第十五章 虚位移原理

3、连接两个质点的无重刚杆 、
δr2 ϕ 2
F2 F1
ϕ1
δr1 cos ϕ1 = δr2 cos ϕ 2
B
∑ δW
=0
N
=F1 ⋅ δr1 + F2 ⋅ δr2
= F1δr1 cos ϕ1 − F2 δr2 cos ϕ 2
A δr 1
4、连接两个质点的不可伸长的柔索 、
F1 A
ϕ1Ｏຫໍສະໝຸດ F2δr 1B
δWN = ∑ δWNi = ∑ FNi ⋅ δri = 0
理想约束的例子： 理想约束的例子： 1、光滑固定面 、 2、光滑铰链 、
δr
δr
FN
FN
' FN
δW N = FN ⋅ δr = 0
' δW N = FN ⋅ δr + FN ⋅ δr = 0 ∑
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
F1 A F2 O
δrB
B
F1 A
F2 O B
δrA
δϕ
δrA
δϕ
δrB
杆AB平衡 平衡
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
必须注意：虚位移与实际位移(简称实位移) 不同的。 必须注意：虚位移与实际位移(简称实位移)是不同的。 实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移， 实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除 了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始 了与约束条件有关外，还与时间、 条件有关。而虚位移仅与约束条件有关。 条件有关。而虚位移仅与约束条件有关。 因为虚位移是任意的无限小的位移， 因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束 的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个， 的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移视 约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。 约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。 对于非定常约束,某个瞬时的虚位移是将时间固定后 某个瞬时的虚位移是将时间固定后， 对于非定常约束 某个瞬时的虚位移是将时间固定后， 约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的， 约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以 这时实位移不一定是虚位移中的一个。 这时实位移不一定是虚位移中的一个。 对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示， 对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例 如 dr , dx, dϕ …等。 等
运动约束
ϕ
l
v A − rω = 0
或
几何约束
x2 + y2 = l 2
几何约束
& & x A − rϕ = 0
yA = r
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
(2)定常约束和非定常约束 (2)定常约束和非定常约束 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。 约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。 约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。
y
O
x
A(xA, yA)
ϕ
y
l
O
r
l
B(xB, yB) x
M (x,y)
约束方程： 约束方程：
x2 + y2 = l 2
约束方程: 约束方程 2 2 2 xA + yA = r 2 2 2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) = l
yB = 0
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
O x O x
ϕ
杆 y
l y
ϕ
绳 M (x,y)
l
M (x,y)
约束方程： 约束方程： x2 + y2 = l 2
约束方程： 约束方程：
x2 + y2 ≤ l 2
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
本章只讨论定常的双面的几何约束， 本章只讨论定常的双面的几何约束，其约束方程的一 定常的双面的几何约束 般形式为
FA
A
给系统虚位移(如图) 给系统虚位移(如图) 列虚功方程： 列虚功方程：
l
δrA
O
ϕ
δrB
B
F A δ rA − F B δ rB = 0
而 δ rA ⋅ sin
FB
所以 这种方法称为几何法 这种方法称为几何法
ϕ = δ rB ⋅ cos ϕ ( FA − FB tanϕ ) ⋅ δrA = 0 FA = FB tanϕ
FA
A
列虚功方程： 列虚功方程：
δrA
O
l
ϕ
F A δ rA − F B δ rB = 0 δrB vB l sin ϕ ⋅ ω = = tan ϕ = 而 δrA v A l cos ϕ ⋅ ω δrB ( FA − FB tanϕ ) ⋅ δrA = 0 F
C B
B
所以
FA = FB tanϕ
13.2 虚位移原理及应用
约束方程
xA − rϕ = 0 & &
积分， 积分，得
xA − rϕ = c
该约束仍为完整约束。 该约束仍为完整约束。
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 非完整约束是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
用解析法。建立图示坐标系，由虚功方程： 用解析法。建立图示坐标系，由虚功方程：
∑ ( F δx +F
xi i
yi
δyi + Fzi δzi ) = 0
y FA
得
− FB δxB − FAδy A = 0
A
写出A，B点的坐标，为 点的坐标， 写出 ， 点的坐标
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
三、虚功 力在虚位移中作的功称为虚功。 力在虚位移中作的功称为虚功。 虚功 设某质点受力F作用。 设某质点受力 作用。设想给质 作用 则力F在虚位移 点一虚位移 δr，则力 在虚位移 δr上 作的功称为虚功， 作的功称为虚功，即 m F
δϕ
δr
δW = F ⋅ δr
O x O l ϕ y x v
ϕ
y
2
l
M (x,y)
M (x,y)
x + y =l
2
2
设开始时摆长： 设开始时摆长：l0
x 2 + y 2 = (l0 − vt ) 2
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
(3)完整约束和非完整约束 (3)完整约束和非完整约束 如果约束方程中含有坐标对时间的导数(如运动约束) 如果约束方程中含有坐标对时间的导数(如运动约束) 而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约 而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约 非完整约束方程总是微分方程的形式。 束。非完整约束方程总是微分方程的形式。 如果约束方程中不含坐标对时间的导数，或者约束方 如果约束方程中不含坐标对时间的导数， 程中虽有坐标对时间的导数， 程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运 完整约束。 算化为有限形式，则这类约束称为完整约束 算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。 完整约束方程的一般形式为 f j ( x1 , y1 , z1 , L, xn , yn , z n ; t ) = 0
13.1 约束·虚位移·虚功 约束·虚位移·
(4)单面约束和双面约束 (4)单面约束和双面约束 限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。 限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。 单面约束 在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限 制的约束称为双面约束 双面约束。 制的约束称为双面约束。
13.2 虚位移原理及应用
为求虚位移间的关系，也可以用所谓的“虚速度法” 为求虚位移间的关系，也可以用所谓的“虚速度法”。 内发生的， 假想虚位移δrA ， rB 是在某个极短的时间 内发生的，这 δ 是在某个极短的时间dt内发生的
δrB δrA 时对应点A和 的速度 称为虚速度。 时对应点 和B的速度 v A = 和 vB = 称为虚速度。 dt dt
(1)几何约束和运动约束 (1)几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 限制质点或质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。 限制质点或质点系运动情况的运动学条件 称为运动约束。 称为运动约束
O x y A vA ω y r M (x,y) C x
∑ F ⋅ δr + ∑ F
i i
Ni
⋅ δri = 0
13.2 虚位移原理及应用
∑ F ⋅ δr + ∑ F
i i
Ni
⋅ δri = 0
如果质点系具有理想约束， 如果质点系具有理想约束，则 所以
∑F
Ni
⋅ δri = 0
∑ F ⋅ δr = 0
i i
可证明,上式不仅是质点系平衡的必要条件 也是充分条件 可证明 上式不仅是质点系平衡的必要条件,也是充分条件。 上式不仅是质点系平衡的必要条件 也是充分条件。 因此可得结论：对于具有理想约束的质点系， 因此可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡 的充分必要条件是： 的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚 位移中所作虚功的和等于零。该结论称为虚位移原理 虚位移原理， 位移中所作虚功的和等于零。该结论称为虚位移原理，又 称为虚功原理 上式称为虚功方程 虚功原理。 虚功方程。 称为虚功原理。上式称为虚功方程。 上式也可写成解析表达式， 上式也可写成解析表达式，即
mi 若给质点系以某种虚位移，其中质点 若给质点系以某种虚位移， FNi mi的虚位移为 δri , 则作用在质点 i上 则作用在质点m Fi δri 的力作虚功的和为 Fi ⋅ δri + FNi ⋅ δri = 0 对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。 对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。 将这些等式相加， 将这些等式相加，得