15.1.4 整式的乘法1

注 意
1. 单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数 与原多项式的项数相同.
2. 单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积 的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘 得负.
3. 不要出现漏乘现象，运算要有顺序.
练一 练
(-2ab)3(5a2b–2b3) 解：原式=(-8a3b3)(5a2b–2b3)
(ab) n a nb n 积的乘方 a 0 1(a 0) 零指数幂性质
2. (1) (x+2y)(5a+3b)=_5_a_x_+__3_b_x_+_1_0_a_y_ +6by (2) (2x–3)(x+4)_=__2_x_2+_5_x__–_1_2_______ (3) (3x+y)(x–2y) =_3_x_2__–_5_x_y_–_2_y_2____ (4) (x+y)(x–y)=__=_x_2_–_y_2______ (5) (x+y)(x2–xy+y2)=___=_x_3_+_y_3_______ (6) (2n+6)(n–3)=___2_n_2_–_1_8___
第一种：a bm n米2
第二种：am an bm bn米2
因此a bm n am an bm bn知识要 点
多项式与多项式相乘，先 用一个多项式的每一项乘以另 一个多项式的每一项，再把所 得的积相加。
（1）用一个多项式的每一项乘遍另一 个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并 同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数 应是原来两个多项式项数之积。
解: 原式=2a2 –2ab –2ab+b2+2ab = 2a2 – 2ab + b2
∵ a=2，b= 3 ∴原式= 2a2 – 2ab + b2
=2×22－2×2×3＋32 =8－12＋9 =5
想一想
如图，为了扩大街心公园的绿地面积， 把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，增长 了b米，加宽了n米。你能用几种方法求出扩 大后的绿地的面积？
（2）多项式里的每一项都必须是带上 符号的单项式。
（3）展开后看有同类项要合并，化成 最简形式。
例1 计算 (1)(3x+1)(x-2) (3) (x-8y)(x-y)
(2) (x+y)2 (4) (x+y)(x2-xy+y2)
解:(1)(3x+1)(x-2)
=(3x)·x +3x·(-2)+1·x+1×(-2) = 3x2 -6x +x -2 = 3x2 -5x -2
4.（1）－8ab＋2b3;（2）2x3－x2;
（3）10a2b－5ab2＋ab;
（4）－18a3＋6a2＋4a.
5.（1）a2－9x＋18;（2）x2
+
1 6
x
-
1 6
;
（3）3x2＋8x＋4;（4）4y2－2y＋5;
（5）x3－2x2＋4x－8;（6）x3－y3. 6. 原式=－2x2＋x,将x= 1 代入得0.
情感态度与价值观
1. 体味科学的思想方法，接受数学 文化的熏陶，激发探索创新的精神；
2. 在发展推理能力和有条理的语言、 符号表达能力的同时，进一步体会学习 数学的兴趣，提高学习数学的信心，感 受数学的简洁美；
3. 经历探索整式的乘法运算法则的 过程，获得成功的体验，积累丰富的数 学经验，渗透数学公式的简洁美与和谐 美．
=(-8a3b3)·(5a2b)+(-8a3b3)·(-2b3）
=-40a5b4+16a3b6
说明：先进行乘方运算，再进行单项式 与多项式的乘法运算。
-2a2·(ab+b2)-5a(a2b-ab2) 解：原式＝-2a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2
＝-2a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2 ＝-7a3b+3a2b2 1. 将－2a2与－5a的“－”看成性质符号； • 单项式与多项式相乘的结果中，应将同类 项合并.
(2)(x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2
(3)(x-8y)(x-y) =x·x-x·y-8y·x+8y·y =x2 -9xy+8y2
(4)(x+y)(x2 -xy+y2 ) =x·x2-x·xy+x·y2+y·x2-y·xy+y·y2 =x3-x2y+xy2+yx2-xy2+y3 =x3+y3
= 8a4b
(2) (2x)5(-4xy4)
=32x5(-4xy4)
=[32×(-4)](x5•x)y4
=-128x6y4
例2 计算： (1) （-5am-1b）(-2a) (2) (-3ab)(-a2c)2·6ab(c3)2
解：（1）（-5am-1b）(-2a) =〔(-5)·(-2)〕(am-1·a)b =10amb
教学重难点
重点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
难点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
ac5 bc2的乘积是多少？
ac5 bc2
a bc5 c2
abc52 abc7
知识要 点
单项式与单项式相乘，把他们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
4
他的结果对吗？可以表达得更简单吗？
教学目标
知识与能力
1. 整式的乘法法则； 2. 单项式与多项式的相乘； 3. 多项式与多项式相乘.
过程与方法
1. 经历探索整式的乘法的运算性 质的过程，进一步体会幂的意义，发展 推理能力和有条理的表达能力；
2. 了解整式的乘法的运算性质， 并能解决一些实际问题.
化简求值： yn(yn+9y-12)–3(3yn+1-4yn)，其中y=2,n=1. 解：yn(yn+9y-12)–3(3yn+1-4yn)
=y2n+9yn-12–9yn+1+12yn =y3n-3–9yn+1+12yn 当y=2，n=1时， 原式=(2)0－9×4＋12×2=-11
例3 先化简,再求值： 2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b= 3
（2） (-3ab)(-a2c)2·6ab(c3)2 =(-3ab)(a4c2)·6abc6 =〔(-3)×6〕(a·a4·a)(b·b)(c2·c6) =-18a6b2c8
练一 练
（1）（2xy2）·（xy） （2）（-2a2b3）·（-3a） （3）（4×106）·(5×107) （4）x2y3·（- xy2）2
习题答案
1. （1）不对，应为b6； （2）不对，应为x8； （3）不对，应为a10； （4）不对，应为a10； （5）不对，应为a3b6； （6）不对，应为4a2。
2. （1）2x4;（2）－p3q3；（3）－16a8b4; （4）6a8.
3. （1）18x3y;（2）－6a2b3;（3）－4x5y7 （4）4.94×108.
单项式与单项式相乘法则：
(1)各单项式的系数相乘; (2)相同字母的幂分别相乘; (3)只在一个单项式因式里含有的字母, 连同
它的指数作为积的一个因式.
例1 计算：
(1) (-2a3b)(-4a);
(2) (2x)5(-4xy4).
解：(1) (-2a3b)(-4a)
= [(-2)×(-4)](a3•a)b
ma mb mc
由于① 、②表示同一个量，所以
ma b c ma mb mc
知识要 点
单项式与多项式相乘，就是用 单项式去乘多相式的每一项，再把 所得的积相加。
单项式与多项式相乘时，分三个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式与单
项式乘积的代数和的形式； ②单项式的乘法运算;
③再把所得的积相加.
想一想
三家连锁店以相同的价格m（单位：元/ 瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售 量（单位：瓶）分别是a，b，c。你能用不同 的方法计算它们在这个月内销售这种商品的 总收入吗？
一种方法是先求三家连锁店的总销量， 再求总收入，即总收入（单位：元）为：
ma b c
另一种方法是先分别求三家连锁店的 收入，再求它们的和，即总收入（单元： 元）为：
课堂小结
1. 运用多项式的乘法法则时，必须做 到不重不漏.
2. 多项式与多项式 相乘，仍得多项式.
3. 注意确定积中的每一项的符号，多 项式中每一项都包含它前面的符号，“同号 得正，异号得负”.
4. 多项式与多项式相乘的展开式中，有 同类项要合并同类项.
随堂练习
1. 指出下列公式的名称
a m a n a mn 同底数幂的乘法 (a m ) n a mn 幂的乘方
2
7. （1）－5x2－12x＋15;（2）2x2－8. 8. 1.44×210×210=1.44×220(字节)。 9. 7.9×103×2×102=1.58×106（米）。
10. 22a2m. 11. (1)x=1;(2)x＞ 38 .
9
12.(1)m=13;(2) －20;(3)m=15;(4) －20; (5)m=37,或20，或15，或13，或12.
新课导入
亮亮用长为x米、宽为mx米的同样大小 的两张纸制作了如下两幅画，第一幅画的画 面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在 纸的上、下方各留有 1 x米的空白．
8
亮亮制作的两幅画的画面面积各是多少？
想一想：若丽丽得出了如下结果： 第一幅画的画面面积是x·(mx)米2； 第二幅画的画面面积是(mx)·(3 )米2．