2020年广东省中考数学每日一题 (753)

2020年广东省中考数学每日一题

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，5

3sin =

B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．

（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；

（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；

（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3

解答

（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，5

3sin =

B ，

所以AB ＝10，BC ＝8．

过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．

在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4

（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．

②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425

OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．

在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658

OA =．

图5 图6

（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ． 在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =． 在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55

x y x y y +=--+． 整理，得2505040

x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．

图7 图8