专题复习空间向量的应用

空间向量的应用

【高考趋势】

空间向量是解决立体几何问题的重要工具，利用空间向量运算可以判断立体几何中的线线、线面、面面之间的位置关系（主要是平行与垂直），可以利用直线的方向向量、平面的法向量求异面直线所成的角，以及直线与平面所成的角和两个平面所成的二面角，还可以求点到平面的距离.空间向量的知识不仅为我们提供了解决立体几何中定量计算（注意是求角和距离）的方法，也为解决立体几何中的定性分析（主要是平行与垂直的证明）提供的新的方法.可以预测用向量方法求解立体几何问题在数学高考的理科选修部分将会有所体现. 【预习单】

1．设点)1,4,2(),2,1,0(B A -，则直线AB 的一个方向向量是 .

2．已知向量b a ,满足4,3==b a ，a 与b 的夹角是0

120，则=+b a 2 .

3．若向量)1,1,1(),1,2,1(),,1,1(===c b x a ，满足2)2()(-=⋅-b a c

，则=x .

4．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P N M ,,分别是棱111,,B A BC CC 上的点，若

0190=∠MN B ，则PMN ∠的大小是 .

5．点)5,1,1(),6,1,2(),3,2,0(--C B A 为空间三点，若向量n

分别与向量AC AB ,垂直，且

3=n

，则向量n 的坐标为 .

6．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，AD AB DAB 2,600

==∠，

AD PD ABCD PD =⊥,底面，则二面角C PB A --的余弦值为 .

【活动单】

例1．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱ABCD PD 底面⊥，

DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F .证明：

（1）EDB PA 平面//； （2）EFD PB 平面⊥.

例2．如图，在三棱锥ABC V -中，的中点是底面AB D BC AC ABC VC ,,⊥⊥，且

)2

0(,π

θθ<

<=∠==VDC a BC AC .

（1）求证：VCD VAB 平面平面⊥；

（2）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围.

例3．如图，四边形PCBM 是直角梯形，,2,1,//,900===∠BC PM BC PM PCB 又

PC AB ACB AC ⊥=∠=,120,10，直线AM 与直线PC 所成的角为060.

（1）求证：ABC PAC 平面平面⊥； （2）求二面角B AC M --的余弦值； （3）求三棱锥MAC P -的体积.

【反思单】

用空间向量处理某些立体几何问题，可以为我们提供处理立体几何问题的视角.特别是引入空间直角坐标系及其向量运算，沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想，为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加了一种理想的代数工具.如何选择基向量或建立适当的空间直角坐标系，灵活选择向量方法，特别是用好直线的方向向量和平面的法向量，把空间求角、求距离问题转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角、投影问题是解决立体几何问题的关键. 【巩固单】

1．已知4

,3,22π的夹角为与q p q p ==，则以q p b q p a

3,25-=+=为邻边的平行

四边形的较短的对角线长为 .

2．已知)1,1,0(),0,1,1(),0,1,0(),0,0,0(C B A O ，则异面直线BC OA 与所成的角的大小为 .

3．在正方体1AC 中，1DD M 为棱的中点，11B A P ABCD O 为棱的中心，

为底面上任意一点，则直线AM OP 与所成的角的度数是 .

4．已知向量c a c b a c b a

与则若,7)(,14),6,4,2(),3,2,1(=⋅+=---==的夹角的大小

为 .

5．如图，已知111C B A ABC -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，则点D AB C 11到平面的距离为 .

6．已知平面α内有一个点)2,1,1(-M ，平面α的一个法向量是)6,3,6(-=n

，给出下列各点：①)3,3,2(P ；②)1,0,2(-P ；③)4,3,3(-P .则点P 中在平面α内的是 .（填写所以你认为在平面α内的点的序号）

7．设βα,是不重合的两个平面，它们的法向量分别为n m ,，直线l 的方向向量为e

，若

n e m e

//,//，则βα与的位置关系为 .

8．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥ABC P -的体积为 .

9．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，2,==⊥AD PA ABCD PA 平面，所成角的余弦值为与平面则直线于点ACM CD M PD BM AB ,,1⊥= .

10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，11,2,1CC P D D AD 在棱点==上，且

2

1π

=

∠PB A .

（1）求PC 的长；

（2）求钝二面角P B A A --1的余弦值.

11．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，AC AB AC AB AA ⊥===,1

1，1CC M 是的中点，BC N 是的中点，点11B A P 在上，且满足111B A A λ=.

（1）证明：AM PN ⊥；

（2）当λ取何值时，直线θ所成的角与平面ABC PN 最大？并求该角取最大值时的正切值；

（3）是否存在点0

45所成的二面角为

与平面使平面ABC PMN P ？