7.3 线性变换的矩阵

第七章 线性变换 学习单元3： 线性变换的矩阵
_________________________________________________________
● 导学 学习目标：
理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。

学习建议：
线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。

建议大家多看书，认真理解概念与结论。

重点难点：
重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。

难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。

_________________________________________________________
● 学习内容 一、线性变换的确定
设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ，
()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。

即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。

命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当
()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。

命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在
()A L V ∈，使
(),1,2,,i i A i n εα==L 。

定理 设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的
()A L V ∈，使
(),1,2,,i i A i n εα==L 。

例 设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。

注：由定理可知P 上n 维线性空间V 的线性变换的集合()L V 与V 上n 元向量组之集合间有一一对应关系。

二、线性变换的矩阵
设V 为数域P 上n 维线性空间，取定V 的一个基1,,n εεL ，则对V 中任一n 元向量组1,,n ααL ，存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。

这说明()L V 与V 的n 元有序向量组之集有一一对应关系，但n 元有序向量组1,,n ααL 又可由它们在基1,,n εεL 下的坐标确定。

定义 设1,,n εεL 为V 的基，()A L V ∈，令
11112121212122221122()()()n n n n
n n n nn n
A a a a A a a a A a a a εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨
⎪⎪=+++⎩L L K L ， 即
1212((),(),())(,,)n n A A A A εεεεεε=L L
其中
111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L
L L L L L
称A 为A 在基12,,,n εεεL 下的矩阵。

例 设12,,,()m m n εεε<L 是n 维线性空间V 的子空间W 的基，将其扩充为V 的一组基11,,,,,m m n εεεε+L L 。

()A L V ∈，(),1,2,,i i A i m εε==L ，()0,1,2,,i A i m m n ε==++L 。

则A 在基12,,,n εεεL 下的矩阵为
00
0m
E A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
显然2A A =。

例 设V 为P 上3维线性空间，123,,εεε为V 的一个基，()A L V ∈，A 在基123,,εεε下的矩阵为
123111202A ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
则A 在V 的基321,,εεε下的矩阵为 。

定理 设V 为P 上n 维线性空间，12,,,n εεεL 为V 的一个基，定义
:(),()n n L V P A A ϕϕ⨯→=，A 为A 在基12,,,n εεεL 的矩阵，则ϕ为双射，并且
(),()(),()()()A B A B kA k A AB A B ϕϕϕϕϕϕ+=+==，
A 可逆当且反当()A ϕ可逆，11()()A A ϕϕ--=。

推论 （1）作为P 上线性空间有()n n L V P ⨯≅，从而2dim ()L V n =；
（2）作为环有()n n L V P ⨯≅。

三、α与()A α在基1,,n εεL 下的坐标的关系
定理 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的基，()A L V ∈，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，V α∈，α在1,,n εεL 下的坐标为1(,,)n x x L ，则()A α在基1,,n εεL 下的坐标1(,,)n y y L 可由下式确定
11n n y x A y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
M M 。

四、同一线性变换在V 的不同基下的矩阵的关系
定理 设线性空间V 的线性变换A 在V 的两个基1,,n εεL 和1,,n ηηL 下的矩阵分别为A,B ，从1,,n εεL 到1,,n ηηL 的过渡矩阵为X ，则1B X AX -=。

定义 设,n n A B P ⨯∈，如果存在P 上n 阶可逆阵X ，使得1B X AX -=，那么就称A 与B 相似，记为A B :。

性质 矩阵的相似关系是n n P ⨯上等价关系。

注 若A 与B 相似，则A 与B 等价；反之，若A 与B 等价，则A 与B 不一定相似。

例如
1213A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则A 等价于1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

但A 不相似于1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为与单位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵。

定理 n 维线性空间V 的一个线性变换在V 的两个不同基下的矩阵是相似的；反过来，n n P ⨯中两个相似矩阵可以看成V 的同一个线性变换在不同基下的矩阵。

性质
（1）若111122,B X A X B X A X --==，则
1112121212(),B B X A A X B B X A A X --+=+=；
（2）若1,()[]B X AX f x P x -=∈，则
1()()f B X f A X -=。

注：不要误解性质（1）为：若11A B 与相似，22A B 与相似，则12A A +与12B B +相似，12
A A
与12B B 相似。

性质（2）则可以描述为：若A 与B 相似，则()f A 与()f B 相似，其中()[]f x P x ∈。

例 设V 为P 上二维线性空间，()A L V ∈，A 在V 的基12,εε下的矩阵为
2110A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
， 计算A 在V 的基12,ηη下的矩阵B ，其中
121211(,)(,)12ηηεε-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
， 并求k A 。

解 记1112C -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，C 为基12,εε到基12,ηη的过渡矩阵，由线性变换在不同基下的矩阵的相似关系有
1
11121111112101201B C AC ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

1
11
1111111()1201121k
k k k k k A CBC CB C k k -----+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

【教师解读】
线性变换比较抽象，不好把握，通过线性变换在一个基下的矩阵可以把线性变换与矩阵对应起来，应用矩阵来研究线性变换。

_________________________________________________________
拓展资料
1. 设3P 的线性变换σ在基：123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)ηηη=-=-=下的矩阵为101110121⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
，求σ在基1(1,0,0)ε= 23(1,0,0),(0,0,1)εε==下的矩阵。

2. 如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明：
00A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭与00B D ⎛⎫
⎪⎝⎭
相似。

_________________________________________________________
讨论交流
讨论主题：一个线性变换在两个不同的基下的矩阵是否可以相同。

教师提示：回顾线性变换在不同基下的矩阵的关系。