不等式证明中的辅助函数作法技巧_徐小会
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收稿日期:2005-06-27作者简介:徐小会(1972-),女,辽宁阜新人,辽宁工程技术大学讲师
第24卷 第1期
2006年1月沈阳师范大学学报(自然科学版)Jour nal of S heny ang N or mal Univer sity (N atur al Science)Vol 24,No.1Jan.2006文章编号:1008-374X(2006)01-0025-02
不等式证明中的辅助函数作法技巧
徐小会
(辽宁工程技术大学技术与经济学院,辽宁阜新 123000)
摘 要:辅助函数的构造是高等数学教学中的重要内容之一,也是学生所要掌握的重要的解
题方法之一 从几类不等式的证明出发,研究了这些情况下辅助函数的构造技巧,有助于帮助我们
迅速准确地解题
关 键 词:不等式;证明;辅助函数;技巧
中图分类号:O 178 文献标识码:A
解决高等数学问题,经常要构造辅助函数,要求解题者既能从题目所给条件进行分析推导,逐步引出所需的辅助函数,也能从所需证明的结论(或其变形)出发 递推 出所要构造的辅函数,因此应掌握一些辅助函数的作法技巧 本文从不等式证明谈辅助函数的作法
1 数值不等式证明中的辅助函数作法技巧
一般来讲,解决这种题目的辅助函数的构造有两种方法:
1)由欲证的形式构造出 形似 的函数;
2)由欲证的形式作恒等变形,变成初等函数四则运算的形式,再将其中一个常数改写成x ,移项使等式的一端为0,则另一端即为要作的辅助函数F (x )
例 证明
m +n 1+m +n m 1+m +n 1+n
证明:令f (x )=x 1+x (x 0),则f (x )=1(1+x 2)
>0 所以,f (x )为单调递增函数,又m +n
m +n ,则f (m +n ) f (m +n ),即m +n
1+m +n m +n 1+m +n =m 1+m +n +n
1+m +n m
1+m +n
1+n 2 定积分不等式证明中的辅助函数作法技巧
一般来讲,解决这种题目的辅助函数的通常作法为:将欲证结论中的积分上限(或下限)换成x ,表达式中相同的字母也换成x ,移项使不等式一端为0,则另一端的表达式即为所要作的辅助函数F(x )
证明步骤为:
1)作辅助函数F (x );
2)求F (x )的导数F (x ),判别F (x )的符号,从而判别F (x )的单调性;
3)求F (x )在积分区间[a ,b]端点的函数值F(a ),F(b),其中必有一个为0或F (a )、F (b )中有一个符号已知;
4)由2),3)两步即可得到命题的结论