大学物理05

十一章电荷（载流子）的定向运动形成（传导）电流。

导体内产生传导电流的条件：① 导体内存在可以自由移动的电荷；② 导体内存在电场，导体两端存在电势差。

不随时间变化的电流称为直流电流或恒定电流。

1．电流强度单位时间内通过导体任一截面的电量称为电流强度或电流。

t q I ∆∆=或：dt dqt q lim I 0t ==→∆∆∆ 电流的单位：安培（A ），s 1C1A 1=规定：正电荷由高电势处向低电势处的流动方向为电流的方向。

电流强度是标量，所谓电流的方向是指电流沿导线循行的指向，而与一般矢量的方向性截然不同。

电流强度虽能描写电流的强弱，但它只能反映导体截面的整体电流特征，不能说明电流在导体内各点的情况。

一般情况下，电流在导体内各点的分布是不均匀的（如：大块非均匀导体、高频电流通过导线时产生的趋肤效应等）。

此时要用电流密度（矢量）来讨论导体内各点电流的分布。

2．电流密度设导体内只有一种自由电荷（如电子），单位体积内自由电荷数（电荷数密度）为n 。

当导体内无电场时，电子作无规则热运动，宏观上不形成定向运动，即导体内无电流。

导体内存在电场时，所有电子除做无规则热运动外，还沿电场的反方向作宏观定向运动（称为漂移运动），形成电流。

设正电荷定向运动（漂移运动）的平均速度（漂移速度）为v ，导体内电荷数密度为n 。

在导体内任取面积元dS ，该面积元的单位法线矢量与正电荷漂移速度方向成θ角，则dt 时间内通过该面积元的电量（即电流）为：dScos qnv dt dScos vdt n q dI θθ=⋅⋅⋅⋅=或： S d v qn dI⋅=定义：通过导体内垂直于电流方向单位面积的电流强度为电流密度矢量：v qn j =电流密度矢量的单位：)m A(2对正载流子，电流密度矢量的方向与载流子运动方向相同； 对负载流子，电流密度矢量的方向与载流子运动方向相反。

为讨论电流密度和电流强度的关系，考虑如图所示的一段粗细不均匀的导体，导体内的电流分布可形象地用电流线来表示。

在导体内任取面元dS ，其单位法线矢量为n。

当面元与电流密度矢量垂直，即j //n时：⊥=jdS dI 或：n dS dI j ⊥= 当面元dS 的单位法线矢量与电流密度矢量夹任意角，即θ=><j ,n时：dS cos j S d j dI ⋅=⋅=θ由电流密度矢量的定义，通过导体内任一曲面S 的电流为：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=sSdScos j S d j I θ由上面讨论可见：电流在导体内的流动形成一个矢量场—电流场。

而通过导体内任一面积的电流公式为电流密度矢量和它的通量的关系式。

3．电流的连续性方程： 在导体内任取闭合曲面，规定该曲面上任一点的单位法线矢量由里指向外。

则通过该闭合曲面的电流可表示为：⎰⎰⋅=SSd j I由电荷守恒定律，在dt 时间内，闭合曲面S 内电量的减少等于该时间内通过S 面流出的电量。

即：⎰⎰-=⋅Sdt dq S d j 上式称为电流的连续性方程。

4．恒定电流、基尔霍夫第一定律：当电流恒定时，导体内各处的电流密度不随时间变化。

即对导体内任意封闭曲面：0dt dq = 或： ⎰⎰=⋅S 0S d j上式称为电流的恒定条件。

推论：恒定电流的电流线不可能在任何地方中断。

或： 恒定电路（直流电路）必须是闭合的。

当电流恒定时，导体内自由电荷做定向的漂移运动，但根据电流的恒定条件：导体内各处的电荷分布不随时间变化，产生的电场称为恒定电场。

恒定电场与静电场的相同处：恒定电场与静电场一样服从高斯定理和环路积分为零的环路定理；恒定电场与静电场的不同处： ① 导体内的恒定电场不为零； ② 恒定电场由运动电荷产生，所以恒定电场的存在伴随着能量的转换；而静电场由静止的电荷产生，维持静电场不需要能量的转换。

恒定电流电路（直流电路）中，若干根导线相交处称为节点。

设流入节点的电流为负，流出节点的电流为正。

取一封闭曲面S 包围该节点，则由电流的恒定条件：0I I I I 4321=-++-或： 0I i∑=上式称为基尔霍夫第一定律（或节点电流定律）。

其实质为电荷守恒定律。

1．欧姆定律：当导体内存在恒定电场时，导体内各点间存在电势差。

导体内电流、电势差和电阻间的关系由欧姆定律描述。

当温度一定时，一段均匀导体的欧姆定律（积分形式）为：GU R UI ==式中： R 称为电阻，单位：欧姆（Ω）A 1V11=Ω G 称为电导，单位：西门子（S ）V 1A 1S 1=线性电阻： R = 常量，与电流、电压无关； 非线性电阻：R 随电流、电压的变化而变化。

2．电阻：导体电阻的大小与导体的材料、导体的形状有关。

对一段由同种材料做成的粗细均匀的导体，设其长为l ，横截面积为S ，则其电阻为：S l 1S l R ⋅==σρ式中：ρ称为电阻率，单位：m ⋅Ωσ称为电导率，单位：m S对非均匀导体（粗细不均匀或电阻率不均匀）：⎰=S dl R ρ导体的电阻率还与导体的温度有关，当温度变化时（变化范围不大）：)t 1(0αρρ+=式中：ρ0为0 o C 时的电阻率；α称为电阻温度系数。

有些导体的电阻率随温度的升高而变大，即α>0； 有些导体的电阻率随温度的升高而变小，即α<0。

对一段粗细均匀的同质导体，当导体的线膨胀系数可忽略时，该段导体的电阻与温度的关系为：： )t 1(R R 0α+=利用上式可制成电阻温度计。

（如：铂电阻温度计）3．欧姆定律的微分形式：前面提到，只有当导体中存在电场（恒定电场）时，自由电荷才会在电场力的作用下作定向漂移运动而形成电流。

由此可以想到，电流场的分布（电流密度）与电场的分布一定有着某种关系。

在一段非均匀导体内，沿电流线方向（电流密度矢量方向）取一很小的圆柱体（称为电流管），该电流管的尺寸及流过的电流如下图。

则由欧姆定律及电阻公式得：dS dl R ,RdUdI ρ=-=式中的负号表示电流沿电势减小的方向流动。

由以上两式和电场强度与电势梯度的关系得：EdS 1dS dl dU 1dI ρρ=-=即： EE 1jσρ==上式称为欧姆定律的微分形式。

它也适用于非恒定电流的情况。

欧姆定律的微分形式给出了非均匀导体内各点的电场强度与电流密度之间的关系，它比欧姆定律的积分形式有更普遍的意义。

它是电磁理论中反映介质电磁性质的基本方程之一。

例题11-2-1：求长为l ，电阻率为ρ，内、外半径分别为R 1和R 2的同轴电缆两柱面间的电阻（漏电电阻）及漏电流密度（设两柱面间电势差为U ）。

解：在两柱面间的介质中取一同轴薄柱壳，则该薄柱壳内、外表面间的电阻为：rl 2dr S dr dR πρρ==同轴电缆内、外柱面间的漏电电阻为：12R R ln l 2dR R πρ⎰==漏电电流为：漏电流密度为：r1R R lnUlr2I j 12⋅==ρπ例题11-2-2：半径为a 的球形电极一半埋入大地，大地电阻率为ρ。

设电流沿径向均匀分布，求接地电阻。

解：接地电阻是指接地电极和距离电极很远处的电阻。

取如图所示的薄半球壳，则该半球壳内、外半球面间的电阻为：2r 2dr dR πρ=而该接地球体的接地电阻为：12R R ln lU2RU I ρπ==a 2r dr 2dR R a2πρπρ===⎰⎰∞1.电功、电功率：当电流通过电动机时，能带动机器运转，电流通过电炉时，能产生热量。

这些现象表明，电流通过负载（如电动机、电炉等）时能够作功，其结果是使电能转换为其他形式的能量（如机械能、热能等）。

设负载两端的电势分别为U 1和U 2，当有电量q 通过负载（用电器）时，电场力作功：上式表示的功也称为电流的功（或电功）。

电流的功的单位是焦耳（J ）。

1J = 1 A·V·s 。

电流作功的快慢称为电功率，以符号P 表示：)U U (I t WP 21-==电功率的单位为瓦（W ），)V 1A 1s 1J1W 1(⋅==当负载为纯电阻时，由欧姆定律，电功率也可表示为：R I P 2=或： R )U U (R I P 2212-==注意： )U U (I 21- 是电源输出的功率，R I 2或 R /)U U (221- 是电阻消耗的功率。

仅对纯电阻负载，两者才相等。

)U U (t I )U U (q W 2121-=-=2．焦耳定律：电流流过负载时，将部分电能转化为内能。

其转化的机理是：电场使电子加速而获得动能，电子在加速过程中不断与晶格点阵（离子）碰撞，使晶格的热运动加剧，温度升高。

即电子将电场作用而获得的定向运动的动能转化为晶格振动的内能（称为电流的热效应），与此内能相对应的热量称为焦耳热。

对纯电阻负载，电流的功全部转化为焦耳热：t R I )U U (t I W Q 221=-==上式称为焦耳定律。

单位体积导体每秒放出的焦耳热称为热功率密度。

由欧姆定律的微分形式可以证明： 22E j p σσ==称为焦耳定律的微分形式。

1、电动势：两个电势不相等的导体（如已充电电容器的两个极板）用导线连接时，导线内会有电流通过（电容器的放电）。

但恒定电场的电场力总是使正电荷由高电势导体（如电容器正极板）流向低电势导体（如电容器负极板），所以导线内的电流很快就衰减、消失。

结论：仅靠静电力不可能维持恒定电流。

为了维持恒定电流，需要借助于―非静电力‖的作用，它能将其它形式的能量（如化学能、机械能、太阳能等）转化为电势能，从而将正电荷由低电势导体（电容器负极板）移到高电势导体（电容器正极板），从而维持电容器两极板间电势差不变。

下图中的K即表示提供非静电力的非静电场强。

能提供非静电力的装置称为电源（如电池、发电机等）。

设：K表示单位正电荷所受的非静电力，则非静电场的场强定义为：q F K K = 单位：)C N(非静电场和恒定电场一样，都对电荷有作用力，但非静电场K 的方向与恒定电场E的方向相反。

恒定电场对电荷的作用是使正电荷沿导线（外电路）由正极板流向负极板，而非静电场的作用是使正电荷由电源负极板经电源内部（内电路）流向正极板。

恒定电场和非静电场共同作用使电路中的电流保持恒定。

当电路中恒定电场和非静电场共同存在时，正电荷q 沿闭合电路一周，静电力和非静电力的功为：ld K q l d )K E (q A⋅=⋅+=⎰⎰定义：单位正电荷绕闭合回路一周，非静电力所作的功称为电源的电动势。

用ε表示。

电动势：ld K q A⋅==⎰ε电动势的单位也是伏（V ）。

若非静电力只存在于电源内部，则：⎰+-⋅=（电源内）ld K ε视频：电源及其电动势2.全电压欧姆初具规模律、电源的端电压：由电源、负载组成的闭合电路称为全电路。

下图中ε为电源的电动势，r 为电源的内阻，R 为负载电阻。

电源两端A 和B 之间的电势差称为电源的端电压。