弹性力学基本方程和一般原理 ppt课件

2fy y
- 1
fx x
fy y
fz z
2z
1
1
2 2z
2fz z
- 1
fx x
fy y
fz z
2
yz
1
1
2 yz
fz y
fy z
2
zx
1
1
2 zx
fz x
fx z
2
xy
1
1
2 xy
fx y
fy x
（3）应力函数解法：
在应力解法中也可以引进某些能自动 满足平衡方程的函数，而应力分量可由函 数偏导数的组合来确定（故称为应力函 数），最终把问题归结为求解用应力函数 表示的协调方程。
)
w y
v z
zx
E 2 (1
u ) z
w x
xy
E 2 (1
ห้องสมุดไป่ตู้
)
v x
u y
再将应力代入平衡方程，就得到位移形式的3个平衡方 程，称为拉梅-纳维（L-N)方程
G 2u (λ G )
x
fx
0
G 2v (λ G )
y
fy
0
G 2w (λ G )
z
fz
0
其中： 2 是拉普拉斯算子 2()2x(2)2y(2)2z(2)
•各向异性的复合材料在工程中的应用日益广
泛。
各向同性弹性体
• 物理意义——物体各个方向上的弹性性质 完全相同，即物理性质的完全对称。
• 数学反映——应力和应变关系在所有方位 不同的坐标系中都一样。
• 金属材料——各向同性弹性体，是最常见 的工程材料。弹性力学主要讨论各向同性 材料。
各向同性材料广义胡克定律
εxy
ε yx
2
( y
x
)
ε yz
ε zy
1 (v 2 z
w y
)
ε zx
εxz
1 (w 2 x
u z
)
或张量形式：
ij
1 2
ui xj
uj xi
应变协调方程（其中独立的方程有3个）：
2 x 2 y - 2 xy = 0 y2 x2 xy
2 y z2
2 z y2
- 2 yz yz
（2）应力-应变公式：应变表示的本构方程
σx 2Gεx λ, τxy Gγxy
σy 2Gεy λ, τyz Gγyz
σz 2Gεz λ,
τxz
Gγxz
=xyz
uvw x y z
E (1)(1 2)
G E 2 (1 )
其中，λ, G称为拉梅(Lame)常数。
§4.2 弹性力学的基本方程及求解思路
Chapter 6.4
对于二维弹性力学无体力问题，可令 应力表达式为
x y 22,y x 22,xy x2 y
则平衡方程自动满足，故 (x, y) 就是平面
问题中的艾瑞(Airy,G.B.)应力函数。
Chapter 6.4
综上所述，应力函数解法既保留了应力 解法的优点(能直接求解应力分量)，又吸收 了位移解法的思想(能自动满足平衡方程， 基本未知量降为3个)，所以是弹性理论中最 常用的解法之一。
Chapter 6.4
协调方程
位移
几何方程
应变
本构方程
位移解法与应力函 数解法的求解思路
红线：位移解法 蓝线：应力函数解法
x
1 E
x
( y
z )
,
y
1 E
y
( x
z )
,
z
1 E
z
( y
x )
,
yz xz xy
1
G
yz
1
G
xz
1
G
xy
（2）应力-应变公式
σx 2Gεx λ, σy 2Gεy λ, σz 2Gεz λ,
τyz Gγyz τxz Gγxz τxy Gγxy
弹性力学的基本解法： 对上述偏微分方程组的求解，通常
=0
2 z x2
2 x z2
- 2 zx zx
=0
2 x yz
1 2
x
yz x
+
zx y
xy z
2 y zx
1 2
y
zx y
+
xy z
yz
x
2 z xy
1 2
z
xy z
+
yz x
zx y
本构方程（6个）---应力和应变关系： （1）应变-应力公式
线性弹性力学基本方程包括平衡方程、 几何方程、应变协调方程和本构方程。
平衡方程（3个）：
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
xy
x
y
y
zy
z
fy
0
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
ij,i fj 0
几何方程（6个）---应变和位移的关系：
u εx x ,
εy
v y
,
w εz z ,
1 u v
（1）应变-应力公式：应力表示的本构方程
x
1 E
[ x
v(
y
z )]
1 E
[(1
v) x
v]
y
1 E
[
y
v( x
z )]
1 E
[(1
v)
y
v]
z
1 E
[
z
v( x
y )]
1 E
[(1 v) z
v]
xy
xy
G
，
yz
yz
G
， xz
xz
G
x
y
z
•E为弹性模量(杨氏模量)，G为剪切模量，v为 横向变形系数（泊松比）。
（2）应力解法：力法以6个应力分量为未 知函数
平衡方程仅含应力分量，但方程数只有 3个，而未知函数有6个，因此需要补充方 程。由本构方程可求应变，再代入应变协 调方程，即得到应力协调方程（其中有3 个是相互独立的）：
2x
1
1
2 2x
2fx x
- 1
fx x
fy y
fz z
2y
1
1
2 2 y
消去部分未知数，分为： （1）位移解法 （2）应力解法 （3）应力函数解法。
（1）位移解法：以3个位移分量为未知量
位移取连续函 数，则应变协调方 程自动满足。
由几何方程求 得应变，再代入本 构方程，得到应力
x
E 1
1
2
u x
y
E 1
1
2
v y
z
E 1
1 2
w z
yz
E 2 (1
第四章 弹性力学基本方程 和一般原理
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4
广义胡克定律
弹性力学的基本方程及求解思路
边界条件与界面条件 弹性力学的一般原理
§4.1 广义胡克定律
• 应力与应变关系取决于材料的物理性质，即物质
的本构特性，统称为本构方程或者本构关系。
• 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确
定。而复杂应力状态难以通过实验确定。
•广义胡克定律
——各向异性材料应力应变一般关系
x C11x C12y C13z C14 xy C15 yz C16 xz y C21x C22y C23z C24 xy C25 yz C26 xz z C31x C32y C33z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41x C42y C43z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51x C52y C53z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61x C62y C63z C64 xy C65 yz C66 xz