最新人教A版必修5高中数学 2.1数列的概念与简单表示法教学设计(精品)
高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计
2．1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与简单表示法【知识梳理】1．数列的概念及一般形式2．3.如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的表示法数列的表示法有三种，分别是列表法、图象法、解析法． 【例题导读】P 29例1.由本例学会由数列若干项归纳出该数列的通项公式． 试一试：P 31练习T 4你会吗？P 30例2.通过本例学习，理解数列是一种特殊的函数． 试一试：P 33A 组T 5你会吗？1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．( )(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( )解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．答案：(1)√ (2)× (3)√2．下列四个数中，哪个是数列{n (n ＋1)}中的一项( ) A ．380 B ．392 C ．321 D ．232解析：选A.因为19×20＝380， 所以380是数列{n (n ＋1)}中的第19项．3．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是a n ＝( )A.19(10n －1)B.13⎝⎛⎭⎫1－110n C.29(10n －1) D.310(10n －1) 解析：选B.1－1101＝0.9，1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝⎛⎭⎫1－110n . 4．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 解析：令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3.答案：31．对数列概念的两点认识(1)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(2)次序对一个数列来说相当重要，几个不同的数由于它们的次序不相同，可构成不同的数列．显然，数列与数集有本质的区别．2．数列的项的三个性质(1)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与这些数的排列顺序有关． 3．解读数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1，2，3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． (3)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．数列的概念[学生用书P 16](1)下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是同一数列C ．数列－1，3，6，－5的第三项为6D ．数列可以看成是一个定义域为正整数集N *的函数 (2)已知下列数列：①2 010，2 012，2 014，2 016，2 018；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sinn π2，…； ⑥9，9，9，9，9，9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)[解析] (1)由数列定义知A ，B 不正确；D 不正确的原因是数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．故选C.(2)①是有穷递增数列；②是无穷递增数列(因为n －1n ＝1－1n )；③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列； ⑤是摆动数列，是无穷数列；⑥是常数列，是有穷数列．[答案] (1)C(2)①⑥ ②③④⑤ ①② ③ ⑥ ④⑤ [方法归纳](1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有穷的或是无穷的． (2)判断数列单调性的方法：①若数列{a n }满足a n <a n ＋1，则是递增数列． ②若数列{a n }满足a n >a n ＋1，则是递减数列． ③若数列{a n }满足a n ＝a n ＋1，则是常数列．1．(1)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，18，127，164，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C.对于A ，a n ＝1n3，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，它是无穷递增数列．(2)分别写出下列数列：①不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列________． ②－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成的数列________．解析：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；②－2，22，－23，24，….答案：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 ②－2，22，－23，24，… (3)给出以下数列：①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③由数列的前几项写出数列的通项公式[学生用书P 16]写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)－1，12，－13，14；(2)112，245，3910，41617；(3)12，34，78，1516. (链接教材P 29例1)[解] (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：a n ＝(－1)n ·1n .(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1， 3910＝3＋3232＋1， 41617＝4＋4242＋1， ……，故a n ＝n ＋n 2n 2＋1(n ∈N *)．(3)12＝21－121＝1－121， 34＝22－122＝1－122， 78＝23－123＝1－123， 1516＝24－124＝1－124， ……，故a n ＝2n －12n ＝1－12n (n ∈N *)．[方法归纳]给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若n 和n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．2．(1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．解析：数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.答案：a n ＝n ＋23n ＋2(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，….解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴a n ＝1（n ＋1）（n ＋3）.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③这样的摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n 是奇数），6 （n 是偶数）.通项公式的简单应用[学生用书P 17]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项．[解] (1)a 4a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解：(1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 3＝3×32－28×3＝－57， a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项． [名师点评]已知数列{a n }的通项公式，判断某一个数是否是数列{a n }的项，即令通项公式等于该数，解关于n 的方程 ，若解得n 为正整数k ，则该数为数列{a n }的第k 项，若关于n 的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{a n }中的项．3．(1)600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 解析：a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24. 答案：24(2)数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋30. ①问－60是否是{a n }中的一项？②当n 分别取何值时，a n ＝0，a n >0，a n <0?解：①假设－60是{a n }中的一项，则－n 2＋n ＋30＝－60.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)．所以－60是{a n }的第10项．②令－n 2＋n ＋30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，所以n ＝6时，a n ＝0；0<n <6且n ∈N *时，a n >0；n >6(n ∈N *)时，a <0.易错警示设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－1 （x <2）.a n ＝f (n )，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C.⎝⎛⎭⎫－∞，74 D.⎣⎡⎭⎫138，2[解析] 由题意，知f (x )＝(a －2)x 在[2，＋∞)上是减函数，且a 1>a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，f （1）>f （2），即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫121－1>2（a －2）.解得a <74，故选C.[答案] C[错因与防范] (1)本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫122－1≥2（a －2），即a ≤138，错选B.(2)因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．4．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3] 解析：选B.a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．1．下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7，…，2n －1可以表示为1，3，5，7，…B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n }解析：选C.A 错，数列1，3，5，7，…2n －1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列；B 错，数的顺序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋k k ＝1＋1k ；D 错，a n＝2n －2.2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14解析：选C.观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 3．数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________． 解析：∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4 a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13， ∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.答案：2194．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项．答案：4,[学生用书单独成册])A 层 基础达标1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，因为数列{f (n )}是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所以B 项不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．32解析：选B.因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.3．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C.由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2 解析：选C.已知数列化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1.5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7，∴25是该数列的第7项． 答案：76．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：97．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故括号内填108，通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n.(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .B 层 能力提升 1．数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：选B.a n ＝3n 2－28n ＝3(n －143)2－1963，当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325解析：选 B.a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. 3．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________．解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， 所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n 4．已知数列{a n }的前4项为11，102，1 003，10 004，…，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n . 答案：a n ＝10n ＋n5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n.(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？解：(1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8.又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项． 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n ＋q (p ，q ∈R )，且a 1＝－12，a 2＝－34. (1)求{a n }的通项公式；(2)－255256是{a n }中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)∵a n ＝p n ＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34， ∴⎩⎨⎧p ＋q ＝－12p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1， 因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)令a n ＝－255256，即⎝⎛⎭⎫12n －1＝－255256， 所以⎝⎛⎭⎫12n ＝1256，解得n ＝8. 故－255256是{a n }中的第8项． (3)由于a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，且⎝⎛⎭⎫12n 随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．C 层 拓展升华1．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( )A ．3n －1B ．3nC ．3n ＋1D ．3(n ＋1) 解析：选C.通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．2．根据下图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．解析：观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．答案：n 2－n ＋13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ＝N *，∴0<1－33n ＋1<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。
最新高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法(第1课时)教案 新人教A版必修5
2.1 数列的概念与简单表示法（第1课时）一、课标要求：（1）理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；（4）了解数列是一种特殊的函数；（5）借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
二、教学重点、难点：重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
三、设计思路：新课标强调数学知识产生、发展、和应用。
教学过程中注意生活实际的引入，使学生体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重视对学生学习数列的概念及表示法的过程。
本节课通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
因此设计流程如下：四、教学过程：（一）创设情景，导入课题问题(1)多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…（图见课本）象这样，按一定次序排列的一列数叫做数列（教师板书课题）（二）讲授新课问题(2)三角形数与正方形数同数集中元素的特点有何不同？引导学生回忆、比较，并归纳：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 概括数列的概念：(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(2)数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项(3)辩析数列的概念：○1 “1，51,41,31,21”与○2 “,21,31,41,511”是同一个数列吗？ 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.（它们不是同一个数列；且 ○1中，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等） 数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
随着对折数面积依次为 , , , ,…, ,….
生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.
师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….
生一些分数排成的一列数： ， ， ， ， ，….
二、新课学习：折纸问题
师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？
生1，3，6，10，….
师图2.1-2中的正方形数呢？
生1，4，9，16，25，….
师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
4，5，6，7，8，9，10…;②1, , , ,…③的图象.
高中数学 人教A版必修五 2.1数列的概念与简单表示法 课件、教学设计
22 2
1，5 3
23 3
1，7 4
24 4
1，9 5
25 5
1，
∴数列{an}的一个通项公式为an=
2n 1 n
2
1 n
.
证明：由an=an-1+n（n1
（n≥2）得
1）
an-an-1=n（n1
（n≥2）
1）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
1
1
1 1
35
2n 1
(5)0, 1 , 2 ,…, n 1, ….
23
n
其中，_______是有穷数列，_______是无穷数列，______
是递增数列,_______是递减数列，_______是摆动数列.
【审题指导】题目中给出了各个数列的表达形式，注意观察 数列的项的变化趋势与规律，注意省略号“…”及其位置， 利用数列的通项公式，紧扣数列的有关概念完成判断.
=-2n,1
an
∴ a+2n 2nan-1=0,解得an=-n± n2 1.
∵an>0,∴an= n2 -1n，n∈N*.
【典例】(12分)数列{an}的通项公式是an=n2-8n+12. （1）这个数列的第3项是多少？ （2）32是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （3）求an的最小值，并求此时n的值. 【审题指导】题目中给出了数列{an}的通项公式，此通项公式是 关于n的二次函数，可结合二次函数的性质及图象特点，利用方 程求解即可.
5 3 15 15
答案：19
15
6.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则-49是否是该数
（完整版）高中数学优秀说课稿
（完整版）⾼中数学优秀说课稿2.1数列的概念_说课稿1课题介绍课题《数列的概念与简单表⽰⽅法（⼀）》选⾃普通⾼中课程标准试验教科书⼈教版A版数学必修5第⼆章第⼀节的第⼀课时.我将从教材分析、学情分析、教学⽬标分析、教法分析、教学过程这五个⽅⾯来汇报我对这节课的教学设想。
⼀、教材分析1、教材的地位和作⽤数列是⾼中数学的重要内容之⼀，它的地位作⽤可以从三个⽅⾯来看：（1）数列有着⼴泛的实际应⽤.如堆放的物品的总数计算要⽤到数列的前n项和，⼜如分期储蓄、付款公式的有关计算也要⽤到数列的⼀些知识.（2）数列起着承前启后的作⽤.⼀⽅⾯，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运⽤，数列是前⾯函数知识的延伸及应⽤，可以使学⽣加深对函数概念的理解；另⼀⽅⾯，学习数列⼜为进⼀步学习数列的极限，等差数列、等⽐数列的前n项和以及通项公式打好了铺垫.因此就有必要讲好、学好数列.（3）数列是培养学⽣数学能⼒的良好题材.是进⾏计算，推理等基本训练，综合训练的重要教材.学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运⽤前⾯的知识解决数列中的⼀些问题，这些都有助于学⽣数学能⼒的提⾼.⼆、学情分析从学⽣知识层⾯看：学⽣对数列已有初步的认识，对⽅程、函数、数学公式的运⽤已有⼀定的基础，对⽅程、函数思想的体会也逐渐深刻。
从学⽣素质层⾯看：从⾼⼀新⽣⼊学开始，我就很注意学⽣⾃主探究习惯的养成。
现阶段我的学⽣思维活跃，课堂参与意识较强，⽽且已经具有⼀定的分析、推理能⼒。
三、教学⽬标分析根据上⾯的教材分析以及学情分析，确定了本节课的教学⽬标:(1) 知识⽬标：认识数列的特点,掌握数列的概念及表⽰⽅法，并明⽩数列与集合的不同点.了解数列通项公式的意义及数列分类.能由数列的通项公式求出数列的各项，反之,⼜能由数列的前⼏项写出数列的⼀个通项公式.(2) 能⼒⽬标：通过对数列概念以及通项公式的探究、推导、应⽤等过程，锻炼了学⽣的观察、归纳、类⽐等分析问题的能⼒.同时更深层次的理解了数学知识之间的相互渗透性思想．(3) 情感⽬标：在教学中使学⽣体会教学知识与现实世界的联系，并且利⽤各种有趣的，贴近学⽣⽣活的素材激发学⽣的学习兴趣，培养热爱⽣活的情感. ．3、教学重点与难点根据教学⽬标以及学⽣的理解能⼒与认知⽔平，我确定了如下的教学重难点重点：理解数列的概念，能由函数的观点去认识数列，以及对通项公式的理解．难点：根据数列的前⼏项的特点，通过多⾓度、多层次的观察分析归纳出数列的⼀个通项公式．四、教法分析根据本节课的内容和学⽣的实际情况，结合波利亚的先猜后证理论，本节课主要以讲解法为主，引导发现为辅，由⽼师带领同学们发现问题，分析问题，并解决问题．考虑到学⽣的认知过程，本节课会采⽤由易到难的教学进程以及实例给出与练习设置，让学⽣们充分体会到事物的发展规律.同时为了增⼤课堂容量，提⾼教学效率，更吸引同学们的眼光，提⾼学习热情，本节课还会采⽤常规⼿段与现代⼿段相结合的办法，充分利⽤多媒体，将引例、例题具体呈现．五、教学过程分析为了突出重点，突破难点，探究新知，强化认识，激发兴趣，把本节课的教学流程分为了创设情境，引⼊课题；师⽣互动，形成概念；启发引导，演绎结论；实践应⽤，开放思考；归纳⼩结，提炼精华；课后作业运⽤巩固。
高中数学必修5《数列的递推公式》教学设计
普通高中课程标准实验教科书(人教A版数学必修五)§2.1 数列的概念与简单表示方法第2课时数列递推公式的教学设计一.教学内容数是刻画静态下物体的量，按一定顺序排列着的一列数称为数列。
在日常生活中，人们经常遇到需要用有关数列知识来解决的问题。
在数学中，数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。
数列的知识也是学生将来学习高等数学的基础。
由于数列这部分知识与以前所学知识具有较强的联系，特别与函数等知识有密切联系，新教材安排数列在函数之后教学，有利于用函数的观点来认识数列本质，也有利于加深巩固对函数概念的理解。
数列的递推公式这一节，是在前面学习了数列的有关概念后，介绍的另一种确定数列的办法。
本节的许多教学情境来源与生活实际，体现新课标的应用特点，加强学生对数列概念的感性认识。
本节的学习需要学生不断地观察、分析、归纳、猜想，还要综合应用前面知识解决数列中一些问题，培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，有助于学生数学能力的提高。
二．教学目标本节课通过对谢宾斯基三角形的分析，让学生体会递推思想，了解从特殊到一般的归纳方法。
具体目标为：1．要求学生了解递推公式是给出数列的一种方法。
2．学生会根据数列的递推公式写出数列的前几项,利用递推思想解决一些实际问题，3．培养学生推理能力，严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。
通过课内外知识的介绍，开阔学生的眼界。
本节课教学重点:利用递推思想求出递推关系。
本节课教学难点:利用递推关系求出数学通项公式。
三．教学情况分析在本节之前，学生已经对函数知识有了一定程度的理解与掌握。
数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系。
在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列。
函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。
由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。
最新高中数学必修5《数列的概念与简单表示法》教案精品版
2020年高中数学必修5《数列的概念与简单表示法》教案精品版2.1《数列的概念与简单表示法》（第1课时）普通高中课程标准实验教科书A版数学（必修5 ）一、教材分析：1、教材的地位和作用《数列的概念与简单表示法》是“数列”一章中的重要组成部分；一方面它是前面函数知识的延伸及应用，另一方面为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识作铺垫，所以本节课在教材中起到了“承上启下”的作用；有利于学生思维拓展；况且数列是历年高考命题的热点之一，命题的方向主要是以能力考查为主，通过减少计算量，增加思维量，突出体现数列在实际生活中的应用价值。
2、教学目标知识目标：理解数列的有关概念，及通项公式的意义。
能力目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等分析问题的能力。
情感目标：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探究的合作创新精神；体会数学源于生活又服务于生活；激发学习数学兴趣。
3、教学重点与难点教学重点：理解数列的概念与通项公式的意义；能根据数列前几项的特点，归纳出数列的通项公式。
教学难点：根据数列前几项的特点，归纳出数列的通项公式。
二、教法学法1、教法分析：根据主编寄语：“数学是自然的；数学是清楚的；数学是有用的”,和本节课的内容与结构以及本班学生的实际情况，本节课教学主要采用以下方法： ①观察分析法：通过对生活事例的观察，引导学生的思维在“最近发展区”内，自然合理地感受到数学源于生活又服务于生活，对学习数学产生浓厚的兴趣。
②提问法：以恰时恰点的问题引导学生活动，培养问题意识，孕育创新精神。
③动手实践法：让学生通过动手实践，解决发现的问题，激发探究新知的的欲望。
④启发式法：通过不同内容的联系与启发，提高数学思维能力，培育理性精神。
2、教学媒体：多媒体平台。
3、学法分析：“动手实践，自主探究、合作交流”。
由于新课标精神在于以学生发展为本，能力培养为主，把学习的主动权还给学生。
因此，根据本节课的内容与结构，采用“动手实践、自主探究、合作交流”的学法。
人教版高中必修52.1数列的概念与简单表示法教学设计
人教版高中必修5-2.1 数列的概念与简单表示法教学设计一、教学目标1.知道什么是数列，掌握数列的概念和序列的性质；2.掌握数列的简单表示法，并能够运用；3.能够运用数列的简单表示法解决实际问题。
二、教学内容1.数列的概念和性质；2.数列的简单表示法；3.数列的实际应用。
三、教学重难点1.数列的概念、性质和简单表示法的理解；2.数列应用题的解决。
四、教学方法1.归纳法；2.讲授法；3.实例分析法。
五、教学流程1. 导入环节1.给学生出示“$2, 4, 6, 8, 10, \\ldots$”的数字序列，让学生自愿回答这是一个什么序列，以及这个序列有哪些规律。
2.引出数列的概念和定义，通过对学生的思考和讨论形成数列的一般概念和数列的一些基本性质。
2. 正式教学1.简单数列的定义和性质：明确什么是数列、数列中元素的个数、数列中元素的含义、数列的公式表示和一些基本的性质。
2.数列的简单表示法：通项公式的定义和规律，借助一些典型的数列示例，让学生进行抽象思考，培养学生发现规律和总结规律的能力。
3.数列的实际应用：通过实际例子的引导，让学生掌握数列在实际应用中的重要性和地位，并能够运用数列的思想方法解决实际问题。
3. 巩固与拓展1.给予学生一些数列在基础知识上的练习和拓展，让学生巩固理论学习。
2.引导学生寻找数列在实际生活中的应用，并结合其它数学知识进行探究。
3.让学生通过模拟应用数列的实际场景进行实践探索，从而加深对数列概念和应用的理解。
六、教学效果评估1.在学习过程中检测学生对数列概念、性质和简单表示法的掌握情况，结合实际例子进行解析。
2.考查学生对数列实际应用的理解和掌握情况，测试学生的数列应用能力。
3.教师在课下进行综合性评估，包括平时课堂表现、课后作业及课堂练习等成果。
七、教学反思数列作为一种概念相对简单、应用非常广泛的数学工具，具有很大的实际意义和应用价值。
在此次教学中，利用合适的教学方法和教学手段，让学生在欣赏到数列优美之处的同时，也能深刻理解数学背后的知识与智慧。
最新人教A版必修5高中数学 2.1数列的概念与简单表示法教案(无答案)(精品)
三、考点剖析： 1、考点一 由数列前几项求数列的通项公式
例1、写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； 1 3 7 15 31 (2)2，4，8，16，32，…； 3 1 3 1 3 (3)－1，2，－3，4，－5，6，…. （4）9，99，999，9999---------（5）5，55，555，5555---------[规律方法] 随堂练： 1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…. 2、考点二 由an与Sn的关系求通项公式
例： 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________． 练习：已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求{an}的通项公式．
3
五、课堂小结：画思维导图 六、当堂落实：
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) 1 1 1 A．1，2，3，4，… B．－1，－2，－3，－4，… 1 1 1 2 4 C．－1，－ ，－ ，－8，… D．1， 2， 3，…， n
1＋
m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用
an 累加法求解；当出现an－1＝f(n)时，用累乘法求解． 随堂练：3. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
四、易错警示
2
例2、 n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2 (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式．
[规律方法] 随堂练：2.(1) 设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，an＝Sn－1(n≥2)，则an＝________. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3，则an＝_____ ___.
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_18
数列通项公式求法教学设计本节课讲述的是人教版高三数学数列专题复习课：数列通项公式求法一、教材分析1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，纵观全国高考，几乎都是一小题，一大题。
虽然近几年难度有所下降，但对学生来说还是难。
它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
求数列通项公式在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
数列模块，是高考重难点。
2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标：A、在知识与技能上：进一步复习数列通项公式的求法，加深学生的理解和印象，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
B、过程与方法：在学习的过程中体会求数列通项公式的过程和方法，如特殊数列的求法和利用构造新数列求通项等方法。
C、在情感上：通过对数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点根据教学大纲的要求我们确定本节课的教学重点为:①数列通项公式的求法。
②构造新数列求数列的通项公式的推导过程。
采用构造新数列的方法推导数列的通项公式是这节课的一个难点。
二、学情分析对于高三学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、教法分析针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课采用探究式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(含答案)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1<a n 对任意n (n ∈N *)都成立．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1， a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ， a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，……. ∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B3．数列的前n 项和S n 与a n 的关系对所有数列都有：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1 (n ≥2)．因此，当n ≥2时，有：a n ＝S n －S n －1.当n ＝1时，有：a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2.注意这一关系适用于所有数列． 例如：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[(n －1)·2n ＋1]－[(n －2)·2n －1＋1]＝(n －1)·2n －(n －2)·2n －1＝n ·2n －1.所以通项公式可以统一为a n ＝n ·2n －1.答案 n ·2n －14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求和，采用累加法求a n .即：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝a 1＋∑n －1i ＝1f (i ) (2)形如a n ＋1＝f (n )·a n ，且f (1)·f (2)…f (n )可化简，采用累乘法求a n .即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)＝a 1·Πn －1i ＝1f (i ) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)．设a n ＋1－x ＝A (a n －x )，则：a n ＋1＝Aa n ＋(1－A )x由(1－A )x ＝B ，∴x ＝B 1－A∴a n ＋1－B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －B 1－A ∴a n －B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －1－B 1－A ＝A 2⎝⎛⎭⎫a n －2－B 1－A ＝…＝A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ∴a n ＝B 1－A＋A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ＝(1－A n －1)·B 1－A＋A n －1a 1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项a n 与项数n 的关系，即a n 如何用n 表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n 或(－1)n －1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…； (6)1，13，17，113，121，…. 解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)把分母统一为2，则有：12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….因而有a n ＝79(10n －1)． (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，则有a n ＝n 2－1.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．故a n ＝1n 2－n ＋1. 二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性．例2 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)． 试问数列{a n }的最大项是第几项？解 方法一 ∵a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·(9－n )11.当n ≤8时，a n <a n ＋1，{a n }递增，即a 1<a 2<…<a 8<a 9.当n ＝9时，a 9＝a 10.当n ≥10时，a n >a n ＋1，{a n }递减，即a 10>a 11>a 12>….又a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }的最大项是第9项和第10项．方法二 令a n a n －1≥1 (n ≥2)， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n n ⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1. 整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10. 令a n a n ＋1≥1， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1. 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9. 所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减．因此数列{a n }先递增，后递减．∴a 1<a 2<…<a 9，a 10>a 11>a 12>…，且a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }中的最大项是第9项和第10项．三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．例3 已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)，那么a 2 010与S 2 009依次是( )A ．1,3B ．3,1C ．－2,2D ．2，－2解析 ∵a n ＝a n －1－a n －2，∴a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2.由a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴{a n }为周期数列，且周期T ＝6.∴a 2 010＝a 6＝－a 3＝a 1－a 2＝－2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0＋0＋0＝0，且2 010是6的倍数，∴S 2 010＝0.∴S 2 009＝S 2 010－a 2 010＝0－a 2 010＝0－(－2)＝2.答案 C四、已知前n 项和S n ，求通项a n方法链接：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1，求出a 1，再由a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)求出a n ，最后验证a 1与a n 能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示．例4 已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝(－1)n ＋1 n ；(2)S n ＝3n －2.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(－n )－(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ·(－2n ＋1)．由于a 1也适合此等式，因此a n ＝(－1)n ·(－2n ＋1) (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2·3n －1 (n ≥2). 五、由递推公式求通项a n方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法．需要理解一点，对a n －a n －1＝n (n ≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的n ≥2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为a n ，就是解题的关键所在．另外递推公式具有递推性，故由a 1再加上递推公式可以递推到a n .例5 由下列数列{a n }的递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)． 解 (1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 由于a 1也适合此等式．故a n ＝n (n ＋1)2. (2)由题意得，当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12， 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，即a n ＝1n. 由于a 1也适合此等式，故a n ＝1n. 六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用．构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题．其中构建递推关系是关键．例6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个．如果按照同样的方式接着摆下去，记第n 个图需用f (n )个“福娃迎迎”，那么f (n ＋1)－f (n )＝________；f (6)＝________.解析 ∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，…，∴f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…∴f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (6)＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋[f (4)－f (3)]＋[f (5)－f (4)]＋[f (6)－f (5)]＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.答案 4n 61区突破1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2. [点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，由数列{a n }是单调递增数列有－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的． 故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的范围．[正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．2．对公式使用条件考虑不周而致错例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)2·3n －1＋2 (n ≥2).题多解 例 设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0 (n ∈N *)，求a n . 分析 先求出相邻两项a n ＋1与a n 的关系，再选择适当的方法求a n .解 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0.得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n. 方法二 (换元法)由已知得(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，设b n ＝na n ，则b n ＋1－b n ＝0.∴{b n }是常数列．∴b n ＝b 1＝1×a 1＝1，即na n ＝1.∴a n ＝1n.题赏析1．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝______，a 2 014＝______.解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.答案 1 0赏析 题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力．2．(2009·湖北八市调研)由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.答案 C 赏析 题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力．。
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, …，
2 4 8 16
256
生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的 256 倍，其面积为原来的 分 1[]256 式 ，再折下去太
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(5)2 ， -6 ，12， -20 ， 30， -42 ，
师 这里只给出数列的前几项的值， 哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？ ( 给学生一定
的思考时间
生老师，我写好了！
n
解： (1) an＝ 2n＋ 1； (2) an＝
2n
； (3) an＝ 1 ( 1) ；
( 2n 1)(2n 1)
2
(4) 将数列变形为 1＋ 0， 2＋ 1， 3＋ 0，4＋ 1， 5＋0， 6＋ 1， 7＋ 0，8＋ 1，…，
(2) 序号： 1
2
↓
↓
项分母： 2=1+1
3=2+1
3 ↓ 4=3+1
项分子： 2 2-1=(1+1) 2-1 3 2-1=(2+1) 2-1
4 2-1=(3+1) 2-1
所以我们得到了 an= (n 1) 2 或 (n 2) n ；
n1
n1
(3) 序号 : 1
2
3
4 ↓
5 2-1=(4+1) 2-
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二、过程与方法
1. 理论联系实际，激发学生的学习积极性 .
2. 发挥学生的主体作用，作好探究性学习；
新人教A版必修5高中数学数列概念学案
5．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分 数列和 2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列. 【达标训练 巩固提升】
数列； 数列，
数列，
数列和
例 1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： 1 1 1 ⑴ 1，－ ， ，－ ； ⑵ 1， 0， 1， 0. 2 3 4 变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： 1 4 9 16 ⑴ ， ， ， ； ⑵ 1， －1， 1， －1； 2 5 10 17 例 2 已知数列 2，
n ( n 1) 2
} 的第 4 项是
. .
5. 写出数列
1 1 1 1 ， ， ， 的一个通项公式 2 1 2 2 23 2 4
【知识梳理 归纳总结】 数列概念及通向公式的应用。 【预习指导 新课链接】 等差数列 P36-P39
2
3
1 1 1 1 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，….
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. 1，1.4，1.41，1.414，…. -1，1，-1，1，-1，1，…. 2，2，2，2，2，….
② ③ ④ ⑤ ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？ 上述例子的共同特点是:⑴________________；⑵________________. 【问题展示 合 作探究】 探究任务：数列的概念 ⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列. ⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思： ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？ ⑵ 同一个数在数列中可以重复 出现吗？ 3. 数列的一般形式： a1 , a2 , a3 ,
高中数学 数列概念学案 新人教 A 版必修 5
人教课标版高中数学必修五《数列的概念与简单表示法(第1课时)》教案(1)-新版
第二章数列2.1数列的概念与简单表示法（第一课时）一、教学目标1．核心素养通过学习数列的含义和表示,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标（1）通过实例,了解数列的概念.（2）理解数列的通项公式,会用通项公式写出数列的任意一项．（3）通过观察简单数列,会根据前几项写出它的通项公式．3．学习重点理解数列有关概念．4．学习难点理解数列的通项公式,根据前几项写出它的通项公式．二、教学设计（一）课前设计1.课前预习任务:预习教材P29—P30.思考:数列的概念是什么?通项公式是什么?如何根据前几项写出它的通项公式?（二）课堂设计1．问题探究问题探究一、数列的含义.●观察与思考:毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳里包含了理性的内核,其关于“形数”的研究,强烈地反映了他们将数化作为几何思维元素的精神.图（1）—（4）中的点分别围成了边长为4的“正三角形”、“正方形”、“正五边形”和“正六边形”,按照这种方式给出的点的个数称为边长为的正边形数,那么边长为8的正10边形数为__________.想一想:在以前的数学学习中,我们接触了哪些具体的数列?阅读与举例:请大家阅读教材中所列举的数列例子,并试着列举生活与学习中的数列例子．（鞋子尺码的转化,棋盘中数学）问一问:（1）2,4,6,8与8,6,4,2是同一个数列吗?（2）-1,1,-1,1…是一个数列吗?想一想:请大家根据以上结论,思考什么叫做数列?一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项．●数列与集合的区别与联系:（1）作为一个集合的元素,必须是_________的,同样,作为一个数列的项,同样是明确的．（2）对于给定的集合,其中的元素一定是_________的．集合中的任意两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．而数列中的项可以相同,甚至所有的项都可以是同一个数（即常数列）．（3）对于给定的集合,其中的元素是不考虑__________的,而数列中的每一项都有固定的顺序,如果两个数列的项一样但项的顺序不同,那么这两个数列就不是同一个数列．●数列的分类:1．根据数列的项数的多少分类有穷数列:项数有限的数列.(如1,3,5,7是有穷数列)无穷数列:项数无限的数列.（如-1,1,-1,1…是无穷数列）2.根据项的大小变化分类递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.常数数列:各项都相等.摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项.问题探究二、数列的通项公式●数列的通项公式结合上面的知识点以及数列与集合之间的联系与区别,能有如下的规律如果数列{}n a的第_________项与________之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列{}n a的_________.●数列通项公式与函数的关系对于数列{}n a 每一项的_________与这一项的对应关系可以看做序号集合到另一个数集的_________.由此可见,数列可以看成特殊的函数.数列通项公式的作用:①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.●对数列的通项公式的认识:（1）表达式n a 的两层含义①_________,②_________.（2）与所有函数关系不一定有解析式一样,并不是所有数列都有通项公式.（3）数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如数列0,1,0,1,0,1……,你能给出多少种不同通项公式呢?问题探究三 数列的项数、项、通项公式之间有何联系?例1、写成下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.()(1);(2)11n n n n a a n n ==-⋅+ 【知识点:数列的通项公式；数学思想:特殊到一般】()()()()()()()12111; 22cos 211321; 41n n n n n n a a n n a n a n π+-+==+-=-=+详解： 点拨:在求解数列的通项公式时,需从已知条件中分析项与项之间的联系以及项与项数之间的联系,寻求合理的表达式（表达式不唯一）. 例2根据下面数列{}n a 的通项公式,写出前5项:(1)n a n n a n n n ⋅-=+=)1()2(;1 【知识点:数列的项与通项公式】分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中n 依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项解:（1） (2) 点拨:根据通项公式求项时,需注意项数与项的对应,同时注意计算（符号）例3数列{}n a 中,452+-=n n a n ． ⑴18是数列中的第几项?⑵n 为何值时,n a 有最小值?并求最小值．;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n【知识点:数列的通项公式】详解:⑴由0145184522=--⇒=+-n n n n ,解得7=n ,∴18是数列中的第7项．⑵Q 49)25(4522--=+-=n n n a n ,+∈N n ∴2=n 或3=n 时,25242)(2min -=+⨯-=n a ．点拨:在求解项中最值时,需利用函数的性质,然需注意项数是正整数.在取最值时要留心.2．课堂总结【知识梳理】（1） 数列的概念:一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.（2） 数列的分类:按照项数的多少与项之间的变化这两种方式分类.（3）数列的通项公式:项数与项之间的关系.【重难点突破】（1）数列中的数是按一定次序排列的,因此如果两个数列中的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同数列.同时应注意,在数列定义中,并没有规定数列中的数必须不同.（2）数列可以看作是定义域为*N （或它的有限子集{}n ,,2,1⋯）的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列,如果这个对应关系能用一个表达式表示,则这个表达式即这个数列的通项公式.3．随堂检测1.数列1,0,1,0,1,……的一个通项公式是（ ）A.a n =2)1(11+--n B.a n =2)1(11+-+n C.a n =21)1(--n D.a n =2)1(1n --- 【知识点:数列的通项公式；数学思想:归纳总结】解:B 将数列{21}与{2)1(1+-n }对应项相加得到的数列即是.故选B. 2.设数列11,22,5,2,……则25是这个数列的（ ）A.第六项B.第七项第八项 D.第九项【知识点:数列的项】解:B 可观察所给数列的通项公式是a n =13-n ,由5213=-n 得n =7 故选B.3.已知a n =n 2+n ,那么（ ）A.0是数列中的一项是数列中的一项C.702是数列中的一项不是数列中的一项【知识点:数列的通项公式；数学思想:一般到特殊】解:C 由n 2+n =702即n 2+n －702=0得:n =26或n =－27(舍去故选C 4.函数f (n )=2)1()1(+-n n 当自变量依次取正整数1,2,3,…,n ,…时对应的函数值,以数列形式表示为（ ）A.－1,1,－－1,－1,1,1,－1,－ C.－1,－1,1,1,－1,－1, (2)1()1(+-n n D.－1,－1,1,1,－1,－1,…,2)1()1(+-nn【知识点:数列的项,通项公式】解:D 显然数列{f (n )}为无穷数列5.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (32)n ,则此数列的前4项分别为______. 【知识点:数列的通项公式】解:6,8,8,964 a 1=6,a 2=8,a 3=8,a 4=964 （三）课后作业基础型 自主突破1.根据下面数列的通项公式,写出前5项:（1）n a n n a n n n ⋅-=+=)1()2(;1【知识点:数列的通项公式】解:（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n （2）;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n 2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:（1）1,3,5,7； （2）515;414,313;2122222---- ；（3）-211⨯,321⨯,-431⨯,541⨯. 【知识点:数列的项与通项公式】解:（1）12-=n a n （2）1)1(2+-=n n n a n （3）)1(1)1(+-=n n a n n 3.已知数列的第1项是1,以后的各项由公式111-+=n n a a 给出,写出这个数列的前5项. 【知识点:数列的通项公式】解:3211,211,123121=+==+==a a a a a ,58,3511534==+=a a a4.已知数列{}n a 中,n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3）,试写出数列的前4项.【知识点:数列的通项公式】解:233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a能力型 师生共研5.在数列{a n }中,,,,,c b a c bn an a n 其中+=均为正实数,则n a 与1+n a 的大小关系是（ ） A ．1+<n n a a B ．1+>n n a a C ．1+=n n a a D ．不能确定【知识点:数列的通项公式,大小比较】解:答案A6.k 为正偶数,)(k p 表示等式)214121(21114131211k k k k k +++++=--++-+- 则)2(p 表示等式 ,)4(p 表示等式 .【知识点:数列的通项公式】解:)441241(24131211;2212211+++=-+-+⨯=- 7.已知数列{}n a 中,11=a ,1211+=--n n n S S S ,求{}n a 的通项公式． 【知识点:数列的通项公式与前n 项和】解:21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1)32)(12(2---n n ∴⎪⎩⎪⎨⎧---=3211211n n a n )2()1(≥=n n 8.已知数列{}a n :…，…，…，，，1001001002100133323122211++++++ ①求证:()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n ．②设()N n a a b n n n ∈=+11,求n b b b +++…21 【知识点:数列的通项公式】解:①由条件,()212122121+=+=+++=+++=n n n n n n n n n a n …… ∴221+=+n a n ；∴()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n ②()()()(),214421122211++=++=++=n n n n n n b n ·∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=21114n n b n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++2121421114413143121421n n n b b b n ………。
高二数学人教A版必修5教学教案2-1数列的概念与简单表示法(通用)(1)Word版含解析
数列之花处处盛开——数列的概念及简单表示法（教案）一、知识与技能1.理解数列有关概念、性质及数列的分类；2.掌握数列的通项公式的概念；3.了解数列和函数之间的关系，掌握数列的三种表示法；4.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。
二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、思考、交流、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性。
三、情感态度与价值观1.通过大自然和日常生活中的大量实例，鼓励学生理论联系实际；2.激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；3.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
四、教学重点与难点重点：数列的概念，数列的表示法。
难点：根据一些数列的前几项抽象，归纳数列的通项公式。
五、教学情景设计（一）引入：1.花的花瓣数借助生动的图片，阐述兰花上有3片花瓣，苹果花上有5片花瓣。
格桑花上有8片花瓣，菊花上有13片花瓣。
紫菀花上有21片花瓣。
向日葵花上有34片花瓣。
2.树在生长过程中的各个年份的枝桠数:1,2,3,5,8,13，……3.在向日葵花盘上，种子从中心开始一直延伸到花瓣，排列成1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…。
4.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用“三角形点阵” 1,3,6，……研究数学。
5.用正方形点阵表示，故称其为正方形数.：1,4,9,16，……6.杜甫的《绝句》两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。
诗中出现的数字：2,1,100,100007.请列举出生活中的一列数的例子（请学生踊跃举手回答）比如某班级同学的身高： 154,177,160,175,160,148，……某文具店每天卖出的铅笔数：20,41,13,52,9，……又如细胞分裂，核裂变，中国的GDP,银行的利率，住房贷款等等都涉及到我们的数学。
高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法教学设计 新人教A版必修5
数列的概念与简单表示法一、教学要求：1、理解数列及其有关概念；2、了解数列和函数之间的关系；3、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式；4、了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；5、会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系 二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用. 理解递推公式与通项公式的关系 难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式. 三、教学过程： （一）、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？ （二）、讲授新课： 1.数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，··· （2）正方形数：1，4，9，16，··· （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。
（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。
有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？⋯⋯，，，，4131211与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性 （2）数列中的数可以重复吗？ （3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
高中数学必修五教案-2.1 数列的概念与简单表示法(5)-人教A版
《数列的概念与简单表示法》教学设计高中数学，普遍反映“学生学得辛苦，老师教得累”，课堂容易陷入沉闷和满堂灌的尴尬境地，课后收效不大，如何改变这种局面，实现数学有有效教学呢？有什么好的教学模式呢？带着这些疑问，我研读了有效教学相关理论，并精心设计了《数列的概念与简单表示法》，探索出“学案的辅助教学+老师的启发式教学+学生的积极参与探讨”的教学模式,很好地实现了课堂的有效教学。
一、教材分析：本课时是数列的起始课，主要内容是数列和通项公式的定义，及通项公式应用和求法。
本课是在学习映射、函数知识基础上研究数列，既是对函数进一步巩固理解，又为今后研究等差数列、等比数列打下基础，起着承前启后的重要作用。
二、学情分析：在学习中会遇到下列障碍：1.对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊；2.对数列与函数的关系认识不清；3. 对数列的通项公式可以不只一个觉得不可思议；4. 由数列的前几项写不出数列的通项公式。
三、教学目标：1.知识与能力：①了解数列及其有关概念，数列和数集的区别，初步了解数列与函数的关系；②掌握数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；③对于比较简单的数列，会根据数列前几项写出它的一个通项公式；④培养学生的观察、分析、归纳能力。
2.过程与方法：教学中采取学生回答、讨论等形式，培养学生发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯及合作化学习的方法。
渗透函数思想，培养探索、创新精神。
3.情感态度：激发学生学习数列兴趣，感受数列的形式美，增强民族自豪感，牢固树立为祖国之崛起而努力读书的目标。
四、教学重点：数列及其有关概念，通项公式的应用与求法。
五、教学难点：根据一些数列的前几项，归纳数列的通项公式。
六、教学准备：1.根据教学重难点，编写学案，内容包括：课前导航、热身题、例题、例题小结、巩固练习、课时总结、课后作业、学海串珠。
学案与教案不同，教案是教师上课所用，通常不具公开性；学案是提前公开给学生本节课的重难点、主要内容，有效指导了部分学生盲目的课前预习、课堂学习及课后作业等。
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2.1数列的概念与简单表示法
教材分析
三维目标
一、知识与技能
1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；
2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.
教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教学建议数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面是前面函数知识的延伸及应用，可以使学生加深对函数概念的理解；另一方面也可以为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识打下铺垫。
所以本节课在教材中起到了“承上启下”的作用，必须讲清、讲透。
第一课时主要是学习数列的有关概念, 在通过实际问题引入数列概念后，对数列的函数背景进行了分析，指出通项公式实际可看作是数列的函数解析式。
人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
教学时有的地方可以直接讲解，也可以组织学生集体讨论、探索发现，课堂上除反复强调注意点外，还应通过课堂练习和课后作业来强化.
导入新课一
师 课本图2-1-1中的正方形数分别是多少？
生 1，3，6，10，….
师 图212中正方形数呢？
生 1，4，9，16，25，….
师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….
生 一些分数排成的一列数：
32，154，356，638，9910，…. 导入新课二
有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。
”，见教科书第26面
1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，……，如此下去，即得到1，12，14，18
，…… 2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材28面
问题1：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
Ⅰ.课题导入 4，5，6，7，8，9，10． ①
1
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
（1）三角形数：1，3，6，10，···
（2）正方形数：1，4，9，16，···
（2）1，2，3，4……的倒数排列成
的一列数：
（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。
（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。
问题2：上面的例子有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序 ⋯⋯，，，，4131211。