M2B109 以图代数

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线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第二章、行列式习题答案

a
(a 0)Dn 0 0n 0n2 an an2 综上所述， Dn an an2
8.（1）当 A 0 时，利用反证法.
假设 A 0
( A )( A )1 E
A A(A)(A)1 A E(A)1 O
A 0
A 0
第二章
行列式习题答案
1.
利用三阶行列式求解方程组x21x1
2
x2 x2

x3 3x3
2 1
1 2 1
x1 x2 x3 0
D 2 1 3 50
1 1 1
1 2 2
D3 2 1 1 5
2 2 1
1 1 0
D1 1 1 3 5 0 1 1
1 2 1 D2 2 1 3 10
1 0 1
xi

Di D

x1 x2

1 2
x3 1
2. 当x取何值时，
3 4
1 x
x 0 0
10x
2x(x 2) 0
x0 且 x2
3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13 (2n 1)24 (2n)) n(n 1)
A E A E 0 E AB
a1 0 an
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an 1 1 0

1 0 1
n
c1

i2
ci
1 1 1 1 1 1
a1 a2
an a2
an
a1a2 an
0
1 0

线性代数课后答案(高等教育出版社)

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)38114112---;解38114112---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111cbacba;解222111cbacba=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).4.计算下列各行列式:(1)71125102214214;解7112510221421411423102211021473234-----======cccc34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=014171721099323211=-++======cccc.(2)265232112131412-;解265232112131412-265321221341224--=====cc412321221341224--=====rr321221341214=--=====rr.(3)efcfbfdecdbdaeacab---;解efcfbfdecdbdaeacab---ecbecbecba d f---=a b c d e fa d fbc e4111111111=---=.(4)dcba111111---.解dcba111111---dcbaabarr11111121---++=====dcaab1111)1)(1(12--+--=+111123-+-++=====cdcadaabdcccdadab+-+--=+111)1)(1(23=abcd+ab+cd+ad+1.6. 证明:(1)1112222bbaababa+=(a-b)3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--==(a -b)3 .(2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x byax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x byax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x yx z x z y b y x z x z y z y x a 33+=y x z xz y z y x b y x z x z y z y x a 33+=y x z xz y z y x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(Dk 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a ann n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=an -an -2=an -2(a2-1).(2)x a a a x aa ax D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a](x -a)n第二章矩阵及其运算 1. 计算下列乘积:(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321xx x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB . 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 4. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B)(A -B)=A2-B2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A2-B2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A2-B2.5. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A2=0, 但A ≠0. (2)若A2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求Ak .解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A kk k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ .用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明BTAB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以 (BTAB)T =BT(BTA)T =BTA TB =BTAB , 从而BTAB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a1a2⋅ ⋅ ⋅an ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A11.解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A8(5E -6A +A2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 21. 设Ak =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.证明因为Ak =O , 所以E -Ak =E . 又因为 E -Ak =(E -A)(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1), 所以 (E -A)(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.证明一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由Ak =O , 有E =(E -A)+(A -A2)+A2-⋅ ⋅ ⋅-Ak -1+(Ak -1-Ak) =(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.22. 设方阵A 满足A2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明由A2-A -2E =O 得 A2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A2-A -2E =O 得A2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 EA E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A2-A -2E =O 得A2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A2, |A +2E|=|A2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E ⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. )~⎪⎪⎭⎝--231(下一步: r2÷(-1), r3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131121(下一步: r3-r2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--331121(下一步: r3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131121(下一步: r2+3r3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11121(下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛111.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------1243323221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------1243323221453334311(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010566388434311(下一步: r2÷(-4), r3÷(-3) , r4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭ ⎝---2210022********(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/12/1121112/33/26/71故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2121211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1212321122123.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111212321122123~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----131111225941212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------214311112111212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612431111111212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------1061263111`1221111121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010*********故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A TXT =BT . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TTB A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1TTTB A X , 从而⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.12. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R(A)=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R(A)=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时, R(A)=3. P106/1.已知向量组A : a1=(0, 1, 2, 3)T , a2=(3, 0, 1, 2)T , a3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b1=(2, 1, 1, 2)T , b2=(0, -2, 1, 1)T , b3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R(A)=R(A , B)=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B知R(B)=2. 因为R(B)≠R(B , A), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ;(2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为22200043012||≠=-=B ,所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？a1=(a , 1, 1)T , a2=(1, a , -1)T , a3=(1, -1, a)T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R(A)<3, 此时向量组线性相关.9.设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明由已知条件得a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1, 于是 a1 =b1-b2+a3=b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1, 从而 b1-b2+b3-b4=0,这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a1=(1, 2, -1, 4)T , a2=(9, 100, 10, 4)T , a3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14011313021512012211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a , b .解设a1=(a , 3, 1)T , a2=(2, b , 3)T , a3=(1, 2, 1)T , a4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a =2, b =5.20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4xx x x x . 取(x3, x4)T =(4, 0)T , 得(x1, x2)T =(-16, 3)T ; 取(x3, x4)T =(0, 4)T , 得(x1, x2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(xx x x x x . 取(x3, x4)T =(19, 0)T , 得(x1, x2)T =(-2, 14)T ; 取(x3, x4)T =(0, 19)T , 得(x1, x2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B .与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=2 13 843231x x x x x .当x3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=0 43231x x x x x .当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x .当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解 η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x .分别取(x3, x4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系 ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。

大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版

= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2

2021年10月04184线性代数真题及答案

2021年10月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.已知2阶行列式D的第1行元素及其余子式都为a，则D的值为（）A.0B.a2C.−a2D.2a2【答案】A2.若A,B,C均是n阶矩阵，且满足ABC=E，则B−1=（）A.ACB.CAC.A−1C−1D.C−1A−1【答案】B【解析】ABC=E，B=(AC)−1，B−1=CA.3.设向量组(1,1,1)T，(a,1,0)T，(1,b,0)T线性相关，则数a,b可取值为（）A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1【答案】D4.设非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n阶矩阵，r(A)=r，则（）A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，Ax=b有无穷多解C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解【答案】C5.设矩阵A=(1111)，B=(2000)，则A与B的关系为（）A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同【答案】A第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.行列式|a11a12a21a22|中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+ a12A22=_________。

【答案】07.设α1,α2,β1,β2是3维列向量，且3阶行列式|α1,α2,β3|=m，|α2,β2,α1|=n，则|α2,α1,β1+β2|=_________。

【答案】−m−n8.若a=(1,2,3,4)T，则a T a=_________。

【答案】309.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到单位矩阵A，则A=_________。

学科代码查询

110数学110.11数学史110.14数理逻辑与数学基础110.1410演绎逻辑学亦称符号逻辑学110.1420证明论亦称元数学110.1430递归论110.1440模型论110.1450公理集合论110.1460数学基础110.1499数理逻辑与数学基础其他学科110.17数论110.1710初等数论110.1720解析数论110.1730代数数论110.1740超越数论110.1750丢番图逼近110.1760数的几何110.1770概率数论110.1780计算数论110.1799数论其他学科110.21代数学110.2110线性代数110.2115群论110.2120域论110.2125李群110.2130李代数110.2135 Kac-Moody代数110.2140环论包括交换环与交换代数，结合环与结合代数，非结合环与非结合代数等110.2145模论110.2150格论110.2155泛代数理论110.2160范畴论110.2165同调代数110.2170代数K理论110.2175微分代数110.2180代数编码理论110.2199代数学其他学科110.24代数几何学110.27几何学110.2710几何学基础110.2715欧氏几何学110.2720非欧几何学包括黎曼几何学等110.2725球面几何学110.2730向量和张量分析110.2735仿射几何学110.2740射影几何学110.2745微分几何学代码学科名称说明110.2750分数维几何110.2755计算几何学110.2799几何学其他学科110.31拓扑学110.3110点集拓扑学110.3115代数拓扑学110.3120同伦论110.3125低维拓扑学110.3130同调论110.3135维数论110.3140格上拓扑学110.3145纤维丛论110.3150几何拓扑学110.3155奇点理论110.3160微分拓扑学110.3199拓扑学其他学科110.34数学分析110.3410微分学110.3420积分学110.3430级数论110.3499数学分析其他学科110.37非标准分析110.41函数论110.4110实变函数论110.4120单复变函数论110.4130多复变函数论110.4140函数逼近论110.4150调和分析110.4160复流形110.4170特殊函数论110.4199函数论其他学科110.44常微分方程110.4410定性理论110.4420稳定性理论110.4430解析理论110.4499常微分方程其他学科110.47偏微分方程110.4710椭圆型偏微分方程110.4720双曲型偏微分方程110.4730抛物型偏微分方程110.4740非线性偏微分方程110.4799偏微分方程其他学科110.51动力系统110.5110微分动力系统110.5120拓扑动力系统110.5130复动力系统110.5199动力系统其他学科110.54积分方程110.57泛函分析代码学科名称说明110.5710线性算子理论110.5715变分法110.5720拓扑线性空间110.5725希尔伯特空间110.5730函数空间110.5735巴拿赫空间110.5740算子代数110.5745测度与积分110.5750广义函数论110.5755非线性泛函分析110.5799泛函分析其他学科110.61计算数学110.6110插值法与逼近论110.6120常微分方程数值解110.6130偏微分方程数值解110.6140积分方程数值解110.6150数值代数110.6160连续问题离散化方法110.6170随机数值实验110.6180误差分析110.6199计算数学其他学科110.64概率论110.6410几何概率110.6420概率分布110.6430极限理论110.6440随机过程包括正态过程与平稳过程、点过程等110.6450马尔可夫过程110.6460随机分析110.6470鞅论110.6480应用概率论具体应用入有关学科110.6499概率论其他学科110.67数理统计学110.6710抽样理论包括抽样分布、抽样调查等110.6715假设检验110.6720非参数统计110.6725方差分析110.6730相关回归分析110.6735统计推断110.6740贝叶斯统计包括参数估计等110.6745试验设计110.6750多元分析110.6755统计判决理论110.6760时间序列分析110.6799数理统计学其他学科110.71应用统计数学110.7110统计质量控制110.7120可靠性数学110.7130保险数学110.7140统计模拟代码学科名称说明110.7199应用统计数学其他学科110.74运筹学110.7410线性规划110.7415非线性规划110.7420动态规划110.7425组合最优化110.7430参数规划110.7435整数规划110.7440随机规划110.7445排队论110.7450对策论亦称博奕论110.7455库存论110.7460决策论110.7465搜索论110.7470图论110.7475统筹论110.7480最优化110.7499运筹学其他学科110.77组合数学110.81离散数学110.84模糊数学110.87应用数学具体应用入有关学科110.99数学其他学科120信息科学与系统科学120.10信息科学与系统科学基础学科120.1010信息论120.1020控制论120.1030系统论120.1099信息科学与系统科学基础学科其他学科运筹学见110·74120.20系统学微分动力系统见110·5110120.2010混沌120.2020一般系统论120.2030耗散结构理论120.2040协同学120.2050突变论120.2060超循环论120.2099系统学其他学科120.30控制理论120.3010大系统理论120.3020系统辩识120.3030状态估计120.3040鲁棒控制120.3099控制理论其他学科120.40系统评估与可行性分析120.50系统工程方法论120.5010系统建模代码学科名称说明决策分析见630·5035决策支持系统见630·5040管理信息系统见630·5045120.5099系统工程方法论其他学科120.60系统工程各学科系统工程入有关学科120.99信息科学与系统科学其他学科130力学130.10基础力学130.1010理论力学130.1020理性力学130.1030非线性力学130.1040连续介质力学130.1050摩擦学130.1060柔性多体力学130.1070陀螺力学130.1080飞行力学130.1099基础力学其他学科130.15固体力学130.1510弹性力学130.1515塑性力学包括弹塑性力学130.1520粘弹性、粘塑性力学130.1525蠕变130.1530界面力学与表面力学130.1535疲劳130.1540损伤力学130.1545断裂力学130.1550散体力学130.1555细观力学130.1560电磁固体力学材料力学见430·1010130.1565结构力学130.1570计算固体力学130.1575实验固体力学130.1599固体力学其他学科130.20振动与波130.2010线性振动力学130.2020非线性振动力学130.2030弹性体振动力学130.2040随机振动力学130.2050振动控制理论130.2060固体中的波130.2070流体—固体耦合振动130.2099振动与波其他学科130.25流体力学130.2511理论流体力学130.2514水动力学130.2517气体动力学130.2521空气动力学代码学科名称说明130.2524悬浮体力学130.2527湍流理论130.2531粘性流体力学130.2534多相流体力学130.2537渗流力学130.2541物理—化学流体力学130.2544等离子体动力学130.2547电磁流体力学130.2551非牛顿流体力学130.2554流体机械流体力学130.2557旋转与分层流体力学130.2561辐射流体力学130.2564计算流体力学130.2567实验流体力学130.2571环境流体力学130.2599流体力学其他学科130.30流变学130.35爆炸力学130.3510爆轰与爆燃理论130.3520爆炸波、冲击波、应力波130.3530高速碰撞动力学130.3599爆炸力学其他学科130.40物理力学130.4010高压固体物理力学130.4020稠密流体物理力学130.4030高温气体物理力学130.4040多相介质物理力学130.4050临界现象与相变130.4060原子与分子动力学130.4099物理力学其他学科130.45统计力学130.50应用力学具体应用入有关学科130.99力学其他学科140物理学140.10物理学史140.15理论物理学140.1510数学物理140.1520电磁场理论140.1530经典场论140.1540相对论与引力场140.1550量子力学140.1560统计物理学140.1599理论物理学其他学科140.20声学140.2010物理声学140.2020非线性声学140.2030量子声学140.2040超声学代码学科名称说明140.2050水声学140.2060应用声学具体应用入有关学科140.2099声学其他学科140.25热学140.2510热力学140.2520热物性学140.2530传热学140.2599热学其他学科140.30光学140.3010几何光学140.3015物理光学140.3020非线性光学140.3025光谱学140.3030量子光学140.3035信息光学140.3040导波光学140.3045发光学140.3050红外物理140.3055激光物理140.3060应用光学具体应用入有关学科140.3099光学其他学科140.35电磁学140.3510电学磁学见140·5065140.3520静电学140.3530静磁学140.3540电动力学140.3599电磁学其他学科140.40无线电物理140.4010电磁波物理140.4020量子无线电物理140.4030微波物理学140.4040超高频无线电物理140.4099无线电物理其他学科140.45电子物理学140.4510量子电子学140.4520电子离子与真空物理140.4530带电粒子光学140.4599电子物理学其他学科140.50凝聚态物理学140.5010凝聚态理论140.5015金属物理学140.5020半导体物理学140.5025电介质物理学140.5030晶体学包括晶体生长、晶体化学等140.5035非晶态物理学140.5040液晶物理学140.5045薄膜物理学代码学科名称说明140.5050低维物理140.5055表面与界面物理学140.5060固体发光140.5065磁学140.5070超导物理学140.5075低温物理学140.5080高压物理学摩托学见130·1050140.5099凝聚态物理学其他学科140.55等离子体物理学140.5510热核聚变等离子体物理学140.5520低温等离子体物理学140.5530等离子体光谱学140.5540凝聚态等离子体物理学140.5550非中性等离子体物理学140.5599等离子体物理学其他学科140.60原子分子物理学140.6010原子与分子理论140.6020原子光谱学140.6030分子光谱学140.6040波谱学140.6050原子与分子碰撞过程140.6099原子分子物理学其他学科140.65原子核物理学140.6510核结构140.6515核能谱学140.6520低能核反应140.6525中子物理学140.6530裂变物理学140.6535聚变物理学140.6545重离子核物理学140.6550中高能核物理学140.6599原子核物理学其他学科140.70高能物理学140.7010基本粒子物理学140.7020宇宙线物理学140.7030粒子加速器物理学140.7040高能物理实验140.7099高能物理学其他学科140.75计算物理学140.80应用物理学具体应用入有关学科140.99物理学其他学科150化学150.10化学史150.15无机化学150.1510元素化学150.1520配位化学代码学科名称说明150.1530同位素化学150.1540无机固体化学150.1550无机合成化学150.1560无机分离化学150.1570物理无机化学150.1580生物无机化学150.1599无机化学其他学科150.20有机化学150.2010元素有机化学包括金属有机化学等150.2020天然产物有机化学150.2030有机固体化学150.2040有机合成化学150.2050有机光化学150.2060物理有机化学包括理论有机化学、立体化学等150.2070生物有机化学150.2099有机化学其他学科150.25分析化学150.2510化学分析包括定性分析、定量分析等150.2515电化学分析150.2520光谱分析150.2525波谱分析150.2530质谱分析150.2535热谱分析150.2540色谱分析150.2545光度分析150.2550放射分析150.2555状态分析与物相分析150.2560分析化学计量学150.2599分析化学其他学科150.30物理化学150.3010化学热力学150.3015化学动力学包括分子反应动力学等150.3020结构化学包括表面化学、结构分析等150.3025量子化学150.3030胶体化学与界面化学150.3035催化化学150.3040热化学150.3045光化学包括超分子光化学、光电化学、激光化学、感光化学等150.3050电化学150.3055磁化学150.3060高能化学包括辐射化学,等离体化学150.3065计算化学150.3099物理化学其他学科150.35化学物理学150.40高分子物理150.45高分子化学150.4510无机高分子化学150.4520天然高分子化学代码学科名称说明150.4530功能高分子包括液晶高分子化学150.4540高分子合成化学150.4550高分子物理化学150.4560高分子光化学150.4599高分子化学其他学科150.50核化学150.5010放射化学150.5020核反应化学150.5030裂变化学150.5040聚变化学150.5050重离子核化学150.5060核转变化学150.5070环境放射化学150.5099核化学其他学科150.55应用化学具体应用入有关学科150.99化学其他学科返回页首160天文学160.10天文学史160.15天体力学160.1510摄动理论160.1520天体力学定性理论160.1530天体形状与自转理论160.1540天体力学数值方法160.1550天文动力学包括人造卫星、宇宙飞船动力学等160.1560历书天文学160.1599天体力学其他学科160.20天体物理学160.2010理论天体物理学160.2020相对论天体物理学160.2030等离子体天体物理学160.2040高能天体物理学包括天体核物理学160.2050实测天体物理学160.2099天体物理学其他学科160.25天体化学160.30天体测量学160.3010天文地球动力学160.3020基本天体测量学160.3030照相天体测量学160.3040射电天体测量学160.3050空间天体测量学160.3060方位天文学160.3070实用天文学160.3099天体测量学其他学科160.35射电天文学160.3510射电天体物理学160.3520射电天文方法160.3599射电天文学其他学科160.40空间天文学160.4010红外天文学160.4020紫外天文学160.4030 X射线天文学160.4040 r射线天文学160.4050中微子天文学160.4099空间天文学其他学科160.45天体演化学各层次天体形成与演化入各学科160.50星系与宇宙学160.5010星系动力学160.5020星系天文学160.5030运动宇宙学160.5040星系际物质160.5050大爆炸宇宙论160.5060星系形成与演化160.5070宇宙大尺度结构起源与演化160.5099星系与宇宙学其他学科160.55恒星与银河系160.5510恒星物理学160.5520恒星天文学160.5530恒星形成与演化160.5540星际物质物理学160.5550银河系结构与运动160.5599恒星与银河系其他学科160.60太阳与太阳系160.6010太阳物理学160.6020太阳系物理学160.6030太阳系形成与演化160.6040行星物理学160.6050行星际物理学160.6060陨星学160.6099太阳与太阳系其他学科160.65天体生物学160.99天文学其他学科170地球科学170.10地球科学史170.15大气科学170.1510大气物理学包括大气光学、大气声学、大气电学、云雾物理学、边界层物理学、中层物理学等170.1515大气化学170.1520大气探测包括大气遥感170.1525动力气象学包括数值天气预报与数值模拟等170.1530天气学170.1535气候学170.1540云与降水物理学170.1545应用气象学具体应用入有关学科170.1599大气科学其他学科170.20固体地球物理学170.2010地球动力学代码学科名称说明170.2015地球重力学170.2020地球流体力学170.2025地壳与地形变170.2030地球内部物理学170.2035地声学170.2040地热学170.2045地电学170.2050地磁学170.2055放射性地球物理学170.2060地震学170.2065勘探地球物理学170.2070计算地球物理学170.2075实验地球物理学170.2099固体地球物理学其他学科170.25空间物理学170.2510电离层物理学170.2520高层大气物理学170.2530磁层物理学170.2540空间物理探测170.2550空间环境学170.2599空间物理学其他学科170.30地球化学170.3010元素地球化学170.3015有机地球化学170.3020放射性地球化学170.3025同位素地球化学170.3030生物地球化学170.3035地球内部化学170.3040同位素地质年代学170.3045成矿地球化学170.3050勘探地球化学170.3055实验地球化学170.3099地球化学其他学科170.35大地测量学170.3510地球形状学170.3520几何大地测量学170.3530物理大地测量学170.3540动力大地测量学170.3550空间大地测量学170.3560行星大地测量学170.3599大地测量学其他学科170.40地图学170.45地理学170.4510自然地理学包括化学地理学、生态地理学、地貌学、冰川学、冻土学、沙漠学、岩溶学等170.4520人文地理学包括区域地理、旅游地理,其他入有关学科170.4599地理学其他学科170.50地质学代码学科名称说明170.5011数学地质学170.5014地质力学170.5017动力地质学170.5021矿物学包括放射性矿物学170.5024矿床学与矿相学包括放射性矿床学，不包括石油、天然气和煤170.5027岩石学170.5031岩土力学170.5034沉积学170.5037古地理学170.5041古生物学170.5044地层学与地史学170.5047前寒武纪地质学170.5051第四纪地质学170.5054构造地质学包括显微构造学等170.5057大地构造学170.5061勘查地质学170.5064水文地质学包括放射性水文地质学170.5067遥感地质学170.5071区域地质学170.5074火山学170.5077石油与天然气地质学170.5081煤田地质学170.5084实验地质学工程地质学见410·30170.5099地质学其他学科170.55水文学170.5510水文物理学170.5515水文化学170.5520水文地理学170.5525水文气象学170.5530水文测量170.5535水文图学170.5540湖沼学170.5545河流学与河口水文学170.5599水文学其他学科170.60海洋科学170.6010海洋物理学170.6015海洋化学170.6020海洋地球物理学170.6025海洋气象学170.6030海洋地质学170.6035物理海洋学170.6040海洋生物学170.6045河口、海岸学170.6050海洋调查与监测海洋工程见570·50170.6099海洋科学其他学科170.99地球科学其他学科代码学科名称说明180生物学180.11生物数学包括生物统计学等180.14生物物理学180.1410生物信息论与生物控制论180.1415生物力学包括生物流体力学与生物流变学等180.1420理论生物物理学180.1425生物声学与声生物物理学180.1430生物光学与光生物物理学180.1435生物电磁学180.1440生物能量学180.1445低温生物物理学180.1450分子生物物理学180.1455空间生物物理学180.1460仿生学180.1465系统生物物理学180.1499生物物理学其他学科180.17生物化学180.1710多肽与蛋白质生物化学180.1715核酸生物化学180.1720多糖生物化学180.1725脂类生物化学180.1730酶学180.1735膜生物化学180.1740激素生物化学180.1745生殖生物化学180.1750免疫生物化学180.1755毒理生物化学180.1760比较生物化学生物化学工程见530·67180.1765应用生物化学具体应用入有关学科180.1799生物化学其他学科180.21细胞生物学180.2110细胞生物物理学180.2120细胞结构与形态学180.2130细胞生理学180.2140细胞进化学180.2150细胞免疫学180.2160细胞病理学180.2199细胞生物学其他学科180.24生理学180.2411形态生理学180.2414新陈代谢与营养生理学180.2417心血管生理学180.2421呼吸生理学180.2424消化生理学180.2427血液生理学180.2431泌尿生理学180.2434内分泌生理学180.2437感官生理学代码学科名称说明180.2441生殖生理学180.2444骨骼生理学180.2447肌肉生理学180.2451皮肤生理学180.2454循环生理学180.2457比较生理学180.2461年龄生理学180.2464特殊环境生理学180.2467语言生理学180.2499生理学其他学科180.27发育生物学古生物学见170·5041180.3110数量遗传学180.3115生化遗传学180.3120细胞遗传学180.3125体细胞遗传学180.3130发育遗传学亦称发生遗传学180.3135分子遗传学180.3140辐射遗传学180.3145进化遗传学180.3150生态遗传学180.3155免疫遗传学180.3160毒理遗传学180.3165行为遗传学180.3170群体遗传学180.3199遗传学其他学科180.34放射生物学180.3410放射生物物理学180.3420细胞放射生物学180.3430放射生理学180.3440分子放射生物学180.3450放射免疫学180.3460放射毒理学180.3499放射生物学其他学科180.37分子生物学180.41生物进化论180.44生态学180.4410数学生态学180.4415化学生态学180.4420生理生态学180.4425生态毒理学180.4430区域生态学180.4435种群生态学180.4440群落生态学180.4445生态系统生态学180.4450生态工程学180.4499生态学其他学科180.47神经生物学180.4710神经生物物理学180.4715神经生物化学180.4720神经形态学180.4725细胞神经生物学180.4730神经生理学180.4735发育神经生物学180.4740分子神经生物学180.4745比较神经生物学180.4750系统神经生物学180.4799神经生物学其他学科180.5110植物化学180.5115植物生物物理学180.5120植物生物化学180.5125植物形态学180.5130植物解剖学180.5135植物细胞学180.5140植物生理学180.5145植物胚胎学180.5150植物发育学180.5155植物遗传学180.5160植物生态学植物病理学见210·6020 180.5165植物地理学180.5170植物群落学180.5175植物分类学180.5180实验植物学180.5185植物寄生虫学180.5199植物学其他学科180.54昆虫学180.5410昆虫生物化学180.5415昆虫形态学180.5420昆虫组织学180.5425昆虫生理学180.5430昆虫生态学180.5435昆虫病理学180.5440昆虫毒理学180.5445昆虫行为学180.5450昆虫分类学180.5455实验昆虫学180.5460昆虫病毒学180.5499昆虫学其他学科180.57动物学180.5711动物生物物理学180.5714动物生物化学180.5717动物形态学180.5721动物解剖学180.5724动物组织学180.5727动物细胞学180.5731动物生理学180.5734动物生殖生物学180.5737动物生长发育学180.5741动物遗传学180.5744动物生态学180.5747动物病理学180.5751动物行为学180.5754动物地理学180.5757动物分类学180.5761实验动物学180.5764动物寄生虫学180.5767动物病毒学180.5799动物学其他学科180.61微生物学180.6110微生物生物化学180.6115微生物生理学180.6120微生物遗传学180.6125微生物生态学180.6130微生物免疫学180.6135微生物分类学180.6140真菌学180.6145细菌学180.6150应用微生物学具体应用入有关学科180.6199微生物学其他学科180.64病毒学180.6410病毒生物化学180.6420分子病毒学180.6430病毒生态学180.6440病毒分类学180.6499病毒学其他学科180.67人类学180.6710人类起源与演化学180.6715人类形态学180.6720人类遗传学180.6725分子人类学180.6730人类生态学180.6735心理人类学180.6740古人类学180.6745人种学180.6750人体测量学180.6799人类学其他学科180.71生物工程亦称生物技术180.7110基因工程亦称遗传工程180.7120细胞工程180.7130蛋白质工程180.7140酶工程180.7150发酵工程亦称微生物工程180.7199生物工程其他学科180.74心理学180.7410心理学史180.7415普通心理学180.7420生理心理学180.7425认知心理学180.7430发展心理学180.7435个性心理学180.7440缺陷心理学180.7445比较心理学180.7450实验心理学180.7455应用心理学具体应用入有关学科180.7499心理学其他学科180.99生物学其他学科210农学210.10农业史210.20农业基础学科210.2010农业数学210.2020农业气象学与农业气候学210.2030农业生物物理学210.2040农业生物化学210.2050农业生态学210.2060农业植物学210.2070农业微生物学210.2080植物营养学210.2099农业基础学科其他学科210.30农艺学210.3010作物形态学210.3015作物生理学210.3020作物遗传学210.3025作物生态学210.3030种子学210.3035作物育种学与良种繁育学210.3040作物栽培学210.3045作物耕作学210.3050作物种质资源学210.3055农产品贮藏与加工210.3099农艺学其他学科210.40园艺学210.4010果树学210.4020瓜果学210.4030蔬菜学210.4040果蔬贮藏与加工210.4050茶学包括茶加工等210.4060观赏园艺学210.4099园艺学其他学科210.50土壤学210.5010土壤物理学210.5015土壤化学210.5020土壤地理学代码学科名称说明210.5025土壤生物学210.5030土壤生态学210.5035土壤耕作学210.5040土壤改良学210.5045土壤肥料学210.5050土壤分类学210.5055土壤调查与评价210.5099土壤学其他学科210.60植物保护学210.6010植物检疫学210.6015植物免疫学210.6020植物病理学210.6025植物药理学210.6030农业昆虫学210.6035植物病毒学210.6040农药学210.6045植物病虫害测报学210.6050抗病虫害育种210.6055有害生物化学防治210.6060有害生物生物防治210.6065有害生物综合防治210.6070杂草防治210.6075鸟兽、鼠害防治210.6099植物保护学其他学科210.70农业工程210.7010农业机械学包括农业机械制造等210.7015农业机械化210.7020农业电气化与自动化210.7025农田水利包括灌溉工程、排水工程等210.7030水土保持学210.7035农田测量210.7040农业环保工程210.7045农业区划210.7050农业系统工程210.7099农业工程其他学科农业经济学见790·59210.99农学其他学科220林学220.10林业基础学科220.1010森林气象学220.1020森林地理学220.1030森林水文学220.1040森林土壤学220.1050树木生理学220.1060森林生态学220.1070森林植物学220.1099林业基础学科其他学科220.15林木遗传育种学代码学科名称说明220.1510林木育种学220.1520林木遗传学220.1599林木遗传育种学其他学科220.20森林培育学亦称造林学220.25森林经理学220.2510森林测计学220.2520森林测量学220.2530林业遥感220.2540林业信息管理220.2550林业系统工程220.2599森林经理学其他学科220.30森林保护学220.3010森林病理学220.3020森林昆虫学220.3030森林防火学220.3099森林保护学其他学科220.35野生动物保护与管理220.40防护林学220.45经济林学220.50园林学220.5010园林植物学220.5020风景园林工程220.5030风景园林经营与管理220.5099园林学其他学科220.55林业工程220.5510森林采运学220.5520林业机械220.5530林业机械化与电气化220.5540木材学220.5550木材加工与人造板工艺学包括家具设计与制造等220.5560木材防腐学220.5570林产化学加工学220.5599林业工程其他学科220.60森林统计学220.65林业经济学220.99林学其他学科230畜牧、兽医科学230.10畜牧、兽医科学基础学科230.1010家畜生物化学230.1020家畜生理学230.1030家畜遗传学230.1040家畜生态学230.1050家畜微生物学230.1099畜牧、兽医科学基础学科其他学科230.20畜牧学230.2010家畜育种学230.2015家畜繁殖学230.2020动物营养学代码学科名称说明230.2025饲料学230.2030家畜饲养管理学230.2035特种经济动物饲养学230.2040家畜行为学230.2045家畜卫生学230.2050草原学包括牧草学、牧草育种学、牧草栽培学、草地生态学、草地保护学等230.2055畜产品贮藏与加工230.2060畜牧机械化230.2065养禽学230.2070养蜂学230.2075养蚕学230.2080畜牧经济学230.2099畜牧学其他学科230.30兽医学230.3010家畜解剖学家畜生理学见230·1020230.3015家畜组织胚胎学230.3020兽医免疫学230.3025家畜病理学亦称兽医病理学230.3030兽医药理学230.3035兽医临床学230.3040兽医卫生检疫学230.3045家畜寄生虫学230.3050家畜传染病学230.3055家畜病毒学230.3060中兽医学230.3065兽医器械学230.3099兽医学其他学科230.99畜牧、兽医科学其他学科240水产学240.10水产学基础学科240.1010水产化学240.1020水产地理学240.1030水产生物学240.1040水域生态学240.1099水产学基础学科其他学科240.15水产增殖学240.20水产养殖学240.25水产饲料学240.30水产保护学240.35捕捞学240.40水产品贮藏与加工240.45水产工程学240.50水产资源学240.55水产经济学240.99水产学其他学科代码学科名称说明310基础医学310.11医学生物化学310.14人体解剖学310.1410系统解剖学310.1420局部解剖学310.1499人体解剖学其他学科310.17医学细胞生物学310.21人体生理学310.24人体组织胚胎学310.27医学遗传学310.31放射医学310.34人体免疫学310.37医学寄生虫学310.3710医学寄生虫免疫学310.3720医学昆虫学310.3730医学蠕虫学310.3740医学原虫学310.3799医学寄生虫学其他学科310.41医学微生物学包括医学病毒学等310.44病理学310.4410病理生物学310.4420病理解剖学310.4430病理生理学310.4440免疫病理学310.4450实验病理学310.4460比较病理学310.4470系统病理学310.4480环境病理学310.4499病理学其他学科310.47药理学310.4710基础药理学310.4720临床药理学310.4730生化药理学310.4740分子药理学310.4750免疫药理学310.4799药理学其他学科310.51医学实验动物学310.54医学心理学310.57医学统计学310.61生物医学工程学310.6110生物医学电子学310.6120临床工程学310.6130康复工程学310.6140生物医学测量学310.6150人工器官与生物医学材料学310.6199生物医学工程学其他学科310.99基础医学其他学科320临床医学代码学科名称说明320.11临床诊断学320.1110症状诊断学320.1120物理诊断学320.1130机能诊断学320.1140医学影象学包括放射诊断学、同位素诊断学、超声诊断学等320.1150临床放射学320.1160实验诊断学320.1199临床诊断学其他学科320.14保健医学320.1410康复医学320.1420运动医学包括力学运动医学等320.1430老年医学320.1499保健医学其他学科320.17理疗学320.21麻醉学320.2110麻醉生理学320.2120麻醉药理学320.2130麻醉应用解剖学320.2199麻醉学其他学科320.24内科学320.2410心血管病学320.2415呼吸病学320.2420结核病学320.2425胃肠病学320.2430血液病学320.2435肾脏病学320.2440内分泌学320.2445风湿病学与自体免疫病学320.2450变态反应学320.2455感染性疾病学320.2499内科学其他学科320.27外科学320.2710普通外科学320.2715显微外科学320.2720神经外科学320.2725颅脑外科学320.2730胸外科学320.2735心血管外科学320.2740泌尿外科学320.2745骨外科学320.2750烧伤外科学320.2755整形外科学320.2760器官移植外科学320.2765实验外科学320.2799外科学其他学科320.31妇产科学320.3110妇科学320.3120产科学代码学科名称说明320.3130围产医学亦称围生医学320.3140助产学320.3150胎儿学320.3160妇科产科手术学320.3199妇产科学其他学科320.34儿科学320.37眼科学320.41耳鼻咽喉科学320.44口腔医学320.4410口腔解剖生理学320.4415口腔组织学与口腔病理学320.4420口腔材料学320.4425口腔影象诊断学320.4430口腔内科学320.4435口腔颌面外科学320.4440口腔矫形学320.4445口腔正畸学320.4450口腔病预防学320.4499口腔医学其他学科320.47皮肤病学320.51性医学320.54神经病学320.57精神病学包括精神卫生及行为医学等320.61急诊医学320.64核医学320.67肿瘤学320.6710肿瘤免疫学320.6720肿瘤病因学320.6730肿瘤病理学320.6740肿瘤诊断学320.6750肿瘤治疗学320.6760肿瘤预防学320.6770实验肿瘤学320.6799肿瘤学其他学科320.71护理学320.7110基础护理学320.7120专科护理学320.7130特殊护理学320.7140护理心理学320.7150护理伦理学320.7160护理管理学。

几类有向图的双控制数和出控制数

几类有向图的双控制数和出控制数
随着计算机技术的飞速发展,图论作为离散数学的一个重要组成部分,也得到了飞速的发展,而且应用也越来越广泛.图的控制理论是图论的一个重要研究方向,它在通信网络,监视系统等诸多领域都具有广泛的应用.例如,一个网络都要考虑其通讯效率,节省通信资源,适时诊断其可能的障碍,这就需要我们在网络当中寻找一些中心节点,通过控制中心节点来控制整个网络.那么我们如何选择这些中心节点,并且要尽可能少的节点来控制整个网络使得每一个节点均能与相邻的中心节点直接通信.因此,图的控制理论就成为了图论研究的热点.经过研究,人们发现某些图类.比如说,笛卡尔积、强积、字典积等有向图都是由已知图经过特殊构造而得到的图.对此类有向图的出控制性及双控制性的研究,可以为有效性网络的设计提供科学的解决方法和手段.本文主要研究某些特殊有向图的双控制性以及出控制性问题.论文的正文分为三部分:第一部分,主要介绍了图的控制理论的研究背景和一些基本概念,给出了笛卡尔积,字典积,强积等的定义.最后介绍了本文的研究内容以及罗列出本文的主要研究成果.第二部分,根据双控制数的定义,首先给出当m=2,3,4,5,6时,两个有向圈笛卡尔积Cm Cn的双控制数;接下来主要研究了两个有向圈的强积Cm?Cn的双控制数和圈与路的强积Cm?Pn
的双控制数;最后给出了一些特殊图的字典式积的双控制数.第三部分,首先介绍了出控制数的背景知识.其次给出一些有向图字典式积的出控制数.。

bott tu 代数拓扑

bott tu 代数拓扑全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Bott-Tu 代数拓扑是代数拓扑领域里的一个重要研究方向，它由美国数学家Raoul Bott和Loring Tu提出。

这一领域为代数学和拓扑学的交叉点，涉及到代数和几何结构的研究。

Bott-Tu 代数拓扑对于理解拓扑空间的几何属性和代数结构的关系具有重要意义，它的研究有助于揭示数学世界的深刻内涵。

Bott-Tu 代数拓扑的研究内容涵盖了很多领域，其中最重要的是几何拓扑学、代数几何学和代数拓扑学。

在几何拓扑学中，Bott-Tu 代数拓扑研究了拓扑空间的性质以及它们之间的映射关系，探讨了拓扑空间的结构和形变的问题。

在代数几何学中，Bott-Tu 代数拓扑涉及到代数结构的一些几何表示，比如代数群、代数流形等。

在代数拓扑学中，Bott-Tu 代数拓扑主要研究了拓扑空间上的代数结构，比如同调代数、Lie 代数等。

Bott-Tu 代数拓扑的研究方法主要是利用代数工具和几何工具相结合，通过代数结构和拓扑空间之间的联系来研究问题。

其中最常用的工具是同调代数、Lie 代数以及泛函分析等。

同调代数是研究拓扑空间的代数结构的重要方法，它能够描述拓扑空间的结构和特征。

Lie 代数是研究李群和李代数的代数结构的重要方法，它可以描述群结构的性质。

泛函分析是研究向量空间和函数空间的理论，它在研究拓扑空间的性质时发挥着重要作用。

第二篇示例：拓扑学是数学中一个非常重要的分支，它研究的是空间和连续变换的性质。

而代数拓扑则是将代数和拓扑学结合起来研究的学科。

在代数拓扑中，我们主要研究拓扑空间上的代数结构及其性质。

在代数拓扑中常见的一个重要概念就是bott tu 代数。

下面我们来详细介绍一下bott tu 代数的相关概念和性质。

Bott Tu 代数是在拓扑空间上引入微分形式结构的一种方式，它将微分形式和拓扑空间中的代数结构相结合，形成了一种新的代数结构。

在Bott Tu 代数中，微分形式被看作是一种在拓扑空间上定义的代数结构，它和拓扑空间中的其他代数结构如同基础代数的域、群等进行了联系。

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以图代数
月日姓名
【知识要点】
用各式各样的图形，或用有规律排列的图形来表示数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，再以图代替数字进行运算，就是以图代数。

【典型例题】
例1 八个图形分别表示1～8八个数，请你计算下面两道题：
（1）
（2）
例2 仔细研究下图表示数的方法：
根据上图回答：
（1
代表（）；
（2代表（）。

例3 ☆=5，□=3，计算☆+☆+☆+□+□等于多少？
1 2 3 4
8
7
6
5
+ =
（）；
－=
（）。

代
1，
代
2，
代表
3，
代
4，
代表5
例4 ○=1，◇=9，△=0，那么用数字表示是什么？
例5 △+△=○+○+○ □+□=○+○+○+○+○
△+□= （填○）
课后作业
姓名成绩
1．你有什么办法，使天平平衡？
2．下面6个图分别代表1～6
计算
（）
－（）
3．□=2，△=6，○=8，那么，用数字表示是什么？
☆4．两位数23可以表示为∆ ，47可以表示为*口，56可以表示为
，26可以表示为∆，那么口表示多少？35如何表示？
◇ ○
+ ○ ◇
○ ○ △
1 2 3 4 5 6
☆＃＃
□ △ △ □ ＋ ○ ○
随堂小测
姓名成绩
1．下图分别表示1～6六个数字，请计算下列两道题：（1）
（2
2．下图分别表示1～6六个数字：
请计算：
（1）
（2）
3．◇=6，○
=4，请计算◇+○=（）
◇+◇+○+○+○+○=（）
1 2 3 4 + －
=
－
+ =
1 2 3
6
5 4 + = +
=
4．仔细研究下图表示数的方法：
根据上图回答：（1
代表（）
（2代表（） 5．
6．□=6，△
=2，○=3，那么
用数字表示是什么？
7．已知：○○=□□□，□□=△△△△
（1）○○+□= （填△）（2）○○－□= （填△）
代表1 代表2 代表3
代表4
代表5
□ △
－
△ □ ○ □
（填）。