7.3 线性变换的矩阵

第七章 线性变换 学习单元3： 线性变换的矩阵

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● 导学 学习目标：

理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。

学习建议：

线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。建议大家多看书，认真理解概念与结论。

重点难点：

重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。

难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。

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● 学习内容 一、线性变换的确定

设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ，

()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。

命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当

()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。

命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在

()A L V ∈，使

(),1,2,,i i A i n εα==L 。

定理 设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的

()A L V ∈，使

(),1,2,,i i A i n εα==L 。

例 设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。

注：由定理可知P 上n 维线性空间V 的线性变换的集合()L V 与V 上n 元向量组之集合间有一一对应关系。

二、线性变换的矩阵

设V 为数域P 上n 维线性空间，取定V 的一个基1,,n εεL ，则对V 中任一n 元向量组1,,n ααL ，存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。这说明()L V 与V 的n 元有序向量组之集有一一对应关系，但n 元有序向量组1,,n ααL 又可由它们在基1,,n εεL 下的坐标确定。

定义 设1,,n εεL 为V 的基，()A L V ∈，令

11112121212122221122()()()n n n n

n n n nn n

A a a a A a a a A a a a εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨

⎪⎪=+++⎩L L K L ， 即

1212((),(),())(,,)n n A A A A εεεεεε=L L

其中

111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L

L L L L L

称A 为A 在基12,,,n εεεL 下的矩阵。

例 设12,,,()m m n εεε

00

0m

E A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

显然2A A =。

例 设V 为P 上3维线性空间，123,,εεε为V 的一个基，()A L V ∈，A 在基123,,εεε下的矩阵为

123111202A ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

则A 在V 的基321,,εεε下的矩阵为 。

定理 设V 为P 上n 维线性空间，12,,,n εεεL 为V 的一个基，定义

:(),()n n L V P A A ϕϕ⨯→=，A 为A 在基12,,,n εεεL 的矩阵，则ϕ为双射，并且

(),()(),()()()A B A B kA k A AB A B ϕϕϕϕϕϕ+=+==，

A 可逆当且反当()A ϕ可逆，11()()A A ϕϕ--=。 推论 （1）作为P 上线性空间有()n n L V P ⨯≅，从而2dim ()L V n =；

（2）作为环有()n n L V P ⨯≅。 三、α与()A α在基1,,n εεL 下的坐标的关系

定理 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的基，()A L V ∈，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，V α∈，α在1,,n εεL 下的坐标为1(,,)n x x L ，则()A α在基1,,n εεL 下的坐标1(,,)n y y L 可由下式确定

11n n y x A y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

M M 。 四、同一线性变换在V 的不同基下的矩阵的关系

定理 设线性空间V 的线性变换A 在V 的两个基1,,n εεL 和1,,n ηηL 下的矩阵分别为A,B ，从1,,n εεL 到1,,n ηηL 的过渡矩阵为X ，则1B X AX -=。

定义 设,n n A B P ⨯∈，如果存在P 上n 阶可逆阵X ，使得1B X AX -=，那么就称A 与B 相似，记为A B :。

性质 矩阵的相似关系是n n P ⨯上等价关系。

注 若A 与B 相似，则A 与B 等价；反之，若A 与B 等价，则A 与B 不一定相似。

例如

1213A ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，则A 等价于1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。但A 不相似于1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为与单位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵。

定理 n 维线性空间V 的一个线性变换在V 的两个不同基下的矩阵是相似的；反过来，n n P ⨯中两个相似矩阵可以看成V 的同一个线性变换在不同基下的矩阵。

性质

（1）若111122,B X A X B X A X --==，则

1112121212(),B B X A A X B B X A A X --+=+=；

（2）若1,()[]B X AX f x P x -=∈，则

1()()f B X f A X -=。

注：不要误解性质（1）为：若11A B 与相似，22A B 与相似，则12A A +与12B B +相似，12

A A