北方室内空气交换模型

V
房间净容量
m3
s
窗户打开时室内 CO2
%
浓度
ω1
新风的 CO2 的体积分 数
V2
通过排风口单位时间
m3/s
排除的气体体积
s0
房间内 CO2 初始浓度
%
st
时间为 t，通风换气时 CO2 浓度
%
模型取 0.03%
s0 ≈ 0.07% stmax ≈ 0.15%
五、模型建立与求解
要建立一个通风换气模型，首先应该根据影响空气质量的主要因素一室内 CO2的含量及自然通风原理来确定每天换气次数及每次换气时间，再综合分析并 优化改进。自然通风一般是利用室内外空气温度差引起的密度差从而引起的热压 或风力造成的风压两种形式来促进空气流通而进行的室内外通风换气。流程如图 1所示。 5.1.1 热压作用下的自然通风量的计算
列出1—1断面和2-2断面的伯努利方程为：
∆P1 + ρ0v12 / 2 + gh(ρ0 − ρi ) = ∆P2 + ρ1v22 / 2 + ξρ0v12 / 2
由于窗口1为突然扩大损失，故ξ = 1，又 v2 = 0 ，
所以上式可化简为：
∆P1 + gh( ρ0 − ρi ) = ∆P2
(1)
又列两截面连续方程：
速
ξ
空气流经 1—1 断面
的局部阻力系数
ti > t0 ξ =1
A1
窗孔 1 的面积
m3
A2
窗孔 2 的面积
m3
µ1
窗孔 1 的流量系数
µ1 ≈ µ2 = µ
µ2
窗孔 2 的流量系数
Lr
热压作用下的自然通
m3/s
风量
∆P
风压
Pa
µ1 ≈ µ2 = µ Lr =0.963 m3/s
K
空气动力系数
风压为正时 K>0，风 压为负时 K<0
冬季北方室内空气交换问题
摘要
北方冬季寒冷，室内外温差大。为保证室内空气质量和保暖需要，需要定期 开窗户。本文提出了一种解决冬季北方室内空气交换问题的优化数学模型。在探 讨特定人数下，不同面积的住房所需要的开窗次数和开窗换气时间。解决问题的 依据在于保证室内温度和空气中CO2浓度达到国家规定的室内空气质量标准的要 求。首先，利用热压计算公式和风压计算公式来解决自由通风量的问题。然后， 利用MATLAB 软件绘出换气总量与通风换气浓度关系图和换气总量与开窗次数的 关系图。最后，对典型北方居室换气问题进行了实例计算。结果表明，该模型能 取得通风换气最优解，为制定通风换气量的最小值提供依据，在保证室内空气质 量的同时，尽量使流通的空气量最少，从而达到节约能源的目的。
北
阳面
阴面
图2 冬季北方居室通风换气模型
2、假设决定室内空气质量的主要因素只考虑CO2 ，而不考虑其它气体的影响； 3、假设换气过程中室外气象条件(包括温度、风频、风向、风速等)不变。室内 外空气分布均匀； 4、换气过程中室内的空气保持均匀状态，而气体只在进出口流动； 5、假设新空气一进入室内就立刻与室内空气混合均匀； 6、不考虑关窗期间的自然渗漏风； 7、忽略房问气流流动的阻力损失。
⎞ −V2 t ⎟e V ⎠
+
Lω1 +Vr V2
由
s0
=
⎛ ⎜ st ⎝
−
Lω1 + Vr V2
⎞ −V2 t ⎟e V ⎠
+
Lω1 +Vr V2
得动态换气时间：
td
V =−
V2
ln(
s0
−
Lω1 + V2
Vr
st
−
Lω1 + Vr V2
)
（12）
5.1.5 模型求解
一个三口之家，考虑到一般是静止或轻微运动，查相关资料可得成年男子CO2 气体呼出量为O.022 m3/h，所以得：
(4)当居室面积为60 m2 时，最优解为每天开窗换气0．411225 x24=9．9 (次)， 每
次开窗换气时间283．739897／60=4．7(min)；
(5)当居室面积为80 m2 时，最优解为每天开窗换气0．308419 x24=7．4 (次)， 每
Vr =2.5xO.022/3600=1.53x10 (m3/s)
对儿童CO2呼出量按半个成人计算。
编程求解居室面积，分别是20 m2 ,40 m2 ，60 m2 ，80 m2 ，房间高度2．7m，对S 取
s0 ∼ st max 之间连续7个值时，求得每lh的开窗换气次数n、动态换气时间t 、静
态换气时间t 、每lh的换气总量H，并选取最优解，其关系曲线如图3、图4。 图3 换气总量与通风换气用浓度关系 （a） (b)
四、符号说明
变量
含义
单位
备注
∆P1
窗口 1 内外压差
Pa
∆P2
窗口 2 内外压差
Pa
ρi
房间内空气的密度
kg/m3
ρi =1.2 kg/m3
ρ0
房间外空气的密度
kg/m3
ρ0 =1.4 kg/m3
ti
房间内空气的温度
℃
t0
房间外空气的温度
℃
v1
1－1 断面的空气流
m3/s
速
v2
2－2 断面的空气流
m3/s
关键词： 空气交换；微积分模型； 优化模型； 节能
一、问题重述
北方冬季寒冷，室内外温差大。室内温度在 18℃以上人们才感到舒适。为 了保暖，各家各户门窗紧闭，减少了开窗换气的时间，使得室内的空气不流通导 致室内空气质量差，从而使人们易患呼吸道感染性疾病 。“经常开窗换气，保持 室内空气新鲜”，在北方已得到了人们的重视，那么，在房间面积一定的条件下， 已知室内外温度，每天应开窗换气几次，每次应换气多长时间，假设房间高度 2.7m，家庭人口 3 人，试针对如下情况建立数学模型解决这一问题。
风向为沿房间的纵向，则气流流量的近似值由下式求得：
Lf = 0.5kAv0
(5)
式中k一进排气口面积比系数，当风向为 450 时，
k值为原来的1/2 。
5.1.3 热压与风压共同作用下的自然通风量计算 现实情况中自然通风往往是热压与风压共同作用时的结果，自然通风量：
L = Lr ± Lf 冬天北方风向多为西北风，取此方向为模型风向(k值取k/2)，则可
ρ0µ1 A1 2∆P1 / ρ0 = ρiµ2 A2 2∆P1 / ρi
ρ0 A1 2∆P1 / ρ0 = ρi A2 2∆P2 / ρi
(2)
联立式(1)、式(2)得：
∆P1 = ρi A22gh(ρ0 − ρi ) /(ρ0 A12 − ρi A22 ) ∆P2 = ρi A22gh(ρ0 − ρi ) /(ρ0 A12 − ρi A22 ) + gh(ρ 0 − ρi ) 所以，热压作用下的自然通风量为：
v0
室外空气流速
m/s
Lf
气流流量
m3/s
Lf =0.415 m3/s
k
进排气口面积比系数
当风向为 45°时，k 值为原来的 1/2
A
进气口面积
m2
取 A=0.8 m2
L
自然通风量
m3/s
s'
窗户关闭时室内 CO2 浓度
%
Vr
室内人员单位时间呼
m3/s
出的 CO2 体积
t
换气时间
s
L = Lr − Lf
Lr = µ1A1 2∆P1 / ρ0
= µ1 A1 2ρi A22 gh(ρ0 − ρi )
(3)
( ) ρ0 ρ0 A12 − ρi A22
5.1.2 风压作用下的自然通风量的计算
风压值计算为：
∆P = K ρ0v02 / 2
(4)
计算风压作用下的自然通风量，需掌握房间周围空气流型、风速及风向，现假设
(c)
(d) 图4 换气总量与开窗换气次数关系实例计算
a)F=20m3 b)F=40m3 c)F=60m3 d)F=80m3 由图表可知： (1)每小时换气总量H与居室面积无关，且仅当 st = stmax ≈ 0.15% 时，H均取到最小 值，即在换气时保证室内空气质量的同时达到最大节能的目的； (2)当居室面积为20 m2 时，最优解为每天开窗换气1．233675 x24=29．6 (次)， 每次开窗换气时间94．579966／60=1．6(min)； (3)当居室面积为40 m2 时，最优解为每天开窗换气0．616838 x24=14．8(次)， 每次开窗换气时间189．159931／60=3．1(min)；
数据不具普遍适用性，只作模型参考)由此求得： Lr =0．936m /s， Lf = 0．415m3/s，所以
L=0.521m/s 5.1.4 建立换气过程微分方程 根据以上，可列出如下微分方程。
静态换气过程(窗户关闭)：
ds′ = Vr dt
V
(7)
动态换气过程(窗户打开)：
ds = Lω1dt + Vr dt − V2 sdt
⎞ ⎟ ⎠
=
−
V2 V
t
+
c
s − Lω1 +Vr
−V2 t
= ce V
即
V2
s
=
−V2 t
ce V
+
Lω1
+ Vr
V2
因此，由式(9)得静态换气时问：
ts
=
(st
− s0 )V Vr
由式(10)得，当t=O时．S=St．得：
（10） （11）
c
=
st