浙教版数学八年级竞赛培优 第六讲 构造法
浙教版八年级上册 2.6 直角三角形 课件(共28张PPT)
C
12
B D
勾股定理 在西方又称毕达哥拉斯定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么
a2 b2 c2
ac
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
中国古代数学家——赵爽的验证方法
ac
大正方形的面积可以表示为______c_2 _____； 也可以表示为_____4__a_2b___(b___a_)2___
A
F
E
B
D
C
1. 直角三角形的定义和表示 2．直角三角形的两个锐角互余． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3、如图，在△ABC中， ∠ACB=900，CD⊥AB于D， ∠A=300，则AD的值为（ ） A. 4BD B. 3BD C. 2BD D. BD
C
A
D
B
4. 在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈 ，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长 各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池 ，在池的中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到 池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇有多 长？
练一练
1. Rt△ABC中，∠C=Rt∠, 则∠A=__.
∠BA-=：∠5∠A0°B= =530:°2
2.如图，CD是Ｒt△ABC斜边上的高。 （1）图中有几个直角三角形？
Rt△ABC、 Rt△ACD、Rt△BCD
（2）图中有几对互余的角？
∠A与∠B、 ∠A与∠1、 ∠1与∠2、 ∠B与∠2
（3）图中除了直角有几对相等的角？
22
∵∠B=30°，∠ACB=90°
构造——“巧”解赛题的又一法宝
２ ， ＝１时 等号 成 立 ， 所以 ａ 。 ＋ｂ 。的最 小
值为 ８ ．
２ 构造函数 ． 隐性问题显性化
函数知识贯穿于整个高 中数学之中， 在
解决诸如方程、 三角函数 、 不等式、 数列、 解析
几何等问题时 ， 如果我们 能设法建立起限制 条件及 目 标 函数 ， 用函数的观点加以分析 ， 常 能使数学赛题得到巧妙解决． 例３ （ ２ ０ １ １ 年全国竞赛一试试题） 如果
１ ） ．
而 ｊ ｂ Ｉ ＝２ ５ ， 根据向量性质： Ｉ 口・ ｂ ｌ ≤ｌ ａ Ｉ ｌ ｂ Ｉ ，
可知 口 ， ６ 共线且方 向相 同， 所 以 ＝ ＝ ＝ ，
３ 构造 向量 ． 表 象 问题本 质化
， ，
１
从 而不等 式 得证 ．
例２ （ ２ ０ １ １ 年湖北预赛题） 已知 口 ， ｂ Ｅ
由此构造 函数 ， （ ） 一 ． ｔ ｚ ５ ＋ ， 显然它为 Ｒ
２ ４
数学教学研究
第３ ２ 卷第 ８ 期
２ ０ １ ３ 年 ８月
上 的单调 增 函 数 ， 所以 ｓ ｉ ｎ ＞ Ｃ Ｏ Ｓ 又 ０ ∈
≤
・
干
，
［ ０ ， ２ ， ｃ ） ， 故 的 取 值 范 围 是 （ 詈 ， 警 ） ．
例４ （ ２ ０ １ ２ 年辽宁省预赛试题） 不等式
即 （ 口 １ ｂ １ ＋口 ２ ６ ２ ＋… ＋口 ） 。 ≤（ ＋ ＋…＋ ） ・（ 躇＋踺＋… ） ．
＋） １ ０ ＋ 曼 ＋ 一 １ ｘ ３ — ５ ｘ ＞ ／ 口 ０ 的 解 肝 集 罘 ． Ｐ Ｊ
构造向量 ａ － ￣（ －７ ， ２ ４ ） ， ６ ＝（ ｓ ｉ ｎ口 ， 增 函 数 ． 于 是 原 不 等 式 转 化 为 ， （ ） ＞ 量数量积 ，
适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第6章数列素能培优六数列中的构造问题课件新人教A版
+3n-2.
,故 an= 3
3
1
为首项,3为公比的等比数列.
(3)(2024·江苏盐城模拟)已知在数列{an}中,a1=2,an+1-4an=2n+1,n∈N*,则{an}
n-2n
a
=4
n
的通项公式为
.
+1
+
2
+1
n+1
n+1
n+2
n
解析 因为an+1=2 +4an,所以an+1+2 =4an+2 =4(an+2 ),即
bn=lg an,得 bn+1=3bn+lg
lg2
lg2
lg2
2,∴bn+1+ 2 =3(bn+ 2 ).∵b1+ 2 =lg
lg2
lg2
∴数列{bn+ 2 }是以 2 为首项,3
1 n-1
bn= (3 -1)lg
2
2=lg
为公比的等比数列,则
1 -1
22(3 -1) . ∵bn=lg
1 -1
an+1-3an=0 显然与 a1=1,a2=5 矛盾,∴an+1-3an≠0,∴
+2 -3+1
=2,
+1 -3
∴数列{an+1-3an}是以a2-3a1=5-3=2为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1-3an=2n,①
又由(1)知,an+1-2an=3n,②
∴②-①,得an=3n-2n.∴存在两个等比数列{bn},{cn},bn=3n,cn=-2n,使得
初二数学下册《第六章梯形》课件1浙教版
•
•二、转化思想在典型的梯形问题中的应用
•（一）等腰梯形的对称性
•例：如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD， •E是BC的中点，试说明AE=DE 。
•A
•F •D
•B
•E
•C
•
•（二）梯形的边、角关系
•1、例1 如图在梯形ABCD中，AD//BC，AD=8，BC=13， CD=5，∠ B=530，求∠ D的度数。
•A
•D
•B
•E
•C
•
•2、例2，如图，梯形ABCD中，AB//CD， ∠D=2∠B ，AD+DC=8，求AB的长。
•E
•D
•C
•A
•G
•B
•
•（三）梯形的面积
•1、例，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥ BD于O， AC=5cm，BD=6cm，求梯形面积。
•A
•D
•B
•C •E
•
•（四）梯形的识别：
初二数学下册《第六章梯形 》课件1浙教版
•
•一、创设情境，自主探究发现
•研究下面的图形运动，探索可得结论
•梯形ABCD，AD//BC
•若AB=CD
•（1）作底边的垂线
•（2）延长两腰交于某一点
•
•（3）平移腰
•（4）平移对角线
•
•（5）过一腰的中点构造中点对称的两个三角形
• S梯形 = S△ABE
•1、例：在四边形ABCD中，∠B= ∠C，AB与CD不 平行，AB=CD，试判别四边形ABCD是什么四边形？
•A
•D
•B
•E
•C
Байду номын сангаас
•
浙教版八年级上培优(6)等边三角形
授课日期：2014年月日
学生
教师
邵老师
授课
时段
年级
八年级
学科
数学
课题
等边三角形
教师寄语
精神的浩瀚，想象的活跃，心灵的勤奋，就是天才。
教学内容
知Байду номын сангаас要点
1.等边三角形的定义
2.等边三角形的性质
3.等边三角形的判定
例题精析
例1.如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
教导处
4.如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ= BC，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，则DE=。
5.下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
6.如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．
求证：AE∥BC．
7.如图所示，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个△AMN，则△AMN的周长为多少．
8已知：如图，P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC=117°，∠BPC=130°，
（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由．
10.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
浙教版 数学八年级上册第1章 三角形的初步认识《构造全等三角形的四种常用方法》
∴∠DAG＋∠FAD＝60°，即∠GAF＝60°. ∴∠EAF＝∠GAF＝60°. 在△EAF 与△GAF 中， ∵A∠EE＝AAFG＝，∠GAF，
AF＝AF， ∴△EAF≌△GAF(SAS)． ∴EF＝GF＝FD＋DG， ∴EF＝FD＋BE.
∠ADB＝∠FDB＝90°， ∴△ABD≌△FBD(ASA)． ∴∠2＝∠DFB. 又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延 长线交AB于点F，连结DF. 求证：∠ADC＝∠BDF.
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足 为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折， 与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°. 在△ABD 和△FBD 中， ∵∠ BDA＝BDBD＝，∠FBD，
在△ACD 和△CBG 中， ∠1＝∠2，
∵AC＝CB， ∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴△ACD≌△CBG(ASA)． ∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点 D 为 BC 的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
第1章 三角形的初步认识
开放与探究（一） 构造全等三角形的四种常用方法
习题链接
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1 证明见习题
2 证明见习题 (1)证明见习题
3 (2)1＜AD＜4.答 Nhomakorabea显示EF ＝ BE ＋ FD ， 4 证明见习题
浙大优学·高中数学竞赛培优教程
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6. 测策略：讲解如何评价数学竞赛的解题技巧是否正确，以及如何正确判断错误的提交，有效地节省解题时间。
7. 战演练：带领学生参与真实的数学竞赛活动，做题，学习解题思路，对比自己感到高兴或低落，但不断推陈出新，有把握地参加比赛。
8. 组讨论：以小组形式引导学生进行积极的思想交流和技术探索，以不断深入的讨论来增强参赛水平。
9. 前调整：重点讲解和实践数学竞赛的前期准备，如赛前心理调节，即兴作答能力的训练等。
10.习提升：帮助学生完成复习，调整认知模式，有针对性地加强复习和总结，改进解题能力，加强竞赛准备。
本教程每一部分均是学生参赛全过程的必备课程，立足学生实际，帮助其全方位地掌握参赛的技巧，而且提供的课后作业、模拟题以及实战演练等形式，为学生逐步提升解题能力提供了广阔的平台。
新高考数学二轮复习数列中的构造问题培优教案
2 (2)已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ana＋n 3(n∈N*)，则 an＝___2_×__3_n－_1_－__1__.
∵an1＋1＝3·a1n＋1，∴an1＋1＋21＝3a1n＋12，a11＋12＝1， ∴a1n＋12是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， ∴a1n＋12＝3n－1，∴a1n＝3n－1－12， ∴an＝2×3n2－1－1.
由an＋1＝3an－4，设an＋1－λ＝3(an－λ)， 即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，λ＝2， 则an＋1－2＝3(an－2)， 又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列， 所以an－2＝3n，即an＝3n＋2.
考向2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
板块二 数 列
知识拓展
构造法是求数列通项公式的一种重要方法，其总的思路是转化为特殊的 数列，转化方向有：(1)构造常数列；(2)构造等差数列；(3)构造等比数列； (4)构造为可以利用累加法、累乘法求和的数列.
类型突破
类型一 形如an＋1＝pan＋f(n)型
类型二 形如an＋1＝pan＋qan－1(其中a1＝a，a2＝b)型
类型三
形如an＋1＝
pan ran＋s
型
例5
2 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，则 an＝__n_＋__1___.
∵an＋1＝a2n＋an2，a1＝1， ∴an≠0，∴an1＋1＝a1n＋21，即an1＋1－a1n＝12. 又 a1＝1，则a11＝1，∴a1n是以 1 为首项，21为公差的等差数列. ∴a1n＝1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴an＝n＋2 1.
规律方法
形如 an＋1＝rapna＋n s的数列 两边同时取倒数转化为an1＋1＝ps·a1n＋pr的形式，化归为 bn＋1＝pbn＋q 型， 求出a1n的表达式，再求 an.
浙教版八年级数学下册课件专题 构造三角形的中位线
四、利用角平分线与垂线构造中位线 5．如图所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O ，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H. (1)求证：GH∥BC； (2)若AB＝9 cm，AC＝14 cm，BC＝18 cm，求GH的长．
解：(1)分别延长 AG，AH 交 BC 于点 M，N，在△ABM 中， 由已知，BG 平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)， 故点 G 是 AM 的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)， 故点 H 是 AN 的中点，所以 GH 是△AMN 的中位线， 从而 HG∥MN，故 GH∥BC
(2)由(1)知，△ABG≌△MBG 及△ACH≌△NCH， 所以 AB＝BM＝9 cm，AC＝CN＝14 cm.又因为 BC＝18 cm， 所以 BN＝BC－CN＝18－14＝4(cm)，MC＝BC－BM＝18－9＝9(cm)． 从而 MN＝18－4－9＝5(cm)，∴GH＝12MN＝52cm
三、先连结两点再取中点构造中位线 3．如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，点 E，F 分别是 DC，AB 的中 点，直线 EF 分别与 BC，AD 的延长线相交于点 G，H.求证：∠AHF＝∠BGF.
解：连结 AC，取 AC 的中点 M，连结 EM，FM.易知有 EM＝12AD， EM∥AD，FM＝12BC，FM∥BC，∴∠AHF＝∠MEF， ∠BGF＝∠MFE，∵AD＝BC，∴EM＝FM，、取中点构造三角形的中位线 2．如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，垂足为点 O，BD＝12，AC＝ 16，点 E，F 分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．
解：取 BC 的中点 M，连结 EM，FM，设 EM 交 BD 于点 G， FM 交 AC 于点 H，易知 EM，FM 分别是△ABC 和△BCD 的中位线， ∴EM＝12AC＝8，EM∥AC，FM＝12BD＝6，FM∥BD， ∴四边形 OGMH 是平行四边形， ∴∠EMF＝∠BOC＝90°，∴EF＝ EM2＋FM2＝10
数学：中学数学竞赛培优教程试题15及解析
初一数学竞赛讲座第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
浙江省2019年中考数学复习题 方法技巧专题(四)构造法训练 (新版)浙教版
方法技巧专题（四）构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:（1）构造方程;(2）构造函数;(3)构造图形。
1。
［2018·自贡] 如图F4-1，若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°，连结OB,OC,则边BC的长为（)图F4-1A.RB.R C。
R D。
R2.[2018·遵义] 如图F4-2，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=(x〉0）的图象上,则经过点B的反比例函数的解析式为（)图F4-2A.y=-B.y=—C.y=—D.y=3。
设关于x的一元二次方程（x-1)(x-2)=m（m〉0)的两根分别为α，β，且α〈β，则α,β满足()A.1〈α<β<2 B。
1〈α<2〈βC。
α<1<β〈2 D.α〈1且β〉24。
如图F4-3，六边形ABCDEF的六个内角都相等。
若AB=1，BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于。
图F4—35.[2018·扬州] 如图F4—4，已知☉O的半径为2，△ABC内接于☉O,∠ACB=135°，则AB= .图F4-46。
［2018·滨州] 若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于a，b的二元一次方程组的解是。
7。
[2018·扬州］问题呈现如图F4-5①，在边长为1的正方形网格中,连结格点D，N和E,C，DN和EC相交于点P，求tan ∠CPN的值。
方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形。
观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点M，N，可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连结DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中。
问题解决（1）直接写出图①中tan∠CPN的值为；(2）如图②,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.思维拓展（3）如图③,AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N，使BN=2BC，连结AN 交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数。
初中竞赛数学用构造法解题(含解答)
用构造法解题归类当我们在对所碰到的数学命题认真的观察、仔细的分析前提下，依托所掌握的知识背景，充分发挥想像力，进行灵巧的构思，在已知与未知之间建立起一个优美的数学模型。
通过对此模型的研究，达到完成解决命题的目的。
这种方法称为构造法。
一、 构造几何图形通过构造图形去解决数学问题，充分体现了一种非常重要的数学思想方法：数形结合法。
“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，它们是数学的两大支柱。
数量关系抽象、几何图形直观。
将这两个既对立、又统一的概念巧妙地加以沟通，是研究、解决数学问题的一种重要的方法。
（1）构造直角梯形例1 设m ，n ，p 为正整数且的最小值。
求nm p p n m +=-+,0222 解：由题意，运用勾股定理的逆定理构造直角梯形，易知当m ≠n 时，AE ＞CD ，当m=n 时，AE=CD ，所以AE ≥CD 。
即0＜m+n ≤2p ，所以n m p +≥22即 n m p +的最小值为22。
（2）构造直角三角形例1 求22.50的正切函数值。
思路：我们可以借助450角的函数值，通过构造等腰直角三角形支解决。
同样这种题目也可以变为求150的正切值，请同学们自己支思考并解决。
（3）构造矩形例 1 凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，且AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FG 的长度为。
、、、、、232231225，求这个八边形的周长。
思路：凸八边形的每个内角都相等，那么它们应等于135度，每个角的外角都等于45度，我们可延长八边形的边AB 、EF 与CD 、GH ，得一矩形，矩形的四个角为等腰直角三角形，据等腰直角三角形的边的关系和矩形对边相等的关系不难求出凸八边形ABCDEFGH 的周长为2910+。
评注：如果是凸八边形的内角都相等，且知道连续四边的长，可借助矩形去解决。
（4）构造等腰三角形例1 如图所示，四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线分别交FE 的延长线于M 、N ，求证：∠AME=∠DNE 。
浙江八年级数学下第六章《反比例函数》竞赛题
2020-2021学年浙江八年级数学下第六章《反比例函数》竞赛题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本大题共8小题）1．如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △，⋯⋯是分别以1B ，2B ，3B ，⋯为直角顶点，斜边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点()111,B x y ，()222,B x y ，()333,B x y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，则1210y y y ++⋯+的值为（ ）A ．B ．6C ．D ．2．如图，已知动点P 在函数1(0)2y x x=>的图象上运动，PM x ⊥轴于点M ，PN y ⊥轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：1y x =-+交于点E ，F ，则AF BE ⋅的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．123．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，△ACO ＝△ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差即S △OAC － S △BAD 等于( )A ．3B ．6C ．4D ．94．如图，//AB x 轴，//BC y 轴，且点A ，C 在反比例函数ky x=图象上，点B 在反比例函数4k y x =图象上．延长AC 交x 轴于点F ，延长OC 交4k y x=于点E ，且2CFES =，则k 的值为（ ）A ．23B ．165C ．285D ．1035．如图，反比例函数()30y x x=>的图象经过等腰直角三角形的顶点A 和顶点C ，反比例函数()0ky x x=<的图象经过等腰直角三角形的顶点B ，90BAC ∠=︒，AB 边交y 轴于点D ，若13AD BD ，C 点的纵坐标为1，则k 的值是（ ）A ．6316-B ．498-C ．4912-D ．-66．如图，在AOC △中，AO AC =，//AC y 轴，且与x 轴交于点F ，4cos 5AOF ∠=，顶点A 在反比例36y x -=的图象上，AC ，OA 分别交反比例函数ky x=的图象于点D ，E ，连接CE ，若OCE △的面积为18，则k 的值为（ ）．A ．-18B ．-C ．14425-D ．32425-7．如图，A B 、是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( )△AOP BOP ∆≅∆；△AOP BOP S S ∆∆=；△若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；△若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△8．如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数y =kx(k ≠0，x >0)的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点E 、F ，FD △x 轴，垂足为D ，连接OE 、OF 、EF ，FD 与OE 相交于点G ．下列结论：△OF =OE ；△△EOF =60°；△四边形AEGD 与△FOG 面积相等；△EF =CF +AE ；△若△EOF =45°，EF =4，则直线FE 的函数解析式为4y x =-++其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共6小题）9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，()0,3,3C CD AD -=，点A 在ky x=上，且y 轴平分角ACB ，求k =______.10．如图，已知等边△OA 1B 1，顶点A 1在双曲线y=x（x ＞0）上，点B 1的坐标为（2，0）．过B 1作B 1A 2△OA 1交双曲线于点A 2，过A 2作A 2B 2△A 1B 1交x 轴于点B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过B 2作B 2A 3△B 1A 2交双曲线于点A 3，过A 3作A 3B 3△A 2B 2交x 轴于点B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点B 6的坐标为_____．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =kx （k ＞0）分别交反比例函数1y x=和9y x=在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD △x 轴于点D ，交1y x =的图象于点C ，连结AC ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是______．12．如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，△ABC=90°，AB=CB ，曲线0ky x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为________．13．如图，已知直线y=x+4与双曲线y=kx（x ＜0）相交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别相交于D 、C 两点，若，则k=_____．14．如图，直线2y x b =+与双曲线()0ky k x=>交于点A 、D ，直线AD 交y 轴、x 轴于点B 、C ，直线23y x n =-+过点A ，与双曲线()0ky k x=>的另一个交点为点E ，连接BE 、DE ，若4ABE S ∆=，且:3:4ABE DBE S S ∆∆=，则k 的值为_____.三、解答题（本大题共4小题）15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线y=kx+b交BC于点E（1，m），交AB于点F（4，12），反比例函数y=nx（x＞0）的图象经过点E，F．（1）求反比例函数及一次函数解析式；（2）点P是线段EF上一点，连接PO、PA，若△POA的面积等于△EBF的面积，求点P的坐标．16．如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt AOB的斜边OB在x轴上，直线y3x4=-经过等腰Rt AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线kyx=也经过A点.连接BC．()1求k的值；()2判断ABC的形状，并求出它的面积．()3若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得PAM 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知一次函数()10y kx n n =+<和反比例函数()20,0my m x x=>>．（1）如图1，若2n =-，且函数1y 、2y 的图象都经过点()3,4A ． △求m ，k 的值；△直接写出当12y y >时x 的范围；（2）如图2，过点()1,0P 作y 轴的平行线l 与函数2y 的图象相交于点B ，与反比例函数()30ny x x=>的图象相交于点C ． △若2k =，直线l 与函数1y 的图象相交点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时，求m n -的值；△过点B 作x 轴的平行线与函数1y 的图象相交于点E ．当m n -的值取不大于1的任意实数时，点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值d ．18．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2my x=（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）．(1)填空：△反比例函数的解析式是 ； △根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值； (3) 如图2，函数2my x=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交轴点B ，若BC =2CA ，求OA·OB 的值.。
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第六讲 构造法
著名数学家华罗庚教授说过：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”数形结合是一种教与学的思想，教师在教学过程中若能充分重视这一教学思想，积极引导学生去体会、理解和运用这一数学思想，将会使学生在数学学习中得益非浅。
（一）例题选讲：
１、已知 a 、b 都是正数，a －b=3 , 求当a 、b 为何值时42+a +
252+b 有最小值，并求这个最小值。
（希望杯2001年试题）
(利用勾股定理或两点间的距离公式构造几何图形)
２、长度相等，粗细不同的两支蜡烛，其中的一支可燃3小时，另一支可燃4小时，将这两支蜡烛同时点燃，当余下的长度中，一支是另一支的3倍时，蜡烛点燃了_____________ 小时。
（2003年希望杯试题）
（将线段等分法构造线段）
巩固：多少小时后第一支的长度是第二支的2倍？如果第一支能点7小时，其他条件不变，那么多少小时后第一支的长度是第二支的2倍？
3、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙已经赛了3盘，丙已经赛了2盘，丁赛了1盘，问小强已经赛了几盘？ （根据握手模型构造线段图）
4、已知a,b,c,d 都是正数，且a 2+b 2= c 2
，c 22d a -= a 2，求证：ab=cd 。
（根据式子的形式联想到勾股定理从而构造直角三角形）
5、若a ,b 均为正数，且22b a +，224b a +，224b a +是一个三角形的三条边，
那么这个三角形的面积等于____________ 。
（根据式子的形式联想到勾股定理）
6、已知a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+ c2=2a2+16a+14与bc=a2-4a-5,求a 的取值范围。
（根据式子的形式联想到韦达定理，从而构造一元二次方程）
巩固：①、已知实数a,b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,试求t的取值范围。
②实数x、y、z，满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3,求z的最大值。
思考练习：
１、有5个课外学习小组，每两个小组里有一个相同的同学，每个同学恰好参加2个兴趣小组，问这5个小组里有多少个同学？
２、6个人下棋，每两人之间最多下一盘棋。
有一天他们共下了7盘棋。
证明这一天至少有一个人下棋盘数不少于3盘。
3、甲港和乙港之间新辟一条航线，每天上午分别从车、乙两面三刀港相对开出一只船，若所有船的航速相同，且从甲港到乙港需航行7昼夜，则通航的第四天（通航日为第一天）从甲港开出的那只船在海上遇到乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有（）
A。
４只Ｂ。
７只Ｃ。
１０只Ｄ。
１１只
４、求代数式
2
2
2+
+x
x＋13
4
2+
-x
x的最小值。
５、已知：０< X < 1，求证：21x ++2)1(1x -+ > 2 2－ 1。
６、已知，a ,b ,c ,d 为正数，求以22c b + ，cd d c a 2222+++ ，
ab d b a 2222+++为三边的三角形面积 。
7、四边形ABCD 的边长为AB=43，BC=1)7(2+-m ，CD=22)6(n m -+，AD=162+n ，一条对角线BD=22)5(7n -+，其中m,n 为常数，0<m<7,0<n<5,求四
边形ABCD 的面积。
8、已知正数a 、b 、c 、M 、N 、P 满足a + M = b + N = c + P = K ，求证：aN + bP + cM < K 2 。
附加：
1．1001004322
20522012927252311
+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++ = .
2．已知:abcefg ×6=efgabc ×7,a 、b 、c 、e 、f 、g 各代表0～9中不同的数字。
则abcefg 所代表的六位数是 。
3．五年级一班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛．有22人参加语文竞赛．其中参加了数学和英语两科的有12人，参加英语和语文两科的有14人，参加数学和语文两科的有10人．那么五年一班全班至少有 人．
4．有3个连续自然数，其中最小的能被7整除，中间的能被9整除，最大的能被11整除。
这一组数的和最小是 。
5．加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完3
1时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果比计划提前4天完成任务。
这批零件共有 个。
6．水池安装有A 、B 、C 、D 、E 5根水管，有的专门放水，有的专门注水。
如果每次打开两根水管，注满一池水所需的时间如右表所示
（单位：小时）。
如果选用一根水管注水，要求尽快注满水池。
应选用 管，需 小时。
7.将一个棱长为整厘米的长方体木块的6个面都涂上红色，然后把它切成棱长为1厘米的小立方体。
在这些小立方体中，6个面都没有涂红色的有24块，仅有2个面涂有红色的有40块，仅有1个面涂有红色的有 块。
原来的长方体的体积是 立方
厘米。
8．袋子里红球与白球数量之比是19∶13．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5∶3，再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13∶11．已知放入的红球比白球少80只．那么原先袋子里共有 只球。