2020年湖北省鄂东南高一(下)期中数学试卷解析版
湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年高一下学期期中联考数学试卷+答案
2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数2iz 13i+=+的虚部是（ ） A ．12−B ．12C ．1i 2−D ．1i 22．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）A ．若a b ≠ ，则||||a b ≠B ．若//a b 且||||a b =，则a b =C ．若0a b ⋅=，则0a = 或0b = D ．若a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量3．已知平面向量(1,2)a =，(3,4)b − ，则向量a 在向量b 上的投影向量是（ ）A ．34,2525−B ．68,55 −C ．34,55 −D ．34,55 −4．已知tan 121tan αα−=+，则cos 24πα+的值为（ ）A． B．CD5．在ABC △中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得10AP =，若54PA mPB m PC =+−（m 为常数），则PD 的长度是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．66．若实数x ，y 满足332xy+=，21133xy n −=+，则n 的最小值为（ ） A ．2B ．8C ．9D ．127．在ABC △中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC △的面积为4，则22BC PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．2B．C ．4D8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意的1x ，2,4x π∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −>−，且函数4y f x π=+为奇函数．若锐角ABC △的三个内角为,,A B C ，则（ ）A ．()()0f A fB +>B ．()()0f A f B +<C ．()()0f A f B +=D ．()()f A f B +的符号无法确定二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为()3sin ||62f x x ππϕϕ =+< ，且经过点(2,3)，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期12T =B ．6πϕ=−C ．函数()y f x =在区间(2,8)上单调递减D ．函数(2)y f x =+是奇函数10．已知复数123,,z z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2211z z = B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．若1213z z z z =，且10z ≠，则23z z =11．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，其中(0,)θπ∈，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP a xe ye ==+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在夹角为θ的坐标系xOy 中的坐标，记为()(,)a x y θ=，则下列结论正确的是（ ）A ．若3(1,2)a π= ，则||a =B ．若44,(3,a b ππ==− ，则a b ⊥C ．若对任意的12,5R e e λλ∈−最小值为52，则6πθ= D ．若对任意的(0,)θπ∈，都有1212e e e e λ−≥−恒成立，则实数(][),31,λ∈−∞−+∞三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知sin cos θθ−sin 2θ=__________．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c b −=−，则角A =若I 为ABC △的内心，且AIIB IC λ=+，则λ=__________． 14．已知平面向量,a b，||2a = ，||3b = ，若存在平面向量c ，||1c = ，使得()()0a c b c −⋅−= ，则||||a b a b −++的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量(1,2)a −，||b =（1）若//a b，求b 的坐标；（2）若(5)()a b a b +⊥−，求a 与b 夹角的余弦值．16．（15分）在ABC △中，角A ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b c bc a +−=． （1）求角A 的大小； （2）若2b =，1sin 7C =，求ABC △的面积．17．（15分）已知向量,cos )m x x ωω= ，(cos ,cos )(0,)n x x x ωωω=−>∈R，1()2f x m n =⋅− ，且()y f x =的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若0a >，且函数()y f x =在区间(,2)a a 上单调，求a 的取值范围．18．（17分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为BC 边上一点，已知2b =，4c =，23A π=．（1）若AD 平分BAC ∠，求AD 的长；（2）若D 为BC 边的中点，E ，F 分别为AB 边及AC 边上一点（含端点）．且AE xAB = ，AF y AC =，1x y +=，求DE DF ⋅ 的取值范围． 19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n ，满足10n z −=的所有复数22cos isin ()k k z k Z n nππ=+∈称为n 次单位根，其中，满足对任意小于n 的正整数m ，都有1m z ≠，则称这种复数为n 次本原单位根．例如，4n =时，存在四个4次单位根1±，i ±，因为111=，2(1)1−=，因此只有两个4次本原单位根i ±； ②分圆多项式：对于正整数n ，设n 次本原单位根为12,,,m z z z ，则多项式()()()12m x z x z x z −−− 称为n 次分圆多项式，记为()n x Φ；例如24()(i)(i)1x x x x Φ=−+=+；回答以下问题：（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；（2）求出6()x Φ，并计算6321()()()()x x x x ΦΦΦΦ，由此猜想1264321()()()()()()x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ的结果，（将结果表示为1110()nn n n n x a x a xa x a −−Φ=++++ 的形式）（猜想无需证明）； （3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为12,,,m A A A ，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为12,B B ，复平面上一点P 所对应的复数z 满足||z =，求1212m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅的取值范围．鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年春季期中联考高一数学参考答案一、二选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A DCBBBCAACBCDABD8．【答案】A【详解】由题可知，()f x 在区间,4π +∞上单调递增，且函数4y f x π=+为奇函数，则44f x fx ππ−+=−+，故()2f x f x π =−− ，当0x =时，有44f f ππ =−，即04f π=， 又因为4y f x π=+ 图象关于原点(0,0)对称，则()f x图象关于点,04π对称，所以，()f x 在R 上单调递增．()()()2f A f B f A f B π+=−−，而ABC △为锐角∆，故2A B π+>，则2A B π>−，所以()02f A f B π−−>，即()()0A fB +>，选A ．11、【答案】ABD【详解】3||(1,2)a π==，故A 正确；()()12123340a b e e ⋅=+⋅−=−−+= ，即a b ⊥ ，故B 正确；125e e λ−最小值为52可知15e 在2e cos θ=，可得6πθ=或56π，C 错误；1212e e e e λ−≥−两边平方得212cos 22cos λλθθ+−≥−对(0,)θπ∀∈成立，则212(1)cos λλθ−≥−，即22(1)cos 10λθλ−−+≤，由于(0,)θπ∀∈，cos (1,1)θ∈−，故222(1)1102(1)(1)10λλλλ −⋅−+≤ −⋅−−+≤ ，解得3λ≤−或1λ≥，综上所述(,3][1,)λ∈−∞−+∞ ，故D 正确 三、填空题12．5813．3A π=；λ=2分，全对给5分） 14．【详解】设a OA =，b OB = ，c OC = ，点C 在单位圆上，点,A B 也在圆上， 则a c CA −= ，b c CB −= ，由()()0a c b c −⋅−=，可得：CA CB ⊥，作矩形ACBD ，则||||||a b OA OB BA −=−= ．下证：2222||||||||OA OB OC OD +=+ ． 设AB ，CD 交于点P ，连接OP ，因OA OP PA =+ ，则2222OA OP PA OP PA =++⋅ ，同理可得：2222OB OP PB OP PB =++⋅，两式左右分别相加得：2222222222212222244BA DC OA OB OP PA PB OP BA OP OP+=++=+=+=+2222222OC OD OC OD OC OD +− =+=+． 即2222||||||||a b c OD +=+，故||OD = ．又||||||2||||2||2||2||2||a b a b BA OP CD OP PD OP OD −++=+=+=+≥，故||||a b a b −++的最小值是四、解答题15．【答案】（1）(2,4)b − 或(2,4)b =−（2）18【详解】（1）由题意，设(,2)b a λλλ−，||b =，，2λ∴=±，(2,4)b ∴=− 或(2,4)b =− ．（2）(5)()a b a b +⊥−，(5)()0a b a b ∴+⋅−=，22540a a b b ∴−⋅−= ，54a b ∴⋅= ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 8||||a ba b θ⋅==． a ∴ 与b 的夹角θ的余弦值为18．16．【答案】（1）3π；（2）S =． 【详解】（1）在ABC △中，由余弦定理，2222cos a b c bc A =+−，又222b c bc a +−=，则1cos 2A =，而0A π<<，则3A π=． （2）由1sin 7C =得cos C =，若cos C =，那么1113sin sin()sin cos cos sin 2714B AC A C A C =+=+=+×=， 由正弦定理，sin sin a b A B =，则sin sin b Aa B=，因此21sin sin sin 22sin b A C Sab C B ==若cos C =，那么1111sin sin()sin cos cos sin 2714B AC A C A C =+=++×=− （舍），因此S =． 注：也可以通过角的大小关系，由1sin sin 7CA =<，得到C A <，故直接判断出cos C =，若无判断且无讨论扣3分．17．【答案】（1）()sin 216f x x π=−−（2）50,,6312πππ【详解】（1）211()cos cos2cos21sin21226f x x x x x x xπωωωωωω=−−=−−=−−，由()f x的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π，有22Tππω==，得1ω=，故()sin216f x xπ=−−，（2）方法一：()sin216f x xπ=−−，由于(,2)x a a∈，则22,4666x a aπππ−∈−−，又22Ta a−<得到0,2aπ∈，故52,666aπππ−∈−，则2,4,6622a aππππ−−⊆−或32,4,6622a aππππ−−⊆．解得0,6aπ∈或5,312aππ∈，所以a的取值范围50,,6312πππ．方法二：()sin216f x xπ=−−，令2()262k x k kπππππ−+≤−≤+∈Z，解得单调区间为()622k kx kπππ∈−+∈Z，故(,2),()6232k ka a kππππ⊆−++∈Z，62232kakaππππ≥−+≤+，6264k kaππππ−+≤≤+，()k∈Z由于6264k kππππ−+≤+，故0k=或1k=．当0k=时0,6aπ∈，当1k=时，5,312aππ∈，所以a的取值范围50,,6312πππ注：两个区间漏写一个扣3分18．【答案】（1）43；（2）[3,3]−．【详解】（1）在ABC △中，ABCABD ADC S S S =+△△△， 因此1211sin sin sin 232323AB AC AB AD AD AC πππ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 即43bc AD b c ==+． （2）由D 为BC 中点得：1122AD AB AC =+， 故1111()()2222DE DF DA AE DA AF x AB AC AB y AC⋅=+⋅+=−−⋅−+−2211111112222224x AB y AC x y AB AC =−−−−+−−+⋅ 1111111164(4)2222222x y xy x y =⋅−−+⋅−−+−⋅−−+ 22113463423444xy x y y y=−−+=+−=+−又[0,1]y ∈，2113444DE DF y⋅=+−在[0,1]上单调递增； 因此1y =时，max ()3DE DF ⋅= ；0y =时，min ()3DE DF ⋅=−．即[3,3]DE DF ⋅∈−．19、【解析】（1）610z −=的解为cos isin(0,1,2,3,4,5)33k k z k ππ=+=， 故6次单位根为11111,1,2222−+−+−，6次本原单位根为12+和12−． （6次单位根3分，有漏写酌情扣1-2分，有错误0分，6次本原单位根1个1分） （2）2611()122x x x x x Φ=−−+=−+ 又2311()122x x x x xΦ=+−+=++ ；2()1x x Φ=+，1()1x x Φ=−， 因此()()()()223366321()()()()(1)(1)11111x x x x x x x x x x xx x ΦΦΦΦ=+−++−+=+−=−，猜想121264321()()()()()()1x x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ=−．（3）方法一：设12次单位根分别为0111,,z z z ，其中cos isin 66k k k z ππ=+， 则不难发现：15711,,,z z z z 为12次本原单位根，3z 和9z 为4次本原单位根，其余的根分别为1，2，3，6次本原单位根，因此()()()1212643211211()()()()()()1z z z z z z z z z z z z z ΦΦΦΦΦΦ=−−−=− ，12121311124()()m PA PA PA PB PB z z z z z z z z ⋅⋅⋅=−⋅−−=ΦΦ．又126126432112466321()()()()()()1()()1()()()()1z z z z z z z z z z z z z z z ΦΦΦΦΦΦ−ΦΦ===+ΦΦΦΦ−，又666111z z z −≤+≤+，且66||8z z ==，故61[7,9]z +∈，即[]12127,9m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅∈．（若直接使用第二问的猜想121264321()()()()()()1x x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ=−扣2分） 方法二：求出四个12次本原单位根分别为11i 2z =+，21i 2z +，31i 2z −，41i 2z =−， 两个4次本原单位根分别为5i z =，6i z =−，123412123456PA PA PA PA PB PB z z z z z z z z z z z z ⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−()()()()()()61234561z z z z z z z z z z z z z =−−−−−−=+ 又666111z z z −≤+≤+，且66||8z z ==，故[]617,9z +∈． 即1212[7,9]m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅∈．。
2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三(下)期中数学试卷(理科)-解析版
2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z 满足(3+4i)z =7+i ，则z 的共轭复数z −的虚部是( )A. iB. 1C. −1D. −i2. 已知全集为R ，集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x−1x+2<0}，则A ∩(∁R B)的子集个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 83. 已知cos(π−α)=−35，则tan(3π2−α)值为( )A. 34 B. 43 C. ±43 D. ±344. 若0<x <y <1，1<b <a ，则下列各式中一定正确的是( )A. a x <b yB. a x >b yC.lnx b<lny aD.lnx b>lny a5. 5400的正约数有( )个A. 48B. 46C. 36D. 386. 记S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sn a n}也为等差数列，则S3a 3等于( )A. 3B. 2C. 32D. 17. 已知在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R)，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. 2√2−1 B. √2−1 C. 3√2−1 D. 2√2+18. 定长为10的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=8x 上移动，P 为线段AB 的中点，则P 点到y 轴的最短距离为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 设y =f(x)是定义在R 上以1为周期的函数，若g(x)=f(x)+2x 在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，则函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为( ) A. [−2,6] B. [−4043,4040] C. [−4042,4041] D. [−4043,4041] 10. 若抛物线y 2=12x 与圆x 2+y 2−2ax +a 2−1=0有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为( )A. a <178 B. a =178C. −1<a <1D. −1<a <1或a =17811. 已知实数a ，b ，c ，d 满足|b −lna a|+|c −d +2|=0，则(a −c)2+(b −d)2的最小值为( )A. 4B. 92C. 32√2D. 212. 已知x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，则关于实数x 0的判断全是错误的是( )①x 0<1②x 0≥ln2③2x 0+lnx 0=0④2e x 0+lnx 0=0A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，若(λa⃗+b⃗ )//(a⃗−2b⃗ )，则λ=______．14.中国排球超级联赛争冠总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入500万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．则总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率是______．15.2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金(扣除专项、专项附加及依法确定的其他)所得不超过5000元(俗称“起征点”)的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如表：个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁(含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是______元．16.在三棱锥S−ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=√3，SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=sin2x4−2cos2x4+√3sin x4cos x4，x∈R．(1)求函数y=f(x)的单调减区间；(2)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(B)=−12，b=√3，求△ABC 周长的取值范围．18.如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE//BC，记DEBC=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN//平面MBD时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B−MD−E的正切值是否改变，如果是，请说明理由，如果不是，请求出二面角B−MD−E的正切值大小．19.记椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l与椭圆C交于A，B两点，已知△F2AB的周长为8且点P(1,32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)请问：x轴上是否存在定点M使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，100以这台机器维修次数的频率代替台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P(X=0)=0.01．(1)求实数m，n的值；(2)求X的分布列；(3)以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？21.已知f(x)=m⋅e2x−2x(x+1)⋅e x，其中e为自然对数的底数，且函数f(x)恰有两个极值点x1，x2．(1)求实数m的取值范围；(2)求证：3<x1x2−(x1+x2)<8．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√2(sinα−cosα)y=√22(sinα+cosα)(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ 2ρsinθ+m=0．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若曲线C上的点到直线l距离的最大值为4√105，求实数m的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−52|．(1)求不等式f(x)≤192的解集；(2)记函数f(x)的最小值为M，若三个正数a，b，c满足a+b+c=M，求1a +1b+1c的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数z满足(3+4i)z=7+i，∴z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=21+3i−28i−4i29−16i2=1−i．∴z−=1+i，则z的共轭复数z−的虚部为1．故选：B．求出z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=1−i.从而z−=1+i，由此能求出z的共轭复数z−的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算法则、共轭复数的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵全集为R，集合A={−2,−1,0，1，2}，B={x|x−1x+2<0}={x|−2<x<1}，∴C R B={x|x≤−2或x≥1}，则A∩(∁R B)={−2,1，2}，∴A∩(∁R B)的子集个数为23=8．故选：D．求出集合A，B，进而求出C R B，A∩(∁R B)={−2,1，2}，由此能求出A∩(∁R B)的子集个数．本题考查交集、补集的子集个数的求法，考查交集、补集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵cos(π−α)=−35，∴cosα=35，∴sinα=±√1−cos2α=±45，∴tan(3π2−α)=cotα=cosαsinα=±34．故选：D．由已知利用诱导公式可得cosα=35，利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：y=a x(a>1)在R递增，∵0<x<y<1，1<b<a，∴b x<a x<a y，b x<b y<a y，∴a x与b y不能确定大小，故选项AB错误．∵0<x <y <1，1<b <a ， ∴1b >1a>0，lnx <lny <0，∴−lnx >−lny >0，∴−lnx b>−lny a，∴lnx b<lny a，故选项D 错误．故选：C ．直接利用不等式的性质和函数的单调性的应用，即可得到正确选项．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 5.【答案】A【解析】解：根据题意，5400=2×2×2×3×3×3×5×5=23×33×52， 其中23的约数有1、2、22、23，共4个； 33的约数有1、3、32、33，共4个； 52的约数有1、5、52，共3个；则5400的正约数有4×4×3=48个； 故选：A ．根据题意，将5400分解可得5400=23×33×52，进而分析23、33、52的约数的数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，注意题目问题的转化，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sna n}也为等差数列，∴2S 2a 2=S 1a 1+S 3a 3，∴2(2a 1+d)a 1+d=1+3a 1+3d a 1+2d，整理可得，a 1=d ，则S3a 3=3a 1+3d a 1+2d=6d 3d=2．故选：B ．由已知结合等差数列的性质及等差数列的求和公式和通项公式即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及通项公式及求和公式的应用是，属于基础试题． 7.【答案】C【解析】解：在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R) 所以：点Q 是直线AB ：x −y +3=0上的点．|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即求点D 到点Q 的距离的最小值． 点D 是以(3,0)为圆心，1为半径的圆上的点．那么点D 到点Q 的最小距离，就可以看成圆C 上的点到直线AB 的最小值， 即圆心到直线AB 的距离减去半径，即为√21=3√2−1．故选：C ．直接利用向量的线性运算的应用和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，点到直线的距离公式的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．8.【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，准线为x=−2，可得|AF|+|BF|≥|AB|=10，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，由P为线段AB的中点，可得x P+2=12(x1+x2+4)=12(|AF|+|BF|)≥12|AB|=5，则x P≥3，当A，F，P三点共线时，取得等号．可得P点到y轴的最短距离为3．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B的横坐标分别为x1，x2，运用抛物线的定义和梯形的中位线定理，结合三点共线时取得最值的性质，可得所求最短距离．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线的最值性质，以及梯形的中位线定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，g(x)=f(x)+2x在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，则g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)= f(x1)+2x1=5，又由y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数，则g(x0+n)=f(x0+n)+2(x0+n)=f(x0)+2x0+2n=−1+2n，同理g(x1+n)= 5+2n，在区间[−2020,2020]上，g(x)的最小值是−1+(−2021)×2=−4043，最大值为5+ (2018)×2=4041，故函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为[−4043,4041]；故选：D．根据题意，由函数g(x)在[1,2]上的值域，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，即可得g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)=f(x1)+2x1=5，结合函数f(x)的周期性可得g(x0+n)=−1+2n以及g(x1+n)=5+2n，据此分析可得答案．本题考查函数的值域计算，涉及函数周期性的性质以及应用，属于综合题．10.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2−2ax+a2−1=0化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆．如图所示，是抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，当圆心(a,0)在−1和1之间运动，即−1<a<1时，符合题意；另外，当抛物线与圆相切时，由对称性可知，也存在两个不同的交点，联立y2=12x与x2+y2−2ax+a2−1=0，得x2+(12−2a)x+a2−1=0，所以△=(12−2a)2−4(a2−1)=0，解得a=178，综上所述，实数a的取值范围是−1<a<1或a=178，故选：D．先将圆化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆，再作出抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，结合图形分析圆心所在的位置可得−1<a<1；联立抛物线与圆的方程，利用判别式△=0可得a=178，故可得解．本题考查圆与抛物线的交点个数问题，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，故(a−c)2+(b−d)2就是曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，∵f′(x)=1−lnxx2，x>0，易得，当0<x<e时，f′(x)>0，函数单调递增，当x>e时，f′(x)<0，函数单调递减，设与x−y+2=0平行且与曲线y=f(x)相切的直线为x−y+m=0，则f′(x0)=1−lnx0x02=1，∴x0=1，∴切点为(1,0)∴切点与x−y+2=0的距离d=√2，故(a−c)2+(b−d)2的最小值为92．故选：B．由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，则(a−c)2+(b−d)2表示曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，然后利用导数求出切点，再求出(a −c)2+(b −d)2的最小值． 本题主要考查了导数在求解函数最值中的应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理应用． 12.【答案】C【解析】解：设g(x)=2x 2e 2x +lnx ，(x >0)， 则函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，由2x 2e 2x +lnx =0得2x 2e 2x =−lnx ，得2xe 2x =−lnx x，设f(x)=xe x ，则f(2x)=2xe 2x ，f(−lnx)=−lnxe −lnx =−lnx x，即方程2xe 2x =−lnx x等价为f(2x)=f(−lnx)∵x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，∴2x 02e 2x 0=−lnx 0，即f(2x 0)=f(−lnx 0)，∵f′(x)=(x +1)e x >0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴2x 0=−lnx 0，即2x 0+lnx 0=0，故③正确，则④不正确，设ℎ(x)=2x +lnx ，则ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，则ℎ(1e )=2e +ln 1e =2e −1<0， ∴x 0>1e ，故①错误，ℎ(12)=2×12+ln 12=1−ln2>0，即x 0<12，∵ln2>ln √e =12，∴x 0≥ln2错误，故②错误， 故错误的有：①②④．故选：C ．根据函数与方程之间的关系，转化为得2xe 2x =−lnx x，构造函数f(x)=xe x ，结合函数f(x)的单调性求出2x 0+lnx 0=0，然后构造函数ℎ(x)=2x +lnx ，结合函数的单调性和根的存在性定理进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，根据条件结合函数与方程的关系进行转化，构造函数，利用函数的单调性建立方程得到(2x 0)=f(−lnx 0)，是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 13.【答案】±1【解析】解：∵(λa ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )⇒存在实数k ，使得λa ⃗ +b ⃗ =k(a ⃗ −2b ⃗ )；∴(λ−k)a ⃗ +(1−λk)b ⃗ =0⃗ ； ∵向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，∴λ−k =0且1−λk =0； 故λ=k =±1； 故答案为：±1．利用向量共线的充要条件得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解． 本题考查两向量反向的充要条件及平面向量基本定理．14.【答案】516【解析】解：设总决赛一共进行n 场，∵总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，∴S n =500n +n(n−1)2×100=4500，整理得n 2+9n −90=0， 解得n =6或n =−15(舍)， ∴总决赛一共举行6场比赛，∴前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，∴总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率为：P =C 53(12)3(12)2(12)+C 52(12)2(12)3(12)=516．故答案为：516．由总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，得到总决赛一共举行6场比赛，从而前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，由此能求出总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.【答案】9720【解析】解：当工资、薪金为8000元时，缴纳税款3000×3%=90(元)； 当工资、薪金为17000元时，缴纳税款3000×3%+9000×10%=990(元)， 所以他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解得：x =9900，所以税后所得为9900−180=9720(元)， 故答案为：9720．利用分段函数先判断他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解出x 的值即可． 本题主要考查了函数的实际运用，是基础题． 16.【答案】21π【解析】解：由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32， 球心为过M 的ABS 的垂线与过O′的ABC 的垂线的交点，在四边形MDOO′中，OO′=32，所以R 2=OO′2+O′B 2=94+3=214，所以球的表面积为4πR 2=21π． 故答案为：21π．由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，可得∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32，找出球心位置，进一步计算半径以及表面积． 本题考查了几何体的外接球表面积的求法；关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算半径，求得表面积．17.【答案】解：(1)f(x)=sin 2x 4−2cos 2x 4+√3sin x 4cos x4，x ∈R ．=1−cos x 22−(1+cos x 2)+√32sin x 2 =√32sin x 2−32cos x 2−12 =√3(1sin x −√3cos x )−1=√3sin(x2−π3)−12， 由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z) 可得4kπ+5π3≤x ≤4kπ+11π3，(k ∈Z)所以f(x)的单调减区间为[4kπ+5π3,4kπ+11π3]，(k ∈Z)，(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12， 因为f(B)=−12，所以√3sin(B2−π3)−12=−12， sin(B2−π3)=0， 因为0<B <π， 所以−π3<B2−π3<π6， 所以B2−π3=0， 所以B =2π3，又b =√3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac (a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，所以(a +c)2≤4， 即a +c ≤2， 又a +c >b ，所以√3<a +c ≤2，所以△ABC 周长a +b +c 的取值范围为(2√3,2+√3].【解析】(1)f(x)=√3sin(x2−π3)−12，由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z)，解得x的取值范围，即可得出答案．(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12，因为f(B)=−12，解得B =2π3，又b =√3，由余弦定理可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac ，即(a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，得a +c ≤2，进而得△ABC 周长a +b +c 的取值范围．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 18.【答案】解：(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，∵N 为MC 的中点，P 为MB 的中点，∴PN//BC ，而DE//BC ，∴PN//DE ，则四边形NEDP 为平面四边形， 又∵EN//平面MBD ，EN ⊂平面NEDP ，平面NEDP ∩平面MBD =DP ，∴EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形， ∴NP//DE 且NP =DE ，即DE =12BC ， ∴λ=12；(2)取DE 的中点O ，∵平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ， ∴MO ⊥平面DECB ．如图所示，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2． 则M(0,0，√3λ)，D(λ,0，0)，B(1,√3(1−λ),0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,−√3λ)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,√3(1−λ),0)， 设平面BMD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −√3λz =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x +√3(1−λ)y =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)．又平面EMD 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−1√5=−√55． 即二面角B −MD −E 的大小与λ无关．又二面角B −MD −E 为钝二面角，则二面角B −MD −E 的余弦值为−√55，正弦值为2√55，正切值为−2．【解析】(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，证明四边形NEDP 为平面四边形，再由EN//平面MBD ，可得EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形，从而得到λ值；(2)取DE 的中点O ，由平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ，可得MO ⊥平面DECB ，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2，分别求出平面BMD 的一个法向量与平面EMD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值为定值，可知二面角B −MD −E 的大小与λ无关，进一步求其正切值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)由△F 2AB 的周长为8，得4a =8，即a =2． 由点P(1,32)在椭圆C 上，∴1a 2+94b 2=1，即b =√3． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由椭圆C 的方程，可得c =1，则F 1 (−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立{y=k(x+1)x24+y23=1，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2．设x轴上存在定点M(m,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，则k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0，即y1(x2−m)+y2(x1−m)(x1−m)(x2−m)=0，即y1x2−my1+x1y2−my2=0．∴k[2x1x2+(1−m)(x1+x2)−2m]=0．∴k[8(k2−3)3+4k2−8(1−m)k23+4k2−2m]=0，整理得：k⋅−24−6m3+4k2=0，则m=−4．∴x轴上存在定点M(−4,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立．【解析】(1)由三角形周长求得a，把点P的坐标代入椭圆方程求得b值，则椭圆方程可求；(2)由椭圆C的方程，可得F1(−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0求得m值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由P(X=0)=m100×m100=0.01，得m=10，再由m+10+40+n=100，得n=40；(2)根据题意，随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6．∵以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．∴P(X=0)=0.1×0.1=0.01，P(X=1)=2×0.1×0.1=0.02，P(X=2)=0.1×0.1+2×0.1×0.4=0.09，P(X=3)=2×0.1×0.4+2×0.1×0.4=0.16，P(X=4)=0.4×0.4+2×0.1×0.4=0.24，P(X=5)=2×0.4×0.4=0.32，P(X= 6)=0.4×0.4=0.16．n若采用方案一，则随机变量Y的分布列为：1的期望为：10.28+(8600+a)×0.24+(8600+2a)×0.32+(8600+3a)×0.16=8600+1.36a元．若采用方案二，则随机变量Y2的分布列为：随机变量2的期望为：E(Y 2)=10000×0.52+11000×0.32+12000×0.16=10640元． 令8600+1.36a =10640，得a =1500元，①若a <1500，则方案2的费用高，应选择方案一．②若a =1500，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案． ③若a >1500，则方案一的费用高，应选择方案二．【解析】(1)由P(X =0)=0.01求得m ，再由和为100求得n 值；(2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列；(3)选择延保方案一，求出所需费用Y 1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y 2元的分布列和数学期望，然后对a 分类讨论可得该医院选择哪种延保方案更合算．本题考查随机变量的分布列与期望，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，f′(x)=2me 2x −2(x 2+3x +1)e x =2e 2x (m −x2+3x+1e x)，令g(x)=x 2+3x+1e x，则g′(x)=(2x+3)e x −(x 2+3x+1)e x(e x )2=−x 2−x+2e x=−(x+2)(x−1)e x，令g′(x)>0，则−2<x <1；令g′(x)<0，则x <−2或x >1，∴函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减， ∵函数f(x)恰有两个极值点， ∴f′(x)有两个不同的变号零点，又当x →−∞时，g(x)→+∞，g(−2)=−e 2,g(1)=5e ，当x →+∞时，g(x)→0， ∴−e 2<m ≤0； (2)证明：g(x)=0，则x =−3±√52，不妨设x 1<x 2，由(1)知，−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，令ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，则ℎ′(x)=g′(x)+g′(−4−x)=−(x+2)(x−1)e x+−(−2−x)(−5−x)e −4−x，即ℎ′(x)=−(x +2)[(x −1)e −x +(x +5)e x+4]<−(x +2)[(x −1)e x+4+(x +5)e x+4]=−2(x +2)2e x+4<0， ∴y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，当x ∈(−2,−3+√52]时，有ℎ(x)<ℎ(−2)=0，即g(x)<g(−4−x)，令x =x 2，则g(x 2)<g(−4−x 2)， 又∵g(x 2)=g(x 1)， ∴g(x 1)<g(−4−x 2)，∵x 1，4−x 2∈(−∞,2)，且y =g(x)在(−∞,2)上单调递减， ∴x 1>−4−x 2，即x 1+x 2>−4， ∴0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，由(1)知，me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减得，m(e x 2−e x 1)=x 22−x 12+3x 2−3x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+3)，∴x 2+x 1+3=m(e x 2−e x 1)x 2−x 1≤0，即x 2+x 1≤−3，∴3<x 1x 2−(x 1+x 2)<8．【解析】(1)求导，并令g(x)=x 2+3x+1e x，利用导数可知函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，结合题意可知−e 2<m ≤0；(2)由(1)可知−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，构造函数ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，求导后可知y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，则可得x 1+x 2>−4，进而得到0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，而me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减可得到x 2+x 1≤−3，进而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =√2(sinα−cosα)y =√22(sinα+cosα)(α为参数)，两式平方得x 24+y 2=1：直线l 的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+m =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2整理得：x +2y +m =0．(2)设曲线C 上的任一点的坐标P(2cosθ,sinθ)，所以点P 到直线x +2y +m =0的距离d =|2√2sin(θ+π4)−m|√12+22，①当m >0时，d max =√2+m|√5=4√105解得：m =2√2 ②m <0时，d max =√2−m|5=4√105，解得：m =−6√2．故：m 的值为2√2或−6√2．【解析】(1)直接利用转换关系，对参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x −52|={−3x +72,x <12x +32,12≤x ≤523x −72,x >52．当x<12时，不等式f(x)≤192化为−3x+72≤192，解得x≥−2，∴−2≤x<12；当12≤x≤52时，不等式f(x)≤192化为x+32≤192，解得x≤8，∴12≤x≤52；当x>52时，不等式f(x)≤192化为3x−72≤192，解得x≤13，∴52<x≤13．∴不等式f(x)≤192的解集为[−2,13]；(2)作出f(x)的图象如图：由图可知，f(x)的最小值为M=2，则a+b+c=2，又a，b，c均为正数，∴1a+1b+1c=12(a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc)=12[3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)]≥12(3+2√ba⋅ab+2√ca⋅ac+2√cb⋅bc)=92．当且仅当a=b=c时上式取等号．∴1a +1b+1c的最小值为92．【解析】(1)写出分段函数解析式，然后分类求解，取并集得答案；(2)画出分段函数图象，求出f(x)的最小值，然后利用基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。
2020届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三下学期期中数学(理)试题(解析版)
根据题意， ，所以 ，取 中点为 ， 中点 ，则 ，
， ， 是正三角形， ，
是二面角S﹣AB﹣C的平面角， ，
， 是 的外心，设 在 上， ， 是 的外心，
设过 与平面 垂直的直线与过 垂直于平面 的直线交于点 ，
则 是三棱锥 外接球球心．
， ，又 ，
在四边形 中， ，
外接球半径为 ，
表面积为 ．
16．在三棱锥S﹣ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形， ， ，二面角S﹣AB﹣C的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为_____.
答案：
解：根据题意， ，所以 ，取 中点为 ， 中点 ，得 是二面角S﹣AB﹣C的平面角， ， 是 的外心，设 是 的外心，过外心作在平面的垂直得球心，求出球半径可得表面积．
又 为 中点，由梯形的中位线定理可得
，
则点 到 轴的距离 .当且仅当 过抛物线焦点时取得等号；
故 .
故选： .
点评：本题考查抛物线定义的理解和辨析，属基础题.
9．设y＝f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)＝f(x)+2x在区间[1，2]上的值域为[﹣1，5]，则函数g（x）在[﹣2020，2020]上的值域为（）
解：
由 知 在直线 上，由 知 在以 为圆心，1为半径的圆上，而 表示直线 上的点 到圆 上的点 的距离，如图，由已知 ， ，即 的最小值为 ， 的最小值为 ．
故选：C．
点评：本题考查平面向量的共线定理，考查圆上的点到直线上点的距离的最小值，解题关键是掌握向量模的几何意义，考查转化与化归思想．本题属于中档题．
绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
湖北省鄂东南省级示范高中2022-2023学年高一下学期期中联考化学试卷
2023年春季鄂东南省级示范高中期中联考高一化学试卷试卷满分：100分可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 Si-28 P-31 S-32 Ca-40 Ba-137一、选择题：（本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）1．化学与生产、生活和科技密切相关．下列说法不正确的是（ ） A ．防控新冠病毒，不能将“84”消毒液与酒精混合使用B ．二氧化硫可用作葡萄酒的食品添加剂，用来杀死有害细菌，防止色素被氧化C ．孝感三江航天研究的芳纶纤维为“嫦娥五号”登月国旗材料，是有机高分子材料D ．2022年孝感三江航天研究的“鸣凤”一号液氧甲烷发动机为可重复使用火箭发动机，其工作物质氧化剂为甲烷 2．已知反应：2C 2CuOCu O X ++高温．下列说法正确的是（ ）A ．X 的摩尔质量为44gB ．1412g C 所含中子数为A NC ．反应每生成21mol Cu O ，转移2mol 电子D ．反应每消耗1.2g C ，生成X 的体积为2.24L3．下列有关事实解释的离子方程式，正确的是（ ） A ．氯化铁溶液刻蚀铜电路板：322Cu Fe Cu Fe +++++B ．氢氧化铝和氢氧化钠溶液反应：()223Al OH OH AlO H O --++C ．氯气和水反应：22Cl H O2H Cl ClO +--+++D ．22H O 溶液滴入酸性4KMnO 溶液中，紫色褪去，用“示踪原子法”来判断反应历程：182********H O 2MnO 6H2Mn 5O 8H O -+++++↑+4．在给定条件下，下列物质间的转化能实现的是（ ） A ．()()()323NaHCO s Na CO s NaOH aq ∆−−→−−−−→饱和石灰水B ．()()()()()()NaOH aq HCl aq 23Al s NaAlO aq Al OH s −−−−→−−−−−→过量 C ．()()()()HCl aq Al233Fe O s Fe s FeCl aq −−−→−−−→高温D ．()2BaCl aq 23S SO BaSO −−−→−−−−→氧气点燃5．某温度下，在2L 恒容密闭容器中投入一定量的A 、B ，发生反应：()()()()3A g bB g cC g 2D s ++，12s 时生成C 的物质的量为0.8mol （反应进程如图所示）．下列说法中正确的是（ ）A ．12s 时，A 的转化率为60%B ．0~2s ，D 的平均反应速率为0.1mol(L )s ⋅C ．化学计量系数之比b :c 1:2=D ．图中两曲线相交时，A 的消耗速率等于A 的生成速率6．化学是以实验为基础的科学，下列图示实验操作规范且能达到实验目的的是（ ）A ．图1为配制一定物质的量浓度溶液时的定容操作B ．图2可制取并收集少量的氨气C ．图3可制备()2Fe OH ，并能较长时间看到()2Fe OH 白色沉淀D ．图4可比较碳酸钠与碳酸氢钠的热稳定性7．实验中按如图所示的装置来干燥和收集气体R ，多余的气体用水吸收，则R 是（ ）A ．3NHB ．2SOC ．2ClD ．2NO 8．研究表明，在101kPa 和298K 下，()()HCN g HNC g 异构化反应过程的能量变化如图所示．下列说法正确的是（ ）A ．HNC 比HCN 稳定B ．1mol HCN 转化为1mol HNC 需要吸收186.5kJ 的热量C ．反应过程中断开旧化学键吸收的总能量大于形成新化学键放出的总能量D ．该异构化反应只有在加热条件下才能进行9．为了消除氨氧化合物的污染，减轻环境污染，同时又能利用充分化学能．某科研小组利用反应23226NO 8NH 7N 12H O ++成功设计出如图所示电池装置，下列说法错误的是（ ）A ．电极A 为负极，发生氧化反应B ．当电极A 上有211.2L N （标准状况）生成时，外电路共转移4mol 电子C ．电极B 的电极反应式为2222NO 8e 4H O N 8OH --+++D ．电池工作时，OH -从右向左移动10．在一恒温恒容的密闭容器中放入一定量的液体W ，发生反应()()()W 1P g 2Q g +．以下说法可以作为该反应达到平衡状态的判断依据的有（ ）①()()v P v Q =正逆 ②Q 的体积分数保持不变③容器内气体密度保持不变 ④气体的平均相对分子质量保持不变 ⑤W 的质量保持不变 ⑥()()c P c Q :1:2= ⑦容器中压强保持不变A ．③⑤B ．③⑤⑦C ．②③⑤⑦D ．②③④⑤⑦ 11．为探究反应223242422Na S O H SO Na SO SO S H O ++↑+↓+的速率影响因素，某同学设计了以下实验：下列说法正确的是（ ） A ．依据试验设计推测v 10=B ．3号瓶中前10s 内()223v Na S O 为110.01mol L s --⋅⋅C ．该反应也可通过测2SO 的体积变化来表示化学反应速率的快慢D ．对比1号瓶和4号瓶的实验结果可得结论：温度越高，该反应的反应速率越快 12．粗盐中常含有杂质22MgCl CaCl 、和24Na SO ，为将杂质除尽设计如下步骤：−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→−−→溶解试剂①试剂②试剂③过滤盐酸粗盐滤液氯化钠固体下列有关说法中，不正确的是（ ）A ．步骤中的过滤操作也可以在加入盐酸之后，蒸发结晶之前进行B ．检验24SO -是否除净的方法：取适量滤液，加稀盐酸酸化，再加2BaCl 溶液 C ．试剂①、②、③可能分别是NaOH 溶液、2BaCl 溶液、23Na CO 溶液 D ．加稀盐酸调节pH ，目的是除去23NaOH Na CO 、等杂质13．从下列事实所列出的相应结论正确的选项是（ ） 实验事实结论① 2SO 使酸性高锰酸钾溶液褪色可证明2SO 有漂白性②蔗糖（含少量水）中加入适量的浓硫酸，观察到蔗糖逐渐变黑，体积膨胀，并产生有刺激性气味的气体，放出大量的热证明浓硫酸有脱水性，吸水性，强氧化性和酸性 ③取少量23Na SO 样品加入()32Ba NO 溶液后，产生白色沉淀滴加稀盐酸，沉淀不溶解，证明23Na SO 已氧化变质④ 某溶液加入稀盐酸产生能使澄清石灰水变浑浊的无色无味气体，该溶液滴加2CaCl 溶液，有白色沉淀生成确定该溶液存在23CO -⑤ 某无色溶液中加入浓氢氧化钠溶液并加热，产生的气体能使湿润红色石蕊试纸变蓝该溶液一定有+4NHA ．②④⑤B ．④⑤C ．①②④⑤D ．③④⑤14．某溶液中可能含有以下离子中的若干种：+2+22434K Mg NH Cl CO SO +---、、、、、现取体积为400mL 的溶液平均分为两等份进行如下实验：①向一份溶液中加入足量KOH 浓溶液并充分加热，收集到标准状况下气体1.344mL ． ②向另一份溶液中加入足量2BaCl 溶液，得到沉淀8.60g ，再加入足量盐酸充分反应后，过滤、洗涤、干燥，剩余沉淀4.66g根据上述实验，以下关于原溶液的结论一定正确的是（ ）A ．()+1c K 0.1mol L -≥⋅ B ．一定只含有：22344CO SO NH --+、、C ．一定不含2+Mg 和Cl - D ．()213c CO 0.05mol L --=⋅15．向200mL 稀24H SO 与稀3HNO 的混合溶液中逐渐加入铁粉，已知加入铁粉的质量与产生气体的体积（标准状况）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．OA 段产生的气体是NO ，BC 段产生的气体是2HB ．该实验可以证明氧化性：324HNO H SO >稀稀C ．参加反应铁粉的总质量2m 5.6g =D ．所用混合溶液中()24c H SO 0.4mol/L =二、填空感（共55分）16．（13分）二十大报告中关于生态环境保护的论述全面而深刻，对研究x 2NO SO 、等大气污染物的妥善处理具有重要指导意义． 主要污染物（1）上图为孝感市某日空气质量报告，当日的首要空气污染物为______________． （2）煤炭燃烧造成环境污染的主要原因之一是形成硝酸型酸雨．①氮元素在元素周期表中的位置_______________，酸雨的pH______（填“>”、“<”或“=”）5.6．②煤燃烧产生的废气中的NO 可以转化为硝酸，其过程一般分两步： 第一步为222NO O 2NO +第二步为___________________________．（3）CO 、2SO 和x NO 等城市空气污染物来源之一为汽车尾气．三元催化可将汽车尾气中的CO 和x NO 进行净化处理，该过程中发生反应的化学方程式为____________． （4）硝酸工业废气中有氨氧化物（x NO ），在酸性NaClO 溶液中，HClO 氧化NO 生成Cl -和3NO -.已知酸性NaClO 溶液的初始pH 越小，硝酸尾气NO 转化率越高，其原因是___________________．（5）通过如下流程可实现2SO 和NO 综合处理并获得保险粉（224Na S O ）和硝酸铵．装置Ⅲ中生成4Ce +与224S O -的物质的量之比为___________．17．（16分）能量转化是化学变化的重要特征，按要求回答下列问题：（1）已知：H H -键的键能为1436kJ mol L -⋅⋅，N H -键的键能为1391kJ mol L -⋅⋅，N N ≡键的键能为1946kJ mol L -⋅⋅则反应()()()3222NH g N g 3H g +中，理论上消耗31mol NH ______（填“吸收”或“放出”）_________kJ 热量．（2）把a 、b 、c 、d 四种金属片浸入稀硫酸中，用导线两两相连可以组成各种原电池．若a 、b 相连，a 为正极：c 、d 相连，c 为负极：a ﹑c 相连，c 上有气泡逸出：b 、d 相连，b 质量减小，则四种金属的活动性由强到弱顺序为：_______．（3）中国科学院长春应用化学研究所曾在甲烷（4CH ）燃料电池技术方面获得重大突破．甲烷燃料电池工作的原理如图所示，甲烷燃料电池采用铂作电板催化剂，电池中的质子交换膜只允许质子（+H ）和水分子通过．其工作原理的示意图如下，请回答下列问题：①2CO 的电子式为___________，()Pt a 电极反应式为___________②电解质溶液中的H +向______（填“a ”或“b ”）极移动，电子流出的电极是_____（填“a ”或“b ”）极．③该电池工作时消耗411.2L CH （标准状况下），假设电池的能量转化率为80%，则电路中通过____mol 电子．18．（14分）甲醇3CH OH 是一种重要的化工原料，在生产生活中有重要用途． 现在2L 的恒容密闭容器中充入1mol CO 和22mol H ，一定条件下发生反应：()()()23CO g 2H g CH OH g +．测得CO 和()3CH OH g 的物质的量变化如图1所示，反应过程中的能量变化如图2所示．（1）下列描述中能说明在该条件下的反应已达到平衡状态的是______________． A ．CO 、2H 和3CH OH 的物质的物质的量之比为1：2：1 B ．消耗了21.5mol HC ．混合气体的密度不随时间的变化而变化D ．混合气体的平均相对分子量不随时间的变化而变化（2）从反应开始至达到平衡，以2H 表示的反应的平均反应速率()2v H =________下列措施能增大反应速率的是__________ A ．升高温度 B ．降低压强C ．减小3CH OH 的浓度D ．加入合适的催化剂 （3）反应达到平衡状态时2H 的转化率为___________（4）若反应开始的压强为0a P kp ，求平衡时3CH OH 的分压()3P CH OH =_________已知：组分的分压等于总压强×组分的物质的量分数）（5）在相同条件下，若向该密闭容器中充入()2mol CO g 与()24mol H g ，二者充分反应后，根据反应的特点推测，能够__________（填放出或吸收）的热量__________（填“>”“<”或“=”）257.6KJ ．19．（12分）某补铁剂的主要成分是硫酸亚铁（4FeSO ），说明书中建议“本品与维生素C 同服”．为探究其原理，用放置7天的4FeSO 溶液（pH 4>）进行下列实验．资料：维生素()686C C H O 又称抗坏血酸，将溶于水，其溶液呈酸性 Ⅰ．检验铁元素的价态实验序号 试管中的试剂实验操作及现象i 2mL 放置后的4FeSO 溶液 滴加5滴KSCN 溶液后，溶液变为浅红色ii2mL 放置后的4FeSO 溶液，0.1g维生素C维生素C 溶解，溶液pH 3<，滴加5滴KSCN 溶液后，溶液近乎无色（1）i 中观察到___________，说明溶液中存在3+Fe ．由ii 中溶液近乎无色可以推测维生素C 与3+Fe 发生了反应：32686666C H O 2Fe 2Fe C H O 2H ++++++，方程式中还原剂是__________________（2）中与4FeSO 被氧化相关的离子反应方程式为______________________（3）经分析ii 中检验方案不严谨，应考虑pH 对反应的影响，依据是______________ Ⅱ．探究pH 对ⅱ中反应的影响补充实验如下，继续探究pH 对ii 中反应的影响． 实验序号 试剂 实验操作及现象ⅲ滴加5滴KSCN 溶液后，溶液变为浅红色，浅红色比中加深（4）对补充实验分析可以得出的结论是_____________________________________． （5）分析实验i ～ⅱ，下列说法合理的是________（填序号）． a ．维生素C 具有氧化性和酸性b ．同服维生素C 可减缓补铁剂中4FeSO 被氧化c ．使用KSCN 检验3+Fe 时，宜先将溶液酸化高一化学参考答案16．（除标注外，每空2分，共13分） （1）CO （2分）（2）①第二周期第V A 族（1分） <（2分） ②2233NO H O2HNO NO ++（2分）（3）x 222xCO 2NO 2xCO N ++（2分）（4）溶液pH 越小，溶液中HClO 的浓度越大，氧化NO 的能力越强（2分） （5）2：1（2分） 17．（每空2分，共16分） （1）吸收 46 （2）b a c d >>>（3）①O::C::O 422CH 2H O 8e CO 8H -++-+ ②b a ③3.218．（每空2分，共14分） （1）BD （错选0分，漏选1分）（2）110.25mol L min --⋅⋅（无单位不给分），AD （错选0分，漏选1分）; （3）75%： （4）01P KPa 4（5）放出 < 19．（12分）（1）溶液变浅红色（2分），686C H O （2分） （2）23224Fe O 4H 4Fe H O ++++++（2分）（3）维生素C 的溶液呈酸性，或4FeSO 溶液的pH 4>而ⅱ中溶液pH <3（2分，合理即可、不求全）（4）pH 对3+Fe 与SCN -的显色反应有影响（2分，合理即可，不求全） （5）bc （2分，漏选1分）。
湖北省部分重点中学2020届高一数学下学期期中联考
2020年春季湖北省部分重点中学期中联考高一数学试卷考试时间：2020年4月18日上午8:00-10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ba 11< B ．a 2＞b 2 C ．22+1+1a bc c > D ．a|c|＞b|c|2．{}n a 是等差数列，且a 1+a 4+a 7=-12，a 2+a 5+a 8=-6，如果前n 项和n s 取最小值，则n 为（ ）A 、5或6B 、6或7C 、7D 、5 3. 若等比数列{}n a 前n 项和n s =3n a + , 则=a （ ） A 、-3B 、 -1C 、3D 、14．已知等比数列{}n a 满足13a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则345a a a ++等于（ ） A ．33 B ．84 C ．72 D ．1895．不等式组221030x x x ⎧-<⎨-≥⎩的解集是（ ）A ．{}11x x -<< B. {}13x x <≤ C. {}10x x -<≤ D.{}31x x x ≥<或6．如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从D C ,两点测得A 点仰角分别是βααβ<，（），则A 点离地面的高度AB 等于A.()αββα-⋅sin sin sin a B. ()βαβα-⋅cos sin sin aC ()αββα-⋅sin cos sin aD .()βαβα-⋅cos sin cos a7. 在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ． 等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形8. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q >1，若11a b =，20112011a b =，则1006a 与1006b 的大小关系是（ ）A ．10061006a b =B ．10061006a b <C ．10061006a b >D ． 10061006a b ≥9．某人从2020年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( ) A.a(1+r)5 B.r a ［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.ra［(1+r)6-(1+r)］ 10．在△ABC 中，2,2,3π=∠==A BC AB ，如果不等式AC BC t BA ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 ( )A ．[)∞+，1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，C ．(][)∞+⋃∞-，，10D ． [)∞+⋃⎥⎦⎤⎝⎛∞-，，121二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11．在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于 12. 设f(x)=142x+,利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法, 可求得f(－3)+f(－2)+…+f(0)+…+f(3)+f(4)的值为___________________. 13. 已知数列{}n a 满足123231111212222n n a a a a n ++++=+L 则{}n a 的通项公式 14. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮20000千克，乙每次购粮10000元，在两次统计中，购粮方式比较经济的是15．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆一共有 8层花盆，则最底层的花盆的总个数是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
2019-2020学年鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立2.已知向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,6)，且p⃗//q⃗，则|p⃗+q⃗|的值为()A. √5B. √13C. 5D. 133.已知集合A={x∈Z|x2+x−6≤0}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|1≤x≤2}B. {x|1≤x≤3}C. {1,2}D. {1,2，3}4.锐角△ABC中，若tanC=2，则sinAsinB的取值范围是()A. (√22,√2) B. (√33,√3) C. (√55,√5) D. (12,2)5.知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗与b⃗ 的夹角为60°，c⃗=3a⃗+b⃗ ，d⃗=λa⃗−b⃗ ，若c⃗⊥d⃗，则实数λ的值为()A. 72B. −72C. 74D. −746.在△ABC中，若(a+b+c)(c+b−a)=3bc，则角A=()A. 2π3B. 5π6C. π3D. π67.已知集合A={x|x2−5x+6≤0}，B={x||2x−1|>3}，则集合A∩B=()A. {x|2≤x≤3}B. {x|2≤x<3}C. {x|2<x≤3}D. {x|−1<x<3}8.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2AsinC=()A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为1，D 为边BC 上一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,a)，n ⃗ =(sinB,c)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则AD +BC 的取值范围为( ) A. (0,√5+1)B. (2,√5+1]C. (3,√5+1)D. (2,3)10. 将函数的图象向左个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是( )A.B. C.D.11. 下列能判定向量a ⃗ ,b ⃗ 垂直的是( )A. a ⃗ ⋅b ⃗ =0B. a ⃗ =(1,0，3)，b ⃗ =(0,2，0)C. a ⃗ =λb ⃗D. (a ⃗ +b ⃗ )=(a ⃗ −b ⃗ )12. 若一直角三角形的三边长组成公差为 3 的等差数列，则此三边长分别为( )A. 5，8，11B. 9，12，15C. 10，13，16D. 15，18，21二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB =4，BD =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．14. cos15°sin30°cos75°sin150°的值等于______． 15. 已知a ，b 均为正数，且a +b =1，a 2+12ab−1的最小值为______．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，b =4，a =2√3，则△ABC 的面积等于______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知cosα=1√10，α∈(0,π2)，tanβ=2，β∈(0,π2)，求：α+β18.(滚动单独考查)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosA=asinC．若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积．若·=4，求a的最小值．19.若不等式的解集是，(1)求的值；(2)求不等式的解集．20.已知|a⃗|=√2，|b⃗ |=1，a⃗与b⃗ 的夹角为135°．(1)求(a⃗+b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )的值；(2)若k为实数，求|a⃗+k b⃗ |的最小值．21. 已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)={400−6x,0<x ≤408000x −57600x 2,x >40．(Ⅰ)写出年利润f(x)(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．22. (1)已知| |=3，||=4，且与不共线，当为何值时，向量 +与 −互相垂直⋅(2)已知，是两个非零向量，且| |=||=| + |，求向量与 −的夹角．【答案与解析】1.答案：C解析：故答案为C．2.答案：B解析：本题考查了两个平行向量的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，考查了向量模的求法，是基础题．根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模．解：由向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,6)，且p⃗//q⃗，则2×6−(−3)x=0，解得：x=−4．所以q⃗=(−4,6)，则p⃗+q⃗=(2,−3)+(−4,6)=(−2,3)．所以|p⃗+q⃗|=√(−2)2+32=√13．故选B．3.答案：C解析：本题考查一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于简单题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A={x∈Z|−3≤x≤2}={−3,−2,−1,0，1，2}；∴A∩B={1,2}．故选：C．4.答案：C解析：解：由锐角△ABC中，tanC=2.可得：cosC=√11+tan2C =√55，因为锐角△ABC中，0<A<π2，0<B<π2，所以当B=π2时，sinAsinB=sinA=cosC=√55，当A=π2时，sinAsinB=1sinB=1cosC=√5，所以sinAsinB 的取值范围是(√55,√5).故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求得cosC=√55，结合范围0<A<π2，0<B<π2，分类讨论当B=π2时，可得sinAsinB=sinA=cosC=√55，当A=π2时，sinAsinB=1sinB=1cosC=√5，即可求解sinAsinB的取值范围．本题考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由题意c⃗⊥d⃗可得c⃗⋅d⃗=0，又c⃗=3a⃗+b⃗ ，d⃗=λa⃗−b⃗∴3λa⃗2−b⃗ 2+(λ−3)a⃗⋅b⃗ =0又|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗与b⃗ 的夹角为60°∴3λ−4+λ−3=0∴λ=74故选C由题设条件c⃗⊥d⃗可得c⃗⋅d⃗=0，将c⃗=3a⃗+b⃗ ，d⃗=λa⃗−b⃗ 代入，展开，再将|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗与b⃗ 的夹角为60°代入，即可得到关于参数的方程，求出参数的值本题考查平面向量的综合题，解答本题关键是熟练掌握向量垂直的条件，数量积的运算性质，数量积公式，本题属于向量的基本运算题，难度中等．6.答案：C解析：解：已知等式整理得：(a+b+c)(c+b−a)=(b+c)2−a2=b2+c2−a2+2bc=3bc，即b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A为三角形内角，∴A=π3．故选：C．已知等式左边利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cos A，将得出的关系式代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．此题考查了余弦定理，平方差公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7.答案：C解析：解：已知集合A={x|x2−5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，集合B={x||2x−1|>3}{x|x>2或x<−1}，则集合A∩B={x|2<x≤3}，故选：C．根据题意把集合A，B中的不等式分别解出来，然后求出集合A∩B．此题考查集合的定义及两集合的交集，另外还考查了一元不等式的解法，是一道比较基础的题．8.答案：A解析：解：∵△ABC 中，a =4，b =5，c =6， ∴cosC =16+25−362×4×5=18，cosA =25+36−162×5×6=34， ∴sinC =3√78，sinA =√74， ∴sin2A sinC=2sinAcosA sinC=2×√74×343√78=1．故选：A ．利用余弦定理求出cos C ，cos A ，即可得出结论． 本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：B解析：解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD ⊥BD ， ∵向量m ⃗⃗⃗ =(sinA,a)，n ⃗ =(sinB,c)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴csinA =asinB ，ca =cb ，b =c ，锐角△ABC 为等腰三角形． 根据正弦定理得出BC =2RsinA =2sinA ， 在RT △ABD 中，AD =tanB ×BD =cot A2×12BC =1+cosA sinA×2sinA =1+cosA ，所以AD +BC =2sinA +1+cosA =1+√5sin(A +θ)， 其中tanθ=12，θ为锐角(即θ=arctan 12)，A ∈(0,π2)．当sin(A +θ)=1时，取得最大值√5+1，当A →0时，sin(A +θ)→sinθ=√55，此时AD +BC →2．综上所述AD +BC 的取值范围(2,√5+1] 故选：B ．由已知，得出△ABC 为等腰三角形，AD ⊥BD ，利用正弦定理得出AD +BC =f(A)=2sinA +1+cosA =1+√5sin(A +θ)，再利用三角函数性质求范围即可．本题考查三角知识的综合应用，建立AD +BC =f(A)=2sinA +1+cosA 是关键．10.答案：B解析：本题考查正弦函数的图象变换。
2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一下期期中联考数学试题参考答案
高一数学参考答案
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D
D
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1．B 【解析】 A [0, ), B [1, ), A B B ，选 B
2．C 【解析】 cos x , r x2 y 2 42 m2 5, m 3 ，选 C r
0,
3 4
k
2
,
1
4k 1,kZ
，
x [0, ]
时
，
36
2
x [0, ][0, ], f (x)才能单调，1＜ 2,且＝ 4 k 1 , k 1, 2
2
36
17．【解析】（ I ）
f (x)= 3 sin 2x sin2 x 3cos2 x
3 sin 2x cos 2x 2 2sin(2x ) 2 6
2 1 3, 2x y 1 (2x y)( 1 2 ) 1 (2 2 y 4x ) 1 (4 4) 8 ，故选 D
xy
3
xy 3
xy 3
3
11．A 【解析】如图，
| a | sin B | b | sin A CH , OP OC
m
(a b)，CP
m
(a b) ，
36 2020 46 , 2020 45 12 3 2074 ，故选 C
9．D 【解析】
由题意知：y f (x)是奇函数,且关于x 1对称，所以T＝4，f (2019) f (1) 2,
鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 4 页）第 1页
2020年秋鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷
（2）试判断 的单调性，并加以证明；
（3）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22、（本小题满分12分） ， ．
（1）若 是奇函数，求 的取值范围；
（2）当 时， ， ，若 ，求 的值．
A． 关于 中心对称
B． 关于 中心对称
C． 的图象关于 成轴对称的充要条件是函数 为偶函数
D． ，则 为偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是_______．
14、已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的解析式为_______．
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202 0年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高一数学试卷
命题学校：黄石二中 命题教师：袁迁 万莲艳 肖潇 审题教师：黄金龙 巩震 伍莎
考试时间：2020年11月18日上午08：00－10：00试卷满分：150分
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
17、（本小题满分10分）函数 ．
（1）讨论 在区间 上的单调性；
（2）求 在 上的值域．
18、（本小题满分12分）已知集合 ，集合 ．
（1）若 ，且 ，求实数 的取值范围；
2019-2020学年湖北省部分重点中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省部分重点中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是平面上的三个单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )的最小值是( ) A. −2 B. −1 C. −√3 D. 02. 已知点P(x,y)在直线x +2y =3上移动，当2x +4y 取最小值时，过P 点(x,y)引圆C ：(x −12)2+(y +54)2=1的切线，则此切线长等于( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 若非零向量满足//，且，则( )A. 4B. 3C. 2D. 04. 设x >0，y >0，A 、B 、P 三点共线且向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +4y的最小值( ) A. 4 B. 2 C. 9 D. 105. 在△ABC 中，A ：B ：C =2：0.5：0.5，则a ：b ：c =( )A. 2：0.5：0.5B. √2：1：1C. √3：1：1D. 120：30：306. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB =3，AC =4，AD =√11，则球的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 100πD. 144π7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若2ccosC =bcosA +acosB ，则∠C 的值为( )A. 2π3B. 5π6C. π6D. π38. 设a >0，且a ≠1，则函数f(x)=a x +log a (x +1)+1恒过定点( )A. (0,1)B. (0,2)C. (1,1)D. (1,2)9. 在区间[−1,5]上随机地取一个实数a ，则方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根的概率为( )A. 23B. 12C. 38D. 1310. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 是a 、c 的等比中项，且c =2a ，则cosB =( )A. 14B. 34C. √24 D. √2311. 已知△ABC 中，a =4，b =4，∠A =30°，则∠B 等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°12. 已知向量，，如果向量与垂直，则的值为( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于______ ．14. 已知O 是边长为1正四面体ABCD 内切球的球心，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ，z ∈R)，则x +y +z = ______ ．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 若2−m 与m −3同号，则实数m 的取值范围是______ ． 16. 如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为的中点，当正方形绕圆心转动，的最大值是__三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知向量a ⃗ =(√3,−1)，b ⃗ =(12,√32)，(1)求证：a ⃗ ⊥b ⃗ ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ⃗ =a ⃗ +(t 2−3)b ⃗ ，y ⃗ =−k a ⃗ +t b ⃗ 互相垂直，试求函数关系式k =f(t)．18.曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置．当OA自OB按顺时针方向旋转α角时，P和Q之间的距离是xcm.已知CA=25cm，AP=125cm，根据下列条件．求x的值(精确到0.1cm)：(l)α=50°；(2)α=135°．19.如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(Ⅰ)求三棱锥E−PAD的体积；(Ⅱ)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(Ⅲ)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．20.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中c=2b−2acosC．(1)求A；(2)当a=2时，求△ABC面积的最大值．21.(12分)设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．(Ⅰ)求实数的值(Ⅱ)求函数的极值(m>0且m≠1)，22.已知函数f(x)=log m x−3x+3(I)判断f(x)的奇偶性并证明；(II)若m=1，判断f(x)在(3,+∞)的单调性(不用证明)；2(III)若0<m<1，是否存在β>α0，使f(x)在[α,β]的值域为[log m m(β−1),log m(α−1)]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．由题意可得(2a⃗+c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=−c⃗·(2a⃗−b⃗ )≥−√3当且仅当c⃗与(2a⃗−b⃗ )方向相同时，取等号，即可得出答案．解：∵a⃗，b⃗ ，c⃗是平面上的三个单位向量，且a⃗⋅b⃗ =12，∴(2a⃗+c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=2a⃗⋅b⃗ −2a⃗⋅c⃗+c⃗⋅b⃗ −c⃗2=2×12−c⃗·(2a⃗−b⃗ )−1=−c⃗·(2a⃗−b⃗ )=−|c⃗|√4|a⃗|2−4a⃗·b⃗ +|b⃗ |2·cos<c⃗,2a⃗−b⃗ >≥−1⋅√3=−√3，∴当且仅当c⃗与(2a⃗−b⃗ )方向相同时，取等号，故选C．2.答案：D解析：解：∵x+2y=3，2x+4y=2x+22y≥2√2x+2y=4√2，当且仅当x=2y=32时，等号成立，∴当2x+4y取最小值4√2时，P点的坐标为(32,34 )，点P到圆心C的距离为CP=√(32−12)2+(34+54)2=√5，大于圆的半径1，故切线长为√CP2−R2=√5−1=2，故选：D．由条件利用基本不等式可得当2x+4y取最小值时，P点的坐标为(32,34)，再根据CP=√(32−12)2+(34+54)2=√5，大于圆的半径1，由此求得圆的切线长为√CP2−R2的值．本题主要考查基本不等式的应用，点到直线的距离公式，直线和圆相切的性质，属于基础题．3.答案：D解析：试题分析：非零向量//，若所以存在实数使得.又，所以．考点：共线向量基本定理、向量的数量积4.答案：C解析：解：∵A 、B 、P 三点共线且向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x +y =1， ∵x >0，y >0，∴1x+4y=(1x+4y)(x +y)=5+yx+4x y≥5+2√y x⋅4x y=9，当且仅当y x =4x y，即y =2x 时，取等号，∴1x +4y 的最小值为9．故选C ．利用三点共线，可得x +y =1，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论． 本题考查三点共线，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，确定x +y =1是关键．5.答案：C解析：本题主要考查正弦定理的应用，根据条件求出A ，B ，C 的大小是解决本题的关键． 根据角之间的关系求出A ，B ，C 的大小，利用正弦定理即可求出边之间的关系． 解：∵A ：B ：C =2：0.5：0.5， ∴A =120°，B =C =30°，∴根据正弦定理可知a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =sin120°：sin30°：sin30°=√32：12：12=√3：1：1．故选C ．6.答案：A解析：解：∵A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB =3，AC =4，AD =√11， ∴可以判断：以AB 、AC 、AD 为棱长的长方体，∴体对角线长为√32+42+11=√36=6，外接球的直径为6，半径为3，∴球的表面积为4π×32=36π，故选：A以AB、AC、AD为棱长的长方体，内接于球，根据体对角线长为外接球的直径，得出半径，求解面积．本题考查了空间几何体的性质，运用求解体积，面积，属于中档题．7.答案：D解析：解：因为2ccosC=bcosA+acosB，由正弦定理可得，2sinCcosC=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC，，所以cosC=12∵0<C<π，π．∴C=13故选：D．由已知结合正弦定理进行化简可求cos C，进而可求C．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．8.答案：B解析：解：令x=0，则f(0)=1+0+1=2，故函数f(x)=a x+log a(x+1)+1恒过定点(0,2)，故选：B．根据指数函数和对数函数的图象与性质，即可求出f(x)所过的定点坐标．本题考查了指数函数和对数函数图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：C解析：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据二次函数根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键．根据根与系数之间的关系，求出a 的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：若方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根， 则满足{△=4a 2−4(4a −3)=4(a 2−4a +3)≥04a −3>02a >0, 即{a ≥3或a ≤1a >34a >0，得34<a ≤1或a ≥3，∵−1≤a ≤5则对应的概率P =1−345−(−1)+5−35−(−1)=124+13=38， 故选C ．10.答案：B解析：解：∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ， 又c =2a ， ∴b 2=2a 2， 则cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a×2a=34．故选：B ．由等比数列的性质可得b 2=ac ，又c =2a ，可得b 2=2a 2，利用余弦定理即可得出答案． 本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：试题分析：解：∵a =4，b =4，∠A =30°，∴根据正弦定理，，又B 为锐角，则∠B =60°或120°；故选D考点：正弦定理点评：此题考查了正弦定理，等腰三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键12.答案：C解析：试题分析：，，，由于向量与垂直，所以，故选C ．考点：1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算13.答案：2√3解析：解：由三视图知该几何体为棱锥S −ABD ，其中SC ⊥平面ABCD ； 几何体的直观图如下所示：四面体S −ABD 的四个面中SBD 面的面积最大， 三角形SBD 是边长为2√2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为√34×8=2√3．故答案为：2√3由已知画出几何体的直观图，分析出四个面中的最大值，求出面积可得答案． 本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．14.答案：34；12解析：解：设正四面体的高为AM ，延长DM 交BC 于E ，则E 为BC 的中点． ∴DE =√32，DM =23DE =√33，∴AM =√AD 2−DM 2=√63． 设内切球半径为r ，则V A−BCD =13S △BCD ⋅AM =4×13×S △BCD ⋅r ．∴r =AM 4=√612.∴OM =√612 以M 为原点，建立如图所示的空间坐标系M −xyz ， 则A(0,0，√63)，B(12,−√36,0)，C(−12,−√36,0)，D(0,√33,0)，O(0,0，√612). ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−√64)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√36,−√63)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√36,−√63)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√33,−√63). ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{ 12x −12y =0−√36x −√36y +√33z =0−√63x −√63y −√63z =−√64，解得x =y =z =14． ∴x +y +z =34．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√64×√63=12． 故答案为：34，12．根据正四面体的性质求出棱锥的高，根据等体积法求出内切球的半径，建立坐标系，求出各向量的坐标，代入坐标运算即可解出．本题考查了平面向量在几何中的应用，属于中档题． 15.答案：(2,−3)解析：解：当2−m 与m −3同号时，(2−m)(m −3)>0，即(m −2)(m −3)<0，解得2<m <3；∴实数m 的取值范围是(2,−3)．故答案为：(2,−3)．又2−m 与m −3同号，得出(2−m)(m −3)>0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．16.答案：6.解析：解：由题意可得， ∵ME ⊥MF ，，由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为故答案为6．17.答案：证明：(1)∵a⃗⋅b⃗ =√3×12−1×√32=0，∴a⃗⊥b⃗ ．解：(2)∵x⃗ ⊥y⃗，∴(a⃗+(t2−3)b⃗ )⋅(−k a⃗+t b⃗ )=0，∴−k a⃗2+t(t2−3)b⃗ 2=0．∵a⃗2=4，b⃗ 2=1，∴−4k+t(t2−3)=0，即k=t3−3t4．∴f(t)=t3−3t4．解析：(1)计算数量积，观察数量积是否为0．(2)令x⃗ ⋅y⃗=0，整理出k关于t的函数．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．18.答案：解：由题意，PQ=x=OQ−OP=OA+AP−OP=150−OP．∴在三角形APO中利用余弦定理得：AP2=OA2+OP2−OA⋅OPcosα，∴1252=252+OP2−2×25⋅OPcosα①，(1)α=50°时，将α=50°代入①式得OP≈139.6，∴x≈10.4cm．(2)α=135°时，将α=135°代入①式得OP≈106.1，∴x≈43.9cm．解析：经分析，PQ=x=OQ−OP=OA+AP−OP=150−OP，然后根据给的条件在三角形APO 中利用余弦定理列出关于x的方程，解出方程即可．本题考查了余弦定理在实际问题中的应用，将已知条件边角化，集中在一个三角形中求解是此类问题的一般思路．19.答案：解：(Ⅰ)三棱锥E−PAD的体积V=13PA⋅S△ADE=13PA⋅(12AD⋅AB)=√36.(4分)(Ⅱ)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．(5分)∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF//PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF//平面PAC.(8分)(Ⅲ)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE.(10分)又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE．∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE.(12分)解析：本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，(Ⅰ)利用换底法求V P−ADE即可；(Ⅱ)利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；(Ⅲ)通过证明AF⊥平面PBE即可解决．无论是线面平行(垂直)还是面面平行(垂直)，都源自于线与线的平行(垂直)，这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行(垂直)关系，再从结论入手分析所要证明的平行(垂直)关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．20.答案：解：(1)∵c=2b−2acosC，∴由正弦定理可得：sinC=2sinB−2sinAcosC，∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=2cosAsinC，又∵sinC≠0，∴cosA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵cosA=12=b2+c2−42bc，∴b2+c2=bc+4，又∵b2+c2=bc+4≥2bc，即：bc≤4，(当且仅当b=c=2时取等号)∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√3，可得△ABC面积的最大值为√3．解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2cosAsinC，结合sinC≠0，可求cosA=12，由范围A∈(0,π)，可得A的值．(2)由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1，故f′(x)=6x2+2ax+b，从而，从而由条件可知，解得a=3，又由于f′(1)=0，即6+2a+b=0，解得b=−12．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2−12x+1，f′(x)=6x2+6x−12=6(x−1)(x+2)，令f′(x)=0，得x=1或x=−2，当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,−2)上是增函数；当x ∈(−2,1)时，f′(x)<0，f(x)在(−2,1)上是减函数；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上是增函数．从而f(x)在x =−2处取到极大值f(−2)=21，在x =1处取到极小值f(1)=−6．解析：本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．(Ⅰ)先对f(x)求导，f(x)的导数为二次函数，由对称性可求得a ，再由f′(1)=0即可求出b ； (Ⅱ)对f(x)求导，分别令f′(x)大于0和小于0，即可解出f(x)的单调区间，继而确定极值．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)是奇函数；证明如下：由x−3x+3>0解得x <−3或x >3，所以f(x)的定义域为(−∞,−3)∪(3,+∞)，关于原点对称．∵f(−x)=log m −x−3−x+3=log m x+3x−3=log m (x+3x−3)−1=−f(x)，故f(x)为奇函数/(Ⅱ)任取x 1，x 2∈(3,+∞)且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=log m x 1−3x 1+3−log m x 2−3x 2+3=log m (x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)，∵(x 1−3)(x 2+3)−(x 1+3)(x 2−3)<0，∴(x 1−3)(x 2+3)<(x 1+3)(x 2−3)，即(x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)<1，当m =12时，log 12(x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)<0，即f(x 1)<f(x 2). 故f(x)在(3,+∞)上单调递减．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当0<m <1时，f(x)在[α,β]上单调递减．假设存在β>α>0，使f(x)在[α,β]的值域为[log m m(β−1),log m (α−1)]．则有{log m α−3α+3=log m m(α−1)log m β−3β+3=log m m(β−1)，∴{α−3α+3=m(α−1)β−3β+3=m(β−1)． 所以α，β是方程x−3x+3=m(x −1)的两正根，整理得mx 2+(2m −1)x −3m +3=0在(0,+∞)有2个不等根α和β．令ℎ(x)=mx 2+(2m −1)x −3m +3，则ℎ(x)在(0,+∞)有2个零点，{ 0<m <1．ℎ(0)>0,−2m−12m >0,ℎ(−2m−12m )<0,解得0<m <2−√34，故m 的取值范围为(0,2−√34)．解析：(Ⅰ)先判断函数的奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明；(Ⅱ)根据函数单调性的定义判断；(Ⅲ)先假设存在，然后根据函数的单调性建立方程组，将其转化为二次函数根的分布问题来求解． 本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域、零点等问题，属于中档题目．。
湖北省高一下学期期中联考数学试题 Word版含解析
数学
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
4
28
令 kπ π π ，解得 k 1 Z ，不合题意；
பைடு நூலகம்2 84
4
令 kπ π π ，解得 k 0 Z ，符合题意； 2 88
故 C 正确，D 错误；
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一
个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 S1 ，小正方形的
0
，则 cos
A
0 ，由
A0, π
，则 A
为锐角，
但△ABC 不一定为锐角三角形，故 D 错误； 故选：C
2. 已知 A3, 2 ， B 1, 5 ， C 1, 2 ，则 cos BAC （）
A. 2 5 25
B. － 2 5 25
C. 5 25
D. － 5 25
【答案】B
【解析】
【分析】确定
AB
B. 4 3 5
C. 4 3 3 5
D. 4 3 3 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得 3 sin C sin A sin Asin C ，得到 2
cos A 2
3 ，求得 A π ，再由 tan B 3 ，求得 sin B, cos B 的值，由 sin C sin( A B) 求得 sin C 的
2020年湖北省高一(下)期中数学试卷解析版
10. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国 的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给 出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四
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个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的 锐角为 α，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为 ，则锐角 α=（ ）
则 λ=（ ）
A. -1
B. -2
C. -2 或 1
D. -1 或 2
5. 已知
，则 f（x）的值域是（ ）
A. [1，2]
B.
C. [-∞，2]
D. [-2，2]
6. 已知
A. a＞b＞c
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
B. b＞a＞c
C. c＞b＞a
D. c＞a＞b
7. 已知向量 ， 满足| |=2， ⋅（ - ）=-3，则 在 方向上的投影为（ ）
21. 若定义域为 R 的函数 （Ⅰ）求 a，b 的值；
是奇函数．
（Ⅱ）若对任意的 x∈R，不等式
范围．
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恒成立，求 λ 的取值
22. 已知 α，β 为锐角，tanα=
．
（Ⅰ）求 cos2α 的值； （Ⅱ）求 tanβ 的值．
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1.【答案】B
答案和解析
题的关键
2.【答案】B
【解析】【分析】 本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题． 根据特殊值法判断 A，C、D，根据不等式的性质判断 B． 【解答】 解：对于 A，若 c=0，不成立， 对于 B，若 a＜b＜0，两边同乘以 a，得 a2＞ab，故 B 正确， 对于 C，令 a=-1，b=1，显然不成立， 对于 D，令 a=2，b=1，显然不成立， 故选：B．
2023-2024学年湖北省鄂东南高一下册期中联考数学试题(含解析)
2023-2024学年湖北省鄂东南高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0,A a =，{}2,aB b =，若{}0,1,2A B = ，则b =（）A ．0B ．1C ．0或1D ．2【正确答案】C【分析】利用并集的计算方法讨论即可.【详解】由题意可得：若1a =，则22a =，此时{}0,1A =，{}2,B b =，若{}0,1,2A B = ，则1b =或0b =符合题意；若2a =，则{}4,B b =，不符合题意.故选:C 2．若复数()iR 1ia z a -=∈+是纯虚数，则z 的共轭复数z =（）A ．－1B ．－iC ．iD ．1【正确答案】C【分析】由复数的乘、除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可得出答案.【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z ----+===-++-，因为复数()iR 1ia z a -=∈+是纯虚数，所以1a =，则i z =-，所以i z =.故选：C.3．“π2ϕ=-”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】根据充分必有条件的定义求解.【详解】若π2ϕ=-，则()ππsin sin sin cos 22y x x x xϕ⎛⎫⎛⎫=+=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数；若()sin y x ϕ=+是偶函数，对于任意的x ，有()()sin sin x x ϕϕ-+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ϕϕϕϕ-=+，2sin cos 0x ϕ=，πcos 0,π2k ϕϕ==+()k ∈Z ，不能推出π2ϕ=-，所以“π2ϕ=-”是“()sin y x ϕ=+是偶函数”的充分不必有条件；故选：A.4．下列各式中，其值为12的是（）A ．22ππcos sin 1212-B ．21tan 22.521tan 22.5-C ．sin15cos15D【正确答案】D【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式化简，即可求解.【详解】由余弦的倍角公式，可得22ππππcos sin cos 2cos 12121262⎛⎫-=⨯==⎪ ⎭⎝，所以A 不正确；由正切的倍角公式，可得21tan 22.521tan 22.5- 212tan 22.511tan 4541tan 22.544=⋅==-，所以B 不正确；由正弦的倍角公式，可得111sin15cos152sin15cos15sin 30224=⨯=⨯=，所以C 不正确；12===，所以D 正确.故选：D.5．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为22719232xt ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（）℃的环境中．（附：lg 20.301≈，lg 70.845≈，答案采取四舍五入精确到0.1）A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7【正确答案】A【分析】解不等式2279619232x t ⎛⎫⨯ ⎪⎭>=⎝即得解.【详解】由题得77322322221196,,log =log 22771923232222x x t x ⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>∴>∴-，所以732lg 2log 2=0.456,10.03222lg 75lg 2x x <--≈∴<-.所以应储藏在温度低于10.0C 的环境中.故选：A6．已知向量()1,2a =r，()4,b t =-r ，则下列说法错误的是（）A ．若a b ∥，则8t =-B ．min 5a b -= C ．若a b a b +=-，则2t =D ．若a 与b的夹角为钝角，则2t <【正确答案】D【分析】根据向量平行、模长的坐标公式以及数量积的几何意义一一判断求解.【详解】对于A ，若a b ∥，则有142t ⨯=-⨯，所以8t =-，A 正确；对于B ，因为()1,2a =r ，()4,b t =-r ，所以(5,2)a b t -=-，所以a b -== 2t =时，min 5a b -= ，B 正确；对于C ，(3,2)a b t +=-+，所以a b +=又a b -= ，由a b a b +=-=2t =，C 正确；若a 与b的夹角为钝角，则420a b t ⋅=-+< ，即2t <，又a 与b 不能共线，由A 选项可知，当8t =-时，4b a =- ，此时a 与b共线且反向，所以若a 与b的夹角为钝角，则2t <且8t ≠-，D 错误.故选：D.7．将函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0πm m <<个单位长度后得到()f x 的图象．若()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】原题意等价于π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π5π,66m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，根据单调性，结合余弦函数的性质写出关于m 的不等式组，求解即得.【详解】原题意等价于π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π5π,66m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，∵π5π,66x m m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴πππ632m x m --<-<，又∵0πm <<，∴7πππππ66322m x m -<--<-<<，结合余弦函数可得ππ6π02m m ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得π5π26m ≤≤，∴m 的取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎣⎦.故选：D.8．已知△ABC 满足2AB AC =，4BC =，则△ABC 面积的最大值为（）A．3B ．163C．3D ．83【正确答案】B【分析】设,2AC x AB x ==，利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为=△ABC S ，根据x 的范围即可讨论最大面积.【详解】设,2AC x AB x ==，所以1sin 2sin 22ABC S BC AC C x C x =⋅==△又由余弦定理得2222163cos 28BC AC AB x C BC AC x+--==⋅，所以22==△ABCS 由三角形的三边关系可得2442x x x x+>⎧⎨+>⎩解得443x <<，所以当280,9x x =163，故选：B.二、多选题9．已知复数1z ，2z ，则下列结论中错误的是（）A ．若120z z +=，则12=z z B ．若22120z z +=，则120z z ==C ．若2212z z =，则12=±z z D ．若12=z z ，则2212z z =【正确答案】BD【分析】根据复数运算的规则，逐项分析即可.【详解】设1112221122i,i ,,,R z a b z a b a b a b =+=+∈，，对于A ，有()()12121212121i 0,,,a a b b a a b b z z z +++=∴=-=-===，正确；对于B ，若22120z z +=，则有()()22222222112211112222112202i 2i 0,220a b a b a b a b a b a b a b a b ⎧-+-=-++-+=∴⎨+=⎩，比如12,1i 1i z z =+=-，则有22120z z +=，但120,0z z ≠≠，错误；对于C ，若2212z z=，则有222211221122a b a b a b a b ⎧-=-⎨=⎩①②，不妨设1122a b a b k ==，并且120,0b b ≠≠，则11k a b =，22k a b =代入①，整理得()22221221210k b b b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴2221b b =，121212,,b b a a z z =±∴=±=±；若10b =，则20a =或20b =，若20a =代入①得22121212,0,0,0a b a b z z =-∴====，若20b =代入①得22121212,,a a a a z z ==±=±，综上，C 正确；对于D ，若12=z z ，表示12,z z 在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出2212z z =，比如1212i,2i z z =+=+，则12z z ===，2222121234i,34i,z z z z =-+=+≠，错误；故选：BD.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当0=t ，盛水筒M 位于点(03,P -，经过t 秒后运动到点(),P x y ，点P 的纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），则下列叙述正确的是（）A ．筒车转动的角速度πrad /s 30ω=B ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为-C ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点0P 的水平距离为D ．盛水筒M 第一次到达最高点需要的时间是25秒【正确答案】ABD【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】A ：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，所以2ππrad /s 6030ω==，因此A 正确；B ：因为当0=t 时，盛水筒M 位于点0(3,P -，所以6R =，所以有(0)6sin sin f ϕϕ==-=-π2ϕ<，所以π3ϕ=-，即()ππ6sin 303f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ππ4π506sin 506sin 630332f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 正确；C ：由B 可知：盛水筒M 的纵坐标为-x ，63x =⇒=±，因为筒车旋转50秒时，所以此时盛水筒M 在第三象限，故3x =-，盛水筒M 和初始点0P 的水平距离为3(3)6--=，因此C 错误；D ：因为(]πππ250,603032t t -=⇒=∈，所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M 第一次到达最高点所需要的时间是25s ，因此D 正确.故选：ABD.11．已知函数()()22log 22f x ax ax =-+,下列说法正确的是()A ．若()f x 定义域为R ,则()0,2a ∈B ．若()f x 值域为R ,则2a ≥C ．若()f x 最小值为0,则1a =D ．若()f x 最大值为2,则2a =-【正确答案】BCD【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可.【详解】对于A ，若函数()f x 定义域为R ,则2220ax ax -+>恒成立,当0a =时,20>恒成立,满足题意,当0a ≠时,则有2Δ480a a a >⎧⎨=-<⎩,解得02a <<,所以实数a 的取值范围为[0,2),故选项A 错误；对于B ，若函数()f x 值域为R ,则222ax ax -+能取尽大于零的所有实数，当0a =时,2222ax ax -+=,不满足题意，当0a ≠时,则有2Δ480a a a >⎧⎨=-≥⎩,解得2a ≥，所以若()f x 值域为R ,则2a ≥,故选项B 正确；对于C ，若函数()f x 最小值为0,则222y ax ax =-+有最小值1，由二次函数的图象和性质得0221a a a >⎧⎨-+=⎩,解得1a =,故选项C 正确;对于D ，若函数()f x 最大值为2,则222y ax ax =-+有最大值4,由二次函数的图象和性质得0224a a a <⎧⎨-+=⎩,解得2a =-,故选项D 正确.故选:BCD.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若()y g x =的图象关于直线2x =对称，()24g =，则下列结论正确的是（）A ．()36g =B ．()11f -=-C ．()11f =D ．()202312025k f k ==-∑【正确答案】ABD【分析】根据抽象函数的奇偶性，对称性，结合条件，化简变形，再利用赋值法，判断ABC ；判断函数的周期性，结合条件，即可判断D.【详解】由题意知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，∵()y g x =的图象关于直线x ＝2对称，则()()22g x g x -=+，∵()()25f x g x +-=，∴()()25f x g x -++=，∴()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，由()()47g x f x --=，得()()227g x f x -=--+，代入()()25f x g x +-=，得()()22f x f x +--=-，令=1x -，则()()112f f -+-=-，∴()11f -=-，则()11f =-，故B 正确，C 错误；因为()()25f x g x +-=，令=1x -，则()()135f g -+=，即()36g =，A 正确；由()()f x f x -=，故()()22f x f x --=+，故由()()22f x f x +--=-得()()22f x f x ++=-，∴()()242f x f x +++=-，故()()4f x f x +=．所以()f x 是以4为周期的周期函数，由()24g =，()()25f x g x +-=，令0x =，则()()025f g +=，得()01f =，则()()401f f ==，又()()22f x f x ++=-，令0x =得()()022f f +=-，得()23f =-，又()()()33411f f f =-=-=-，故()()()()()()()()202315051234123k f k f f f f f f f =⎡⎤=++++++⎣⎦∑()50513111312025=---+---=-，D 正确．故选：ABD ．本题考察抽象函数的性质，以及化简变形，本题的关键是抽象函数性质的相关等式的变形，以及采用赋值法，可以赋值变量，也可以赋值常数.三、填空题13．已知()22log 1,011,03xx x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎛⎫+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()()1f f -的值为_______________．【正确答案】5【分析】代入求解分段函数的函数值.【详解】∵11(1)()13143f --=+=+=，∴2422((1))(4)log 41log 21415f f f -==+=+=+=故答案为.514．已知向量()1,2a =r ，()1,2b =- ，则a 在b方向上的投影向量坐标是_______________．【正确答案】36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为()1,2a =r，()1,2b =- ，所以a 向量在b方向的投影向量为()36,55a b b b b⋅⎛⎛⎫⋅==- ⎪ ⎝⎭⎝.故答案为.36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭15．在ABC 中，12sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =_______________．【正确答案】3365或6365【分析】利用同角三角函数关系式先求出cos A ，sin B 的值，再利用()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦展开求解即可.【详解】在ABC 中，0πB <<，3cos 5B =，所以4sin 5B ==，又0πA <<，12π2πsin sin sin13233A =>==，所以π2π33A <<，所以5cos 13A ==±，当5cos 13A =时，()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+531243313513565=-⨯+⨯=，当5cos 13A =-时，()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B=-+531246313513565骣琪=--´+´=琪桫，故3365或6365.16．在OAB 中，3OA OC =，2OB OD = ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段OA ，OB 于E ，F 两点，若OE OA λ= ，OF OB μ=λ0μ>，则2λμ+的最小值为_______________．【正确答案】85##1.6【分析】以,OA OB 为基底，求出OM的表达式，再利用基本不等式求解.【详解】如图：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t ，使得()()1112OM tOA t OD tOA t OB =+-=+-，由B ，M ，C 三点共线，可得存在实数m ，使得()()1113OM mOB m OC mOB m OA =+-=+-，所以()()113112t m t m⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2515m t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155OM OB OA =+ ，因为E ，M ，F 三点共线，所以存在实数x ，使得()()11OM xOE x OF x OA x OB λμ=+-=+-，所以()21515x x μλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12155λμ+=，所以()121414822224255555μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++++⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，当且仅当45μ=，2=5λ时，取等号；故85四、解答题17．求值：(1)(213103353173322248---⎛⎫⎛⎫++-⨯+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2ln3427elog 9log 8lg4lg25-⋅++．【正确答案】(1)3(2)10【分析】根据指对幂的运算规则计算.【详解】（1）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=；（2）原式ln 923elog 3log 2lg10091210=-⋅+=-+=；综上，（1）原式=3；（2）原式=10.18．已知函数())sin sin f x x x x =+⋅．(1)当2ππ2πk x k ≤≤+，Z k ∈时，将函数解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式；(2)若当ππ22x -≤≤时，()4log 0f x a +<成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭(2)108a <<【分析】（1）去绝对值后，利用降幂公式，和辅助角公式，化简函数解析式；（2）将不等式转化为()4log f x a <-恒成立，转化为求函数()f x 的最大值，即可求解.【详解】（1）当2ππ2πk x k ≤≤+，Z k ∈时，sin 0x ≥．∴())2sin sin sin cos sin f x x x x x x x=++1cos 2π1sin 2sin 22262x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭；（2）()()44log 0log f x a f x a +<⇔<-恒成立①当π02x ≤≤时，由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭∵ππ5π2666x -≤-≤，∴当ππ262x -=即π3x =时，()max 32f x =；②当π02x -≤<时，())()2sin sin cos sin f x x x x x x x=+-=-π1sin 262x ⎛⎫=---⎪⎝⎭7πππ2666x -≤-<-()π1sin 262f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当∴当ππ262x -=-即π6x =-时，()max 21f x =；综上可知，()max 32f x =．依题意得43log 2a ->，解得108a <<，即为所求．19．在△ABC 中，已知2AB =，4AC =，角A 的平分线AD 与BC 交于点D 且43AD =．(1)求AB AC ⋅uu u r uuu r的值；(2)若___，求cos APB ∠．①0PA PB PC ++= ，②PA PB PC == ，③PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，请从这三个条件任选一个，补充到上面问题的横线中解答．【正确答案】(1)4AB AC ⋅=-(2)若选①，1cos 2APB ∠=；若选②，11cos 14APB ∠=；若选③，cos APB ∠=【分析】（1）根据角平分线的性质求出点D 的位置，再利用平面向量求模的方法求解；（2）对3个条件逐一分析，找出点P 的几何意义，建立坐标系求解.【详解】（1）∵AD 平分角A ，由角平分线定理∴2CD ACDB AB==，∴2CD DB = ，设AD AB AC λμ=+，则()()1,1CD AD AC AB AC DB AB AD AB AC λμλμ=-=+-=-=-- ，()()1212AB AC AB AC λμλμ∴+-=-- ，2212λλμμ=-⎧⎨-=-⎩，解得21,33λμ==，∴2133AD AB AC =+ ，222414999AD AB AC AB AC =++⋅ ，164144169999AB AC =⨯+⨯+⋅，解得4AB AC ⋅=-；（2）由1cos 2AB AC A AB AC ⋅==- 及0πA <<，得2π3A =，如图，建立平面直角坐标系xAy，则()0,0A，(B -，()4,0C ．选①，显然条件0PA PB PC ++=表示点P 为ABC 的重心，则AC 的中点()2,0D，(3,BD =，设(),P x y ，根据重心的几何性质有()1,2,1,33PD BD x y ⎛=--=- ⎝⎭，1,x y ∴==，则重心3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2,3PB ⎛=- ⎝⎭ ；2213cos 2PA PBAPB PA PB-∠==；选②，显然条件表示ABC 的外接圆的圆心，则P 在直线2x =上，可设()2,P y，由PA PB ==y =∴2,3P ⎛⎝⎭，2,3PA ⎛=-- ⎝⎭，3,3PB ⎛=-- ⎝⎭所以46113cos 14PA PB APB PA PB+∠==；选③，由条件PA PB PB PC PC PA ==可得：()()0,0PA PC PB PC PB PA -=-= ，0,0CA PB AB PC ==，即点P 是ABC 的垂心，过B 点作AC 的垂线，则垂线方程为=1x -，垂心P 在直线=1x -上，可设()1,P y -，则()1,PA y =-，(5,BC = ，由PA BC ⊥，得50PA BC ⋅=+= ，∴3y =-，∴1,P ⎛- ⎝⎭，PA ⎛= ⎝⎭，PB ⎛= ⎝⎭，403cos PA PBAPB PA PB∠==；20．设函数()π2sin cos 32f x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，若锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆的半径为R ，cos cos a B b A R -=．(1)若()1f A =，求B ；(2)求R cb-的取值范围．【正确答案】(1)π4(2)()1,0-【分析】(1)先利用三角恒等变换化简()f x ，解出5π12A =，再用正弦定理解三角形即可；(2)先得出63ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再利用正弦定理将R c b -化为π2sin 3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质得出范围即可.【详解】（1）由题意得()12sin cos sin 222f x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭)2sin cos 12sin x x x =⋅-1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()π1,sin 21,3f A A ⎛⎫=∴-= ⎪⎝⎭又π02A <<，所以ππ232A -=，解得5π12A =．又根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，有2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，由cos cos a B b A R -=，有2sin cos 2sin cos R A B R B A R -=，得()1sin 2A B -=，因为A ，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ,64A B B -=∴=．（2）由（1）知，π6A B =+，所以()5ππ26C A B B =-+=-，因为π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即ππ062π025ππ0262B B B ⎧<+<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，所以63ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5π12sin 22sin 12sin 1cos 2sin 262sin 2sin 2sin 2sin B R c R R C C B B b R B B B B ⎛⎫-- ⎪----⎝⎭====πsin cos 2sin 3B B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，63ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有ππ,036B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()π2sin 1,03B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以R cb-的取值范围为()1,0-．21．如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A ，B 之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D 测得另一座高塔底部B 和顶部C 的视角为45°（即45BDC ∠=︒），已知两座高塔的高AD 为30m ，BC 为75m ，塔底A ，B 在同一水平面上，且AD AB ⊥，BC AB ⊥．(1)求两座高塔底部A ，B 之间的距离；(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A ，B 之间的点P 处（点P 在线段AB 上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC 最大，问：在距离A 点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？【正确答案】(1)90m(2)在距离A 处()60-米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．【分析】（1）分析图中的几何关系，运用正切的两角和公式求解；（2）设AP t =为变量，运用正切两角和公式和基本不等式求解.【详解】（1）由题知，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，BC ＝75，AD ＝30，如图，作DE ⊥BC ，垂足为E ，则四边形ABED 为矩形，所以BE ＝30，CE ＝45，设AB x =，CDE θ∠=，45BDE θ∠=︒-，则45tan x θ=，30tan 4xπθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，24530tan tan 4tan tan 11350411tan tan 4x x BDC x πθθπθθπθθ⎛⎫+-+⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭∠=+-=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--⋅- ⎪⎝⎭，()()90150x x -+=，190x =，215x =-（舍），∴90x =，两座高塔底部A ，B 之间的距离为90m ；（2）设AP ＝t （0≤t ≤60），则90BP t =-，所以30tan DPA t ∠=，75tan 90BPC t∠=-，所以()()tan tan tan DPC DPA BPC DPA BPC π∠=-∠-∠=-∠+∠23075tan tan 60904530751tan tan 902250190DPA BPC t t t DPA BPC t t t t+∠+∠+-=-=-=⨯-∠⋅∠-+-⋅-，设60t m +=（60≤m ≤150），则60t m =-，所以()()2tan 456090602250mDPC m m ∠=---+4521112502210m m +==+-，当且仅当11250m m=即m =又因为在锐角范围内，tan DPC ∠越大，∠DPC 越大，所以当m =时，∠DPC取得最大值，此时60AP =-，在距离A处()60-米处搭建，才能达到最佳的观赏效果；综上，两座高塔底部A ，B 之间的距离为90m ；在距离A处()60-米处搭建，才能达到最佳的观赏效果.22．已知函数()11ln x f x x x -=-+．(1)求值：()()()111232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论：(3)求证()f x 有且仅有两个零点12x x 、并求12x x 的值．【正确答案】(1)0(2)在()0,1和()1,+∞上单调递增，证明见解析；(3)证明见解析；121=x x ．【分析】（1）计算()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可发现和的规律；（2）利用作差法即可判定其单调性；（3）先根据单调性及零点存在性定理判定有两个零点，再由（1）判定两个零点的关系.【详解】（1）由解析式可得()f x 定义域为：()()011x ∈+∞，，U ，有()1111111ln ln ln ln 011111x x x x f x f x x x x x x x x x ++++⎛⎫+=----= ⎪---⎝⎭-∴()()()111232023020220232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞ ，记为区间D ，()2ln 11f x x x =---在()0,1和()1,+∞上单调递增，证明如下：设1x ∀，2x D ∈，则()()()()()121121212212222ln 1ln 1ln 1111x x x f x f x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=-----=+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭①当1201x x <<<时，112201ln 0x x x x <<∴<，，()()()12122011x x x x -<--∴()()120f x f x -<，于是()()12f x f x <，∴()f x 在()0,1上单调递增；②当121x x <<时，同理可得112201ln 0x xx x <<∴<，，()()()12122011x x x x -<--，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,+∞上单调递增；故()2ln 11f x x x =---在()0,1和()1,+∞上单调递增，（3）由于()f x 在()0,1上单调递增，且22213e0e e 1f -⎛⎫=< ⎪-⎝⎭，120e e 1f ⎛⎫=> ⎪-⎝⎭，∴()f x 在()0,1上有且仅有一个零点1x ；由于()f x 在()1,+∞上单调递增，且()2e 01e f =<-，()222e 3e 0e 1f -=>-，∴()f x 在()1,+∞上有且仅有一个零点2x ．因此()f x 有且仅有两个零点1x 、2x ．由（1）知()1110f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又∵()10f x =，∴110f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设()10,1x ∈，则∴11x 是()f x 在()1,+∞上的零点，而2x 是()f x 在()1,+∞上的唯一零点，∴21211,1x x x x =∴=．本题考查函数的综合，属于压轴题.关键在于发现两个互为倒数的自变量其函数值的关系，以及零点存在性定理的使用.。
2020年湖北省高一(下)期中数学试卷解析版
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知 α 是锐角，那么 2α 是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 小于 π 的正角
D. 第一象限或第二象限
2. 下列三角函数的值大于零的是（ ）
A. cos250°
B. tan（-672°） C.
D. tan3π
3.【答案】D
【解析】解：若 θ 是第二象限角，则 cosθ＜0，tanθ＜0，则 cosθ•tanθ＞0，故 A 错误， 若 θ 是第三象限角，则 cosθ＜0，tanθ＞0，则 cosθ•tanθ＜0，故 B 错误， 若 θ 是第四象限角，则 sinθ＜0，tanθ＜0，则 sinθ•tanθ＞0，故 C 错误， 若 θ 是第三象限角，则 sinθ＜0，cosθ＜0，则 sinθ•cosθ＞0，故 D 正确， 故选：D． 根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可． 本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本 题的关键．
21. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 =（2，1），A（1，0），B（cosθ
，t）． （1）若 ∥ ，且| |= | |，求向量 的坐标； （2）若 ，求 y=cos2θ-cosθ+t2 的最小值．
22. 如图，摄影爱好者 S 在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端 O
D. 不能确定
13. 若| |=1，| |= ，（ - ）• =0，则 与 的夹角为______．
14. 在△ABC 中，B= ，C= ，c=1，则最短边长等于______．
15. 等腰三角形一个底角的余弦为 ，那么顶角的余弦值为______．
2020年秋鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷
A．若 p : n N , n2＞2n ，则 p : n N , n2＜2n
B．若 a＞b＞0, c＜d＜0 ，则 a ＜ b dc
C．使不等式1 1 ＞0 成立的一个充分不必要条件是 x＜1或 x＞1 x
D．若 ai , bi , ci i
1,2是全不为 0 的实数，则“a1
a2
b1 b2
c1 c2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1、已知集合 M x y lg x2 4 , N x 0＜x＜4， CRM N （
）
A． x 2 x＜4
B．x 0＜x＜2
C．x 2 x 2
D．x x＜4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分 10 分）在等差数列an中，已知 a3 5 ，an的前 6 项和 S6 36 . （1）求数列an的通项公式 an ； （2）若______________（填①或②或③中的一个），求数列bn的前 n 项和Tn .
的切线相同（e 是自然对数的底数），则当 m 变化时，实数 a 取以下哪些值能满足以上要求（ ）
A．1
B．e
C．2e
D． e2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13、已知向量
a
1,2,
b
m,3
，若
a
a
b
，则
a
在
b
方向上的投影为_______．
14、有 8 个座位连成一排，现有 5 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_______（用数 字作答）．
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20. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，且 ＝2 ，M 是线段 CE 上一动点．
（1） ＝m +n ，求 m+2n 的值； （2）若 AB＝6， • ＝﹣17，求（ +2 ）• 的最小值．
21. 武汉地铁项目正在如火如茶的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线
处 海里的 C 处的缉私船奉命以 5 海里/小时的速度追
截走私船．此时，走私船正以 5 海里/小时的速度从 B 处按照
北偏东 30°方向逃窜，则缉私船沿（ ）方向能最快追上
走私船
A. 北偏东 30°
B. 北偏东 45°
C. 北偏东 60°
二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
D. 正东
（2）若该线路每分钟的净收益为 Q（t）=
（元），问当发车时间间隔为多
少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
22. 已知 =（ sinωx， ）， =（cosωx，cos2ωx- ），x∈R，ω＞0 且函数 f（x）= ，
y=f（x）的图象的一个对称中心到它的对称轴的最近距离为 .
第 3 页，共 14 页
13. 已知 与 的夹角为 120°，| |=2，| + |= ，则| |=______．
14. 计算：tan70°•cos10°•（1- tan20°）=______． 15. 已知正数 a，b 满足 2ab=2a+b，则 a+8b 的最小值是______． 16. 已知在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列四个论断中正确的是
D. 150°
5. 已知| |=2，（2 - ）⊥ ，则 在 方向上的投影为（ ）
A. -4
B. -2
C. 2
D. 4
6. 已知△ABC 的三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 c=bcosA，则此三角形
必是（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
n＞0，则 =（ ）
A. 3
B. 4
C.
D.
10. 若函数 y=f（x）的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再将整
个函数图象向右平移 个单位，沿 y 轴向下平移 1 个单位，得到函数 y= sinx- cosx
的图象，则 y=f（x）的解析式为（ ）
A. y= sin（2x+ ）+1
B. y= sin（2x+ ）+1
C. y= sin（2x+ ）+1
D. y= sin（2x+ ）+1
11. 在△ABC 中， • =3，其面积 s∈[
A. [ ， ]
B. [ ， ]
]，则 与 夹角的取值范围为（ ）
C. [ ， ]
D. [ ， ]
第 1 页，共 14 页方向，距离 A 处 1 海 里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 60°的方向，距离 A
7. 当 x∈R 时，不等式 kx2-kx+1＞0 恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=7，b=5，c=8，则△ABC
的面积 S 等于（ ）
A. 10
B. 10
C. 20
D. 20
9. 如图，在△ABC 中， =3 ， =m ， =n ，m＞0，
路通车后，列车的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足 10≤t≤30，经市场调研测算， 列车载客量与发车时间间隔 t 相关，当 20≤t≤30 时列车为满载状态，载客量为 500 人，当 10≤t＜20 时，载客量会从满载状态减少，减少的人数与（20-t）的平方成正 比，且发车时间间隔为 12 分钟时的载客量为 244 人，记列车载客量为 P（t）． （1）求 P （t）的表达式，并求当发车时间间隔为 18 分钟时，列车的载客量；
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 下列不等式正确的是（ ）
A. 若 a＞b，则 a•c＞b•c
B. 若 a＞b，则 a•c2＞b•c2
C. 若 a＞b，则 ＜
D. 若 a•c2＞b•c2，则 a＞b
2. 若向量 =（-2，0）， =（2，1）， =（x，1），满足条件 3 与 共线，则 x 的
值为（ ）
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
3. 已知关于 x 的不等式 x2-ax-b＜0 的解集是（-2，3），则 a+b 的值是（ ）
A. -11
B. 11
C. -7
D. 7
4. 在△ABC 中，已知 B=45°，c=2 ，b=4，则角 C=（ ）
A. 60°
B. 30°
C. 30°或 150°
（1）求 f（x）的单调递增区间和对称中心； （2）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（A）= ，sinB= ，a= ，求△ABC 的面积．
第 4 页，共 14 页
1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：A．c≤0 不成立； B．c=0 时不成立； C．取 a=2，b=-1 不成立； D．a•c2＞b•c2，可得 a＞b． 故选：D． 利用不等式的基本性质即可得出． 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
______，（把你认为是正确论断的序号都写上）
①若
，则 B= 或 ；
②若 B= ，b=2，满足条件的三角形恰有一个，则 a 的取值范围是（0，2]
③在 ABC 中，若 cosC= ，bcosA+acosB=2，则△ABC 的外接圆面积为 9π
④若 a=5，c=2，△ABC 的面积 S△ABC=4，则 cosB= ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 17. 已知 α∈（ ，π），且 sinα= ．
（1）求 sin2α 的值 （2）若 sin（α+β）=- ，β∈（0， ），求 sinβ 的值．
18. 已知△ABC 是锐角三角形，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b2+c2=bc+a2． （1）求 A 的大小； （2）若 a= ，求 b+c 的取值范围．
19. 已知函数 f（x）=（ax+a+1）（x-1）（x∈R） （1）若 a=1 解不等式 f（x）＞0； （2）若 a＜0，解关于 x 的不等式（ax+a+1）（x-1）＞0．