2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二(下)期中数学试卷(文科)
山东省潍坊市-学年度第二学期高二数学文科期中质量检测试卷
山东省潍坊市2006-2007学年度第二学期高二数学文科期中质量检测试卷2007.5本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷4至10页，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、等价条件2、ii－13的共轭复数是（ ） A 、－23＋23i B 、－23－23i C 、23＋23i D 、23－23i 3、下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）A 、某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B 、由圆的周长C ＝πd 推测球的表面积S ＝πd 2C 、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则 ∠A ＋∠B ＝180°D 、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝21(a n －1＋11－n a )(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式 4、设集合A ＝{x |x 2－a ＜0}，B ＝{x |x ＜2}，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a ≤2 B 、0＜a ＜4 C 、a ≤4 D 、0＜a ≤4 5、函数f (x )＝⎩⎨⎧≤）＜＜（－）－（＋21122x x x x ，若f (x )＝3，则x 的值是（ ）A 、3B 、±3C 、1D 、3或1 6、满足|Z|＝|3＋4i |的复数Z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A 、一条直线 B 、圆 C 、两条直线 D 、椭圆 7、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，ac ＜0，则函数的零点个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、0个 D 、无法确定 8、下列关于工序流程图的说法正确的是（ ）A 、流程图内每一道工序，可以用矩形表示也可用平行四边形表示B 、流程线是一条标有箭头的线段，可以是单向的也可以是双向的C 、流程图中每一道工序是不可以再分的D9、如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）A 、1＋21＋31＋……＋101B 、1＋31＋51＋……＋191C 、21＋41＋61＋……＋201D 、21＋221＋321＋……＋1021开始10、已知幂函数f(x)＝x a的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是（）A、{x|0＜x≤2}B、{x|0≤x≤4}C、{x|－2≤x≤2}D、{x|－4≤x≤4}11、函数f(x)＝a|x|（a＞0，x∈R）的值域是[1，＋∞)，则f(－2)与f（1）的大小关系是（）A、f(－2)＞f(1)B、f(－2)＝f(1)C、f(－2)＜f(1)D、无法确定12、在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是（）2006——2007学年度第二学期期中质量检测高 二 数 学 试 题（文史类） 2007.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1、第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
高二数学期中考试试卷(文科)
高二数学期中考试试卷(文科)考试范围：数学1（解析几何初步）、数学1—1（圆锥曲线）、数学1—2（全部）时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共10题，每小题5分，满分50分） 1．y -+5=0的倾斜角为（ ）A ．0150 B ． 0120 C ． 060 D ．0302．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．323．在研究两个分类变量x 、y 的关系时进行独立性检验常常使用统计变量2χ，如果我们有99.9%的把握认为x 、y 有关系，那么2χ值应在的临界值为（ ） A ．2.706 B ．3.841 C ．6.635 D ．10.8284．已知圆的方程为222610x y ax ay +-+-=，则圆心的轨迹方程为（ ） A ．3y x =- B ．3y x = C ．3x y =- D ．3x y =5．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．把1，3，6，10，15，21，…这些数称为三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）：则第10个三角形数为（ ） A ．45 B ．55 C ．50 D ．56 7．以下是计算201614121++++ 的值的一个 程序框图，其中判断框内填入的条件是（ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i1 3 158．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．2310．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2470x y -+=上，则抛物线的方程为（ ）A ．214y x =-B ．22147y x x y =-=或C ．27x y =D ．22147y x x y ==-或 二．填空题（共4题，每小题5分，满分20分）11.在一组随机变量x 、y 的两个回归摸型中，残差的平方和越 大的模型拟合的效果越 （填好或差）.12．阅读所给的算法流程图，则输出的结果是S= ； 13．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14. 设P 为抛物线x y 42=上的点，则P 到直线3+=x y 的最短距离为 .三.解答题（共6题，满分80分） 15．（满分12分）直线l 过点A （-2，3）且与两坐标轴截得的线段恰好被点A 平分，求直线l 的方程。
2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二下学期期中数学试卷(理科)
2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题 (共12题；共24分)1．（2分）在导数定义中“当△x→0时， △y △x→f′（x 0）”中的，△x 的取值为（ ） A ．正值B ．负值C ．正值、负值或零D ．正值或负值，但不能为零2．（2分）设A ，B 为相互独立事件，下列命题中正确的是（ ）A ．A 与B 是对立事件B ．A 与B 是互斥事件C ．A 与 B̅ 是相互独立事件 D ．A̅ 与 B ̅ 不相互独立 3．（2分）下列求导结果正确的是（ ）A ．（a ﹣x 2）′=1﹣2xB ．（2 √x 3 ）′=3 √xC ．（cos60°）′=﹣sin60°D ．[ln （2x ）]′= 12x4．（2分）已知随机变量X 的概率分布列如表所示：且X 的数学期望EX=6，则（ ）A ．a=0.3，b=0.2B ．a=0.2，b=0.3C ．a=0.4，b=0.1D ．a=0.1，b=0.45．（2分）已知自然数x 满足3A x+13 ﹣2A x+22=6A x+12，则x （ ）A ．3B ．5C ．4D ．66．（2分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知棱长为a ，M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为（ ）A ．﹣ √1515B ．√3010C ．﹣ √3010D ．√15157．（2分）以下三个命题①设回归方程为 y ∧=3﹣3x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2） （σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8． 其中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．（2分）高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（ ） A ．132B ．180C ．240D ．6009．（2分）某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得的数据如表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据： Χ2=n(n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A 与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关； 当Χ2＜3.841时认为事件A 与B 无关．）（ ）A ．有99%的把握说事件A 与B 有关 B ．有95%的把握说事件A 与B 有关C ．有90%的把握说事件A 与B 有关D ．事件A 与B 无关10．（2分）某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为 12 ），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）A ．34B ．14C ．58D ．3811．（2分）若（1+2x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 0+a 1+a 3+a 5=（ ）A ．364B ．365C ．728D ．73012．（2分）把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36B．48C．60D．84二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．14．（2分）某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是．15．（2分）∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于．16．（2分）将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为67，则实数a值为．三、解答题 (共6题；共35分)x217．（5分）已知，f（x）=1﹣lnx﹣18（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（II）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．18．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（I）求证：CF∥平面A1DE；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．19．（5分）已知（√x+ 2x2）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．（I ）求该展开式中所有有理项的项数；（II）求该展开式中系数最大的项．20．（10分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．（1）（5分）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）（5分）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．21．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD= √3，∠DAB= π6，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为π3，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（5分）某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．（I）求甲考生通过的概率；（II）求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；（Ⅲ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，故选D．【分析】△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，即可得出结论．2．【答案】C【解析】【解答】解：A中，A与B是相互独立事件，但A与B不一定是对立事件，∴A错误；B中，A与B是相互独立事件，但是A与B不一定是互斥事件，∴B错误；C中，当A与B是相互独立事件时，A与B̅是相互独立事件，∴C正确；D中，A与B是相互独立事件时，A̅与B̅不是相互独立事件，是错误的；故选：C【分析】相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是一个事件发生，另一个事件就不发生，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；由相互独立事件以及互斥、对立事件的概念判定选项中的正确命题．3．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（a﹣x2）′=a′﹣（x2）′=﹣2x，故A错误；对于B、（2 √x3）′=（2 x32）′=2× 32× x12=3 √x，故B正确；对于C、（cos60°）′=0，故C错误；对于D、[ln（2x）]′=（2x）′ 12x = 1x；故D错误；故选：B．【分析】根据题意，依次计算选项中所给函数的导数，分析可得答案．4．【答案】A【解析】【解答】解：由表格可知：0.4+a+b+0.1=1，又EX=6，可得：2+6a+7b+0.8=6，解得b=0.2，a=0.3，故选：A．【分析】利用概率的和为1，以及期望求出a、b，即可．5．【答案】C【解析】【解答】解：∵自然数x 满足3Ax+13﹣2Ax+22 =6Ax+12 ，∴3（x+1）x （x ﹣1）﹣2（x+2）（x+1）=6（x+1）x ， 整理，得：3x 2﹣11x ﹣4=0， 解得x=4或x=﹣ 13 （舍）．故选：C ．【分析】利用排列数公式构造关于x 的方程，由此能求出结果．6．【答案】D【解析】【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B 1（a ，a ，a ），M （ a 2，a 2，a 2 ），D 1（0，0，a ），N （ a 2，0，0 ）， B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ a 2 ，﹣ a 2 ，﹣ a 2 ）， D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ a 2 ，0，﹣a ）， 设B 1M 与D 1N 所成角为θ，则cosθ= |B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 14a 232a⋅√52a = √1515 ． ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为 √1515．故选：D ．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B 1M 与D 1N 所成角的余弦值．7．【答案】C【解析】【解答】解：对于①，变量x 增加一个单位时，y 平均减少3个单位，故错；对于②，根据线性相关系数r 的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r 的绝对值越接近于1，故正确；对于③，在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，符合正态分布的特点，故正确．故选：C．【分析】①，利用一次函数的单调性判定；②，利用相关性系数r的意义去判断；③，利用正态分布曲线的性质判．8．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先在5人中任选一人，选择花卷，有C51=5种情况，②、剩余4人选择其余三种食物，先将4人分成3组，有C42C21C11A22=6种分组方法，将分好的3组全排列，对应三种食物，有A33=6种情况；则不同的食物搭配方案有5×6×6=180种；故选：B．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先在5人中任选一人，选择花卷，②、剩余4人选择其余三种食物，此时要先将4人分成3组，再将分好的3组全排列，对应三种食物；分别求出每一步的情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．9．【答案】A【解析】【解答】解：提出假设：企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关求得Χ2= 72×(28×20−16×8)244×28×36×36≈8.416＞6.635所以有99%的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．故选：A．【分析】利用公式计算K2，再与临界值比较可得结论．10．【答案】D【解析】【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p= 12，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣12）2= 34，P（B）= 12，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= 34×12= 38．故选：D．【分析】由已知得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p= 12，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣12）2= 34，P（B）= 12，P（C）=P（AB）=P（A）P（B），由此能求出该部件的使用寿命超过1000小时的概率．11．【答案】D【解析】【解答】解：令x=1时，则36=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=729，令x=﹣1时，则（﹣1）6=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=1，令x=0时，a0=1∴2（a1+a3+a5）=728，∴a1+a3+a5=364∴a0+a1+a3+a5=365故选：D．【分析】分别取x=1、﹣1，0求出代数式的值，然后相加减计算即可得解．12．【答案】D【解析】【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3=6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3=6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）=48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4=36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种．故选：D．【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．13．【答案】(√33，√33，√33)【解析】【解答】解： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣1，1，0）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣1，0，1）， 设平面ABC 的一个法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {−x +y =0−x +z =0 ，取 n ⃗ =（1，1，1）． 则平面ABC 的一个单位法向量= n ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗⃗ | = (√33，√33，√33) ． 故答案为： (√33，√33，√33) ．【分析】设平面ABC 的一个法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），可得 {n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即可得出平面ABC 的一个单位法向量= n⃗⃗⃗ |n ⃗⃗⃗ | ． 14．【答案】12【解析】【解答】解：某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A 校的自主招生， 基本事件总数n= C 103 =120，其中恰有1名女生包含的基本事件个数m= C 62C 41 =60，∴其中恰有1名女生的概率p= m n =60120 = 12．故答案为： 12．【分析】先求出基本事件总数n= C 103 =120，再求出其中恰有1名女生包含的基本事件个数m=C 62C 41 =60，由此能求出其中恰有1名女生的概率．15．【答案】√33【解析】【解答】解：如图所示，设点P 为OC 反向延长线上的一点，且OP=a ， H 为P 在平面α上的射影， ∵∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，∴OH 平分∠AOB ，∴∠POH 为OC 与平面α所成的角，∴cos ∠POH= OH a = OM acos 60°2= acos60°acos30° = 1232= √33 ． 故答案为： √33．【分析】设点P 为OC 反向延长线上的一点，且OP=a ，H 为P 在平面α上的射影，由已知条件推导出POH 为OC 与平面α所成的角，由此能求出结果．16．【答案】2615【解析】【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax ）（x 2+x+1）5的展开式中，x 8项的系数为15+30a=67， 所以a=2615．故答案为：2615．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax ）（x 2+x+1）5的展开式中，x 8项的系数为15+30a=75，即可求出实数a 的值．17．【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=1﹣lnx ﹣ 18 x 2，∴f′（x ）=﹣ 1x ﹣ 14x ，x=1时，f′（1）=﹣ 54，f （1）= 78 ，∴曲线f （x ）在x=1处的切线方程为y ﹣ 78 =﹣ 54（x ﹣1），即10x+8y ﹣17=0；（Ⅱ）x ＞0，f′（x ）=﹣ 1x ﹣ 14x≤﹣1，∴曲线C 在点P 处切线的斜率为﹣ 1x ﹣ 14 x ，倾斜角α的取值范围为（ π2 ， 3π4]【解析】【分析】（Ⅰ）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f （x ）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求导数，确定切线的斜率及倾斜角α的取值范围．18．【答案】解：（Ⅰ）分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，2，0），D （0，0，0），C （0，2，0），F （0，0，1），则 DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，2）， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，0）． 设平面A 1DE 的法向量是 n ⃗ =(a ，b ，c) ，由 {n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +2c =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b =0 ，取 n ⃗ =（﹣2，1，2）． 由 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，﹣2，1），得 CF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ，从而得出CF ∥平面A 1DE ． （Ⅱ）面DEA 的一个法向量为 m ⃗⃗⃗ =(0，0，1) ．cos ＜ m ⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= 21×3=23． ∴面角A 1﹣DE ﹣A 的余弦值为 23．【解析】【分析】先分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，2，0），D （0，0，0），C （0，2，0），F （0，0，1），再写出向量 DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的坐标，求出平面A 1DE 的法向量 n ⃗ ．利用向量坐标之间的关系证得 CF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ，从而得出CF ∥平面A 1DE ．利用法向量，利用向量的夹角公式求二面角A 1﹣DE ﹣A 的余弦值．19．【答案】解：（Ⅰ）∵（ √x + 2x 2 ）n 的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等∴C n 4=C n 6， ∴n=10，∴（ √x + 2x 2 ）10的通项为T r+1=2r C 10r x 5−5r 2 ，∵5﹣ 52 r=5（1﹣ 12 r ）， 分别令r=0，2，4，6，8，10，∴展开式中所有有理项的项数第1，3，5，7，9，11项（Ⅱ）二项式共有11项，最中间一项的系数最大，即为第6项即为26C 106x ﹣10=13440x ﹣10【解析】【分析】（Ⅰ）根据（ √x + 2x 2 ）n 的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等，得到n=10，写出二项式的通项公式，再求出有理项，（Ⅱ）由已知二项式可知展开式由11项，则中间一项的二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项20．【答案】（1）解：某班从6名班干部中（男生4人，女生2人）选3人参加学校义务劳动，总的选法有 C 63 =20种，男生甲或女生乙被选中的选法有 C 21C 42+C 22C 41 =12+4=16种，∴男生甲或女生乙被选中的概率为 1620 = 45（2）解：总的选法有 C 63 =20种，男生甲被选中的概率为P （A ）= C 5220=12 ， 男生甲、女生乙都被选中的概率为P （AB ）= C 4120= 15 ； 则在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率为P （B|A ）= P(AB)P(A) = 25【解析】【分析】（1）某班从6名班干部中（男生4人，女生2人）选3人参加学校义务劳动，总的选法有 C 63 =20，男生甲或女生乙被选中的选法有 C 21C 42+C 22C 41 =12+4=16种，由此能求出男生甲或女生乙被选中的概率．（2）总的选法有 C 63 =20种，可得男生甲被选中的概率；男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，再从剩余4人中选1人，有4种选法，由此能求出结果．21．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵AB=2，AD= √3 ，∠DAB= π6 ，∴BD= √4+3−2×2×√3×32=1 ∴AB 2=AD 2+BD 2，∴AD ⊥BD ，∴BC ⊥BD∵PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，∴PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC又∵PD∩BD=D ，∴BC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）由（1）所证，BC ⊥平面PBD ，所以∠PBD 即为二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角，即∠PBD= π3而BD=1，所以PD= √3 ，分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （ √3 ，0，0），B （0，1，0），C （﹣ √3 ，1，0），P （0，0， √3 ）所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ √3 ，0， √3 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ √3 ，0，0）， BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，﹣1， √3 ）， 设平面PBC 的法向量为 n ⃗ =（a ，b ，c ），∴{−√3a =0−b +√3c =0可解得 n ⃗ =（0， √3 ，1），∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为sinθ=| √36⋅2 |= √24【解析】【分析】（1）证明BC ⊥BD ，PD ⊥BC ，即可证明BC ⊥平面PBD ；（2）确定∠PBD 即为二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角，分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC 的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP 与平面PBC 所成角的正弦值．22．【答案】解：（Ⅰ）∵考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成，∴甲考生通过的概率P=1﹣ C 41C 22C 63 = 45． （Ⅱ）由题意知甲考生正确完成题数X 的可能取值为1，2，3，P （X=1）= C 41C 22C 63 = 15 ， P （X=2）= C 42C 21C 63 = 35， P （X=3）= C 42C 20C 63 = 15 ， ∴X 的可能取值为：EX= 1×15 +2× 35 +3× 35 = 165 ． 乙两考生正确完成题数Y 的可能取值为0，1，2，3，P （Y=0）= C 30 （ 13 ）3= 127 ，P （Y=1）= C 31(23)(13)2 = 627， P （Y=2）= C 32(23)2(13) = 1227， P （Y=3）= C 33(23)3 = 827， ∴Y 的分布列是：EY= 0×127+1×627+2×1227+3×827=2．（Ⅲ）DX=（1﹣2）2× 15+（2﹣2）2× 35+（3﹣2）2× 15= 25，∵Y∽B（3，23），∴DY=3× 23×13= 23∴DX＜DY，∵P（X≥2）= 35+15=0.8，P（Y≥2）= 1227+827≈0.74∴P（X≥2）＞P（Y≥2）①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强【解析】【分析】（Ⅰ）考生甲要通过实验考查，必须正确完成至少2道，利用对立事件概率计算公式能求出甲考生通过的概率．（Ⅱ）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；乙两考生正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，23），由此能求出考生乙正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论．。
高二数学期中试题(含答案)
班级 姓名 学号 装 订 线高二年级文科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅ 则12,z z 的关系是（ ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
山东省潍坊市高二下学期期中数学试卷(文科)
山东省潍坊市高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知m，n∈R，mi－1＝n＋i，则复数m＋ni在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）已知函数的图像如图所示，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·乐山期末) 如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A . 相交B . 平行C . 异面D . 重合4. （2分）下列函数中x＝0是极值点的函数是（）A . f(x)=-x3B . f(x)=-cosxC . f(x)=sinx-xD .5. （2分） (2017高二下·河南期中) 已知f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上是单调函数，则a的取值范围是（）A . （3，+∞）B . [3，+∞）C . （﹣∞，3）D . （﹣∞，3]6. （2分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A . =﹣0.2x+3.3B . =0.4x+1.5C . =2x﹣3.2D . =﹣2x+8.67. （2分）(2018·广东模拟) 定义在上的函数满足，当时，，函数．若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）已知a是方程x+lgx=4的根，b是方程x+10x=4的根，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2+（a+b﹣4）x，若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A . [，+∞）B . [2，+∞）C . （0，2]D . [﹣，﹣1]∪[，]10. （2分） (2018高二下·长春开学考) 在区间上任取一个实数，则的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上为减函数，若+﹣2f（1）＞0，则的取值范围是（）A . （e，+∞）B . [2，e）C .D . [2，e+）12. （2分）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·常州期中) 已知f（x）=2x+log2x，则f'（1）=________．14. （1分）(2017·石家庄模拟) 设样本数据x1 ， x2 ，…，x2017的方差是4，若yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），则y1 ， y2 ，…y2017的方差为________．15. （1分） (2018高二上·成都月考) 在直线上取一点,过作以为焦点的椭圆，则当最小时，椭圆的标准方程为________.16. （1分） (2018高一下·贺州期末) 函数在上的所有零点之和等于________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计样本的众数；（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过ω吨的按2元/吨收费，超过ω吨不超过2ω吨的部分按4元/吨收费，超过2ω吨的部分按照10元/吨收费．①用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，ω至少定为多少？②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当ω=2时，估计该市居民该月的人均水费．18. （10分）(2017·潮南模拟) 已知矩形ABCD与直角梯形ABEF，∠DAF=∠FAB=90°，点G为DF的中点，AF=EF= ，P在线段CD上运动．（1）证明：BF∥平面GAC；（2）当P运动到CD的中点位置时，PG与PB长度之和最小，求二面角P﹣CE﹣B的余弦值．19. （15分）(2016·海口模拟) 汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（1）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（2）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．20. （15分）(2012·山东理) 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．21. （5分）(2017·衡水模拟) 如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2 ，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1 ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求实数λ的取值范围．22. （15分）(2017·扬州模拟) 已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a为参数．（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、。
2017-2018年山东省潍坊市高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z＝，则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y＝sin x（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝sin x（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①3．（5分）对抛物线y＝，下列判断正确的是（）A．准线方程是x＝﹣1B．焦点坐标是（1，0）C．准线方程是y＝1D．焦点坐标是（0，1）4．（5分）函数y＝的导数是（）A．y′＝﹣sin x B．y′＝﹣﹣sin xC．y′＝+cos x D．y′＝﹣﹣cos x5．（5分）用反证法证明命题“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b （a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”时，要做的假设是（）A．三条抛物线与x轴只有一个交点B．三条抛物线与x轴没有交点C．三条抛物线与x轴都有交点D．三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点6．（5分）“更相减损术”是我国古代数学专著《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为28、7，则输出的i为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A、C．若C为线段AB的中点，则点B对应的复数是（）A．2+4i B．8+2i C．﹣8﹣2i D．﹣10+i 8．（5分）统计假设H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立时，以下判断：①P（B）＝P（）•P（B），②P（A）＝P（A）•P（），③P（•）＝P（）•P （），其中正确的命题个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）函数y＝2lnx﹣3x2的单调增区间为（）A．（）∪（0，）B．（，0）∪（0，）C．（0，）D．（）10．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a8+b8＝（）A．28B．47C．76D．12311．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点12．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，且，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知命题p：∃x0，那么￢p是．14．（5分）复数（）8的模为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R，若函数f（x）在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）以下说法正确的是．①类比推理属于演绎推理．②设有一个回归方程＝2﹣3x，当变量每增加1个单位，y平均增加3个单位．③样本相关系数r满足以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．④对复数z 1，z2和自然数n有（z1•z2）n＝z z．三、解答题（共4小题，满分48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：已知先从所有实验动物中任取一只，取得“未注射疫苗”动物的概率为．（I）求2×2列表中的数据x，y，A，B的值；（II）根据上述数据能得到什么结论？附：公式及数据x2＝18．（12分）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）＝2a，f'（2）＝﹣b，其中常数a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设，求函数g（x）的极值．19．（12分）某大型养鸡场为提高鸡的产蛋量需了解鸡舍的温度x（单位℃），对鸡的时段产蛋量y（单位：t）的影响．为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度x i和产蛋量y i（i＝1，2，…7）的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．（x i）（k i）（x i））（x i）其中k i＝lny i，＝k i．（I）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝c1e（e＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍时段控制温度x的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）（II）由（I）确定的回归方程类型作为回归方程模型，根据表中数据，建立y关于x的回归方程．附：对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，3，…n），其回归直线y＝βx+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．20．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，点M（2，）是椭圆E外一点，且点F2在线段MF1的垂直平分线上．（I）求椭圆E的方程；（II）若A，B，P（点P不与椭圆顶点重合）为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且＝，求线段AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．注意：考生分别在21和22题中各任选一题解答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l经过点（0，1），求直线l被曲线C截得线段的长．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤9；（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝1（y≥0），曲线C2：x2．（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1的参数方程和C2的极坐标方程；（II）若直线l：（t为参数）与C1，C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2017-2018学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z＝，则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z＝＝＝1﹣i的共轭复数＝1+i．故选：A．2．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y＝sin x（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝sin x（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y＝sin x（x∈R）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝sin x（x∈R）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选：B．3．（5分）对抛物线y＝，下列判断正确的是（）A．准线方程是x＝﹣1B．焦点坐标是（1，0）C．准线方程是y＝1D．焦点坐标是（0，1）【解答】解：根据题意，抛物线y＝，其标准方程为x2＝4y，依次分析选项：对于A，抛物线的标准方程为x2＝4y，其准线方程为y＝﹣1，A错误；对于B，抛物线的标准方程为x2＝4y，其焦点坐标为（0，1），B错误；对于C，抛物线的标准方程为x2＝4y，其准线方程为y＝﹣1，C错误；对于D，抛物线的标准方程为x2＝4y，其焦点坐标为（0，1），D正确；故选：D．4．（5分）函数y＝的导数是（）A．y′＝﹣sin x B．y′＝﹣﹣sin xC．y′＝+cos x D．y′＝﹣﹣cos x【解答】解：函数y＝的导数是y′＝﹣﹣sin x，故选：B．5．（5分）用反证法证明命题“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b （a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”时，要做的假设是（）A．三条抛物线与x轴只有一个交点B．三条抛物线与x轴没有交点C．三条抛物线与x轴都有交点D．三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点【解答】解：由于命题：“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b （a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”的反面是：“三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点”，故用反证法证明命题“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b（a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”时，假设应为“三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点”，故选：D．6．（5分）“更相减损术”是我国古代数学专著《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为28、7，则输出的i为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由程序框图可知：当a＝28，b＝7时，满足a＞b，则a＝28﹣7＝21，i＝1由a＞b，则a＝21﹣7＝14，i＝2由a＞b，则a＝14﹣7＝7，i＝3由a＝b＝7，输出i＝3．故选：C．7．（5分）在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A、C．若C为线段AB的中点，则点B对应的复数是（）A．2+4i B．8+2i C．﹣8﹣2i D．﹣10+i【解答】解：由已知可得：A（6，5），C（﹣2，3），设B（x，y），由中点坐标公式可得，即x＝﹣10，y＝1．∴点B对应的复数是﹣10+i．故选：D．8．（5分）统计假设H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立时，以下判断：①P（B）＝P（）•P（B），②P（A）＝P（A）•P（），③P（•）＝P（）•P （），其中正确的命题个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：由统计假设H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立时，知：由统计独立性假设检验的原理可知：H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立，∴事件A，B相互独立，即事件A与B发生与否相互不受影响，则由条件概率公式可知P（|B）＝，而P（|B）＝P（），代入前式得P（B）＝P（）•P（B），故①对；同理P（A|）＝，而P（A|）＝P（A），代入前式得P（A）＝P（A）•P（），故②对；P（|）＝，而P（|）＝P（），代入前式得P（•）＝P（）•P（），故③对．故选：D．9．（5分）函数y＝2lnx﹣3x2的单调增区间为（）A．（）∪（0，）B．（，0）∪（0，）C．（0，）D．（）【解答】解：∵y＝2lnx﹣3x2，∴y′＝（x＞0）．由y′＞0，可得1﹣3x2＞0，即0＜x＜．∴函数y＝2lnx﹣3x2的单调增区间为（0，）．故选：C．10．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a8+b8＝（）A．28B．47C．76D．123【解答】解：由于a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6+b6＝11+7＝18，a7+b7＝18+11＝29，a8+b8＝29+18＝47，故选：B．11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．12．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，且，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．4【解答】解：设|PF1|＝m，|PF1|＝n，且m＞n，∵||PF1|﹣|PF2||＝2a，∴m﹣n＝2a，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°，即4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝4a2+mn，∴mn＝4c2﹣4a2，∵，∴mn sin60°＝（4c2﹣4a2）＝2a2，即c2＝3a2，即c＝a，∴e＝＝故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知命题p：∃x0，那么￢p是∀x＞1，x2﹣1≤0．【解答】解命题p：∃x0，那么￢p是：∀x＞1，x2﹣1≤0故答案为：：∀x＞1，x2﹣1≤014．（5分）复数（）8的模为1．【解答】解：∵＝，∴（）8＝i8＝1，则复数（）8的模为1．故答案为：1．15．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R，若函数f（x）在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是a．【解答】解：f′（x）＝2x+a﹣，∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，∴当x∈[1，2]时，f′（x）＝2x+a﹣≤0恒成立，即a≤﹣2x+恒成立．由于y＝﹣2x+在[1，2]上为减函数，则y min＝﹣，则a≤y min＝﹣故答案为：a16．（5分）以下说法正确的是③④．①类比推理属于演绎推理．②设有一个回归方程＝2﹣3x，当变量每增加1个单位，y平均增加3个单位．③样本相关系数r满足以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．④对复数z 1，z2和自然数n有（z1•z2）n＝z z．【解答】解：对于①，类比推理是根据两个对象在某些属性上相同或相似，通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理推理，它属于归纳推理；演绎推理是三段论式推理，二者不同，①错误；对于②，回归直线方程＝2﹣3x中，当变量每增加1个单位，y平均减少3个单位，②错误；对于③，样本相关系数r具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱，③正确；对于④，根据复数代数形式的运算法则知，复数z1，z2和自然数n满足积的乘方运算，即（z1•z2）n＝z z，④正确；综上，正确的命题序号是③④．故答案为：③④．三、解答题（共4小题，满分48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：已知先从所有实验动物中任取一只，取得“未注射疫苗”动物的概率为．（I）求2×2列表中的数据x，y，A，B的值；（II）根据上述数据能得到什么结论？附：公式及数据x2＝【解答】解：（I）取到“未注射疫苗”动物为事件A，由已知P（A）＝，………（2分）解得x＝40；所以A＝20+40＝60，y＝50﹣40＝10，B＝30+10＝40；………………………………………（6分）（II）由（I）知，填写列联表得；计算X2＝＝≈16.67＞6.635，…………………………（11分）所以有99%的把握说，动物“发病”与“注射疫苗”是有关的，可以认为动物发病与是否注射疫苗有关．……………………（12分）18．（12分）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）＝2a，f'（2）＝﹣b，其中常数a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设，求函数g（x）的极值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3+ax2+bx+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+b，则解得，∴f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1，∴f（1）＝﹣，f′（1）＝﹣3，∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1＝0；（2）由（1）知g（x）＝（3x2﹣3x﹣3）e﹣x，∴g′（x）＝（﹣3x2+9x）e﹣x，令g′（x）＝0，即（﹣3x2+9x）e﹣x＝0，得x＝0或x＝3，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，3）上单调递增．当x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（3，+∞）上单调递减．从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝﹣3，在x＝3处取得极大值g（3）＝15e﹣3．19．（12分）某大型养鸡场为提高鸡的产蛋量需了解鸡舍的温度x（单位℃），对鸡的时段产蛋量y（单位：t）的影响．为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度x i和产蛋量y i（i＝1，2，…7）的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．（x i ）（k i）（x i））（x i）其中k i＝lny i，＝k i．（I）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝c1e（e＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍时段控制温度x的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）（II）由（I）确定的回归方程类型作为回归方程模型，根据表中数据，建立y关于x的回归方程．附：对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，3，…n），其回归直线y＝βx+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．【解答】解：（I）由散点图判断，回归方程y＝c1e更适宜；……………（3分）（II）由y＝c1e得lny＝c2x+lnc1，……………………（4分）令lny＝k，c2＝β，α＝lnc1；………（5分）由图表中的数据可知＝＝＝，……………（7分）∴＝﹣＝3.6﹣17.40×＝﹣0.75＝﹣；……………（9分）∴＝x﹣；………………（10分）∴y关于x的回归方程为．……………（12分）20．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，点M（2，）是椭圆E外一点，且点F2在线段MF1的垂直平分线上．（I）求椭圆E的方程；（II）若A，B，P（点P不与椭圆顶点重合）为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且＝，求线段AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．【解答】解：（I ）椭圆E 的离心率e ＝，得＝，其中c ＝，椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 又点F 2在线段MF 1的中垂线上， ∴F 1F 2＝MF 2， ∴（2c ）2＝+（2﹣c ）2；……（3分）解得c ＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为+y 2＝1； ……………………（6分）（II ）设AB ：x ＝my +t （m ≠0）， 代入+y 2＝1，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2＝﹣，y 1y 2＝，△＝8（m 2+2﹣t 2），……………………（8分）设P （x ，y ），由＝+，得y ＝y 1+y 2＝﹣，x ＝x 1+x 2＝my 1+t +my 2+t ＝m （y 1+y 2）+2t ＝， ∵点P 在椭圆E 上，∴+＝1，即＝1，∴4t 2＝m 2+2，…………………………………………（10分） 在x ＝my +t 中，令y ＝0，则x ＝t ，令x ＝0，则y ＝﹣；∴三角形面积S △AOB ＝|xy |＝×＝×＝×（|m |+）≥×2＝，当且仅当m 2＝2，t 2＝1时取得等号，此时△＝24＞0，……………………（12分）∴所求三角形面积的最小值为．……………………………（14分）注意：考生分别在21和22题中各任选一题解答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l经过点（0，1），求直线l被曲线C截得线段的长．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），∴直线l的方程为y＝﹣x+a，即x+y﹣a＝0，…………………（2分）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．……………（5分）（2）∵直线l的参数方程（t为参数，a∈R）过（0，1），∴a＝1，将直线l的参数方程（t为参数，a∈R）代入y2＝4x，得t2+6+2＝0，t1+t2＝﹣6，t1t2＝2，由直线参数方程的几何意义可知，|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．…………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤9；（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…（2分）解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…（4分）不等式的解集为[﹣2，4]；…（5分）（2）由题意：f（x）＝﹣x2+a⇔a＝x2﹣x+5，x∈[0，2]．故方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解⇔函数y＝a和函数y＝x2﹣x+5，图象在区间[0，2]上有交点∵当x∈[0，2]时，y＝x2﹣x+5∈[，7]∴，实数a的取值范围是[，7]…………………（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝1（y≥0），曲线C2：x2．（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1的参数方程和C2的极坐标方程；（II）若直线l：（t为参数）与C1，C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求α的值．【解答】（本小题满分10分）[选修4﹣4：坐标系与参数方程]解：（I）∵曲线C1：x2+y2＝1（y≥0），∴曲线C1的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]），………（2分）∵曲线C2：x2．∴由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的极坐标方程为．…………（5分）（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），…………（6分）由，得ρA＝1，……………………………………（7分）由，得，…………………（8分）又|AB|＝，即﹣1＝，∴cosα＝，…………………（9分）而α∈[0，π]，∴α＝或α＝．…………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|＝，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A（，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．第21页（共21页）。
2016-2017年山东省潍坊市高密市高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年山东省潍坊市高密市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知函数f（x）＝x3+x2f'（2），则f'（2）的值为（）A．﹣4B．4C．﹣3D．33．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是（）A．0B．1C．2D．35．（5分）设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2B．最大值为2C．最小值为﹣2D．最大值为﹣2 6．（5分）在极坐标系中，点到直线的距离是（）A．2B．3C．D．17．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（）A．2B．4C．18D．208．（5分）与圆的有关性质类比，可以推出球的有关性质，给出以下类比：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直弦类比得到球心与界面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面；②与圆心距离相等的两条弦长相等类比与球心距离相等额两个截面圆的面积相等；③圆的周长C＝πd类比球的表面积S＝πd2；④圆的面积S＝πr2类比球的体积V＝πr3其中类比正确的是（）A．①②④B．②③C．①②③D．②③④9．（5分）如图所示是y＝f（x）的导数图象，则正确的判断是（）①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x＝﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x＝2是f（x）的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④10．（5分）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为15cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．B．C．D．11．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2D．至少有一个不小于﹣212．（5分）设函数f（x）＝2kx3+4（k﹣1）x2﹣3k2﹣2在区间（0，2）上是减函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为．14．（5分）已知两曲线的参数方程分别为和为参数）则它们的交点坐标为．15．（5分）已知f（x）＝，定义f1（x）＝f'（x），f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…f n+1（x）＝f n′（x），经计算f1（x）＝，…，则f n（x）＝．16．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣mx2有两个极值点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f（x）＝3xe x+2（e为自然对数的底）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．18．（12分）如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：（1）请根据表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程为x+y﹣9＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）射线OA：θ＝与圆C的交点是O，M，与直线l的交点为N，求线段MN的长．20．（12分）某项体育比赛对前期不同年龄段参赛选手的完成情况进行统计，得到如下2×2的列联表，已知从30～40岁段中随机选出一人，其恰好完成的概率为．（1）完成2×2的列联表；（2）有多大点把握认为完成比赛与年龄是否有关？附：下面的临界值表及公式供参考：21．（12分）设函数f（x）＝|x﹣m|．（1）当m＝3时，解不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，＝m（a＞0，b＞0），求证：3a+2b ≥4．22．（12分）设函数f（x）＝alnx+（a≠0），g（x）＝3﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝1时，设F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：对于定义域内的任意一个，都有F（x）≥0．（3）讨论函数f（x）的单调性．2016-2017学年山东省潍坊市高密市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝＝＝﹣1+2i，则共轭复数＝﹣1﹣2i所对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．2．（5分）已知函数f（x）＝x3+x2f'（2），则f'（2）的值为（）A．﹣4B．4C．﹣3D．3【解答】解：函数f（x）＝x3+x2f'（2），则f'（x）＝3x2+2xf'（2），令x＝2，则f'（2）＝12+4f'（2），∴f'（2）＝﹣4，故选：A．3．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：f′（x）＝cos x+sin x，则＝cos+sin＝+，故选：D．4．（5分）若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对①，假设（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0⇒a＝b＝c与已知a、b、c是不全相等的正数矛盾，∴①正确；对②，假设都不成立，这样的数a、b不存在，∴②正确；对③，举例a＝1，b＝2，c＝3，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，∴③不正确．故选：C．5．（5分）设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2B．最大值为2C．最小值为﹣2D．最大值为﹣2【解答】解：由题意可知b＞0，由绝对值的几何意义可知f（x）表示数轴上x对应的点与﹣b及对应点的距离之和，显然f（x）无最大值，但有最小值，即当x对应的点位于﹣b及对应点之间（含端点）时，f（x）最小，此时f（x）min＝+b≥2＝2，当且仅当b＝1时取等号，故选：A．6．（5分）在极坐标系中，点到直线的距离是（）A．2B．3C．D．1【解答】解：点P，化为直角坐标P，即P（2，2）．直线，展开：﹣＝2，化为：x﹣y+4＝0．∴点P到直线的距离＝＝2．故选：A．7．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（）A．2B．4C．18D．20【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＝0得x＝±1．当0≤x＜1时，f′（x）＜0；当1≤x≤3时，f′（x）＞0．则f（1）最小，则N＝f（1）又f（0）＝﹣a，f（3）＝18﹣a，又f（3）＞f（0），∴最大值为f（3），即M＝f（3），所以M﹣N＝f（3）﹣f（1）＝（18﹣a）﹣（﹣2﹣a）＝20．故选：D．8．（5分）与圆的有关性质类比，可以推出球的有关性质，给出以下类比：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直弦类比得到球心与界面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面；②与圆心距离相等的两条弦长相等类比与球心距离相等额两个截面圆的面积相等；③圆的周长C＝πd类比球的表面积S＝πd2；④圆的面积S＝πr2类比球的体积V＝πr3其中类比正确的是（）A．①②④B．②③C．①②③D．②③④【解答】解：①圆心与弦（垂直经）中点的连线垂直于弦，类比到空间，球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直与截面圆，正确．②与圆心距离相等的两弦相等：类比到空间：与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，正确；③圆的周长C＝πd类比球的表面积S＝πd2，正确；④圆的面积S＝πr2，类比到空间：球的体积为V＝πr3，错误；故选：C．9．（5分）如图所示是y＝f（x）的导数图象，则正确的判断是（）①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x＝﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x＝2是f（x）的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣3，﹣1）递减，在（﹣1，2）递增，在（2，4）递减，（4，+∞）递增，∴x＝﹣1是f（x）的极小值点，x＝2是f（x）的极大值点，故②③正确，故选：B．10．（5分）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为15cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆锥漏斗的高为h，则底面半径r＝，0＜h＜15，∴漏斗的体积V＝h＝（225﹣h2）h，令f（h）＝（225﹣h2）h＝﹣h3+225h，∴f′（h）＝﹣3h2+225，令f′（h）＝0得h＝5，∴当0＜h时，f′（h）＞0，当5＜h＜15时，f′（h）＜0，∴f（h）在（0，5）上单调递增，在（5，15）上单调递减，∴当h＝5时，f（h）取得最大值，即体积V取得最大值．故选：D．11．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2D．至少有一个不小于﹣2【解答】解：假设a+，b+，c+都大于﹣2，即a+＞﹣2，b+＞﹣2，c+＞﹣2，将三式相加，得a++b++c+＞﹣6，又因为a，b，c∈（﹣∞，0），所以a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+＞﹣6不成立．故选：C．12．（5分）设函数f（x）＝2kx3+4（k﹣1）x2﹣3k2﹣2在区间（0，2）上是减函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝2kx3+4（k﹣1）x2﹣3k2﹣2，∴f'（x）＝6kx2+8（k﹣1）x，∵在区间（0，2）上是减函数，∴f'（x）＝6kx2+8（k﹣1）x≤0，当k≥0时，f（2）≤0，∴0≤k≤，当k＜0时，﹣＜0，∴k＜0，∴则k的取值范围是k≤，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为1．【解答】解：∵＝是纯虚数，∴，解得a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知两曲线的参数方程分别为和为参数）则它们的交点坐标为．【解答】解：曲线的参数方程分别为化为普通方程：＝1．（y≥0）．由为参数），消去参数化为普通方程：x＝1+y．代入椭圆方程可得：3y2+2y﹣1＝0，y≥0，解得y＝，x＝．则它们的交点坐标为．故答案为：．15．（5分）已知f（x）＝，定义f1（x）＝f'（x），f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…f n+1（x）＝f n′（x），经计算f1（x）＝，…，则f n（x）＝．【解答】解：∵f1（x）＝＝，f2（x）＝＝，f3（x）＝＝，…，由此归纳可得：f n（x）＝，故答案为：16．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣mx2有两个极值点，则实数m的取值范围是（0，）．【解答】解：由题意，y′＝lnx+1﹣2mx令f′（x）＝lnx﹣2mx+1＝0得lnx＝2mx﹣1，函数y＝xlnx﹣mx2有两个极值点，等价于f′（x）＝lnx﹣2mx+1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2mx﹣1的图象有两个交点，，当m＝时，直线y＝2mx﹣1与y＝lnx的图象相切，由图可知，当0＜m＜时，y＝lnx与y＝2mx﹣1的图象有两个交点，则实数m的取值范围是（0，），故答案为：（0，）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f（x）＝3xe x+2（e为自然对数的底）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝3xe x+2（e为自然对数的底），∴f′（x）＝3e x（x+1）令f′（x）＞0，得x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），令f′（x）＜0，得x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）．（2）∵函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）．∴函数f（x）无极大值，极小值是f（﹣1）＝3×（﹣1）×e﹣1+2＝2﹣．18．（12分）如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：（1）请根据表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？【解答】解：（1）由题意得＝＝6，＝＝7，…（1分）＝2×5+4×6+6×5+8×9+10×10＝236，…（3分）＝4+16+36+64+100＝220，…（4分）则＝＝＝0.65，…（6分）＝﹣＝7﹣0.65×6＝3.1，…（8分）故线性回归方程为＝0.65x+3.1；…（9分）（2）根据线性回归方程的预测，现在生产当x＝20吨时，产品消耗的标准煤的数量为：＝0.65×20+3.1＝16.1（11分）答：预测生产20吨甲产品的生产能耗16.1吨标准煤…（12分）19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程为x+y﹣9＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）射线OA：θ＝与圆C的交点是O，M，与直线l的交点为N，求线段MN的长．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（φ为参数），∴圆C的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝4，∴圆C极坐标方程为ρ2﹣4ρ﹣4＝0．∵直线l的方程为x+y﹣9＝0，∴直线l的极坐标方程为﹣9＝0．（2）射线OA：θ＝的直角坐标方程为y＝，联立，得O（0，0），M（3，），联立，得N（，），∴线段MN的长|MN|＝＝．20．（12分）某项体育比赛对前期不同年龄段参赛选手的完成情况进行统计，得到如下2×2的列联表，已知从30～40岁段中随机选出一人，其恰好完成的概率为．（1）完成2×2的列联表；（2）有多大点把握认为完成比赛与年龄是否有关？附：下面的临界值表及公式供参考：【解答】解：（1）由30～40岁年龄段中随机选取一人，其恰好闯关成功的概率为，30～40岁年龄段的总人数为＝90，填写2×2列联表如下：（2）计算K2＝＝≈7.14＞6.635，∴有99%的把握认为闯关成功与年龄有关．21．（12分）设函数f（x）＝|x﹣m|．（1）当m＝3时，解不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，＝m（a＞0，b＞0），求证：3a+2b ≥4．【解答】解：（1）m＝3时，f（x）≥5﹣|x﹣1|等价于|x﹣3|+|x﹣1|﹣5≥0，当x≤1时，不等式为3﹣x+1﹣x﹣5≥0，解得x≤﹣；当x≥3时，不等式为x﹣3+x﹣1﹣5≥0，解得x≥；当1＜x＜3时，不等式为3﹣x+x﹣1﹣5≥0，不等式无解．综上，不等式≥解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）证明：f（x）≤1即|x﹣m|≤1，∴﹣1≤x﹣m≤1，即m﹣1≤x≤m+1，∴，解得：m＝1，故+＝1，∴3a+2b＝（3a+2b）（+）＝2++≥2+2＝4，故3a+2b≥4．22．（12分）设函数f（x）＝alnx+（a≠0），g（x）＝3﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝1时，设F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：对于定义域内的任意一个，都有F（x）≥0．（3）讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）∵a＝1时，f（x）＝lnx+（a≠0），∴f′（x）＝﹣，∴f（1）＝2，f′（1）＝﹣1，故切线方程是：y﹣2＝﹣（x﹣1），整理得：x+y﹣3＝0；（2）由（1）知，f（x）＝lnx+，F（x）＝f（x）﹣g（x），则f（x）＝lnx++x﹣3，∴F′（x）＝，x＞0，当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：∴x＝1是F（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是F（x）的最小值点，∴F（x）≥F（1）＝ln1+2+1﹣3＝0，∴F（x）≥0．（3）f′（x）＝﹣＝，①当a＜0时，∵x＞0，∴x﹣2a＞0，a（x﹣2a）＜0，∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x﹣2a）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2a）上单调递减；若x＞2a，则a（x﹣2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．。
山东省潍坊市2016年高二数学(文)下学期期中质量监测试题(有参考答案)
高二阶段性教学质量监测数学（文）试题第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数()211i i-+在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为A. ˆ 1.230.08yx =+ B. ˆ 1.234y x =+ C. ˆ 1.235yx =+ D. ˆ0.08 1.23y x =+ 3.已知命题p ：1,x R x x∃∈>，命题2:x R,x 0,q ∀∈>则 A. 命题p q ∨是假命题 B. 命题p q ∧是真命题 C. 命题()p q ∨⌝是假命题 D. 命题()p q ∧⌝是真命题4.“直线l 的方程为0x y -=”是“直线l 平分圆221x y +=的周长”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要条件 5.若函数()2sin f x a x =-，则()f β'=A. 2cos a β-B. cos β-C. sin β-D. 2cos a β- 6.若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =A. 17ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A.14 B. 34 8.光线沿着直线3y x b =-+射到直线0x y +=上，经反射后沿着直线2y ax =+射出，则有 A.1,63a b == B. 1,63a b =-=- C. 13,6a b ==- D. 13,6a b =-= 9.方程3269100x x x -+-=的实根个数是A. 3B. 2C. 1D. 0 10.若()()212ln 2f x x a x x =-+++在()1,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A. (],2-∞- B. ()3,1-- C.[)1,0- D. [)0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i +-是纯虚数()a R ∈，则复数a i +的共轭复数是 . 12.若直线30ax by +-=和圆22410x y x ++-=切一点P ()1,2-，则ab 的值为 .13.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且过点(2,P -，则抛物线的方程为 .14.设()00,P x y 是椭圆221169x y +=上一动点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则的最大值为 .15.如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增； ②函数()y f x =在区间()4,5内单调递增；③函数()y f x =的最小值是()2f -和()4f 中较小的一个； ④函数()y xf x '=在区间()3,2--内单调递增； ⑤函数()y xf x '=在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内有极值点.其中正确的判断有 .三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数. （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 17.（本题满分12分）已知命题2:,10p x R x ax ∀∈++>及命题2000:,0q x R x x a ∃∈-+=，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.18（本题满分12分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好，单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅损坏情况作了一个大致统计，具体数据如下：（1关？（2）请说明是否有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？参考公式：()21122122121212n n n n n n n n n χ++++-=19（本题满分12分） 已知函数()21ln ,2f x ax x =+，其中a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()1,a f x <-在(]0,1上的最大值为-1，求a 的值 .20（本题满分13分）已知函数(),,xf x e kx x R k =-∈为常数，e 是自然对数的底数.（1）当k e =时，证明()0f x ≥恒成立；（2）若0k >，且对于任意()0,0x f x >>恒成立，试确定实数k 的取值范围.21（本题满分14分）已知椭圆2221(08x y b b +=<<的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆经过点()0,M b . （1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于A,B 两点，且0MA MB ⋅=，求证：直线l 在y 轴上的截距是否为定值.。
2016-2017学年山东省潍坊市高密市高二下学期期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年山东省潍坊市高密市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知函数f（x）=x3+x2f'（2），则f'（2）的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．33．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则=（）A． B． C．D．4．（5分）若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a＞b与a＜b及a=b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为﹣2 D．最大值为﹣26．（5分）在极坐标系中，点到直线的距离是（）A．2 B．3 C．D．17．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（）A．2 B．4 C．18 D．208．（5分）与圆的有关性质类比，可以推出球的有关性质，给出以下类比：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直弦类比得到球心与界面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面；②与圆心距离相等的两条弦长相等类比与球心距离相等额两个截面圆的面积相等；③圆的周长C=πd类比球的表面积S=πd2；④圆的面积S=πr2类比球的体积V=πr3其中类比正确的是（）A．①②④B．②③C．①②③D．②③④9．（5分）如图所示是y=f（x）的导数图象，则正确的判断是（）①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④10．（5分）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为15cm，要使其体积最大，则其高应为（）A． B．C．D．11．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣212．（5分）设函数f（x）=2kx3+4（k﹣1）x2﹣3k2﹣2在区间（0，2）上是减函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为．14．（5分）已知两曲线的参数方程分别为和为参数）则它们的交点坐标为．15．（5分）已知f（x）=，定义f1（x）=f'（x），f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…f n（x）=f n′（x），经计算f1（x）=，…，+1则f n（x）=．16．（5分）已知函数f（x）=xlnx﹣mx2有两个极值点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f（x）=3xe x+2（e为自然对数的底）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．18．（12分）如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x246810y565910（1）请根据表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程为x+y﹣9=0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）射线OA：θ=与圆C的交点是O，M，与直线l的交点为N，求线段MN 的长．20．（12分）某项体育比赛对前期不同年龄段参赛选手的完成情况进行统计，得到如下2×2的列联表，已知从30～40岁段中随机选出一人，其恰好完成的概率为．成功（人）失败（人）合计20～30（岁）20406030～40（岁）50合计70（1）完成2×2的列联表；（2）有多大点把握认为完成比赛与年龄是否有关？附：下面的临界值表及公式供参考：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821．（12分）设函数f（x）=|x﹣m|．（1）当m=3时，解不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，=m（a＞0，b＞0），求证：3a+2b ≥4．22．（12分）设函数f（x）=alnx+（a≠0），g（x）=3﹣x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，设F（x）=f（x）﹣g（x），求证：对于定义域内的任意一个，都有F（x）≥0．（3）讨论函数f（x）的单调性．2016-2017学年山东省潍坊市高密市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数===﹣1+2i，则共轭复数=﹣1﹣2i所对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知函数f（x）=x3+x2f'（2），则f'（2）的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【分析】求导数，然后令x=2，即可求出f′（2）的值．【解答】解：函数f（x）=x3+x2f'（2），则f'（x）=3x2+2xf'（2），令x=2，则f'（2）=12+4f'（2），∴f'（2）=﹣4，故选：A【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（2）是个常数，通过求导构造关于f′（2）的方程是解决本题的关键．3．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则=（）A． B． C．D．【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f′（x）=cosx+sinx，则=cos+sin=+，故选：D【点评】本题考查了基本导数公式和导数的运算法则，属于基础题4．（5分）若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a＞b与a＜b及a=b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用反证法可证明①的正确性；对②利用反证法证明即可；对③，采用例举反例的方法解决．【解答】解：对①，假设（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0⇒a=b=c与已知a、b、c是不全相等的正数矛盾，∴①正确；对②，假设都不成立，这样的数a、b不存在，∴②正确；对③，举例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，∴③不正确．故选C【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查了反证法．5．（5分）设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为﹣2 D．最大值为﹣2【分析】由题，结合绝对值的几何意义可知当x对应的点位于﹣b及对应点之间（含端点）时f（x）最小，进而利用基本不等式可得结论．【解答】解：由题意可知b＞0，由绝对值的几何意义可知f（x）表示数轴上x对应的点与﹣b及对应点的距离之和，显然f（x）无最大值，但有最小值，即当x对应的点位于﹣b及对应点之间（含端点）时，f（x）最小，此时f（x）min=+b≥2=2，当且仅当b=1时取等号，故选：A．【点评】本题考查绝对值函数，考查绝对值的几何意义，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（5分）在极坐标系中，点到直线的距离是（）A．2 B．3 C．D．1【分析】分别化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P，化为直角坐标P，即P（2，2）．直线，展开：﹣=2，化为：x﹣y+4=0．∴点P到直线的距离==2．故选：A．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（）A．2 B．4 C．18 D．20【分析】因为要求函数的最大值和最小值，先求出函数的导函数f′（x）=3x2﹣3，然后令f′（x）=3x2﹣3=0得x=±1，又因为函数在区间[0，3]取最值，所以要讨论x的两个范围0≤x＜1和1≤x≤3时f′（x）的正与负，因为0≤x＜1时，f′（x）＜0；1≤x≤3时，f′（x）＞0所以f（1）最小，最大值要看区间的两个端点即f （3）和f（0），判断其谁大谁就是最大值，则就求出了M和N，解出M﹣N即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0得x=±1．当0≤x＜1时，f′（x）＜0；当1≤x≤3时，f′（x）＞0．则f（1）最小，则N=f （1）又f（0）=﹣a，f（3）=18﹣a，又f（3）＞f（0），∴最大值为f（3），即M=f（3），所以M﹣N=f（3）﹣f（1）=（18﹣a）﹣（﹣2﹣a）=20．故答案为D．【点评】考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力．8．（5分）与圆的有关性质类比，可以推出球的有关性质，给出以下类比：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直弦类比得到球心与界面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面；②与圆心距离相等的两条弦长相等类比与球心距离相等额两个截面圆的面积相等；③圆的周长C=πd类比球的表面积S=πd2；④圆的面积S=πr2类比球的体积V=πr3其中类比正确的是（）A．①②④B．②③C．①②③D．②③④【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①圆心与弦（垂直经）中点的连线垂直于弦，类比到空间，球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直与截面圆，正确．②与圆心距离相等的两弦相等：类比到空间：与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，正确；③圆的周长C=πd类比球的表面积S=πd2，正确；④圆的面积S=πr2，类比到空间：球的体积为V=πr3，错误；故选：B．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）如图所示是y=f（x）的导数图象，则正确的判断是（）①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④【分析】根据图象求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，进而得到答案．【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣3，﹣1）递减，在（﹣1，2）递增，在（2，4）递减，（4，+∞）递增，∴x=﹣1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点，故②③正确，故选：B．【点评】本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，本题是一道基础题．10．（5分）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为15cm，要使其体积最大，则其高应为（）A． B．C．D．【分析】求出棱锥的体积关于高h的函数，判断函数的单调性求出极大值点即可．【解答】解：设圆锥漏斗的高为h，则底面半径r=，0＜h＜15，∴漏斗的体积V=h=（225﹣h2）h，令f（h）=（225﹣h2）h=﹣h3+225h，∴f′（h）=﹣3h2+225，令f′（h）=0得h=5，∴当0＜h时，f′（h）＞0，当5＜h＜15时，f′（h）＜0，∴f（h）在（0，5）上单调递增，在（5，15）上单调递减，∴当h=5时，f（h）取得最大值，即体积V取得最大值．故选D．【点评】本题考查了圆锥的体积计算，函数单调性与极值计算，属于中档题．11．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2【分析】假设a+，b+，c+，由此利用反证法和均值不等式能求出结果．【解答】解：假设a+，b+，c+都大于﹣2，即a+＞﹣2，b+＞﹣2，c+＞﹣2，将三式相加，得a++b++c+＞﹣6，又因为a，b，c∈（﹣∞，0），所以a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+＞﹣6不成立．故选：C．【点评】本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．12．（5分）设函数f（x）=2kx3+4（k﹣1）x2﹣3k2﹣2在区间（0，2）上是减函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求出导函数，对参数k进行分类讨论即可．【解答】解：f（x）=2kx3+4（k﹣1）x2﹣3k2﹣2，∴f'（x）=6kx2+8（k﹣1）x，∵在区间（0，2）上是减函数，∴f'（x）=6kx2+8（k﹣1）x≤0，当k≥0时，f（2）≤0，∴0≤k≤，当k＜0时，﹣＜0，∴k＜0，∴则k的取值范围是k≤，故选：B．【点评】本题考查了导函数的应用，难点利用二次函数对参数k进行分类讨论．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．14．（5分）已知两曲线的参数方程分别为和为参数）则它们的交点坐标为．【分析】曲线的参数方程分别为化为普通方程：=1．（y≥0）．由为参数），消去参数化为普通方程．代入椭圆方程即可得出．【解答】解：曲线的参数方程分别为化为普通方程：=1．（y≥0）．由为参数），消去参数化为普通方程：x=1+y．代入椭圆方程可得：3y2+2y﹣1=0，y≥0，解得y=，x=．则它们的交点坐标为．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）已知f（x）=，定义f1（x）=f'（x），f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x）=f n′（x），经计算f1（x）=，…，（x），…f n+1则f n（x）=．【分析】由已知中定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．…，结合f1（x）=，…，分析出f n（x）解析式随n变化的规律，可得答案【解答】解：∵f1（x）==，f2（x）==，f3（x）==，…，由此归纳可得：f n（x）=，故答案为：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16．（5分）已知函数f（x）=xlnx﹣mx2有两个极值点，则实数m的取值范围是（0，）．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣mx）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2mx+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2mx﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数m的取值范围．【解答】解：由题意，y′=lnx+1﹣2mx令f′（x）=lnx﹣2mx+1=0得lnx=2mx﹣1，函数y=xlnx﹣mx2有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2mx+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2mx﹣1的图象有两个交点，，当m=时，直线y=2mx﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜m＜时，y=lnx与y=2mx﹣1的图象有两个交点，则实数m的取值范围是（0，），故答案为：（0，）．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f（x）=3xe x+2（e为自然对数的底）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）先求出f′（x）=3e x（x+1），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣∞，﹣1）．由此能求出函数f（x）的极值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=3xe x+2（e为自然对数的底），∴f′（x）=3e x（x+1）令f′（x）＞0，得x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），令f′（x）＜0，得x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）．（2）∵函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）．∴函数f（x）无极大值，极小值是f（﹣1）=3×（﹣1）×e﹣1+2=2﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的极小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（12分）如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x246810y565910（1）请根据表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？【分析】（1）产量x与相应的生产能耗y的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出的值，从而得到线性回归方程；（2）当x=20，代入回归直线方程，求得．【解答】解：（1）由题意得==6，==7，…（1分）=2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236，…（3分）=4+16+36+64+100=220，…（4分）则===0.65，…（6分）=﹣=7﹣0.65×6=3.1，…（8分）故线性回归方程为=0.65x+3.1；…（9分）（2）根据线性回归方程的预测，现在生产当x=20吨时，产品消耗的标准煤的数量为：=0.65×20+3.1=16.1（11分）答：预测生产20吨甲产品的生产能耗16.1吨标准煤…（12分）【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确利用最小二乘法公式，属于中档题．19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程为x+y﹣9=0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）射线OA：θ=与圆C的交点是O，M，与直线l的交点为N，求线段MN的长．【分析】（1）由圆的参数方程消去参数求出圆C的普通方程，由此能求出圆C 极坐标方程；由直线l的直角坐标方程，能求出直线l的极坐标方程．（2）射线OA：θ=的直角坐标方程为y=，联立方程组分别求出M和N 的坐标，由此利用两点间距离公式能求出线段MN的长．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（φ为参数），∴圆C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=4，∴圆C极坐标方程为ρ2﹣4ρ﹣4=0．∵直线l的方程为x+y﹣9=0，∴直线l的极坐标方程为﹣9=0．（2）射线OA：θ=的直角坐标方程为y=，联立，得O（0，0），M（3，），联立，得N（，），∴线段MN的长|MN|==．【点评】本题考查圆和直线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20．（12分）某项体育比赛对前期不同年龄段参赛选手的完成情况进行统计，得到如下2×2的列联表，已知从30～40岁段中随机选出一人，其恰好完成的概率为．成功（人）失败（人）合计20～30（岁）20406030～40（岁）50合计70（1）完成2×2的列联表；（2）有多大点把握认为完成比赛与年龄是否有关？附：下面的临界值表及公式供参考：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）由已知条件求得30～40岁年龄段的总人数，再根据表格数据，完成2×2列联表；（2）根据2×2列联表，求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表比较，得出结论．【解答】解：（1）由30～40岁年龄段中随机选取一人，其恰好闯关成功的概率为，30～40岁年龄段的总人数为=90，填写2×2列联表如下：成功（人）失败（人）合计20～30（岁）20406030～40（岁）504090合计7080150（2）计算K2==≈7.14＞6.635，∴有99%的把握认为闯关成功与年龄有关．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．21．（12分）设函数f（x）=|x﹣m|．（1）当m=3时，解不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，=m（a＞0，b＞0），求证：3a+2b ≥4．【分析】（1）对x进行讨论，去绝对值号，解不等式即可；（2）求出m，得出a，b的关系，再利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）m=3时，f（x）≥5﹣|x﹣1|等价于|x﹣3|+|x﹣1|﹣5≥0，当x≤1时，不等式为3﹣x+1﹣x﹣5≥0，解得x≤﹣；当x≥3时，不等式为x﹣3+x﹣1﹣5≥0，解得x≥；当1＜x＜3时，不等式为3﹣x+x﹣1﹣5≥0，不等式无解．综上，不等式≥解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）证明：f（x）≤1即|x﹣m|≤1，∴﹣1≤x﹣m≤1，即m﹣1≤x≤m+1，∴，解得：m=1，故+=1，∴3a+2b=（3a+2b）（+）=2++≥2+2=4，故3a+2b≥4．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．22．（12分）设函数f（x）=alnx+（a≠0），g（x）=3﹣x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，设F（x）=f（x）﹣g（x），求证：对于定义域内的任意一个，都有F（x）≥0．（3）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而证明结论；（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）∵a=1时，f（x）=lnx+（a≠0），∴f′（x）=﹣，∴f（1）=2，f′（1）=﹣1，故切线方程是：y﹣2=﹣（x﹣1），整理得：x+y﹣3=0；（2）由（1）知，f（x）=lnx+，F（x）=f（x）﹣g（x），则f（x）=lnx++x﹣3，∴F′（x）=，x＞0，当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）F′（x）﹣0+F（x）↓极小值↑∴x=1是F（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是F（x）的最小值点，∴F（x）≥F（1）=ln1+2+1﹣3=0，∴F（x）≥0．（3）f′（x）=﹣=，①当a＜0时，∵x＞0，∴x﹣2a＞0，a（x﹣2a）＜0，∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x﹣2a）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2a）上单调递减；若x＞2a，则a（x﹣2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。
潍坊市2016-17学年高二下学期4月期中考试试题数学理
2016-2017学年第二学期普通高中模块监测高二数学 (理)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.在导数定义中“当00()yx f x x∆'∆→→∆时，”中的，x ∆的取值为 A ．正值 B.负值 C ．正值、负值或零 D ．正值或负值，但不能为零 2.设A,B 为相互独立事件，下列命题中正确的是A ．A 与B 是对立事件 B ． A 与B 是互斥事件C ．A 与B 是相互独立事件D ．A 与B 不相互独立 3．下列求导结果正确的是A ．2()12a x x '-=-B ．'=C ． (cos60)sin60'=-D ．x x 21])2[ln(='4. 已知随机变量X 的概率分布列如下所示：且X A ．0.3,0.2a b == B ．0.2,0.3a b == C ．0.4,0.1a b == D ．0.1,0.4a b ==5．已知自然数x 满足322121326x x x A A A +++-=，则x =A ．3B ．5C ．4D ．66.如图所示，在正方体1111-ABCD A B C D 中，已知棱长为a ,M N ，分别是BD 和AD 的中点，则1B M 与1D N 所成角的余弦值为A ．10B. 10aC. 10-D. 15a7．以下三个命题中：①设回归方程为ˆ33yx =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8． 其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食．每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种，花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为A ．132B ．180C ．240D ． 600 9. 某企业为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得22⨯列联表如下：（参考公式与数据：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ.当2 3.841χ>时，有95%的把握说事件A 与B 有关;当2 6.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关; 当2 3.841χ<时认为事件A 与B 无关.）A.有99%的把握说事件A 与B 有关B.有95%的把握说事件A 与B 有关C.有90%的把握说事件A 与B 有关D.事件A 与B 无关10．某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1,2,3正常工作的概率都为21），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 A ．34 B. 14C. 58D. 3811. 若()623456012345612x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则0135a a a a +++=A ．364 B. 365 C. 728 D. 73012.把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是A ．36 B. 48 C. 60 D. 84第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,答案填在答题卡横线上.13. 已知(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ,则平面ABC 的一个单位法向量是 . 14.某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A 校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是 .15.AOB ∠在平面α内，OC 是平面α的一条斜线.若60AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒，则OC 与平面α所成角的余弦值是 .16．将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =⋅⋅⋅时，得到以下等式：()211x x ++=,()12211x x x x ++=++,C1A1C ()2243212321x x x x x x++=++++,23654321)367631x x x x x x x x++=++++++（，观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k行共有2k+1个数．若在()()5211ax x x+++的展开式中，8x项的系数为67，则实数a值为．三、解答题:本大题共6小题，共70分,答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）21()1ln8f x x x=--已知.（I）求曲线()f x在1=x处的切线方程;（II)求曲线()f x的切线的斜率及倾斜角α的取值范围.18. (本题满分12分)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，(I)求证：CF∥平面A1DE;(II)求二面角A1－DE－A的余弦值.19．（本小题满分12分）已知nxx)2(2+的展开式中,第五项与第七项的二项式系数相等.（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．20．（本小题满分12分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动． （I ）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II ）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P （A ）和P （B|A ）.21.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，2,AB AD ==，6DAB π∠=，DC PD AD PD ⊥⊥,. (Ⅰ)证明：⊥BC 平面PBD ；(Ⅱ)若二面角D BC P --为3π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32，且每题正确完成与否互不影响.(I)求甲考生通过的概率；（II)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望； （III)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.2016-2017学年第二学段期中监测高二数学（理）参考答案 2017.4一、山东省中学联盟提供 选择题（本大题共12小题，每小题5分） 1-5 DCBAC 6-10 ACBAD 11-12 B D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）. 13.14. 12 15.3316. 2615 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（I ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞.当1=x 时7(1)8f =，则切点的坐标是7(1,)8. ……………2分又114y x x '=--，则曲线()f x 在1=x 处的切线的斜率是54-， 故曲线()f x 在1=x 处的切线方程为108170.x y +-= ………………5分 (II)曲线f （x ）的切线的斜率为k,则111,4k y x x '==--≤- …………8分 tan 1,α∴≤-30,24ππαπα≤≤∴<≤. ………………10分 18．（本小题满分12分）解：（I ）证明：取A 1D 的中点G ，连接GF,GE,则A 1D 1∥GF,且12A 1D 1=GF ，又E 是BC 的中点，即CE=12BC,∴GF ∥CE,且GF=CE ，∴四边形GECF 为平行四边形，…………2分∴GE ∥CF.又1,CF A DE ⊄平面GE ⊂平面A 1DE ，∴ CF ∥平面A 1DE. …………4分(II)分别以DA,DC,DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则A （2,0,0）, A 1（2,0,2）,E(1,2,0),D(0,0,0), ……5分则()()12,0,2,1,2,0,DA DE == ………………6分 设平面A 1DE 的法向量是(),,,n a b c =则122020n DA a c n DE a b ⎧∙=+=⎪⎨∙=+=⎪⎩，取()2,1,2,n =- ………………8分又()10,0,2DD =是平面ADE 的法向量， 设二面角A 1－DE －A 的平面角112,cos 3DD n DD nθθ∙==则. ………………10分 所以二面角E －A 1D －A 的余弦值为23. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知：46n nC C =,10=∴n ． 251010221010122r rr rr r rr xC xxC T ---+==∴,),100(N r r ∈≤≤且 ……………3分要求该展开式中的有理项,只需令Z r∈-2510, ∴10,8,6,4,2,0=r ,所有有理项的项数为6项． ………………6分（Ⅱ）设第1+r T 项的系数最大,则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--1110101110102222r r r r r r r r C C C C ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥121011112r rr r , ………………8分 解得：322319≤≤r ,N r ∈ ,得7=r ． ………………10分 ∴展开式中的系数最大的项为22522577108153602--==xxC T .………………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）某班从6名班干部中（男生4人，女生2人）选3人参加学校义务植树活动，总的选法有36C =20种，男生甲或女生乙被选中的选法有1221242416C C C C +=种，…4分∴男生甲、女生乙至少1人被选中的概率为164=205.………………6分 （II ）………………8分………………10分男生甲被选中的情况下，女生乙被选中的概率为P （B|A ）()2()5P AB P A ==. ……12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵PD AD ⊥ ,PD CD ⊥，AD CD D =，∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ABCD ⊂平面 ， ∴BC PD ⊥.……2分又26AB AD DAB π==∠=，∴1BD ==2224,AB AD BD ∴==+ 90ADB ∴∠=,即AD BD ⊥, 又因为AD ∥BC ，∴BC BD ⊥ (4)分又∵D BD PD =⋂, BD ⊂平面PBD , PD ⊂平面PBD∴⊥BC 平面PBD . (6)分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，⊥BC 平面PBD ，所以∠PBD即为二面角P BC D --的平面角，即∠PBD 3π=，而1BD =，所以PD =…………………………………8分分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则A ，(0,1,0)B，(,0)C ，P ,所以，(AP =，(BC =，(0,1BP =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 可取(0,3,1)n = …………………………10分 ∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为3sin 46AP n AP nθ⋅===……………12分 22.（本小题满分12分）解：（I ）由题意知甲考生做对两题或3题就可通过，则甲考生通过的概率213042423366134555C C C C p C C =+=+=. …………… ………………………3分 （II ）设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为μξ,，则ξ的取值分别为1,2,3；μ的取值分别为0,1,2,3.51)1(362214===C C C p ξ,3(2)5p ξ==,1(3)5p ξ==, …………4分2513532511)(=⨯+⨯+⨯=ξE . …………………………6分271)321()0(303=-==∴C p η,同理276)1(==ηp ，2712)2(==ηp ，278)3(==ηp . …………………………7分227832712227612710)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ηE . …………………………8分 （III),5251)32(53)22(51)12()(222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD3231323)(=⨯⨯==npq D η. …………………………10分∴),()(μξD D <,74.02782712)2(,8.05153)2(≈+=≥=+=≥ηξP P )2()2(≥>≥∴ηξp p . …………………………11分 从做对题数的期望考察，两人的水平相当；从做对题数的方差考察甲较稳定；从至少完成2题的概率看甲获得通过的概率大，因此可以判断甲考生的实验操作能力强. ……12分。
【配套K12】山东省潍坊市青州市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年山东省潍坊市青州市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题P：∃x＞0，x2≤1，则￢P为（）A．∀x＞0，x2＜1 B．∃x＞0，x2＞1 C．∀x＞0，x2＞1 D．∃x＞≤0，x2≤12．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y实数，则|x+2yi|=（）A．1 B．C．D．4．以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理5．某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A．73万元B．73.5万元C．74万元D．74.5万元6．已知z=（）8，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i7．下列命题中，真命题的个数是．（）①命题“若p，则q”的否命题是“若p，则￢q”；②xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要条件；③已知命题p，q，若“p∧q”为假命题，则命题p与q一真一假；④线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的相关性越强．A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1 D．29．已知双曲线的离心率为，且抛物线y2=mx的焦点为F，点P（3，y0）（y0＞0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．3 B．2 C．D．110．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+2812．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．已知m为函数f（x）=x3﹣12x的极大值点，则m= ．14．已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．15．欧拉公式e xi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于象限．16．对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）三、解答题：本大题共4小题，满分46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．19．已知函数f （x ）=过点（1，e ）． （1）求y=f （x ）的单调区间；（2）当x ＞时，求的最小值．20．已知椭圆E ： +=1的右焦点为F （c ，0）且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的两端点为D ，H ，原点O 到直线DF 的距离为，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且||+||=4． （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P （0，1）的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点，是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？求λ的值；若不存在，请说明理由．选修4-4：坐标系与参数方程21．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM ：θ=与圆C 的交于O 、P 两点，求P 的极坐标．【选修4-5不等式选讲】22．设函数f （x ）=|x ﹣a|+3x ，其中a ＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x ≤﹣1}，求a 的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2距离的最小值．【选修4-5不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．（1）求A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+m恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省潍坊市青州市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题P：∃x＞0，x2≤1，则￢P为（）A．∀x＞0，x2＜1 B．∃x＞0，x2＞1 C．∀x＞0，x2＞1 D．∃x＞≤0，x2≤1【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由∃x∈A，M成立，其否定为：∀x∈A，￢M成立．对照选项即可得到结论．【解答】解：由∃x∈A，M成立，其否定为：∀x∈A，￢M成立．命题P：∃x＞0，x2≤1，可得￢P为∀x＞0，x2＞1，故选：C．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y实数，则|x+2yi|=（）A．1 B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）（x+yi）=2，其中x，y实数，∴x﹣y+（x+y）i=2，可得x﹣y=2，x+y=0．解得x=1，y=﹣1．则|x+2yi|=|1﹣2i|==．故选：D．4．以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理【考点】F2：合情推理的含义与作用．【分析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论．【解答】解：推理一般分为合情推理和演绎推理，故A正确所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故B 正确在数学中，证明命题的正确性能用演绎推理但不能用合情推理，故C错误演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故D正确，故选C．5．某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A．73万元B．73.5万元C．74万元D．74.5万元【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用回归直线方程恒过样本中心点，求出，再据此模型预报广告费用为10万元时销售额．【解答】解：由题意， =4.5， =35，代入=7x+，可得=3.5，∴=7x+3.5，x=10时， =7x+=73.5，故选B．6．已知z=（）8，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，在由虚数单位i得性质求解．【解答】解：∵z=（）8=，∴．故选：A．7．下列命题中，真命题的个数是．（）①命题“若p，则q”的否命题是“若p，则￢q”；②xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要条件；③已知命题p，q，若“p∧q”为假命题，则命题p与q一真一假；④线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的相关性越强．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由命题的否命题为既对条件否定，又对结论否定，即可判断①；由命题的等价命题：x=5且y=2是xy=10的充分不必要条件，即可判断②；运用复合命题的真假，即可判断③；线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的相关性越强，即可判断④．【解答】解：①命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，故①错；②x=5且y=2是xy=10的充分不必要条件，由等价性可得xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要条件，故②对；③已知命题p，q，若“p∧q”为假命题，则命题p或q为假命题，故③错；④线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的相关性越强，故④对．其中正确的命题个数为2．故选：B．8．已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1 D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．【解答】解：由题意得y′=+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，故选：A．9．已知双曲线的离心率为，且抛物线y2=mx的焦点为F，点P（3，y0）（y0＞0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．3 B．2 C．D．1【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】依题意，可求得双曲线x2﹣=1的离心率e=2，于是知m=4，从而可求抛物线y2=4x 的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，继而可得点M的横坐标为2，从而得到答案．【解答】解：∵双曲线的离心率为=，∴m=4，∴抛物线y2=mx=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1；又点P（3，y0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，∴点M的横坐标为：，∴点M到该抛物线的准线的距离d=2﹣（﹣1）=3，故选：A．10．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．12．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=acosx+3bx2，则f′（x）为偶函数，则f′=f′=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f=asin2016+b•20163+1，f（﹣2016）=﹣asin2016﹣b•20163+1，则f=2，则f+f′=2+0=2，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13．已知m为函数f（x）=x3﹣12x的极大值点，则m= ﹣2 ．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，求解极大值点即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣12x，可得f'（x）=3x2﹣12，令3x2﹣12=0，x=2或﹣2，x∈（﹣∞，﹣2），f'（x）＞0，x∈（﹣2，2）f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0，x=﹣2函数取得极大值，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．【考点】K5：椭圆的应用；F3：类比推理．【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．15．欧拉公式e xi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于二象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意结合三角函数的象限符号得答案．【解答】解：由题意可得，e3i=cos3+isin3，∵＜3＜π，∴cos3＜0，sin3＞0，则e3i表示的复数对应点的坐标为（cos3，sin3），在复平面中位于二象限．故答案为：二．16．对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是②③⑤（请把正确结论的序号填在横线上）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可．【解答】解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是[，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f（）=﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④错误；故该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点，⑤正确；故答案为：②③⑤．三、解答题：本大题共4小题，满分46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）求导数，确定切线的斜率及倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=1﹣lnx﹣x2，∴f′（x）=﹣﹣x，x=1时，f′（1）=﹣，f（1）=，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即10x+8y﹣17=0；（2）x＞0，f′（x）=﹣﹣x≤﹣1，∴曲线C在点P处切线的斜率为﹣﹣x，倾斜角α的取值范围为（，]．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根据在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，做出肥胖的学生人数，即可填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握说看营养说明与性别有关．【解答】解：（1）在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，则肥胖的学生为80人；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）由已知数据可求得：K 2=≈4.76＞3.841，因此有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．19．已知函数f （x ）=过点（1，e ）．（1）求y=f （x ）的单调区间； （2）当x ＞0时，求的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据题意得出b的值，求出导函数，得出函数的单调区间；（2）构造函数）令g（x）=，求出导函数g'（x）=，根据导函数判断函数的极值即可．【解答】解：（1）函数定义域为{x|x≠0}，f（1）=e，∴b=0，∴f（x）=，f'（x）=，当x≥1时，f'（x）≥0，函数递增；当x＜0或0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴函数的增区间为[1，+∞]，减区间为（﹣∞，0），（0，1）；（2）令g（x）=，g'（x）=，当在（0，2）时，g'（x）＜0，g（x）递减；当在（2，+∞）时，g（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）=为函数的最小值．20．已知椭圆E： +=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0，设短轴的两端点为D，H，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||+||=4．（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点P（0，1）的动直线与椭圆E交于A，B两点，是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？求λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，则a=2，由bc=，a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，即可求得b 和c的值，即可求得椭圆方程；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质即可得出定值．当直线AB的斜率不存在时，则•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7成立．【解答】解：（1）由椭圆的定义及对称性可知：||+||=4．则2a=4，a=2，由题意，O到直线DF的距离为，则=，则bc=，又a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，则b=，c=1，∴椭圆的标准方程：；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．其判别式△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=﹣．从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]，=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．选修4-4：坐标系与参数方程21．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：θ=与圆C的交于O、P两点，求P的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：θ=与圆C的交于O、P两点，则ρ=，即可求P的极坐标．【解答】解：（1）圆C的参数方程（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2=2x，极坐标方程为ρ=2cosθ；（2）射线OM：θ=与圆C的交于O、P两点，则ρ=，∴P的极坐标为（）．【选修4-5不等式选讲】22．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由cos2θ+sin2θ=1，能求出曲线C1，C2的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线．（Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（t为参数），∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2=1，…∵曲线C2：（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：，…曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．…曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．…（Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），…设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），…∵直线C3：ρcosθ﹣，∴直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，…M到C3的距离d=…===3﹣．…从而当cos（）=1时，d取得最小值3﹣．…【选修4-5不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．（1）求A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）分x＜﹣2，﹣2≤x≤2，x＞2三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x+m的范围，令a+b的最大值小于x+m的最小值即可．【解答】解：（1）①当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+2＜18，解得﹣9＜x＜﹣2；②当﹣2≤x≤2时，x+2﹣x+2＜18，恒成立；③当x＞2时，x+2+x﹣2＜18，解得2＜x＜9．综上，不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为（﹣9，﹣2）∪[﹣2，2]∪（2，9）=（﹣9，9）．∴A=（﹣9，9）．（2）∵a，b∈（﹣9，9），∴a+b∈（﹣18，18）．∵a+b＜x+m恒成立，∴18≤x+m恒成立，∵x∈（0，+∞），∴x++m≥2+m=4+m．∴18≤4+m，解得m≥14．∴m的取值范围是[14，+∞）．。
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2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数z=3﹣2i，则z的共轭复数（）A．﹣3+2i B．﹣3﹣2i C．﹣2+3i D．3+2i2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．已知函数y=f（x），下列说法错误的是（）A．△y=f（x0+△x）﹣f（x0）叫函数增量B．叫函数在[x0，x0+△x]上的平均变化率C．f（x）在点x0处的导数记为y′D．f（x）在点x0处的导数记为f′（x0）4．以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理5．某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A．73万元B．73.5万元C．74万元D．74.5万元6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y=x3﹣x2﹣40x（x＞0），为使耗电量最小，则速度为（）A．30 B．40 C．50 D．607．以下式子正确的个数是（）①（）′=②（cosx）′=﹣sinx ③（2x）′=2x ln2 ④（lgx）′=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1 D．29．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（）A．济南B．青岛C．济南和潍坊D．济南和青岛10．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+2812．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知m为函数f（x）=x3﹣12x的极大值点，则m=．14．已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．15．欧拉公式e xi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于象限．16．对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共70分）17．已知f（x）=lnx+x2．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．19．（1）已知ABCD 是复平面内的平行四边形，并且A ，B ，C 三点对应的复数分别是3+i ，﹣2i ，﹣1﹣i ，求D 点对应的复数； （2）已知复数Z 1=2， =i ，并且|z |=2，|z ﹣z 1|=|z ﹣z 2|，求z ．20．已知函数f（x ）=过点（1，e ）．（1）求y=f （x ）的单调区间； （2）当x ＞0时，求的最小值；（3）试判断方程f （x ）﹣mx=0（m ∈R 且m 为常数）的根的个数．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 的普通方程和极坐标方程； （2）射线OM ：θ=与圆C 的交于O 、P 两点，求P 的极坐标．【选修4-5：不等式选讲】22．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．（1）求A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+m恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数z=3﹣2i，则z的共轭复数（）A．﹣3+2i B．﹣3﹣2i C．﹣2+3i D．3+2i【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z=3﹣2i，则z的共轭复数=3+2i．故选：D．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．已知函数y=f（x），下列说法错误的是（）A．△y=f（x0+△x）﹣f（x0）叫函数增量B．叫函数在[x0，x0+△x]上的平均变化率C．f（x）在点x0处的导数记为y′D．f（x）在点x0处的导数记为f′（x0）【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的定义判断即可．【解答】解：根据导数的定义f′（x0）=，即可判断出A，B，D正确，C错误，故选：C4．以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理【考点】F2：合情推理的含义与作用．【分析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论．【解答】解：推理一般分为合情推理和演绎推理，故A正确所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故B正确在数学中，证明命题的正确性能用演绎推理但不能用合情推理，故C错误演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故D正确，故选C．5．某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A．73万元B．73.5万元C．74万元D．74.5万元【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用回归直线方程恒过样本中心点，求出，再据此模型预报广告费用为10万元时销售额．【解答】解：由题意，=4.5，=35，代入=7x+，可得=3.5，∴=7x+3.5，x=10时，=7x+=73.5，故选B．6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y=x3﹣x2﹣40x （x＞0），为使耗电量最小，则速度为（）A．30 B．40 C．50 D．60【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果．【解答】解：由题设知y'=x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数y=x3﹣x2﹣40x（x＞0）在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x=40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故选：B．7．以下式子正确的个数是（）①（）′=②（cosx）′=﹣sinx ③（2x）′=2x ln2 ④（lgx）′=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次对四个式子的函数求导，即可得判断其是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析四个式子：对于①、=x﹣1，则（）′=（x﹣1）′=﹣，故①错误；对于②、（cosx）′=﹣sinx 正确；对于③、（2x）′=2x ln2，正确；对于④、（lgx）′=，故④错误；综合可得：②③正确；故选：B．8．已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1 D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．【解答】解：由题意得y′=+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，故选：A．9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（）A．济南B．青岛C．济南和潍坊D．济南和青岛【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】可先由乙推出，可可能去过济南或潍坊，再由甲推出只能是济南，潍坊中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过青岛，则乙可能去过济南或潍坊，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊，则乙只能是去过济南，潍坊中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为济南．故选：A．10．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．12．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=acosx+3bx2，则f′（x）为偶函数，则f′=f′=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f=asin2016+b•20163+1，f（﹣2016）=﹣asin2016﹣b•20163+1，则f=2，则f+f′=2+0=2，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知m为函数f（x）=x3﹣12x的极大值点，则m=﹣2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，求解极大值点即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣12x，可得f'（x）=3x2﹣12，令3x2﹣12=0，x=2或﹣2，x∈（﹣∞，﹣2），f'（x）＞0，x∈（﹣2，2）f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0，x=﹣2函数取得极大值，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．【考点】K5：椭圆的应用；F3：类比推理．【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．15．欧拉公式e xi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于二象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意结合三角函数的象限符号得答案．【解答】解：由题意可得，e3i=cos3+isin3，∵＜3＜π，∴cos3＜0，sin3＞0，则e3i表示的复数对应点的坐标为（cos3，sin3），在复平面中位于二象限．故答案为：二．16．对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是②③⑤（请把正确结论的序号填在横线上）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可．【解答】解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是[，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f（）=﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④错误；故该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点，⑤正确；故答案为：②③⑤．三、解答题（本大题共4小题，共70分）17．已知f（x）=lnx+x2．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）求导数，确定切线的斜率的范围，即可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+x2，∴f′（x）=+x，x=1时，f′（1）=，f（1）=，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=（x﹣1），即10x﹣8y﹣9=0；（2）x ＞0，f′（x ）=+x ≥1，∴曲线C 在点P 处切线的斜率的最小值为1，倾斜角α的取值范围为[，）．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根据在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，做出肥胖的学生人数，即可填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握说看营养说明与性别有关．【解答】解：（1）在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，则肥胖的学生为80人；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由已知数据可求得：K2=≈4.76＞3.841，因此有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．19．（1）已知ABCD是复平面内的平行四边形，并且A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，求D点对应的复数；（2）已知复数Z1=2，=i，并且|z|=2，|z﹣z1|=|z﹣z2|，求z．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由题意画出图形，利用向量相等求出D的坐标得答案；（2）由已知求得z2，设出z，结合|z|=2，|z﹣z1|=|z﹣z2|列方程组得答案．【解答】解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，∴作出平行四边形ABCD如图：A（3，1），B（0，﹣2），C（﹣1，﹣1），设D（x，y），则，，由，得x=y=2，∴D（2，2），则D点对应的复数为2+2i；（2）∵z1=2，=i，∴z2=2i，设z=x+yi，则由|z|=2，|z﹣z1|=|z﹣z2|，得，解得或．∴z=﹣2﹣2i，或z=2=2i．20．已知函数f（x）=过点（1，e）．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，求的最小值；（3）试判断方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意得e1+b=e，可得b=0，即f（x）=（x≠0），求导数，求单调区间．（2）设g（x）==，（x＞0），g′（x）=，利用导数求出单调区间，即可求最值．（3）方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）⇔m==g（x）利用导数可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．画出图象，结合图象求解，【解答】解：（1）∵函数f（x）=过点（1，e）．得e1+b=e，可得b=0，∴f（x）=（x≠0），f′（x）=，令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＜0，y=f（x）的单调增区间是[1，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）．（0，1）．（2）设g（x）==，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=2，x∈（0，2）时，g′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（0，2）上递减，在（2，+∞）递增，∴的最小值为g（2）=．（3）方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）⇔m==g（x）g′（x）=，易知x＜0时，g′（x）＞0．结合（2）可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．原问题转化为y=m与y=g（x）交点个数，其图象如下：当m≤0时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为0；当0＜m＜时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为1；当m=时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为2；当m时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为3；【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：θ=与圆C的交于O、P两点，求P的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：θ=与圆C的交于O、P两点，则ρ=，即可求P的极坐标．【解答】解：（1）圆C的参数方程（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2=2x，极坐标方程为ρ=2cosθ；（2）射线OM：θ=与圆C的交于O、P两点，则ρ=，∴P的极坐标为（）．【选修4-5：不等式选讲】22．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2【选修4-4坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由cos2θ+sin2θ=1，能求出曲线C1，C2的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线．（Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（t为参数），∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2=1，…∵曲线C2：（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：，…曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．…曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．…（Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），…设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），…∵直线C3：ρcosθ﹣，∴直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，…M到C3的距离d=…===3﹣．…从而当cos（）=1时，d取得最小值3﹣．…【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．（1）求A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）分x＜﹣2，﹣2≤x≤2，x＞2三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x+m的范围，令a+b的最大值小于x+m的最小值即可．【解答】解：（1）①当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+2＜18，解得﹣9＜x＜﹣2；②当﹣2≤x≤2时，x+2﹣x+2＜18，恒成立；③当x＞2时，x+2+x﹣2＜18，解得2＜x＜9．综上，不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为（﹣9，﹣2）∪[﹣2，2]∪（2，9）=（﹣9，9）．∴A=（﹣9，9）．（2）∵a，b∈（﹣9，9），∴a+b∈（﹣18，18）．∵a+b＜x+m恒成立，∴18≤x+m恒成立，∵x∈（0，+∞），∴x++m≥2+m=4+m．∴18≤4+m，解得m≥14．∴m的取值范围是[14，+∞）．2017年5月26日。