 元素个数可求得真子集个数.【详解】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，()(){}0,0,1,1A B ∴= ，即A B 有2个元素，A B ∴ 的真子集个数为2213-=个.故选：C.【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】C【解析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，所以{}2,3,4A B = ，因此A B 中有三个元素，所以A B 的子集个数为328=，故选：C【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【答案】A【解析】化简,A B ，进而根据交集的定义，计算A B ，然后利用子集的概念即可求解.【详解】因为{}{}{}293310123B x |x x |x ,A ,,,,,=<=-<<=-所以{}1012M A B ,,,,==- 所以M 的子集共有42=16（个）.故选：A【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】联立=+12+2=1可得=0=1或=−1=0，故集合A ∩B 中元素的个数为2，故选：C ．【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合B ，可求得集合A B ，确定集合A B 的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果.【详解】因为{}{}223031B x x x x x =+-<=-<<，所以，{}1,0A B ⋂=-，则集合A B 的元素个数为2，因此，A B 的子集个数为224=.故选：B.【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】解不等式求得A ，然后求得A ⋂Z ，进而求得正确答案.【详解】222x x ≤⇒≤，所以A ⎡=⎣，所以{}1,0,1A ⋂=-Z ，所以A ⋂Z 子集的个数是328=.故选：D【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B【解析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>，所以N 中有两个元素，且乘积为-2，又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-，所以211a -=-+=-．即a ＝1．故选：B.【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】求出集合A 后可得其子集的个数.【详解】{}{}2224|log 2|2,1,1,20x x Z x x Z x ⎧⎫⎧≤⎪⎪∈≤=∈=--⎨⎨⎬≠⎪⎪⎩⎩⎭，故该集合的子集的个数为：4216=.故选：C.【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【答案】D【解析】先求得集合B ，然后求得A B ，从而求得A B 的真子集的个数.【详解】{0,1,2}B = ，{2,0,1,2}A B ∴⋃=-，A B 的真子集的个数为42115-=个.故选：D【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合T ，然后根据交集的定义求出S T ，最后根据真子集的定义求出真子集的个数.【详解】∵{}21,S s s n n Z ==+∈，{}33T x x =-<<，∴{}1,1S T =- ，∴S T 的真子集个数为2213-=，故选：C .【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合A B 的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合A B 有3个元素，所以集合A B 的真子集的个数为7，故选：C【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意求得阴影部分表示的集合，结合集合子集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}13,5A =,，{}3,4,5B =，可得{}3,5A B = ，可得{}()1,2,4U A B = ð，即阴影部分表示的集合为{}1,2,4，所以阴影部分表示的集合的子集个数为328=.故选：D.考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【答案】B【解析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R 2P x x =≤ð.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤ ð，故选：B.【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】首先化简集合A ，再根据补集的运算得到R A ð，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为20(2,4)4x A xx ⎧⎫+=<=-⎨⎬-⎩⎭，所以{R |2A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 4,5A B = ð，故选：B.【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【答案】C【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】由题意{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1244216x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(]4,4A B =- .故选：C.【必刷24】若集合{A y y ==，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【答案】A【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】因为{{}0A y y y y ==≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.故选：A ．【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【答案】C【解析】解对数不等式确定集合A ，解二次不等式确定集合B ，然后由并集定义计算．【详解】由题意{|021}{|23}A x x x x =<-<=<<，{|22}B x x =-≤≤，所以{|23}[2,3)A B x x =-≤<=- ．故选：C ．【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【答案】B【解析】应用集合的交补运算求()U A B I ð.【详解】由题设{2,4,6,7}U A =ð，又{2,3,4,6}B =，所以()={2,4,6}U A B = ð，故选：B【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】先化简集合N ，再去求M N ⋂即可解决【详解】{}{}ln 0N x y x x x ===>，则{}{}{}12002M N x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤，故选：C【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【答案】C【解析】求出函数2e x y =-的值域，再利用交集的定义求解作答.【详解】因e 0x >，则22e x -<，即(,2)B =-∞，而{}Z 33A x x =∈-<<，所以{2,1,0,1}A B =-- .故选：C【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【答案】D【解析】先求解集合B 的补集，再利用并集运算即可求解.【详解】由题得{}0,4,5U B =ð，又{}0,1,2A =，所以(){}0,1,2,4,5U B A ⋃=ð，故选：D.【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}x x <≤∣C ．{12}x x ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【答案】B【解析】解指数不等式得到{}02N x x =<<，进而求出交集.【详解】因为124x <<，所以02x <<，所以{}02N x x =<<，所以M N = {}01x x <≤，故选：B【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【答案】D【解析】求出,A B A B ，阴影表示集合为()A B A B ð，由此能求出结果.【详解】矩形表示全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，{}{}2,3,1,0,2,3,5,6,7A B A B ∴⋂=⋃=-，则阴影表示集合为(){}1,0,5,6,7A B A B ⋃⋂=-ð.故选：D.【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ，即可根据集合的补集以及并集运算求得答案.【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R ð，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ðU ，故选：C.【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】根据文氏图求解即可.【详解】{2,4}A B ⋂=，{}0,2,3,4,5,6A B ⋃=，阴影部分为{}0,3,5,6.故选：B ．【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【答案】D【解析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求得结果.【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，(){}{}{{}22ln 33003B x y x xx x xx x ==-=->=<<.所以，()2,3A B =- .故选：D.【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【答案】D【解析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =，所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=- ，故选：D ．【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D【解析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【答案】C【解析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a或211a +- 解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭， ，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a或211a +- ，即 2.a 综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞U .故选：C.【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】根据题意可以得到B A ⊆，进而讨论0a =和0a ≠两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，{}2,6A =，因为A B B = ，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =.综上：0a =或12a =或16a =.故选：D.【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9【答案】A【解析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ，故选：A ．考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①由2320x x -+=解得1x =或2x =，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值2πϕ=-，代入判断．【详解】①2320x x -+=，则1x =或2x =“1x =”是“1x =或2x =”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg lg10x ≥=，命题p 为真命题，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题，③为假命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为“若2πϕ≠，则()sin 2y x ϕ=+不是偶函数”若2πϕ=-，则sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为偶函数，④为假命题故选：C ．【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D【解析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项．【详解】命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错；命题:R p x ∃∈，210x x +-<的否定是R x ∀∈，210x x +-≥，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x +=++在定义域内是增函数，()11f -=，(2)10f =，所以12x -<<时，()1212log 210x x +<++<满足()122log 210x x +++<，但()122log 210x x +++<时，22x -<<不满足12x -<<，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q ∨为真命题，D 正确．故选：D ．【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】利用全称命题的否定可判断A ，由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ，通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”，正确；B.在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a bR R≥（R 为外接圆半径），a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；反之，A B ≥可得a b ≥，由正弦定理可得sin sin A B ≥，即为充要条件，故正确；C.当0,0a b c ==≥时满足20ax bx c ++≥，但是得不到“0a >，且240b ac -≤”，则不是充要条件，故错误；D.若1sin 2α≠，则6πα≠与6πα=则1sin 2α=的真假相同，故正确；故选：C【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】同时否定条件和结论即可，注意x =0且y =0，的否定为0x ≠或0y ≠.【详解】命题“若220x y +=，则0x y ==”即为“若220x y +=，则0x =且0y =”所以否命题为：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠.故选：D【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A ，根据奇函数的定义判断B ，利用特殊值判断C ，根据三角形的性质及正弦定理判断D ；【详解】对于A ：2000:,2310p x R x x ∃∈++>则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++≤，故A 错误；对于B ：由(0)0f =，得不到函数()f x 是奇函数，如2()f x x =满足(0)0f =，但是2()f x x =为偶函数，由函数()f x 是奇函数也不一定得到(0)0f =，如()1f x x=为奇函数，当时函数在0处无意义，故B 错误；对于C ：当2x =时22x x =，故C 错误；对于D ：因为A B >根据三角形中大角对大边，可得a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故D 正确；故选：D【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用配方法可判断①的正误；利用集合的包含关系可判断②的正误；利用复合命题的真假可判断③的正误；利用反证法可判断④的正误.【详解】对于①，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，①对；对于②，因为{}2a a >（{}5a a >，故“2a >”是“5a >”的必要不充分条件，②错；对于③，“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题，所以，p q ⌝∧⌝为真命题，③对；对于④，假设1x ≤且1y ≤，则2x y +≤，与2x y +>矛盾，假设不成立，④对.故选：B.【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到答案.【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B.【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x ≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【答案】D【解析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即000,sin x R x x ∃∈≤；故选：D.【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【答案】C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】由全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】D【解析】A 选项直接否定条件和结论即可；B 选项存在一个量词的命题的否定，先否定量词，后否定结论；C 选项“且”命题是一假必假；D 选项，利用“小集合”是“大集合”的充分不必要条件作出判断.【详解】对于A ，命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错误；对于B ，命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +-≥，B 错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 有一个假命题即可；C 错误；对于D ， 2320x x -+>1x ∴<或2x >11x x ∴<⇒<或2x >，即“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，D 正确.故选：D考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；【详解】由题意可知当2,1x y =-=时，满足11x y<，但不满足22log log x y >；由22log log x y >，得0x y >>，满足11x y <，所以“11x y<”是“22log log x y >”的必要不充分条件，故选：B ．【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】在ABC 中，A B =，则22A B =，必有sin 2sin 2A B =，而,63A B ππ==，满足sin 2sin 2A B =，此时ABC 是直角三角形，不是等腰三角形，所以“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的必要不充分条件.故选：B【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用抽象函数的定义域可判断A 选项；利用平面向量数量积的定义可判断B 选项；利用函数零点的定义可判断C 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，对于函数()1y f x =+，则有111x -≤+≤，解得20x -≤≤，即函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-，A 错；对于B 选项，若正三角形ABC 的边长为2，则cos1202AB BC AB BC ⋅=⋅=-，B 错；对于C 选项，已知函数()()2log 11f x x =+-，令()0f x =，解得1x =，所以，函数()y f x =的零点为1，C 错；对于D 选项，若2παβ==，则tan α、tan β无意义，即“αβ=”⇒“tan tan αβ=”；若tan tan αβ=，可取4πα=，54πβ=，则αβ≠，即“αβ=”⇐/“tan tan αβ=”.因此，“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件，D 对.故选：D.【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭，得1x <，解不等式21x <，得11x -<<，。
高三数学一轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数综合测试(一)
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数阶段质量评估（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．已知函数①()ln f x x =；②cos ()xf x e =；③()xf x e =；④()cos f x x =．其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在定义域内的唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x •=成立的函数是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③D ．④3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x xf x a a -=+ D.2()ln 2x f x x -=+ 4．下列结论①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方；③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 4 5．命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为 ( )A ．x R ∀∈，2240x x -+≥ B ．2,240x R x x ∀∉-+≤C ．x R ∃∈,2240x x -+>D ．x R ∃∉,2240x x -+>6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．4x y -B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（e ，3）C ．（2，e ）D ．(e,+∞)8．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a =-对称。
2012年高考数学试题分类汇编第一部分集合与常用逻辑用语
第一部分 集合与常用逻辑用语1.（2012湖南卷文）设集合M={-1,0,1}，N={x |x 2=x }，则M∩N=( ) A.{-1，0，1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 【答案】B【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M∩N={0,1} 2. （2012湖南卷文）命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是( )A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”.3.（2012年天津卷文）设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2+x -1>0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-<x ，所以“21>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.4. （2012年北京卷理）已知集合A={x ∈R|3x +2＞0} B={x ∈R|（x +1）(x -3)＞0} 则A∩B=( )A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞)【解析】32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 5.（2012年福建卷理）下列命题中，真命题是( ) A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=ba D ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件【答案】D6.（2012年广东卷理）设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ð( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}【答案】C（2012年上海卷文）2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝ (2012年安徽文)（2）设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=（A ） （1，2） （B ）[1，2] （C ） [ 1，2） （D ）（1，2 ] 【解析】选D{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]B A B =+∞⇒=(2012年安徽文)（4）命题“存在实数x ，使x > 1”的否定是（A ） 对任意实数x , 都有x > 1 （B ）不存在实数x ，使x ≤ 1（C ） 对任意实数x , 都有x ≤ 1 （D ）存在实数x ，使x ≤ 1 【解析】选C存在---任意，1x >---1x ≤（2012年山东卷理）2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ） B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课后作业 文-
1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x －3 12是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案 B解析 对于①，其否命题是“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(2018·某某八市联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．故选A.3．(2018·曲阜模拟)已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a >1，所以綈p 成立⇔a >1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a >0，b >0”是“b a ＋ab≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a >0，b >0，则b a ＋ab ≥2，又当a <0，b <0时，也有b a ＋a b≥2，所以“a >0，b >0”是“b a ＋a b≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，由此可知D 正确．故选D.5．(2018·某某某某质检)已知p ：∃x >0，e x－ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x >0，e x－ax <1成立，则∃x >0，使得e x<ax ＋1.由于直线y ＝ax ＋1恒过点(0,1)，且y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为y ＝x ＋1，因此p ：a >1；若函数f (x )＝－(a －1)x是减函数，则a －1>1，则a >2，则q ：a >2.故由q 可以推出p ，由p 推不出q ，故p 是q 的必要不充分条件．故选B.6．(2018·某某模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2017·某某联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(2018·某某模拟)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b2D ．a >b2答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋3，且|f (x )－1|<a ， ∴|2x ＋2|<a .∴－a <2x ＋2<a ， ∴－2－a 2<x <－2＋a2. ∵|x ＋1|<b ，∴－b <x ＋1<b ， ∴－b －1<x <b －1.∵|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1≤－2－a2，b －1≥－2＋a2，解得b ≥a2.故选A.9．(2018·某某一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2a i ＋i ＝a ＋2＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．若a >0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a <0，解得a >12，此时可推出a >0.所以“a >0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(2017·某某七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r <3，故p 是q 的充分必要条件．故选C.二、填空题11．(2017·某某模拟)已知集合A ＝{x| log 12x ＋2<0}，集合B ＝{x |(x －a )(x －b )<0}，若“a ＝－3”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值X 围是________．答案 (－1，＋∞) 解析 A ＝{x| log 12x ＋2<0}＝{x |x >－1}，B ＝{x |(x －a )(x －b )<0}＝(－3，b )或(b ，－3)，由“A ∩B ≠∅”，得b >－1，故b 的取值X 围为(－1，＋∞)．12．已知条件p ：x ∈A ，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，条件q ：x ∈B ，且B ＝{x |y ＝x 2－3x ＋2}．若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所某某数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(2018·某某模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件， ∴q ⇒p ，且p ⇒/ q .设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A . 又B ＝{x |2<x ≤3}，当a >0时，A ＝{x |a <x <3a }； 当a <0时，A ＝{x |3a <x <a }．故当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值X 围是(1,2]．14．(2017·某某模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值X 围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[－2，2)． 三、解答题15．(2017·沂水模拟)已知f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.是真命题． (用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.是真命题． 原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )． ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(2017·某某兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)某某数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，某某数a 的取值X 围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值X 围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m <2.(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.。
高考第一轮复习集合与常用逻辑用语
年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——集合与常用逻辑用语编稿老师孙丕训一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破考纲解读:1. 集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。
2．对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。
这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。
3. 常用逻辑用语高考以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主。
命题预测：1. 根据考试大纲的要求,结合近几年高考的命题情况,可以预测集合这部分内容在选择、填空和解答题中都有可能涉及.高考命题热点有以下两个方面:一是对集合的运算、集合的有关陈述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型常以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现. 2. 作为高中数学的基础知识,命题、量词与逻辑联结词、四种命题及充要条件是每年高考的必考内容,题量一般为1~2道,多以选择题或填空题的形式出现,难度不大,重点考查命题真假的判断,全称命题与特称命题的否定, 与函数、直线与平面、圆锥曲线等知识联系很紧密,要求考生理解命题的四种形式、充分条件、必要条件、充要条件的意义,能够判断给定的两个命题的逻辑关系.题目内容和思想方法涉及或渗透到高中数学的各个章节,有一定的综合性.二、重难点提示重点：理解集合的表示，能准确进行集合间的交、并、补的运算；正确地对含有一个量词的命题进行否定。
难点：集合的表示及充分必要条件的判定。
一、知识脉络图二、知识点拨1. 集合与元素（1）集合元素具有三个特征：、、。
（2）元素与集合的关系是属于或不属于的关系，用符号∈或∉表示。
（3）集合的表示法：、、、。
（4）常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N＋）；整数集Z；有理数集Q；实数集R;复数集C。
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。
阶段测试卷01 集合与常用逻辑用语、不等式、函数导数(原卷版)-新高考数学(单元卷+阶段卷+模拟卷)
2023年高考数学优化通关卷（阶段测试卷01）集合与常用逻辑用语、不等式、函数导数姓名_______ 班级_________ 考号___________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．若集合{}2320A x x x =++≥，集合1284xB x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．RB ．[]2,1--C ．[]2,3-D ．[]1,3-2．已知命题2:,2x p x x ∃∈>R ，则¬p 为（ ） A ．2,2x x x ∀∈>R B ．2,2x x x ∀∈≤R C ．2,2x x x ∃∈<RD ．2,2x x x ∃∈≤R3．“当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231m m y m m x --=--为减函数”是“1m =-或2”的（ ）条件A ．既不充分也不必要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．充要4．已知函数()2,0,2,0,x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩则方程()20xf x -=的解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-6．已知0.635332,lg ,55a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（ ） A．B．1C ．4D ．2.58．若函数()2ln f x kx x =-在区间()2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题中，假命题是（ ） A ．0x R ∃∈，0e 0x ≤ B ．x R ∀∈，22x x >C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件10．下列不等式中正确的有（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0ab >，则2ab b a +≥C ．若a b >，则a b >D ．若a b c >>，则11b c a>- 11．已知函数()323f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 在()0,1上单调递减B ．()f x 的极大值点为2C ．()f x 的极大值为－2D ．()f x 有2个零点12．已知函数()()eln 11f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数()e 2.71828=，则下列结论正确的为（ ） A ．()f x 的图象恒在x 轴上方 B ．311e e e f ⎛⎫'+=- ⎪⎝⎭C ．e 1x =+是()f x 的极小值点D ．()f x 的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若函数1f x =-，则()f x =__________.14．写出一个同时满足下列条件①②③的函数()f x =______． ①()1f x +为偶函数；②()f x 的最大值为2；③()f x 不是二次函数． 15．曲线e xy x=在2x =处的切线方程为___________.16．已知函数22,0()e ,0x x x f x x ⎧+<=⎨≥⎩，满足对任意的x ∈R ，()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________四．解答题：本小题共6小题，共70分。
【数学】2012新题分类汇编：集合与常用逻辑用语(高考真题+模拟新题)
集合与常用逻辑用语(高考真题+模拟新题)课标文数2.A1[2011·安徽卷] 集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2,3,4}，则S ∩(∁U T )等于( )A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5} 课标文数2.A1[2011·安徽卷] B 【解析】 S ∩(∁U T )＝{1,4,5} ∩{1,5,6}＝{1,5}．课标理数8.A1[2011·安徽卷] 设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 课标理数8.A1[2011·安徽卷] B 【解析】 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] C 【解析】 由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，而集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1，故选C.课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] D 【解析】 因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以∁U P ＝{x |x <－1或x >1}，故选D.大纲文数1.A1[2011·全国卷] 设集合U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则∁U (M ∩N )＝( )A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{2,4}D ．{1,4} 大纲文数 1.A1[2011·全国卷] D 【解析】 ∵M ∩N ＝{2,3}，∴∁U (M ∩N )＝{1,4}，故选D.课标理数1.A1，L4[2011·福建卷] i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i∈S课标理数1.A1、L4[2011·福建卷] B 【解析】 由i 2＝－1，而－1∈S ，故选B.课标文数1.A1[2011·福建卷] 若集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1，2}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 课标文数1.A1[2011·福建卷] A 【解析】 由已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，得M ∩N ＝{0,1}，故选A.课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]； ②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] C 【解析】 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”[k ]，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k (n 1，n 2∈Z )，则 a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]；反之，若a －b ∈[0]，可设a ＝5n 1＋k 1，b ＝5n 2＋k 2(n 1，n 2∈Z )，则 a －b ＝5(n 1－n 2)＋(k 1－k 2)∈[0]；∴k 1＝k 2，则整数a ，b 属于同一“类”，结论④正确，故选C.课标理数2.A1[2011·湖北卷] 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2，则∁U P ＝( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.()0，＋∞ D.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞课标理数 2.A1[2011·湖北卷] A 【解析】 因为U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ 0<y <12，所以∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥12＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞.课标文数1.A1[2011·湖北卷] 已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则 ∁U (A ∪B )＝( )A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8} 课标文数 1.A1[2011·湖北卷] A 【解析】 因为A ∪B ＝{}1，2，3，4，5，7，所以∁U ()A ∪B ＝{}6，8.课标文数1.A1[2011·湖南卷] 设全集U ＝M ∪N ＝{1,2，3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4} 课标文数1.A1[2011·湖南卷] B 【解析】 (排除法)由M ∩∁U N ＝{2,4}，说明N 中一定不含有元素2,4，故可以排除A 、C 、D ，故选B.课标文数2.A1[2011·江西卷] 若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 课标文数2.A1[2011·江西卷] D 【解析】 方法一： ∵M ∪N ＝{1,2,3,4}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}．故选D. 方法二：∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}， ∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选D.课标理数2.A1[2011·辽宁卷] 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅ 课标理数2.A1[2011·辽宁卷] A 【解析】 N ∩∁I M ＝∅⇒N ⊆M ，所以M ∪N ＝M ，故选A.课标文数1.A1[2011·辽宁卷] 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |x ＞－1} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |1＜x ＜2} 课标文数1.A1[2011·辽宁卷] D 【解析】 由图1－1知A ∩B ＝{x |1<x <2}，故选D.课标文数1.A1[2011·课标全国卷] 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 课标文数1.A1[2011·课标全国卷] B 【解析】 因为M ＝{}0，1，2，3，4，N ＝{}1，3，5，所以P ＝M ∩N ＝{}1，3，所以集合P 的子集共有∅，{}1，{}3，{}1，34个．课标理数1.A1[2011·山东卷] 设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3] 课标理数1.A1[2011·山东卷] A 【解析】 由解不等式知识知M ＝{x |－3<x <2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．课标理数7.A1[2011·陕西卷] 设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i ＜2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 课标理数7.A1[2011·陕西卷] C 【解析】 对于M ，由基本不等式得y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos2x |，故0≤y ≤1.对于N ，因为x －1i＝x ＋i ，由⎪⎪⎪⎪x －1i <2，得x 2＋1<2，所以－1<x <1，故M ∩N ＝[0,1)，故答案为C.课标文数8.A1，L4[2011·陕西卷] 设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1] 课标文数8.A1，L4[2011·陕西卷] C 【解析】 对M ，由基本不等式得y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos2x |，故0≤y ≤1.对N ，⎪⎪⎪⎪x i <1，即|－x i|<1，所以－1<x <1，故M ∩N ＝[0,1)，故答案为C.课标数学1.A1[2011·江苏卷] 已知集合A ＝{－1,1,2,4}，B ＝{－1,0,2}, 则A ∩B ＝________. 课标数学1.A1[2011·江苏卷] {－1,2} 【解析】 因为集合A ，B 的公共元素为－1,2，故A ∩B ＝{－1,2}．课标数学1.A1[2011·江苏卷] 已知集合A ＝{－1,1,2,4}，B ＝{－1,0,2}, 则A ∩B ＝________. 课标数学1.A1[2011·江苏卷] {－1,2} 【解析】 因为集合A ，B 的公共元素为－1,2，故A ∩B ＝{－1,2}．大纲文数1.A1[2011·四川卷] 若全集M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,4}，则∁M N ＝( ) A ．∅ B ．{1,3,5}C ．{2,4}D ．{1,2,3,4,5}大纲文数1.A1[2011·四川卷] B 【解析】 ∁M N ＝{1,3,5}，所以选B.课标理数13.A1[2011·天津卷] 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝x ∈R ⎪⎪x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝________.课标理数13.A1[2011·天津卷] {x |－2≤x ≤5} 【解析】 ∵A ＝{}x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9 ＝{}x ∈R |－4≤x ≤5，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ＝4t ＋1t －6，t ∈()0，＋∞ ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪x ≥24t ×1t －6，t ∈()0，＋∞ ＝{x ∈R |x ≥－2}∴A ∩B ＝{x ∈R |－4≤x ≤5}∩{x |x ≥－2}＝{x |－2≤x ≤5}．课标文数9.A1[2011·天津卷] 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．课标文数9.A1[2011·天津卷] 3 【解析】 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}．∴A ∩Z ＝{0,1,2}，即0＋1＋2＝3.课标文数1.A1[2011·浙江卷] 若P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x >－1}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 课标文数1.A1[2011·浙江卷] C 【解析】 P ＝{x |x <1}，∴∁R P ＝{x |x ≥1}．又∵Q ＝{x |x >－1}，∴Q ⊇∁R P ，故选C.大纲文数2.A1[2011·重庆卷] 设U ＝R ，M ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U M ＝( ) A ．[0,2] B ．(0,2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) 大纲文数2.A1[2011·重庆卷] A 【解析】 解不等式x 2－2x ＞0，得x ＞2或x ＜0. 即集合M ＝{x |x ＞2或x ＜0}， ∴∁U M ＝{x |0≤x ≤2}．故选A.课标理数7.A2[2011·安徽卷] 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 课标理数7.A2[2011·安徽卷] D 【解析】 本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.课标文数20.D2，A2[2011·北京卷] 若数列A n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称A n 为E 数列．记S (A n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)写出一个E 数列A 5满足a 1＝a 3＝0；(2)若a 1＝12，n ＝2000，证明：E 数列A n 是递增数列的充要条件是a n ＝2011； (3)在a 1＝4的E 数列A n 中，求使得S (A n )＝0成立的n 的最小值． 课标文数20.D2，A2[2011·北京卷] 【解答】 (1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E 数列A 5. (答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E 数列A 5)(2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列，所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1999)．所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a 2000＝12＋(2000－1)×1＝2011， 充分性：由于a 2000－a 1999≤1. a 1999－a 1998≤1. ……a 2－a 1≤1.所以a 2000－a 1≤1999，即a 2000≤a 1＋1999. 又因为a 1＝12，a 2000＝2011. 所以a 2000＝a 1＋1999.故a k ＋1－a k ＝1>0(k ＝1,2，…，1999)，即E 数列A n 是递增数列． 综上，结论得证．(3)对首项为4的E 数列A n ，由于 a 2≥a 1－1＝3， a 3≥a 2－1≥2， ……a 8≥a 7－1≥－3， ……所以a 1＋a 2＋…＋a k >0(k ＝2,3，…，8)．所以对任意的首项为4的E 数列A n ，若S (A n )＝0，则必有n ≥9.又a 1＝4的E 数列A 9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S (A 9)＝0， 所以n 的最小值是9.课标理数2.A2[2011·福建卷] 若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 课标理数2.A2[2011·福建卷] A 【解析】 若a ＝2，则(a －1)(a －2)＝0成立；若(a －1)(a －2)＝0，则a ＝2或a ＝1，则a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件，故选A.课标文数3.A2[2011·福建卷] 若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 课标文数3.A2[2011·福建卷] A 【解析】 若a ＝1，则|a |＝1成立；若|a |＝1，则a ＝－1或a ＝1，则a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件，故选A.课标理数9.A2[2011·湖北卷] 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 课标理数9.A2[2011·湖北卷] C 【解析】 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，所以a ，b 互补；若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，所以a ＋b ≥0，此时有φ()a ，b ＝()a ＋b 2－2ab －()a ＋b ＝()a ＋b 2－()a ＋b ＝()a ＋b －()a ＋b ＝0，所以“φ()a ，b ＝0”是a 与b 互补的充要条件．课标文数10.A2[2011·湖北卷] 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 课标文数10.A2[2011·湖北卷] C 【解析】 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，所以a ，b 互补；若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，所以a ＋b ≥0，此时有φ()a ，b ＝()a ＋b 2－2ab －()a ＋b ＝()a ＋b 2－()a ＋b ＝()a ＋b －()a ＋b ＝0，所以“φ()a ，b ＝0”是a 与b 互补的充要条件．课标理数2.A2[2011·湖南卷] 设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 课标理数2.A2[2011·湖南卷] A 【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}，此时有N ⊆M ，则条件具有充分性；当N ⊆M 时，有a 2＝1或a 2＝2得到a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－2，故不具有必要性，所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件， 故选A.课标文数3.A2[2011·湖南卷] “x >1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 课标文数3.A2[2011·湖南卷] A 【解析】 由不等式||x >1得x <－1或x >1.当x >1时，一定有||x >1成立，则条件具有充分性；当||x >1不一定有x >1，则不具有必要性，故选A.课标理数8.A2[2011·江西卷] 已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d 1，平面α2，α3之间的距离为d 2，直线l 与α1，α2，α3分别相交于P 1，P 2，P 3，那么“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件课标理数5.A2[2011·山东卷] 对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件课标理数5.A2[2011·山东卷] B【解析】由判定充要条件方法之一——定义法知，由“y ＝f(x)是奇函数”可以推出“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”，反过来，逆推不成立，所以选B.课标文数5.A2[2011·山东卷] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3课标文数5.A2[2011·山东卷] A【解析】命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选择A.课标理数1.A2[2011·陕西卷] 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b课标理数1.A2[2011·陕西卷] D【解析】利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为D.课标文数1.A2[2011·陕西卷] 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b课标文数1.A2[2011·陕西卷] D【解析】利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为D.大纲文数5.A2[2011·四川卷] “x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件大纲文数5.A2[2011·四川卷] A【解析】x＝3⇒x2＝9，但x2＝9⇒x＝±3，所以“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．大纲理数5.A2[2011·四川卷] 函数f(x)在点x＝x0处有定义是f(x)在点x＝x0处连续的() A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件大纲理数5.A2[2011·四川卷] B【解析】在x＝x0处连续不仅需要有定义，还需要在该点处的极限值与函数值相等，所以函数在x＝x0处有定义是在该点处连续的必要不充分条件．所以选B.课标理数2.A2[2011·天津卷] 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件课标理数2.A2[2011·天津卷] A 【解析】 当x ≥2且y ≥2时，一定有x 2＋y 2≥4；反过来当x 2＋y 2≥4，不一定有x ≥2且y ≥2，例如x ＝－4，y ＝0也可以，故选A.课标文数 4.A2[2011·天津卷] 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 课标文数4.A2[2011·天津卷] C 【解析】 ∵A ＝{x ∈R | x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}， ∴A ∪B ＝{x ∈R |x <0或x >2}．又∵C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}＝{x ∈R |x <0或x >2}， ∴A ∪B ＝C ，即“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充分必要条件．课标理数7.A2[2011·浙江卷] 若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 课标理数7.A2[2011·浙江卷] A 【解析】 当a >0，b >0时，由0<ab <1两边同除b 可得a <1b 成立；当a <0，b <0时，两边同除以a 可得b >1a 成立，∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件．反过来，若ab <0，由a <1b 或b >1a得不到0<ab <1.大纲理数2.A2[2011·重庆卷] “x ＜－1”是“x 2－1＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 大纲理数2.A2[2011·重庆卷] A 【解析】 解不等式x 2－1＞0，得x ＜－1或x ＞1， 因此当x ＜－1成立时，x 2－1＞0成立；而当x ＜－1或x ＞1成立时，x ＜－1不一定成立．故选A.课标理数20.D5，A3[2011·北京卷] 若数列A n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称A n 为E 数列．记S (A n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)写出一个满足a 1＝a 5＝0，且S (A 5)＞0的E 数列A 5；(2)若a 1＝12，n ＝2000.证明：E 数列A n 是递增数列的充要条件是a n ＝2011； (3)对任意给定的整数n (n ≥2)，是否存在首项为0的E 数列A n ，使得S (A n )＝0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列A n ；如果不存在，说明理由．课标理数20.D5，A3[2011·北京卷] 【解答】 (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E 数列A 5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E 数列A 5) (2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列， 所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1999)．所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a 2000＝12＋(2000－1)×1＝2011. 充分性：由于a 2000－a 1999≤1， a 1999－a 1998≤1， ……a 2－a 1≤1，所以a 2000－a 1≤1999，即a 2000≤a 1＋1999. 又因为a 1＝12，a 2000＝2011， 所以a 2000＝a 1＋1999，故a k ＋1－a k ＝1＞0(k ＝1,2，…，1999)，即E 数列A n 是递增数列． 综上，结论得证．(3)令c k ＝a k ＋1－a k (k ＝1,2，…，n －1)，则c k ＝±1， 因为a 2＝a 1＋c 1， a 3＝a 1＋c 1＋c 2， ……a n ＝a 1＋c 1＋c 2＋…＋c n －1，所以S (A n )＝na 1＋(n －1)c 1＋(n －2)c 2＋(n －3)c 3＋…＋c n －1 ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)·(n －2)＋…＋(1－c n －1)] ＝n (n －1)2－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]．因为c k ＝±1，所以1－c k 为偶数(k ＝1,2，…，n －1)， 所以(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)为偶数，所以要使S (A n )＝0，必须使n (n －1)2为偶数，即4整除n (n －1)，亦即n ＝4m 或n ＝4m ＋1(m ∈N *)．当n ＝4m (m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋1(m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )，a 4m ＋1＝0时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋2或n ＝4m ＋3(m ∈N *)时，n (n －1)不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得a 1＝0，S (A n )＝0.课标文数4.A3[2011·北京卷] 若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题 课标文数4.A3[2011·北京卷] D 【解析】 p 是真命题，则綈p 是假命题；q 是假命题，则綈q 是真命题，故应选D.课标文数4.A3[2011·辽宁卷] 已知命题p ：∃n ∈N,2n ＞1000，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N,2n ≤1000 B ．∀n ∈N,2n ＞1000 C ．∃n ∈N,2n ≤1000 D ．∃n ∈N,2n ＜1000 课标文数4.A3[2011·辽宁卷] A 【解析】 命题p 用语言叙述为“存在正整数n ，使得2n>1000成立”，所以它的否定是“任意的正整数n ，使得2n ≤1000成立”，用符号表示为“∀n ∈N,2n≤1000”课标理数2.A4[2011·广东卷] 已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 课标理数2.A4[2011·广东卷] C 【解析】 集合A 表示以原点为圆心的单位圆，集合B 表示过原点的直线，显然有两个交点，故选C.课标理数8.A4[2011·广东卷] 设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是( )A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的课标理数8.A4[2011·广东卷] A 【解析】 T 全部是偶数，V 全部是奇数，那么T ，V 对乘法是封闭的，但如果T 是全部偶数和1,3，那么此时T ，V 都符合题目要求，但是在V 里面，任意取的数是－1和－3，那么相乘等于3，而V 里面没有3，所以V 对乘法不封闭．排除B 、C 、D 选项，所以“至少一个”是对的．课标文数2.A4[2011·广东卷] 已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 课标文数2.A4[2011·广东卷] C 【解析】 集合A 表示以原点为圆心的单位圆，集合B 表示过点(1,0)，(0,1)的直线，显然有两个交点，故选C.课标理数2.A4[2011·江西卷] 若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}课标理数2.A4[2011·江西卷] B 【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．故选B.[2011·广东广雅中学期末] 下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“对任意x ∈R, 均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题[2011·湖南六校联考] 已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，且命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为________．[2011·丰台期末] 若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}, {c}, {a, b, c}}；②τ＝{∅，{b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}}；③τ＝{∅，{a}, {a, b}, {a, c}}；④τ＝{∅，{a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是________．- 11 -。
第1章 集合与常用逻辑用语 高中数学必修第一册(Word含答案)
第一章：集合与常用逻辑用语测试题一、选择题：（每小题5分，共65分）1、已知集合A={2,4,5}，B={3,5,7},则A ∪B=( )。
A 、{5}B 、{2,4,5}C 、{3,5,7}D 、{2,3,4,5,7} 2、设集合{|21}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤,则=B A （ ）。
A ．{|24}x x -<≤B ．{|01}x x <<C ．{|14}x x <≤D ．{|20}x x -<< 3、已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，那么集合A =R（ ）。
A ．{}|23x x -<<B ．{}|23x x x -或≤≥ C ．{}|23x x -≤≤D ．{}|23x x x <->或4、已知集合M={x|x 2=1}，集合N={x|ax=1}，若N ⊂≠M ，那么a 的值为（ ）。
A 、1B 、-1C 、1或-1D 、0，1或-1 5、设a,b ∈R ，集合{1,a+b,a}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b b ,,0，则b-a 等于（ ）。
A 、1 B 、-1 C 、2 D 、-26、已知：P={y|y=x 2+1，x ∈R}，Q={y|y=x+1，x ∈R}则P ∩Q=（ ）。
A.RB.),1[+∞C.{0,1}D.{(0,1),(1,2)} 7、设集合M={}1,2,3|---x ，N={}02|2≤-+x x x ,则MN =（ ）。
A 、{-2,0,1} B 、{-3，-2，-1}C 、{-2，-1,0,1}D 、{-3，-2，-1,0,1}8、“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（ ）。
A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、下列命题中，真命题是（ ）。
A ．质数都是奇数B ．{||1|3}x N x ∈-<是无限集C ．π是有理数D ．250x x -=的根是自然数10、22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题(含解
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充分条件、必要条件与命题的四种形式一、选择题1．“a＝2”是“直线（a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析因为两直线平行，则(a2－a）×1－2×1＝0，解得a＝2或－1，所以选A.答案A2．已知命题p：∃n∈N，2n＞1 000，则綈p为( )．A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N,2n＞1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n＜1 000解析特称命题的否定是全称命题．即p:∃x∈M，p(x)，则綈p:∀x∈M，綈p（x)．故选A。
答案A3.与命题”若a M∉"等价的命题是（ )∈,则b MA。
若a M∉∉,则b MB。
若b M∈∉,则a MC.若a M∈∉,则b MD。
若b M∉∈,则a M解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可.故选D. 答案 D4．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π"的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析函数y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π⇔a＝1或a＝－1,所以“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A。
高考数学第一轮复习(典型题+详解)集合与常用逻辑用语
易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语A组专项基础训练(时间：30分钟)一、选择题1．已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N ＝{x|x≥1}，则()A．P＝M B．Q＝R C．R＝M D．Q＝N答案 D解析集合P是用列举法表示的，只含有一个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R是一切实数．集合M的元素是函数y＝x2＋1图象上所有的点．故选D.2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是() A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0答案 C解析由已知得，对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．它的否定是特称命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“>0”，故选C.3．“2a>2b”是“log2a>log2b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若2a>2b，只能得到a>b，但不能确定a，b的正负性，当0>a>b时，log2a，log2b均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log2a>log2b”；若log2a>log2b，则可得a>b>0，从而有2a>2b成立．综上，“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件．4．已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为() A．m<4 B．m>4C．0<m<4 D．0≤m<4答案 A解析∵A∩R＝∅，则A＝∅，即等价于方程x2－mx＋1＝0无实数解，即Δ＝m－4<0，即m<4，选A.注意m<0时也表示A＝∅.5．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，则集合A⊙B所有元素之积为() A．4 500 B．342 000C．345 600 D．135 600答案 C解析依题意，x，y的取值应为x＝1，y＝3；x＝1，y＝4；x＝2，y＝3；x＝2，y＝4.从而A⊙B＝{12,20,30,48}．故所有元素之积为12×20×30×48＝345 600.二、填空题6．设集合M＝{y|y＝2－x，x<0}，N＝{a|a＝b－1}，则M∩N＝________.答案{x|x>1}解析∵y＝2－x，x<0，∴M＝{y|y>1}，∴集合M代表所有大于1的实数；由于N＝{a|a＝b－1}，∴a＝b－1≥0，∴N＝{a|a≥0}，∴集合N代表所有大于或等于0的实数，∴M∩N代表所有大于1的实数，即M∩N＝{x|x>1}．7．设集合A、B是全集U的两个子集，则“A∪B＝B”是“∁U A⊇∁U B”的________条件．答案充要解析由Venn图知∁U A⊇∁U B⇔A⊆B，而A∪B＝B⇔A⊆B.8．设A，B为两个集合，给出下列三个命题：①A⃘B是A∩B≠A的充要条件；②A⃘B是A⊇B的必要条件；③A⃘B是“存在x∈A，使得x∉B”的充要条件．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①③解析因为A⊆B⇔A∩B＝A，A⊆B⇔A∪B＝B，又原命题与它的逆否命题是等价的，所以①是真命题；对于②，由于A⊇B包含了A＝B的情形，而此时A⊆B成立，故②是假命题；对于③，它的正确性不言自明．9．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________.答案－1－1解析 由A ＝B 知需分多种情况进行讨论，由lg(xy )有意义，则xy >0.又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1.此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|x |，xy ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x ＝y ＝－1时，A ＝B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.三、解答题10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且 p 是 q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10.由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m .∵ p 是 q 的必要不充分条件，∴q 是p 是必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且qD ⇒/p ，∴{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10.即m ≥9或m >9.∴m ≥9.∴实数m 的取值范围为m ≥9.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；而若f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则0≤a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，选A.2．下列命题的否定中真命题的个数是( )①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根；②q ：存在一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数；③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题．故只有一个是正确的，故选B.3．已知集合M ＝{x |x ＝a 2－3a ＋2，a ∈R }，N ＝{x |y ＝log 2(x 2＋2x －3)}，则M ∩N ＝________. 答案 {x |x >1}解析 ∵a 2－3a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －322－14≥－14， ∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－14； 由x 2＋2x －3>0，即(x －1)(x ＋3)>0，解得x >1或x <－3，故N ＝{x |x >1或x <－3}．∴M ∩N ＝{x |x >1}．4．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋y 2＝2}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，当A ∩B ≠∅时，则实数a 的取值范围是________，A ∩B ＝∅时，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,3] (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 观察得集合A 表示的是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆上的点，B 表示的是直线x ＋y ＋a ＝0上的点，若满足A ∩B ≠∅，只需直线与圆相切或相交． 即满足不等式|a －1|2≤2，|a －1|≤2，－2≤a －1≤2， 即－1≤a ≤3.5．已知命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数x 均成立．如果命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 命题p 为真命题等价于ax 2－x ＋116a >0对任意实数x 均成立．当a ＝0时，－x >0，其解集不是R ，∴a ≠0.于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－14a 2<0，解得a >2，故命题p 为真命题等价于a >2.命题q 为真命题等价于a >2x ＋1－1x ＝2x x (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切实数x 均成立．由于x>0，∴2x＋1>1，2x＋1＋1>2，2∴<1，从而命题q为真命题等价于a≥1.2x＋1＋1根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，当p真q假时实数a不存在；当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.。
2012高三数学一轮复习阶段性测试题(1)：集合与常用逻辑用语
阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)一、选择题本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
第Ⅰ卷 (选择题共60分)(本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。
)1． (文 )(2011巢·湖市质检)设 U ＝ {1,2,3,4,5}， A＝ {1,2,3} ， B＝ {2,3,4}，则以下结论中正确的选项是() A．A?B B． A∩ B＝ {2}C． A∪ B＝ {1,2,3,4,5}D． A∩ (?U B) ＝{1}[答案 ]D(理 )(2011 安·徽百校联考)已知会合M ＝{ － 1,0,1} ，N＝ { x|x＝ ab ，a，b∈ M 且 a≠ b} ，则会合M 与会合 N 的关系是()A．M＝N B．M NC．N M D． M∩ N＝?[答案 ]C[分析 ]∵ a、 b∈ M 且 a≠ b，∴ a＝－ 1时， b＝ 0 或 1， x＝ 0 或－ 1； a＝ 0 时，不论 b 取何值，都有x＝ 0； a＝ 1时， b＝－ 1 或 0， x＝－ 1 或 0.综上知 N＝ {0 ，－ 1} ，∴ N M.2． (2011 ·合肥质检 )“ a＝ 1”是“函数 f(x)＝ lg( ax＋ 1)在 (0，＋∞ )上单一递加”的 ()A ．充足必需条件B．必需不充足条件C．充足不用要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]C[分析 ]a＝ 1时， f(x)＝ lg( x＋ 1)在 (0，＋∞ )上单一递加；若 f(x)＝ lg( ax＋ 1)在 (0 ，＋∞ )上单一递加，∵ y＝ lg x 是增函数，∴ y＝ ax＋ 1在 (0 ，＋∞ )上单一递加，a>0，∴ a>0 ，应选 C.∴a× 0＋ 1>03． (2011 ·福州期末 )已知 p： |x|<2； q： x2－ x－ 2<0 ，则绨 p 是绨 q 的 ()A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]A[分析 ]∵ p：－ 2<x<2，∴ 绨 p： x≤ － 2或 x≥ 2；q：－ 1<x<2，∴ 绨 q： x≤－ 1 或 x≥ 2，∴绨 p 是绨 q 的充足不用要条件．→ →→ →→→)4． (2011 ·福州期末 )在△ ABC 中，“ AB·AC＝ BA·BC ”是“ |AC |＝ |BC|”的 (A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]C→→→→→→→→→→→ →→→→→→→AB ·AC＝ BA·BC ?|AB| |AC· | cos·∠ CAB＝ |BA| |BC·| cos·∠ CBA?|AC| ·cos∠ CAB＝ |BC| ·cos∠ CBA ?|AD |＝ |BD |?|AC|＝ |BC |，应选 C.5．(文 )(2011 山·东日照调研 )设α、β是两个不一样的平面， l、 m 为两条不一样的直线，命题p：若α∥ β， l?α，m?β则l∥ m；命题 q： l ∥α， m⊥ l ， m?β，则α⊥ β.则以下命题为真命题的是 ()A ． p 或 q B． p 且 qC．绨 p 或 q D． p 且绨 q[答案 ]C[分析 ]p 为假命题， q 为假命题，故p 或 q， p 且 q， p 且绨 q 均为假命题，选 C.(理 )(2011 辽·宁省丹东四校联考 )已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥ β，β⊥ γ，则α∥ γ；命题 q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥ β.对以上两个命题，以下结论中正确的选项是()A ．命题“ p 且 q”为真B．命题“ p 或绨 q”为假C．命题“ p 或 q”为假D．命题“绨 p 且绨 q”为假[答案 ]C[分析 ]如图 (1) ，正方体中，相邻三个面知足β⊥ α，β⊥ γ，但α⊥ γ，故 p 为假命题；如图 (2)，α∩β＝ l，直线 AB，CD 是α内与 l 平行且与 l 距离相等的两条直线，则直线AB， CD 上随意一点到平面β的距离都相等，三点A、B、C 不共线，且到平面β的距离相等，故命题q 为假命题，∴ “ p 或 q”为假命题．6． (2011 ·宁夏银川一中检测 )以下结论错误的是 ()．．．A ．命题“若 p，则 q”与命题“若绨 q，则绨 p”互为逆否命题B ．命题 p：?x∈ [0,1] ， e x≥1，命题 q： ?x∈R， x2＋ x＋ 1<0，则 p∨ q 为真C．“若 am2<bm2，则 a<b”的抗命题为真命题D ．若 p∨ q 为假命题，则 p、 q 均为假命题[答案 ]C[分析 ]依据四种命题的组成规律，选项 A 中的结论是正确的；选项 B 中的命题 p 是真命题，命题q 是假命题，故 p∨ q 为真命题，选项 B 中的结论正确；当m＝ 0 时， a<b?/ am2< bm2，应选项 C 中的结论不正确；选项 D 中的结论正确．7． (文 )(2011福·州期末 )已知会合 M＝ { y|y＝ x2＋ 1， x∈R } ， N＝ { y|y＝ x＋1， x∈R} ，则 M∩ N 等于 ()A ． (0,1) ， (1,2)B． {(0,1) ， (1,2)}C． { y|y＝ 1 或 y＝ 2}D． { y|y≥ 1}[答案 ]D[分析 ]由会合 M 、 N 的代表元素知M 、 N 都是数集，清除 A 、 B ；又 M＝ { y|y≥ 1} ， N＝R，∴选 D.(理 )(2011 陕·西宝鸡质检 )已知会合 A＝ { x|y＝ 1－x2， x∈ Z} ， B＝ { y|y＝ x2＋ 1， x∈ A} ，则 A∩ B 为 ()A ． ?B． {1}C． [0 ，＋∞ )D． {(0,1)}[答案 ]B[分析 ]由 1－ x2≥ 0 得，－ 1≤ x≤ 1，∵ x∈ Z，∴ A＝ { － 1， 0,1} ，当 x∈ A 时， y＝ x2＋ 1∈ {2,1} ，即 B＝ {1,2} ，∴8． (2011 ·天津河西区质检)命题 p： ?x∈ [0 ，＋∞ )， (log 3 2)x≤ 1，则 ()A ． p 是假命题，绨 p：?x0∈ [0，＋∞ )， (log 3 2)x0>1B ． p 是假命题，绨 p： ?x∈ [0，＋∞ )， (log 32) x≥ 1C． p 是真命题，绨 p： ?x0∈ [0，＋∞ )， (log 3 2)x0>1D ． p 是真命题，绨 p：?x∈ [0，＋∞ )， (log 32) x≥ 1[答案 ]C[分析 ]∵ 0<log 32<1 ，∴ y＝ (log 3 2) x在 [0，＋∞ )上单一递减，∴ 0< y≤ 1，∴ p 是真命题； ?的否认为“ ?”，“≤”的否认为“>”，应选 C.9． (2010 ·广东湛江模拟 )“若 x≠ a 且 x≠ b，则 x2－(a＋ b)x＋ ab ≠0”的否命题是 ()A ．若 x＝ a 且 x＝ b，则 x2－ (a＋b)x＋ ab＝ 0.B ．若 x＝ a 或 x＝ b，则 x2－ (a＋ b)x＋ ab≠ 0.C．若 x＝a 且 x＝ b，则 x2－ (a＋ b)x＋ ab≠ 0.D ．若 x＝ a 或 x＝ b，则 x2－ (a＋b)x＋ ab＝ 0.[答案 ]D10． (2011 ·四川资阳市模拟 )“ cosθ<0 且 tanθ>0”是“ θ为第三角限角”的()A ．充要条件B．必需不充足条件C．充足不用要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]A[分析 ]∵ cosθ<0 ，∴θ为第二或三象限角或终边落在x 轴负半轴上，∵ tanθ>0，∴θ为第一或三象限角，∴θ为第三象限角，应选 A.111． (文 )(2011 湖·南长沙一中月考 )设命题 p： ?x∈R， |x|≥ x； q： ?x∈R，x＝ 0.则以下判断正确的选项是()A ． p 假 q 真B． p 真 q 假C． p 真 q 真D． p 假 q 假[答案 ]B11[分析 ]∵ |x|≥ x 对随意 x∈R都建立，∴ p 真，∵x＝ 0 无解，∴不存在x∈R，使x＝ 0，∴ q 假，应选 B.(理 )(2011 福·建厦门市期末)以下命题中，假命题是()A ． ?x∈ R,2x－1>0B． ?x∈ R， sinx＝ 2C． ?x∈ R， x2－ x＋ 1>0D． ?x∈ N， lgx＝ 2[答案 ]B[分析 ]对随意 x∈ R，总有 |sinx|≤ 1，∴ sinx＝2无解，应选 B.12． (2011 ·辽宁大连期末 )已知全集 U ＝ R，会合 A＝ { x|x＝2n， n∈N } 与 B＝ { x|x＝ 2n， n∈N } ，则正确表示会合A、B 关系的韦恩 (Venn) 图是 ()[答案 ]A[分析 ]n＝ 0 时， 20＝1∈ A，但 1?B,2× 0＝ 0∈ B，但 0?A ，又当 n＝ 1 时， 2∈ A 且 2∈ B，应选 A.[评论 ]自然数集 N 中含有元素 0 要特别注意，此题极易因忽略0∈ N 致使错选 C.根源于网络二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13．已知命题甲： a ＋ b ≠ 4，命题乙： a ≠ 1 且 b ≠ 3，则命题甲是命题乙的________ 条件．[ 答案 ] 既不充足也不用要[ 分析 ] 当 a ＋ b ≠ 4 时，可选用 a ＝ 1， b ＝ 5，故此时 a ≠ 1 且 b ≠ 3 不建立 (∵ a ＝ 1)．相同， a ≠ 1 且 b ≠ 3 时，可选取 a ＝ 2， b ＝ 2，此时 a ＋ b ＝ 4，所以，甲是乙的既不充足也不用要条件．[评论 ]也可经过逆否法判断非乙是非甲的什么条件．x 2 ＋ y2＝ 1 表示曲线 C ，给出以下命题：14．方程 4－ tt － 1①曲线 C 不行能为圆；②若 1<t<4，则曲线 C 为椭圆；③若曲线 C 为双曲线，则t<1 或 t>4；④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则1<t<5.2此中真命题的序号是 ______( 写出全部正确命题的序号 )．[答案 ]③④[分析 ]明显当 t ＝ 5时，曲线为 x 2 ＋ y 2＝ 3，方程表示一个圆；而当 1<t<4，且 t ≠ 5时，方程表示椭圆；当t<1 或222t>4 时，方程表示双曲线，而当5 － t>t － 1>0 ，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，应选项为③④.1<t< 时， 4215． (文 )函数 f(x)＝ log a x － x ＋ 2(a>0 且 a ≠ 1) 有且仅有两个零点的充要条件是________ ． [答案 ] a>1[分析 ]若函数 f(x)＝ log a x － x ＋ 2(a>0，且 a ≠ 1)有两个零点，即函数 y ＝ log a x 的图象与直线 y ＝ x － 2 有两个交点，联合图象易知， 此时 a>1；当 a>1 时，函数 f(x)＝ log a x － x ＋ 2(a>0 ，且 a ≠ 1)有两个零点，∴函数 f(x)＝ log a x － x ＋2(a>0，且 a ≠ 1)有两个零点的充要条件是a>1.4x ＋3y － 12≥ 0(理 )(2010 济·南模拟 )设 p ： 3－ x ≥ 0， q ： x 2＋ y 2> r 2(x ， y ∈ R ， r >0)，若 p 是 q 的充足不用要条件，则rx ＋ 3y ≤ 12的取值范围是 ________ ．[答案 ]0，1254x ＋ 3y － 12≥ 0[ 分析 ] 设 A ＝ {( x ， y)| 3－ x ≥ 0} ， B ＝ {( x ， y)|x 2 ＋ y 2 >r 2， x ， y ∈ R ， r >0} ，则会合 A 表示的地区为图中x ＋ 3y ≤ 12暗影部分，会合 B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外面，设原点到直线4x ＋ 3y － 12＝ 0 的距离为 d ，则 d ＝|4× 0＋ 3× 0－ 12|＝ 12，∵ p 是 q 的充足不用要条件，∴AB ，则 0< r<125 55.16． (2011 ·河南豫南九校联考 )以下正确结论的序号是________ ．①命题 ?x ∈ R ， x 2＋ x ＋ 1>0 的否认是： ?x ∈ R ，x 2＋ x ＋ 1<0.②命题“若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0，或 b ＝ 0”的否命题是“若ab ≠ 0，则 a ≠ 0 且 b ≠ 0”．③已知线性回归方程是^2 时，因变量的精准值为7. y＝ 3＋ 2x，则当自变量的值为221建立的概率是π④若 a，b∈ [0,1] ，则不等式 a ＋ b<4.4 [答案 ]②[分析 ]22＋ x＋ 1≤ 0，故①错；关于线性回归方程^?x∈R， x＋ x＋ 1>0 的否认应为 ?x∈R， x y＝ 3＋ 2x，当 x＝ 2 时，1× π×127，故③错；关于 0≤ a≤ 1,0 ≤ b≤ 1，知足 a2＋ b2<1的概率为 p＝42π，故④错，只有②正确．y 的预计值为＝1× 1416三、解答题 (本大题共 6 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17． (本小题满分 12分 )( 文 )(2011重·庆南开中学期末)已知函数 f(x)＝x＋ 1的定义域是会合A，函数 g(x)＝ lg[ x2x－ 2－(2a＋ 1)x＋a2＋ a]的定义域是会合 B.(1)分别求会合 A、 B；(2)若 A∪ B＝ B，务实数 a 的取值范围．[ 分析 ](1) A＝ { x|x≤ － 1 或 x>2}B＝ { x|x<a 或 x> a＋ 1} ．a>－ 1(2) 由 A∪ B＝ B 得 A?B，所以a＋ 1≤ 2所以－ 1<a≤ 1，所以实数 a 的取值范围是(－ 1,1] ．(理 )已知函数f(x)＝6－1的定义域为会合A，函数g(x)＝ lg( － x2＋ 2x＋ m)的定义域为会合 B. x＋ 1(1)当 m＝ 3 时，求 A ∩(?R B)；(2) 若 A∩ B＝ { x|－ 1<x<4} ，务实数m 的值．6[ 分析 ]由－1≥ 0知，0<x＋1≤6，∴－ 1< x≤ 5， A＝ { x|－ 1<x≤ 5} ．(1) 当 m＝ 3 时， B＝ { x|－ 1<x<3}则 ?R B＝ { x|x≤ － 1 或 x≥ 3}∴A ∩ (?R B)＝ { x|3≤ x≤ 5} ．(2)A＝ { x|－ 1<x≤ 5} ， A∩ B ＝ { x|－ 1< x<4} ，∴有－ 42＋ 2·4＋ m＝ 0，解得 m＝ 8.此时 B＝ { x|－ 2<x<4} ，切合题意．18． (本小题满分12 分 )( 文 )已知函数f( x)是R上的增函数，a、 b∈R，对命题“若a＋ b≥ 0，则 f(a)＋ f(b)≥ f (－a)＋f(－ b)．”(1)写出其抗命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[ 分析 ] (1) 抗命题是：若f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)，则 a＋ b≥ 0，真命题．用反证法证明：设 a＋ b<0，则 a<－ b， b<－ a，∵ f (x)是R上的增函数，∴ f (a)< f(－ b)， f(b)<f(－ a)，∴ f (a)＋ f(b)<f(－ a)＋ f(－ b)，这与题设 f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f (－ b)矛盾，所以抗命题为真．(2)逆否命题：若 f(a)＋ f(b)< f(－ a)＋ f(－ b)，则 a＋ b<0，为真命题．因为互为逆否命题同真假，故只要证原命题为真．∵ a＋ b≥ 0，∴ a≥ － b， b≥－ a，又∵ f(x)在R上是增函数，∴ f (a)≥ f(－ b)， f(b)≥ f(－ a)．∴ f (a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)，∴原命题真，故逆否命题为真．(理 )(2011 厦·门双十中学月考 )在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y2＝ 2x 订交于 A、 B 两点．→→(1) 求证：“假如直线l 过点 (3,0) ，那么 OA·OB＝ 3”是真命题．(2) 写出 (1)中命题的抗命题，判断它是真命题仍是假命题，并说明原因．[ 分析 ] (1) 设 l： x＝ ty＋ 3，代入抛物线y2＝ 2x，消去x 得 y2－ 2ty－ 6＝0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2 )，∴ y1＋ y2＝ 2t， y1·y2＝－ 6，→→＝ x1 x2＋ y1y2＝ (ty1＋ 3)( ty2＋ 3) ＋ y1y2OA·OB＝t 2y1y2＋ 3t(y1＋ y2 )＋ 9＋ y1 y2＝－ 6t2＋ 3t·2t＋ 9－ 6＝ 3.→→∴ OA ·OB ＝ 3，故为真命题．(2)(1) 中命题的抗命题是：→ →，则直线 l 过点 (3,0)”它是假命题．“若 OA·OB＝ 3设 l： x＝ ty＋ b，代入抛物线 y2＝ 2x，消去 x 得 y2－ 2ty－ 2b＝ 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2 )，则 y1＋ y2＝ 2t， y1·y2＝－ 2b.→→∵ OA ·OB ＝ x1 x2＋ y1y2＝ (ty1＋ b)(ty2＋ b)＋ y1y2＝t 2y1y2＋ bt(y1＋ y2 )＋ b2＋ y1y2＝－ 2bt2＋ bt·2t＋ b2－ 2b＝ b2－ 2b，令 b2－ 2b＝ 3，得 b＝ 3 或 b＝－ 1，此时直线 l 过点 (3,0) 或 (－ 1,0)．故抗命题为假命题．19． (本小题满分12 分 )( 文 )(2011 华·安、连城、永安、漳平龙海，泉港六校联考)已知会合A＝ { x|x2－ 2x－ 3≤ 0， x ∈R }，B＝{ x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈ R，m∈ R }．(1)若 A∩ B＝ [0,3] ，务实数 m 的值；(2)若 A??R B，务实数 m 的取值范围．[ 分析 ] A ＝ { x|－ 1≤ x≤3}B＝ { x|m－ 2≤ x≤ m＋ 2} ．(1) ∵ A∩ B＝ [0,3] ，m － 2＝ 0m ＝ 2∴，，∴ m ＝ 2.m ＋ 2≥ 3m ≥ 1故所务实数 m 的值为 2.(2) ?R B ＝ { x|x<m － 2 或 x> m ＋ 2} A?? R B ，∴ m － 2>3 或 m ＋ 2< － 1. ∴ m>5 或 m<－ 3.所以实数 m 的取值范围是 m>5 或 m<－ 3.x － 22－ 2A ＝ { x|x － x － a(理 )(2011 山·东潍坊模拟 )已知全集 U ＝ R ，非空会合 3a ＋ 1 <0} ， B ＝ { x| x － a <0} ．(1) 当 a ＝ 1时，求 (?U B)∩ A ；2(2) 命题 p ： x ∈ A ，命题 q ： x ∈ B ，若 q 是 p 的必需条件，务实数a 的取值范围．91 x －2 5x － 419[ 分析 ] (1) 当 a ＝ 2时， A ＝ { x|5<0} ＝ { x|2<x<2} ， B ＝ { x| 1 <0} ＝ { x|2<x<4} ．x － 2x － 2∴ (?U B)∩ A ＝ { x|x ≤ 12或 x ≥ 94} ∩ { x|2<x< 52}95＝ { x|4≤ x<2} ．(2) 若 q 是 p 的必需条件，即 p?q ，可知 A?B ，由 a 2＋ 2>a ，得 B ＝ { x|a< x< a 2＋ 2} ，当 3a ＋ 1>2 ，即 a>1时，3A ＝ { x|2<x<3a ＋ 1} ，a ≤21 <a ≤ 3－ 5；，解得 a 2＋ 2≥ 3a ＋ 13 2当 3a ＋ 1＝ 2，即 a ＝ 1时，3A ＝ ?，切合题意；当 3a ＋ 1<2 ，即 a<1时，3A ＝ { x|3a ＋ 1< x<2} ．a ≤3a ＋ 11≤ a< 1 a 2＋ 2≥ 2 ，解得－ 2 3；1 3－ 5综上， a ∈ [ － 2， 2 ] ．20．(本小题满分 12 分 )(2010 常·德模拟 )已知命题 p ：?x ∈ [1,2] ，x 2－ a ≥ 0.命题 q ：?x 0∈ R ，使得 x 20＋ (a － 1)x 0 ＋ 1<0.若“ p 或 q ”为真，“ p 且 q ”为假，务实数a 的取值范围．[ 分析 ] 由条件知， a ≤ x 2对 ?x ∈ [1,2] 建立，∴ a ≤ 1；∵ ?x 0∈ R ，使 x 02＋ (a － 1)x 0 ＋ 1<0 建立，∴不等式 x2＋ (a－ 1)x＋ 1<0 有解，∴＝ (a－ 1)2－ 4>0 ，∴ a>3 或 a<－ 1；∵ p 或 q 真， p 且 q 假，∴ p 与 q 一真一假．① p 真 q 假，－ 1≤ a≤ 1；② p 假 q 真， a>3.∴ 数 a 的取范是 a>3 或－ 1≤ a≤ 1.21． (本小分 12 分 )( 文 )已知函数f(x)＝ x2－ 2x＋ 5，若存在一个数x0，使不等式f(x0)－ m>0 建立，求数 m的取范．[ 分析 ] 不等式 f(x0)－ m>0 可化 m< f(x0)，若存在一个数x0使不等式 m<f(x0)建立，只要 m<f(x)min .又∵ f(x)＝ x2－ 2x＋ 5＝ (x－ 1) 2＋ 4，∴ f (x)min＝ 4，∴ m<4.故所求数m 的取范是(－∞， 4)．(理 )(2011 雅·安中学期末)函数 f(x)＝ (x＋ 1)ln( x＋ 1) ，若全部的x≥ 0，都有 f(x)≥ax 建立，求数 a 的取范．[ 分析 ]令g(x)＝(x＋1)ln( x＋1)－ax，g′ (x)＝ ln(x＋ 1)＋ 1－ a，令 g′ (x)＝ 0，解得 x＝ e a－1－ 1.(1) 当 a≤ 1 ，全部x>0， g′ (x)>0.所以 g(x)在 [0 ，＋∞ )上是增函数．又 g(0)＝ 0，所以 x≥ 0，有 g(x)≥ g(0) ，即当 a≤ 1 ，于全部 x≥ 0，都有 f(x)≥ ax.(2)当 a>1 ，于 0<x< e a－1－ 1， g′ (x)<0，所以 g(x)在 (0 ， e a－1－ 1)上是减函数．又 g(0)＝ 0，所以 0<x< e a－1－ 1，有 g(x)<g(0)，即f(x)<ax.所以当a>1 ，不是全部的x≥ 0，都有f(x)≥ ax 建立．上所述 a 的取范是(－∞， 1]．22． (本小分12 分 )若定E＝ { a1，a2，⋯， a10} 的子集 { ai1，ai 2，⋯， ai n } E 的第 k 个子集，此中k＝ 2i 1－ 1＋ 2i2－ 1＋⋯＋ 2i n－ 1，(1){ a1， a3} 是 E 的第几个子集？(2)求 E 的第 211 个子集．[ 分析 ] (1) 由 k 的定可知k＝ 21－1＋ 23－1＝ 5.所以 { a1， a3} 是 E 的第 5 个子集．(2) ∵ 21－1＝ 1,22－1＝ 2,2 3－1＝ 4,24－1＝ 8，⋯ k＝ 211 ，且 211 ＝ 128＋ 64＋ 16＋ 2＋ 1，∴ i 1＝ 1， i2＝ 2， i 3＝ 5， i 4＝ 7， i5＝ 8，故 E 的第 211 个子集是 { a1， a2， a5， a7， a8} ．[ 点 ]本是新定型，构想新，角独到，亮点明，考生在新情境下灵巧运用所学知剖析，解决的能力要求高，有高的划分度．。
高三数学一轮阶段性测试题1 集合与常用逻辑用语(含解
阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2015·山东莱芜期中)已知全集为R ，集合A ＝{x|x2－x －2≥0}，则∁RA ＝( ) A ．{x|x<－1，或x>2} B ．{x|x<－1，或x≥2} C ．{x|－1<x<2} D ．{x|－1≤x≤2} [答案] C[解析] 由x2－x －2≥0得，x≤－1或x≥2，∴A ＝{x|x≤－1或x≥2}， ∴∁RA ＝{x|－1<x<2}．2．(2015·甘肃会宁二中模拟)设集合M ＝{x|x ＝k 2＋12，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z}，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ∩N ＝∅[答案] B[解析] 解法1：M ＝{x|x ＝k ＋12，k ∈Z}＝{…－2，－32，－1，－12，0，12，1，32，…}，N ＝{x|x ＝k ＋24，k ∈Z}＝{…，－34，－12，－14，0，14，12，34，1，…}，∴M N. 解法2：M ＝{x|x ＝2k ＋14，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝k ＋24，k ∈Z}，∵k ∈Z ，∴k ＋2能取遍所有整数，2(k ＋1)只能取遍所有偶数，∴M N.3．(2015·河南开封22校联考)已知集合A ＝{x|2x>12}，B ＝{x|log2x<1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,2) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(－1,1) [答案] C[解析] 由2x>12得x>－1，∴A ＝{x|x>－1}；由log2x<1得0<x<2，∴B ＝{x|0<x<2}，∴A ∩B ＝{x|0<x<2}，选C. 4．(2015·娄底市名校联考)“p 且q 是真命题”是“非p 为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵“p ∧q”是真命题，∴p 与q 都是真命题，∴¬p 为假命题；由¬p 为假命题可知p 为真命题，但q 的真假性不知道，∴p ∧q 的真假无法判断，故选A. 5．(文)(2014·枣庄市期中)已知命题p ：偶函数的图象关于y 轴对称，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p)∧(¬q) C ．(¬p)∧q D ．p ∧(¬q)[答案] D[解析] ∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧(¬q)为真命题，故选D. (理)(2015·福建清流一中期中)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0，q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p)∧(¬q) C ．(¬p)∧q D ．p ∧(¬q) [答案] D[解析] 由指数函数的性质知p 为真命题，1.5>1，但1.5>2不成立，∴q 为假命题，∴p ∧(¬q)为真命题． 6．(文)(2015·福建宁化一中段测)下列说法不正确的是( ) A ．“cosα＝35”是“cos2α＝－725”的充分不必要条件B ．命题p ：∃x ∈R ，使得x2＋x －1<0，则¬p ：∀x ∈R ，使得x2＋x －1≥0C ．命题“在△ABC 中，若A>B ，则sinA>sinB”的逆否命题是真命题D ．若p ∧q 为真命题，则p ∨q 为假命题 [答案] D[解析] cosα＝35时，cos2α＝2cos2α－1＝2×(35)2－1＝－725，但cosα＝－35时也有cos2α＝－725，∴A 为真命题；由存在性命题的否定为全称命题，“<”的否定为“≥”，知B 为真命题；在△ABC 中，A>B ⇔a>b ⇔2RsinA>2RsinB ⇔sinA>sinB ，故C 为真命题；当p ∧q 为假命题时，p 假或q 假，因此p 、q 中可能一真一假，从而p ∨q 可能为真，故D 不正确． (理)(2015·湖北省教学合作联考)下列命题中真命题的个数是( ) (1)若命题p ，q 中有一个是假命题，则¬(p ∧q)是真命题．(2)在△ABC 中，“cosA ＋sinA ＝cosB ＋sinB”是“C ＝90°”的必要不充分条件． (3)若C 表示复数集，则有∀x ∈C ，x2＋1≥1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] (1)∵p 、q 中有一个假命题，∴p ∧q 为假命题，∴¬(p ∧q)为真命题，∴(1)正确；(2)若C ＝90°，则cosA ＝cos(90°－B)＝sinB ，cosB ＝cos(90°－A)＝sinA ，∴cosA ＋sinA ＝cosB ＋sinB ，但cosA ＋sinA ＝cosB ＋sinB 时，2sin(A ＋45°)＝2sin(B ＋45°)，∴满足A ＝B ，或A ＋B ＝90°，得不出C ＝90°，故(2)正确；(3)当x ＝i 时，有x2＋1＝0，故(3)错误，选C. 7．(2015·山东滕州一中单元检测)设全集U ＝R ，A ＝{x|－x2－3x>0}，B ＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x>0} B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x<0} D．{x|x<－1}[答案] B[解析]由－x2－3x>0得－3<x<0，阴影部分表示A∩B＝{x|－3<x<－1}，故选B.8．(文)(2015·山西大学附中月考)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]x＝1时，y＝2i为纯虚数，z为纯虚数时，x＝1，故选C.(理)(2015·濉溪县月考)已知向量a，b都是非零向量，则“a|a|＝－b|b|”是“a＋b＝0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]∵a，b都是非零向量，a＋b＝0，∴a与b的方向相反，从而a|a|＝－b|b|；但a|a|＝－b|b|时，显然a与b方向相反，但|a|与|b|不一定相等，从而a＋b＝0不一定成立．9．(2015·宝安中学、南海中学、普宁一中等七校联考)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A ∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．6[答案] C[解析]由x2－3x＋2＝0得x＝1或2，∴A＝{1,2}，∵A∪B＝{0,1,2}，∴一定有0∈B，由元素1、2与B的关系知满足条件的集合B有22＝4个．10．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是()A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B．命题“∃x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件D．命题p：“∀x∈R，sinx＋cosx≤2”，则¬p是真命题[答案] A[解析] a>1时，f(x)＝logax 为增函数，f(x)＝logax(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x2＋2x ＋3≠0，x2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误． (理)(2015·长春外国语学校期中)“a ＝0”是“f(x)＝x ＋a|x|－1为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] a ＝0时，f(x)＝x|x|－1为奇函数；f(x)为奇函数时，由于f(x)的定义域为{x|x≠±1}，∴f(0)＝0，∴a ＝0，故选C. 11．(文)(2014·抚顺二中期中)下列说法正确的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，ex>0”的否定是“∃x ∈R ，ex>0”B ．命题“已知x 、y ∈R ，若x ＋y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C ．“x2＋2x≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立”D ．命题“若a ＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 [答案] B[解析] A 显然错误；若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3，∴B 正确；如图，在x ∈[1,2]时，y ＝x2＋2x 的图象总在y ＝ax 的图象的上方，但y ＝x2＋2x(1≤x≤2)的最小值不大于y ＝ax(1≤x≤2)的最大值，故C 错；若f(x)＝ax2＋2x －1只有一个零点，则a ＝0或a ＝－1，故原命题的逆命题为假命题，∴D 错误． (理)(2015·重庆南开中学月考)下列叙述正确的是( )A ．命题：∃x ∈R ，使x3＋sinx ＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x3＋sinx ＋2<0.B ．命题：“若x2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为：若x≠1或x≠－1，则x2≠1C ．己知n ∈N ，则幂函数y ＝x3n －7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1D ．函数y ＝log2x ＋m3－x的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝±1[答案] C[解析] 选项A 中，命题：∃x ∈R ，使x3＋sinx ＋2＜0的否定为：∀x ∈R ，均有x3＋sinx ＋2≥0，故A 错误；选项B 中，命题：若x2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1，故B 错误；选项C 中，因为幂函数y ＝x3n －7在x ∈(0，＋∞)上单调递减， 所以3n －7＜0，解得n ＜73，又n ∈N ，所以，n ＝0,1或2；又y ＝x3n －7为偶函数，所以，n ＝1，即幂函数y ＝x3n －7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1，C 正确；选项D 中，令y ＝f(x)＝log2x ＋m3－x ，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，即log2x ＋m 3－x ＋log22－x ＋m 3－2－x＝log2x ＋m2＋m －x 3－x1＋x ＝0，x ＋m2＋m －x3－x1＋x＝1，整理得：m2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3， 当m ＝－3时，x ＋m 3－x ＝－1＜0，y ＝log2x ＋m3－x 无意义，故m ＝1.所以，函数y ＝log2x ＋m3－x 图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝1，D 错误．12．(2015·潮阳一中、中山一中、仲元中学联考)对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件： (ⅰ)∀a ，b ∈A ，都有a ⊕b ∈A ；(ⅱ)∃e ∈A ，使得对∀a ∈A ，都有e ⊕a ＝a ⊕e ＝a ； (ⅲ)∀a ∈A ，∃a ′∈A ，使得a ⊕a ′＝a ′⊕a ＝e ； (ⅳ)∀a ，b ，c ∈A ，都有(a ⊕b)⊕c ＝a ⊕(b ⊕c)，则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A ＝{整数}，运算“⊕”为普通加法； ②A ＝{复数}，运算“⊕”为普通减法；③A ＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ [答案] B[解析] ①A ＝{整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e ＝0，a 、a ′互为相反数；②A ＝{复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件，例如a ＝3＋i ，b ＝2－i ，c ＝1，(a －b)－c ＝2i ，a －(b －c)＝2＋2i ，不满足条件(ⅳ)．③A ＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e ＝1，a 、a ′互为倒数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2015·庐江二中、巢湖四中联考)已知集合A ＝{0,2,4}，则A 的子集中含有元素2的子集共有________个． [答案] 4[解析] 含有元素2的子集有{2}，{2,0}，{2,4}，{2,0,4}，共4个． 14．(文)(2014·北京东城区联考)①命题“对任意的x ∈R ，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x3－x2＋1>0”；②函数f(x)＝2x －x2的零点有2个；③若函数f(x)＝x2－|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝0；④函数y ＝sinx(x ∈[－π，π])的图象与x 轴围成的图形的面积是S ＝⎠⎛－ππsinxdx ；⑤若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －5x>6，4－a2x ＋4x≤6，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为(1,8)．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的编号)．[答案] ①③[解析] ①显然正确；②由于f(2)＝0，f(4)＝0，且f(－1)·f(0)<0，∴f(x)在(－1,0)上存在零点，故②错误；③∵f(x)＝x2－|x ＋a|为偶函数，∴(－x)2－|－x ＋a|＝x2－|x ＋a|恒成立，即|x －a|＝|x ＋a|，∴(x －a)2＝(x ＋a)2，∴ax ＝0，此式对∀x ∈R 都成立，故a ＝0，∴③正确；④函数y ＝sinx(－π≤x≤π)的图象与x 轴围成图形的面积S>0，而定积分⎠⎛π－πsinxdx＝0，故④错误；⑤∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －5 x>6，4－a2x ＋4 x≤6.是R 上的增函数， ∴⎩⎨⎧a>1，4－a 2>0，4－a 2×6＋4≤a6－5，∴7≤a<8.(理)(2014·合肥八中联考)给出下列四个命题： ①∃α，β∈R ，α>β，使得tanα<tanβ；②若f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f(sinθ)>f(cosθ)； ③在△ABC 中，“A>π6”是“sinA>12”的充要条件；④若函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f(1)＋f ′(1)＝3，其中所有正确命题的序号是________． [答案] ①④[解析] ①当α＝3π4，β＝π3时，tanα<0<tanβ，∴①为真命题； ∵f(x)是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(π4，π2)，∴1>sinθ>cosθ>22，从而f(sinθ)<f(cosθ)，∴②为假命题； ③当A ＝5π6时，A>π6成立，但sinA ＝12，∴③为假命题； ④由条件知f ′(1)＝12，f(1)＝12×1＋2＝52，∴f(1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题． 15．(2015·呼和浩特市期中)已知函数f(x)＝a2x －2a ＋1，若命题“∀x ∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] (12，1)∪(1，＋∞)[解析] ∵命题“∀x ∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，∴命题的否定：“存在实数x ∈(0,1)，使f(x)＝0”是真命题， ∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0， 解得a>12，且a≠1.∴实数a 的取值范围是(12，1)∪(1，＋∞)．16．(文)(2015·辽宁五校协作体期中)设f(x)是定义在R 上的函数，且对任意x ，y ∈R ，均有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2014成立，若函数g(x)＝f(x)＋2014x2013有最大值M 和最小值m ，则M ＋m ＝________. [答案] －4028[分析] 函数g(x)用f(x)来定义，要研究g(x)需先考虑f(x)，由条件式令y ＝－x 可得到f(x)与f(－x)的关系式，故可转化为对函数奇偶性的讨论，照顾到2014x2013为奇函数，可考虑构造一个奇函数，其最大值M 、最小值m ，则这个奇函数加一个常数t 后，所得新函数的最大值为M ＋t ，最小值为m ＋t ，由于M ＋m ＝0，所以新函数的最大值与最小值的和为2t.[解析] 令x ＝y ＝0得f(0)＝－2014，令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2014，∴f(－x)＋2014＝－(f(x)＋2014)．令h(x)＝f(x)＋2014＋2014x2013，则h(－x)＝f(－x)＋2014＋2014(－x)2013＝－(f(x)＋2014＋2014x2013)＝－h(x)，∴h(x)为奇函数， ∵g(x)的最大值为M ，最小值为m ，h(x)＝g(x)＋2014， ∴h(x)的最大值为M ＋2014，最小值为m ＋2014， ∵h(x)为奇函数，∴(M ＋2014)＋(m ＋2014)＝0， ∴M ＋m ＝－4028. (理)(2015·安徽省示范高中联考)已知集合M ＝{(x ，y)|y ＝f(x)}，若对任意P1(x1，y1)∈M ，均不存在P2(x2，y2)∈M ，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M 为“好集合”，给出下列五个集合： ①M ＝{(x ，y)|y ＝1x }； ②M ＝{(x ，y)|y ＝lnx}； ③M ＝{(x ，y)|y ＝14x2＋1}；④M ＝{(x ，y)|(x －2)2＋y2＝1}； ⑤M ＝{(x ，y)|x2－2y2＝1}．其中所有“好集合”的序号是________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①④⑤[解析] x1x2＋y1y2＝0⇒OP1→·OP2→＝0⇒OP1→⊥OP2→(O 为坐标原点)，即OP1⊥OP2. 若集合M 里存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M 不是“好集合”，否则是． ①曲线y ＝1x 上任意两点与原点连线夹角小于90°(同一支上)或大于90°(两支上)，集合M 里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M 是“好集合”；②如图，函数y ＝lnx 的图象上存在两点A ，B ，使得OA ⊥OB.所以M 不是“好集合”；③过原点的切线方程为y ＝±12x ，两条切线的夹角大于90°，集合M 里存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M 不是“好集合”；④切线方程为y ＝±33x ，夹角为60°，集合M 里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M 是“好集合”；⑤双曲线x2－2y2＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，两条渐近线的夹角小于90°，集合M 里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M 是“好集合”．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2015·山西大学附中月考)已知集合A ＝{x|－3<x<1}，B ＝{x|x ＋2x －3<0}．(1)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x ∈(A ∩B)”的概率；(2)设(a ，b)为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“(b －a)∈(A ∪B)”的概率．[解析] (1)由已知B ＝{x|－2<x<3}，A ∩B ＝{x|－2<x<1}， 设事件“x ∈(A ∩B)”的概率为P1，这是一个几何概型，则P1＝38.(2)因为a ，b ∈Z ，且a ∈A ，b ∈B ，所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．设事件E 为“(b －a)∈(A ∪B)”，则事件E 中包含9个基本事件， 事件E 的概率P(E)＝912＝34.(理)(2015·重庆南开中学月考)已知集合A ＝{x|x2－5x ＋4≤0}，集合B ＝{x|2x2－9x ＋k≤0}． (1)求集合A.(2)若B ⊆A ，求实数k 的取值范围．[解析] (1)∵x2－5x ＋4≤0，∴1≤x≤4，∴A ＝[1,4]． (2)当B ＝∅时，Δ＝81－8k ＜0，求得k ＞818.∴当B≠∅时，2x2－9x ＋k ＝0的两根均在[1,4]内， 设f(x)＝2x2－9x ＋k ，则⎩⎪⎨⎪⎧81－8k≥0，f 1≥0，f 4≥0，解得7≤k≤818.综上，k 的取值范围为[7，＋∞)． 18．(本小题满分12分)(文)(2015·重庆南开中学月考)已知命题p ：关于x 的方程x2－mx －2＝0在x ∈[0,1]有解；命题q ：f(x)＝log2(x2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)单调递增；若¬p 为真命题，p ∨q 是真命题，求实数m 的取值范围． [解析] 设f(x)＝x2－mx －2，∵关于x 的方程x2－mx －2＝0在x ∈[0,1]有解，f(0)＝－2<0， ∴f(1)≥0，解得m≤－1，由命题q 得x2－2mx ＋12＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，且函数y ＝x2－2mx ＋12，在区间[1，＋∞)上单调递增，根据x2－2mx ＋12＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，得m ＜34，由函数y ＝x2－2mx ＋12＞0，在区间[1，＋∞)上单调递增，得m≤1，∴由命题q 得：m ＜34， ∵¬p 为真命题，p ∨q 是真命题，得到p 假q 真， ∴m ∈(－1，34)．∴实数m 的取值范围是(－1，34)．(理)(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f(x)＝(5－2m)x 是R 上的增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m<1； 函数f(x)＝(5－2m)x 是R 上的增函数，须5－2m>1，即q 是真命题时，m<2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m<1且m≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2， 因此1≤m<2.19．(本小题满分12分)(文)(2015·浙江慈溪市、余姚市期中)已知关于x 的不等式ax2－3x ＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a ，b 的值；(2)当c ∈R 时，解关于x 的不等式ax2－(ac ＋b)x ＋bc<0(用c 表示)．[解析] (1)由已知得1，b 是方程ax2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，∴⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)由(1)得原不等式可化为x2－(2＋c)x ＋2c<0，即(x －2)(x －c)<0，所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，所求不等式的解集为{x|c<x<2}； 当c ＝2时，所求不等式的解集为∅. (理)(2015·沈阳市东北育才中学一模)已知幂函数f(x)＝(m －1)2xm2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x －k. (1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围． [解析] (1)依题意得：(m －1)2＝1，∴m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f(x)＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去， ∴m ＝0.(2)由(1)知f(x)＝x2，当x ∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k]，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k≥1，4－k≤4，∴0≤k≤1.20．(本小题满分12分)(2015·东北育才中学一模)已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a ＋1)x ＋1]，设命题p ：“f(x)的定义域为R”；命题q ：“f(x)的值域为R”． (1)分别求命题p 、q 为真时实数a 的取值范围； (2)¬p 是q 的什么条件？请说明理由．[解析] (1)命题p 为真，即f(x)的定义域是R ，等价于(a2－1)x2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立，等价于a ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a2－1>0，Δ＝a ＋12－4a2－1<0.解得a≤－1或a>53，∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪(53，＋∞)．命题q 为真，即f(x)的值域是R ，等价于u ＝(a2－1)x2＋(a ＋1)x ＋1的值域⊇(0，＋∞)，等价于a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a2－1>0，Δ＝a ＋12－4a2－1≥0.解得1≤a≤53.∴实数a 的取值范围为[1，53]． (2)由(1)知，¬p ：a ∈(－1，53]；q ：a ∈[1，53]． 而(－1，53][1，53]，∴¬p 是q 的必要而不充分的条件． 21．(本小题满分12分)(2014·长沙市重点中学月考)若正数项数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足Sn ＋1＝Sn ＋1，其中首项a1＝1. (1)求a2，a3及数列{an}的通项公式an ；(2)设bn ＝1an·an ＋1，Tn 表示数列{bn}的前n 项和，若对任意的n ∈N*，不等式λTn<n ＋8×(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． [解析] ∵Sn ＋1＝Sn ＋1，a1＝1，∴1＋a2＝2，∴a2＝3，同理a3＝5.由题意可得Sn ＋1－Sn ＝1，∴数列{Sn}是以S1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴Sn ＝1＋(n －1)×1，即Sn ＝n2，由公式an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S1 n ＝1，Sn －Sn －1 n≥2.得an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，2n －1 n≥2. ∴an ＝2n －1.(2)∵bn ＝1anan ＋1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴Tn ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λTn<n ＋8×(－1)n 恒成立，即需不等式λ<n ＋8×2n ＋1n＝2n ＋8n ＋17恒成立．∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得．∴此时λ满足λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λTn<n ＋8×(－1)n 恒成立，即需不等式λ<n －8×2n ＋1n ＝2n －8n －15恒成立．∵2n －8n 随n 的增大而增大，∴n ＝1时2n －8n 取得最小值－6.此时λ需满足λ<－21.∴综合①、②可得λ的取值范围是λ<－21.22．(本小题满分14分)(文)(2015·湖北教学合作联考)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x|(x －2)(x －3)<0}，函数y ＝lg x －a2＋2a －x 的定义域为集合B. (1)若a ＝12，求集合A ∩(∁UB)；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)集合A ＝{x|2<x<3}，因为a ＝12.所以函数y ＝lg x －a2＋2a －x＝lg x －9412－x ，由x －9412－x>0， 可得集合B ＝{x|12<x<94}．∁UB ＝{x|x≤12或x≥94}，故A ∩(∁UB)＝{x|94≤x<3}． (2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ⊆B ，由A ＝{x|2<x<3}，而集合B 应满足x －a2＋2a －x >0， 因为a2＋2－a ＝(a －12)2＋74>0， 故B ＝{x|a<x<a2＋2}，依题意就有：⎩⎪⎨⎪⎧a≤2a2＋2≥3， 即a≤－1或1≤a≤2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2].(理)(2015·呼和浩特市期中)已知函数f(x)＝23x3－12ax2＋x ＋2.(1)若f(x)在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)设f(x)的导函数为f ′(x)，若∃α∈(π4，π2)，使f ′(sinα)＝f ′(cosα)成立，求a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝2x2－ax ＋1，∵f(x)在R 上单调递增， ∴f ′(x)≥0在R 上恒成立，∴Δ≤0，即a2－8≤0， 解得－22≤a≤2 2.(2)由于f ′(x)＝2x2－ax ＋1的图象关于直线x ＝a 4对称，又α∈(π4，π2)时sinα>cosα，∃α∈(π4，π2)，使f ′(sinα)＝f ′(cosα)成立，所以a 4＝sinα＋cosα2， 即a ＝2(sinα＋cosα)＝22sin(α＋π4)，由于α∈(π4，π2)，则π2<α＋π4<3π4，则22<sin(α＋π4)<1，故有a ∈(2,22)．。
高三数学(理)一轮总复习练习-第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x解析：选D.全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．2．已知命题p：存在a∈R，曲线x2＋ay2＝1为双曲线；命题q：x－1x－2≤0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论中正确的有()①“p∧q”是真命题；②“p∧(﹁q)”是真命题；③“(﹁p)∨q”是真命题；④“(﹁p)∨(﹁q)”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.命题p为真命题，命题q是假命题，则﹁p为假命题，﹁q为真命题，所以①错，②正确，③错，④正确．3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，e x>0B．∀x∈R，x2≥0C．∃x0∈R，sin x0＝2D．∃x0∈R,2x0>x20解析：选C.∀x∈R，sin x≤1<2，所以C选项是假命题，故选C.4．已知命题p：∀x>0，x＋4x≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝12.则下列判断正确的是()A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(﹁q)是真命题D．(﹁p)∧q是真命题解析：选C.因为当x>0时，x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝2时等号成立，所以p是真命题，当x>0时，2x0>1，所以q是假命题，所以p∧(﹁q)是真命题，(﹁p )∧q 是假命题．5．(2017·山东泰安模拟)如果命题“﹁(p ∨q )”为真命题，则( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ．p ，q 中一个为真命题，一个为假命题解析：选B.因为﹁(p ∨q )为真命题，所以p ∨q 为假命题，所以p ，q 均为假命题，故选B.6．(2017·广东揭阳一模)已知命题p ：函数y ＝sin 4x 是最小正周期为π2的周期函数，命题q ：函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．(﹁p )∨qC ．(﹁p )∧(﹁q )D ．(﹁p )∨(﹁q )解析：选D.函数y ＝sin 4x 的最小正周期T ＝2π4＝π2，所以p 是真命题；函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故q 是假命题，所以﹁p 为假，﹁q 为真，从而(﹁p )∨(﹁q )为真，故选D.7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则﹁p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析：选 B.“∀x >0，总有(x ＋1)e x >1”的否定是“∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”．故选B.8．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：19．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1x 20≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p 、q 、p ∧q 、p ∨q 中是真命题的是__________．解析：p 是真命题，则q 是假命题．p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题． 答案：p 、p ∨q10．(2017·湖南长沙模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2. 若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．答案：(－∞，－2]∪[－2，2)[B 级 能力突破]1．(2017·四川资阳模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 2＋ax ＋a <0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．(0,4)C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选A.由于p 是假命题，所以﹁p 是真命题，即﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a ≥0，所以Δ＝a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤4.2．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”B ．命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的充分不必要条件C ．命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D ．命题“在△ABC 中，若sin A ＜12，则A ＜π6”的逆否命题为真命题解析：选C.A 中命题的否定是：∀x ∈R ，x 2－x ＞0，故A 错；B 中当p 为假命题、q 为真命题时，p ∨q 为真，p ∧q 为假，故B 错；C 中当m ＝0时，a ，b ∈R ，故C 的说法正确；D 中命题“在△ABC 中，若sin A ＜12，则A ＜π6”为假命题，所以其逆否命题为假命题，D 错．故选C.3．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(﹁q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅解析：选B.若p ∨(﹁q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(﹁q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.4．(2017·济南模拟)给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么实数a 的取值范围为________．解析：当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，∴0≤a <4. 当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则有0≤a <4，且a >14，即14<a <4；若p 假q 真，则有⎩⎨⎧ a <0或a ≥4，a ≤14.即a <0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4. 答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 5．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.答案：[e,4]。
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阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(文)(2011·巢湖市质检)设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}[答案] D(理)(2011·安徽百校联考)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝∅[答案] C[解析] ∵a 、b ∈M 且a ≠b ，∴a ＝－1时，b ＝0或1，x ＝0或－1；a ＝0时，无论b 取何值，都有x ＝0；a ＝1时，b ＝－1或0，x ＝－1或0.综上知N ＝{0，－1}，∴N M .2．(2011·合肥质检)“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] a ＝1时，f (x )＝lg(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增；若f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，∵y ＝lg x 是增函数，∴y ＝ax ＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ×0＋1>0，∴a >0，故选C. 3．(2011·福州期末)已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵p ：－2<x <2，∴綈p ：x ≤－2或x ≥2； q ：－1<x <2，∴綈q ：x ≤－1或x ≥2， ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．4．(2011·福州期末)在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，则|AD →|＝|AC →|·cos ∠CAB ，|BD →|＝|BC →|·cos ∠CBA ，AB →·AC →＝BA →·BC →⇔|AB →|·|AC →|·cos ∠CAB ＝|BA →|·|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AC →|·cos ∠CAB ＝|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AD →|＝|BD →|⇔|AC →|＝|BC →|，故选C.5．(文)(2011·山东日照调研)设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若α∥β，l ⊂α，m ⊂β则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．綈p 或qD ．p 且綈q[答案] C[解析] p 为假命题，q 为假命题，故p 或q ，p 且q ，p 且綈q 均为假命题，选C. (理)(2011·辽宁省丹东四校联考)已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p ：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或綈q ”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“綈p 且綈q ”为假[答案] C[解析] 如图(1)，正方体中，相邻三个面满足β⊥α，β⊥γ，但α⊥γ，故p 为假命题；如图(2)，α∩β＝l ，直线AB ，CD 是α内与l 平行且与l 距离相等的两条直线，则直线AB ，CD 上任意一点到平面β的距离都相等，三点A 、B 、C 不共线，且到平面β的距离相等，故命题q 为假命题，∴“p 或q ”为假命题．6．(2011·宁夏银川一中检测)下列结论错误的．．．是()A．命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0,1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∨q为真C．“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题[答案] C[解析]根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题p是真命题，命题q是假命题，故p∨q为真命题，选项B中的结论正确；当m＝0时，a<b⇒/ am2<bm2，故选项C中的结论不正确；选项D中的结论正确．7．(文)(2011·福州期末)已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N 等于()A．(0,1)，(1,2) B．{(0,1)，(1,2)}C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}[答案] D[解析]由集合M、N的代表元素知M、N都是数集，排除A、B；又M＝{y|y≥1}，N＝R，∴选D.(理)(2011·陕西宝鸡质检)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B为()A．∅B．{1}C．[0，＋∞) D．{(0,1)}[答案] B[解析]由1－x2≥0得，－1≤x≤1，∵x∈Z，∴A＝{－1，0,1}，当x∈A时，y＝x2＋1∈{2,1}，即B＝{1,2}，∴A∩B＝{1}．8．(2011·天津河西区质检)命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则()A．p是假命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1B．p是假命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1 [答案] C[解析] ∵0<log 32<1，∴y ＝(log 32)x 在[0，＋∞)上单调递减，∴0<y ≤1，∴p 是真命题；∀的否定为“∃”，“≤”的否定为“>”，故选C.9．(2010·广东湛江模拟)“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0”的否命题是( ) A ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0. B ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0. C ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0. D ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0. [答案] D10．(2011·四川资阳市模拟)“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三角限角”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵cos θ<0，∴θ为第二或三象限角或终边落在x 轴负半轴上，∵tan θ>0，∴θ为第一或三象限角，∴θ为第三象限角，故选A.11．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设命题p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x ＝0.则下列判断正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 真q 真D ．p 假q 假[答案] B[解析] ∵|x |≥x 对任意x ∈R 都成立，∴p 真，∵1x ＝0无解，∴不存在x ∈R ，使1x ＝0，∴q 假，故选B.(理)(2011·福建厦门市期末)下列命题中，假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∃x ∈R ，sin x ＝ 2C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0D ．∃x ∈N ，lg x ＝2[答案] B[解析] 对任意x ∈R ，总有|sin x |≤1，∴sin x ＝2无解，故选B.12．(2011·辽宁大连期末)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }与B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }，则正确表示集合A 、B 关系的韦恩(Venn)图是( )[答案] A[解析] n ＝0时，20＝1∈A ，但1∉B,2×0＝0∈B ，但0∉A ，又当n ＝1时，2∈A 且2∈B ，故选A.[点评] 自然数集N 中含有元素0要特别注意，本题极易因忽视0∈N 导致错选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知命题甲：a ＋b ≠4，命题乙：a ≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的________条件． [答案] 既不充分也不必要[解析] 当a ＋b ≠4时，可选取a ＝1，b ＝5，故此时a ≠1且b ≠3不成立(∵a ＝1)．同样，a ≠1且b ≠3时，可选取a ＝2，b ＝2，此时a ＋b ＝4，因此，甲是乙的既不充分也不必要条件．[点评] 也可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件． 14．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线，而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故选项为③④.15．(文)函数f (x )＝log a x －x ＋2(a >0且a ≠1)有且仅有两个零点的充要条件是________． [答案] a >1[解析] 若函数f (x )＝log a x －x ＋2(a >0，且a ≠1)有两个零点，即函数y ＝log a x 的图象与直线y ＝x －2有两个交点，结合图象易知，此时a >1；当a >1时，函数f (x )＝log a x －x ＋2(a >0，且a ≠1)有两个零点，∴函数f (x )＝log a x －x ＋2(a >0，且a ≠1)有两个零点的充要条件是a >1.(理)(2010·济南模拟)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则r 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，125 [解析] 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r <125.16．(2011·河南豫南九校联考)下列正确结论的序号是________． ①命题∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0的否定是：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0.②命题“若ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0”的否命题是“若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0”． ③已知线性回归方程是y ^＝3＋2x ，则当自变量的值为2时，因变量的精确值为7. ④若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π4.[答案] ②[解析] ∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0的否定应为∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0，故①错；对于线性回归方程y ^＝3＋2x ，当x ＝2时，y 的估计值为7，故③错；对于0≤a ≤1,0≤b ≤1，满足a 2＋b 2<14的概率为p ＝14×π×⎝⎛⎭⎫1221×1＝π16，故④错，只有②正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)(2011·重庆南开中学期末)已知函数f (x )＝x ＋1x －2的定义域是集合A ，函数g (x )＝lg[x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ]的定义域是集合B .(1)分别求集合A 、B ；(2)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围． [解析] (1)A ＝{x |x ≤－1或x >2} B ＝{x |x <a 或x >a ＋1}．(2)由A ∪B ＝B 得A ⊆B ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a >－1a ＋1≤2所以－1<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(－1,1]． (理)已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． [解析] 由6x ＋1－1≥0知，0<x ＋1≤6，∴－1<x ≤5，A ＝{x |－1<x ≤5}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3} 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3} ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， ∴有－42＋2·4＋m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．18．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )是R 上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解析] (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，真命题． 用反证法证明：设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， ∵f (x )是R 上的增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，所以逆命题为真． (2)逆否命题：若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )， 则a ＋b <0，为真命题．由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真． ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a ， 又∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，∴原命题真，故逆否命题为真．(理)(2011·厦门双十中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点(3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设l ：x ＝ty ＋3，代入抛物线y 2＝2x ，消去x 得y 2－2ty －6＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－6， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋y 1y 2 ＝－6t 2＋3t ·2t ＋9－6＝3. ∴OA →·OB →＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA →·OB →＝3，则直线l 过点(3,0)”它是假命题． 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ，消去x 得y 2－2ty －2b ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－2b . ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－2bt 2＋bt ·2t ＋b 2－2b ＝b 2－2b ， 令b 2－2b ＝3，得b ＝3或b ＝－1，此时直线l 过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．19．(本小题满分12分)(文)(2011·华安、连城、永安、漳平龙海，泉港六校联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． [解析] A ＝{x |－1≤x ≤3} B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0m ＋2≥3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2m ≥1，∴m ＝2. 故所求实数m 的值为2. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2} A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是m >5或m <－3.(理)(2011·山东潍坊模拟)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a <0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52<0}＝{x |2<x <52}，B ＝{x |x －94x －12<0}＝{x |12<x <94}．∴(∁U B )∩A ＝{x |x ≤12或x ≥94}∩{x |2<x <52}＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}， 当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； 当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13；综上，a ∈[－12，3－52]．20．(本小题满分12分)(2010·常德模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．[解析] 由条件知，a ≤x 2对∀x ∈[1,2]成立，∴a ≤1；∵∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0成立，∴不等式x 2＋(a －1)x ＋1<0有解，∴Δ＝(a －1)2－4>0，∴a >3或a <－1； ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 与q 一真一假．①p真q假时，－1≤a≤1；②p假q真时，a>3.∴实数a的取值范围是a>3或－1≤a≤1.21．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋5，若存在一个实数x0，使不等式f(x0)－m>0成立，求实数m的取值范围．[解析]不等式f(x0)－m>0可化为m<f(x0)，若存在一个实数x0使不等式m<f(x0)成立，只需m<f(x)min.又∵f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m<4.故所求实数m的取值范围是(－∞，4)．(理)(2011·雅安中学期末)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．[解析]令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，则g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1.(1)当a≤1时，对所有x>0，g′(x)>0.所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数．又g(0)＝0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.(2)当a>1时，对于0<x<e a－1－1，g′(x)<0，所以g(x)在(0，e a－1－1)上是减函数．又g(0)＝0，所以对0<x<e a－1－1，有g(x)<g(0)，即f(x)<ax.所以当a>1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上所述a的取值范围是(－∞，1]．22．(本小题满分12分)若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{ai1，ai2，…，ai n}为E的第k 个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第几个子集？(2)求E的第211个子集．[解析](1)由k的定义可知k＝21－1＋23－1＝5.因此{a1，a3}是E的第5个子集．(2)∵21－1＝1,22－1＝2,23－1＝4,24－1＝8，…k＝211，且211＝128＋64＋16＋2＋1，∴i1＝1，i2＝2，i3＝5，i4＝7，i5＝8，故E的第211个子集是{a1，a2，a5，a7，a8}．[点评]本题是新定义题型，构思新颖，视角独特，亮点明显，对考生在新情境下灵活运用所学知识分析，解决问题的能力要求较高，有较高的区分度．。