立体几何第1讲 空间几何体的表面积和体积 作业 解析
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二、填空题
9.(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形,侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 π
条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为4. 1
解析:由题可得,四棱锥底面对角线的长为 2,则圆柱底面的半径为2,易知四棱锥的高为 5-1=2,故圆柱的高 为 1,所以圆柱的体积为 π·(12)2×1=4π.
12.(2019·昆明市诊断测试)数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的,它们都叫欧拉公式,分散
在各个数学分支之中,任意一个凸多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间,都满足关系式 V-E+F=2,这个等式就
是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形,则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为
+2=
4-21x2+2⇒( 23x-2)2=4-(12x)2⇒x2-2
3x=0⇒x=2
1 3,所以 AO1=2×2
3=
3,
3 PO1= 2 ×2 3=3,当底面三角形 ABC 的面积最大时,即底面为等腰直角三角形时三棱锥
1
11
PABC 的体积最大,此时 V=3S△ABC×PO1=3×(2×2 3× 3)×3=3.
立体几何第 1 讲 空间几何体的表面积和体积 作业 解析
5.(2019·福州市质量检测)如图,以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心,以 2为半径作一个球面,
则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( C )
3π
A. 4
B. 2π
3π
9π
C. 2
D. 4
解析:正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分,如图,上底面被球面截得的弧长是
解析:∵三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,∴S 在底面 ABC 内的射影为
AB 的中点,设 AB 的中点为 H,连接 SH,CH,∴SH⊥平面 ABC,∴SH 上任意一点到 A,B,C 的距离相等,易知 SH
= 3,CH=1,∴Rt△SHC 中,∠HSC=30°.在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO,交 SH 于点 O,交 SC 于点 M,则
解析:由题易得长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 6×6×4=144(cm3),四边形 EFGH
为平行四边形,如图所示,连接 GE,HF,易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的 一半,即12×6×4=12(cm2),所以 V 四棱锥 OEFGH=13×3×12=12(cm3),所以该模型的体积为 144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为 132×0.9=118.8(g).
10.(2019·新课标全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型.如图,该
模型为长方体 ABCDA1B1C1D1 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体,其中 O 为长方体的中心, E,F,G,H 分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3. 不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 118.8g.
(B)
A.10
B.12
C.15
D.20
1 解析:二十面体的每个面均为三角形,每条棱都是两个面共用,所以棱数 E=20×3×2=30,面数 F=20,顶点数
V=E-F+2=12.故选 B.
13.(2019·湖南衡阳二模)如图,正方体 AC1 的顶点 A,B 在平面 α 上,AB= 2,若平面 A1B1C1D1 与平面 α 所成角为 30°,由如图所示的俯视方向,正方体 AC1 在平面 α 上的俯视图 的面积为( B )
A.2
B.1+ 3
wenku.baidu.com
C.2 3
D.2 2
解析:依题意知,直线 AB 在平面 α 内,且平面 α 与平面 ABCD 所成的角为 30°,与平面 B1A1AB 所成的角为 60°,
故所得的俯视图的面积 S=2(cos30°+cos60°)=1+ 3.
14.(2019·新课标全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化, 印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形 状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种 以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学 的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所 有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长
⊥平面 ABC,AB⊥BC,则三棱锥 PABC 体积的最大值为( B )
A.2
B.3
C.2 3
D.3 3
解析:根据 AB⊥BC 可知 AC 为三角形 ABC 所在截面圆 O1 的直径,又平面 PAC⊥平面 ABC,△APC 为等边三角
1
3
3
形,所以 P 在 OO1 上,如图所示,设 PA=x,则 AO1=2x,PO1= 2 x,所以 PO1= 2 x=OO1
∴PB⊥AC,∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面 PBD,∴AC⊥PO,∴三角形 PBA 与三角形 PAO 均为
π 直角三角形,∴公共斜边的中点即为球心,∵PB=1,∠APB=3,∴PA=2=2R(R 为 PAOB 外
4π×13 4 接球的半径),∴R=1,故三棱锥 PAOB 的外接球的体积是 3 =3π.
1
2π 3π
以
A1
为圆心,1
为半径的圆周长的 ,所以所有弧长之和为 4
3×
4
=
2
.故选
C.
6.已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥 SABC 的外
接球的球心到平面 ABC 的距离是( A )
3 A. 3
B.1
C. 3
33 D. 2
23
3
O 为三棱锥 SABC 的外接球的球心.∵SC=2,∴SM=1,又∠OSM=30°,∴SO= 3 ,OH= 3 ,∴球心 O 到平面
3 ABC 的距离为 3 ,故选 A.
7.(2019·昆明市模拟)三棱锥 PABC 的所有顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上.若△PAC 是等边三角形,平面 PAC
11.(2019·河北石家庄质检)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PB⊥底面 ABCD,
π
4
O 为对角线 AC 与 BD 的交点,若 PB=1,∠APB=3,则棱锥 PAOB 的外接球的体积是3π.
解析:∵底面 ABCD 为菱形,O 为对角线 AC 与 BD 的交点,∴BD⊥AC,又 PB⊥底面 ABCD,