立体几何第1讲 空间几何体的表面积和体积 作业 解析

二、填空题
9．(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 π
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为4. 1
解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为 2，则圆柱底面的半径为2，易知四棱锥的高为 5－1＝2，故圆柱的高 为 1，所以圆柱的体积为 π·(12)2×1＝4π.
12．(2019·昆明市诊断测试)数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散
在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间，都满足关系式 V－E＋F＝2，这个等式就
是立体几何中的“欧拉公式”．若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为
＋2＝
4－21x2＋2⇒( 23x－2)2＝4－(12x)2⇒x2－2
3x＝0⇒x＝2
1 3，所以 AO1＝2×2
3＝
3，
3 PO1＝ 2 ×2 3＝3，当底面三角形 ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥
1
11
P­ABC 的体积最大，此时 V＝3S△ABC×PO1＝3×(2×2 3× 3)×3＝3.
立体几何第 1 讲 空间几何体的表面积和体积 作业 解析
5．(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个球面，
则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( C )
3π
A. 4
B. 2π
3π
9π
C. 2
D. 4
解析：正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是
解析：∵三棱锥 S­ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴S 在底面 ABC 内的射影为
AB 的中点，设 AB 的中点为 H，连接 SH，CH，∴SH⊥平面 ABC，∴SH 上任意一点到 A，B，C 的距离相等，易知 SH
＝ 3，CH＝1，∴Rt△SHC 中，∠HSC＝30°.在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO，交 SH 于点 O，交 SC 于点 M，则
解析：由题易得长方体 ABCD­A1B1C1D1 的体积为 6×6×4＝144(cm3)，四边形 EFGH
为平行四边形，如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的 一半，即12×6×4＝12(cm2)，所以 V 四棱锥 O­EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为 144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 132×0.9＝118.8(g)．
10．(2019·新课标全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该
模型为长方体 ABCD­A1B1C1D1 挖去四棱锥 O­EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心， E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 118.8g.
(B)
A．10
B．12
C．15
D．20
1 解析：二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，所以棱数 E＝20×3×2＝30，面数 F＝20，顶点数
V＝E－F＋2＝12.故选 B.
13．(2019·湖南衡阳二模)如图，正方体 AC1 的顶点 A，B 在平面 α 上，AB＝ 2，若平面 A1B1C1D1 与平面 α 所成角为 30°，由如图所示的俯视方向，正方体 AC1 在平面 α 上的俯视图 的面积为( B )
A．2
B．1＋ 3
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C．2 3
D．2 2
解析：依题意知，直线 AB 在平面 α 内，且平面 α 与平面 ABCD 所成的角为 30°，与平面 B1A1AB 所成的角为 60°，
故所得的俯视图的面积 S＝2(cos30°＋cos60°)＝1＋ 3.
14．(2019·新课标全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化， 印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形 状是“半正多面体”(图 1)．半正多面体是由两种或两种 以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学 的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所 有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长
⊥平面 ABC，AB⊥BC，则三棱锥 P­ABC 体积的最大值为( B )
A．2
B．3
C．2 3
D．3 3
解析：根据 AB⊥BC 可知 AC 为三角形 ABC 所在截面圆 O1 的直径，又平面 PAC⊥平面 ABC，△APC 为等边三角
1
3
3
形，所以 P 在 OO1 上，如图所示，设 PA＝x，则 AO1＝2x，PO1＝ 2 x，所以 PO1＝ 2 x＝OO1
∴PB⊥AC，∵BD∩PB＝B，∴AC⊥平面 PBD，∴AC⊥PO，∴三角形 PBA 与三角形 PAO 均为
π 直角三角形，∴公共斜边的中点即为球心，∵PB＝1，∠APB＝3，∴PA＝2＝2R(R 为 P­AOB 外
4π×13 4 接球的半径)，∴R＝1，故三棱锥 P­AOB 的外接球的体积是 3 ＝3π.
1
2π 3π
以
A1
为圆心，1
为半径的圆周长的 ，所以所有弧长之和为 4
3×
4
＝
2
.故选
C.
6．已知三棱锥 S­ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，则三棱锥 S­ABC 的外
接球的球心到平面 ABC 的距离是( A )
3 A. 3
B．1
C. 3
33 D. 2
23
3
O 为三棱锥 S­ABC 的外接球的球心．∵SC＝2，∴SM＝1，又∠OSM＝30°，∴SO＝ 3 ，OH＝ 3 ，∴球心 O 到平面
3 ABC 的距离为 3 ，故选 A.
7．(2019·昆明市模拟)三棱锥 P­ABC 的所有顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上．若△PAC 是等边三角形，平面 PAC
11．(2019·河北石家庄质检)如图，在四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB⊥底面 ABCD，
π
4
O 为对角线 AC 与 BD 的交点，若 PB＝1，∠APB＝3，则棱锥 P­AOB 的外接球的体积是3π.
解析：∵底面 ABCD 为菱形，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，∴BD⊥AC，又 PB⊥底面 ABCD，