【小初高学习]2018年高考数学 专题突破练 4 数列中的典型题型与创新题型 文

专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型一、选择题1. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝a 23·a 23·a 3＝a 53＝a 51·q 10. 因为a 1＝1，|q |≠1，所以a m ＝a 51·q 10＝a 1q 10，所以m ＝11.3．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝0，则S n 取最大值时n 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或3答案 D解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝0，∴a 3＝0.∵d <0，∴{a n }的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故S n 取最大值时n 等于2或3，故选D.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11答案 B解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6，∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d ＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.故选B.5．已知等差数列：1，a 1，a 2,9；等比数列：－9，b 1，b 2，b 3，－1.则b 2(a 2－a 1)的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D.89 答案 B解析 a 2－a 1＝d ＝9－13＝83；又b 22＝b 1b 3＝(－9)×(－1)＝9，因为b 2与－9、－1同号，所以b 2＝－3.所以b 2(a 2－a 1)＝－8.6．约瑟夫规则：将1,2,3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1,3,5,7，….当n ＝65时，剩余的一个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 将1,2,3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1,3,5,7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16,8,4,2,1，最后剩余2，故选B.7．[2016·山西太原模拟]在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132答案 D解析 设{a n }公差为d ，∵a 9＝12a 12＋6，∴a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6，∴a 1＋5d ＝12，即a 6＝12.∴数列{a n }的前11项和S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋(a 5＋a 7)＋a 6＝11a 6＝132.故选D.8．[2016·广东广州模拟]在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B.n－23C ．4n－1 D.4n－13答案 D解析 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以{a 2n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n－13，故选D.9．[2017·湖北启东质检]将向量a 1＝(x 1，y 1)，a 2＝(x 2，y 2)，…，a n ＝(x n ，y n )组成的系列称为向量列{a n }，并定义向量列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．若向量列{a n }是等差向量列，则下面四个向量中，与S 21一定平行的向量是( )A ．a 10B ．a 11C ．a 20D ．a 21答案 B解析 在等差数列{a n }中，S 21＝a 1＋a 212＝21·2a 112＝21a 11，类比等差数列的性质有S 21＝21a 11，故与S 21一定平行的是a 11.10．[2016·福建泉州检测]已知数列{a n }中，a 1＝t ，a n ＋1＝a n 2＋2a n，若{a n }为单调递减数列，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2,0)C ．(0,2)D ．(2，＋∞)答案 D解析 由题意可知：对一切正整数n ，均有a n ＋1<a n ，则当n ＝1也成立，即a 2<a 1，也即t2＋2t<t ，解之得t >2，故应选D.11．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212答案 C解析 由已知，b 1b 2…b 20＝a 2a 1·a 3a 2…a 21a 20＝a 21a 1＝a 212.因为{b n }为等比数列，则b 1b 2…b 20＝(b 10b 11)10＝210，所以a 21＝2b 1b 2…b 20＝211，选C.12．[2016·邯郸模拟]在公差不为0的等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝a p ＋a q ，记1p ＋9q的最小值为m .若数列{b n }满足b 1＝211m,2b n ＋1－b n ·b n ＋1＝1.则b 1＋b 222＋b 332＋…＋b 1001002＝( ) A.97100 B.99100 C.100101D.102101答案 C解析 在等差数列{a n }中，由a 2＋a 4＝a p ＋a q ，得p ＋q ＝6，p ，q ∈N *，所以当p ＝1，q ＝5时，1p ＋9q ＝145；当p ＝2，q ＝4时，1p ＋9q ＝114；当p ＝3，q ＝3时，1p ＋9q ＝103；当p ＝4，q＝2时，1p ＋9q ＝194；当p ＝5，q ＝1时，1p ＋9q ＝465.所以当且仅当p ＝2，q ＝4时，1p ＋9q 取最小值114，所以m ＝114，即b 1＝12.由2b n ＋1－b n ·b n ＋1＝1可得b n ＋1＝12－b n .由b 1＝12，则b 2＝12－12＝23，b 3＝12－23＝34，…，归纳出b n ＝n n ＋1，代入到2b n ＋1－b n ·b n ＋1＝1使等式成立．所以b n n2＝1n n ＋＝1n －1n ＋1，所以b 1＋b 222＋b 332＋…＋b 1001002＝100101. 二、填空题13．设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 n 2解析 ∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是公差d 为2的等差数列．又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1，∴S n ＝n ＋n n －2×2＝n 2.14．设数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q (n ∈N *，p >0)．数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值．若p ＝12，q ＝－13，则b 3＝________.答案 7解析 由题意得a n ＝12n －13，解12n －13≥3，得n ≥203，∴12n －13≥3成立的所有n 中的最小整数为7，即b 3＝7.15．[2016·湖北联考]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(其中n ∈N *)，若第m 项是数列{a n }中的最小项，则a m ＝________.答案 －516解析 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，得y ＝－8t 3＋9t 2－3t ，y ′＝－24t 2＋18t －3＝－3(2t －1)(4t －1)，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，y ′>0，所以当t ＝14时，取得最小值－516. 16．[2016·安徽淮南模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析 设数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，∵b 1＝1，∴n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋122n n －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得：(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵上式对任意n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧dk －＝0，k －－d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14，∴b n ＝2n －1.三、解答题17．已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12，a 20＝a 1＋19d ＝－18，∴a 1＝20，d ＝－2.∴a n ＝20＋(n －1)(－2)＝－2n ＋22.(2)易知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤11，2n －22，n >11，∴n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22) ＝n－2n ＋2＝(21－n )n ；n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋n －＋2n －2＝n 2－21n ＋220.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n n ，n ≤11，n 2－21n ＋220，n >11.18．[2017·山西四校联考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－a n ，其中n ∈N *. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ＝1时，S 1＝1－a 1，解得a 1＝12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(1－a n )－(1－a n －1)＝a n －1－a n ，化简整理得a n a n －1＝12(n ≥2)， 因此，数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，从而a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)由(1)可得T n ＝1·12＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∴12T n ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋112－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴T n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝14，a n ＋1＝S n ＋t 16(n ∈N *，t >－4)，令b n ＝lg a n＋1.(1)若{a n }成等比数列，求t 的值；(2)若t ＝－3，设数列{b n }前n 项和为T n ，n 为何值时T n 取最小值． 解 (1)∵a n ＋1＝S n ＋t16，①a n ＝S n －1＋t16，②①－②得a n ＋1＝2a n (n ≥2)． 若{a n }成等比数列，则a 2＝S 1＋t 16＝4＋t 16＝2a 1＝12.解得t ＝4>－4成立，∴t ＝4. (2)a 2＝116，b 1＝lg 116＝－4lg 2，n ≥1时，b n ＝b 1＋(n －1)lg 2＝(n －5)lg 2， n ≤4时，b n <0，b 5＝0，n ≥6时b n >0.∴n ＝4和n ＝5时T n 取最小值．20．[2016·江西五市八校联考]已知公差不为零的等差数列{a n }，满足a 1＋a 3＋a 5＝9，且a 1，a 4，a 16成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)∵a 1＋a 3＋a 5＝9，∴3a 3＝9，∴a 3＝3. ∵a 1，a 4，a 16成等比数列，∴a 24＝a 1a 16. ∴(3＋d )2＝(3－2d )(3＋13d )．∵d ≠0，∴d ＝1，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)＝n . (2)由(1)得b n ＝1a n a n ＋1a n ＋2＝1nn ＋n ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1nn ＋－1n ＋n ＋∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2－12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋…＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1n n ＋－1n ＋n ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－1n ＋n ＋＝14－1n ＋n ＋.21．[2016·广东江门模拟]已知{a n }是正项等差数列，∀n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和S n ＝n 2n ＋4. (1)求a n ；(2)设b n ＝(－1)n a 2n ，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)依题意，设a n ＝α＋βn (α、β是常数，且β>0)．S 1＝1a 1·a 2，即(α＋β)(α＋2β)＝6，1a 2·a 3＝S 2－S 1，即(α＋2β)(α＋3β)＝12. 解⎩⎪⎨⎪⎧α＋βα＋2β＝6，α＋2βα＋3β＝12得⎩⎪⎨⎪⎧α＝－1，β＝－1(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，β＝1，a n ＝n ＋1.(2)由(1)得b n ＝(－1)n (n ＋1)2，b n －1＋b n ＝(－1)n·[]n ＋2－n 2＝(－1)n (2n ＋1)．n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b n －1＋b n )＝5＋9＋…＋(2n ＋1)＝n n ＋2，n 为奇数时，T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b n －2＋b n －1)＋b n＝5＋9＋…＋(2n －1)－(n ＋1)2＝n －n ＋2－(n ＋1)2＝－n 2＋3n ＋42.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋3n ＋42，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.。