2018年高考数学一轮复习专题2.11函数与方程讲

专题2.11 函数与方程
【考纲解读】
【直击考点】
题组一 常识题
1．[教材改编] 若函数f (x )＝x 2
－x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．
【解析】Δ＝1－4a >0，解得a <1
4
.
2．[教材改编] 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是________． 【解析】易知函数f (x )
单调递增，且f (2)<0，f (3)>0，故存在唯一的零点． 3．[教材改编] 函数f (x )＝x 3
－2x 2＋x 的零点是________．
【解析】 解方程x 3
－2x 2
＋x ＝0，得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0和1.
题组二 常错题
4．(1)函数f (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝x 2－1在区间(－2，2)上零点的个数为________．
5．若二次函数f (x )＝x 2
－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________．
【解析】二次函数图像的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.
6．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是________．
【解析】Δ＝k 2
－4k <0，解得0<k <4.
题组一 常考题
7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________． ①y ＝e x 2
；②y ＝x 2
＋1；③y ＝sin x ；④y ＝cos x ； ⑤y ＝ln |x |.
【解析】y ＝e x 2
，y ＝x 2
＋1是偶函数，但没有零点；y ＝sin x 是奇函数，有零点；y ＝cos
x ，y ＝ln |x |是偶函数，且有零点．
8．函数f (x )＝2cos x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2－x 2
的零点个数为________.
【知识清单】
1．函数零点所在区间的判定
1．函数零点的定义
对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．
2．二分法
对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2 判断函数零点个数
函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；
(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )； (3)作出y 1，y 2图像；
(4)由图像交点个数得出结论． 3 函数零点的应用
函数零点与函数交点关系
【考点深度剖析】
1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．
【重点难点突破】
考点1 函数零点所在区间的判定
【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．
【1-2】函数f (x )＝2x
－2x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．
【答案】(0,3)
【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【思想方法】
函数零点个数的判断方法．
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且
f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零
点；
(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数
【2-1】函数f (x )＝2x
|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2
【解析】令f (x )＝2x
|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x .
设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现
两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．
【2-2】已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，x ≤0，
log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____
【答案】4
【思想方法】
(1)等价转化思想． (2)数形结合思想
【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用
【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．
【答案】⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1e ，0
【解析】令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1
e
；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得
x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e
时，函数g (x )单调递增，由此可知当x
＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.
【3-2】已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－a ，x ≤0x 2
－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是
________．
【答案】⎝ ⎛⎦
⎥⎤49，1
【思想方法】
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质
【易错试题常警惕】
函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．
如：已知集合(){}
2
,20x y x
mx y A =
+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若
A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．
【分析】
A B ≠∅，∴方程组2
1
2y x y x mx =+⎧⎨=++⎩
，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．
()010f =>，当()20f ≤，即3
2
m ≤-时，显
然A
B ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦．
【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．
【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是
________.
【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫15，＋∞。