(完整word版)2018-2019学年松江区闵行区高三二模考试数学试卷

2018-2019学年松江区闵行区高三二模考试数学试卷模一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{||1|1}A x x =-<，{|1}B x x =>，则A B =I 【答案】(1,2)2. 抛物线2y x =的准线方程为【答案】12x =-【解析】1=p ，准线方程212-=-=p x 3. 已知函数2()log f x x =的反函数为1()f x -，则1(2)f -= 【答案】4【解析】)(x f 的图像过点（4，2），其反函数过点（2，4）可得1(2)f -=4 4. 已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为12-，n S 表示{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=【答案】23【解析】由无穷等比数列定义可知lim n n S →∞=32211111=+=-q a 5. 若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为【答案】3【解析】方程组有无穷多解，则2,2-=-=n m ，11m n=31=-mn6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则 tan B =【答案】43【解析】由题知==B ac S sin 212221()3S a c b =+-，整理可得B B cos 34sin =，34tan =∴B7.若2(2nx 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 为 【答案】5【解析】r25-2n r-n r nr21-r-n 2r nx2x 2x ⋅⋅=⋅⋅C C ）（）（∵2n-r 25=0 ∴+∈=N n n 54r ， ∴5n min =8. 设不等式组6020360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域为Ω，若指数函数x y a =的图像与Ω有公共点，则a 的取值范围是 【答案】(]1,29.若函数2()sin cos f x x x x ωωω=的图像关于直线3x π=对称，则正数ω的最小值为 【答案】14【解析】()()()cos2wx 1232wx sin 21x f ++=23cos2wx 23sin2wx 21++=2332wx sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=π ∵函数关于直线3x π=对称∴ππππk 2332w +=+⋅πππk 6w 32+= k 2341w += ∴41w min =10. 在正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为 【答案】255【解析】552124312=⋅⋅C11. 若函数||||2()4(2||9)29||18x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为 （用列举法表示） 【答案】{}2,1,1,2--【解析】∵()18x 9-x 29-x 24x f 2xx++⋅+=）（）（）（）（6-x 3-x 29-x 24xx ⋅+⋅+= ）（）（6-x 23-x 2xx+⋅+= ∴06-x 203-x 2xx=+=+）或（）（ 解得2x 1x ±=±=或所以所有零点的集合为{}2-21-1，，，12. 如图，A 是圆22:9O x y +=上的任意一点，B 、C 是圆O 直径的两个端点，点D 在直径BC 上，3BD DC =u u u r u u u r，点P 在线段AC 上，若1()2AP PB PD λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程为 【答案】()2214x y -+=【解析】由题可知()()⎪⎭⎫ ⎝⎛0230303-，，，，，D C B∵D P B P P A ρρρ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=λλ21=()D P D P B P ρρρ21+-λ设()()θθ3sin 3cos y x ，，，A P ∴()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛029-y -x -2321-3sin -y 3cos -x ，，，λθθ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++029-y 213sin -y 2x 43-3cos -x ，，λθθ ∴3-3cos 0-3sin 3-x 0-2sin θθθ=，0y 213sin -y =+θ 12cos x +=θ，θ2sin y =∴点P 的轨迹方程为()4y 1-x 22=+二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知l 、m 、n 是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若l m ⊥，l n ⊥，则m ∥nB. 若m α⊆，n β⊆，α∥β，则m ∥nC. 若m α⊆，n α⊆，m n A =I ，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥D. 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β 【答案】D【解析】不共线的三点确定一个平面14. 过点(1,0)与双曲线2214x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 【答案】D【解析】两条切线，两条与渐近线平行的线15. 十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数2n >时，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁⋅怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（ ）① 对任意正整数n ，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解； ② 当整数2n >时，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解；③ 当正整数2n ≤时，关于x 、y 、z 的方程n n nx y z +=至少存在一组正整数解；④ 若关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解，则正整数2n ≤； A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D【解析】①1=n 时，2,1,1===z y x ，②与题干原命题矛盾，错误。

16. 如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y x =± 等分成八个区域（不含边界），已知数列{}n a ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，对任意的正整数n ，均有(2)1n n n a S a -=，当0n a >时，点1(,)n n n P a a +（ ） A. 只能在区域② B. 只能在区域②和④ C. 在区域①②③④均会出现D. 当n 为奇数时，点n P 在区域②或④，当n 为偶数时，点n P 在区域①或③ 【答案】B【解析】已知横坐标大于0，n n n a a S 12+=，令1+=n n ，,12111++++=n n n a a S 相减得nn n n n a a a a a 112111-+-=+++，解得02216121612222221>++-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ， 或者02161221<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++-=+n n n n n a a a a a 下证②和④。

nn n n n n a a a a a a <⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=+2161221，619611361222222++<++⇐+<++⇐nn n n n n n n a a a a a a a a 显然成立 同理证④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成的角的大小； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.【答案】（1）552arctan；（2）522+ 【解析】（1）∵BC ⊥CD,BC ⊥PD∴BC ⊥平面PDC∴∠BPC 即为所求角的大小tan ∠BPC=552 ∴直线BP 与平面PCD 所成的角大小为552arctan （2）由题可得：PBC PAB PDC PAD ABCD P S S S S S ∆∆∆∆-+++==BC PC AB PA DC PD PD AD ⋅+⋅+⋅+⋅21212121 =5221522121212121⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=52+18. 已知复数z 满足||2z =，2z 的虚部为2. （1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅u u u r u u u r u u u r 的值.【答案】（1）i -1-z i 1z =+=或;（2）-2【解析】(1)设z=a+bi ，则⎩⎨⎧==+2ab 22b a 22∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==1-b 1-a 1b 1a 或 ∴z=1+i 或z=-1-i（2）由题可得：B O A O C O ρρρ-=∴C O B O A O ρρρ⋅+）（=)()(B O A O B O A O ρρρρ-⋅+=22B O A O ρρ-=222z -z =2-4 =-219. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100 名技术人员，年人均投入m 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员， 其中技术人员x 名（*x ∈N 且[45,60]x ∈），调整后研发人员的年人均投入增加2x %， 技术人员的年人均投入调整为3()50xm a -万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同， 求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研 发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围，若不存在，说 明理由.【答案】（1）50人；（2）存在，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈5523a ， 【答案】（1）由题可得：()m -100x %21x -100=⋅+⋅）（()10050x 1x -100=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅10050x -x -x 2-1002= 解得x=50（2）由题可得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥+⋅≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅50x 3-a m x x%21m x -100m 503x -a m解得：1x10025x a 50x 31++≤≤+∴1x10025x a 50x 31++≤≤+对于[]60,45x ∈恒成立， ∴minmax 1x 10025x a 50x 3⎪⎭⎫⎝⎛++≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 当x=60时，523151850x 3max=+=⎪⎭⎫⎝⎛；当x=50时，512510021x 10025x =+≥++； ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈5523a ， 20. 把半椭圆22122:1x y a bΓ+=（0x ≥）与圆弧2222:(1)x y a Γ-+=（0x <）合成的曲线称作“曲圆”，其中(1,0)F 为1Γ的右焦点，如图所示，1A 、2A 、1B 、2B 分别是“曲圆” 与x 轴、y 轴的交点，已知1223B FB π∠=，过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P 、Q 两点（P 在x 轴的上方）.（1）求半椭圆1Γ和圆弧2Γ的方程；（2）当点P 、Q 分别在第一、第三象限时，求△1A PQ 的周长C 的取值范围； （3）若射线FP 绕点F 顺时针旋转2π交“曲圆”于点R ，请用θ表示P 、R 两点的坐标， 并求△FPR 的面积的最小值.【解析】（1）易得2,1a c ==，1Γ：()221043x y x +=≥，2Γ：()()22140x y x -+=<.（2）由题意可知0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时1AQF△为腰长为2的等腰三角形，14sin 2AQ θ=，故1A PQ △的周长11C QA QF PF A P =+++22sin2a a a θ=++.()64sin 6,82θ=+∈xy OA 1FA 2B 1B 2QP所以周长C 的取值范围为()6,8. （3）不妨设1||r FP =，2||r FR = 由题意知11(1cos ,sin )P r r θθ+,221cos ,sin 22R r r ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()221sin ,cos R r r θθ+- （其中132cos r θ=+，232sin r θ=+ ，以下步骤未求出12r r 、也给2分）①当203θπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，将P 的坐标代入13422=+y x 得： 22113(1cos )4(sin )120r r θθ++-=，整理得2211(4cos )6cos 90r r θθ-+-=， 解得132cos r θ=+或13cos 2r θ=-（舍去），从而可得2332sin 2cos 2r πθθ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭. ()12113319222cos 2sin 2sin cos 2sin cos 4FPR S r r θθθθθθ==⋅⋅=⋅+++++△令sin cos 4t πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则2947FPR S t t =++△当2=t 即⎥⎦⎤⎝⎛∈=ππθ32,04时，()min FPR S =△. ②当23θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，1211332222sin 2sin FPR S r r θθ==⋅⋅=>>++△综上可得:PFR △的面积的最小值为2499+.21. 无穷数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：*n ∈N ，1||n n n a b c +=-，1||n n n b c a +=-，1||n n n c a b +=-，记max{,,}n n n n d a b c =（max{,,}n n n a b c 表示3个实数n a 、n b 、n c 中的最大数）.（1）若18a =，14b =，12c =，求数列{}n d 的前n 项和n S ；（2）若11a =-，11b =，1c x =，当x ∈R 时，求满足条件23d d =的x 的取值范围；（3）证明：对于任意正整数1a 、1b 、1c ，必存在正整数k ，使得1k k a a +=，1k k b b +=，1k k c c +=. 【解析】（1）可求2222,6,4a b c ===；3332,2,4a b c ===；2,2,0(4)n n n a b c n ===≥；所以1238,6,4,2(4)n d d d d n ====≥；所以29,(4)212,(5)n n n n s n n ⎧-+≤=⎨+≥⎩．（2）2221,1,2a xb xc =-=+=21,12,111,1x x d x x x +≥⎧⎪⇒=-<<⎨⎪-+≤-⎩33312,12,11a x b x c x x =+-=--=--+⇒31,0132,31131,103x x x d x x x x x ⎧+≤≤≤-⎪=-<<-<<⎨⎪--≤≤≥⎩或或或.所以满足条件23d d =的x 的取值范围为{}1,1-.解法2：2221,1,2a x b x c =-=+=如果220a b ⋅≠，则23d d >， 所以23d d =时，220a b ⋅= 所以1x =-或1x =所以满足条件23d d =的x 的取值范围为{}1,1-.（3）证明：（I ）先证明“若(),,2k k k a b c k ≥中至少有一个为0，则另两个数相等”-1|b 2(11 不妨设0k a =，假设k k b c ≠，因为0k a =，所以11k k b c --=， 所以1111k k k k k k b c a b a c ----=-=-=与k k b c ≠矛盾，所以k k b c = 所以有1110,k k k k k k a a b c b c +++=====.所以此时必存在正整数k ，使得111,,k k k k k k a a b b c c +++=== (II)再证明：“若(),,2k k k a b c k ≥ 都不为0，则：1k k d d +<” 不妨设k k a d =，则{}1max ,,k k k k k k a b c b c a +=-<< 11,k k k k k k k k b a c a c b a a ++=-<=-<，所以{}1111max ,,k k k k k k d a b c a d ++++=<= 所以此时k d 一定严格递减下去，直至存在正整数m ，使得1m m d d +=，此时,,m m m a b c 中有一个为0，由（I ）可知此时命题也成立.所以对于任意正整数111,,,a b c 必存在正整数k ， 使得：111,,k k k k k k a a b b c c +++===． 证法2：因为1111111k k k k k k k k k k c a b c b c a a b c +------=-=---≤-=()2k ≥ ① 当且仅当()()11110k k k k c b c a ------≤等号成立， 11111k k k k k k k k a b c a c a b a +----=-=---≤()2k ≥ ② 当且仅当()()11110k k k k a c a b ------≤等号成立， 11111k k k k k k k k b a c b c b a b +----=-=---≤()2k ≥ ③ 当且仅当()()11110k k k k b c b a ------≤等号成立， 所以1k k d d +≤()2k ≥. （I ）若三个数111,,k k k a b c ---至少有两个相等,不妨设11,k k a b --= 则11110,k k k k k k k c a b c a c b ----==-=-=所以必存在正整数k ， 使得10,k k k c a b +=-=11k k k k k k k k a b c a c b a b ++=-=-===. (II) 若三个数111,,k k k a b c ---()2k ≥互不相等,则1,k k d d -<12 所以此时k d 一定严格递减下去，直至存在正整数m ，使得1m m d d +=，此时111,,m m m a b c ---中有两个相等，由（I ）可知此时命题也成立． 所以对于任意正整数111,,,a b c必存在正整数k ，使得：111,,k k k k k k a a b b c c +++===．。