第6课时轨迹方程(一)
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：第6课时 轨迹方程(一)
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3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0) 程是______________________.
4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等 差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________
x
2
_____________________. 12 16 5.动点M(x,y)满足 x - 1 )D (A)圆
y - 3
2
y
2
1 y 0， x 0
2
3x 4 y -1 5
则点M轨迹是(
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛物线
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能力·思维·方法
1.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点， → → P是l 上满足PA· PB=1的点，求点P的轨迹方程
第6课时 轨迹方程(一) 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.掌握曲线方程的概念，了解曲线的纯粹性和完备性
2.能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方 程
3.熟练掌握求轨迹方程的常用方法——直接法、定义法
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课前热身
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 y=0(x≥1) P点的轨迹方程是______________. → → → → 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP· OQ=1，则点P(x 、 -2x2+y2=1 y)的轨迹方程是______________________
4.求过点M(1，2)，以y轴为准线，离心率为1/2的椭圆的左 顶
抛物线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
=
− .
2
新知探索
设(, )是抛物线上任意一点，点到准线的距离为.由抛物线的定义，抛物
l
线是点的集合= {||| = }.
l
因为|| =
2
2
2
( − )2 + 2 ， = | + |，
2
所以 ( − )2 + 2 = | + |.
将上式两边同时平方并化简，得 2 = 2( > 0).
课堂小结
2.抛物线标准方程的几种形式：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
2 = 2( > 0)
( , 0)
2
=−
2
2 = −2(
> 0)
(− , 0)
2
=
2
课堂小结
2.抛物线标准方程的几种形式：
图形
标准方程
2
= 2( > 0)
2
= −2(
> 0)
焦点坐标
因为点(−4, 0 )在抛物线上，所以16 = −50 ，
即0 =
16
− ，所以的长为5
5
所以管柱的长为1.8 .
−
16
5
= 1.8().
课堂小结
1.抛物线的定义：
(1)定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线.
(2)焦点：定点.
(3)准线：定直线.
16
16
2
所以16 = −2 × (−5)，2 = ，所以抛物线方程为 = − (−4 ≤ ≤ 4).
高中数学—18—轨迹方程
1．已知AB 是圆2522=+y x 的动弦，若6=AB ，则线段AB 的中点的轨迹方程为 ．2．已知5=PQ ，P 到平面内一直线l 的距离为2且Q 到直线l 的距离为4，则满足条件的直线l 有 条．3．ABC ∆的三边长分别为||,||,||BC a BA c A C b ===，且a b c >>成等差数列，(1,0),(1,0)A C -，则顶点B 的轨迹方程为 ．4．已知圆O 的方程是0222=-+y x ，圆O '的方程是010822=+-+x y x ，由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 ．5．()24，P 是圆C ：036282422=---+y x y x 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足ο90=∠APB ，则弦AB 的中点Q 的轨迹方程为 ．轨迹方程热身练习知识梳理求轨迹是解析几何一个很重要的题型，方法较多，难度较大。
在此两讲中，我们将学习最为常见的几种求轨迹的方法（直接法、转移代入法、几何定义法、综合法、点差法、消参法、交轨法等）.1、直接法直接法，又称“直译法”，是求轨迹最基本的方法，圆锥曲线的标准方程都是通过直接法得到的.解题步骤就是“建设现代化镇”（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；x y；（2）设点，直接设动点坐标为(,)（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；（5）化简，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.2、转移代入法转移代入法，也称“相关点法”.当动点是随着相关的点有规律的运动而运动时，可用此法.解题步骤：第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。
解析几何初步第6课时--点到直线的距离
第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程第6课时 平面直角坐标系中的距离公式【预习导航】1.若),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点之间的距离=||AB ______.2.点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离=d ______.【基础自测】1.原点到直线1043=-y x 的距离为( ) A.1 B.2 C.5 D.102.若点),4(m M 关于点)3,(-n N 的对称点为)9,6(-P ,则=+n m ( ) A.1 B.2 C.7 D.83.若),1(),1,2(m B A -两点之间的距离为5,则m 的值为( )A.3-B.5C.1-或3-D.3-或54.若过点)1,2(P 的直线l 分别交y x ,轴于点B A ,,且||||PB PA =,则l 的方程为( ) A.042=-+y x B.032=--y x C.032=+-y x D.052=-+y x【典例剖析】题型1: 有关距离的问题例1 已知点)7,2(),2,1(B A -,在x 轴上求一点P ,使得||||PB PA =.[思路分析]由题意先设出点P 的坐标,然后根据题目条件列出方程求解即可. [解法一]由题意可设点P 的坐标为)0,(x ,又由于||||PB PA =,因此有:2222)70()2()20()1(-+-=-++x x 解得1=x .故,点P 坐标为)0,1(.[解法二]由直线AB 斜率为327-=k ,且线段AB 中点为)272,21(+C ,因此直线AB 的垂直平分线方程为: )21(723272--=+-x y . 令0=y ,得1=x .故,点P 坐标为)0,1(. [规律技巧]两种解法各有利弊.解法一直接求解；解法二从几何性质入手,值得关注. [变式训练]在直线043=-+y x 上求一点P ,使其到)1,0(),0,3(-B A 的距离相等.例2 (1)求点)2,1(-P 到下列直线的距离: ①3=x ；②5=y ；③0832=-+y x . (2)求两条平行直线0143=-+y x 和01643=-+y x 之间的距离.[思路分析]对点到直线距离公式的理解与应用应全面、正确.[解](1)①因直线3=x 平行于y 轴,故点)2,1(-P 到3=x 的距离4|)1(3|=--=d . ②因5=y 平行于x 轴,故)2,1(-P 到直线5=y 的距离为:3|25|=-=d .③由点到直线的距离公式可得: 1313432|823)1(2|22=+-⨯+-⨯=d . (2)两条平行直线之间的距离: 343|)16()1(|22=+---=d .[规律技巧]点),(00y x P 到b y a x ==,的距离既可用点到直线的距离公式计算,也可用||0a x d -=或||0b y d -=计算.另,平行直线0=++C By Ax 与0'=++C By Ax 间的距离22|'|BA C C d +-=.[变式训练]直线0243=+-y x 与直线02186=+-y x 之间的距离为________.题型2: 有关距离的应用例3 (1)求经过点)2,3(-P ,且与原点距离为3的直线方程.(2)已知动点P 到直线0132=+-y x 和0932=--y x 的距离相等,求动点P 的轨迹方程.[思路分析]对于(1),将直线方程设出来,再由点到直线距离求解即可.只是需要关注设直线方程时,直线的斜率存在与否需要讨论；对于(2),输出点的坐标,根据已知条件直接求解即可.[解](1)当直线的斜率不存在时,直线方程为3=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,可设直线方程为2)3(--=x k y ,即023=---k y kx .由3)1(|2300|22=-+---⋅=k k k d 解得125=k .故直线为:3=x 或039125=--y x . (2)设点P 坐标为),(y x ,则由题意可得:2222)3(2|932|)3(2|132|-+--=-++-y x y x ,从而得所求轨迹方程为0432=--y x . [规律技巧]经过定点的直线的斜率是否存在,在设直线方程时需讨论,否则,易漏解. [变式训练]求直线01953=+-y x 关于点)3,2(对称的直线方程.例 4 两条平行直线分别经过点)2,2(--P 和)3,1(Q ,它们之间的距离为d .如果两条直线各自绕着P ,Q 旋转,并且保持平行． (1)求d 的变化范围； (2)用d 表示两条直线的斜率； (3)当d 最大时,求两条直线的斜率． [思路分析]先设两条平行直线的斜率,再逐步求解即可.[解](1)当两条平行直线的斜率均不存在时,3=d ；当两平行直线的斜率均存在时,设斜率为k ,则过点P 的直线为2(2)y k x +=+,即220kx y k -+-=；过点Q 的直线方程为30kx y k --+=. 则有22|223||35|,11k k k d k k -+--==++令222930251k k u d k -+==+,去分母,整理得2(9)30(25)0u k k u -++-=，即,关于k 的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=有实数根.①当9=u 时,方程有实数根； ②当9≠u 时,方程要有实数根,则可由0)25)(9(4302≥---u u ,得340≤≤u .综上可知,d 的变化范围为034d ≤≤. (2)由(1)中的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=,即 222(9)30(25)0d k k d -++-=,解得2215349d d k d -±-=-.(3)当max 34d =时,2215341539255d d k d -±-==-=--. [规律技巧]本题中求d 的取值范围的方法值得关注.读者可以考虑还有什么方法可以求得(1)中的d 的取值范围.[变式训练]已知点)4,3(P ,以及直线0943=++y x 上的动点Q ,则Q P ,两点间距离的最小值为________.【课时作业】 一、选择题1.点)1,1(到直线2=-y x 的距离为( )A.1B.2C.2D.22 2.若过点),5(),,3(b B a A 两点的直线与直线m x y +=平行,则=||AB ( ) A.1 B.2 C.2 D.22 3.直线0134=-+y x 与0368=++y x 之间的距离为( )A.21B.1C.23D.24.若点P 在直线02743=--y x 上,点Q的坐标为)1,2(,则当||PQ 最小时,点P 的坐标为( )A.)3,5(-B.)0,9(C.)5,3(-D.)3,5(-二、填空题5.若点P 在直线06125=++y x 上,点Q 为)2,3(,则||PQ 的最小值为______．6.若x 轴上的点P 到直线0643=+-y x 的距离为6,则P 点坐标为______．7.若点),4(a 与直线4310x y --=的距离不大于3,则a 的取值范围为______.8.若)1,1(到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离为d ,则d 的最大值为______.三、解答题9.在直线2y x =+上找一点,使它到直线3480x y -+=和310x y --=的距离的平方和最小．10.已知)3,2(1P ,)5,4(2-P 与点)2,1(-A ,求过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线方程．第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程第6课时 平面直角坐标系中的距离公式【预习导航】1.若),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点之间的距离=||AB ______.2.点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离=d ______.参考答案:1.212212)()(y y x x -+-.2.2200||BA C By Ax +++.【基础自测】1.原点到直线1043=-y x 的距离为( )A.1B.2C.5D.10 2.若点),4(m M 关于点)3,(-n N 的对称点为)9,6(-P ,则=+n m ( ) A.1 B.2 C.7 D.8 3.若),1(),1,2(m B A -两点之间的距离为5,则m 的值为( )A.3-B.5C.1-或3-D.3-或54.若过点)1,2(P 的直线l 分别交y x ,轴于点B A ,,且||||PB PA =,则l 的方程为( )A.042=-+y xB.032=--y xC.032=+-y xD.052=-+y x 参考答案: 1.B 2.D 3.D 4.A【典例剖析】题型1: 有关距离的问题例1 已知点)7,2(),2,1(B A -,在x 轴上求一点P ,使得||||PB PA =.[思路分析]由题意先设出点P 的坐标,然后根据题目条件列出方程求解即可. [解法一]由题意可设点P 的坐标为)0,(x ,又由于||||PB PA =,因此有:2222)70()2()20()1(-+-=-++x x 解得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[解法二]由直线AB 斜率为327-=k ,且线段AB 中点为)272,21(+C ,因此直线AB 的垂直平分线方程为: )21(723272--=+-x y . 令0=y ,得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[规律技巧]两种解法各有利弊,解法一直接求解；解法二则是抓住几何性质入手,值得关注.[变式训练]在直线043=-+y x 上求一点P ,使其到)1,0(),0,3(-B A 的距离相等.解:由题意可设点P 的坐标为),34(y y -,又由于||||PB PA =,因此有:2222)1()34()334(++-=+--y y y y 解得1=y .所以,所求点P 的坐标为)1,1(.例2 (1)求点)2,1(-P 到下列直线的距离: ①3=x ；②5=y ；③0832=-+y x . (2)求两条平行直线0143=-+y x 和01643=-+y x 之间的距离.[思路分析]对点到直线距离公式的理解与应用应全面、正确.[解](1)①因直线3=x 平行于y 轴,故点)2,1(-P 到3=x 的距离4|)1(3|=--=d .②因5=y 平行于x 轴,故)2,1(-P 到直线5=y 的距离为:3|25|=-=d .③由点到直线的距离公式可得:1313432|823)1(2|22=+-⨯+-⨯=d . (2)两条平行直线之间的距离: 343|)16()1(|22=+---=d .[规律技巧]点),(00y x P 到b y a x ==,的距离既可用点到直线的距离公式计算,也可用||0a x d -=或||0b y d -=计算.另外,平行直线0=++C By Ax 与0'=++C By Ax 间的距离22|'|BA C C d +-=.[变式训练]直线0243=+-y x 与直线02186=+-y x 之间的距离为________.解:由直线02186=+-y x 的方程可化为: 022143=+-y x . 故,两直线间的距离为间的距离 1017)4(3|2221|22=-+-=d . 题型2: 有关距离的应用例3 (1)求经过点)2,3(-P ,且与原点距离为3的直线方程.(2)已知动点P 到直线0132=+-y x 和0932=--y x 的距离相等,求动点P 的轨迹方程.[思路分析]对于(1),将直线方程设出来,再由点到直线距离求解即可.只是需要关注设直线方程时,直线的斜率存在与否需要讨论；对于(2),输出点的坐标,根据已知条件直接求解即可.[解](1)当直线的斜率不存在时,直线方程为3=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,由题意可设直线方程为)3()2(-=--x k y ,整理可得: 023=---k y kx . 由点到直线的距离公式可得: 3)1(|2300|22=-+---⋅=k k k d ,解得125=k .故,所求直线方程为:3=x 或039125=--y x .(2)设点P 坐标为),(y x ,则由题意可得:2222)3(2|932|)3(2|132|-+--=-++-y x y x ,从而得所求轨迹方程为0432=--y x . [规律技巧]经过定点的直线的斜率是否存在,在设直线方程时常常需要讨论,否则,容易漏解.[变式训练]求直线01953=+-y x 关于点)3,2(对称的直线方程.解:由题意可知,所求直线与已知直线一定平行,故可设所求直线方程为: 053=+-m y x .又由点)3,2(到两直线距离相等可得:2222)5(3|3523|)5(3|193523|-++⨯-⨯=-++⨯-⨯m ,解得19=m (舍),或1-=m . 故,所求直线方程为0153=--y x . 例 4 两条平行直线分别经过点)2,2(--P 和)3,1(Q ,它们之间的距离为d .如果两条直线各自绕着P ,Q 旋转,并且保持平行． (1)求d 的变化范围； (2)用d 表示两条直线的斜率； (3)当d 最大时,求两条直线的斜率． [思路分析]先设两条平行直线的斜率,再逐步求解即可.[解](1)当两条平行直线的斜率均不存在时,3=d ；当两平行直线的斜率均存在时,设斜率为k ,则过点P 的直线为2(2)y k x +=+,即220kx y k -+-=；过点Q 的直线方程为30kx y k --+=.两条平行直线间的距离为: 22|223||35|,11k k k d k k -+--==++令222930251k k u d k -+==+,去分母,整理得2(9)30(25)0u k k u -++-=，即,关于k 的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=有实数根.①当9=u 时,方程有实数根； ②当9≠u 时,方程要有实数根,则必有:0)25)(9(4302≥---u u ,即,340≤≤u .综上可知,d 的变化范围为034d ≤≤. (2)由(1)中的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=,即 222(9)30(25)0d k k d -++-=,解得2215349d d k d -±-=-. (3)当max 34d =时,2215341539255d d k d -±-==-=--. [规律技巧]本题中求d 的取值范围的方法值得关注.读者可以考虑还有什么方法可以求得(1)中的d 的取值范围.[变式训练]已知点)4,3(P ,以及直线0943=++y x 上的动点Q ,则Q P ,两点间距离的最小值为________.解:由于Q P ,两点间距离的最小值即为点P 到直线0943=++y x 的距离,故所求的最小值为53443|94433|22=++⨯+⨯=d . 【课时作业】 一、选择题1.点)1,1(到直线2=-y x 的距离为( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:C 由点到直线的距离公式可得: 211|21111|22=+-⨯-⨯=d .2.若过点),5(),,3(b B a A 两点的直线与直线m x y +=平行,则=||AB ( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:D 由题意得135=--ab ,故2=-a b . 因此,22)()35(||22=-+-=a b AB .3.直线0134=-+y x 与0368=++y x 之间的距离为( )A.21 B.1 C.23D.2 答案:A 由直线的方程0134=-+y x 可化为0268=-+y x ,从而可得: 2168|)2(3|22=+--=d . 4.若点P 在直线02743=--y x 上,点Q的坐标为)1,2(,则当||PQ 最小时,点P 的坐标为( )A.)3,5(-B.)0,9(C.)5,3(-D.)3,5(-答案:A 由于当||PQ 最小时PQ 与已知直线垂直,故验证斜率即可得解.二、填空题5.若点P 在直线06125=++y x 上,点Q 为)2,3(,则||PQ 的最小值为______．答案:1345 由题有1345125|621235|22=++⨯+⨯.6.若x 轴上的点P 到直线0643=+-y x 的距离为6,则P 点坐标为______． 答案:)0,8(或)0,12(- 由题可设)0,(x P ,则有6)4(3|6043|22=-++⨯-x ,解之,得8=x 或12-=x .7.若点),4(a 与直线4310x y --=的距离不大于3,则a 的取值范围为______. 答案:010a ≤≤ 根据题意可得|4431|35a ⨯--≤,解得010a ≤≤.8.若)1,1(到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离为d ,则d 的最大值为______. 答案:22+ 由题意可得:|2)4sin(2|sin cos |2sin cos |22-+=+-+=πθθθθθd 故,2222+≤≤--d .三、解答题9.在直线2y x =+上找一点,使它到直线3480x y -+=和310x y --=的距离的平方和最小．解:设点(,2)P x x +,则有1348855x x xd --+==,2321231010x x x d ----==.从而可得:10)32(25322221-+=+x x d d])1115(2245)1115(22[50122⨯-+-=x 所以当1511x =时,有最小值,此时3711y =.∴点P 的坐标为1537(,)1111.10.已知)3,2(1P ,)5,4(2-P 与点)2,1(-A ,求过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线方程． 解法1：当直线斜率不存在时,方程为1-=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,设直线的方程为2(1)y k x -=+,即20kx y k -++=，1P ,2P 到直线的距离相等,则有,1254123222+++--=+++-kk k k k k化简得3313+=-k k ,解得13k =-,代入得直线方程为 350x y +-=. 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.解法2：若1P ,2P 在直线l 的同侧,1P ,2P 到l 的距离相等,则过1P ,2P 的直线与直线l平行,则过点1P ,2P 的直线的斜率为531423k -==---，∴过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线l 方程为350x y +-=；若1P ,2P 在直线l 的异侧时,要1P ,2P 到l 的距离相等,则l 一定过1P ,2P 的中点,则1P ,2P 的中点为)4,1(-,又l 要过点A , 故直线l 的方程是10x +=． 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.。
高中数学第2讲参数方程第6课时抛物线的参数方程课件新人教A版选修4_4
① ②
由②得 t1＋t2＝1， 代入①得 t21＋t22＝1－p p＞0，所以 0＜p＜1．
又t21＋2 t22＞t1＋2 t22，得1－p p＞12，所以 0<p＜23．
综上，0＜p＜23．
利用参数方程设出抛物线上点的坐标， 减少了未知量的引入．根据条件建立恰当的不等式，快捷方便 地求出了p的范围．
焦点坐标为14，0．
2．参数方程xy＝ ＝csions2θθ， (θ 为参数)所表示的曲线为(
)
A．抛物线的一部分
B．一条抛物线
C．双曲线的一部分
D．一条双曲线
【答案】A 【解析】x＋y2＝1⇒y2＝－x＋1，又x＝cos2θ∈[0,1]，方程Biblioteka 表示的曲线为抛物线的一部分．
3
．
参
数
方
程
x＝cos θ， y＝1＋cos 2θ
利 用 参 数 t 的 几 何 意 义 ， 由 OA⊥OB 得 t1·t2＝－1，利用根与系数的关系解决问题．
2．设M是抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P 为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．
【解析】令 y＝2t，则 x＝y22＝2t2，得抛物线的参数方程
x＝2t2， y＝2t.
200＝v0t0sin
α－12gt20，
0＝2v0t0sin α－2gt20，
消去 t0，得vv0022ssiinn2ααc＝os2α4＝003g0.00g，
解得 tan α＝45，v0＝7 1 230(米/秒)．
抛物线的轨迹问题
【 例 2】 已 知 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 过 顶 点 的 两 弦 OA⊥OB，求以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．
2 4 2圆的一般方程 学案 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
课 题： 2.4.2圆的一般方程（1） 课型： 新授课 课程标准： 掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件，选择适当的圆的方程形式，求出圆的标准方程，或圆的一般方程. 学科素养： 数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模 重 点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程；掌握圆标准方程与一般方程的互化. 难 点：与圆有关的简单的轨迹方程问题教学过程：一、复习回顾1、圆的标准方程；2、点),(000y x M 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系及对应条件.二、讲授新知1、圆的一般方程的概念思考：4)2()1(22=++-y x 表示圆心为（1，-2）半径为2的圆，可变形为014222=++-+y x y x .一般地，圆的标准方程都可以变形022=++++F Ey Dx y x 的形式，反过来，形如这样的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？（不一定，例：064222=+--+y x y x ）探究：022=++++F Ey Dx y x 中的D,E,F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 左边配方，常数项移到右边：44222222F E D E y D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （1）0422＞F E D -+，方程表示以(22E D --，)为圆心，F E D 42122-+为半径圆； （2）0422=-+F E D ，方程表示一个点（22E D --，）； （3）0422＜F E D -+，不表示任何图形.圆的一般式方程：）＞（0402222F E D F Ey Dx y x -+=++++注：圆的标准方程特点：明确表达了圆的几何要素：圆心坐标和半径；圆的一般方程特点：是一种特殊的二元二次方程，圆心与半径需要运算得出；形式上特点：22y x ，项系数相同，可化为1；无xy 项；0422＞F E D -+.2、点与圆的位置关系点),(000y x M 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系：0M 在圆内22020)()(r b y a x <-+-⇔0002020＜F Ey Dx y x ++++⇔0M 在圆上22020)()(r b y a x =-+-⇔0002020=++++⇔F Ey Dx y x0M 在圆外22020)()(r b y a x >-+-⇔0002020＞F Ey Dx y x ++++⇔题型一：圆的一般方程的应用1、P88练习1 求圆心坐标和半径；并把一般式化为标准式。
高考数学附加题归类复习
高考数学附加题归类复习一、附加题的两点共识1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．（3）准确定位，合理取舍．二、各模块归类分析及应对策略1．附加题的知识内容比较多，根据江苏高考说明，考查选修系列2中的内容，主要有：曲线方程与抛物线，空间向量与立体几何，复合函数的导数，数学归纳法，排列组合与二项式定理，离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及选修4系列中的《4-1几何证明选讲》，《4-2矩阵与变换》，《4-4坐标系与参数方程》，《4-5不等式选讲》．2．二轮专题和课时建议：专题内容说明（核心）第1课时矩阵与变换矩阵的运算；矩阵与变换；逆矩阵；特征值与特征向量．采取专题与考试、讲评相结合的方法，最终形成完整的知识结构，突出重点专题，控制难度，提高解题速度和运算的准确性第2课时参数方程与坐标系极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程的互化；圆、椭圆的参数方程应用．第3课时排列组合两个计数原理、排列组合第4~5课时概率及概率分布互斥事件、独立事件、独立重复试验，概率分布及期望、方差第6课时二项式定理二项式展开，系数与二项式系数第7课时空间向量与立体几何空间向量的坐标运算，三种角的计算第8课时圆锥曲线与方程轨迹方程；抛物线的标准方程及几何性质；直线与抛物线第9课时数学归纳法数学归纳法原理及简单应用3．四年高考考查内容2008年2009年2010年2011年矩阵与变换曲线与变换逆矩阵矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法坐标系与椭圆的参数方程参数方程化普通极坐标方程化直角参数方程化普通参数方程 的应用 方程 坐标方程 方程 22题 向量的夹角 直线与抛物线 概率 二面角的计算 23题组合恒等式证明概率与不等式数学归纳法组合计数（一）矩阵与变换考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．例1（南京市2008－2009学年度第一学期期末调研）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0，0)，B (－1，2)，C (0，3)．求△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换所得到的图形的面积． 变化1：（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，0)，B (－2，0)，C(－2，1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．变化2：（2011年江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 12 1，向量?＝⎣⎡⎦⎤12，求向量?，使得A 2?＝?．考点二：二阶矩阵与平面变换例2在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．变化1：（南京市2009－2010学年度第一学期期末调研测）求直线2x ＋y －1＝0在矩阵⎣⎡⎦⎤1 2 0 2作用下变换得到的直线的方程．说明：直线变换为直线，直接用两点变换相对简单．变化2：（南京市2010届第三次模拟）如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值．变化3：已知△ABC ，A (－1，0)，B (3，0)，C (2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．（1）分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；（2）求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．说明：可以依次计算两次变换下的对应点，也可以利用矩阵乘法将连续两次变换等效为一次变换，应注意该变换对应的矩阵应该是第二次变换对应的矩阵左乘第一次变换对应的矩阵，在本题中即M 2 M 1，矩阵乘法是不满足交换律的． 考点三： 逆矩阵例3（2009年江苏高考）求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．．说明：方法一，根据A A －1＝E ，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．变化1：已知 ⎣⎡⎦⎤1 012 B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 34 －1 ，求二阶矩阵B ． 变化2：已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1，2)变成了点A ′(7，10)，点B (2，0)变成了点B ′(2，4)，求矩阵M 的逆矩阵M －1．说明：可以先求矩阵M ，再求M －1，也可以直接利用逆变换直接求M －1．变化3：（2011年3月苏、锡、常、镇四市教学情况调查）已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵． 说明： (M 2M 1)－1＝M 1－1 M 2－1． 考点4：特征值与特征向量例4已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，向量?＝⎣⎡⎦⎤74． （1）求A 的特征值?1、?2和特征向量?1、?2； （2）计算A 5?的值．应对策略：一、记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤；二、理解特征值与特征向量理论． 理论： ⎣⎡⎦⎤a b c d ⎣⎡⎦⎤x y ＝?⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－b )y ＝0．方程组有不全为0的解，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a b －c λ－d ＝0．变化1：（盐城市2011届第二次模拟）已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 22 x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．变化2：（南通市2011届第二次模拟）已知二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值?1＝－1的一个特征向量为?1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值?2＝4的一个特征向量为?2＝⎣⎡⎦⎤32．求矩阵A ．教材中的几种常见变换矩阵一般不要求记忆，但如果能识别一下矩阵，可以简化一些运算，上述选题中有不少这样的问题． 以下内容最好能记忆：1．旋转变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ? －sin ?sin ? cos ?．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．2．二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a b c d 的逆矩阵为M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc ＝1|M |⎣⎢⎡⎦⎥⎤ d －b －c a ．其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤d －b －c a 是矩阵M 主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到． 3．矩阵⎣⎡⎦⎤a b c d 特征多项式f (?)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪?－a －b －c ?－d ． （二）坐标系与参数方程 考点1：极坐标化为与直角坐标例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值． 例2（盐城市2011届第二次模拟）若两条曲线的极坐标方程分别为?＝1与?＝2cos(?＋π3)，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，?2＝x 2＋y 2．不能出现类似于ρcos θ＝y 的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．变化1：（南京市、盐城市2010-2011学年度第三次调研）极坐标系中，已知圆C ：?＝22cos ?和直线l ：?＝?4(??R )相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 2．应了解点的极坐标的形式和意义．变化2：在极坐标系中，O 为极点，已知两点M 、N 的极坐标分别为(4，23π)，(2，14π)．求△OMN 的面积．变化3：（南通市2011届高三第三次调研测试）在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，π2)，B (22，π4)的圆的极坐标方程．说明：方法一：先求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程； 方法二：直接利用图形得极坐标方程．3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算． 考点2：参数方程转化普通方程例3（2009年高考题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3(t ＋1t )(t 为参数，t ＞0)．求曲线C 的普通方程．应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化．xB A OP考点3：参数方程的应用例4（2008年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y的最大值．变化1：（南京市2010届第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，试在椭圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．应对策略：掌握用角参数表示椭圆上动点的方法，并掌握三角函数y ＝a sin x ＋b cos x 求最值的方法． （三）概率基本题型：附加题概率考查两个方面问题：（1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率； （2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算． 基本策略:1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步；例1（2010年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．2．复杂问题简单化的方法有两种：一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件，二是转化为其对立事件．分拆事件时一定要做到“不重不漏”．特别应注意“至多”、“至少”、“恰有”等词语． 例2将甲、乙两所大学共6名大学生志愿者随机平均分配到某地从事A ，B ，C 三个岗位服务，且A 岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是35．（1）求6名志愿者中来自甲大学的是几人； （2）求A 岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在B 岗位服务的甲大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．例3（南京市2008届高三摸底考试）甲投篮命中的概率为0.5，每次投篮之间没有影响．甲连续投篮若干次，直到投中2次时停止，且最多投5次．（1）记甲投篮的次数为X ，求随机变量X 的概率分布；（2）求随机变量X 的数学期望E (X )和方差V (X )．（本题结果用最简分数表示）．说明：求P (X ＝5)是该题的难点，回避难点的方法是求其对立事件P (X ≤4)的概率，但这样做必须保证前几个概率都正确．3．概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”（表现为基本事件的不互斥或不对立），独立事件与独立重复事件混同（表现为漏乘相应的组合数），也表现为对古典概型模型本质理解不透彻．例4盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用?表示取出的3张卡片上的最大数字，求： （1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量?的概率分布和数学期望； （3）计分不小于20分的概率．说明：解答（1）时的一种典型错误是认为“取得两张1和一张2”及“取得一张1一张2一张3”是等可能的基本事件．解答（2）中P （?＝2）时的一种典型错误是认为事件“取出的3张卡片中最大数字为2”仅含两个基本事件：“取得两张1和一张2”和“取得两张2和一张1”．例5（2011届高三学情调研）袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X ，然后把卡片放回，叫做一次操作．（1）求在一次操作中随机变量X 的概率分布和数学期望E (X )； （2）甲进行四次操作，求至少有两次X 不大于E (X )的概率．4．特别要注意的：（1）答题的基本规范：①交待一些基本事件；②写出基本事件发生的概率；③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等；④答．（2）养成利用i =1∑nP i ＝1检验计算是否正确的习惯．（四）空间向量与立体几何 考点1：空间向量的坐标运算例1（2008年江苏高考）如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ，当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围． 考点2：空间向量的应用 1．判别线面位置关系；2．计算异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角．例2（2011年江苏高考） 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上，设二面角A 1－DN －M 的大小为?．ABCD A 1B 1C 1D 1P（1）当?＝90°时，求AM 的长； （2）当cos ?＝66时，求CM 的长． 例3如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直， AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足A 1P →＝?A 1B 1→．（1）当?取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角?最大？ （2）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确 定点P 的位置．2．要掌握以下关系：异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定．（五）圆锥曲线与方程 考点1：曲线方程． 考点2：直线与抛物线．例1（2009年江苏高考）在平面直接坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线方程；（3）设过点M (m ，0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．例2在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x ＝－2的距离比它到点F (1，0)的距离大1． （1）求动点P 的轨迹C ；（2）直线l 过点（1，0）且与曲线C 交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为43，求直线l 的斜率． 三、PMCB AN。
高三数学一轮复习 第八章 第6课时 双曲线课件
顶点坐标： 顶点 A1__(_－___a__,0__)__，
A2__(_a__,0__)__
顶点坐标：
A1__(_0_，____－___a_)__， A2_(_0_，___a__)_
渐近线 _y_＝__±_ba_x__
_y_＝__±_ab_x__
性
离心率
c e＝_a__，e∈(_1_，__＋__∞_)，其中c＝__a2_＋_b_2
(2)(2010·辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的
一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
3＋1 C. 2
5＋1 D. 2
解析： (1)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝ac＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， 渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x，
上存在点 P，满足|PF2|＝|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线 的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0
D．5x±4y＝0
【全解全析】 如图，由题意得
|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝2a. 在△PF2M 中，|PF2|2＝|F2M|2＋ |PM|2，
3．若双曲线的渐近线方程是 y＝±bax，则双曲线
方程可表示为xa22－by22＝λ(λ≠0)．
求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
解析： (1)∵双曲线经过点 M(0,12)，
圆锥曲线综合
| 0 且 | TF 2 | 0 时，由 | PT | | TF 2 | 0 | | PF 2 | ，所以
| 1 2
.
T 为线段 F2Q 的中点.
| F1 Q | a
在△QF1F2 中， | OT
，所以有 x 2
y
2
a .
2
综 上 所 述 ， 点
x
2
T
的 轨 迹 分
| 0
2
| MF 1 | | MF
2
| sin F 1 MF
2
，得 tan
2.
解法二：C 上存在点 M（ x 0 , y 0 ）使 S= b 2 的充要条件是
x0 y0 a , 1 2 2 c | y 0 | b . 2
, AB (
1
)
2
所以 S
f ( )
FM AB 2
1 2
(
1
)
3
1 2
2 4
3
当且仅当 1 时取等号 点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及 向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 例 2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如 图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
高三数学学科电子教案
x0 y0 a , 1 2 2 c | y 0 | b . 2
2
由③得 | 使 S= b 2 ； 当a 当a
b
2
y 0 | a
，由④得 |
y 0 |
b
.
c
所以，当 a
b
【一轮复习】圆锥曲线教学目标
③与抛物线统一定义的一致性
2、定义的应用
抛物线的定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的关系，在解题中要灵活的将动点到焦点的距离与动点到准线的距离相互转化。
2、掌握抛物线的标准方程
求抛物线方程时，要依据题设条件弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择标准方程
5、利用双曲线的定义解决问题
要弄清楚差是常数，还是差的绝对值是常数
6、求离心率的值或取值范围
方程思想或不等式思想
7、根据双曲线的性质，求双曲线的方程
方程思想
8、双曲线的第二定义相关问题
方程思想
、
第5课时抛物线的定义及标准方程
知识与技能
过程与方法
1、掌握抛物线的定义
1、对定义的深度理解
①定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M（抛物线上的点）；一个定点F（焦点）；一条定直线l（准线）；一个定值1（M到F的距离与它到l的距离之比为1）
2、割补法：拆分
3、轨迹方程问题
选变量→列式→化简→求定义域→下结论
直线与抛物线相交的弦长问题：可利用弦长公式
第7课时直线与圆锥曲线
知识与技能
过程与方法
1、直线与圆锥曲线的位置关系
1、转化为一元二次方程解的情况来判断
直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0，通过△判断交点个数
2、利用动直线的特征，如直线过定点。
2、直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
通用方法需要加强训练。
3、求离Байду номын сангаас率的值或取值范围
方程思想或不等式思想：
1、根据题意寻找 、 、 三者之间的关系式，再把关系式化为关于离心率 的方程或不等式，结合 ，求解出 ,注意:
抛物线-高中数学总复习课件
目录
高中总复习·数学
2
（1） y 1 y 2＝－ p 2， x 1 x 2＝ ；
4
2
（2）焦点弦长：｜ AB ｜＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ 2 ；
si
（3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2 p ；
1
（4）焦半径：｜ AF ｜＝
，｜ BF ｜＝
，
＋
1−cos
1+cos
｜｜
解析：由题意可知通径 MN ＝2 p ，所以圆
3
2
的半径是 p ，在Rt△ COF 中，（ ） ＋（ ）2
2
2
＝ p 2， p ＞0，解得 p ＝ 3 ，所以抛物线方程为
y 2＝2 3 x ，故选B.
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高中总复习·数学
（2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y 2＝2
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹是
抛物线.
（
× ）
（2）方程 y ＝4 x 2表示焦点在 x 轴上的抛物线，焦点坐标是（1，
0）.
（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.
（
× ）
（
× ）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.
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高中总复习·数学
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】
（1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
21-22版：习题课 轨迹问题（步步高）
习题课轨迹问题学习目标 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程．导语生活中我们处处可见轨迹的影子．例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹．一、定义法求轨迹方程问题1回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？提示圆上的点满足到圆心的距离等于半径．椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数．例1一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆．∴a＝3，c＝2，b＝a2－c2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1. 反思感悟 观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程．注意要检验是否有要删除的点．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为(－4，0)，(4,0)，C 为动点，且满足sinB ＋sin A ＝54sin C ，求点C 的轨迹． 解 由sin B ＋sin A ＝54sin C ， 可知b ＋a ＝54c ＝10(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)， 即|AC |＋|BC |＝10，满足椭圆的定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1， 则a ′＝5，c ′＝4⇒b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点)． 二、相关点代入法求轨迹方程例2 点B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的动点，A (2a ,0)为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． 解 设动点M 的坐标为(x ，y )，B 点坐标为(x 0，y 0)，则由M 为线段AB 的中点，可得⎩⎨⎧ x 0＋2a 2＝x ，y 0＋02＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2a ，y 0＝2y ，即点B 的坐标可表示为(2x －2a ,2y )． 又点B (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上， ∴x 20a 2＋y 20b 2＝1，从而有(2x －2a )2a 2＋(2y )2b 2＝1. 整理得动点M 的轨迹方程为4(x －a )2a 2＋4y 2b 2＝1. 反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x ，y )，其相关动点的坐标为(x 0，y 0)．(2)找出(x ，y )与(x 0，y 0)之间的等量关系，用x ，y 表示x 0，y 0.(3)将x 0，y 0代入其所在的曲线方程．(4)化简方程得所求方程．跟踪训练2 已知P (－4，－4)，Q 是椭圆x 2＋2y 2＝16上的动点，M 是线段PQ 上的点，且满足PM →＝13MQ →，则动点M 的轨迹方程是( )A ．(x －3)2＋2(y －3)2＝1B ．(x ＋3)2＋2(y ＋3)2＝1C ．(x ＋1)2＋2(y ＋1)2＝9D ．(x －1)2＋2(y －1)2＝9答案 B解析 设动点M (x ，y )，Q (m ，n )，∵PM →＝13MQ →， ∴⎩⎨⎧ x ＋4＝13(m －x )，y ＋4＝13(n －y )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4(x ＋3)，n ＝4(y ＋3). 又Q (m ，n )在椭圆x 2＋2y 2＝16上，故16(x ＋3)2＋32(y ＋3)2＝16，即(x ＋3)2＋2(y ＋3)2＝1.三、直接法求轨迹方程问题2 直接法求轨迹方程的步骤有哪些？提示 建系、设点列式、化简检验．例3 已知在平面直角坐标系中，动点M 到定点(－3，0)的距离与它到定直线l ：x ＝－433的距离之比为常数32. (1)求动点M 的轨迹Γ的方程；(2)设点A ⎝⎛⎭⎫1，12，若P 是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段P A 的中点B 的轨迹方程． 解 (1)设动点M (x ，y )， 由已知可得(x ＋3)2＋y 2＝32⎪⎪⎪⎪x ＋433， 即x 2＋23x ＋3＋y 2＝34⎝⎛⎭⎫x 2＋833x ＋163， 化简得x 24＋y 2＝1， 即所求动点M 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设点B (x ，y )，点P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12，由点P 在轨迹Γ上，得(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1， 整理得⎝⎛⎭⎫x －122＋4⎝⎛⎭⎫y －142＝1， ∴线段P A 的中点B 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －122＋4⎝⎛⎭⎫y －142＝1. 反思感悟 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x ，y )，轨迹方程就是x ，y 之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x ，y 表示．跟踪训练3 已知平面上两定点M (0，－2)，N (0,2)，P 为一动点，满足MP →·MN →＝|PN →|·|MN →|.求动点P 的轨迹C 的方程．解 设P (x ，y )．由已知MP →＝(x ，y ＋2)，MN →＝(0,4)，PN →＝(－x ,2－y )，得MP →·MN →＝4y ＋8，|PN →|·|MN →|＝4x 2＋(y －2)2，∵MP →·MN →＝|PN →|·|MN →|，∴4y ＋8＝4x 2＋(y －2)2，整理得 x 2＝8y .即动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝8y .1．知识清单：(1)定义法求轨迹方程．(2)相关点代入法求轨迹方程．(3)直接法求轨迹方程．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点．1．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，|AB |＋|AC |＝6，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29＋y 25＝1(x ≠±3) B.x 29＋y 25＝1(x ≠±2) C.x 29＋y 24＝1(x ≠±3) D.x 29＋y 24＝1(x ≠±2) 答案 A解析 在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，|AB |＋|AC |＝6＞|BC |＝4，则顶点A 的轨迹满足椭圆的定义，a ＝3，c ＝2，b ＝5，所以顶点A 的轨迹方程是x 29＋y 25＝1(x ≠±3)．2．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，DM →＝32DP →.当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹方程是____________．答案 x 24＋y 23＝1 解析 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则点D 的坐标为(x 0，0)，∵DM →＝32DP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0，y ＝32y 0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝23y ， ∵点P 在x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4， ∴x 2＋⎝⎛⎭⎫23y 2＝4， ∴点M 的轨迹方程是x 24＋y 23＝1. 3．到A (2，－3)和B (4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．答案 x ＋y －1＝0解析 由点P 满足|P A |＝|PB |，可知点P 的轨迹为点A (2，－3)和B (4，－1)的垂直平分线． ∴由中点坐标公式得AB 的中点为(3，－2)，k AB ＝－1＋34－2＝1， ∴其垂直平分线的斜率为－1.∴点P 的轨迹方程是y ＋2＝－(x －3)，即x ＋y －1＝0.4．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0.则曲线C的轨迹是________________．答案 椭圆解析 由P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0，得|P A →|＋|PB →|＝4，且4>|AB |.故曲线C 的轨迹是椭圆．。