利用数形结合思想一题多解
运用“数形结合”提高学生“解决问题”能力
学生课堂2020 年 5 月3“数形结合”，是通过数与形之间的转化来解决问题的一种重要思想方法。
在“解决问题”的教学过程中，运用数形结合的思想，能使问题简单化、直观化，帮助学生更好地解决问题，提高学生解决问题能力。
一、运用数形结合，帮助学生理解题意在数学学习中，学生经常在解决问题时出现因为不理解题目意思而出错的情况。
此时，我们可以引导学生借助学具摆一摆、画线段图、实物图等帮助理解题意，从而解决问题。
例如：在三年级：淘气家住5楼，他每上一层楼用14秒，求淘气1分钟能从一层走到家吗？多数同学的计算方法是：14×5=70（秒），不能到家。
学生由于受空间想象能力的限制，对于淘气实际爬的楼层数是总楼层数减1这一关系难以理解，所以才会出现这样的错误。
因此，在教学时，可以采用动画演示的方法（如图1）。
边演示边让学生数，数的过程中，学生形象地感受到从1楼到2楼实际只爬了1层，即用了1个14秒，以此类推到5楼实际只爬了4层，用了4个14秒，因此是14×4=56秒，能够到家。
有了图形的帮助，学生对这一关系就不难理解了。
理顺了题目的意思，问题也就迎刃而解了。
5楼4楼3楼2楼1楼图1二、运用数形结合，优化学生解题策略1.数形结合，化被动接受为主动建构解决问题很多时候都非常灵活，如果老师只是一味地灌输模式化的解题方法，学生学得很被动，缺乏深刻理解，效果不佳。
而运用“数形结合”能使学生形象、直观地理解概念、问题的内涵，学生对解题方法的印象会更深刻，效果会更理想[1]。
例如，在五年级下册学习“分数除法（一）”时，计算方法并不复杂，如果直接告诉学生被动地记住和使用算法也不难。
但是，学生就不能很好地理解算理，此时充分发挥数形结合的作用，让学生主动体会到“除以一个不为零的整数就相当于乘以这个整数的倒数”是合理的。
教材中，首先出示问题1：一张纸的4/7，平均分成2份，每份是多少？教学中，我先让学生拿出学具袋中准备好的一张长方形纸条，涂出它的4/7，然后再把涂色的4/7再平均分成2份，让学生涂一涂，并用算式表示这个过程：4/7÷2，再根据涂色的结果，求出是2/7。
20080613041030运用数形结合思想处理一类对称问题重点
运用数形结合思想处理一类对称问题牡丹江市第一高级中学 梁玉俊圆锥曲线上存在两点关于某直线对称求某参数范围问题，已经有许多文章进行了论述。
通常都是用函数思想、不等式的思想解决的。
即引进新参量，建立函数关系式，转化为函数值域或构造关于参量的不等式，寻求参量的范围。
通过教学实践，笔者发现这类问题不仅可以用上述两种思想解决，也可以用数形结合思想解决。
设想寻求有关弦中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围，下面举几例加以说明。
例1：已知椭圆C ：13y 2x 22=+，确定m 的取值范围，使C 上有不同的两点A 、B 关于直线L ：y=4x+m 对称。
解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点M(x 0,y 0)则有 13y2x 2121=+(1) 13y 2x 2222=+(2)(1)-(2)得0x y x x y y 312102121=⋅--⋅+ A 、B 关于L 对称 ∴ K AB = 41x x y y 2121-=--∴y 0 = 6x 0于是以41-为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x 在椭圆内部的一段，不包括端点。
x 6y = 与13y 2x 22=+联立得两交点A 1(526,52),B 1(526,52--)， 问题转化为L 与线段x 6y = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈52,52x 有交点问题。
由图形知，当L 过A 1点时，m 最大值为522，当L 过B 1点时，m 最小值为 -522，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴522,522m例1的解法提供了一种解决此类问题的新思路，而且运算过程简单，从图形上可以直观地看出结果，真正体现了数形结合思想的作用。
那么此种想法是否适合其它曲线呢？回答是肯定的。
例2：曲线C ：x-y 2-2y=0上存在关于直线L:y=x+m 对称两点A 、B ，求m 的取值范围。
解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 中点M(x 0,y 0)，则有1x -21y -21y =0 ①2x -22y -22y =0 ②①-②得 (x 1-x 2)-(y 1-y 2)(y 1+y 2)-2(y 1-y 2)=0 由题意知 x 1-x 2≠0，上式两端同除x 1-x 2，得0x x y y 2)y y (x x y y 12121212121=---+---A ，B 关于L 对称 ∴K AB =12121-=--x x y y ，y 0 = 23-,x 0 = 23-- m于是以-1为斜率的平行弦中点轨迹为直线y =23-在抛物线内部的一条射线，不包括端点。
初中数学数形结合解题思想方法探究
初中数学数形结合解题思想方法探究数学是一门精确的科学，其中涉及到的数形结合问题是数学中的一个重要内容。
解决数形结合问题的方法有很多，下面将介绍三种常用的解题思想和方法。
一、几何思想几何思想是解决数形结合问题的一种重要思想。
它通过几何图形的性质和关系来解决问题。
解题时，可以先根据题目中给出的条件画出几何图形，并找出几何图形之间的性质和关系。
然后利用这些性质和关系进行推理和计算，最终得到问题的解答。
有一个矩形，它的周长是30cm，面积是100cm²，求矩形的长和宽。
解：设矩形的长为x，宽为y。
根据题目中的条件，可以得到以下两个方程：2(x+y) = 30xy = 100利用几何思想，可以发现矩形的周长等于长和宽的两倍之和，即2(x+y)，所以可以得到第一个方程。
通过这两个方程，可以解得x=10，y=10。
所以矩形的长和宽分别是10cm。
二、代数思想代数思想是解决数形结合问题的另一种重要思想。
它通过建立代数模型来解决问题。
解题时，可以将问题中的未知量用代数符号表示出来，并建立相应的方程或不等式。
然后利用代数的方法进行运算和计算，得到问题的解答。
有一个数字，它是一个两位数，相反的两个数字之差是36，这个数字是多少？利用代数思想，可以将相反的两个数字表示成10x+y和10y+x。
它们之差是36，所以可以得到上述方程。
三、逻辑思想有5个小方块，它们的边长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，将这些小方块拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：根据题目中给出的条件，可以知道这个正方形一共有5个小方块，而且边长依次增加1cm。
通过观察和推理，可以得到以下结论：1. 正方形的边长一定大于等于最长的小方块的边长，即大于等于5cm。
2. 正方形的边长一定小于等于所有小方块的边长之和，即小于等于1+2+3+4+5=15cm。
根据以上两个结论，可以得到正方形的边长的范围是5cm到15cm之间。
再观察题目中给出的条件，可以发现正方形的边长的值一定在这个范围中。
计算教学中如何体现数学化思想
计算教学中如何体现数学化思想计算教学中如何体现数学化思想?计算关于同学来说,是学习和生活中必不可少的一项能力。
它是数学学科中的基础,关于同学掌握数学知识和解决数学问题非常重要,所以它占据了现行小学数学的大部分课程空间。
今天，朴新我给大家介绍有效的数学教学方法。
数学化思想在计算教学中的应用1.开放教学中的数形结合思想开放式题型主要是指现实背景条件不充分,答案不唯一或一题多解的题目。
在计算教学过程中,可以适度地引用这类开放式题型,有利于同学积极参加题目的创设,扩展同学的思维空间。
例如,"一杯果汁,甲第一次喝了半杯,第二次又喝了剩下的一半,甲一共喝了5次,计算甲一共喝了多少果汁?'教学时,让同学自己先思索计算,同学通过通分计算,因为数字较小,可以很快求出结果。
但是如果改变问题"甲在10次中一共喝了多少果汁',同学再使用通分就很困难。
这时可以采纳数形结合的方法,通过画图分析,先画一个正方形代表一杯果汁,即单位"1',然后依次画出它的1/2、1/4、1/81/256,通过图形与数字的结合就很容易看出所要求的结果。
数与形是数学教学研究中的两个侧面,把数量关系和空间形式结合起来,然后去分析和解决问题就是数形结合的思想。
上题就是利用简单的图形说明了数学中的本质特征,从而使同学的形象思维和抽象思维得到协调的发展。
2.计算教学中渗透的归纳思想归纳思想是小学数学教学中的一个重要思想方法。
在小学数学的教学过程中,正确运用归纳思想有利于同学把握事物的发展进程,对事物的内部结构、纵横关系、数量特征等形成较深入的熟悉。
例如,在教学"整数除以分数'的计算时,对36 4/10 怎样计算,同学想出了多种方法,如依据分数化小数及一个数除以小数的知识把除数化成小数、依据分数与除法的关系化成整数连除计算等等,充分展示了同学的思索过程。
以次类推再让同学多做些相关题型,让同学用自己的方法计算,比较各种方法的优缺点,并在此基础上组织同学讨论"怎样才干正确计算出结果',使同学心得到"除以一个数等于乘这个数的倒数'这样计算的优点。
利用数形结合思想解决数学问题
利用数形结合思想解决数学问题摘要：数形结合思想作为一种将代数知识与几何知识紧密结合起来的思想被学生广泛的应用到数学解题中。
本文围绕数形结合思想应用于初中数学解题中的有效方法进行分析，以期为其他同学运用数形结合思想成功解题提供参考和帮助。
关键词：数形结合初中数学数学思想数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想。
在近几年中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
数学中的数量关系很多都可以用直观的图像来表示，所有图形当中也都包含了一定程度的数量关系，“数”与“形”都是组成数学的重要基础。
因此，将“数”“形”结合起来更能全面直观的解决数学问题，数形结合是一种重要的解题思想，主要方法是将“数”与“形”联系在一起，以数解形，以形助数。
在《义务教育数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.”所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的。
一、以形助数，化难为易。
“形”具有直观、形象等优点，同时能简便的表达复杂的思维，能将枯燥的数学理论趣味化，能将算理变清晰，能把复杂的数学问题变得简单化，但数学图形在平面几何中，要画出想要的图形则必须借助数值的变化和计算，因而要真正的认识形的变化，必须联系到数中来认识形，借助数理，找出图形中所包含的相应的数量关系，即用数学的方法放在图形上去解决几何问题，特别是对于题型比较复杂的“形”，我们不仅要能正确的把图形进行数字化，同时还必须要仔细的观察图形的结构特点，找出所给题目中隐含的已知条件，利用好题目中数与形之间的关系，把“形的问题”正确的转化为“数的问题”，具体的把图形的位置关系转化为数量关系，再对所得的数进行分析和计算，达到解决图形问题的目的。
数形结合解题方法和技巧
数形结合解题方法和技巧
本文介绍数形结合解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一方法，提高数学解题能力。
数形结合是一种常用的数学解题方法，它将数学问题与几何图形相结合，通过直观的几何图形来帮助解决复杂的数学问题。
下面，我们介绍一些数形结合解题的方法和技巧。
一、利用几何图形的性质
几何图形具有许多特定的性质，如线段长度、角度大小、平行关系等。
在解题时，我们可以利用这些性质来帮助我们理解问题，甚至可以通过这些性质来推导出未知数的值。
例如，在一道求解三角形题目中，我们可以利用三角形的边角关系，通过余弦定理或正弦定理来求解未知角度或边长。
二、利用几何图形的变换
几何图形可以通过平移、旋转、翻折等变换来改变形态，而这些变换并不改变图形的本质属性。
在解题时，我们可以利用这些变换来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解相似三角形题目中，我们可以
通过旋转或翻折等变换将原图形变换成易于求解的图形，然后再进行计算。
三、利用几何图形的切分
几何图形可以通过切分来将复杂的问题分解成简单的问题。
在解题时，我们可以利用这些切分来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解曲线图形题目中，我们可以通过切分将曲线分割成一些简单的线段或曲线，然后再分别进行计算，最后再将结果相加得到答案。
数形结合是一种非常有用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
浅析数形结合思想在高中数学教学中的应用
１０２ 在竞争中树立积极克服困难的心态和自信，战胜挫折，获得成长，让自己的心理更加坚强。
让学生从和谐化班级管理原则中获得和谐美的体验，懂得换位思考和设身处地的重要性，体会心中有他人对矛盾化解的影响，从而让学生在思想意识上树立“和谐为重”的人际关系观念，为以后的工作与生活奠定扎实的人际关系基础。
引导学生树立竞争意识的意义：竞争可以让中学生发现自己和他人之间的差距，找到自己的不足，从而产生提升自我的激情。
竞争是生命力的象征，拥有竞争意识的青少年会更有效挖掘自己的潜力，创造更丰硕的成果。
学会竞争、敢于竞争、善于竞争是青少年追求梦想、超越自我、在班级有效管理自我的金钥匙。
结束语：在教育改革日新月异的当今社会，传授给学生知识至关重要，但管理班级更为重要。
科学的班级管理方法不仅关系着课堂教学效果，更关系着学生学会做人、管理能力的形成。
一个成功的老师始终秉承“授人以鱼，不如授人以渔”的教学管理理念，科学的班级管理方法有利于形成先进的、符合教育规律的班集体，丰富了育人方法，为广大教师走向专业化提供了方法论。
另外，也有利于学生奠定初步的集体、管理理念，转变自己的学习习惯，树立民主的思想意识。
在人格上，为学生就如何与他人合作、如何互利共赢提供了理论指导，创设了良好的环境。
让学生在民主氛围的熏陶下、在有效化的班级管理水平的影响下、在和谐的人际关系的感染下健康成长，塑造完美、外向、公正的人格形象，不仅为促进学习提供了条件保障，也为班级管理科学化、高效化提供了科学的方法论。
百年大计，教育为本。
教会学生学习知识是我们的本职义务，引导学生树立竞争意识更是我们义不容辞的责任。
作为初中阶段的班主任，我们应在脑海中树立班级管理的意识，不断探究管理的措施，为开创一个守法、管理良好、独立自强、厚德载物的班集体而坚持不懈。
让竞争引领中学生成长，让竞争改变班级管理水平，让竞争促进青少年激情的迸发。
本文系２０１８年度扶沟县基础教育教学研究项目《农村中学的班级管理有效策略探究》（ｆｇｊｙ１８０８４）研究成果。
“数形结合”巧解小学数学思维题
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形 表示整数1，依次表示出 、 、 ……
从图中可以 ，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的 ，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：
一题多解，魅力无限———从一个图形探析求阴影部分面积运用的数学思想方法
探索篇•方法展示在平时的几何教学中，我们都会与几何图形打交道。
其中会遇到求相关图形面积的问题，很多学生可能对这些问题感到棘手，甚至无从下手。
实际上只要认真观察分析、整合分解，利用适当的数学思想方法，很多问题便可迎刃而解。
在此，我从平时的教学当中，提取一个书本习题进行探析。
【例题】如下图，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为.【分析一】整体和差法图中阴影部分面积可以看作4个半圆的面积之和与正方形面积之差（重叠部分）。
所以，S 阴影=4·12π·（a 2）2-a 2=12πa 2-a 2在此引导学生观察图形，整体思考，考虑到图中阴影部分面积是几个规则图形的重叠，利用面积和差法，使问题得解。
其中渗透整体思想、数形结合思想与化归思想，可训练、考查学生分析图形、掌图1图2【分析二】局部对称法观察图形，因为正方形与圆都具有轴对称和中心对称性质，可以证明出图中阴影的四个部分也具有对称性与全等性。
如果连接正方形的中心与其四个顶点，即可得到八个全等的小弓形。
观察每个半圆弧顶的两个小弓形，其面积之和可看作一个半圆面积减去一个四分之一正方形（一个等腰三角形）面积的差。
这样，阴影部分面积为两个小弓形面积的四倍，从而得出答案。
在此引导学生观察图形，整体思考，化整为零。
考虑到图中阴影部分面积是几个局部图形面积的倍数，利用局部对称法，使问题得解。
其中渗透整体思想、数形结合思想、对称思想与化归思想，可训练、考查学生分析图形、统观全局、化整为零的解题能力与思维方式。
【分析三】代数求解法观察图形，因为正方形与圆都具有轴对称和中心对称性质，故图中阴影部分可视为四个全等的纺锤形，另外四块空白部分也是全等的。
可设每个纺锤形面积为x ，每个空白部分面积为y ，由图形可知，四个纺锤形面积与四个空白部分面积之和为整个正方形的面积，两个纺锤形面积与一个空白部分面积之和为一个半圆的面积，从而可列方程组4x +4y =a 22x+y =12π（a 2）2{，求出x 、y 的值，得到阴影部分的面积。
谈谈数学问题中的一题多解
谈谈数学问题中的一题多解摘要：一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，文中主要从一题多解的定义、解题思想、典型例子以及其对学生产生的意义出发，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚。
学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩。
关键词：定义；思想；范例；意义一、一题多解一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，即由多种途径获得同一数学问题的最终结论，它属于解题的策略问题。
心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。
在数学解题中一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。
一题多解则是诸多解题策略的综合运用。
在教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
二、一题多解的解题思想数学思想是人类对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识。
在数学研究范围的拓展、研究对象的延伸、数学方法的形成、各种方法之间的融合并发展成新的方法等过程之中，都体现出数学思想的核心作用。
数学知识和方法是形成数学思想的基础，但有了知识不等于有思想，方法如果没有思想作为灵魂，就只能是一种机械的“操作手册”数学思想是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动机。
高中数学一题多解经典例题解析
【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B
{2,3} {3}
{3}
{2,3}
CU
B
CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A
{2,3}
{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误 解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②
中职数学解题技巧之“数”“形”结合———以高教版教材为例
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３ １６中职数学解题技巧之 结合中职数学解题技巧之 数 形 结合㊀㊀㊀ 以高教版教材为例Һ张泽润㊀（安徽亳州新能源学校，安徽㊀亳州㊀２３６７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解题教学一直都是中职数学教学的重中之重．在解题教学中渗透数学思想有利于增进学生对数学解题技巧的感悟，进一步提高学生审题㊁解题的效率．文章基于中职数学解题教学实际教情对应用数形结合思想传授学生解题技巧展开研究，在指出 数 形 定义㊁介绍数形结合思想的同时，结合高教版课程教学案例指出教师可以从以形助数㊁以数解形㊁数形结合三个层面出发落实解题教学工作，希望为提升中职数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ中职数学；解题；数形结合；技巧中职数学解题教学中，教师应认识到 数 与 形 的教育价值，同时结合中职数学解题教学的根本需求合理设计解题教学方案，引导学生在以形助数㊁以数解形㊁数形结合的过程中体会化简问题㊁转换问题的方法，进一步丰富学生的解题技巧．一㊁ 数 与 形 的定义及数形结合思想的应用价值（一） 数 与 形 的定义数 是一种抽象的概念，用于表示长短㊁多少㊁高低等，本质上是一种度量符号．在数学研究中， 数 的定义十分广泛，包括整数㊁分数㊁小数㊁无理数㊁负数㊁用字母表示的数㊁方程㊁函数㊁代数等． 形 是一种直观概念，指的是可以看得见的图形．在数学研究中， 形 可以指代直线㊁圆㊁三角形㊁球㊁正方体㊁双曲线㊁正方形等多种可以用肉眼直接观察的图形．（二）数形结合思想的应用价值数 与 形 相互依存，也可以相互转化．数形结合思想的应用价值主要体现在以下两方面：一方面，有助于加深学生对数学解题理论的理解．数学解题理论包括数学概念㊁数学性质㊁数学方法等多项内容．中职数学教学内容具有一定的抽象性，直接为学生讲解的话，无法使其在第一时间领会解题理论，会限制其解题能力的形成与发展．借助数形结合思想，教师可以用直观的图示将复杂㊁抽象的数学理论展示出来，增进学生对数学理论的理解，进一步提升学生的解题能力．另一方面，有利于提升学生数学解题思维的灵活性．中职数学解题教学涉及一些形式新颖㊁内容复杂的数学习题．常规思路无法快速㊁高效地解决此类问题，容易使学生产生负面的解题情绪．将数形结合思想用于中职数学解题教学中，有利于引导学生从 数 形 两个角度分析数学问题，让其在形转数㊁数转形的过程中开展一系列的思维活动，增强学生的思维灵活性，使学生总结出更多的解题技巧．二㊁ 数 形 结合解决中职数学问题的基本技巧（一）以形助数，加强直观，快速解决问题中职数学解题教学中的代数问题具有抽象性强㊁复杂程度高的特征．应用以数解数的方法可以解决大部分代数问题，但其解题过程复杂，错误率高．在解决代数问题时，教师可以指导学生应用以形助数的方法解决代数问题，将代数问题转化为直观㊁具体的图形简化问题，帮助学生快速确定解题思路，快速解决代数问题．１．用 形 助力集合问题求解，提高学生审题能力审题是解决数学问题的第一项程序，也是正确解题的关键．让学生掌握审题技巧可以极大程度地缩短学生的审题时间，从而提高学生的解题效率．集合问题看似抽象，但应用数形结合思想却可以快速提炼题目的主干信息，从而确定解题思路，加快解题步伐．解决集合问题时，教师可以指导学生根据题意绘制数轴图㊁文氏图等多种图形，让学生在绘图㊁看图的过程中明确题目关键信息，确定问题求解思路，为高效解题奠定基础．以高教版 集合的运算 一课的解题教学为例，教师可以先应用多媒体课件呈现典型例题，再指导学生用以形助数的方式解决问题．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ １６例１㊀设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝，则Ａɘ（∁ＲＢ）＝（㊀㊀）．Ａ．（１，４）㊀Ｂ．（３，４）㊀Ｃ．（１，３）㊀Ｄ．（１，２）ɣ（３，４）这一问题的正确答案为Ｂ，主要考查学生对求不等式型集合的交㊁并集方法的掌握情况．在解决这一问题时，教师可以指导学生通过绘制数轴图的方式将复杂问题直观呈现出来，让学生在观察图形㊁分析图形的过程中确定正确答案．求解这一例题的思路如下：求出集合Ｂ中ｘ的取值范围，即Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ３｝；绘制数轴图，并根据计算求值结果在数轴图上画出ｘ的范围；接着，将求值结果代入原问题中，根据所求内容，推理出Ａɘ（∁ＲＢ）＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝ɘ｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３｝．这时，学生将这一步骤的计算结果同样表现在数轴图上，即可直观观察出问题答案为｛ｘ｜３＜ｘ＜４｝，最终得到正确答案．２．用 形 助力不等式问题求解，提高学生解题效率不等式问题是中职数学解题教学中的常见问题．很多学生在解不等式问题时习惯性地使用作差法㊁作比法等代数方法．然而，此类方法的计算量较大，对学生的运算能力要求较高．部分学生存在运算能力差㊁马虎的问题，得出的运算结果准确率不高，继而影响不等式问题的求解质量．为此，教师可以指导学生应用 形 解决不等式问题，让学生在直观看图的过程中比较大小，从而提高学生的解题效率．以高教版 一元二次不等式 一课的解题教学为例，有问题如下：例２㊀设函数ｆ（ｘ）＝１２æèçöø÷１＋ｘ，ｘɤ０，ｘ，ｘ＞０，ìîíïïïï若ｆ（ｘ０）＞１，则ｘ０的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．（－１，１）㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．（－１，＋ɕ）Ｃ．（－ɕ，－２）ɣ（０，＋ɕ）Ｄ．（－ɕ，－１）ɣ（１，＋ɕ）这一问题是典型的求不等式解集的问题，不仅考查了不等式的基本知识，还考查了函数㊁利用函数的单调性解不等式等知识．解这一题时，教师可以指导学生借助数形结合思想解决问题，用以形助数的方式简化问题．比如，教师可以根据原题信息，在平面直角坐标系中绘制出函数图像，并在图像中绘制直线ｙ＝１，直线ｙ＝１与函数图像分别交于点（－１，１）与（１，１）．这时，教师再指导学生观察图像，就可以由ｆ（ｘ）＞１推理出ｘ＜－１或ｘ＞１，从而确定问题的正确选项为Ｄ选项．这样，学生就能在解题学习中体会到以形助数方法的优越性，不仅丰富了解题方法，还锻炼了数学联想㊁几何直观㊁逻辑推理等综合能力．（二）以数解形，细致入微，巧妙解决问题中职数学解题教学中的几何问题具有直观性强的特征．但是，直观性强并不意味着题目简单．很多学生在解决几何问题时缺乏解题思路，最终解题失败．对此，教师可以指导学生应用以数解形的方法解决此类问题，通过为图形赋值等方式帮助学生理解图形的真正含义，从而帮助学生确定解题方向，巧妙解决几何问题．１．用 数 助力立体几何问题求解，培养学生直观想象素养立体几何问题看似简单，实则不易解决．由于部分学生缺乏良好的几何直观㊁数学联想㊁数学抽象等能力，不能在解题时快速找到 题眼 ，导致几何问题解决效率低下．为此，教师可以将数形结合思想用于立体几何解题教学中，通过指导学生应用代数的方法解决立体几何问题，为学生指明解决立体几何问题的方向，从而提升其数学直观水平，使学生能够巧妙地解决立体几何难题．以高教版 柱㊁锥㊁球及其简单组合体 一课的解题教学为例，有问题如下：例３㊀әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形，那么әＡＢＣ的面积是（㊀㊀）．Ａ．３２ａ２㊀㊀Ｂ．３４ａ２㊀㊀Ｃ．６２ａ２㊀㊀Ｄ．６ａ２这一问题是典型的立体几何直观图问题．在这一问题中，已知信息只有 әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形 这一句话，部分学生很容易陷入解题的迷雾中．这时，教师可以应用以数解形的思想方法，指导学生解题．比如，先绘制әＡＢＣ的直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ，取ＢᶄＣᶄ所在的直线为ｘᶄ轴，ＢᶄＣᶄ的中点为Ｏᶄ，以过Ｏᶄ与Ｏᶄｘᶄ成４５ʎ角的直线为ｙᶄ轴，过Ａᶄ作ＭᶄＡᶄʊＯᶄｙᶄ，交ｘᶄ轴于点Ｍᶄ，则在ＲｔәＡᶄＯᶄＭᶄ中，ＯᶄＡᶄ＝３２ａ，øＡᶄＭᶄＯᶄ＝４５ʎ，接着展开相应的推理与运算，即可得到正确答案为Ｃ选项．２．用 数 助力解析几何问题求解，培养学生逻辑推理素养解析几何具有点与实数对一一对应㊁曲线与方程㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ １６一一对应的特征，是中职数学几何教学的重点内容．在中职数学解题教学中，解析几何问题多体现为求直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系，等等．同时，受题目信息限制，很多时候学生无法应用几何方法求证直线与圆㊁圆与圆的位置关系，不能正确解答数学题目．为此，教师可以在教学中渗透数形结合思想，指导学生应用代数的方式进行逻辑推理，构建数学模型，以此求解出问题答案．以高教版 两点间的距离与线段中点的坐标 一课的解题教学为例，例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点分别为Ａ（１，０），Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３），试求ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度．针对这一问题进行解题教学时，教师可以适时渗透以数解形的数学思想方法，先根据原题绘制出解题示意图，再指导学生假设ＢＣ的中点Ｄ的坐标为（ｘＤ，ｙＤ），进行推理：解㊀由Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３）得到ｘＤ＝（－２）＋０２＝－１，ｙＤ＝１＋３２＝２，故：｜ＡＤ｜＝（－１－１）２＋（２－０）２＝２２，则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度为２２．（三）数形结合，综合应用，高效解决问题数形结合百般好，隔离分家万事休．我国数学家华罗庚的这句名言说明了 数 形 结合的重要性．在中职数学解题教学中，很多学生在解题时存在解题视野局限㊁解题思路单一的问题，不能高效解决数学问题．为此，教师可以在解题教学中渗透数形结合思想，指导学生综合代数㊁几何的相关知识解决问题，从而提高学生灵活解决数学应用问题的能力．以高教版 函数的应用 一课的解题教学为例，教师可以为学生呈现典型例题：例５㊀已知ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５，ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］，若ｆ（ｘ）的最小值记为ｈ（ｔ），请写出ｈ（ｔ）的表达式．针对这一例题进行解题教学时，教师可以先给学生３ ５分钟的时间自主思考，之后应用数形结合思想进行思路点拨：依据函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定ｆ（ｘ）在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值．之后，教师可以在黑板上演绎解题过程，让学生学习更加新颖的解题方法：解㊀由于ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５＝ｘ＋３２æèçöø÷２－２９４，所以抛物线ｆ（ｘ）的对称轴为直线ｘ＝－３２，开口向上（如图１）．图１根据图像推导可得：ｈ（ｔ）＝ｔ２＋５ｔ－１，ｔɤ－５２，－２９４，－５２＜ｔɤ－３２，ｔ２＋３ｔ－５，ｔ＞－３２．ìîíïïïïïïï通过解题可以发现，将数形结合思想用于函数问题的求解，可以使函数问题变得清晰㊁直观，有利于学生明确自身解题思路，从而快速求解函数问题．解题教学中，教师应抓住数形结合思想的渗透时机，同时不断组织类似的演绎教学活动，以此加深学生对数形结合思想的认识，提升学生的数学解题思维水平．结束语中职数学教学以培养学生的数学抽象㊁建模应用㊁几何直观等核心素养为主要教学追求，将更多教学资源融入数学解题教学是非常有必要的．在具体的解题教学过程中，教师应把握 数 形 的本质，根据 数 形 之间的具体关联合理开展解题教学工作，以此锻炼学生的审题㊁析题㊁解题能力，有效培养中职学生的数学学科综合素养．ʌ参考文献ɔ［１］袁亮驹．关于中职数学解题教学的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２７）：６５－６７．［２］星蓉生．浅谈核心素养视角下的中职数学解题策略 直线与圆的方程 示例［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０２２（０７）：６８－７０．［３］成江涛．中职数学应用题解题策略［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２０（０９）：７７．［４］洪巧云．中职数学学生常用解题方法［Ｊ］．试题与研究，２０１８（３２）：６２－６３．。
浅谈一题多解在数学教学中的作用
浅谈一题多解在数学教学中的作用苏 北 中 学 许 惜 珠高中数学新课程标准中指出：培养和发展学生的数学思维能力是发展智力，全面培养数学能力的主要途径。
因此,高中数学课程应该注重提高学生的数学思维能力,这也是数学教育的基本目标之一。
数学是思维的体现，解决问题是学生学习数学的目的,因而如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题.但过多过密盲目的解题，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生疲劳,兴趣降低，窒息学生的智慧，只有“闻一以知十”题解，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维品质的发展,而一题多解无疑是激发学生兴趣，开拓思路，培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法.下面就本人在教学中的体会谈谈“一题多解”在数学教学中的作用。
一、一题多解有利于培养学生思维的广阔性对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法。
在教学中,不失时机地通过引导学生进行“一题多解”的训练，通过广泛的联想，使我们的思维触角伸向不同的方向,不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。
例1:求函数xx y cos 3cos 3+-=的值域。
解法一:（有界性法) 由x x y cos 3cos 3+-=，得:y y x +-=1)1(3cos 。
1cos ≤x ，11)1(3≤+-∴yy ,解之得:221≤≤y 。
即所求函数的值域为：]2,21[解法二：（分离变量法) 由x x y cos 3cos 3+-=，得:x y cos 361++-=1cos ≤x ，4cos 32≤+≤∴x ,3cos 3623≤+≤∴x ，2cos 36121≤++-≤x 。
即所求函数的值域为：]2,21[ 解法三：（判别式法) 设2tan x t =，由2tan 12tan 1cos 22x x x +-=，得：2tan 242tan 4222x x y ++=，即222442t t y ++=,可化为：024)42(2=-+-y t y ，由判别式可得：0)24)(42(≥---=∆y y ,解得：221≤≤y ,即所求函数的值域为：]2,21[。
数形结合在数学中的应用
一、利用数形结合思想解决集合的问题．1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n 表示集合的元素，则有：即：∴，即同时参加数理化小组的有1人．2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．例2、已知集合⑴若，求的范围.⑵若，求的范围．分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当a >0时集合A应该覆盖集合B，应有成立．.当时，，显然成立.故时的取值范围为：二.利用数形结合思想解决方程和不等式问题．1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题．通过的相互转化，利用函数y=f(x)的图象直观解决问题．如：例3、如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式．分析：我们可联想对应的二次函数，的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：．故可求出与应满足的关系式为：．2.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集．求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．如例4、解不等式．分析：我们可先联想对应的二次函数的图像．从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时，即时，．即．故可得不等式的解集为：．三、利用数形结合思想解决比较大小问题．1.构造函数利用函数图像比较大小一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．如：例5、试判断三个数间的大小．分析：这三个数我们可以看成三个函数：在时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：．2．利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形，找出代数问题的几何背景，简便解答某些代数综合题．求证：（a与c、b与d不同时相等）分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设A（a，b），B(c，d)，O(0，0).如图｜AB｜＝，｜AO｜＝，｜BO｜＝，当A、B、O三点不共线时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.当A、B、O三点共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O重合时，｜AB｜＝｜AO｜+｜BO｜．综上可证.数形结合是中学数学中重要基本思想方法之一，华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化．。
数形结合解题五例
数形结合解题五例“数形结合”是一门研究两类问题之间相互联系的学科，它是数学和几何学的实践性结合。
一个经典的数形结合解题模型是，利用数学分析的方法来解答具有几何关系的问题。
在这种情况下，解决问题的核心是发现数学模型，以及数学和几何知识之间的关系。
以下将介绍五个典型的数形结合解题案例。
第一个案例是：一只蚊子被困在圆柱形水桶内，现在要让它自由起飞，需要给桶中加多少水？这是一道数形结合案例，我们可以使用几何知识来解答这个问题。
首先，由于蚊子被困在圆柱形水桶内，我们可以确定桶的容积公式：容积=πr^2 h，其中r是桶的半径，h是桶的高度。
现在，我们需要确定桶中有多少水，因此需要求出桶中水的容积。
由于蚊子不能跨越水面，因此桶中水的容积必须超过蚊子跳过水面所需的高度，那么桶中水的容积就是h高度加上空气高度，因此总容积就是πr^2 (h+空气高度)，空气高度可以根据蚊子跳出水面所必须的高度来计算。
最后，我们只需将总容积减去桶内现有水的容积，就可以得到桶中需要加的水的容积。
第二个案例是：在XY平面上，有一直角三角形ABC，AB=3，BC=4，求角A的大小。
这是一道解三角形的数形结合问题，我们可以使用勾股定理来解答，即a^2 + b^2 = c*2。
由此可知，a=3，b=4，那么角A的大小就是A=cos--1((a*2 - b*2)/2ab)=cos--1(-5/24)=90°-cos--1(5/24)。
通过以上的运算，可以知道 ABC的三角中，角A的大小是90°-cos--1(5/24)。
第三个案例是：以圆心A为原点，有一个半径为R的完整圆，两个圆心分别为B、C，B和C的距离为d，要求确定BC两点的坐标和圆心A的半径R。
这是一道数形结合问题，我们首先要求出圆心A的半径R，首先可以使用勾股定理求出R=√(d2-d2A)可以求得圆心A的半径R。
然后确定圆心B和C在XY平面上的坐标，我们需要知道圆心A的坐标，以及两个圆心B和C之间的夹角α，也就是两个圆心所在线段的切线夹角。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：“数形结合思想”在集合运算中的应用(含答案解析)
数形联合思想方法是高中数学中常用的一种解题思想方法，在解答相关会合运算7 及抽象会合问题时，一般要借助数轴或韦恩图求解，运用数形联合思想方法能够比较形象、直观地解决问题，常常有事半功倍的成效，平常我们要增强“数形联合”的思想训练 .下边我们看几个例题.例 1.设全集U R, A x| x 1 , B x | x a 0 ,且 BUe A, 务实数a的取值范围.解： e U A x | x 1 , B x| x a ，1a1.思路点拨：第一化简并求解会合，而后借助数轴由已知所给的会合间的关系求出 a 的取值范围 .例 2.设会合S x ||x 2| 3 ,T x | a x a 8 , S T R, 务实数a的取值范围.解：第一步：化简会合，S x | x1或x 5 ,T x | a x a 8 .第二步：借助数轴：第三步：依据所给会合间的关系列不等式求解参数，a1,得 3 a 1 .例 3.某班级共有30 人，此中15 人喜爱篮球， 8 人喜爱足球，两项都不喜爱的有8 人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有_____人 .篮球足球x - 7x15- x8例 4.以下图， I 是全集， A，B， C 是它的子集，则暗影部分所表示的会合是（）ACBA.(A B) CB.( A e I B) CC.( A B)e I CD.( e I B A) C解：选择 B.注：关于韦恩图所表述的会合应做以下理解：暗影部分波及谁就交谁，不波及谁就交其补集.就此，我们看下边暗影部分所表示的会合：A B C A B (e I C)(痧I A) ( I B) Ce I ( A B) C下边给出些练习来领会以上数形联合思想在会合中的应用.练习题：1.已知会合 A = { x ? R || x 2 |< 3} , 会合 B = { x ? R | ( x－ m)( x－ 2) 0} , 且 A B(- 1, n), 则m=________ ，n=________.分析：2.某网店统计了连续三天售出商品的种类状况：第一天售出19 种商品，次日售出13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有4种，则该网店① 第一天售出但次日未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最罕有________种 .分析：3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有______人 ..已知6 人，分析：4.已知全集U = R会合M = { x | - 2 ? x 1?2}, 和 N = { x | x = 2k - 1, k ? N * }, 的韦恩图如图所示，则暗影部分所表示的会合元素共有（）A.2 个B.3 个C.1 个D. 无量多个UN M。
数形结合思想在初中数学教学中的应用策略探究
数形结合思想在初中数学教学中的应用策略探究摘要：数形结合思想在初中数学教学中发挥着重要作用,是学生快速理解数学知识、快速准确地解答数学题目的途径。
所以,开展初中数学教学时,教师需对数形结合思想进行有效渗透。
但数形结合思想的渗透需要采用相应方法,引导学生形成运用数形结合思想解题的意识,把抽象难懂的数学习题变得简单,可提高学生的解题能力和正确率。
关键词：数形结合；初中数学；教学一、数形结合思想的内涵数形结合思想常被运用于难以快速解决的问题中。
因为数学知识最大的特点为抽象,所以有些学生看到数学题目时无法理清未知数据与已知数据的联系。
而数形结合思想可帮助学生降低数学知识的学习难度,可快速帮助学生找到数量、图形之间的关系。
数形结合思想的内涵为根据已知求未知的关系。
从以下几个方面理解数形结合思想:第一,数量关系与几何图形问题具有较多相似之处。
第二,借助图像或几何图形,使抽象的知识形象化,帮助学生快速解决问题。
第三,进行代数学习。
代数是初中数学教学中的重要内容,而想要解决代数问题,就需要构建代数模型。
由此可见,数形结合思想在初中数学教学中发挥着重要作用,可以使难以理解的数学知识、数学题目转变为变量问题、图形问题,使数学知识的学习难度有效降低。
因此,帮助学生形成数形结合思想有利于提高教学质量,有利于学生的成长与发展。
二、数形结合思想在初中数学教学中的应用策略（一）科学设计教学活动渗透数形结合思想科学地设计教学活动．通过教学活动来融合数形结合的思想，可有效提高数形结合在数学中的应用。
传统教学资源有限，教学方式比较死板，因此在教学设计过程中，教师要渗透数形结合的思想有一定的难度。
但是现在，随着科技的发展，多媒体在教学中的运用越来越广泛，教师除了研究课本内容，糅合其精华部分，在其中渗透数形结合的思想外，还可以借助多媒体，利用动画等形式，将数学题目以数字、图形等表现出来，真正达到数形结合的目的。
对此，教师在教学活动的设计过程中应善于运用数学文字，引导学生慢慢熟悉数形结合的思想，使学生逐渐养成将语言文字转化成数学符号——数字和图形。
2021年高考数学真题一题多解 - 全国甲卷(理科)(解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（甲卷）一题多解及数学思维研究一、选择题1.（2021全国新高考Ⅰ卷9 ）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）答案： A【知识点】 三角函数化简、二倍角公式 【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【解法一】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==. 故选：A.【解法二】不妨设)0(tan >=y y α，则211cos ,sin y y +==αα2122tan y y-=α， 于是：)12(2)1(11222+-=-+y y y y y y y y y 4111222=+=++∴，又0>y ，1515=∴y ，即：1515tan =α【思维方式】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，本题两种方法正向思维和逆向思维，由条件到结论和由结论到条件。
体现了函数与方程的数学思想和数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。
2.（2021全国新高考Ⅰ卷10 ）10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A.13B.25C.23D.45答案：C【知识点】 古典概型【分析】】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【解法一】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+. 故选：C.【解法二】4个1和2个0随机排成一行，共有66424215A A A =种，（另解：26C 15=）， 2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有2510C =种，故2个0不相邻的概率为102153=．故选：C ．【思维方式】本题考查了古典概型概率公式的应用，体现了函数与方程的数学思想和数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用(2021年整理)
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一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用数学，是一门自然学科.对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。
大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。
“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐.熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知，数学题是做不完的。
我认为要使学生学好数学,还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。
要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力.在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。
这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。
另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生.对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习,及习题的安排。
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： ＋
／
＜ ０ １ Ｉ
、 一 ２
图８
） ＝（ — ｏ ） ｌ ｌ 的 图像 与 直线 ， ， ＝１
所 有 当 ＜ Ｏ 时
）＝（ —ｏ ） Ｉ Ｉ ＝一 ＋
有且 只有 一个交 点 ，
即方程（ 一 口 ） Ｉ ｘ Ｉ ＝ｌ 甘 Ｉ ｘ Ｉ ＝ 。 Ｉ ｘ Ｊ ＋ １ 只有一个
（ 作 者单位 ： 江西省 九江 市第 一中学 ）
综 合① ②得 实数 。的取值 范 围是 ｏ＞一 ２ 。
高 中生一
删
铀 上 旬 刊
有且 只有一 个交 点 ， 即方程 （ — ｏ ） … ＝ １ 只 有 一个
根， 由于 － 厂 （ ｏ ） ＝ ０ ， 所以 ： ０ 不 是方 程 （ 一 ０ ） Ｉ ｘ ｌ ＝ １ 的根 ，
解法 ５ ， （ ） ＝ （ — ｏ ） ｌ Ｉ 的图像 与 直线 Ｙ ＝１ 有 且 只有一个 交点 ， 即方 程 （ — ｏ ） ｌ ｌ 一１ ＝ ０只有
时符合 题意 ， 所 以实数 ｎ的取 值 范 围是ｏ ＞一 ２ 。 解法 ４ 当 ≥０时 ） ＝ 。 一 似，
Ｂ 口 口 ： ＋ — ＿（ ｌ ＜ ０ ） 无解
。
＼ 一， ，
所 以函数 ｙ： 口与 ） ， ： ＋
由于 ）＝ 一 开Ｖ Ｉ 朝上， 并且 Ｏ ）＝ ０，
与， ， ＝ １ 在ｙ 轴左侧 没 有交 点 ，
ｙ ＝ 一
根， 所 以函数 Ｙ ＝ Ｉ ｘ Ｉ 与＿ ｙ ＝ ０ Ｉ ｘ Ｉ ＋ １ 只有一个交点 ，
ｆ 、 口 ≥ ０
图 ６
爪 ／ １ ／ ／ ＝ — 砷
ｆ ａ ＜ Ｏ
图 ７
Ｊ
ｌ ＋ Ｉ
由于 ｇ （ ） ＝ 一 一１ 开 口朝上 ， 并且 ｇ （ Ｏ ） ＝一 １ ， 所以 ｇ （ ｘ ） ＝ 一 一１的 图 点， 如图 ５ 所示， 当射 线 Ｙ ＝ （ ≤ ｏ ） 与 曲线 ） ， ＝ 相 切 时计 算 得
ｙ
像 与 轴 在 ［ ０ ， ＋∞ ］ 内只有一 个交点 ，
一
个根 ， 令ｇ （ ｘ ）＝ （ 一 。 ） Ｉ ｘ ｌ 一 １ ，
当 ≥０时 ， ｇ （ ）＝（ 一０ ） Ｉ ｘ Ｉ 一１ ＝ 一似 一１ ，
贝 ４ 由（ — ｏ ） Ｉ ｘ ｌ ＝ １ 转化为 ｌ 即 函数 ｙ＝Ｉ ｌ 与） ， ＝ １ 的 图 像 只 有 一 个 交
．
ｔ
， （ ） ： ｚ 一 似 与 ： １ 在 ｙ 轴 右 侧 必 有 一 个 交 ÷ （ ＜ ０ ） 的 图 像 无 交 点 ， 由 图
点 。由于 ， （ ） ＝（ 一口 ） Ｉ ｘ Ｉ 的 图像 与 直线 Ｙ＝１ 有 且 只有一个 交 点 ， ８ 可知 。 ＞一 ２ 。 解法 ６
算得 口 ＝一 ２ ， 所以 一 ２ ＜ 。 ＜ ０ 。
②当ｏ ＜ ０ 时， 如图 ７ 所示 ，
． 厂 （ ） ＝（ — ｏ ） Ｉ ｘ Ｉ ＝一 ＋ 与Ｙ ＝ １
在 ｙ 轴 左 侧 没 有 交 点 ， 即 号 ） ＝ ，
解得 一 ２＜ １ ７ ， ＜ ０ ，
综合 ①②得 实数 。的取值 范围是 ｎ ＞一 ２ 。
ｖ ＝ ＝ ｌ
＝＝
ｌ
● ｙ
１
，
ｌ
ｆ
图 ９
ｆ
图 １ Ｏ
＼’
图 １ １
①当ｏ ≥Ｏ 时， 由图 ６可知 满足题 意 ，
①当 ａ ≥０时 ， 由图 ９ 、 １ ０ 可 知满足题 意 ；
②当 。 ＜ ０ 时， 如图 １ １ 所示 ， 射线 Ｙ＝ ０ ｌ Ｉ ＋１ （ ≤０ ） 与曲线 Ｙ ＝ Ｉ ｘ ｌ 相切 计
即当 ≥０ 时， 方程 （ 一 ０ ） Ｉ ｘ Ｉ 一 １ ＝ ０ 有—个根 ， 下 面要 确保 当 ＜ ０时 ，
ｙ ＝ ｋ ｆ ＼ ＼
口＝一 ２ ， 当 曲线 ， ， ： 一往右 移 动 ０
一
图 ５
方程 （ —ｏ ）Ｉ ｘＩ 一１ ＝一 。 ＋僦 一１＝ ０无解 ，