高考数学(浙江版,理)课件：6.3 简单的线性规划

求目标函数的最值或范围
x y 0,
典例2 (2015安徽文,5改编)已知实数x,y满足约束条件x y 4 0, y 1.
(1)求-2x+y的取值范围;
(2)求|2x-y|的取值范围;
(3)求(x-2)2+y2的取值范围;
(4)求 y 1的取值范围;
x
(5)求xy的取值范围.
x
1,故有- 3 ≤-a≤-1,
2
即1≤a≤ 3 .
2
2-3 (2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最
合图形可知,当动圆(x-2)2+y2=r2与直线l2:y-1=0相切时,r的最小值为1,当动
圆(x-2)2+y2=r2过点C(2,2)时,r的最大值为2,所以1≤(x-2)2+y2≤4.
(4) y 1表示区域内动点与定点(0,-1)连线的斜率,结合图形可知,区域内的
x
点位于A时,斜率最大,最大值为2,区域内的点位于B时,斜率最小,最小值

f f
(0) b 2a 2, (1) b 2a 3
2,
即
c
b b

2a 2, 2a 5,
由线性规划知识知,当a
= 3 ,b= 7 时,t=a+b达到最大值 17 .
42
4
二元一次不等式(组)表示的平面区域
x y 2 0,
典例1 (2015重庆,10,5分)若不等式组x 2y 2 0,表示的平面区域为三 x y 2m 0
1.二元一次不等式表示的平面区域
一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+
By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成① 虚线
以表
示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示
的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成② 实线 .
解析 根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图.记l1:x-y=0,l2:y-1=0,l
3:x+y-4=0.l1与l2的交点为A(1,1),l2与l3c的交点为B(3,1),l1与l3的交点为C(2,2).
(1)令z=-2x+y,则y=2x+z,平移直线y=2x+z可知,当直线过点A时,z取到最大 值-1;当直线过点B时,z取到最小值-5. (2)解法一:由(1)可知,-5≤-2x+y≤-1,所以1≤|2x-y|≤5;
1-1 (2015学军中学仿真考,5,5分)已知点P(3,3),Q(3,-3),O为坐标原点,动
点M(x,y)满足| OP OM | 12, 则点M所构成的平面区域的面积是 ( ) | OQ OM | 12,
A.12 B.16 C.32 D.64
答案 C
解析
由条件知x,y满足||
1)+1]≤0,解得m≤- 5 .
c
3
x 2 0,
4.设变量x,y满足约束条件x 2y 0, 则目标函数z=3x+y的最大值为 x 2 y 8 0,
() A.7 B.8 C.9 D.14 答案 C 由x,y的约束条件画出可行域(如图),其中A(2,3),B(2,1),当直线3 x+y-z=0经过点A(2,3)时,z取最大值9,故选C.
1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示) 应是 ( )
答案
C
(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇔xx
2 y 1 0,
cy 3 0
或

x x

2 y 1 0, y 3 0.
结合选项可
知选C.
2.下列二元一次不等式组可表示成如图所示的阴影部分区域的是( )
且x,y均为正整数.若4x-y取到最大值8,则整数a的最大值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示, 作出直线4x-y-8=0(下图实线部分),可知要使得z=4x-y取得最大值8,则最
c
大值的最优解为A(4,8),不可能为B(3,4),因为若直线3x-y-a=0再向下平移 一点,最大值的最优解则变为(5,7),最大值也变为13,不合题意.故只需B(3,
时,就是不含原点的区域.
(ii)当C=0时,取(0,1)或(1,0),不等式成立时,就是含取点的一侧;不成立时,
是另一侧.
(2)快速判断法
不等式
B>0
B<0
Ax+By+C>0
直线l上方
直线l下方
Ax+By+C<0
直线l下方
直线l上方
2.线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由关于x,y的一次不等式组成的不等式组
c
x y 1,
5.若x,y满足约束条件x y 1, 目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小 2x y 2,
值,则a的取值范围是 ( )
A.(-1,2) B.(-4,2) C.(-4,0] D.(-2,4) 答案 B 可行域如图所示.当a=0时,显然成立.当a>0时,直线ax+2y-z=0
值范围为 ( )
A. 53
,


C. 1,
1 2

答案 B
B. ,

5 3

D. 14
,
1 2

直线l:(m+2)x+(m+1)y+1=0过定点(-1,1),由题意得点(1,2),(1,-1)
在l的两侧或其中一点在l上,∴[(m+2)×1+(m+1)×2+1]·[(m+2)×1+(m+1)×(-
目标函数
关于x,y的函数解析式,如z=x+2y
线性目标函数
关于x,y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x,y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直 线,并确定原不等式表示的半平面,然后求出所有半平面的交集; (2)作出目标函数的等值线; (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中能判定问 题有唯一最优解,或者是无穷最优解,或者是无最优解.
3
2m,
所以S△ABC= 12 (2+2m)(1+m)-12 (2+2m)·23 (1+m)
= 1 (1+m)2= 4 ,
3
3
解得m=-3(舍去)或m=1.
故选B.
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法 (1)直线定界,特殊点定域 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画 成实线.若直线不过原点,则特殊点常选取原点;若直线过原点,则特殊点 常选取(1,0)或(0,1). (2)同号上,异号下 当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方,当B(Ax+By+C)<0时, 区域为直线Ax+By+C=0的下方.
角形,且其面积等于 4 ,则m的值为 ( )
3
A.-3 B.1 C. 4 D.3
3
答案 B
解析 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m<2,即m>-1,所
围成的区域为△ABC,S△ABC=S△ADC-S△cBDC.
点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为2 (1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-
代入x-2y+2得1>0,即点(1,1)在x-2y+2c≥0的内部,在x+y-1≥0的内部,故所
求二元一次不等式组为
x x

y 1 2y
2
0, 0.
x y 3 0,
3.已知直线l:(m+2)x+(m+1)y+1=0上存在点(x,y)满足x 2y 3 0 ,则m的取 x 1,
作出可行域,理解目标函数的意义.
2.常见的目标函数有
(1)截距型:如z=-2x+y,z= 24xy ,z=O P ·O M (其中M(x,y)为区域内动点,P(-2,1)),
等等.
(2)距离型:如z=(x-2)2+y2,z=|2x-y|,等等.
(3)斜率型:如z= y 1 ,z= x y 1 ,z= x ,z= y 1 + x = x2 ( y 1)2 ,等等.
为 2 ,所以 2 ≤ y 1≤2.
3
3x
(5)令xy=t,则y= t 为反比例函数,对应的图形为双曲线.结合图形可知,当双
x
曲线过点A时,t取最小值,最小值为1;当双曲线与直线l3相切时,t取最大值,
最大值为4,此时切点为C(2,2).所以1≤xy≤4.
1.利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求.其关键是准确
的斜率k=- a >kAC=-1,得a<2,∴0<a<2.
2
c
当a<0时,k=- a <kAB=2,得a>-4,∴-4<a<0. 2