《2.2.1对数与对数运算》第一课时
2.2.1对数与对数运算(第一课时)
2.2.1对数与对数运算（第一课时）1、2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝182、在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a<2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a<5D ．3＜a ＜43、有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝10；④若e ＝lnx ，则x ＝e 2，其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 4、log a b ＝1成立的条件是( )A ．a ＝bB ．a ＝b ，且b>0C ．a>0，且a≠1D ．a>0，a ＝b≠1 5、若log a 7b ＝c ，则a 、b 、c 之间满足( ) A ．b 7＝a c B ．b ＝a 7c C ．b ＝7a c D ．b ＝c 7a 6、如果f(e x )＝x ，则f(e)＝( ) A ．1 B ．e e C ．2e D ．07、方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝98、若log 2(log 3x)＝log 3(log 4y)＝log 4(log 2z)＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．69、已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc)＝( ) A.47 B.27 C.72 D.7410、方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________.11、若a>0，a 2＝49，则log 23a ＝________.12、若lg(lnx)＝0，则x ＝________.13、方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 14、将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4； (2)log 1327＝－3； (3)log3x ＝6(x ＞0); (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)(14)－2＝16.15、计算：23＋log23＋35－log39.16、已知log a b ＝log b a(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1b.17、 将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x （2）51521=- （3）327log 31-= （4）664log -=x18、求下列各式中的x.（1）32log 8-=x ； （2）4327log =x ；（3）0)(log log 52=x ；19、计算：（1）lg14－2lg 37+lg7－lg18； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+.20、 计算下列各式的值：（1）245lg 8lg 344932lg 21+-；（2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.21、（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45；（2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc ，求x.。
(人教a版)必修一同步课件：2.2.1(第1课时)对数
2.从“三角度”看对数式的意义 角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在 a>0,a≠1,N>0时才有意义. 角度二：对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab=N 求b的前提下提出的. 角度三：logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个 数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积. 3.loga1=0和logaa=1(a＞0且a≠1)的应用 主要应用于求真数为1的对数值和真数与底数相等的对数值.
(2) l＝og－1 9 2.
3
(4)( )－12=3.
3
(5)10－1.299=b. (6)e0.693=2.
【拓展提升】 1.对数中底数和真数的取值范围 (1)底数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知对数中的 底数也要大于0且不等于1. (2)真数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知:对数式 中的真数实际上是指数式中的幂，由于已经规定底数大于0且 不等于1，所以幂(即真数)为正数.因此，在解决含有对数式的 问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于0.
【知识点拨】
1.对数logaN中规定a＞0且a≠1的原因
(1)a＜0时，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算
性质可知，不存在实数x使( )1x=2成立，所以
2
log不(1)存2 在，
2
所以a不能小于0.
(2)a=0时，N≠0时，不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;N=0 时，任意非零实数x,有ax=N成立，logaN不确定. (3)a=1时，N≠1,logaN不存在;N=1,loga1有无数个值，不能 确定.
【解析】1.选B.由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义
a 0，
2.2.1对数与对数运算 第一课时
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2．2 2．2.1
对数函数 对数与对数运算
第 1 课时
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想一想： 1． 一般地， 如果 ax＝N(a>0， a≠1)， 且 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x＝logaN， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数 loga N(a＞0，且 a≠1)具有下列简单性质： (1)零和负数没有对数，即 N＞0； (2)1 的对数为零，即 loga1＝0； (3)底的对数等于 1，即 logaa＝1. 3．常用对数：通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数．记作 lg_N. 4．自然对数：以 e 为底的对数称为自然对数．记作 ln_N. 5．对数与指数间的关系：当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝logaN. 6．对数恒等式：alogaN＝N.
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变式训练 11：已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m
解：∵loga2＝m，loga3＝n ∴am＝2，an＝3 ＋ ∴a2m 3n＝a2m·3n＝22×33＝108. a
＋ 3n
的值．
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对数的性质 【例 2】 求下列各式中 x 的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； 1 (3)log( 2－1) ＝x. 3＋2 2
2.2.1对数与对数运算1
自测自评
1．下列各式中正确的有____4____个．
①log4 16 ＝2；②log16 4 ＝12； ③lg 100＝2；④lg 0.01＝－2.
2．已知
1 logx16
＝－4，则x＝____2____.
3．若logx7 y ＝z，则____B____．
A．y7＝xz
B．y＝x7z
C．y＝7xz
一、选择填空题
1．将下列指数式写成对数式：
(1)2－6＝
1 64
，____________；
(2)___________.
2．将下列对数式写成指数式：
(1)log327＝a，______； (2)lg 0.01＝－2，________.
1．(1)log2614＝－6 (2)log135.73＝m 2．(1)3a＝27 (2)10－2＝0.01
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1 ，∴loga1＝0，即1的对数 为0；
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a ，∴logaa＝1，即底数的 对数为1.
4．对数恒等式
(1)如果把ab＝N中的 b写成logaN，则有：alogaN＝N； (2)如果把x＝logaN中的N 写成ax，则有logaax＝x.
例如：将指数式化为对数式： ①42＝16，________；②102＝100，________； ③4＝2，________； ④10－2＝0.01，________. (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N 简记为lgN； ①log416＝2；②log10100＝2； ③log42＝12；④log100.01＝－2
D．y＝z7x
1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实 现化难为易，化繁为简．
2.2.1对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算(第一课时)教学目标：（1）掌握对数的概念与指、对数之间的关系； （2）自然对数和常用对数； （3）掌握对数式与指数式的互化； （4）掌握对数的基本运算性质. 教学重点： 对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化. 教学难点： 对数概念的理解． 教学过程 （一）对数的概念若N a x =)1,0(≠>a a ，则x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ）， 记作：N x a log =其中a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =⇔=log ；并解决问题3 ○3 注意对数的书写格式． （二）对数的性质（1）负数和零没有对数；N >0； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N a Na=log；（5）n a n a =log ． （三）两种特殊的对数：常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把记作10log lg N N 记为； 自然对数：以无理数2.71828为底的对数叫自然对数，并把e log ln N N 记为； （四）应用举例例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54=625; （2）2-6=641; （3）(31)m =5.73; (4)log 2116=-4; (5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303. 例2求下列各式中x 的值:（1） l og 64x=32-; （2）log x 8=6; （3）lg100=x; （4）-lne 2=x. 变式训练：①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5（log 10x ）=1. 例3以下四个命题中,属于真命题的是（ ）（1）若log 5x=3,则x=15 （2）若log 25x=21,则x=5 （3）若log x 5=0,则x=5 （4）若log 5x=－3,则x=1251A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4） 答案：C例4对于a ＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N（4）若M=N,则log a M 2=log a N 2A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4） 答案：C（五）（做一做）练习： 1.求下列各式的值：51log 25（） 212l o g 16（） 3l g 100（） l g 0.00（4） 2.求下列各式的值15log 15(1) 0.4l o g 1(2) 9l o g 81(3) 2.5log 6.25(4) 7l o g 343(5) 3log 243(6) （七）作业布置书本64页练习1，2，3，4 1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x ＝2;（4）2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a. 3.求下列各式中x 的值:(1)log 8x=32 ; (2)log x 27=43; (3)log 2（log 5x ）=1; (4)log 3（lgx ）=0. 4.计算(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a2m +n的值.第二课时教学目标掌握对数运算的性质 会利用指数运算公式进行推导 会运用运算性质进行化简求值 教学重点对数运算性质 教学难点利用运算性质化简、求值 教学过程（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即log a （MN ）=log a M+log a N ．注：M ＞0，N ＞0；a ＞0且a ≠1．（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．例题 lg20-lg2=？例1 计算：（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即log a （N ）n =n ·log a N ．（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即总结:对数的运算性质：如果0,0,10>>≠>N M a a 且则 （1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M N Ma a alog log log -=（3）N n N a n a log )(log ⋅=例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：解：（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．） 例3 计算：解：（生板书）（1）log 2（47×25）=log 247+log 225=7log 24+5log 22=7×2+5×1=19．第三课时教学目标掌握换底公式的内容，会对换底公式进行推导 教学重点换底公式及其应用 教学难点换底公式的递推公式 教学过程 换底公式:a b a log Nlog N (a,b 0,a,b 1,N 0)log b=>≠> 1. 证明：abb c c a log log log =（由脱对数→取对数引导学生证明） 证明：设x b a =l o g ，则b a x =两边取c 为底的对数，得：b a x b ac c c x c log log log log =⇒= a b x c c log log =∴，即abb c c a l o g l o g l o g =注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ； 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log =例题解析例题1：求32log 9log 278⋅的值； 分析：利用换底公式统一底数； 解法（1）：原式=9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅ 解法（2）：原式=9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=⋅=⋅ 例题2：求证：z z y x y x log log log =⋅分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数；证明：z yzy z y x x x x y x log log log log log log =⋅=⋅ 分析（2）：换成常用对数注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如：z xzx log lg lg =就是换底公式的逆用； 例题3.已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 强化练习（1）50lg 2lg 5lg 2⋅+（2）91log 81log 251log 532⋅⋅ （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++ （4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6； 归纳小结，强化思想1.对数运算性质2.换底公式：abb c c a log log log = 3.两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log =作业布置 1、补充：（1）12527lg81lg 6log 2+⋅ （2）41log3log 8log 2914+- （3）已知514,7log 14==b a ，求28log 35 巩固提高练习2.计算下列各式的值 例2.已知lg2=a ,lg3=b ,请用a ,b 表示下列各式的值()252log 4⋅()31log 6()32log 5()8271log 9log 32⋅。
2.2.1对数与对数运算(第一课时)
中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这就是
我们这一节将要学习的对数问题.
二、知识铺垫
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 （ Napier ， 1550 年 ~1617 年） . 他发明了供天 文计算作参考的对数，并于 1614 年在爱丁堡 出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了 他的发明.恩格斯把对数的发明与解析几何的 创始，微积分的建立并称为 17 世纪数学的三 大成就. 教材P68 《对数的发明》
(4)alogaN=N(a>0,且a≠1). 证明:设ax=N,根据对数与指数间的关系得x=logaN, 将其代入ax=N,得alogaN=N.故结论得证.
说明:本公式称为对数恒等式,在应用时,注意公式的结构特 点及各字母的取值范围,即a>0,a≠1,N>0.
4.两个重要对数：
（1）常用对数 以10为底的对数称为常用对数 并把 log 10N 简记作 lgN . （2）自然对数 以无理数e = 2.71828…为底的对数称 为自然对数. 并把 log e N 简记作 lnN .
指数
幂 真数
对数
a N log a N x
x
底数
3.对数的性质：
(1)零和负数没有对数 由于正数的任何次幂都是正数,即ax>0(a>0),故N=ax>0.
对数记号logaN(a>0,且a≠1),只有在N>0时才有意义.
(2)loga1=0(a>0,a≠1). ∵a0=1(a>0,a≠1),由指数与对数的关系, ∴loga1=0. (3)logaa=1(a>0,a≠1). ∵ a1=a(a>0,a≠1),根据指数与对数的关系, ∴ logaa=1.
高中数学 2.2.1 对数与对数运算 第一课时教案精讲 必修1
2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第一课时第一课时对数[读教材·填要点]1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．2．两类特殊对数名称定义符号常用对数以10为底的对数lg N自然对数以e为底的对数ln N3.当a>0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.4．对数的基本性质性质1负数和零没有对数性质21的对数是0，即log a1＝0(a>0，且a≠1)性质3底数的对数是1，即log a a＝1(a>0，且a≠1)1．任何指数式都能转化为对数吗？提示：不能．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9，只有符合a>0，a≠1时，才有a x ＝N⇔x＝log a N2．式子a log a N＝N(a>0，a≠1，N>0)成立吗？为什么？提示：此式称为对数恒等式．设a b＝N，则b＝log a N，∴a b＝a log a N＝N.3．指数式a x＝N和对数式x＝log a N有何区别和联系(其中a>0且a≠1)?提示：二者本质是一样的，都是a、x、N之间的关系式；但二者之间突出的重点不一样，指数式a x＝N中突出的是指数幂N，而对数式x＝log a N中突出的是对数x.对数概念的理解[例1](1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．[自主解答] (1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>02x －1>02x －1≠1，解得x >12且x ≠1.即x 的取值范围是{x |x >12且x ≠1}；(2)因为底数x 2＋1>0，且x 2＋1≠1，所以x ≠0；又因为－3x ＋8>0，所以x <83，综上可知x <83，且x ≠0.即x 的取值范围是{x |x <83且x ≠0}．在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即log (－3x ＋8)(x 2＋1)，则x 的取值范围又如何？解：因为底数－3x ＋8>0且－3x ＋8≠1， 所以x <83且x ≠73.又因为x 2＋1>0，所以x ∈R .综上可知：x 的取值范围是{x |x <83且x ≠73}．——————————————————解决对数式有意义的题时，只要注意满足底数大于0且不为1，真数大于0，然后解不等式即可.————————————————————————————————————————1．求使得对数log (x －3)(6－x )有意义的x 的取值范围． 解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6－x >0x －3>0x －3≠1，解得3<x <6且x ≠4.即x 的取值范围为{x |3<x <6且x ≠4}.指数式与对数式的互化[例2] (1)log 327＝3；(2)log 128＝－3(3)log2x ＝5；(4)24＝16；(5)(13)－2＝9；(6)2－2＝14.[自主解答] (1)33＝27；(2)(12)－3＝8；(3)(2)5＝x ；(4)4＝log 216； (5)log 139＝－2；(6)log 214＝－2.——————————————————(1)对数式log a N ＝b 是由指数式a b＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图．(2)在指数式a b＝N 中，若已知a ，N ，求幂指数b ，便是对数运算b ＝log a N . ————————————————————————————————————————2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64； (2)3－2＝19； (3)(14)－3＝64；(4)log 1327＝－3； (5)log3x ＝6.解：(1)log 464＝3. (2)log 319＝－2.(3)log 1464＝－3.(4)(13)－3＝27.(5)(3)6＝x .对数概念及性质应用[例3] (1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log2－113＋22＝x .[自主解答] (1)∵log 2(log 4x )＝0， ∴log 4x ＝1，∴x ＝4. (2)∵log 3(lg x )＝1 ∴lg x ＝3，∴x ＝103. (3)∵log2－113＋22＝log2－1(3－22)＝x ，∴(2－1)x ＝3－22＝(2－1)2， ∴x ＝2. ——————————————————1解决这类求值问题时，注意几种对数方程的变形： log a f x ＝0a >0，且a ≠1⇒f x ＝1； log a f x ＝1a >0，且a ≠1⇒f x ＝a ；log fxm ＝n m >0，m ，n 为常数⇒[()]()0() 1.n f x m f x f x ⎧⎪>⎨⎪≠⎩＝，，2有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化为常数，有利于简化计算.————————————————————————————————————————3．求下列各式中x 的值． (1)log x 27＝32；(2)log 8x ＝－23；(3)x ＝log 2719.解：(1)∵x 32＝27， ∴x ＝(27) 32＝32＝9. (2)x ＝823-＝2－2＝14.(3)x ＝log 2719；27x＝19.∴33x ＝3－2.∴x ＝－23.解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！x [错解] ∵log x 9＝2，∴x 2＝9，x ＝±3.[错因] 错解中，忽视了底数a >0.导致出现增根．[正解] ∵log x 9＝2，∴x 2＝9，x ＝±3. 又∵x >0，且x ≠1， ∴x ＝3.1．log 5b ＝2，化为指数式是( ) A ．5b＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5答案：C2．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <3或3<a <5 C ．2<a <5D ．3<a <4解析：要使式子b ＝log (a －2)(5－a )有意义则⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0a －2≠15－a >0即2<a <3或3<a <5.答案：B3．下列结论正确的是( )①lg(lg10)＝0 ②lg(lne)＝0 ③若10＝lg x 则x ＝10 ④若e ＝ln x ，则x ＝e 2A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：∵lg10＝1，∴lg(lg10)＝0，故①正确； ∵lne ＝1，∴lg(lne)＝0，故②正确； ∵10＝lg x ，∴x ＝1010，故③不正确； ∵e ＝ln x ，∴x ＝e e，故④也不正确； 答案：C4．若log 31－2x9＝0，则x ＝________.解析：∵log 31－2x 9＝0，∴1－2x9＝1,1－2x ＝9.∴－2x ＝8.x ＝－4. 答案：－45．若a >0，a 2＝49，则log 23a ＝________.解析：∵a >0，且a 2＝49，∴a ＝23.∴log2323＝1. 答案：16．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) πx＝8；(2)log x 64＝－6； (3)lg1 000＝3.解：(1)由πx＝8，得x ＝log π8； (2)由log x 64＝－6，得x －6＝64； (3)由lg1 000＝3，得103＝1 000. 一、选择题1．已知log x 8＝3，则x 的值为( ) A.12 B ．2 C ．3D ．4解析：由log x 8＝3，得x 3＝8，∴x ＝2. 答案：B2．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．9 B.33C. 3D.19解析：∵2log3x＝14＝2－2. ∴log 3x ＝－2. ∴x ＝3－2＝19.答案：D3．若log x 7y ＝z 则( ) A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7xD ．y ＝z 7x解析：由log x 7y ＝z 得：x z ＝7y ，y ＝x 7z. 答案：B4．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x12等于( )A.36 B.39C.24D.23解析：∵log 5[log 3(log 2x )]＝0， ∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3. ∴x ＝23＝8. ∴x12-＝812-＝18＝122＝24. 答案：C 二、填空题5．log 6[log 4(log 381)]＝________. 解析：设log 381＝x ，则3x＝81＝34， ∴x ＝4，∴原式＝log 6[log 44]＝log 61＝0. 答案：0 6．log 23278＝________. 解析：设log 23278＝x ，则(23)x ＝278＝(23)－3， ∴x ＝－3.∴log 23278＝－3. 答案：－37．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13x＝2⇒x ＝log 32，⎩⎪⎨⎪⎧x >1－x ＝2⇒x ＝－2无解．答案：log 328．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n＝________.解析：∵log a 2＝m ，∴a m＝2，∴a 2m＝4，又∵log a 3＝n ， ∴a n＝3，∴a 2m ＋n＝a 2m ·a n＝4×3＝12.答案：12 三、解答题 9．求下列各式中x .(1)log 2x ＝－23；(2)log 5(log 2x )＝0. 解：(1)x ＝223-＝(12)23(2)log 2x ＝1，x ＝2.10．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值． 解：原函数式可化为f (x )＝lg a (x ＋1lg a )2－1lg a＋4lg a . ∵f (x )有最大值3，∴lg a <0，且－1lg a ＋4lg a ＝3，整理得4(lg a )2－3lg a －1＝0， 解之得lg a ＝1或lg a ＝－14.又∵lg a <0，∴lg a ＝－14.∴a ＝1014-.。
2.2.1对数与对数运算(第一课时)
自然对数：
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
例如：log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10
例3
1、已知ln(lg x)
A.1 B.10
0, 那么x等于（B ）
C. 1 10
D.e
2、求等式lg（1 3x) 1
中的x的值
【练一练】 求下列各式中 x 的值.
(1)log5(log3x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)ln[log2(lg x)]=0.
课堂小结：
1、对数的定义 2、常用对数、自然对数的表示 3、对数式与指数式的互化关系式 4、真数与底数的取值范围 5、三个重要的公式
a)
求a的取值范围
三个基本公式:
loga 1=？ loga 1=0 loga a=？ loga a=1
aloga N =? aloga N =N
例2： 求 下 列 各 式 的 值
（1）log
64
x
2 3
;(2)
log
x
8
6
(3)lg100 x;(4) ln e2 x
堂上练习3，动手写一写：课本P64,第3,4题
当a 0且a 1时
指数式
对数式
a x N x loga N
幂底数 a 对数底数 指数 x 对数 幂 N 真数
两个式子里 的a,x,N分 别指什么？
例1 将下列指数式写成对数式：
（1） 54 625 log5 625 4
高中数学第二章对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学案(含解析)新人教版
§2.2对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).知识点1 对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样.( )(3)对数的运算实质是求幂指数.( )提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2，3)∪(3，4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b＝a ；(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116； ②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816＝23×16＝2；③由lg 100＝x ，得10x＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log 75；(2)100⎝⎛⎭⎪⎪⎫12lg 9－lg 2； (3)alog ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0).解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1102lg 2 ＝9×110lg 4＝94.(3)原式＝(alog ab )log bc＝blog bc＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A.a >12且a ≠1B.0<a <12C.a >0且a ≠1D.a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x －3)＝1的解为________.解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324.计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. (1)2－3＝18；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3；(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫17a＝b 得log 17b ＝a ；(3)由lg 11 000＝－3可得10－3＝11 000；(4)ln 10＝x 可得e x＝10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)a log a N ＝N .2.在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化基础过关1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①②D.③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e，故④错误. 答案 C2.log a b ＝1成立的条件是( ) A.a ＝b B.a ＝b 且b >0 C.a >0，a ≠1D.a >0，a ＝b ≠1解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 答案 D3.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.4910解析 3a －b＝3a÷3b＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.答案 A4.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2， 解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 答案 －35.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________.解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1. 答案 16.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4＝81；(4)27＝128.7.求下列各式中的x 的值. (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x＝3－2， ∴x ＝－23.能力提升8.对于a >0且a ≠1，下列说法正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；(2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；(3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；(4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A.(1)(2)B.(2)(3)(4)C.(2)D.(2)(3)解析 (1)中若M ，N 小于或等于0时，log a M ＝log a N 不成立；(2)正确；(3)中M 与N 也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M ＝N ＝0时不正确. 答案 C9.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.15解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 答案 A 10.方程3log 2x ＝127的解是________. 解析 3log 2x ＝3－3，∴log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.答案 1811.若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b＝________.解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，即4a ＝2k，27b ＝3k ，所以108ab ＝6k，∴108ab ＝a ＋b ，∴108＝1a ＋1b.答案 10812.(1)若f (10x)＝x ，求f (3)的值； (2)计算23＋log 23＋35－log 39.解 (1)令t ＝10x，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3. (2)23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋353log 39 ＝23×3＋359＝24＋27＝51.13.(选做题)若log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13(log 3y ))＝log 5(log 15(log 5z ))＝0，试确定x ，y ，z 的大小关系.解 由log 2(log 12(log 2x ))＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130.由log 3(log 13(log 3y ))＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130.由log 5(log 15(log 5z ))＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130.∵310>215>56，∴y >x >z .。
2.2.1对数与对数运算(第一课时)
2
lo g 1 5 .7 3 m 1 34 ( ) 16 2 2 10 0.01
e
2 .3 0 3
10
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 常用对数：以10为底的对数
lg 0.01
自然对数：以e为底的对数
其中无理数e=2.71828 ··· （5） lo g 1 0 0 .0 1 2
求a的取值范围
3、求等式 lg 1- 3x) = 1 （ 中的x的值
其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数.
a N
x
x lo g a N
对数式
指数式
新课讲解
二、对数的性质 若 a 0, 且 a 1
a N
x
x lo g a N
2 lo g 4 1 6
1 2 x lo g 2 1 0 4 8 5 7 6 lo g 4 2
4 16
2
课本64页练习3,4
目标再现
1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
2、理解和掌握对数的性质；
3、掌握对数式与指数式的关系 .
作业：课本74页A组1,2
课堂检测
1、已知 ln(lg x) = 0, 那么x等于（ ）
1 C、 10
(5- a D、e
2、已知对数式 b = log ( a-
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （2）2
6
lo g 5 6 4 5 4
m
1 64
lo g 2
1 64
6
（3） ( ) 5 .7 3
3 （4） lo g 1 1 6 4
高一数学对数与对数运算1
【解析】 (1)33＝27；(2)21－3＝8；(3)( 2)5＝x (4)log216＝4；(5)log139＝－2；(6)log214＝－2
(1)对数由指数而来．对数式logaN＝x是由指数式ax＝N而来的，两 式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值x是 指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图所示．
⇒－23<x<12. x≠0
所以 x 的取值范围是{x|－23<x<12且 x≠0}．
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难！" 九大人满脸の焦急,对着噬大人背影说道："那不咋大的寒子怎么办?他是要是知道这事の话,肯定会疯狂の！他要是被bi出来了,那他肯定会死の！他带着这么点人,怎么和一些星辰海斗?" 噬大人转头望了过来说道："没办法,他要是忍不住,被bi出来了,那这就是他の命！" 当前 第 捌捌捌章 基础大成 文章阅读 炽火城被毁の事情,没过多久就传遍了整个神界,一些城不重要,重要の是,守护这个城の人和主使这件事情の人. 守护这城の人不用说,因为炽火城の建立,神界还多了一名九品破仙,这不引起注意都难.血夜海地处于飘渺大陆和血液大陆星辰海三个地方之间, 属于三不管地带,里面の神匪很强.但是神界还是有一部分人知道,里面の神匪,其实暗地里是属于至尊岛某位大人物の. 自从数百万年之前八君主齐聚至尊岛,一同制定神界铁律之后,神界就再也没有发生大规模の混战了.这次炽火城事件,引起了神界所有大势力の关注,都在猜测是否会因 为这件事件,引发星辰海和飘渺大陆之间の混战. 飘渺大陆出现了两位君主级至尊强者,这已经打破了神界の实力格局,但是星辰君主是神界公认の实力最强の第一人.最重要の是,星辰君主还有一些身份——破仙
高一(人教A版)第二章数学课件：2.2.1对数与对数运算(第1课时对数)
不同，互为逆运算．
(2)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不 能直接写成log－39，只有符合a>0，a≠1且N>0时，才有ax＝N⇔x ＝logaN.
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研修班
18
求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围． 【错解】 ∵对数的真数大于0，∴3x＋2>0，
2－1)( x
2＋1)＝x
1 － ∴( 2－1) ＝ 2＋1＝ ＝( 2－1) 1 2－1 ∴x＝－1.
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有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值 “1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
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2.求下列各式中的 x. 1 (1)log5(log2x)＝0；(2)log3(ln x)＝1；(3)log x＝ 2 －2. 【解析】 (1)由 log5(log2x)＝0， 得 log2x＝1， ∴x＝21＝2. (2)由 log3(ln x)＝1 得 ln x＝3；∴x＝e3.
2 1 所以 x 的取值范围是{x|－3<x<2且 x≠0}．
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1.将下列对数式与指数式互化 1 (1)log 27＝－3；(2)log 3x＝6；(3)logx64＝－6. 3
1 1 －2 (4)54＝625；(5)3 ＝9；(6) ＝16. 4
－2
1 －3 －6 6 【解析】 (1) 3 ＝ 27.(2)( 3) ＝ x.(3)x ＝64.
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1 －3 5 【解析】 (1)3 ＝27；(2) 2 ＝ 8 ； (3)( 2) ＝x
高一数学2.2.1对数与对数运算(第一课时)优秀课件
1
(2)logeb
ln1 -6 b
(3)log1027lg27a
(4) log15.73
3
m (练习：课本P64
1)
例题分析
例2．将以下对数式写成指数式：
(1)
log
16 1
-4
2
(2)log2128 7
(3)lg0.01-2 (4)ln102.303
解： (1)( 1 )-4 16
2 (2)27 128
2.2.1 对数与对数的运算
(第一课时)
知识引入
问题：假设1999年我国人口约为13亿。如果今后能 将人口的年平均增长率控制在1%，那么经过多少 年人口数量可以到达18亿 ？
分析：假设经过x年人口数量到达18亿，根据题意
有:
13(1+1%)x=18
即：
1.01x
18
13
如何计算式子中的 x
这是底数和幂的值，求指数的问题， 也就是我们这节将要学习的对数的问题.
A、log a 2
b
C、log b a
2
B、log b 2
a
D、 logba 2
2、 对数式 log(2x-1) 1-x2
中x的取值范围是______
{x | 1 x 1} 2
稳固练习
3.求以下各式的值
〔1〕 log 5 5 1
1 〔2〕
log 1
16
1 16
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
〔3〕 lg1000 3
〔4〕 l n 1 0
名称 式子
a
Nx
ax N
x loga N
指数的底数 幂 对数的底数 真数
幂指数 对数
2.2.1 对数与对数运算(第1课时))
求幂进行的是乘方运算
(3)2 6
x
x?
求指数进行的是？运算
这就是我们今天要研究的问题：如何求指数
导入一
定义： 一般地，如果 a 的b次幂等于N, 就是
b
a 0, a 1
a N，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 指数式
loga N b
对数式
探究一
探究二
探究三
探究四
指数函数y 10x 当0 y 1时x 0；当y 1时x 0
探究一 探究二 探究三 探究四 探究五
（3）用指数函数的性质解 释你的结论。
练习一
练习一
小结
１．引入对数的目的：求指数 ２．对数式与指数式的互化： a b N loga N b
(其中a 0, a 1, b R, N 0)
探究五
探究一
例１： 4 16
2
log4 16 2 2 10 100 log10 100 2
4 2
1 2
2 10 0.01 log10 0.01 2
1 log 4 2 2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一
练习
１．将下列指数式写成对数式
(1)(a b) 1
真数N的取值范围 : (0,)
对数b的取值范围： (,)
探究一
探究二 探究三 探究四 探究五
探究四
例3：x为何值时，下列各式有 意义 :
(1) log3 (2 x 1) (2) log x 2 x (3) log x 1 ( x x)
2
探究一 探究二 探究三 探究四 探究五
2.2.1 对数与对数运算(第一课时)
2.2.1 对数与对数运算 第一课时 讲读设计教学目标：1.理解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化；2.会利用指数式与对数式之间的关系求对数式中变量的值。
教学重点：指数式与对数式的互化 教学难点：对数概念的理解 教学过程： 一、预习反馈1. 指数式N a b =中，a 叫做 ，b 叫做 ，N 叫做 。
2.指出指数式N a b =中个字母的取值范围。
二、学习目标1.理解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化；2.会利用指数式与对数式之间的关系求对数式中变量的值。
三、自学与探究(一)自学提示 整合教材知识,落实基本能力 探究一：对数的概念问题1. 一根1米长的绳子从中间剪一次剩下21米，再从中间剪一次剩下41米，每次都是从中间剪。
（1）若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数关系是 ； （2）取4次后剩下的长度是 ；（3）取多少次，还剩下0.125米？（列出方程即可） 答案： 。
（4）上面问题（3）所列方程中的未知数x 在式子的什么位置？我们以前是否遇到过这种运算？问题2.阅读教材P 62识记对数的概念，并写在下面：。
在下面的四线三格内把式子N x a log =写五遍（注意各个字母的相对位置）对数式与指数式关系图：问题3.什么叫常用对数和自然对数？在下面的四线三格内把式子N x lg =及N x ln =各写3遍（注意各个字母的相对位置）问题4.填写下表中空白处的名称.问题6.将下面两个式子化为对数式，并记住结论。
（1）10=a（2）a a =1例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：⑴ 12553=； ⑵ 16124=-； ⑶ 5.421=⎪⎭⎫⎝⎛m；⑷ 38log 21-=； ⑸ 11.0lg -=； ⑹ 303.210ln =(二）合作探讨例2.求下列式子中x 的值⑴x=125log 5； ⑵3log 5=x ； ⑶3125log =x练习1. 求下列式子中x 的值⑴ x =01.0lg ； ⑵3log 21-=x ； ⑶x =8log 21(三)探究提升 精研高考题点,提升备考智能 题型一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)54＝625； (2)log 216＝4； (3)10－2＝0.01； (4)＝6. 解 (1)由54＝625，得log 5625＝4. (2)由log 216＝4，得24＝16. (3)由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. (4)由＝6，得(5)6＝125. 反思与感悟 1.对数式与指数式关系图：对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数.2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .变式训练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.e 0＝1与ln 1＝0 B.831＝2与log 82＝13C.log 24＝2与421＝2 D.log 33＝1与31＝3 答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4.题型二 利用对数基本性质求值 例2 求下列各式的值：(1)log 33； (2)log 51； (3)3log 213； (4)log 2164； (5)lg 1＋lg 10＋10lg 5； (6)ln e ＋ln 1＋e ln 3.解 (1)log 33＝1. (2)log 51＝0. (3)3log 213＝21. (4)log 2164＝log 21(12)－6＝－6.(5)lg 1＋lg 10＋10lg 5＝0＋1＋5＝6. (6)ln e ＋ln 1＋e ln 3＝1＋0＋3＝4. 反思与感悟 1.常见的公式log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na＝N (a >0且a ≠1).2.求log a N 的值，只需将N 写成a b 的形式再利用公式log a a b ＝b 去解. 变式训练2 求值：(1)31log 429； (2)51log 25+.解 (1)31log 429＝(32)31log 42＝3log 43＝4. (2)51log 25+＝5·5log 25＝5×2＝10.题型三 利用对数基本性质解方程 例3 求下列各式中的x 的值.(1)log 8x ＝－23； (2)log x 27＝34； (3)log 2(log 5x )＝0； (4)log 3(lg x )＝1.解 (1)由log 8x ＝－23得x ＝823-＝(23)23-＝2－2，故x ＝14.(2)由log x 27＝34得x 34＝27，即x 34＝33，故x ＝(33)34＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝20＝1，故x ＝51＝5. (4)由log 3(lg x )＝1得lg x ＝3，故x ＝103＝1 000.反思与感悟 应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.变式训练3 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值. (1)log 2x ＝－12； (2)log x 25＝2； (3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得221-＝x ，∴x ＝22.(2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x ＝5或x ＝－5.四、当堂检测1. 2x ＝3化为对数式是( ) A.x ＝log 32B.x ＝log 23C.2＝log 3xD.2＝log x 3解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23. 2. 若，则（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 9 3. 对数式中，实数a 的取值范围是（ ）. A ．B ．(2,5)C ．D ．4.已知log 2x ＝2，则x 21-＝________.答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝4，∴x21-＝421-＝1214＝12. 5.若lg(ln x )＝0，则x ＝________. 答案 e解析 ∵ln x ＝1，∴x ＝e. 6.化简：0.7log 80.7等于( )A.2 2B.8C.18 D.2答案 B五、归纳小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化六、课后作业 一、选择题1.2－3＝18化为对数式为( )A.log 812＝－3B.log 81(－3)＝2 C.log 218＝－3 D.log 2(－3)＝182log 3x =x =2log (5)a a b --=(,5)-∞(2,)+∞(2,3)(3,5)解析 根据对数的定义知选C.2.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 答案 C解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误.3.若log 3(log 2x )＝1，则x21-等于( )A.13B.123C.122D.133 答案 C解析 ∵log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，则x 21-＝18＝122. 4.方程3log 2x ＝14的解是( )A.x ＝19B.x ＝33 C.x ＝ 3 D.x ＝9答案 A解析 ∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5.已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n等于( )A.5B.7C.10D.12 答案 D解析 ∵a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝12. 6.若log x 7y ＝z ，则( )A.y 7＝x zB.y ＝x 7zC.y ＝7x zD.y ＝z 7x 答案 B解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ， ∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z . 二、填空题7.ln 1＋1)log 1)＝________.答案 1解析 ln 1＋1)log 1)＝0＋1＝1.8.方程9x －6·3x －7＝0的解是________. 答案 x ＝log 37解析 设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0， 解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，∴t ＝7，即3x ＝7.∴x ＝log 37. 9.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 答案 －3解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2，解得x ＝0，或x ＝－3. 验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 当x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 10.若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________.答案 43解析 ∵a ＝lg 2，∴10a＝2.∵b ＝lg 3，∴10b＝3.∴2100b a -＝(10a )210b ＝43. 三、解答题11.求下列各式中的x 的值.(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2x )＝0；(5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得223-＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)21-＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.。
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log2 8 3
1 log 2 1 2 1 1 log 27 3 3
log2 32 5
（ 1 ） log3 9 2 （2） log5 125 3 1 1 log 3 4 （3） log 2 2 （4） 81 4
解题探究：
例3：求下列各式中x的值
2 (1) log 64 x 3 (3) lg100 x
人教A版必修1ຫໍສະໝຸດ 桥墩高级中学2014年第一课时
新课导入：
实验：请每个同学拿出一张纸，对折4次 折纸次数和层 数有什么关系？
折纸次数N 1 层数x 2
2
4
3
8
4
16
……
……
折纸次数和层数的关系：2 x
N
2 64 ，求x
x
问题一：如果如果我已经知道一共有64层，你能计算 折了多少次吗？
这个问题可以转化为：已知
关键
(2) log x 8 6
(4) ln e x
2
x
1）利用对数的定义。 2）对数和指数之间的关系：
当a 0, a 1时，a N x loga N
2m n 例4 ： 已知loga 2 m, loga 3 n，求a 的值。
收获与体会：
1.这节课你学到了哪些知识？
7
4
16
2 128 2 10 0.01
(4) ln 10 2.303
e
2.303
10
现场巩固：
练习1：把下列指数式写成对数式
练习2：将下列对数式写成指数式：
8 5 （2）2 32 1 1 （3）2 2 1 1 3 （4 ） 27 3
（1）2
2.你又学到了哪些数学思想方法？
3.你能联系实际说说对数在生活中的应用吗？
课后思考题： 1.若log5[log3(log2x)]=1，x=__；
2.a
loga N
a 1, a a ，能不能延伸
0 1
1.负数和零没有对数；
2.log a 1 0,log a
a 1
重要对数： 1.常用对数：10为底的对数。记为: lg N 2.自然对数：以无理数e=2.71828……为底的对数，
记为 ln
N
。
你记住了吗？
解题探究：
例1：将下列指数式写成对数式：
4 16
对数知识延伸
恩格斯说，对数的发明与解析几何的 创立、微积分的建立是17世纪数学史 上的3大成就。
伽利略说，给我空间、时间及对数， 我可以创造一个宇宙。
布里格斯（常用对数表的发明者）说， 对数的发明，延长了天文学家的寿命。
新课探究：
思考一：是不是所有的实数都有对数吗？为什么？
思考二：指数中的特殊结论 到对数中来呢？
新课探究：
对数定义：一般地，如果 aa 0, a 1 的b次幂等于N, 就是 a b N ，那么数b叫做以a为底N的对数， 记作： loga
指数
N b a叫做对数的底数，N叫做真数。 对数
幂 真数
b a =N
loga N b
底数
对数知识延伸
对数的创始人是苏格兰数学家纳 皮尔（Napier，1550 年~1617 年）。他 发明了供天文计算作参考的对数，并 于 1614 年在爱丁堡出版了《奇妙的对 数定律说明书》，公布了他的发明。 恩格斯把对数的发明与解析几何的创 始，微积分的建立并称为 17 世纪数学 的三大成就。
2
10 100
2
log 4 16 2 lg100 2
1 log 4 2 2
4 2
10 0.01
2
1 2
lg 0.01 2
解题探究：
例2:将下列对数式写成指数式：
(1) log 1 16 4
(2) log 2 128 7 ( 3) lg 0.01 2
2
1 2
新课导入：
引例：假设2008年我国国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后我国的国民生产总值能 翻一番？
分析：设经过 x 年国民生产总值在 2008 年的基础上翻一番， 则有
a 1 8% 2a
x
即
1.08 2
x
x?
问题二：这是已知底数和幂的值，求指数! 你能求出来吗？怎样求呢？