高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1.2 空间向量的数乘运算》评估训练

3.1.2 空间向量的数乘运算
双基达标
(限时20分钟)
1．给出的下列几个命题：
①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；
③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .其中真命题的个数为 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行； ②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0，则有无数多个λ使之成 立． 答案 B
2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →
，其中m ＋n ＝1，则 ( )． A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上
C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →
的方向一定相同
解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →⇒OP →－OA →
＝ n (OB →－OA →)⇒AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →
共线，即点A ，P ，B 共线，故选A. 答案 A
3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13
OC →
，则x 的
值为 ( )． A ．1 B ．0 C ．3 D.1
3
解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →
，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，x ＝13，故
选D. 答案 D
4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平
面的三个向量．其中正确命题的序号是________． 解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确． 答案 ②④
5．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2，若A ，
B ，D 三点共线，则k ＝______．
解析 BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →
＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB →＝λBD →
， ∴12＝－4
k .∴k ＝－8. 答案 －8
6．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →
是否共线？ 解 取AC 中点为G . 连接EG ，FG ，
∴GF →＝12AD →，EG →＝12
BC →，
又∵GF →，EG →，EF →
共面，
∴EF →＝EG →＋GF →
＝12AD →＋12BC → ＝1
2
(AD →＋BC →)， ∴EF →与AD →＋BC →
共线．
综合提高（限时25分钟）
7．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，则x ＋y ＋z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的 ( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析 若x ＋y ＋z ＝1，则OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，即AP →＝yAB →＋zAC →
，由共面定
理可知向量AP →，AB →，AC →
共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四
点共面，当O 与四个点中的一个(比如A 点)重合时，OA →
＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故选B. 答案 B
8．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →
等于
( )．
A ．2OA →－O
B → B ．－OA →＋2OB →
C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解析 由已知得2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →
)＝0，
∴OC →＝2OA →－OB →.
答案 A
9．如图所示，在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，
D 为BC 的中点，
E 为AD 的中点，则OE →
＝______(用a ，b ，c 表示)．
解析 OE →＝OA →＋AE →
＝a ＋12AD →
＝a ＋12(OD →－OA →)
＝12a ＋12
OD → ＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 答案 12a ＋14b ＋14
c
10．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →
＋mOB →＋nOC →
＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．
解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →
，
即OB →－OA →＝k (OC →－OA →
)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →
＝0， 又λOA →＋mOB →＋nOC →
＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，
则λ＋m ＋n ＝0. 答案 0
11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1
的中点．
证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →
是共面向量． 证明 法一 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →
＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12
(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12
B 1
C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →
是共面向量． 法二 连结A 1D 、BD ，取A 1D 中点G ，连结FG 、BG ，
则有FG 綉12DD 1，BE 綉1
2DD 1，
∴FG 綉BE .
∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG . ∴EF ∥平面A 1BD .
同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ，
∴A 1B →、B 1C →、EF →
都与平面A 1BD 平行．
∴A 1B →、B 1C →、EF →
共面．
12．(创新拓展)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)证明BD ∥平面EFGH . 证明 如图，连结EG ，BG .
(1)∵EG →＝EB →＋BG →
＝EB →＋12
(BC →＋BD →)
＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →
，
由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12
BD →
，
∴EH ∥BD .
又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ， ∴BD ∥面EFGH .
法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →
＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →，
又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →
共面． 又BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥面EFGH .。