2019-2020年高考考前辅导一(数学)
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2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
2019-2020年高三高考考前辅导(数学)
2019-2020年高三高考考前辅导（数学）高考临近，高三将停课调整。
习惯于在老师引导下进行高考复习的学生，此时常会感到手足无措，失去再提高的机会。
在停课调整阶段，如何科学地、合理地、高效率地安排好数学复习，对高考成绩将起到很大作用。
现提出如不建议：一、停课期做什么？1．梳理知识，形成网络，注意覆盖面，不能有死角。
分清哪些内容只要一般理解，哪些内容应重点掌握，哪些知识又要求灵活运用和综合运用，把知识点从整体上再理一遍。
（用A4纸一张，正反两面）分清哪些是主干知识，每条主线又有若干支线，一条支线又可分为若干分线，形成概念、公式网络图。
各线上应该注意什么？公式变形情况，计算方法，表述要求，证明步骤。
（用A4纸一张，正反两面）2．梳理方法，形成体系，重解题建模，同类用同法。
分清哪些方法只适用于填空题，哪些用基本元法，哪些用性质法，哪些用特殊法，哪些用不完全归纳法。
（用A4纸一张，正反两面，立出各方法中的注意点，各举一例，也许你所举例子恰是高考题）分清哪些方法是高考常用的方法，三角与解三角形的常用方法，立几中的证明与计算常用的方法，解几中的求轨迹方程与证明和计算常用的方法，函数与导数中证明和计算常用的方法，数列与不等式中证明和计算常用的方法，应用题中常用的分析方法。
（用A4纸二张，正反两面，立出各方法中的注意点，各举一例，也许你所举方法恰是高考题的解法）3．理性思考，清醒做题，一追到底，会而不失分。
思考解题前的审题与解题表述的时间比，能否做到慢审题快解题，数学题中的字是“一字清醒做题是思路清晰，目标明确，框架凸显，层次分清，表述有序。
一追到底是运算到底，“看了就过，不一定能过得去”中较多的学友就是运算过不去。
会而不失分是目前争分的关键，保证会做的不错，即使不完全会做，也要理解多少做多少，以增加得分机会。
答题时该交待的一定要交待清楚。
切记过程是得分的依据，方法是过程的桥梁，细心是总分的保证．（用A4纸二张，正反两面，立出各条中自已的不足，各举一正例，也许你所改了的不足就是高考中获胜的筹码）4．缩小范围，注重交流，轻松而愉快，作三种准备缩小复习范围，了解近年高考试题层次：①突出高考必考题原则；（常考常规题，建立思维模型与解题模型）②突出思想与方法原则；（常用的技巧，控制题量寻找题目与方法的链接点）③突出演变与运算原则。
2019-2020年高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第3讲 不等式与线性规划 理
2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。
2019-2020年高三数学 黄金考点汇编11 定积分的概念与微积分基本定理 理(含解析)
2019-2020年高三数学 黄金考点汇编11 定积分的概念与微积分基本定理 理（含解析）【考点分类】热点1 定积分的基本计算1．【xx 江西高考理第8题】若则 （ ） A ． B ． C ． D ．12．【xx 陕西高考理第3题】定积分的值为 （ ）3．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】若 ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为 （ ） A ． s 1＜s 2＜s 3B ． s 2＜s 1＜s 3C ． s 2＜s 3＜s 1D ． s 3＜s 2＜s 14．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】若 ． 【答案】3．【解析】∵⎠⎛0T x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪T0＝T 33＝9，∴T ＝3．5．【xx 福建理15】当时，有如下表达式： 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式： 23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 0122311111111()()...()_____2223212n n n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【方法规律】计算简单定积分的步骤：（1）把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； （2）利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； （3）分别用求导公式求出F(x)，使得F ′(x)＝f(x)； （4）利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算所求定积分的值． 【解题技巧】 求定积分的常用技巧：（1）求被积函数，要先化简，再求积分；（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分；（4）若f (x )是偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝0热点2 定积分几何意义的应用1．【xx 山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ） A. B ． C ． D ．4 【答案】【解析】由已知得，，故选． 考点：定积分的应用．2．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理】直线l 过抛物线C ： x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ） A ． B ．2 C ． D ．【方法规律】1．定积分的几何意义：定积分表示在区间上的曲线与直线、以及轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即．（在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号）． 2．求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的下、下限； （2）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的下、下位置； （3）写出平面图形面积的定积分的表达式；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 【易错点睛】 概念理解错误例．【xx 北京西城】求曲线f (x )＝sin x ，x ∈[0，54π]与x 轴围成的图形的面积．热点3 定积分物理意义的应用1．【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理7】一辆汽车在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）B．C． D．【答案】C．【解析】令，则，汽车刹车的距离是，故选C．【方法规律】利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．①变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．②变力作功：物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功．【易错点睛】如xx湖北卷理7试题可能出现以下错误：（1）未形成应用定积分解题的意识，造成思维受阻．（2）不知如何确定刹车后汽车继续行驶的时间，从而不能正确确定积分区间．（3）求错被积函数的原函数致误．防范措施：（1）学习数学，要知道知识方法形成的背景以及应用的方面，不能孤立地看待一个知识方法，要用联系的观点去认识；（2）分析刹车的过程，可以发现，由速度为零可以得到汽车继续行驶的时间．由此可见，分析过程可以发现规律．【考点剖析】1．最新考试说明：（1）考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．（2）利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．2．命题方向预测：从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与几何概型概率的计算相结合是近几年高考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下．预测xx 年利用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等是定积分命题的主要方向，一般以客观题形式出现． 3．课本结论总结：（1）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b ]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑n i ＝1f (ξi )·b －an；④取极值：⎠⎛ab f (x )d x ＝limn →∞∑n i ＝1f (ξi )·b －a n．（2）定积分的性质 性质1：；性质2：（为常数）（定积分的线性性质）； 性质3：1212b b b aaaf x f x dx f x dxf x dx （定积分的线性性质）； 推广：1212b b b b m m aaaaf x f xf x dx f x dx f x dxf x dx性质4：（其中）（定积分对积分区间的可加性） 推广：121kb c c b aac c f x dxf x dxf x dxf x dx说明：定积分的定义中，限定下限小于上限，即a ＜b ，为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：,0b a a abaf x dxf x dx f x dx ．（3）微积分基本定理一般地，如果f (x )在区间[a ，b ]上连续，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式． （4）常用定积分公式： ①（为常数）；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨；⑩．4．名师二级结论： 一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 三条性质（1）常数可提到积分号外；（2）和差的积分等于积分的和差；（3）积分可分段进行． 四种求定积分的方法①利用定义求定积分；②利用微积分基本定理求定积分；③利用定积分的几何意义求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4；④利用积分的性质．两类典型的计算曲边梯形面积的方法 （1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））； ③由一条曲线，当时，；当时，与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积： （如图（3））；④由两条曲线（与直线所围成的曲边梯形的面积：[]()()()().bb baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰（如图（4）） （2）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，然后利用求出（如图（5））； ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（6））； ③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（7））；5．课本经典习题：（1）【人教新课标A 版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算的值．【经典理由】典型的应用定义计算定积分（2）【人教新课标A 版2-2第56页，例1】计算由曲线所围成图形的面积． 【变式】由曲线所围成图形的面积为____________．分，∴2211,143443x dx s πππ-=∴=-+=-⎰．6．考点交汇展示：（1） 定积分计算与几何概型交汇例1【广东省梅州市xx 届高三3月质检】．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域．，E 是函数的图像与x 轴及围成的阴影区域，项D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 ( )A ．B ．C ．D ．（2） 定积分的计算与函数的性质交汇例2【xx 年高考原创预测卷（浙江理科）】．若，则等于 ． 【答案】【解析】，2ln 12ln )0()0504()2016(0+=+==+=∴e f f f ． （3） 定积分的计算与二项式定理的应用交汇例3【xx 届安徽六校教育研究会高三2月联考数学理】．已知则二项式的展开式中的系数为 ．xyO【考点特训】1．【河南省安阳一中xx 届高三第一次月考8】如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】Ｂ2．【河北省“五个一名校联盟” xx 届高三教学质量监测（一）13】直线与抛物线所围图形的面积等于_____________ 【答案】 【解析】3．【xx 届高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰，则下列关系式成立的是 （ ） A ． B ． C ． D ．4．【高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为________．5．【广州市珠海区xx年高三8月摸底考试12】图中阴影部分的面积等于．【答案】1．【解析】由定积分的几何意义得：．考点：定积分的几何意义．6．【xx年哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试】( )A．0 B．C．D．7．【唐山一中xx下学期调研考试试卷】直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．8．【稳派xx年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（）A．2 B．e C．2e D．9．【xx黑龙江哈尔滨】下列值等于的定积分是（）10．【xx 辽宁】如图，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3C ．323D ．353【答案】C ．【解析】直线y=2x 与抛物线y=3﹣x 2，解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2），抛物线y=3﹣x 2与x 轴负半轴交点（﹣，0）．设阴影部分面积为s ，则==，所以阴影部分的面积为 ，故答案选：C ．【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．11．【xx 山西山大附中高三5月月考理科】 ( ) A ． B ． C ．D ．12．【xx 湖南雅礼中学模拟】曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是 （ ）A ．1B ．12C ．22 D ．1313．【xx 江西师大附中高三三模理科】已知等差数列的前n 项和为，又知，且，，则为 （ ） A ．33B ．46C ．48D ．5014．【xx 南京调研】给出如下命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a ＜b )；②；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2． 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】由定积分的性质知①错；对于②，两个积分都表示14个单位圆的面积，15．【xx 浙江五校联考】已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则( )A ．2B ．1C ．3D ．416．【xx 广州综合测试】函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1，5]上 ( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最大值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值【答案】B ．17．【xx 福建莆田高三质检】如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于 ( ) A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C ．e 2－e2D ．e 2－2e ＋1 【答案】B【解析】面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e ．18．【xx 山东淄博模拟】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．3019．【xx 湖北孝感高中高三5月摸底理科】若在R 上可导，，则____________．20．【xx 中山一模】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f [f （1）]＝1，则a ＝________．【答案】1．【解析】∵f （1）＝lg 1＝0，∴f [f （1）]＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3| a 0＝a 3，∴a 3＝1得a ＝1．21．【xx 上海模拟】已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B (12，5)、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．22．【xx 湖北孝感高中高三5月摸底理科】如图， 甲、乙、丙中的四边形ABCD 都是边长为2的正方形， 其中甲、乙两图中阴影部分分别以AB 的中点、B 点为顶点且开口向上的抛物线(皆过D 点)下方的部分， 丙图中阴影部分是以C 为圆心、半径为2的圆弧下方的部分． 三只麻雀分别落在这三块正方形木板上休息， 且它们落在所在木板的任何地方是等可能的， 若麻雀落在甲、乙、丙三块木板上阴影部分的概率分别是， 则的大小关系是 ．23．【海淀区高三年纪第二学期其中练习理】函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_______．24．【河北省邯郸市xx届高三上学期第二次模拟考试】= _______．25．【xx年辽宁省大连市高三双基考试】_______．26．【xx江西鹰潭】设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为2，则．【知识点】定积分在求面积中的应用．【答案解析】解析：解：如图，27．【xx吉林一中】设，则二项式展开式中的项的系数为【考点预测】1．【热点1预测】若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】．2．【热点2预测】曲线与直线y=围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．3．【热点3预测】一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+4，（t）（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是______km。
(完整)2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑(一)(含解析)
2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑（一）一、选择题1.已知集合{}2320A x x x =-+≥，(){}321B x log x +<,则A B =( ) A. {}21x x -<< B.{} 12x x x ≤≥或 C.{} 1x x < D.∅2.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．163.若复数z =（x 2－4）+（x +3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x =2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设有下面四个命题：1P :若z 满足z C ∈，则 z z R ⋅∈;2P :若虚数(),a bi a R b R +∈∈是方程32 1 0x x x +++=的根，则a bi -也是方程的根: 3P :已知复数12,z z 则12z z =的充要条件是12z z R ∈: 4P ;若复数12z z >,则12,z z R ∈.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合{}{}2320,230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B ⋂= （ ）A ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭7.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A ∩B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2}8.已知p ：x R ∀∈，220x x a ++>；q ：28a <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,+∞)B ．(－∞,3)C ．(1,3)D ．(－∞,1)∪(3,+∞)9.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.设集合{}2|670A x x x =--<，{}|B x x a =≥，现有下面四个命题： p 1：a R ∃∈，A B =∅；p 2：若0a =，则(7,)A B =-+∞； p 3：若(,2)R C B =-∞，则a A ∈；p 4：若1a ≤-，则A B ⊆． 其中所有的真命题为（ ） A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 2，p 411.已知命题P ：存在n R ∈，使得223()n nf x nx-=是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”.则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝12.已知集合M ={x |22194x y +=}，N ={y|132x y+=}，则M ∩N =A ．∅B ．{(3,0)，(2,0)}C ．{3,2}D ．[－3,3]13.设集合{}{}m B m A 2,2,42==，，若φ≠⋂B A ,则m 的取值可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.214.下列判断错误．．的是 （ ） A ．“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若p ，q 均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x15.已知A ，B ，C ，D ，E 是空间五个不同的点，若点E 在直线BC 上，则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BE 是异面直线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件16.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题17.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要D ．既不充分也不必要条件18.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的19.设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A ，B)::，A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足的集合对(A ，B)的总个数为m ，满足的集合对(A ，B)的总个数为n ，则的值为（ ）A.111 B.161C.221 D.29220.定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”,则集合{1,3,5,7,9}的孙集的个数为 （） A ．23B ．24C ．26D ．3221.已知：集合2012,3,2,{1,A =}，A B ⊆，且集合B 中任意两个元素之和不能被其差整除。
2019年高三高考考前辅导数学试题含答案
2019年高三高考考前辅导数学试题含答案《统计问题》1．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a= ，b= 。
2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为____.《概率问题》1．在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为．2．在圆=4所围成的区域内随机取一个整点P(x,y)（横，纵坐标都是整数点），则满足的整点的概率为 .《三角问题》1．在中，D为BC的中点，∠BAD=,∠CAD=AB=,则AD= .2．已知sin(=(则cos .3．若 .4．在中，若tan A tan B=tan A tan C+tanctan B，则 = .5．若角 C是一三角形内角，关于x的不等式的解集为，则角C的最大角为 . 6．已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为。
《立几问题》1．已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAB 是等边三角形，侧面SCD是以CD 为斜边的直角三角形，E 为CD 的中点，则三棱锥S-AED 的体积 .2．设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列的四个命题：（1）若，则；（2）若与相交且不垂直，则与不垂直（3）若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则（4）若则其中，所有真命题的序号是 ．《切线问题》1．已知f(x)= 过A(1,m)可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是 . 2．已知函数f(x)=xlnx,若直线l 过点(0，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l 与圆截得的弦长为 .3．从点（0，0）作轴的垂线交曲线y=于点(0,1)，曲线在点处的切线与轴交于点，现从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：则 .《平面向量的数量积》1．已知BC,DE 是半径为1的圆O 的两条直径，,则的值是 .2．设O 是外心，AB=1,AC=2且则面积为3．已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，，且，则边上的高的最大值为 ．4．在中，若8,|2|6AB AC AB AC ⋅=-=，则面积的取值范围为 .5．在等腰三角形ABC 中，点D,E,F 分别在AB,BC,CA 上,且AD=DB=EF=1,AC=BC=则的取值范围为 。
2019-2020年高考数学大一轮总复习 1.1集合与集合的运算课时作业 理
2019-2020年高考数学大一轮总复习 1.1集合与集合的运算课时作业理A级训练(完成时间：10分钟)1.(xx·四川)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}2.(xx·全国)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅3.(xx·广西)设集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N中元素的个数为()A．2 B．3C．5 D．74.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅5.已知集合A＝{0,1}，满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有()A．2个B．2个C．3个D．4个6.设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}7.已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x2＋2x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()A. B.C. D.8.集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．9.(xx·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B ＝________.10.若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时1分钟，达标是( )否( )]设全集U ＝R ，M ＝{x |x (x ＋3)＜0}，N ＝{x |x ＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |－3＜x ＜0}C ．{x |x ≤－3|D ．{x |－1≤x ＜0}2.[限时1分钟，达标是( )否( )](xx·江西)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或43.[限时1分钟，达标是( )否( )]已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．94.[限时1分钟，达标是( )否( )](xx·上海)已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{}a ，b ＝{}a 2，b 2，则a ＋b ＝________.5.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知集合A ＝{x |6x ＋1≥1，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．6.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .[限时4分钟，达标是( )否( )]设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .C 级训练(完成时间：8分钟)1.[限时4分钟，达标是( )否( )](xx·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1302.[限时4分钟，达标是( )否( )](xx·揭阳一模)定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为P (A )，用n (A )表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有A ∈P (A )；②存在集合A ，使得n [P (A )]＝3；③用∅表示空集，若A ∩B ＝∅，则P (A )∩P (B )＝∅；④若A ⊆B ，则P (A )⊆P (B )；⑤若n (A )－n (B )＝1，则n [P (A )]＝2×n [P (B )]．其中正确的命题个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1第一章 集合与简易逻辑第1讲 集合与集合的运算【A 级训练】1．D 解析：A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B 为整数集，故A ∩B ＝{－1,0,1,2}，故选D.2．B3．B 解析：因为M ＝{1,2,4,6,8}，N ＝{1,2,3,5,6,7}，所以M ∩N ＝{1,2,6}，即M ∩N中元素的个数为3.故选B.4．B 解析：A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，则B A .5．D 解析：因为A ＝{0,1}，且A ∪B ＝{2,0,1,3}，所以B 可能为{2,3}或{2,3,0}或{2,3,1}或{2,0,1,3}，则满足条件的集合B 共有4个．6．A 解析：U ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，所以∁U M ＝{1,4}．7．A 解析：N 为x 2＋2x ＝0的解集，解x 2＋2x ＝0可得，x ＝0或－2，则N ＝{－2,0}，M ∩N ＝{0}≠∅.8．－3 解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3.9．{7,9} 解析：因为全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，所以∁U A ＝{4,6,7,9}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}，故答案为{7,9}．10．解析：因为A ＝B ，所以B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1＋3＝2b ＝－1×3＝－3，解得a ＝－2，b ＝－3. 【B 级训练】1．D 解析：M ＝{x |x (x ＋3)＜0}＝{x |－3＜x ＜0}，由图象知，图中阴影部分所表示的集合是M ∩(∁U N )，又N ＝{x |x ＜－1}，所以∁U N ＝{x |x ≥－1}．所以M ∩(∁U N )＝[－1,0)．2．A解析：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件，当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，解得a ＝4.3．B 解析：由集合M 中的不等式，解得0＜x ＜5，所以M ＝{x |0＜x ＜5}，因为N＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，则a ＋b ＝2＋5＝7.4．－1 解析：第一种情况：a ＝a 2，b ＝b 2，因为ab ≠0，所以a ＝b ＝1，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：a ＝b 2，b ＝a 2，所以a ＝a 4⇒a 3＝1，所以a 2＋a ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.5．8 解析：由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． 因为A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.6．解析：(1)因为9∈(A ∩B )，所以9∈A 且9∈B .所以2a －1＝9或a 2＝9，所以a ＝5或a ＝－3或a ＝3.经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．所以a ＝5或a ＝－3.(2)因为{9}＝A ∩B ，所以9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.7．解析：由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.所以A ＝{3,5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.所以B ＝{5}，所以B A . (2)因为A ＝{3,5}且B ⊆A ，所以，若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ，所以1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15.所以C ＝{0，13，15}． 【C 级训练】1．D 解析：由题目中“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设A ＝{0}，B ＝{－1,1}，分为①有2个取值为0，另外3个从B 中取，共有方法数：C 25×23；②有3个取值为0，另外2个从B 中取，共有方法数：C 35×22；③有4个取值为0，另外1个从B 中取，共有方法数：C 45×2.所以总共方法数是C 25×23＋C 35×22＋C 45×2＝130，即元素个数为130.故选D.2．B 解析：由P (A )的定义可知①正确，④正确，设n (A )＝n ，则n [P (A )]＝2n ，所以②错误，若A ∩B ＝∅，则P (A )∩P (B )＝{∅}，③不正确；n (A )－n (B )＝1，即A 中元素比B 中元素多1个，则n [P (A )]＝2×n [P (B )]，⑤正确，故选B..。
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一）1.如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，2PD AB ，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点.(1)求证：EF PA ⊥；(2)求二面角D FG E 的余弦值.2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD 组合而成，AF AD ⊥，2AEAD .(1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；(2)求正四棱锥P ABCD 的高h ，使得二面角C AF P 的余弦值是223.3.四棱锥P ABCD-中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为ADC∠为锐角，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面ACM．（Ⅱ）求证：PA⊥CD．（Ⅲ）求三棱锥P ABCD-的体积．4.如图，四棱锥S ABCD-满足SA⊥面ABCD，90DAB ABC∠=∠=︒．SA AB BC a===，2AD a=．（Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD．（Ⅱ）求证：CD⊥面SAC．SB A DMC BAPD5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ．6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．E DABC C 1B 1A 1DAB CEF P7.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，PA PB =，::2:2:1AB AD CD =.（1）证明BD PC ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设点Q 为线段PD 上一点，且直线AQ 平面PAC 所成角的正弦值为23，求PQ PD的值.8.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO . （1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若λ=2，求证：平面CDE ⊥平面CD 1O .9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD =︒∠，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP =︒∠，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ． （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等，求PMPD的值．10.如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ． （1）求1CGCC 的值． （2）求证：1EG AC ⊥． （3）求二面角1A AG E --的余弦值．A 1B 1C 1G F AB CEM F E CBAPD11.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =．（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF ∥平面PAB ．（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小． （Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥？若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由．12.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，CD AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，4AB =，2BC CD EA ED ====．Ⅰ证明：BD AE ⊥．Ⅱ求平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）的余弦值．DABCEPF DBCA13.己知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PA AB ==．60ABC ∠=︒，BC 、PD 的中点分别为E ，F ．（Ⅰ）求证BC PE ⊥．（Ⅱ）求二面角F AC D --的余弦值．（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．14.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ． （Ⅱ）求二面角F BE D --的余弦值．（Ⅲ）设点M 线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．DDABCEF15.如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值． （Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．16.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点,2,5,3,2AHPD PA AB AD HD===== . （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若F 是CD 上的点，且23FC FD ==，求二面角B EF C --的正弦值.MDABCP17.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=︒，Q为AB 的中点．（Ⅰ）证明：CQ ⊥平面ABE ； （Ⅱ）求多面体ACED 的体积； （Ⅲ）求二面角A -DE -B 的正切值．18.如图1 ,在△ABC 中，AB =BC =2, ∠B =90°,D 为BC 边上一点，以边AC 为对角线做平行四边形ADCE ，沿AC 将△ACE 折起，使得平面ACE ⊥平面ABC ,如图2.(1)在图 2中，设M 为AC 的中点，求证:BM 丄AE ； (2)在图2中，当DE 最小时，求二面角A -DE -C 的平面角.19.如图所示，在已知三棱柱ABF -DCE 中，90ADE ∠=︒，60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，平面ABCD ⊥平面ADEF ，点M在线段BE 上，点G 是线段AD 的中点．（1）试确定点M 的位置，使得AF ∥平面GMC ； （2）求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值．20.已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC =AB ，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）若22AB AP ==，求平面P AD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.21.如图，五面体P ABCD 中，CD ⊥平面P AD ，ABCD 为直角梯形，,2BCD PD BC CD π∠===1,2AD AP PD =⊥. （1）若E 为AP 的中点，求证：BE ∥平面PCD ； （2）求二面角P -AB-C 的余弦值.22.如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt △SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，2AB =.现将△SAB沿AB 进行翻折，使得二面角S -AB -C 的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点E ，F 分别在线段SB ，SC 上. （Ⅰ）证明：BD AF ⊥；（Ⅱ）若三棱锥B -AEC 的体积为四棱锥S -ABCD 体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.23.四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，,BC CD⊥060SDA SDC∠=∠=，AD DC=1122BC SD==，E为SD的中点.（1）求证：平面AEC⊥平面ABCD；（2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.24.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，P A⊥AC，BA=BC=P A=2，二面角P-AC-B的大小为120°.（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC-A的正切值.25.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，090=∠=∠BCD ABC ，AB CB DC PD PA 21====，E 是PB 的中点， （Ⅰ）求证：EC ∥平面APD ；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角P -AB -D 的余弦值.26.四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，P A =2，PB =PD =22，E ，F ，G ，H 分别为棱P A ，PB ，AD ，CD 的中点．（1）求CD 与平面CFG 所成角的正弦值；（2）探究棱PD 上是否存在点M ，使得平面CFG ⊥平面MEH ，若存在，求出PDPM的值；若不存在，请说明理由．试卷答案1以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则 0,0,0D ，0,2,0A ，2,0,0C，0,0,2P ，1,0,1E ，0,0,1F ，2,1,0G .(1)∵0,2,2PA ，1,0,0EF，则0PA EF ，∴PA EF .(2)易知0,0,1DF，2,11FG， 设平面DFG 的法向量111,,m x y z ，则m DF m FG ，即1111020z x yz ，令11x ，则1,2,0m 是平面DFG 的一个法向量，同理可得0,1,1n 是平面EFG 的一个法向量，∴210cos ,552m n m nm n， 由图可知二面角D FG E 为钝角， ∴二面角D FG E 的余弦值为105.2.(1)证明：直三棱柱ADE BCF 中，AB 平面ADE ，所以：AB AD ，又AD AF ，所以：AD平面ABFE ，AD 平面PAD ，所以：平面PAD 平面ABFE .(2)由(1)AD平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，设正四棱锥P ABCD 的高h ，2AE AD ，则0,0,0A ，2,2,0F ，2,0,2C ，1,,1P h . 2,2,0AF，2,0,2AC，1,,1APh .设平面ACF 的一个法向量111,,m x y z ，则：1111220220m AF x y n ACx z ，取11x ，则111y z ，所以：1,1,1m .设平面AFP 的一个法向量222,,n x y z ，则222222200n AF x y n APx hy z ，取21x ，则21y ，21z h ，所以：1,1,1n h ，二面角C AF P 的余弦值是223，所以：211122cos ,3321m n h m n m nh ， 解得：1h .3.E ODPABC M（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，则O 是BD 中点， ∵在PBD △中，O 是BD 的中点，M 是PB 的中点， ∴PD MO ∥，又PD ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，∴PD ∥平面ACM ．（Ⅱ）证明：作PE CD ⊥，则E 为CD 中点，连结AE ， ∵底面ABCD 是菱形，边长为2，面积为，∴11sin 222sin 222S AD DC ADC ADC =⨯⨯⨯∠⨯=⨯⨯∠⨯=∴sin ADC ∠，60ADC ∠=︒， ∴ACD △是等边三角形， ∴CD AE ⊥， 又∵CD PE ⊥， ∴CD ⊥平面PAE ， ∴CD PA ⊥．（Ⅲ）11233P ABCD ABCD V S PE -=⨯=⨯．4.DABCSE（1）证明：∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB SA ⊥， 又∵90BAD ∠=︒， ∴AB AD ⊥， ∵SA AD A =， ∴AB ⊥平面SAD ， 又AB ⊂平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面SAD ． （Ⅱ）证明：取AD 中点为E ，∵90DAB ABC ∠=∠=︒，2AD a =，BC a =，E 是AD 中点， ∴ABCE ∠是矩形，CE AB a ==，DE a =，∴CD =，在ACD △中，AC，CD =，2AD a =， ∴222AC CD AD +=， 即CD AC ⊥，又∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD SA ⊥， ∴CD ⊥平面PAC ． 5.P F ECB AD（Ⅰ）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，又∵底面ABCD 为矩形， ∴BC CD ⊥， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）证明：∵PD DC =，E 是PC 中点， ∴DE PC ⊥，又平面PCD ⊥平面PBC ，平面PCD 平面PBC PC =， ∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥， 又∵EF PB ⊥，EF DE E =，∴PB ⊥平面EFD ．6.E A 1B 1C 1CBAD（Ⅰ）证明：连结1A B ， ∵D 是1AB 的中点， ∴D 是1A B 的中点，∵在1A BC △中，D 是1A B 的中点，E 是1A C 的中点， ∴DE BC ∥，又DE ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ， ∴DE ∥平面11BCC B ．（Ⅱ）证明：∵111ABC A B C -是直棱柱， ∴1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA AB ⊥， 又AB AC ⊥， ∴AB ⊥平面11ACC A ， ∵AB ⊂平面11ABB A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．7.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B，D ，(0,0,2)P，C（1）(BD =-，(1,2)PC =-， ∵0BD PC •=∴BD PC ⊥（2）(1,AC =，(0,0,2)AP =，平面PAC 的法向量为(2,1,0)m =-(0,2)DP =，(1,0,0)AP =，平面DPC 的法向量为(0,2,1)n =--.2cos ,3m n m n m n•==•，二面角B PC D --的余弦值为3.（3）∵AQ AP PQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈ ∴(0,0,2)(0,2,2)(0,2,22)AQ t t t =+-=- 设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角2sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ•===• 2222223684332(22)tt t t t t =⇒=-++-，解得2t =（舍）或23. 所以，23PQ PD =即为所求.8.解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA ,DC ,1DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0 得 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) .由D 1E ＝λEO ，则E ，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2．9.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中， ∵AB AC =，135BCD =︒∠，45ABC =︒∠， ∴AB AC ⊥，∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴EF AB ∥，∴EF AC ⊥，∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP =︒∠， ∴PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， 又∵PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：∵M 为PD 的中点，F 为AD 的中点， ∴MF PA ∥，又∵MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MF ∥平面PAB ，同理，得EF ∥平面PAB ， 又∵MFEF F =，MF ⊂平面M EF ，EF ⊂平面M EF ，∴平面MEF ∥平面PAB ，又∵ME ⊂平面M EF ， ∴ME ∥平面PAB ．（Ⅲ）解：∵PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，∴AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(2,2,0)D -，(1,1,0)E ， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， ∴(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--， 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 设平面PBC 的法向量为(,,z)n x y =，则：n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =， ∴直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， ∴|cos ,||cos ,|ME m ME n <>=<>，即||||||||||||ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，∴|21|λ-=，解得λ=或λ=（舍去），故PM PD ．D10.（1）∵1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，∴1C F AG ∥，∵F 为1AA 的点，且侧面11ACC A 为平行四边形， ∴G 为1CC 中点， ∴112CG CC =． （2）证明：∵1AA ⊥底面ABC ，1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ， ∵E ，G 分别是BC ，1CC 的中点，∴(1,1,0)E ，(2,0,1)G ， ∴1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=， ∴1EG CA ⊥， ∴1EG AC ⊥． （3）设平面AEG 的法向量为(,,)n x y z =，则：0n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =-， ∴(1,1,2)n =--，由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =， ∴6cos ,6||||n m n m n m ⋅<>==-⋅由题意知二面角1A AG E --为钝角， ∴二面角1A AG E --的余弦值为．111.（Ⅰ）证明：过点F 作FH AD ∥， 交PA 于H ，连结BH ，如图所示，∵13PF PD =，∴13HF AD BC ==，又FH AD ∥，AD BC ∥，HF BC ∥， ∴四边形BCFH 为平行四边形， ∴CF BH ∥，又BH ⊄平面PAB ，CF ⊄平面PAB ， ∴CF ∥平面PAB ．z D（Ⅱ）解：∵梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥， ∴BC AB ⊥， ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，∴如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C ，(3,0,0)D ，(0,3,0)A ，(0,0,3)P ，设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =， ∵(3,3,3)PD =-，(0,0,3)BP =，∴00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，令1x =得(1,1,0)n =-，同理可得(0,1,1)m =， ∴1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-⋅，∵二面角B PD A --为锐角， ∴二面角B PD A --为π3． （Ⅲ）假设存在点M 满足题意，设(3,3,3)PM PD λλλλ=-， ∴(13,3,33)CM CP PD λλλλ=+=-+-，∵(0,3,3)PA =-，∴93(33)0PA CM λλ⋅=+-=，解得12λ=，∴PD 上存在点M 使得CM PA ⊥，且12PM PD =．12.Ⅰ∵BC CD ⊥，2BC CD ==，∴BD =，同理EA ED ⊥，2EA ED ==，∴AD =，又∵4AB =，∴由勾股定理可知222BD AD AB +=，BD AD ⊥， 又∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面AED ， 又∵AE ⊂平面AED ， ∴BD AE ⊥．Ⅱ解：取AD 的中点O ，连结OE ，则OE AD ⊥， ∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴OE ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结DF BD ∥，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(D ，(C -，E ，(DC =-，(2,0,DE =， 设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，∴平面CDE 的法向量(1,1,1)n =-， 又平面ADE 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 设平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）为θ， 则1113cos |cos ,|3||||nn n n n n θ⋅=<>==⋅，∴平面ADE 和平面CDE． C13.（1）证明：连结AE ，PE ．∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥．又∵底面ABCD 是菱形，AB BC =，60ABC ∠=︒， ∴ABC △是正三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴AE BC ⊥．又∵PA AE A =，PA ⊂平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴BC PE ⊥．（2）由（1）得AE BC ⊥，由BC AD ∥可得AE AD ⊥． 又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AE ⊥，PA AD ⊥．∴以A 为原点，分别以AE ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则(0,0,0)A，E ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，1,0)B -，C ，(0,1,1)F ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的法向量为(0,0,2)AP =． 又∵(3,1,0)AC =，(0,1,1)AF =． 设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则：AC n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y z +==⎪⎩+，令1x =，则y =z ，∴(1,3,n =-． ∴21cos ,7||||AP n AP n AP n ⋅==． ∵二面角F AC D --是锐角， ∴二面角F AC D -- （3）G 是线段AB 上的一点，设(01)AG t AB t =≤≤． ∵(3,1,0)AB =-，∴,,0)G t -． 又∵(3,1,2)PC =-，(3,,2)PG t t =--． 设平面PCG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则：1100PC n PGn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111112020yz ty z-=--=+，∴1()n t t =-+， ∵AF ∥平面PCG ，∴AF n ⊥，0AF n ⋅=1)0t -=， 解得12t =． 故线段AB 上存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ，G 是AB 中点．14.（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥． ∵ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． 又DEBD D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）∵DA ，DC ，DE 两两重叠，∴建立空间直角坐标系D xyz -如图所示．∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB． 由3AD =，可知DZ =AF ，则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ．∴(0,BF =-，(3,0,EF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，(3,3,0)CA =-，∴cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅==．∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D -- （3）点M 线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t ，则(3,,0)AM t t =-．∵AM ∥平面BEF ，∴0AM n ⋅=，即4(3)20t t -+=，解得2t =，此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意．15.（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥．∵BC AB ⊥，PA AB A =， ∴BC ⊥平面PAB ． 又AM ⊂平面PAB ， ∴AM BC ⊥．∵PA AB =，M 为PB 的中点， ∴AM PB ⊥． 又∵PBBC B =，∴AM ⊥平面PBC ．（2）如图，在平面ABC 内作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =．设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则：0n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-． ∴(0,1,2)n =-．由（1）可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量，∴cos||||5AM nn AMAM n⋅⋅==∵二面角A PC B--为锐角，∴二面角A PC B--．（3）证明：设(,,)D v wμ是线段PC上一点，且PD PCλ=，(01)λ≤≤，即(2,,)(2,2,1)v wμλ-=-，∴22μλ=-，2vλ=，wλ=．∴(22,22,)BDλλλ=--．由0BD AC⋅=，得4[0,1]5λ=∈，∴线段PC上存在点D，使得BD AC⊥，此时45PDPCλ==．16.解：（1）证明：因为AB⊥平面PAD，所以PH AB⊥，因为3,2AHADHD==，所以2,1AH HD==，设PH x=，由余弦定可得，22221cos22x HD PH xPHDx HD x+--∠==⋅22221cos24x HA PH xPHAx HA x+--∠==⋅因为cos cosPHD PHA∠=-∠，故1PH x==，所以PH AD⊥，因为AD AB A=，故PH⊥平面ABCD.（2）以H为原点，以,,HA HP HP所在的直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则3139(2,3,0),(0,0,1),(1,,),(1,,0),(1,,0)2222B P E F C--，所以可得，3311(3,,0),(1,,),(2,0,),(0,3,0)2222BF BE EF FC=--=--=-=，设平面BEF的法向量(,,)n x y z=，则有：33002(1,2,4)30022x yBF nnzBE n x y⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩，设平面EFC的法向量(,,)m x y z=，则有：020(1,0,4)2030z EF m x m FC m y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩，故17cos ,21n m n m n m⋅===⋅设二面角B EF C --的平面角为θ ，则sin 21θ=.17.解（Ⅰ）证明：∵DC ⊥平面ABC ，//BE DC ∴BE ⊥平面ABC ∴CQ BE ⊥ ①又∵2AC BC ==，点Q 为AB 边中点 ∴CQ AB ⊥ ②AB BE B =故由①②得CQ ⊥平面ABE（Ⅱ）过点A 作AM BC ⊥交BC 延长线于点M ∵,AM BC AM BE ⊥⊥ ∴AM ⊥平面BEDC ∴13A CED CDE V S AM -∆=sin33AM AC π==11212CDE S ∆=⨯⨯= ∴113A CED V -=⨯= （Ⅲ）延长ED 交BC 延长线于S ，过点M 作MQ ES ⊥于Q ，连结AQ 由（Ⅱ）可得：AQM ∠为A DE B --的平面角∵1//2CD BC ∴2SC CB == ∴SE ==1MC MS ==∵SQM ∆∽SBE ∆∴QM SM BE SE=∴1225QM=即55QM=∴3tan1555AMAQMQM∠===18.（1）证明：∵在中，，∴当为的中点时，∵平面平面，平面，平面平面∴平面∵平面∴（2）如图，分别以射线，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则，，，∵，，平面平面∴∴当且仅当时，最小，此时，设，平面，则，即∴令，可得，，则有∴∴观察可得二面角的平面角19.（1）取FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点． 连接PG ，∵G 是AD 的中点，P 是FE 的中点，∴//PG AF ， 又PG ⊂平面MGC ，AF ⊄平面MGC ，所以直线//AF 平面MGC ， ∵//PE AD ，//AD BC ，∴//PE BC ，∴2BM BCME PE==， 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点． （2）不妨设2AD =，由（1）知PG AD ⊥， 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，PG ⊂平面ADEF ，∴PG ⊥平面ABCD ．故PG GD ⊥，PG GC ⊥，以G 为坐标原点，GC ，GD ，GP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，∵60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，∴ADC ∆为正三角形，3GC =，∴(0,0,0)G ，3,0,0)C ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E ，∴(0,1,1)GE =，(3,0,0)GC =，设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =，则由10n GE ⋅=，10n GC ⋅=可得0,30,y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，则1(0,1,1)n =-，∵(3,1,0)CD =-BA =，且(0,1,0)A -，故3,2,0)B -，故(3,2,0)BG =-， 故直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值为11||14sin 7||||n BG n BG θ⋅==⋅．20.（Ⅰ）取PC 中点H ，连接、EH FH .∵E 为AB 的中点，ABCD 是菱形，∴//AE CD ，且12AE CD =，又F 为PD 的中点，H 为PC 的中点，∴//FH CD ，且12FH CD =，∴//AE FH ，且AE FH =，则四边形AEHF 是平行四边形，∴//AF EH .又AF ⊄平面PCE ，EH ⊂面PCE ，∴//AF 平面PCE .（Ⅱ）取BC 的中点为O ，∵ABCD 是菱形，AC AB =，∴AO BC ⊥，以A 为原点，,,AO AD AP 所在直线分别为,,z x y 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则)()()3,1,0,3,1,0,0,2,0BCD -，)()313,0,0,0,0,1,,02OP E ⎫-⎪⎪⎝⎭，∴()333,1,1,,,022PC EC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,0AO =，设平面的法向量为()1,,n x y z =，则1100n PC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3033022x y z x y ⎧+-=⎪+=⎪⎩，令1y =-，则3,2x z ==，∴平面PCE 的一个法向量为)13,1,2n =-，又平面PAD 的一个法向量为()21,0,0n =.∴12121236cos ,|n ||n |4314n n n n ⋅<>===⋅++.即平面PAD 与平面PCE 621.解：（1）证明：取PD 的中点F ，连接,EF CF ， 因为,E F 分别是,PA PD 的中点，所以//EF AD 且12EF AD =， 因为1,//2BC AB BC AD =，所以//EF BC 且EF BC =，所以//BE CF , 又BE ⊄平面,PCD CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD .（2）以P 为坐标原点，,PD PA 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则13(0,0,0),3,0),(1,0,0),(1,0,1),(2P A D C B ， 13(0,3,0),(,1),(1,3,0)2PA AB AD ==-=-,设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30013002n PA yn AB x z ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令2x =，得(2,0,1)n =-， 同理可求平面ABD 的一个法向量为6(3,3,0)cos ,55n m m n m n m⋅=⇒===⨯，平面ABD 和平面ABC 为同一个平面， 所以二面角P AB C --.22.解：（Ⅰ）证明：因为二面角S AB C --的大小为90°，则SA AD ⊥， 又SA AB ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥； 在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=，又90DAC BAC ∠+∠=︒， 所以90ABD BAC ∠+∠=︒，即AC BD ⊥； 又ACSA A =，故BD ⊥平面SAC ，因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B ABC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，故511215*********ABCD S ABCD E ABCABC S SAV V S h h --∆⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯梯形，故12h =，做点E 到平面ABCD 的距离为12.23.（1）E 为SD 的中点，01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC ∴===设O 为AC 的中点，连接,EO DO 则EO AC ⊥//,AD BC BC CD ⊥ .AD BC ∴⊥又OD OA OC ==EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥AC ABCD = DO ⊂面ABCD 0AC DO =EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC∴面EAC ⊥面ABCD ………………6分（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD ∥BC EF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥ FO CD ⊥）∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小设AD a =，则2aOF =32EF a = 3os OF c EFO EF <== 即BC 与ECD 3（亦可以建系完成） ………………12分24.解（Ⅰ）过点P 作PO ⊥底面ABC ，垂足为O ， 连接AO 、CO ，则∠PCO 为所求线面角，,AC PA ⊥,AC PO PA PO P ⊥⋂=且，AC ∴⊥平面PAO .则∠P AO 为二面角P -AC -B 平面角的补角∴∠ 60=PAO ，又23PA =∴，，1sin 2PO PCO CO ∠== 030PCO ∴∠=，直线PC 与面ABC 所成角的大小为30°.（Ⅱ）过O 作OE BC ⊥于点E ,连接PE ，则PEO ∠为二面角P -BC -A 的平面角，AC ⊥平面PAO ,AC OA ⊥045AOE ∠=,设OE 与CA 相交于F 22OE EF FO ∴=+=+在PEO ∆中，3436tan 7222POPEO EO-∠===+则二面角P -BC -A 的正切值为4367-.25.解：（Ⅰ）如图，取PA 中点F ，连接FD EF ,，E 是BP 的中点，AB EF // 且AB EF 21=，又AB DC AB DC 21,//= ∴∴DC EF //四边形EFDC 是平行四边形，故得//EC FD又⊄EC 平面⊂FD PAD ,平面PAD//EC ∴平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ,连接PH ,因为PD PA =，所以AD PH ⊥平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，⊥∴PH 面ABCD ，HB ∴是PB 在平面ABCD 内的射影 PBH ∠∴是PB 与平面ABCD 所成角四边形ABCD 中，090=∠=∠BCD ABC ∴四边形ABCD 是直角梯形AB CB DC 21== 设a AB 2=，则a BD 2=在ABD ∆中，易得a AD DBA 2,450=∴=∠.22212222a a a DH PD PH =-=-=又22224AB a AD BD ==+ABD ∆∴是等腰直角三角形，090=∠ADBa a a DB DH HB 2102212222=+=+=∴ ∴ 在PHB Rt ∆中，5521022tan ===∠a aHB PH PBH（Ⅲ）在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连接PG ,则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故AB PG ⊥，所以PGH ∠是二面角D AB P --的平面角， 由a HA a AB 22,2==，又a HG HAB 21450=∴=∠ 在PHG Rt ∆中，22122tan ===∠a aHG PH PGH ∴ 二面角D AB P --的余弦值大小为.3326.（1）∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA 2+AB 2=PB 2，PA 2+AD 2=PD 2， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，∵E ，F ，G ，H 分别为棱PA ，PB ，AD ，CD 的中点． ∴C （2，2，0），D （0，2，0），B （2，0，0）， P （0，0，2），F （1，0，1），G （0，1，0）， =（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴CD与平面CFG所成角的正弦值为．（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ），设平面MEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面CFG的法向量=（1，﹣2，﹣3），∵平面CFG⊥平面MEH，∴=﹣2﹣=0，解得∈[0，1]．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。
2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版
2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件． 【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．基础梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)． 答案 C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b解析 设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴c ＝3a －b . 答案 B3．(xx·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 设a ＝λb (λ＜0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ＜0，∴m ＝－1. 答案 A4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6) 解析 设c ＝(x ，y )， 则4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12＋6＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－6.答案 C5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，∴2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－1. 答案 －1考向一 平面向量基本定理的应用【例1】►(xx·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB →＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3， 3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32考向二 平面向量的坐标运算【例2】►(xx·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.[审题视点] 求CA →，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N . 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．∴CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 B考向三 平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )．即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 【训练3】 (xx·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.答案 D阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．【示例】►(xx·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝错因 搞错向量的夹角或计算错 实录 －12(填错的结论多种)．正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案 －14【试一试】 (xx·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 52019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第3讲 平面向量的数量积教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系． 【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21； (3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝x 1－x 22＋y 1－y 22(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 两个探究(1)若a ·b ＞0，能否说明a 和b 的夹角为锐角？ (2)若a ·b ＜0，能否说明a 和b 的夹角为钝角？ 三个防范(1)若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c 若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4 解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案 C2．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )答案 D3．(xx·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )． A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 解析 a －b ＝(1－x,4)． 由a ⊥(a －b )，得1－x ＋8＝0. ∴x ＝9. 答案 A5．(xx·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )(a －b )＝－2， 得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]所以〈a ，b 〉＝π3. 答案π3考向一 求两平面向量的数量积【例1】►(xx·合肥模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________.[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →.解析 如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49.答案 －49当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识． 【训练1】 如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.解析 AB →＝AO →＋OB →，故CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝CA →·AO →＋CA →·OB →.而AO →＝－12CA →，CA →⊥OB →.所以CA →·AB →＝－12CA 2＝－8.答案 －8考向二 利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a ·b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13.|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．【训练2】 已知a 与b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解 设a 与a ＋b 的夹角为θ，由|a |＝|b |得|a |2＝|b |2. 又由|b |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2.∴a ·b ＝12|a |2， 而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |. ∴cos θ＝a a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.考向三 平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.[审题视点] 利用a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0及a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，求解．解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝－2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【训练3】 已知平面内A ，B ，C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解 由于A ，B ，C 三点在同一条直线上，则AC →∥AB →，AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0，即mn ＋n －5m ＋9＝0，①又∵OA →⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.规范解答10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．【解决方案】 解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．【示例】► (本题满分12分)(xx·安徽)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．先求sin A ，再利用面积公式求bc ，最后利用数量积及余弦定理可解决．[解答示范] 由cos A ＝1213，得sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.(2分) 又12bc sin A ＝30， ∴bc ＝156.(4分)(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144(8分) (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，又a ＞0(10分) ∴a ＝5.(12分)三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．【试一试】 已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．[尝试解答] (1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋2， 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π即θ＝π4时，f (θ)min ＝3.。
2019-2020年高考考前辅导一(数学)
2019-2020年高考考前辅导一（数学）随着高考的进一步改革，考试本着既要积极又要稳妥，稳中求改、求进的方针平稳推进。
特别是高考内容的改革，正围绕着教育部提出的“更加注重对考生能力和素质的考查”这一核心逐步深化，对全面实施素质教育起到了很好的导向作用。
目前在中学中普遍存在着所谓“题海”战术，目的是为了使学生尽量多熟悉一些题型和解法，以便日后在参加高考时能适应高考，取得好成绩。
但由于这些考生平时在学习时，没有把学习的重点放在对基本公式、基本概念和基本规律的理解上，相反地把太多的注意力放在做习题上了。
企图用“题海”战术让学生多熟悉一些题型和解法来对付“生题”。
历年高考试卷中确有少量很难的试题。
这类难题即所谓“生题”，一般难就难在比较新颖，对学生的独立工作能力的要求特别高。
同时，一些以社会、生产、生活、科技发展为背景的试题，在试卷中也频频出现，对搞题海战术的学校和考生是个警示。
所以就从使学生在高考中取得好成绩这一角度来看，采用符合教学规律的教与学的方法，其效果也应该比“题海”战术好。
高考应试是考生知识和能力的竟争，也是心理素质、解题策略与技巧的竞争。
要考出好成绩，从以下几个方面谈谈个人的看法：一．树立信心，克服怯场，.信心是成功的一半，没有信心就没有希望，信心不足就会临场心慌意乱，影响自已应有水平的发挥。
所以拿到试卷后先粗略看一遍试题，做到心中有数，对试题的难易不必在意。
从整体来看：我难你也难，你易我也易。
从近些年来的全国高考试卷来看，历年高考试卷中都有相当数量的试题，是着重考查考生知识面的。
还有相当数量的试题对考生的能力要求并不高，是容易的或中等偏易的试题。
这两类试题加起来，按占分比例统计大约占整个试卷的35%左右。
此外中等难度和中等偏难的试题大约占整个试卷的45%左右，难的试题只占20%左右。
前两类容易或中等偏易的试题，只要考生知道有关的知识内容，并能在有关的问题识别和运用它们，就不难做出正确的答案。
2019届高三数学高考考前辅导 (试题部分)
第一篇考前准备和应试建议2019年高考即将开始，高考是对学生综合能力的测试，并不是说学好就可以了，要取得好的考试成绩，需要三个方面的共同作用，即实力、心理、技术.第一部分考前复习建议1.最后一段自主学习时间，制定合理的作息计划非常重要，切忌“开夜车”，每天的复习、休息、睡眠的时间安排合理，按计划行事，杜绝忙乱，让生理节奏感与心理节奏感增强.2.不能过早放松：可能有同学认为自己已经为高考准备了三年了，现在总算看到希望了，可以好好休息一下了.在这里要提醒大家，不要过早放松，也不要过于放松，否则在高考时就不容易聚敛精气神.3.每天有练。
解题是一种技能，技能需要不断练习。
所以，每天都要适当练习，量不要大，也不要难，每天两道中档题，五、六个简单题。
顺应时间安排：数学考试安排在下午，所以平时复习数学的时间也尽量安排在下午时段.4.回归教材，不主张把课本通读一遍，而是在纠错的前提下，对照自己的不足之处再回到课本，弄清自己原本比较模糊的概念，理解记忆相关公式和法则，做一做课本上的例题和练习题，高考题有些就是来源于课本或是课本题的变式，回归课本，还要注意知识点之间的相互联系，系统的掌握好基本知识和基本方法.5.看错题，查漏补缺仅仅停留在订正错题上是远远不够的.错误往往带有反复性、顽固性，下次遇到同样的题仍然可能出错，正是因为错题反映了自己在某些方面知识的薄弱或是思想方法的缺陷，所以我们才要紧紧抓住错题不放过，要找出错误的根源.看旧题，比如把多次模拟考试中，自己没有多大把握的题（如南京模拟的第17,18题）再做一遍（按照规范的书写格式），找出类题的共同点、不同点，分析解题的方法和技巧，总结规律，达到举一反三、触类旁通的目的.第二部分应试建议在稳定压倒一切的政治背景下，试卷结构也不会有大的变化。
命题难度，肯定会适当控制，与去年比较，估计略有降低。
（一）规范问题书写：1．字不一定好看，但一定要写清楚，如，圆括号不要写成方括号等；2．若有省略的式：多写些项，让阅卷教师看得出式子的结构及规律；同一问题中同一字母不能表示不同的量；应用题要“一设二解三答”；3．定理要求的条件要完整；运用公式或定理时，式子要写成相关公式或定理的结构形式；不能随便运用教材中不是定理或公式的结论。
2019年高考数学高分突破复习 考前冲刺一 第1讲
由图形的对称性可知，区域 M 可以看作半径为 2 的半圆的14. 又区域Q表示的平面图形是半径为2的半圆， 于是所求的概率 P＝14.
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方法突破
归纳总结
(2)作出y＝f(x)，x∈[－2，3]的图象(如图)，
又直线y＝(x＋2)a过定点(－2，0)，依题意y＝a(x＋2)与y＝f(x)，x∈[－2，3]的图象 有四个交点， 则aa（ （13＋ ＋22） ）<>22， ，解之得25<a<23. 答案 (1)B (2)25，23
7
方法突破
归纳总结
② ①得 1－q＝3，即 q＝－2，代入①式可得 a1＝1， 所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8. (2)设点M的横坐标为x0，易知准线x＝－1， ∵点M到焦点的距离为10，根据抛物线定义，x0＋1＝10， ∴x0＝9，因此点M到y轴的距离为9. 答案 (1)B (2)9
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B.14，13
C.13，1
D.14，1
(2)(2018·武汉模拟改编)若函数 y＝f(x)图象上不同两点 M，N 关于原点对称，则称点对
[M，N]是函数 y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点
对”).已知函数 f(x)＝exx2，－x4<x， 0，x>0，则此函数的“和谐点对”有________对.
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方法突破
归纳总结
【训练 4】 (1)若 a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin25π，则 a，b，c 的大小关系是________.
(2)设 M 为不等式组xy≤ ≥00， ， 表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动 y－x≤2
直线 x＋y＝a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( )
2020年江苏省高考数学考前最后辅导(一)
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————2020年江苏省高考数学考前最后辅导（一）高考考什么呢？简单地说就是四个字，三基四能。
所谓的三基是基础知识、基本技能、基本思想方法。
五种能力就是空间想象能力、抽象概括能力、推理证明能力、运算求解能力、数据处理能力考试就是考这样三基五能。
其中基础知识、基本技能是重点，推理证明能力、运算求解能力是关键。
第一，应该坚持由易到难的做题顺序。
高考试题设置的时候是14道填空题、6道大题，填空题（用时38—40分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2.5分钟左右。
7—12题防止犯运算错误，平均用时在3分钟左右。
13—14防止犯耗时错误，平均用时在4分钟左右。
解答题（用时在75分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。
17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在14分钟左。
19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在13分钟左右。
第二，再强调一点审题是关键。
把题给看清楚了再动笔答题，看清楚题以后问什么、已知什么、让我干什么，把这些问题搞清楚了，自己制订了一个完整的解题策略，在开始写的时候，这个时候是很快就可以完成的。
第三，有的同学做到第16题、第17题的时候就想不起来了，卡住了，属于非智力因素导致想不起来，这时候怎么办？虽然是简单题我不会做怎么办？建议是先跳过去，不是这道题不会做吗？后面还有很多的简单题呢，我们把后面的题做一做，不要在考场上愣神，先跳过去做其他的题，等稳定下来以后再回过头来看会顿悟，豁然开朗。
另外，因为填空题看结果，不看过程，只要是能把正确的结论找到就行。
常用的方法学生比较习惯的是直接法，特值（特质）法，数形结合法。
做大题的时候要特别注意我会做但拿不满分，这是什么原因造成的呢？就是解题步骤不够规范。
规范答题可以减少失分，什么是规范答题简单地说就是从上一步的原因到下一步的结论，这是一个必然的过程，让谁写、谁看都———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————是这样的。
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2019-2020年高考考前辅导一（数学）随着高考的进一步改革，考试本着既要积极又要稳妥，稳中求改、求进的方针平稳推进。
特别是高考内容的改革，正围绕着教育部提出的“更加注重对考生能力和素质的考查”这一核心逐步深化，对全面实施素质教育起到了很好的导向作用。
目前在中学中普遍存在着所谓“题海”战术，目的是为了使学生尽量多熟悉一些题型和解法，以便日后在参加高考时能适应高考，取得好成绩。
但由于这些考生平时在学习时，没有把学习的重点放在对基本公式、基本概念和基本规律的理解上，相反地把太多的注意力放在做习题上了。
企图用“题海”战术让学生多熟悉一些题型和解法来对付“生题”。
历年高考试卷中确有少量很难的试题。
这类难题即所谓“生题”，一般难就难在比较新颖，对学生的独立工作能力的要求特别高。
同时，一些以社会、生产、生活、科技发展为背景的试题，在试卷中也频频出现，对搞题海战术的学校和考生是个警示。
所以就从使学生在高考中取得好成绩这一角度来看，采用符合教学规律的教与学的方法，其效果也应该比“题海”战术好。
高考应试是考生知识和能力的竟争，也是心理素质、解题策略与技巧的竞争。
要考出好成绩，从以下几个方面谈谈个人的看法：一．树立信心，克服怯场，.信心是成功的一半，没有信心就没有希望，信心不足就会临场心慌意乱，影响自已应有水平的发挥。
所以拿到试卷后先粗略看一遍试题，做到心中有数，对试题的难易不必在意。
从整体来看：我难你也难，你易我也易。
从近些年来的全国高考试卷来看，历年高考试卷中都有相当数量的试题，是着重考查考生知识面的。
还有相当数量的试题对考生的能力要求并不高，是容易的或中等偏易的试题。
这两类试题加起来，按占分比例统计大约占整个试卷的35%左右。
此外中等难度和中等偏难的试题大约占整个试卷的45%左右，难的试题只占20%左右。
前两类容易或中等偏易的试题，只要考生知道有关的知识内容，并能在有关的问题识别和运用它们，就不难做出正确的答案。
对中等难度和中等偏难的试题，如果考生平时学习比较扎实，对基本公式、基本概念和基本规律理解得比较深入，又曾经认认真真独立自主地做过一些习题，具有一定的独立工作能力，做对一半或三分之二应当不成问题。
从这个分析中可以看出，即使这些考生对占20%左右的难题全部没有做，他的数学成绩也完全可能得到100来分。
从历年高考的答卷中看，非常遗憾，不少考生连一些原本比较容易的考查知识面的试题都没有做对，以致影响整卷成绩。
.二．合理把握时间，巧解、妙算。
近几年高考题的卷面编排是以送分题开始，逐渐增大难度，但难易题目也可能是波浪形布局，最难的题目不一定在最后。
这也是对考生能力品质的考查，只有处变不惊、遇难不乱，科学灵活地运筹时间，才能在有限的时间内多做题多得分。
有时对平时很熟的知识，因一时难以想起而突然卡壳，此时不要急于求成，要暂时放过也许在做完后面的题后突然从记忆中冒出来。
否则会越想越急，越急越记不起来，最后因小失大。
纵观近几年高考试题，多数题目并不比平时练习的题目难，也并不都是新题，有好多题目都是我们平时练习过的知识或熟题略加改造而成，如果平时训练的题目多数都会做，那么要坚信高考你也一定能考出好成绩。
对于"选择"、"填空"两1种题型里涉及的计算问题，其中多有巧解、妙算，注意广开思路，少走弯路，少做无用功，以增加有效时间。
一般来讲，做选择题控制在40-55分钟，根据平时自已出错率的高低合理安排，不可太快（少于40分钟），这样出错率较高，也不可太慢（60分钟以上），影响第二卷的解题。
解答第二卷控制在60分钟左右，最后留10-5分钟的检验人不光是靠他生来就拥有的一切，而是靠他从学习中的所得的一切来造就自己。
——歌德时间。
在高考试题中，选择题占了很大的比重，而选择题往往因它的灵活多变，涉及知识面广，知识容量大，解题方法技巧的多样性而备受关注，同时选择题还能体现一个学生的综合素质。
三、一定要吃准、吃透每一个概念．尽量减少失误。
纵观历次考试，因失误而失去的分数平均在5--10分左右，有的甚至更多，应克服失误，在有效的时间内把会做的题目都做对。
在高考试题中往往设置“陷阱”，它可以校正学生掌握知识不准确、考虑问题不全面等毛病，同时也对学生的解题能力提出了更高层次的要求．如果概念掌握不清、理解不透，就难逃一“劫”．因此，一定要吃准、吃透每一个概念．四、掌握思维方法，知识是基础，思维能力是关键，没有知识，思维能力将会成为无源之水，无本之木，但应该认识到在具有一定知识基础的前提下，思维能力对解决实际问题显得更为重要。
常见的思维方法有如下几种：发散思维、逆向思维、整体思维、极限思维和创新思维。
在教学中进行的一题多解的训练，学会从不同方向不同角度去思考，冲破“思维定势”的束缚。
事实表明，讲究思维品质和综合素质提高的形势下，在考虑解决问题的策略上应该具有全面的观点，就是既有利知识的迁移，也有利于思维品质的全面发展。
这样，在解决一些具体的习题时，可以起到省时、高效、准确的作用，考场如战场，要考出好成绩，除具备扎实的双基和良好的心理素质外，科学的临场应试策略也是必要的，若具备了上述四方面，肯定能考出理想的成绩一、 选择题1．若集合},,,,|{},4,3,0{b a A b A a b a x x B A ≠∈∈⋅===则B 的子集的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82. 已知函数的定义域是，值域是，则满足条件的整数对共有 A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个3．函数f（x）＝|x2－a| 在区间［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是A． B． C．1 D．24. 三角形ABC中AP为BC边上的中线，，，则＝A．2 B．3 C． D．5．设函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解．则的值为（）A． B． C． D．6．点在直线上的射影是，则的值依次为（）A． B． C． D．7．对任意实数x,不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.8．若函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为－1，有以下命题：（1）f(x)的解析式为：f(x)=x3－4x，x∈[-2，2]；（2）f(x)的极值点有且仅有一个（3）f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中假命题个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD和DC上运动，设，将沿BP折起，使得二面角成直二面角，当为（）时，AC长最小． A． B． C． D．10．若是一个给定的正整数，如果两个整数用除所得的余数相同，则称与对模同余，记作，例如：.若:,则可以为b2.1.2.3.4A B C D二．填空题11．已知函数f（x）、g（x）满足x∈R时，f′（x）>g′（x），则x1<x2时，则f（x1）－f （x2）___ g（x1）－g（x2）．（填>、<、＝）12．若关于x的方程有不同的四解，则a的取值范围为．13．已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为________________________．14．已知二次函数f（x）＝x2－2x＋6，设向量a＝（sin x，2），b＝（2sin x，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）>f（c·d）的解集为___________．15．若，则的取值范围是．16．已知两点，，点是圆上任一点，则△面积的最小值为．17．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则＝2r ○1，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子：②式可以用语言叙述为：．18．若直线y=kx－2与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m= 1恒有公共点，则实数m的取值范围为_______．3每个人的生命都是一只小船，理想是小船的风帆。
——张海迪志当存高远。
——诸葛亮三．解答题19．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y＝x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；（3）设直线y＝m x＋1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．20．函数的定义域为，设．（1）求证：；（2）确定t的范围使函数在上是单调函数；（3）求证：对于任意的，总存在，满足；并确定这样的的个数．11: < 12: a＞2 13:11 14: （）15: 或16:17: （R3）`＝4R2;②球的体积函数的导数等于球的表面积函数18:19: （1）设双曲线C的渐近线方程为y＝k x，即k x－y＝0．∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为．设双曲线C 的方程为，∵双曲线C 的一个焦点为，∴．∴双曲线C 的方程为．（2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|＝|OF 1|； 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|＝|QF 1|． 根据双曲线的定义，|TF 2|＝2，所以点T 在以F 2为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是 ． ① 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （），则代入①并整理，得点N 的轨迹方程为 ．（3）由．令， 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根，因此22020 1120.1m m m m ⎧⎪∆>⎪⎪<<<⎨-⎪⎪->⎪-⎩，，解得． 又AB 的中点为，∴直线L 的方程为．令x ＝0，得．∵，∴．∴故b 的取值范围是． 20: 【解析】（1）设，则，所以． （2），令，得．当时，时，，是递增函数；当时，显然在也是递增函数．∵是的一个极值点，∴当时，函数在上不是单调函数．∴当时，函数在上是单调函数．（3）由（1），知，∴．又∵， 我们只要证明方程在内有解即可． 记，则，，()()()()22223640,31240g t g t t t t -=-->=--->， ①当时，，方程在内有且只有一解 ②当时，，， 又，∴方程在内分别各有一解，方程在内两解；③当时，方程在内有且只有一解；④当时，方程在内有且只有一解．综上，对于任意的，总存在，满足． 当时，满足，的有且只有一个；当时，满足，的恰有两个．。