职中数学6.1数列的概念
数列的概念知识点总结
数列的概念知识点总结一、数列的基本概念数列是由一组按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为数列的项。
数列中的数字可以是正整数、负整数、小数、分数等。
数列通常用{an}或an表示，其中n表示数列的位置。
例如{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个简单的数列，其中每一项的值依次递增1。
在数列中，通常会出现一些特殊的数列，如等差数列、等比数列等。
等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差等于一个常数d，如{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，其中公差d=2。
等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比等于一个常数r，如{1, 2, 4, 8, 16, ...}就是一个等比数列，其中公比r=2。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指数列中每一项与项号之间的关系式。
通过通项公式可以方便地求出数列中任意一项的值，以及根据数列的规律预测未知的项。
对于等差数列和等比数列，其通项公式分别为an=a1+(n-1)d和an=a1*r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示等差数列的公差，r表示等比数列的公比。
除了等差数列和等比数列外，还存在其他形式的数列，如递推数列、周期数列、递减数列等。
这些数列的特点和规律各不相同，其通项公式也具有不同的形式。
三、数列的性质数列具有丰富的性质，通过研究数列的性质可以深入理解数列的规律和特点。
1. 数列的有界性数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果数列中的项都不超过某一有限的数M，则称该数列是有上界的，M称为数列的上界。
类似地，如果数列中的项都不小于某一有限的数m，则称该数列是有下界的，m称为数列的下界。
如果数列同时有上界和下界，则称该数列是有界的。
2. 数列的单调性数列可能是单调递增的，也可能是单调递减的，还可能是交替单调的。
对于单调递增的数列来说，一般其通项公式中的a(n+1)>an。
类似地，对于单调递减的数列来说，其通项公式中的a(n+1)<an。
中职数学人教版基础模块下册第六章数列《数列的概念》课件
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
新知探究
思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项
数列的概念
6.已知 n2 个 (n≥4) 正数排成 n 行 n 列方 a11 a12 a13 … a1n 阵, 其中每一行的数都成等差数列, 每一列 a21 a22 a23 … a2n 的数都成等比数列, 并且所有公比都等于 q. … … … 1 , (1)求公比 q 的值; an1 an2 an3 … ann 若 a11= 1 , a =1, a = 24 32 2 4 (2)求 a1k (1≤k≤n) 的值; (3)记第 k 行各项和为 Ak, 求 A1 及 {Ak} (1≤k≤n) 的通项公式. 解: (1)依题意可设第一行公差为 d, 各列公比为 q(q>0), 则有: a24=a14q=(a11+3d)q, ( 1 +3d)q=1, 2 1. 即 : 解得 : q = d = a32=a12q2=(a11+d)q2, 2 ( 1 +d)q2= 1, 2 4 1 故公比 q 的值为 2 . 1= k. (2)a1k=a11+(k-1)d= 1 +( k 1) 2 2 2 n(n+1) n 1 n (3)A1=a11+a12+a13+…+a1n= 2 ( 2 + 2 )= 4 . n(n+1) n(n+1) 1 k 1 k 1 Ak=ak1+ak2+ak3+…+akn=q A1=( 2 ) ∙ 4 = 2k+1 .
数列的概念和应用
数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。
2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。
3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。
4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。
5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。
6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。
(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。
(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。
(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。
2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。
4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。
(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。
(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。
(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。
职高的数列知识点归纳总结
职高的数列知识点归纳总结一、数列的基本概念与性质数列是按一定规律排列的一组数的集合，常用字母表示为{an}，其中an表示数列的第n项。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
设数列为{an}，若满足an+1 - an = d（常数d），则称{an}为等差数列，d称为公差。
常用公式an = a1 + (n-1)d表示等差数列的通项公式。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
设数列为{an}，若满足an+1 / an = q（常数q），则称{an}为等比数列，q称为公比。
常用公式an = a1 * q^(n-1)表示等比数列的通项公式。
3. 通项公式与通项求和公式通项公式是指可以通过整数n来表示数列的第n项的公式，通常以an表示。
通项公式可以根据数列的规律进行推导。
通项求和公式是指可以通过整数n来表示数列前n项和的公式，通常以Sn表示。
二、等差数列的应用1. 等差数列的性质（1）等差数列的前n项和Sn与项数n的关系：Sn = (a1 + an) * n / 2。
（2）等差数列的前n项和公式的推导过程。
2. 等差数列在数学问题中的应用（1）求年龄等问题：根据相邻两个年龄之差的等差性质，可以通过已知条件求解出未知年龄。
（2）求等差数的部分项和：根据题目所给条件，利用等差数列的性质求解。
（3）利用等差数列解决速度、距离等问题：根据已知速度和时间等条件，利用等差数列的概念进行求解。
三、等比数列的应用1. 等比数列的性质（1）等比数列的前n项和Sn与项数n的关系：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q≠1。
（2）等比数列的前n项和公式的推导过程。
2. 等比数列在数学问题中的应用（1）利用等比数列求解几何问题：通过已知条件、等比数列的性质以及几何关系进行求解，例如计算等比数列的面积、体积等。
（2）利用等比数列解决复利问题：根据题目所给条件，利用等比数列的概念进行求解。
数列的概念及简单表示方法
§6.1数列的概念及简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1__>__a n其中n∈N＋递减数列a n＋1__<__a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1 n ≥2.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋－1n ＋12.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55 答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝_____.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上，a n ＝(－2)n －1.5． (2013·)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行， 且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1， a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝3n －2由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n . (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1. 题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .思维启迪 当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. (3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .则{a n }的通项公式为________． 思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 (1)n n ＋12＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n n ＋12 解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1. 又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式， 因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n＋1＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ， 即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.(3)由题设知，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n n ＋12，又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋12. 思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于 ( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 答案 (1)1n (2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．思维启迪 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N ＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防范1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.－1n ＋12 B ．cos n π2 C ．cos n ＋12π D ．cos n ＋22π答案 D解析 令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确． 2． 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10 ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－14，由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C.5． 若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130 D ．30答案 D解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n n ＋1， 所以1a 5＝5×6＝30.二、填空题6． 已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．答案 7解析 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.7． 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_____.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)， ∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.8． 已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞) 解析 方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得 2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数， 故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3. 三、解答题9． 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n n ＋110n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1n ＋210n ＋1－9n n ＋110n＝9n 10n ·8－n10， 当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…， 故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项， 且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为 ( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 答案 C解析 设跳到第n 个格子的方法种数有a n ，则到达第n 个格子的方法有两类： ①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2， 由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2． 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2. ∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3． 若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析由题意得⎩⎨⎧k k ＋423k≥k ＋1k ＋523k ＋1kk ＋423k ≥k －1k ＋323k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4． 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23n ＝11nn ≥2.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1 ＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0，∴{c n }是递减数列．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．。
5.1数列的概念
写出下列各数列的一个通项公式: 例 1.写出下列各数列的一个通项公式: 写出下列各数列的一个通项公式 (1) -1,4,-9,16,-25, 36, ; ) , , , , , 解: a n = (-1) n n2 (2) 2, 3, 5, 9, 17, 33, ; ) , , , , , , 解:an = 2n- 1 + 1 .
(4)数列分类 ) ①按数列项数是有限还是无限分: 按数列项数是有限还是无限分: 有穷数列和无穷数列; 有穷数列和无穷数列; ②按数列项与项之间的大小关系分: 按数列项与项之间的大小关系分: 单调数列(递增数列,递减数列),常数 单调数列(递增数列,递减数列),常数 ), 列和摆动数列
�
y B5 B4 B3 B2 B1 0 C1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 x C2 C3 C4 C5
a1 = 3, a3 = a1 + 12 = a1 + 3 × 4, a5 = a3 + 20 = a3 + 5 × 4,
a2 = a1 + 1, a4 = a3 + 1, a6 = a5 + 1,
例2. 在数列{an}中,若a1 = a, 且 1 (n =1, 2, 3, ). an+1 = an + n(n +1) 求数列的通项公式. 求数列的通项公式.
1 1 1 = . 解:由递推式得 ak +1 ak = k (k + 1) k k + 1
令 k = 1 ,2 ,3 , ,n – 1 ,得
5<ak <8
8 . 则K=.
递推公式定义: 递推公式定义: 如果已知数列{a 的第 的第1项 或前几项 或前几项), 如果已知数列 n}的第 项(或前几项 , 且任一项a 与它的前一项a - 或前几项 或前几项) 且任一项 n与它的前一项 n-1(或前几项 间的关系可以用一个公式来表示,那么这 间的关系可以用一个公式来表示, 个公式就叫做这个数列的递推公式 个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式
6.1 数列的概念
1 1 1 1 , , , ,L 1 3 5 7
练习 写出下面数列的一个通项公式,使 它的前四项分别是下列各数
（ 1） 1,3,5,7， 1 2 3 4 （2） ， ， ， ， 2 3 4 5 （ 3） 0， - 2， - 4， - 6， 1 1 1 （ 4） 1, ， ， ， 4 9 16
1. 三角形数：1，3，6，10，··· 2. 正方形数：1，4，9，16，··· 3. 1, 2, 3, 4,……的倒数排列成的 一列数：
1 1 1 1, , , ,L 2 3 4
4. 斐波那契数列：1,1,2,3,5,8，··· 5.－1的1次幂, 2次幂, 3次幂, ……排列 成一列数：－1, 1, －1, 1, －1,… 6. 无穷多个1排列成的一列数： 1, 1, 1, 1, …
an
9 8
(n≤7)
数 列 的 图 象 是 一 群 孤 立 的 点
10
7
6 5 4 3 2 1
O
1
2
3
4
5
6
7
n
数列
an
1
1,
1 1 1 1 , , , , 3 2 4 5
用图象表示
1 2
1 4
1 8
O
1
2
3
4
5
6
7
n
小结：
本节课学习的主要内容有： 1、数列的定义； 2、数列的通项公式。
思考
由数列的有限项探求通项公式时，通项公式是唯一 的吗？
求数列的通项公式举例
1. 1，2，3，4，···
1 1 1 2. 1, , , ,L 2 3 4
3. 2，3，4，5，···
1 1 1 1 4. , , , ,L 2 3 4 5
原创1：6.1 数列的概念及简单表示法
6.1 数列的概念及简单表示法
1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照__一__定__顺__序_____排列的一列数． ②数列的项：数列中的__每__一__个__数______．
(2)数列的分类： 分类标准
项数
类型 有穷数列 无穷数列
满足条件 项数___有__限_____ 项数___无__限_____
(3)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an
＋13，则{an}的通项公式是 an＝_(_－__2_)n_－_1_.
解析：(1) 法一：a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41， a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44. 法二：当 n≥1 时，an＋1＝3Sn，则 an＋2＝3Sn＋1， ∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即 an＋2＝4an＋1， ∴该数列从第 2 项开始是以 4 为公比的等比数列，
(4)9，99，999，9 999，….
解：(1)各数都是偶数，且最小数为 4，所以通项公式 an＝ 2(n＋1)(n∈N*)． (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积 的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项
公式 an＝(－1)n×n（n1＋1）. (3)这是一个摆动数列，奇数项是 a，偶数项是 b，所以此数 列的一个通项公式 an＝ab，，nn为为奇偶数数，. (4)这个数列的前 4 项可以写成 10－1，100－1，1 000－1， 10 000－1，所以它的一个通项公式 an＝10n－1.
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
教学设计5：6.1 数列的概念及简单表示法
6.1 数列的概念及简单表示法[知识梳理]1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照排列的一列数．②数列的项：数列中的．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且与它的(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．3.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．4．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．[考点精析]考点一由数列的前几项求数列的通项公式典题导入[例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝－1n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________．由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．以题试法1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….考点二由a n 与S n 的关系求通项a n典题导入[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1) S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.由题悟法已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．以题试法2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )A.56 B.65 C.130D ．30考点三数列的性质典题导入[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？在本例条件下，设b n ＝a nn ，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和S n，根据S n的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m≥0，且a m＋1<0，则S m最大；若a m≤0，且a m＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3．数列{a n}的通项a n＝nn2＋90，则数列{a n}中的最大值是() A．310 B．19C.119 D.10 60答案[知识梳理]1．(1)①一定顺序 ②每一个数(3)序号n2．任一项a n 前一项a n －1 [例1]【解析】 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，…. 【答案】 C【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数，1n 为偶数.⎝⎛⎭⎫或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π21．解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.[例2]【解析】 (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2. 2．【解析】选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130.[例3]【解析】 (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20n－21，令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20x 2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)．而4<25<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋204－21＝－12，b 5＝5＋205－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.3．【解析】选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．。
职中数列知识点总结归纳
职中数列知识点总结归纳一、数列的概念数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合，数列中的每个数称为项，而这些项之间的排列顺序是有规律的。
数列可以是有穷的，也可以是无穷的。
有穷数列：有限个数所组成的数列称为有穷数列，其项可排成一个有限的数列。
无穷数列：无限个数所组成的数列称为无穷数列，其项不能排成一个有限的数列。
数列可以用以下形式进行表达：通项公式形式：an = f(n)，其中n为自然数，an为数列的任一项，f(n)为定义域为自然数的函数。
递归公式形式：an+1=Aan+B，其中A，B为常数。
二、数列的分类1.按照数列中项的变化规律分类等差数列：数列中任意两项之差相等的数列。
通项公式为an = a + (n-1)d。
等比数列：数列中任意两项之比相等的数列。
通项公式为an = a * r^(n-1)。
2.按照数列的性质分类单调数列：数列中的项之间的大小关系保持不变的数列。
常数数列：数列中的所有项都相等的数列。
周期数列：数列中的项符合一定的周期规律的数列。
三、数列的性质和运算1.数列的有界性有界数列：如果数列的所有项都在某一范围内，则称该数列为有界数列。
无界数列：如果数列中的项没有范围限制，则称该数列为无界数列。
2.数列的增减性递增数列：如果数列中的任意一项大于前一项，则称该数列为递增数列。
递减数列：如果数列中的任意一项小于前一项，则称该数列为递减数列。
3.数列的前n项和数列的前n项和表示为S(n) = a1 + a2 + a3 + … + an。
等差数列的前n项和：Sn = (a1 + an)*n/2。
等比数列的前n项和：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
4.数列的运算数列的加法：对应项相加得到的数列。
数列的乘法：对应项相乘得到的数列。
数列的除法：对应项相除得到的数列。
四、数列的应用1.在数学中的应用数列在数学中的应用非常广泛，它不仅在高中数学中有着重要地位，还在微积分、概率论、数理逻辑等领域中都有着重要作用。
课件3：6.1 数列的概念
第六章 第1讲
第4页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住3个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
3 种必会方法——求数列通项公式的 3 种方法 (1)叠加法：对于 an＋1－an＝f(n)型，若 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是 可求的，可用多式相加法求得 an. (2)叠乘法：对于aan＋n1＝f(n)型，若 f(1)·f(2)·…·f(n)的积是可求的， 可用多式相乘法求得 an. (3)构造法：对 an＋1＝pan＋q 型，构造等比数列，求得 an.
∴an＝(－1)n·2n2－n 3.
第六章 第1讲
第20页
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(4)将数列统一为32，55，170，197，…，对于分子 3,5,7,9，…，
是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分 母 2,5,10,17，…，联想到数列 1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得
n＝1 n≥2 .
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第六章 第1讲
第14页
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[填一填] (1)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn＝2n－1，
则 a5＝ 16 ；a3＋a4＋a5＝ 28 .
(2)设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则 an＝
限时规范特训
考向一 由数列前几项求通项公式
例 1 写出下面各数列的一个通项公式：
6.1数列的概念和表示法
,__13_,
1 4
,
1 5
,
1 6
1 , __7_
练习
1、 根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项：
（1）
an
n n 1
（2） an 1n n
方法：类似于求函数值，在通项公式中依次取 n=1、2、3、4、5得到数列的前5项
2 根据6.下1 列数各列无的穷概数念列的前4项, 写出数列的 一个通项公式.
(1)5,10,15,20，…；
1
−1
1
，答案不一 定是唯一的
关系 (1)1 (1)2 (1)3 (1)4
．
由此得到，该数列的一个通项公式为
an (1)n．
3、 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1) _1__,4,9,16,25, _36__,49;
(2) 1, 2, __3_,2, 5, （1）数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数n an 关系
1
2
3
4
5
10
15
20
5 5 1 10 5 2 15 5 3 20 5 4
由此得到，该数列的一个通项公式为
an 5n．
6.1 数列的概念
(2) 1，1，1，1，L ； 2468
解： (2) 数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
数列
概念形成
疏理归纳有关概念
◆按一定次序排列的一列数叫数列 ◆数列中的每一个数叫做这个数列的项 ◆各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），
第2项，······， 第n项，······
◆数列的一般形式可以写成： a1，a2，…，an，…简记为{an}，其中an是数列 的第n项。
◆数列分类： 有穷数列,无穷数列;
第六章6.1 数列的概念及简单表示法
数学 R A（理）
§6.1数列的概念及简单表示法
第六章 数 列
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数称为 数列，数列中的每一个数叫做这个 数列的 项 ．
2．数列的分类
分类 原则
类型
满足条件
1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“次序” 排列的一列数，一个数列 不仅与构成它的“数”有 关，而且还与这些“数” 的排列顺序有关． (2)数列的项与项数：数列 的 项 与 项数是两个不同的
先观察各项的特点，然后归纳出其 通项公式，要注意项与项数之间的 关系，项与前后项之间的关系．
(4)3,33,333,3 333，….
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】写出下面各数列的一个通
思维启迪 解析 探究提高
(解2项)每公(一1式)项各：的项分减子去比1 分后母为少正偶1，数而，分所母以组an成＝数2n列＋12.1，22，23，24，…，所以
解析
探究提高
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
由数列的递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
解析
探究提高
＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
(1)可构造等比数列求解； (2)可使用累加法．
中职数学61 数列的概念
数列的表示方法
02
列表法
定义
将数列的项按照特定的顺序罗列出来。
优点
直观、易于理解。
缺点
不便于进行大规模计算，且无法体现数列的规律 性。
图像法
定义
用图像的方式表示数列。
优点
可以直观地展示数列的变化趋势。
缺点
只能用于有限的数列，且精度受到图像分辨率的影响。
科学计算中的应用
如计算物理实验结果、计算化学 反应速率等。
商业领域中的应用
如计算商品的销售总额、计算企 业的年度总收入等。
数列求和的推导
等差数列的求和推导
基于等差数列的定义和性质，通过倒 序相加的方法推导出等差数列的求和 公式。
等比数列的求和推导
基于等比数列的定义和性质，通过错 位相减的方法推导出等比数列的求和 公式。
函数法
01
02
03
定义
将数列看作一个函数，用 函数表达式表示其规律性 。
优点
可以表示大规模的数列， 并且能够准确地描述数列 的规律性。
缺点
需要一定的数学基础才能 理解。
数列的通项公式
03
如何求通项公式
观察法
通过对数列的前几项进行观察，找出 规律，再根据规律推导出通项公式。
构造法
根据已知的数列项之间的关系，构造 出一个新的数列，再根据新数列的通 项公式求出原数列的通项公式。
数列的求和公式
04
如何求数列的和
定义数列的项
首先需要了解数列的每一项的数 值，通常用数学公式表示数列的
每一项。
识别数列的类型
根据数列的项的特征，识别数列属 于等差数列、等比数列或其他类型 。
中职数学数列课件
中职数学数列课件一、引言数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定顺序排列的一列数。
数列可以用于描述自然界和现实生活中的许多现象，例如人口增长、物理运动等。
因此，掌握数列的知识对于中职学生来说具有重要的意义。
二、数列的基本概念1.数列的定义：数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的集合。
数列中的每个数称为数列的项，通常用字母表示，如a1,a2,a3等。
2.数列的表示方法：数列可以用列举法、通项公式法、递推公式法等方式表示。
列举法是将数列的前几项直接写出来，如1,2,3,4,5；通项公式法是通过一个公式来表示数列的任意一项，如an=n^2；递推公式法是通过前一项或前几项来递推下一项，如an=an-1+2。
3.数列的项数：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的。
有限数列的项数是有限的，如1,2,3,4,5；无限数列的项数是无限的，如1,2,3,4,5,三、等差数列1.等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列。
这个常数称为等差数列的公差。
2.等差数列的表示方法：等差数列可以用通项公式an=a1+(n-1)d表示，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
任意两项之间的差是公差d。
数列中的任意一项都可以表示为首项和项数的函数。
数列的前n项和可以表示为Sn=n(a1+an)/2。
四、等比数列1.等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列。
这个常数称为等比数列的公比。
2.等比数列的表示方法：等比数列可以用通项公式an=a1r^(n-1)表示，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
任意两项之间的比是公比r。
数列中的任意一项都可以表示为首项和项数的函数。
数列的前n项和可以表示为Sn=a1(1r^n)/(1r)。
五、数列的应用数列在现实生活中有着广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算、在物理学中的运动学问题、在生物学中的人口增长问题等。
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要求：学生自学课本第2页的内容。
二、概念形成
问题引领1 这些数有什么共同特点？
数列 数列的项 按照一定次序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数 反映各项在数列中位置的数字 1,2,3，…,n
首 项（第1项）
第2项 第n项 项数
二、概念形成
数列如何分类？
项数有限的数列叫有穷数列
1 1 a5 5 ． 32 2
方法：类似于求函数 值，在通项公式中依 次取n=1、2、3、4、5 得到数列的前5项
六、自主练习 练习： 根据下面数列 {an }的通项公 式，写出它的前5项：
（ 1）
（ 2）
n an n 1
an 1 n
n
巩固知识
典型例题
例2 根据下列各无穷数列的前4项, 写出数列的一个通项公式. (1)5,10,15,20，…；
试一试：说说它们的项数与项
.
6.1 数列的概念 五、巩固知识 典型例题
1 a a 例1 设数列{ n }的通项公式为 n n ，写出数列的前5项 2
解
1 1 a1 1 ； 2 2
1 1 a2 2 ； 4 2
1 1 a4 4 ； 16 2
1 1 a3 3 ； 2 8
2
?
一、创设情境
（3）请同学们看一则城市新闻报道： “为创建生态旅游大县，市政府今年投资20万元进行城 市绿化建设，在境内省道线 50公理的路段上种植树木，从金 家岭开始每隔10米种一棵树，以增加城市绿化面积，另外打 算今后每年比上一年增加 5 万元进行城市绿化改造，为支持 家乡建设事业发展，市职高某班的全体同学（ 1 — 58 号）踊 跃报名参加了义务植树活动· · · · · · ” 提出问题：请同学们说说这篇报道中出现的几列数 （学生讨论并回答） （1）20，25，30，35，40，45， · · ；· （2）10，20，30，· · · ，5000；（10，10，10，· · · ，10）
归纳：数列中的每一个数都对应着一 个序号，反过来，每个序号也都对应 着一个数。
四、探究发现
观察下面数列的特点，用适当的数填空。
(1)2,4,( 6 ),8,10, ( 12 ),14… (2)2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 )… (3)( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49… (4)1, 2 ,( 3 ),2, 5 ,( 6 ), 7 …
数
列
有人说，大自然是懂数学的。
海棠 （2）
剑兰（3）
黃禅 （5）
波斯菊 （8）
雏菊 （13）
一、创设情境
（1）传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..
正方形数 1, 4, 9, 提问：这些数有什么规律吗？ 16, ……
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、创设情境
（2）国际象棋起源于古印度，关于国际象棋有这样一 个传说，国王想赏赐国际象棋的发明者，于是有下面一段对 话· · · · 6 5 63 4 3 2
1 2 2
2
2
2
请在棋盘的第1格子里放 1颗麦子，在第 2个格子 陛下赏小 你想得到 陛下您的 里放2颗麦子，第3个格 人几粒麦 什么样的 多少麦子？ 国库里麦 子里放4颗麦子，以此类 子就行了 。 OK 子够搬吗？ 赏赐？ 推。后面第一格里的麦 子是前一格子里的麦粒 数的2倍，直到第64格。
…2 1+2+22+…+263=？ ?? ?? ?? ?
巩 固 知 识 典 型 例 题
(2)
1 1 1 1 ， ， ，， ； 2 4 6 8
序号 1 2 3 4
解： (2) 数列前4项与其项数的关系如下表：
an
关系
1 2
1 4
1 6
1 8
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 2 2 6 2 3 8 2 4
由此得到，该数列的一个通项公式为
CCTV-2
四、探究发现
中央电视台开心辞典节目中 一个数列的第n项 an 曾经出现过这样的一道题： 观察以下几个数的特点， 如果能够用关于项数n 按照其中的规律写出括号里的数 . 的一个式子来表示，那 项数 1 2 3 4 5 6 7 ... n 么这个式子叫做这个数 列的通项公式. 2 项 2，5，10，17，26, ( 37 ) , 50 , ... a n = n +1
a3、 a6
各是什么数？
4、 数列与数集有什么区别？
三、深化概念
思考
数列和集合有什么关系？
1.数列的表示{ an }的大括号与集合的表示用大 括号是一致的.
2.集合特性：无序性、互异性、确定性， 数列特性：有序性、可重复性、确定性. 如：数列： 15，5，16，16，28，32 数列： 5，15，16，16，28，32
an (1)n．
例3
判断16和45是否为数列{3n+1}中的项, 如果是,请指出是第几项.
巩 固 知 识 典 型 例 题
将16代入数列的通项公式有 解 数列的通项公式为 an 3n 1， 解得 n 5 N*． 16 3n 1 所以，16是数列 {3n 1} 中的第5项． 将45代入数列的通项公式有 45 3n 1 解得
3 2 5 3 （ 1） 1, , , , ; 4 3 8 5
（ 2） 2， 0 ， 2， 0； （3）9，99，999，9999； （4）0.9，0.99，0.999，0.9999.
（B组题要求较高，要求学有余力的同学思考。）
课堂小结及作业 小结： 数列有关概念 数列 通项公式
求通项公式
数列中的项
（3）1，2，3，4，5，6，· · · ，58。
二、概念形成
（1）概念的初步形成（学生观察分析并自学）
观察以上事例所给出的几列数：
① 1，4，9，16 ② 1, 2,
…;
24, 25, 26, 27,
22,
23,
…,263;
③ 20，25，30，35，40，45 · · · ； ④ 10，20，30，40，· · · ，5000； ⑤ 1， 2， 3， 4， 5， 6 ， · · · ，58. 问题：以上几列数有什么共同属性？
1 an ． 2n
巩 固 知 识 典 型 例 题
例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式. (1)5,10,15,20，…；
(2)
1 1 1 1 ， ， ，， ； 2 4 6 8
(3) −1，1，−1，1，…．
由数列的 解：（3）数列前4项与其项数的关系如下表： 有限项探求 序号 1 2 3 4 通项公式时 ，答案不一 an −1 −1 1 1 定是唯一的 ． 关系 (1)1 (1)2 (1)3 (1)4 由此得到，该数列的一个通项公式为
n 44 N* 3
所以，45不是数列 {3n 1} 中的项．
检测与反馈
思考题： 看图并回答问题
你知道第二十排木头的数目是多少吗？ 你知道堆到第二十排总共有多少木头吗？
7---6---5---4---3---2---1----
10 9， 8， 7， 6， 5， 4，
检测与反馈
A组题： 1.课本P5的练习6.1.2与习题6.1 （课本练习为基础练习，要求绝大多数同学都能掌握。） B组题：写出下列数列的一个通项公式：
项数无限的数列叫无穷数列
数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3， ，an ，
简记为
an ,其中 an
叫做数列的第n 项。
三、深化概念
思考
球队 骑士 多伦多猛龙 凯尔特人 热火 亚特兰大老鹰
胜场
44
42
38
37
36
2014---2015赛季，NBA东部球队前5名获胜 场次从高到低所构成的数列： 44,42,38,37,36与从低到高所构成的数列： 36,37,38,42是否表示同一个数列？
作业： 《练与考》P1-3除P2的第11题与 P3的第15题之外所有的题
解 （1）数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数n a n 关系 1 5 2 10 3 15 4 20
5 5 1 10 5 2 15 5 3 20 5 4
由此得到，该数列的一个通项公式为
an 5n．
例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.
(1)5,10,15,20，…；
三、深化概念 球员 进球数 C罗 10 梅西 10 内马 阿德利 尔 亚诺 10 9 穆勒 7 特维 斯 7
2015年欧冠射手榜，以上球员 的进球数能否构成数列？
三、深化概念 （3）概念的反思与巩固 1.说出生活中的一个数列实例． 2.数列“1，2，3，4，5”与 数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？ 3.设数列{an } 为“-5,-3,-1,1,3,5，…” ，指出其中