【原创精品资料】9.3 《二项式定理》错误解题分析
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
《二项式定理》教材分析与反思
《二项式定理》教材分析与反思
《《二项式定理》教材分析与反思》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
教材分析：
作为计数原理,尤其是组合数公式的应用,二项式定理有着广泛的应用价值.一方面,它可以继续巩固排列、组合的相关知识.另一方面,借助它还可以推出组合数的诸多重要性质.
二项式定理的推导,无疑是学习中的难点,主要在于为什么会想到利用组合数公式推导及相关的组合数.当然,应用也是一个难点.重点是通项公式的应用,可以解决几乎关于二项式定理的大多数问题.
对于二项式系数的诸多性质,个人认为,让学生充分体验观察及发现过程,或独立或合作的方式归纳出相应的性质,在此基础上,做一些必要的练习.
教后反思：
由于时间紧张,不得已加快上课进度,而讲解式方法是节约时间的最好方法,进而讲解式成为这章内容的主要方法.有时,明显可以感觉自己的灌输意识浓厚.
《二项式定理》教材分析与反思这篇文章共929字。
二项式定理高考常见题型及其解法
第二讲 二项式定理高考常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】1、二项式定理：∑=-∈=+nk kkn k nnn b aCb a 0*)()(N2、二项展开式的通项： )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r +1项.3、二项式系数：).0(n r C r n ≤≤4、二项式系数的性质： ⑴ ).0(n k C C k n n k n ≤≤=-⑵ ).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n ⑶ 若n 是偶数，有n nn nn n nn C CC C C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数2nn C 最大.若n 是奇数，有n nn nn n n n nnC C C C C C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n n nn C C 和相等且最大.⑷ 各二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:021312n n n n n C C C C -++=++=【典型考题】一、求二项展开式：1．“（a +b ）n”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式.解：原式=4)13(xx +=24)13(xx +=])3()3()3()3([14434224314442CCCCC x x x x x ++++=)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xxx x小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的. 2． “（a -b ）n ”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式.分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nnnn n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质. 二、通项公式的应用：1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x xa -的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r rr rr rr r r x aC x x aC T令3923=-r ，即8=r ，依题意，得492)1(894889=⋅⋅---aC ，解得1-=a2．确定二项展开式的常数项例5．103)1(x x -展开式中的常数项是解：rr rr rr r xCxx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-= ，令0655=-r ，即6=r .所以常数项是210)1(6106=-C小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴ 3．求单一二项式指定幂的系数 例6．（03全国）92)21(xx -展开式中x 9的系数是 .解：29191()()2rr rr T x xC -+=-=182911()()2rr r r x xC --=18391()2rr x x C --令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：339121()22C -=-，∴填212-三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，x 2的系数等于 解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，x 3项的系数是 . 解：在展开式中，3x 的来源有：⑴第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008.四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项例9．求101的展开式的中间项；解：,)1()(310101r r r r xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为5555610(252x C =-.小结： 当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n n baC ；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222nnnnb a C . 2、求有理项 例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(r rr rrr r xxr T CC--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项.小结：⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.3、求系数最大或最小项 ⑴ 特殊的系数最大或最小问题例11．（2000上海）在二项式（x -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 . 解：rrr r xT C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为5511(1)462C-=- ⑵一般的系数最大或最小问题例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r CT ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即8!8!2(1)!.(9)!(2)!.(10)!8!8!2(1)!.(9)!!(8)!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪----⎪⎨⎪⨯≥⎪---⎩1212219k k k k ⎧≥⎪⎪--⇒⎨⎪≥⎪-⎩，解得43≤≤k ，故系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =. ⑶系数绝对值最大的项例13．在（x -y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是 .解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理， 故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -.五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和（参考例题2） 例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 . 解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+-故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多.例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a .分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值. 解：rrr r x T C)1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0六、利用二项式定理求近似值例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算.解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ，且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计.∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=-小结：由122(1)1...nn n n n n x x x x C C C +=++++，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值. 七、利用二项式定理证明整除问题 例17．求证：5151-1能被7整除. 证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.49515151505051249251501515151-+++++C C C C C=49P +1251-（*∈N P ） 又 1)2(1217351-=-=（7+1）171-=01216171716151717171717.7.7.7.....71C C C C C +++++- =7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除.小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数. 八、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题． 例18 如图，在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言． 解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得 131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……二项式定理中的五大热点二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一，本文总结出了近年高考中的五大热点题型，供参考. 一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项，x 3项的系数等)及有理项，无理项，或逆向问题，常是先写出其通项公式1r T +＝r n r r n C a b -，然后再据题意进行求解，有时需建立方程才能得以解决. 例1 9)12(xx -的展开式中，常数项为 ．(用数字作答)．解：由99921991(2)(1)2rrr r rr r r r T C x C x ----+⎛⎫=-=-∙∙∙ ⎝． 令9－r －2r ＝0，得r ＝6．故常数项为63679(1)2672T C =-∙∙=．故填672．练习：1．10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为_______．[15]2．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4－(x －1)5的展开式中，x 2的系数是_______．[－20]3．9a x ⎛-⎝展开式中x 3的系数为94，常数a ＝______．[4] 二、系数配对型是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题，通常转化为乘法分配律问题来解决.例2 (x 2＋1)(x －2)7的展开式中x 3项的系数是______.解： 由x 3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：因此，x 3项的系数是()4472C -＋()6672C -＝1008．练习：(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）．[179]三、系数和差型是指求二项展开式系数的和或差等问题，常可用赋值法加以解决. 例3 若2004220040122004...(12)x a a x a x a x -=++++(x ∈R )，则=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a (用数字作答)．解：取x ＝0，得a 0＝1；取x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004＝(1－2)2004＝1．故010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++ ＝2003a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004)＝2003＋1＝2004．评注：若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n．则有①a 0＝f (0)，②a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)；③a 0－a 1＋a 2－…＝f (－1)；④a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-；a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --．练习：若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为_________．[1]四、综合应用型应用意识是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等式、求组合数及求余数等问题.例4 9192除以100的余数是_______． 解：9192＝(90＋1) 92＝0929290C ＋1919290C ＋…＋9029290C ＋919290C ＋9292C＝M ×102＋92×90＋1(M 为整数) ＝100M ＋82×100＋81． ∴ 9192除以100的余数是81．练习：⑴求0.9986近似值(精确到0.001)．[0.998]⑵设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C _________．[1(71)6n-]五、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例5 如图，在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言． 解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．练习：若(1－2x )9展开式的第3项为288，则2111lim ()nx xxx→∞+++的值是_________．[2]。
(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理 概念篇【例1】求二项式(a — 2b)4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开•解：根据二项式定理得 (a — 2b)4=c 0 a 4+c 4 a 3( — 2b)+C 4 a 2( — 2b)2+C 3 a( — 2b)3+C 4 (— 2b)4=a 4 — 8a 3b+24a 2b 2— 32ab 3+i6b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把— 2b 中的符号“―”忽略【例2】展开(2x -2代2x分析一：直接用二项式定理展开式•解法一：(2x - 32)5=C °(2x)5+c l (2x)4(— q )+C ；(2x)3( — q )2+c 5(2x)2(—与)3+2x2x 2x 2xC 5 (2x)( — 2)4+C ；( — 2)52x 2 2x 2分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法二：35--和件[C 5 (4x 3)5+C 1 (4x 3)4(— 3)+C 5 (4x 3)3(— 3)2+C 3 (4x 3)2( — 3)3+C 4 (4x 3)( — 3)4 + C 5( — 3)5]荷(1024x 15— 3840x 12+5760x 9— 4320x 6+l620x 3— 243) 32x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在(x — ■ 3)10的展开式中，x 6的系数是 ________ . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是c 4°.解法二：(x —，3)10 的展开式的通项是 T r+1=C ；0X 10—r ( — 3 )r .令10— r=6，即r=4,由通项公式可知含 x 6项为第5项，即T 4+1=C ：0x 6( — . 3 )4=9C 40x 6. ••• x 6的系数为9C ：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x 6这一项系数，而不是求含 x 6的二项式系数，所以应是解法二正确 如果问题改为求含 x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C ：0.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项=32x 5— 12Ox 2+180 x135 405+87243 10 .32x=327°=32x 5— 120x 2+180 x 135 405x 4 +8x 7243 32x 10 .式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 . x — —)10,3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数； (2) 求其展开式第四项的系数； (3) 求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式•解：(3..X — -2)10 的展开式的通项是 T r+i =C ；o (3.、x )10—r ( — 2)r (r=o , 1,…，10).3x3x•••第9项为常数项，其值为256说明：二项式的展开式的某一项为常数项， 就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项； (2)求(1 — 2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式， 可得系数的表达式， 列出相邻两项系数之间关系的不等 式，进而求出其最大值.7!2r7! 2r 1即 r!(7r)!(r 1)!(7 r 1)!7! 2r7! 2r 1r !(7 r)!(r 1)!(7 r 1)!(1)展开式的第 4项的二项式系数为 C ?0=120.(2)展开式的第 (3)展开式的第 2 4 项的系数为 C ；037(— — )3= — 77760.34 项为—77760( x )7十，即一77760 • x .z\.(3 .. x — —)10写成］3 x +(— A)： 10,从而凑成二项式定理的形式3x 3x【例5】求二项式(x 2+ 1 )10的展开式中的常数项.2丘说明：注意把 分析：展开式中第r+1项为C ；0(x 2)10—r ( 1)r ，要使得它是常数项，必须使2Jxx ”的指数为零，依据是X 0=1 , x M 0.解：设第r+1项为常数项，则 Eg 2)102053r 1 r人 52(一)r (r=0, 1，…，10)，令 20 —r=0,2 2••• T9=C 80(1)8=45 256解：(1)设第r+1项系数最大，则有C 72r (C r 1?r 1 C 72r ( C r 1?r 1系数最大项为 T 6=C 7 25X 5=672X 5.(2)解：展开式中共有 8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得•又因(1 - 2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大值 必在中间或偏右，故只需比较C 4( 2)4C 3T 5和T 7两项系数的大小即可-C6( 2)6 =4C >1, 所以系数最大项为第五项，即 T 5=560X 4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法， (2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁 .【例7】(1+2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n ,再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T 6=C ；j (2x)5, T 7=C 6 (2X )6，依题意有。
高三数学二项式定理通用版知识精讲
高三数学二项式定理通用版知识精讲【本讲主要内容】二项式定理二项式定理和二项展开式性质及其应用【知识掌握】 【知识点精析】1. 二项式定理：对任意的正整数n ，有)N n (b C ......b a C ......b a C a C )b a (*n n n r r -n r n 1-n 1n n 0n n ∈+++++=+这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n )b a (+的二项展开式，各项系数rn C ……（r ＝0，1，2，……，n ）叫做二项式系数。
特例：在二项展开式中令a ＝1，b ＝x ，则有公式：（）＝ (111)22+++++x C x C x C x nn n n n n2. 通项公式：二项展开式中的第r+1项r r-n rn b aC 叫做通项，记做)n r 0,N n (b a C T *r r -n r n 1r ≤≤∈=+。
注意：（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n 和r 确定，该项也随之确定。
（2）通项公式表示的是第r+1项，而不是第r 项。
（3）公式中a ，b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n 。
3. 二项式系数的性质：（1）二项式系数的对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； （2）二项式系数的大小规律如果二项式幂指数是偶数，中间一项12n T +的二项式系数最大；如果二项式幂指数是奇数，中间两项121n T ++和121n T +-的二项式系数相等并且最大。
（3）二项式系数的和：nn n 2n 1n 0n 2C ......C C C =++++ 当n 为偶数时C C C C C C C C n n n n n n n n n n n 024135112++++=++++=--…………当n 为奇数时C C C C C C C C n n n n n n n n n n n 024113512++++=++++=--…………（4）二项式系数与项的系数的区别：如n)bx a (+的展开式中，第r+1项的二项式系数为r n C ，第r+1项的系数为r r-n r n b aC 。
(完整版)二项式定理题型及解题方法
二项式定理题型及解题方法【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式.式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r r r n T C a b -+=， 其中的系数r n C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈) ②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n.要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C a b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r r r n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）.要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导.在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数. n b a )(+展开式中的二项式系数,当n 依次取1,2,3,…时,如下表所示:1)(b a +………………………………………1 12)(b a +……………………………………1 2 13)(b a +…………………………………1 3 3 14)(b a +………………………………1 4 6 4 15)(b a +……………………………1 5 10 10 5 16)(b a +…………………………1 6 15 20 15 6 1…… …… ……上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质.表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.用组合的思想方法理解(a+b)n 的展开式中n r r a b -的系数rn C 的意义：为了得到(a+b)n 展开式中n r r a b -的系数，可以考虑在()()()n a b a b a b +++这n 个括号中取r 个b ，则这种取法种数为r n C ，即为n r r a b -的系数．2.()n a b +的展开式中各项的二项式系数0n C 、1n C 、2n C …nn C 具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即r n n r n C C -=；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2n n C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数21-n n C ，21+n n C 相等，且最大.③各二项式系数之和为2n ，即012342n n n n n n n n C C C C C C ++++++=；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C . 要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项r r n r n b a C -的二项式系数是组合数rn C ，展开式的系数是单项式r r n r n b a C -的系数，二者不一定相等.如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r r r n T C a b -+=-，在这里对应项的二项式系数都是r n C ，但项的系数是(1)r r n C -，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．3.()na b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法（,,0p q r ≥的整数且p q r n ++=） r q q r n q r n r n r r n r n n n c b aC C c b a C c b a c b a ----=+=++=++)(])[()( 如：10)(c b a ++展开式中含523c b a 的系数为!5!2!3!105527310⨯⨯=C C C 要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决.要点四：二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2.利用赋值法进行求有关系数和.二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a ，b ，该等式都成立.利用赋值法（即通过对a 、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况.设2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++(1) 令x=0，则0(0)n a f b ==(2)令x=1，则012(1)()n n a a a a f a b ++++==+(3)令x=－1，则0123(1)(1)()n n n a a a a a f a b -+-+-=-=-+ (4)024(1)(-1)2f f a a a ++++= (5)135(1)-(-1)2f f a a a +++= 3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：98322--+n n 能被64整除（*N n ∈）4.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明.①nx x n +>+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++>+；（0>x ） 如：求证：n n )11(2+< 5.进行近似计算：求数的n 次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式. 当||x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①nx x n +≈+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+； 如：求605.1的近似值，使结果精确到0.01；。
(整理版)排列组合二项式定理之二――易错篇
排列、组合、二项式定理之二――易错篇排列组合问题中，元素间的异同关系，元素的重复占位等问题错综复杂，“分类〞与“分步〞各环节又相互影响，如果不能审清题意，制定合理、准确的解题方案，就不可防止地出现“重〞或“漏〞的错误。
本文从排列组合易错问题入手进行分析探讨，希望能成为引“玉〞之“砖〞。
一、两个根本原理本节思维误区通常是：“完成一件事〞的任务不明确；分类与分步混淆或分类不准确。
例1、4名同学争夺三个工程的冠军，冠军获得者可能的种数是。
错解：每名同学夺冠有三种可能，故有34种。
错因分析：上解法误认为每个同学夺冠都有三种可能性，犯了分步混淆的错误。
正解：事件是“确定三项冠军有得主〞，可分为三个步骤：即每一项冠军都有4种可能情况，故冠军获得者可能的种数为43。
例2、从100到999的三位数中，含有0的三位数有多少个？错解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个。
故共有90＋90=180个。
错因分析：分类应注意“不重不漏〞，上解法中重复计算了个位和十位都是0的情形。
正解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个；但个位数是0且十位数也是0的9个重复了，故共有90＋90－9=171个。
二、排列问题本节思维误区通常是：⑴概念模糊；⑵重复或遗漏：①类与类之间不相互独立，即类与类之间有重复局部；②分类不完备，即分类没有包含所有可能情况；③分步设计不合理，缺乏可行性；④出现隐性问题；⑤轻视计算或算法不当。
例3、8个人排成两排，每排4人，有多少种排法？A种，另4 个人排成一排有44A种，两排交换位错解：8个人中取4个人排成一排有48A种，故共有排法48A·44A·22A=80640种。
置有22A包含了8个人中任取4个人的所有可能的排列，当然也包括错因分析：事实上，48A，那么每种排法又重复了一次。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
二项式定理易错点及赋值法妙用-高三数学解题技巧专题突破
二项式定理易错点及赋值法妙用一．【学习目标】1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二．方法归纳1.运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C r n，而后者是指字母外的部分.2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T r＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出T r＋1.3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.练习4．(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中,一次项的系数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，可得展开式中一次项的系数为1+2+3+…+n==，故选C.（三）求常数项例3．在二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A．第6项B．第5项C．第4项D．第3项【答案】C【解析】由题意二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故，二项式展开式的通项为要系数最小，则为奇数当时，当时，，当时，当时，，故当当时系数最小则系数最小的项是第4项，故选练习1．已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为（）A．2B．1C．D．【答案】B（四）赋值法例4．已知，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵（1+x）5＝﹣[﹣2+（1﹣x）]5，通项a3＝﹣（﹣2）2＝﹣40，故选：A．练习1．对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A．3 B．6 C．9 D．21【答案】B【解析】由于，其展开式的通项为，当时，为，故.练习2．若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】令，得令得两式子相加得：，令，得到，所以，故选C。
高中必修1-5错误解题分析系列-《9.3 二项式定理》
§9.3 二项式定理一、知识导学1.二项式定理：*22211,)(N n b C b a C b a C b a C a C b a n n n r rn rn n n n n nn n∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+---上列公式所表示的定理叫做二项式定理.右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，它一共有ｎ＋1项. 其中各项的系数),,2,1,0(n r C r n ⋅⋅⋅=叫做二项式系数. 式中的r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示，即1+r T ＝r r n r n b a C -.2.二项式系数的性质：（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式m n n m n C C -=得到.（2）增减性与最大值. 二项式系数),,2,1,0(n r C r n ⋅⋅⋅=，当ｒ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和.nb a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n2.二、疑难知识导析1．二项式定理是代数公式2222)(b ab a b a ++=+ 和 3223333)(b abb a a b a +++=+的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解.2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式1+r T ＝rrn rn b a C -在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是nb a )(+的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.3．二项式定理的特殊表示形式（1）nn n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a )1()1()(110-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-=---.这时通项是1+r T ＝n)1(-r r n r n b a C -.（2）nr r n n n n x x C x C x C x +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+22111)1(.这时通项是1+r T ＝rr n x C .（3）nn r n n n n n C C C C C +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+210)11(.即各二项式系数的和为n 2.4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C 三、经典例题导讲[例1]已知5050221050...)21(x a x a x a a x ++++=-，求5021...a a a +++的值.错解：由二项展开式的系数的性质可知：n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，显然，0a 就是展开式中的1050=C ，因此5021...a a a +++的值为n 2－1. 错因：上述解答忽略了 50210,...,,,a a a a 是项的系数，而不是二项式系数.正解：由二项展开式的结构特征，50210,...,,,a a a a 是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果x ＝1，则等式右边为50210...a a a a ++++，出现所求式子的形式，而0a 就是展开式中的1050=C ，因此=⨯-50)121(50210...a a a a ++++，即1＝1＋5021...a a a +++，所以，5021...a a a +++＝0评注 这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令a 、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值.[例2]在多项式nn n n n nx C x C x C x C x f )1(...)1()1()1()(33221-++-+-+-=的展开式中，含6x 项的系数为 .错解：原式＝1)]1(1[--+n x ＝1-n x∴6x 项的系数为0.错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供.正解：原式＝1)]1(1[--+nx ＝1-nx∴当ｎ≠6时，6x 项的系数为0.当ｎ＝6时，6x 项的系数为1说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少)1(-x C n 这一项.[例3] 111100-的末尾连续零的个数是 ( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 解：100100991002981003971009911001000100100100101010 (1010))110(11CC C C C C++++++=+=上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以111100-的末尾连续零的个数是3. 故选C.[例4] 已知nxx )21(4⋅+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列.（1）求展开式中所有的x 的有理项； （2）求展开式中系数最大的项. 解：（1）展开式前三项的系数分别为)1(81)21(,221,12221-=⋅=⋅=n n C nC C n n n . 由题设可知：)1(81122-+=⋅n n n解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）. 当ｎ＝8时，rrrr x x C T --+⋅⋅=)2()(4881＝rrr xC 43482--⋅⋅.据题意，4－r 43必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r ≤8，∴r ＝0,4，8. 故x 的有理项为：41x T =，x T 8355=，292561x T =.（2）设第r ＋1项的系数1+r t 最大，显然1+r t ＞0， 故有rr t t 1+≥1且12++r r t t ≤1.∵rr t t 1+＝rr C C r r r r29221188-=⋅⋅+---，由rr 29-≥1，得r ≤3.∵12++r r t t ＝rr C C rrr r -+=⋅⋅---+8)1(2228118，由rr -+8)1(2≤1，得r ≥2.∴r ＝2或r ＝3，所求项分别为2537x T =和4747x T =.评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含x 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）.3.注意区分展开式“第r ＋1项的二项式系数”与“第r ＋1项的系数”. [例5]已知),()21()21()(*∈+++=N n m x x x f n m 的展开式中含x 项的系数为24，求展开式中含2x 项的系数的最小值.解：解法一 由)(x f 中含x 项的系数为24，可得x nx mx x C x C n m 24222211=+=+.从而，12=+n m .设)(x f 中含2x 项的系数为ｔ，则ｔ＝)(222222222n m n m C C n m --+=+.把n m -=12代入上式，得ｔ＝120)6(4]12)12[(2222+-=-+-n n n . ∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6. 解法二 由已知12=+n m ， 设)(x f 中含2x 项的系数为ｔ，则ｔ＝)12(222-+n m ≥2]122)([2-+n m ＝2（72－12）＝120.当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120. ∴)(x f 展开式中含2x 项的系数的最小值为120.评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛. 四、典型习题导练1．化简：nn n n n C C C 2...42121++++2. 设443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为3. （1+x ）(2+x )(3+x )…(20+x )的展开式中x 19的系数是 . 4. 式子3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项是 （ ）A 、－15B 、20C 、－20D 、155．已知二项式12)(n m bx ax +中，a ＞0，ｂ＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展开式中的最大系数项是常数项，求ba 的取值范围.6．用二项式定理证明：n n n a n x na x )1(1-+--能被2)(a x -整除 （ｎ∈*N ，ｎ≥2）.。
高中数学《二项式定理》教学反思
高中数学《二项式定理》教学反思
教学反思：高中数学《二项式定理》
在教授高中数学《二项式定理》的过程中，我发现以下几个需要改进的地方：
1. 概念讲解不够清晰：在讲解二项式定理的概念时，我没有给学生们提供一个清晰的定义和解释。
我应该首先解释什么是二项式，然后解释二项式定理是什么，它的含义和应用。
2. 缺乏实例演示：在讲解过程中，我没有给学生们提供足够的实例演示，以帮助他们更好地理解和应用二项式定理。
我应该多准备一些具体的例子，结合实际应用情境，让学生们能够更加直观地理解和掌握二项式定理。
3. 缺乏练习机会：在课堂上，我没有给学生们足够的练习机会，让他们能够更加深入地理解和掌握二项式定理。
我应该提供一些练习题目，让学生们在课堂上进行讨论和解答，以加深他们对二项式定理的理解和应用能力。
4. 没有关注学生的学习困难：在教学过程中，我没有及时发现学生们的学习困难，并给予帮助和指导。
我应该更加关注学生的学习情况，及时进行个性化的辅导，解答他们的疑惑，帮助他们克服困难，提高学习效果。
综上所述，针对以上问题，我将在以后的教学中改进，并在课堂上提供更加清晰的概念讲解，增加实例演示和练习机会，关注学生的学习困难，提供个性化的辅导。
希望能够更好地帮助学生们理解和掌握高中数学《二项式定理》。
二项式定理的易错点分析
二项式定理的易错点分析河北邢台市第三中学（054001) 王鑫[摘要]在高考中，二项式定理是一个必考的知识点，其在高考中所占的分值也较高.但是很多学生在二项式定理的掌握上 较为困难，容易出现错误.针对高中生在二项式定理的易错点进行分析，可以避免学生在解题中出现错误.[关键词]二项式定理；易错点；分析[中图分类号]G633. 6 [文献标识码]A[文章编号]1674-(2017)29-0011-01高考对二项式定理的考查一般为选择题或填空题.主要考查二项展开式的通项，以求二项展开式中的特定 项或特定项的系数为载体.因此，复习中对通项的理解、记忆和应用是关键.处理二项式定理问题，一般有两种 角度.一是赋值法)二是利用对应项的系数相等.从这两 个角度出发可以使很多二项式的问题迎刃而解.易错点1二项式展开式的通项记忆有误.【例1】在,一™"的展开式中，，3的系数是40, 则实数T O=_____.[错解]=(,一™的展开式中，3的系数为q •(—5)&，...有 ％3 '(—5)3=40,即53=—4, .'.m=—槡.[正解](,一5"的展开式中，3的系数应为•(—5)2.依题意有 d •(—5)2=40,即52=4，>5=士2.易错点2:在求特定项时不注意符号.【例2】在(1一，)3+(1 —，)4+(1 —的展开式 中，含，3的项的系数是（）.A.15B.25C. 一15D. —25[错解]=(1 一，)3、（1一，)4、（1一的展开式中，含，3的项的系数分别为％3、％3，>(1一，)3+(1 —，)4+(1 —的展开式中含，3的项的系数为C3+C3+%〗=15. ••.选A.[正解](1 一，)3、（1一，)4、（1一的展开式子中含，3的项的系数分别为一％3、一%3—G，>1一，)3+(1—,)4+(1—的展开式中含，3的项的系数为一（C3+ %4+c d=—15.点3%的解【例3】（1+2；y—3,)的展开式中不含，的项的 系数和为（）.A.3"B. —3"C.2"D.1[正解]将(1 +2；y—3,)看作（1+2；y)—3,两项，（1 +2：y—3,)" =[(1+2：y)—3,1，而[(1 +2：y)—3,1 的展 开式中不含，的项为％0(1 +23〇" =(1 +23〇"，而（1+ 2：y)"的展开式中各项的系数和为3"(令y=1即可).针对练习：1.已知(f—槡)的展开式中，3的系数为+，常数〇的值为 .9_r<T r+1=C9(f)'(-槡）=%9(-1)，< ' (1)•，如—9.根据题设，吾厂9=3,所以r=8.代人通项公式，得T+=+, 3.根据题意，9"a=+，所以a=4!>•本题空格处应填4.2. (1-2,—3工2)6展开式中的，3项的系数为().A. —20B.1640C. -1640D.20[正解]=(1+2,—3:cz)6=(1+3,)6(1—,)6，>展开式中的，3项的系数由4部分组成.(1) 前3次方，后0次方；(2) 前2次方，后1次方；(3) 前1次方，后2次方；(4) 前0次方，后3次方.••.展开式中，3项的系数为C633+q32•C6( —1) +C63 •c6(-1)z+c3(-1)3=-20.(责任编辑黄桂坚)。
《二项式定理》复习易错点及解决策略分析
《二项式定理》复习易错点及解决策略分析作者：陆文超来源：《理科考试研究·高中》2016年第03期每个章节内容都有学生思维薄弱的地方，在复习前分析学生的易错点，不仅仅是为了易错点防范，更能帮助学生深化对概念、定理本质的理解.数学复习如何开展？笔者认为应该抓住学生前期学习容易出错的地方，分析学生易错点，由此出发思考引导学生走向正确解题的方向.本文以二项式定理的复习为例，就中学数学的复习策略谈几点看法.一、学生易错点分析分析易错点，我们要从这部分内容在教材中的位置和教学的作用出发，进行分析，在实施复习前对学生易错点要进行科学的预估，这样我们的复习才具有针对性.例如，《二项式定理》教材的位置来看是紧接在排列、组合之后的高中数学教学的主要内容之一，是学生学习多项式乘法的继续，从研究的内容来看，它研究一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，从作用上来看，可以对二项式进行展开、进行计算或证明，是高考必考内容之一，在和学生一起复习前，要对学生容易出错的地方有所预估，这样例题和变式题的选择才具有针对性，《二项式定理》这一块易错点有如下几个：1.通项为Tk+1=Cknan-kbk是（a+b）n的展开式的第几项？这个问题，学生是容易错的，学生常常会认为通项为Tk+1=Cknan-kbk是（a+b）n的展开式的第k项，其实这样的认识是错的，正确的应该是第k+1项，其中k=0，1，…，n.对于二项式定理而言，它的核心知识就是通项公式，那么求解此类问题如何完成呢？学生容易出错的原因在于对这个程序性知识的解决步骤有所混乱.笔者认为要引导学生分两步完成此类问题的求解：步骤1：结合题目所给出的条件，往往是特定项和通项公式，再此基础上建立方程来确定指数.这个步骤值得注意的是求解时要善于挖掘二项式系数中n和k的几个隐含条件，（1）n，k都是非负整数；（2）n≥k；还要注意常数项的指数为零，有理项的指数为整数等条件.步骤2：根据所求的指数，对应地去求出所要求解的项.有序的解题步骤能够帮助学生理顺数学知识和具体的数学思想和方法，促进解决问题的能力的提升.2.“二项式系数”与“项的系数”理解上易错很多同学，对于“二项式系数”与“项的系数”这两个概念往往容易混淆，其实这是完全不同的两个概念，前者是指C0n，C1n，…，Cnn，这是仅仅与各项的项数有关的一个量，与a，b 的值没有任何关系，而且恒为正值；后者则是指该项中除变量外的常数部分，这个概念不仅仅与各项的项数有关，同时与a，b的值也存在着关联.3.二项式系数先增后减中间项最大理解上易错有很多同学在理解上存在这样一个错误，他们错误地认为：“二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.”为什么会出现这样的错误呢？笔者从教学经验来看，学生出现这样的错误，原因在于他们对“二项式系数的性质”理解不正确.（1）如果n为偶数，二项式系数最大的是第[SX（]n[]2[SX）]+1项，而且最大值是C[SX（]n[]2[SX）]n；（2）如果n为奇数，那么二项式系数最大的是第[SX（]n+1[]2[SX）]项和[SX（]n+3[]2[SX）]项，最大值为C[SX （]n-1[]2[SX）]n或C[SX（]n+1[]2[SX）]n.。
二项式定理两类常见错误警示
数理化解题研究2020年第34期总第491期二项式定理两类常见错误警示咼振宁(山东省新泰市第一中学271200)摘 要：二项式定理是初中多项式乘法的拓展延伸，是高考的必考内容，经常以填空题或选择题的形式出现，从近三年的全国卷的高考试题来看：试题难度不大，多为容易题或中档题.笔者结合近几年来的高考备考 经验发现，在二项展开式中系数和问题与系数最值问题中容易出现两类错题，下面就这两类易出错问题介绍 一下自己的浅见，供大家参考.关键词：二项式定理；系数和；系数最值；准确性;规范性中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 —0333 (2020) 34 —0018 —02二项式定理是历年高考的必考内容,考查的方式相对比较稳定,主要考查以下两点:(1)考查二项展开式的通项公式，包括求展开式的指定项、常数项、有理项等. (2)考查二项式系数的性质,特别关注赋值法处理系数和 以及二项式系数和问题.笔者在研读文［2］后,发现解答 二项式定理问题中的两种常见错误.错误类型1二项展开式中系数和易错问题根据二项式定理,可以得出常见形式的二项展开式 (a + 6) “ — C ：a " + C ：a "-1 6 + …+ C :a "-「6 + …+ C ：6",文［2］中指出，设/(%) — a 0 + a 1 % + a 2%2 + ••• + a ”%",则/(%)的展开式各项系数之和为/(1),奇数项系数和为a 0 + a 2+ a 4 +…—/⑴ +2( —1)，偶数项系数之和为a 1 + a 3 + a 5 +…-/⑴-2( -1).需要指出,二项展开式不一定是升幂排列的，比方说,(2% + 1)" - C (2%)" +C " (2%)"— 1 + …+ C : (2%)0,当然写作(2% + 1)" — a 0 + a 1 % + a 2 %2 + …+a ”%"形式上是可以的，但实际上是不准确的,很容易出 错.不论怎么书写，明确奇数项系数和与偶数项系数和还 是要靠二项展开式的通式,实际上当"为偶数时， (2% + 1)"的展开式中奇数项系数和为a 0 + a 2 + a 4 +…+ a ”，偶数项系数和为a 1 + a 3 + a 5 +…+ a ” — 1 ,升幂排列，还 是降幂排列没有区别，当"为奇数时，(2% + 1)"的展开式 必须写作(2% + 1) " — a ”%" + a ” — 1 %"-1 + …+ a 1 % + a 0，奇数项 系数和为a ” + a ” _2 +…+ a 1，偶数项系数和为a ” — 1 + a ” _3 +…+ a °,如果此种情况下利用升幂排列式两者是颠倒的.下面一个此类问题的具体题目来展示一下.例1 (2020山东新泰中学高二期末考试)已知(2%-1) ”的二项展开式中,奇数项的系数和比偶数项的系数和小 37,则 C " +C 2 +C " + …+ C ” —( ).A.28 B.28 -1C.27D.27 -1错误解答 设(2% - 1) " — a 0 + a 1 % + a 2%2 + …+ a ”%”,令 % — -1,得(-3) ” — a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + …+ ( - 1) ”-1 a ”—-(3)7,故(-3)" — -(3)7,得 ” —7.则 C " + C 2 +C " +…+C ” _27 -1.错因分析 因(2% - 1) " — a ”％” + a ” — 1 %"-1 + …+ a 1 % + a °,则当”为偶数时，偶数项系数和为S 偶—a ”_1 + a ”_3 + …+ a 1，奇数项系数和为S 奇—a ” + a ”_2 +…+ a 0.令% —-1得(-3)" — S 奇-S 偶—-37,显然无解.当”为奇数时，偶数项系数和为S 偶—a ” — 1 + a ”-3 +…+ a 0，奇数项系数和为S 奇—a ” + a ”-2 +…+ a 1.令% — — 1得(-3)" — S 偶- S 奇-37，因”为奇数，故也无解.此题是 一个错题,如果把(2%-1)”改成(1 -2%)”,利用升幂形式 的二项展开式，就可以求出正确答案.二项展开式应该严 格按照通式展开,必须明确是升幂展开式还是降幂展 开式.错题类型2二项展开式中系数最值易错问题文［2］中指出，求系数最大的项采用不等式法，设第厂 + 1项系数为P r + 1最大，则有以下不等式成立.(P +1^ P ,{ P r + 1 P r 但是在实际过程中，此种方法是有应用P r + 1 M P r +2 .范围限制的，注意到0W r W ”-1, r e N ,则只有系数最值不是首尾两项时才可以使用.用下面的一个例题来展示 说明.例2求(2 % +丿)8展开式系数最大项和最小项.%错误解法的第r + 1项为T r + 1，则T r + 1—C ； (2 % )r '即 T r + 1_28-r C 8% 4 .不妨设第r +收稿日期：2020 -09 -05作者简介：高振宁(1983. 4 -)，男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.182020年第34期总第491期数理化解题研究1项的系数最大，则可得｛28-厂C 厂>2°一厂C 厂-128-「>27-「+1,解得 2三厂 W3,因 r g N ,故 r -2,3,系数最大的项为:T 3 - 1792x 5/2和T 4 - 1792%7/4.设r + 1项 (28一r C 8 W29-r C 8-1,(r >3系数最小,则可得｛8 8 7 8+1解之｛ >3，28-r C 8 W27-r C 8+1, r W2,无解•故系数最小的项不存在.正确解法 同错误解法‘ T r + 1 - 28-r C 8%%宁,设第r + 1 项的系数是 t r + 1,则 t r +2 - t r + 1 - 27-r C 8+1 - 28-r C 8 -27-r C ；(6-3r )」———-•而 r g N ,贝」r -0,1 时 t r +2 > t r + 1，当 r -2 时 t r +2- t r + 1，当 r M3 时 t r +2 < t r + 1，可得 t 1 < t 2 < t 3 - t 4 > t 5 > t 6 >…，故系数最大项为T 3 - 1792%5/2和T 4 - 1792%7/4, t 】-256,t 9 -1,故系数最小的项是T 9 -】2.%传统解决二项式系数最大项与最小项问题的方法是 不等式法，设T r + 1项系数最小,隐含着系数最小项的r 范围是1W rWn - 1,但实际上0W r W n.不等式法求解最值 项的三个不足之处：(1)需要解两个不等式,计算量较大; (2)不等式组有解时,说明系数最值在中间项取到，若不 等式组无解，并不是系数最值项不存在，而是说明最值项 不在中间项，而是在首尾两项中取得；(3)不等法的运用 有局限性,不等式组只能反映局部关系，不能反映整体情 形•系数数列的单调性法成功地克服了不等式法的局限,可以完美解决系数最值问题•但是利用系数单调性法在确定其单调性时利用的是作差法,一定是-+2 - t + 1，需要 特别注意0W rWn -1这个范围.从整体上来看，系数数列单调性法有非常大的优点，希望在以后的教学中,摈弃不 等式法,推广系数数列单调性法.参考文献：［1 ］张永花.二项式定理及其应用［J ］.中学数学教学参考,2020(03) ：69 -72.［2］朱德意.二项式定理及其应用［J ］.中学数学教学参考,2019(04) ：52 -55. ［责任编辑:李 璟］浅谈高中数学解题中的几类“陷阱问题”邱智伟(广东省佛山市南海区九江中学528000)摘 要：随着教育的不断深入，我国数学高考的命题也开始朝着综合能力考查的趋势前进.但在这种综合型的命题里，往往会出现一些带有“陷阱”的试题，若不能够帮助学生把握好这几类题型，就容易让学生被试题 中的“陷阱”所迷惑，导致无法快速进行解析.就此，本文重点分析了高中数学解题中几类的“陷阱问题”，从而 帮助学生能够通过形成联想记忆来对这类题型进行快速解答，提高自身的学习效率.关键词：高中数学；解题；陷阱问题中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2020)34 -0019 -03一、综合利用基础知识，解决“模型”型陷阱 问题扎实的数学基础对于高中数学来说有着重要的意 义，甚至许多数学题目都以数学基础为标准进行对应的 设题,其中就包括“模型”型陷阱•所谓的“模型”型陷阱就 将两个相似的知识点和数学模型放在同一道题目中进行运用，从而考查学生的综合分析能力•但事实上，这种陷 阱容易让学生在分析此类问题的过程中，受到原先知识 的阻碍，从而影响自身对问题的判断•尤其针对一些基础薄弱的学生来说,这种题型是最容易造成知识点混淆•例题1如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P o 开始沿着单位圆按顺时针方向运动角a (0< a< F )到达点P ］,然后沿着单位圆逆时针方向运动F 到达点P 2,若点p 2的横坐标为 则cos a 的值等于 .解析 V cos( a + F )-F3a sin( a +3)-5 •图1收稿日期：2020 -09 -05作者简介:邱智伟(1989. 2 -)，男，福建省莆田人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.19。
二项式定理易错题归类剖析
解题篇易错题归类剖析高考数学2020年11月二顶式定理易错题归类剖折■河南省许昌高级中学郭曼曼二项式定理揭示了二项式展开式的项、项数、系数、指数等内容之间的联系和基本规律。
通过对近几年全国各地高考试卷的分析可以看出，二项式定理是历年高考的必考内容，高考试题多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题。
考查的题型也比较稳定，主要考查两点：（1）考查二项式展开式的通项公式，以求二项式展开式中的特定项或特定项的系数为载体，特别关注两个多项式乘积展开式指定需的系数，以及三项式展示式指定需的系数#（2）考查二项式的系数的性质，特别关注赋值法处理系数和及二项式系数和。
不少同学由于对知识的理解不够或思维不严密，在解题中易产生各种各样的错误，本文就几种常见错误作了介绍，以帮助同学们归类总结，避免类似的错误产生。
易错点一：对二项式（a+b）n的展开式的通项公式理解不透彻而致错!!二项式$+2）的展开式的第二项是（）。
A.60$4B.12$5C.12$D.60$2错解：因为+2=C2$422=60$4,所以选A。
错因分析：利用二项式展开式的通项公式求展开式的时候要注意展开式的通项公式+”+i=C n a n—b*指的是第*+1项，错解中将*直接用2代入而引起错误。
正解：二项式$+2）6的展开式的通项为+*+1=C$6—*2"，令*=1，贝IJ+2=12$5。
故选C。
易错点二：混淆二项式系数最大项与展开式系数最大项而致错!"在（/T+二）"（n#N.）的展开式中，若二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项是（）。
A.180B.120C.50D.452C5$!4C4错解：由（""解得n=7或n=$26c,，8,而展开式的通项为+*+i=C；2$2，得*无解。
错因分析：二项式系数最大项是指c n （0,*,n）,当n是偶数时，中间项的二项式系数C2最大；当n是奇数时，中间两项的项式系数C；2'C；2相等且最大。
【高考数学 易错专练】知识点 二项式定理 易错点2 三项式转化不合理导致计算麻烦失误(学生版)
知识点 二项式定理 易错点2 三项式转化不合理导致计算麻烦失误知识点 二项式定理 易错点2 三项式转化不合理导致计算麻烦失误【易错诠释】对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解．【典例】()5232x x ++的展开式中，x 的一次项的系数为（ ） A ．120 B ．240 C ．320 D ．480易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法（转化为二项式处理：()5232x x +⎡⎤⎣⎦+），而不针对要求解的问题进行合理的变通，导致运算繁杂并出现错误．正解：解法一 由于()()55223223x x x x ++=+⎡⎤⎣⎦+， 展开式的通项为()()5215C 23r r rr T x x -+=+，0≤r≤5， 当且仅当r ＝1时，展开式才有x 的一次项，此时()()412125C 23r T T x x +==+． 所以展开式中x 的一次项为14454C C 23x ⋅⋅⋅，它的系数为14454C C 23240⋅⋅⋅=．故选B ．解法二 由于()()()55523212x x x x ++=+⋅+， 所以展开式中x 的一次项为4555445555C C 2C C 2240x x x ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=．故x 的一次项的系数为240．故选B ．【针对练习】1．6221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ） A ．61-B ．59-C ．57-D ．55- 2．521x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．81- B ．80- C ．80 D ．1613．若51x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为35，则正数=a （ ）AB ．2CD ．4 4．若()232n x x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =___________，含2x 项的系数是___________（用数字作答）.。
《二项式定理》疑难破解课件
解析:− ()
−−
= − −− ( ⩽ ⩽ − , ∈ ),
所以+ = − −− ( = , , , ⋯ , , ⩽ ⩽ − , ∈ ),
答案:800
疑难3 赋值法求系数和问题
1.解决系数和问题的思维过程
疑难3 赋值法求系数和问题
2.展开式中系数和的求法
‘‘赋值法’’是解决与二项展开式中项的系数有关问题的常用的方法,根据题目要
求,灵活赋予字母不同的值.
(1)对形如( + ) , + +
(, , ∈ , , ∈ ∗ )的式子求其展开式
解析: (2)根据二项展开式的通项+ =
令
−
(−)
−
= ( ∈ ),则 − = ,即 = − .
∵ ∈ 且 ⩽ ⩽ ,
∴可取, , −,即可取, , .
故展开式中的第3项,第6项与第9项为有理项.
2.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0.
(2)对于有理项,一般是先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于
整数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再
根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数应是非负整数,求解方
令 − = ,得 = ,
所以 = × × (−) = .
疑难3 赋值法求系数和问题
解析: (2)设( + ) = + + + + + + + ,
如何引导学生解决二项式定理的运用错误-教育文档资料
如何引导学生解决二项式定理的运用错误二项式定理作为高考内容之一，在每年的对口单招考试中都能考到，题型多为选择题或填空题，偶尔也会出现大题.在二项式定理的习题中，题型繁多，解法灵活多变且很独特，学生较难掌握；又由于排列、组合是二项式定理的基础，而排列、组合的概念又比较抽象，涉及的知识面较广，这给学生学习二项式定理增加了一定的难度，导致学生对二项式定理不理解，所以在解题过程中常常会出现这样或那样的错误.本文将学生在解答二项式定理问题过程中容易出现的错误列举出来，以帮助学生更好地掌握这部分内容，避免类似错误再次发生.1.用“二项xx”的错误解题求二项展开式中的题型有“(x+y)n”型、“(x-y)n”型及二项展开式的“逆用”题型等，这类题目一般为容易题.由于学生“问题转化”能力不强，没有深刻理解二项展开式的公式，没有把握公式的本质，所以解决此类问题往往会出现错误的解法.例1求3x-1x24的展开式.错解3x-1x24=C04(3x)4+C14(3x)31x21+C24(3x)21x22+C34(3x）11x23+C441x24=x43+4x-2+6x-103+4x-173+x-8.分析学生解答此题时忘记了二项式中的“-”号.正确解答此题，只需把3x-1x24改写成3x+-1x24的形式，然后根据二项展开式的格式展开即可.正确的结果为：x43-4x-2+6x-103-4x-173+x-8.2.用“通项公式”的错误解题通项公式Tk+1=Cknxn-kyk(说明：按x的降幂排列）中的Tk+1，Ckn，k，n 的含义及变化规律，是二项式定理的核心.常见的题型有：利用通项公式确定展开式中的常数项、二项式中指定幂的系数、确定二项式中的相关元素等.不少学生由于对公式本质理解得不够或思考不够严密，导致在解题过程中出现错解或误解.例2已知3x+1x2n展开式中第2，3，4项（按前项降幂排列）的系数成等差数列，求项数n.错解由于第2，3，4项的系数分别为C2n，C3n，C4n，∴2C3n=C2n+C4n，解得n=11.分析此题的错解在于学生没理解二项式项数的系数与二项式系数之间的内在联系，以至于产生了错解.学生只要掌握了二项式项数的系数与二项式系数的关系，理解它们之间的内在联系，此题便可迎刃而解.解由于第2，3，4项的系数分别为C1n，C2n，C3n，∴2C2n=C1n+C3n，解得n=7.3.用“条件项”的错误解题所谓“条件项”，即为题目中“所限定某个条件的项”，根据题目要求只要求出“限定项”即可.由于学生对二项展开式理解不够或思考不严密，往往会出现少算或多算“限定项”，导致解题错误.例3求(x2+1)(x-1)6的展开式中x4项的系数.错解∵x4项的系数为C26x4(-1)2,∴x4项的系数为15.分析由于学生对x4的来源有误解，认为(x2+1)中没有x4项，所以就不再考虑这个因式了，只考虑(x-1)6这个因式.关于x4的来源，应从两个因式来综合考虑：当第一个因式(x2+1)取1时，则第二个因式(x-1)6中必取x4，其系数为C26x4(-1)2=15.当第一个因式(x2+1)取x2时，则第二个因式(x-1)6中必取x2，其系数为C46x2(-1)4=15.所以，x4项的系数为30.4.用“二项式系数”的错误解题二项式系数与二项式某项的系数是两个截然不同的概念，由于学生对这两个概念理解不透，在解题时往往会混淆这两个概念，以至于出现了错误的解题方法.例4在(x-y)7的展开式中，求系数最大的项.错解∵(x-y)7的xx中有8项，∴(x-y)7的展开式中中间两项系数最大，即为第4，5项.∴所求系数最大的项为：第4项-C37x4y3或第5项C47x3y4.分析此题解法错误在于混淆了二项式系数与二项式某项系数的概念，正确的解法为：由于第4项的系数为负数，所以第5项的系数最大，所求系数最大的项为：第5项C47x3y4.说明由于二项式(x+y)n的二项式系数为C0n，C1n，C2n，…，Cnn，当n为偶数时，中间项Cn2nxn2yn2的二项式系数最大；当n为奇数时，中间项Cn-12nxn+12yn-12和Cn+12nxn-12yn+12的二项式系数最大，二项式系数的奇数项和等于偶数项和，(x+y)n二项式系数的和等于2n.5.用二项式定理求“近似值”的错误解题学生在解决此类问题时，由于掌握不准计算的范围，往往使得计算非常复杂和繁琐，最后导致计算结果出错.例5求1.0026的近似值,使误差小于0.001.解∵1.0026=(1+0.002)6=1+C16（0.002）+C26(0.002)2+C36(0.002)3+…+(0.001)6，又∵从第3项起，以后的项都可以忽略不计，∴1.0026=(1+0.002)6≈1+6×0.002=1.012.说明对于(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+C3nx3+…+Cnnxn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,x4,…,xn项的绝对值都很小，因此在精确度允许的情况下可以忽略不计.因此可以利用近似计算公式(1+x)n≈1+nx来计算，如果精确度要求高一些，可以用公式(1+x)n≈1+nx+n(n-1)2x2来计算.解题时用哪一个公式，主要取决于精确度的要求.6.用“赋值法”的错误解题由于二项展开式是恒等式，所以二项式(x+y)n对于任意的x,y都成立.学生在用“赋值法”时，往往找不准待求代数式与已知条件的联系，盲目地找一些数进行代替，导致错误的解法.例6已知(3x-1)10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，求a10+a9+a8+…+a2+a1的值.解令x=0，则有a0=1.令x=1，则有a10+a9+a8+…+a1+a0=210.∴a10+a9+a8+…+a2+a1=210-1=1023.例7若(3x+22)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2的值.解令x=1，则有(3+22)7=a0+a1+a2+…+a7.令x=-1，则有(-3+22)7=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7).故(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(-1)7=-1.说明在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的内在联系，赋予二项式中变量适当的值即可.一般而言，“1，0，-1”这三个特殊值在解题过程中考虑得较多.总之，认识二项式定理常见解题错误与产生原因，并能针对错因采取相应的措施，则必能激发学生的学习兴趣，促进学生对知识的理解和掌握，同时也能够帮助学生达到“练中求胜”的良好效果.。
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9.3 《二项式定理》错误解题分析一、知识导学 1、二项式定理：*222110,)(Nn b C baC baC b aC aC b a n n n rrn r n n n n n nn n∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+---上列公式所表示的定理叫做二项式定理。
右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，它一共有ｎ＋1项。
其中各项的系数),,2,1,0(n r C rn ⋅⋅⋅=叫做二项式系数。
式中的rrn r n baC -叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示，即1+r T ＝rrn r n baC -。
2、二项式系数的性质：（1）对称性。
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
事实上，这一性质可直接由公式mn n m n C C -=得到。
（2）增减性与最大值。
二项式系数),,2,1,0(n r C rn ⋅⋅⋅=，当ｒ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的。
由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。
当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值。
（3）各二项式系数的和。
nb a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n2。
二、疑难知识导析 1、二项式定理是代数公式2222)(b ab ab a ++=+和3223333)(b abb a ab a +++=+的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的。
同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解。
2、对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式。
通项公式1+r T ＝rrn rn baC -在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是nb a )(+的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项。
3、二项式定理的特殊表示形式（1）nn n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a )1()1()(110-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-=---。
这时通项是1+r T ＝n)1(-r r n r n b a C -。
（2）n r r n n n n x x C x C x C x +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+22111)1(。
这时通项是1+r T ＝rr n x C 。
（3）nn r n n n n n C C C C C +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+210)11(。
即各二项式系数的和为n 2。
4、二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和。
即13122-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n nn n C CC C三、经典例题导讲[例1]已知5050221050...)21(x a x a x a a x ++++=-，求5021...a a a +++的值。
【错解】由二项展开式的系数的性质可知：nb a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n2，显然，0a 就是展开式中的1050=C ，因此5021...a a a +++的值为n2－1。
【错因】上述解答忽略了 50210,...,,,a a a a 是项的系数，而不是二项式系数。
【正解】由二项展开式的结构特征，50210,...,,,a a a a 是项的系数，而不是二项式系数。
观察式子特征，如果x ＝1，则等式右边为50210...a a a a ++++，出现所求式子的形式，而0a 就是展开式中的1050=C ，因此=⨯-50)121(50210...a a a a ++++，即1＝1＋5021...a a a +++，所以，5021...a a a +++＝0【评注】这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令a 、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值。
[例2]在多项式nn n n n n x C x C x C x C x f )1(...)1()1()1()(33221-++-+-+-=的展开式中，含6x 项的系数为 。
【错解】原式＝1)]1(1[--+nx ＝1-nx∴6x 项的系数为0。
【错因】忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供。
【正解】原式＝1)]1(1[--+nx ＝1-nx∴当ｎ≠6时，6x 项的系数为0。
当ｎ＝6时，6x 项的系数为1【说明】本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少)1(-x C n 这一项。
[例3] 111100-的末尾连续零的个数是 ( ) A 、7 B 、5 C 、3 D 、2 解：10010099100298100397100991100100100100100101010 (10)10)110(11C C C C C C ++++++=+=上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0。
所以111100-的末尾连续零的个数是3。
故选C 。
[例4] 已知nxx )21(4⋅+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列。
（1）求展开式中所有的x 的有理项； （2）求展开式中系数最大的项。
解：（1）展开式前三项的系数分别为)1(81)21(,221,12221-=⋅=⋅=n n C n C C n n n 。
由题设可知：)1(81122-+=⋅n n n解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）。
当ｎ＝8时，rrrr x x C T --+⋅⋅=)2()(4881＝rrr xC 43482--⋅⋅。
据题意，4－r 43必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r ≤8，∴r ＝0,4，8。
故x 的有理项为：41x T =，x T 8355=，292561x T =。
（2）设第r ＋1项的系数1+r t 最大，显然1+r t ＞0，故有rr t t 1+≥1且12++r r t t ≤1。
∵r r t t 1+＝rr C C r r r r29221188-=⋅⋅+---，由rr 29-≥1，得r ≤3。
∵12++r r t t ＝rr C C rrr r -+=⋅⋅---+8)1(2228118，由rr -+8)1(2≤1，得r ≥2。
∴r ＝2或r ＝3，所求项分别为2537x T =和4747x T =。
【评注】1、把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质。
2、运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含x 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）。
3、注意区分展开式“第r ＋1项的二项式系数”与“第r ＋1项的系数”。
[例5]已知),()21()21()(*∈+++=N n m x x x f nm的展开式中含x 项的系数为24，求展开式中含2x 项的系数的最小值。
解： 解法一由)(x f 中含x 项的系数为24，可得x nx mx x C x C n m 24222211=+=+。
从而，12=+n m 。
设)(x f 中含2x 项的系数为ｔ，则ｔ＝)(222222222n m n m C C n m --+=+。
把n m -=12代入上式，得ｔ＝120)6(4]12)12[(2222+-=-+-n n n 。
∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6。
解法二由已知12=+n m ，设)(x f 中含2x 项的系数为ｔ，则ｔ＝)12(222-+nm≥2]122)([2-+n m ＝2（72－12）＝120。
当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120。
∴)(x f 展开式中含2x 项的系数的最小值为120。
【评注】构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛。