人教A版高中一年级数学第一章1.3.2函数的奇偶性教学课件(共16张PPT)
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人教a版高中数学必修1第一章1.3.2函数的奇偶性(2)课件(共10张ppt)
必修 一 集合与函数概念 1.3.2-2 函数的奇偶性(二)
1
知识点复习:
f (x) f (x)
f (x) f (x)
2020/7/4
2
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
2020/7/4
3
1．定义在 R 上的奇函数，必有 f(0)＝ 0 .
2．若奇函数 f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)
(2)设f (x)在R上是偶函数，在区间(, 0)上递增，且有 f (2a2 a 1) f (2a2 2a 3)，求a范围；
(3)设定义在[-2，2]上的偶函数g(x),当x 0时，g(x)单调 递减，若g(1 m) g(m)成立，求m的范围。
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9
例6：定义在R上的函数f (x)对任意实数x、y，恒有
在[－b，－a]上是 增 函数，且有最小值 －M .
3．若偶函数 f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有 f(x)在(0，＋∞)
上是 增 函数. 4．偶函数 y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则 t＝____2____.
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故 t－4＝－t， 得 t＝2.
4
跟踪训练 1 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x－1 1， 求函数 f(x)，g(x)的解析式．
是定义在（-3,1）上的奇函数，
且f
1 ()
2
.
25
(1)确定函数f ( x)的解析式；
(2)用定义证明：f ( x)在（-1,1）上是增函数；
(3)解不等式：f (t 1) f (t) 0.
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8
例5、(1)定义在区间[ 2, 2]上的奇函数f (x)在区间[0，2]上 是减函数,并且满足f (m) f (m 1) 0, 求m的取值范围；
1
知识点复习:
f (x) f (x)
f (x) f (x)
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f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
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1．定义在 R 上的奇函数，必有 f(0)＝ 0 .
2．若奇函数 f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)
(2)设f (x)在R上是偶函数，在区间(, 0)上递增，且有 f (2a2 a 1) f (2a2 2a 3)，求a范围；
(3)设定义在[-2，2]上的偶函数g(x),当x 0时，g(x)单调 递减，若g(1 m) g(m)成立，求m的范围。
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例6：定义在R上的函数f (x)对任意实数x、y，恒有
在[－b，－a]上是 增 函数，且有最小值 －M .
3．若偶函数 f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有 f(x)在(0，＋∞)
上是 增 函数. 4．偶函数 y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则 t＝____2____.
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故 t－4＝－t， 得 t＝2.
4
跟踪训练 1 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x－1 1， 求函数 f(x)，g(x)的解析式．
是定义在（-3,1）上的奇函数，
且f
1 ()
2
.
25
(1)确定函数f ( x)的解析式；
(2)用定义证明：f ( x)在（-1,1）上是增函数；
(3)解不等式：f (t 1) f (t) 0.
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例5、(1)定义在区间[ 2, 2]上的奇函数f (x)在区间[0，2]上 是减函数,并且满足f (m) f (m 1) 0, 求m的取值范围；
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
高一数学新人教版(A版)必修第1册《3.2.2 函数的奇偶性》精品课件
数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数也不是偶函数.
(5)函数的定义域关于原点对称.因为f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以函数f(x)既是奇函
数又是偶函数..
例4 下列图像表示的函数中具有奇偶性的是 ( B )
A
B
C
D
[解析] 选项A中的图像不关于原点或y轴对称,故排除;
选项C,D中的图像对应的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;
于 y轴 对称.
例1 用偶函数的定义判断函数 =
− ≤ ≤ 是不是偶函数.
解：因为 − = (−) = = 恒成立，所以 是偶函数.
正解：因为定义域 −, 不关于坐标原点对称，所以 不是偶函数.
实际上，若画出此函数图象(如下图)，则图象不关于y轴对称，所以不是偶函数.
选项B中的图像关于y轴对称,其对应的函数是偶函数.故选B.
偶函数
定义
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果
∀x∈I,都有-x∈I,且 f(-x)=f(x) ,那么 ∀x∈I,都有-x∈I,且 f(-x)=-f(x) , 那么
函数f(x)就叫作偶函数.
奇函数的图象关于 原点 对称.
根据奇函数的定义或图象特征，若函数 为奇函数， 等于多少？
若 = 在奇函数 的定义域内，则 − = − ⇒ = .但是不
能说奇函数一定有 = ，因为 = 可能不在定义域内.(例如 = .)
例2 用奇函数的定义判断函数 = − ≤ ≤ 是不是奇函数.
人教A版数学必修1第1章1.3.2 奇偶性(共20张PPT)
你发现了什么？
如何用数学语言来准确表述函数的奇偶性？
函数 y=f(x) 的定义域为A，对任意的 x A，都
有 f (x) f (x) 则称函数 y=f(x) 是偶函数
观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性 y
p(x0 ,f(x0))
- x0
o x0
x
P/(- x0 ,f(- x0))
y 5
o
x
(4). f(x)=0
解: 定义域为R ∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x) ∴f(x)为既奇又偶函数
y
o
x
结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又 偶函数。
（5） f x x
解: 定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数 (6) f(x)=x2+x 解: ∵f(-1)=0,f(1)=2 ∴f(-1)≠f(1) ，f(-1)≠-f(1) ∴f(x)为非奇非偶函数
的奇偶性
课后思考题
1、当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数
2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0） 是偶函数
课堂小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x) 2、两个性质：
f(x)为偶函数
⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。
练习1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f x x 1
x
(3). f(x)=5
（5） f x x
(2) f(x)= - x2 +1 (4). f(x)=0 (6) f(x)=x2+x
如何用数学语言来准确表述函数的奇偶性？
函数 y=f(x) 的定义域为A，对任意的 x A，都
有 f (x) f (x) 则称函数 y=f(x) 是偶函数
观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性 y
p(x0 ,f(x0))
- x0
o x0
x
P/(- x0 ,f(- x0))
y 5
o
x
(4). f(x)=0
解: 定义域为R ∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x) ∴f(x)为既奇又偶函数
y
o
x
结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又 偶函数。
（5） f x x
解: 定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数 (6) f(x)=x2+x 解: ∵f(-1)=0,f(1)=2 ∴f(-1)≠f(1) ，f(-1)≠-f(1) ∴f(x)为非奇非偶函数
的奇偶性
课后思考题
1、当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数
2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0） 是偶函数
课堂小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x) 2、两个性质：
f(x)为偶函数
⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。
练习1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f x x 1
x
(3). f(x)=5
（5） f x x
(2) f(x)= - x2 +1 (4). f(x)=0 (6) f(x)=x2+x
人教A版数学必修一1.3.2第1课时函数奇偶性的概念.pptx
2．奇偶函数图象特点 (1)奇函数的图象关于对原称点； (2)偶函数的图象关于对y称轴．
(5)奇函数的图象一定过原点吗？ 提示：不一定，若0在定义域内，则图象一定过原点，否则 不过原点．
函数奇偶性的判断
(1) 函 数 根 据 奇 偶 性 分 为 ： 奇 函 数 ， 偶 函 数 ， 既 奇 又 偶 函 数，非奇非偶函数．
2．判断函数 f(x)＝xx＋－5522－－44，，xx∈∈[－1，6，6 －1] 的奇偶性．
解：f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称． 当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，f(－x) ＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)， 当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，f(－x) ＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)，
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (3)f(x)＝|x＋42－|－x22．
解：(1)函数定义域为 R， 又 f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． (2)由1x2－－x12≥≥00 ，得 x＝±1， 此时 f(x)＝0，x∈{－1,1}． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
6分
又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|
＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
8分
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，10分 不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．12分
【借题发挥】(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断
f(－x)与 f(x)的关系，既可以从 f(－x)开始化简，也可以去考虑 f(－
人教A版数学必修一1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念.pptx
因为对于定义域内的每一个x，都有
f (x) x 1 (x 1) f (x),
x
x
所以，函数 f (x) x为奇1函数. x
(4)函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点
对称，故函数 f(x)不具有奇偶性.
【变式练习】
（1）判断函数 f (x) 1 x3 5x 的奇偶性.
1.函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是( C )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
【提示】∵x∈［-1,2］，不关于原点对称.
2.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶 函数，则a=____8___. 【解析】∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)的定义域关于 原点对称，∴3-a+5=0，∴a=8
.由于
(2)由于奇函数的图象关于 坐标原点对称，只要在函数 图象上找点作出这些点关于 坐标原点的对称点，描点即 可作出函数在整个定义域上 的图象.如图
【提升总结】
用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是： （1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是 x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关 于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原 点对称的，则这个函数不具备奇偶性. （2）验证f(-x)=f(x) ，或者f(-x)=-f(x). （3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
叫做偶函数. 例如，下图：
对定义域内 任意的自变
量x都有
f (x) f (x)
探究点2 奇函数的定义
已知f(x)=x³, 求f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(-1)=(-1)³=-1，f(1)=1，
f (x) x 1 (x 1) f (x),
x
x
所以，函数 f (x) x为奇1函数. x
(4)函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点
对称，故函数 f(x)不具有奇偶性.
【变式练习】
（1）判断函数 f (x) 1 x3 5x 的奇偶性.
1.函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是( C )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
【提示】∵x∈［-1,2］，不关于原点对称.
2.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶 函数，则a=____8___. 【解析】∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)的定义域关于 原点对称，∴3-a+5=0，∴a=8
.由于
(2)由于奇函数的图象关于 坐标原点对称，只要在函数 图象上找点作出这些点关于 坐标原点的对称点，描点即 可作出函数在整个定义域上 的图象.如图
【提升总结】
用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是： （1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是 x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关 于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原 点对称的，则这个函数不具备奇偶性. （2）验证f(-x)=f(x) ，或者f(-x)=-f(x). （3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
叫做偶函数. 例如，下图：
对定义域内 任意的自变
量x都有
f (x) f (x)
探究点2 奇函数的定义
已知f(x)=x³, 求f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(-1)=(-1)³=-1，f(1)=1，
人教版高中数学必修一1.3.2奇偶性》课件ppt课件
思路分析：利用函数奇偶性的定义判断．
解：(1)∵定义域为R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇
函数． (2)∵定义域为{x|x>1或x≤－1}，定义域关于原点不对称， ∴f(x)为非奇非偶函数． (3)∵定义域为{－2,2}，任取x∈{－2,2}，则－x∈{－2,2}．f(－x)＝0＝f(x)
x2(x＋1) 2．函数y＝ x＋1 A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
(
)
解析：定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以既不是
奇函数也不是偶函数．
答案：D
1 3．函数f(x)＝ －x的图象关于 ( x A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
，
温馨提示： 函数 f(x) 是奇函数 ⇔ 对定义域内任意一个 x ，有 f( － x) ＋ f(x) ＝
0⇔f(x)的图象关于原点对称．
3．奇偶性
(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶
性． (2)几何意义：定义域关于 原点 对称；图象关于原点或 y轴对称．
)
4．(2010·北京师大附中高一检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，
且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
4 5．求证：函数f(x)＝x＋ 是奇函数． x
类型一 函数奇偶性的判定 【例1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x； x＋1 (2)f(x)＝(x－1)· ； x －1 (3)f(x)＝ x2－4＋ 4－x2.
系，我们不难发现它们有的关于y轴对称，有的关于坐标原点对称．图象关于y 轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？
人教A版必修一1.3.2函数的奇偶性
1.3.2 函数的奇偶性
链接一：轴对称图形：一个图形绕一条直线翻转180°后，能与原图形重合， 则这个图形称为轴对称图形，这条直线称为这个图形的对称轴. 中心对称图形：一个图形绕一个点旋转180°后，能与原图形重合，则这个 图形称为中心对称图形，这个点称为这个图形的对称中心. 链接二：抛物线 双曲线 直线y=2x的图象（如图所示）都具有对称性.
3.既奇又偶函数的表达式是
定义域A是关于原点对称的非空数集.
4.若奇函数在原点处有定义，则有f（0）=0. 探究要点二：利用定义判断函数奇偶性的步骤 1.求函数f（x）的定义域； 2.判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既 不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； 3.结合函数f（x）的定义域，化简函数f（x）的解析式； 4.求f（－x）； 5.根据f（－x）与f（x）之间的关系，判断函数f（x）的奇偶性. 判断函数奇偶性时要注意： 1.{0}是关于原点对称的，如函数 定义域是{0}，f（x）=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数. 3.有时也根据下面的式子判断函数f（x）的奇偶性：对于定义域内的任意一个x， 若有f（x）－f（－x）=0成立，则f（x）为偶函数；对于定义域内的任意一个x，若 有f（x）+f（－x）=0成立，则f（x）为奇函数.
变式训练2－1：已知f（x）是定义在 上的奇函数，且x>0时， 求x＜0时，f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，
类型三：利用函数奇偶性作函数图象 已知函数
（1）如图，已知f（x）在区间
上的图象，请据此在该坐标系中
补全函数f（x）在定义域内的图象，请说明你的作图依据； （2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）.
链接一：轴对称图形：一个图形绕一条直线翻转180°后，能与原图形重合， 则这个图形称为轴对称图形，这条直线称为这个图形的对称轴. 中心对称图形：一个图形绕一个点旋转180°后，能与原图形重合，则这个 图形称为中心对称图形，这个点称为这个图形的对称中心. 链接二：抛物线 双曲线 直线y=2x的图象（如图所示）都具有对称性.
3.既奇又偶函数的表达式是
定义域A是关于原点对称的非空数集.
4.若奇函数在原点处有定义，则有f（0）=0. 探究要点二：利用定义判断函数奇偶性的步骤 1.求函数f（x）的定义域； 2.判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既 不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； 3.结合函数f（x）的定义域，化简函数f（x）的解析式； 4.求f（－x）； 5.根据f（－x）与f（x）之间的关系，判断函数f（x）的奇偶性. 判断函数奇偶性时要注意： 1.{0}是关于原点对称的，如函数 定义域是{0}，f（x）=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数. 3.有时也根据下面的式子判断函数f（x）的奇偶性：对于定义域内的任意一个x， 若有f（x）－f（－x）=0成立，则f（x）为偶函数；对于定义域内的任意一个x，若 有f（x）+f（－x）=0成立，则f（x）为奇函数.
变式训练2－1：已知f（x）是定义在 上的奇函数，且x>0时， 求x＜0时，f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，
类型三：利用函数奇偶性作函数图象 已知函数
（1）如图，已知f（x）在区间
上的图象，请据此在该坐标系中
补全函数f（x）在定义域内的图象，请说明你的作图依据； （2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）.
人教版函数的奇偶性-高中数学(共41张PPT)教育课件
f(－x)＝ f(x) 函数f(x)叫作偶函数
图象关于 y轴 对称
f(－x)＝ －f(x) 函数f(x)叫作奇函数 图象关于 原点 对 称
3
知识点聚焦：
• 二、奇偶性
定义
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数 f(x)具有 奇偶性
图象特征 奇(偶)函数 图象关于原点或y轴对称
4
探究一 函数奇偶性的判断
∵f(x)是奇函数，
•
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．
• 【答案】B
37
随堂训练
• 5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，那么f(－1)＋f(0)＝( )
•
A．－2
B．0
C．1
D．2
38
解析：
• 【解析】函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
人教A版必修一《1.3.2奇偶性(第1课时)函数奇偶性的概念》ppt课件
及f(-x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(-1)=(-1)³ =-1 f(-1)= - f(1) f(1)=1 f(-2)=(-2)³ =-8 f(2)=8 f(-2)= - f(2)
f(-x)=(-x)³ =-x³ f(-x)= - f(x)
-x f(-x)
y f(x)
o
x
x
思考:函数图象上横坐标互为相反数的
解析：已知f x 是奇函数，且在区间３７上是增函 , 数， 且最小值为５那么由奇函 , 数图象关于原点对称的性质可 得f x 在区间 -7, -3 上一定存在最大值- 5. 【答案】大 -5
18
3.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完 整。
19
解：
20
23
人生最终的价值在于觉醒和思考的能 力，而不只在于生存。
——亚里士多德
24
自学导引 1．函数奇偶性的概念 设函数 f(x)的定义域为 D， (1)偶函数： 对任意 x∈D， 都有 f(－x)＝f(x) ， 则 f(x)为偶函数． (2)奇函数： 对任意 x∈D， 都有f(－x)＝－f(x) ， 则 f(x)为奇函数． 想一想：若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)等于什么？ 提示 f(0)＝0.
35
f ( x) ( x)4 x4 f ( x)
所以，函数f(x)=x4为偶函数。
(2)对于函数f(x)=x5，其定义域为 (, ) .
因为对定义域内的每一个x，都有
f ( x) ( x)5 x5 f ( x),
所以，函数f(x)=x5为奇函数.
14
(3)对于函数 f ( x) x 1 ，其定义域是{x|x≠0}.
解: f(0)=0,f(-1)=(-1)³ =-1 f(-1)= - f(1) f(1)=1 f(-2)=(-2)³ =-8 f(2)=8 f(-2)= - f(2)
f(-x)=(-x)³ =-x³ f(-x)= - f(x)
-x f(-x)
y f(x)
o
x
x
思考:函数图象上横坐标互为相反数的
解析：已知f x 是奇函数，且在区间３７上是增函 , 数， 且最小值为５那么由奇函 , 数图象关于原点对称的性质可 得f x 在区间 -7, -3 上一定存在最大值- 5. 【答案】大 -5
18
3.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完 整。
19
解：
20
23
人生最终的价值在于觉醒和思考的能 力，而不只在于生存。
——亚里士多德
24
自学导引 1．函数奇偶性的概念 设函数 f(x)的定义域为 D， (1)偶函数： 对任意 x∈D， 都有 f(－x)＝f(x) ， 则 f(x)为偶函数． (2)奇函数： 对任意 x∈D， 都有f(－x)＝－f(x) ， 则 f(x)为奇函数． 想一想：若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)等于什么？ 提示 f(0)＝0.
35
f ( x) ( x)4 x4 f ( x)
所以，函数f(x)=x4为偶函数。
(2)对于函数f(x)=x5，其定义域为 (, ) .
因为对定义域内的每一个x，都有
f ( x) ( x)5 x5 f ( x),
所以，函数f(x)=x5为奇函数.
14
(3)对于函数 f ( x) x 1 ，其定义域是{x|x≠0}.
高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《1.3.2-2 函数奇偶性的应用》课件
课 标
2．学会运用函数图 分析解决与奇偶性有关问题时 象理解和研究函数的 ，应充分利用奇偶性这一本质
·
数 性质.
特征(关于原点对称区间上图象
学
的对称这一性质)来解决问题.
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
人 教
1．奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为
·
人
教 Ａ 版
1．函数f(x)＝ 3－x x2的图象关于
()
必
A．x轴对称
B．原点对称
修 一
C．y轴对称
D．直线y＝x对称
·
新 课 标
·
数 学
人 教
2．下列函数，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上
是减函数的是
()
Ａ 版
A．f(x)＝x13
B．f(x)＝x12
必 修
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝x2
课 标
·
·
数 学
一
·
新 课 标
·
数 学
3．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)<f(2)，则必
人 教
有
Ａ
版 必
A．f(－1)<f(－2)
() B．f(－1)>f(－2)
修 一
C．f(－1)＝f(1)
D．f(－2)＝f(1)
·
新
解析：∵f(1)<f(2)，
课
∴－f(1)>－f(2)．
标
又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．
性质(1)：若T是函数y＝f(x)的任意一个周期，则T的相
人教A版数学必修一第一章1.3.2奇偶性.pptx
法二：(用图像判断)作出函数的图像，如图所示．由图可 知，函数图像关于原点对称，故函数f(x)是奇函数．
[研一题] [例3] 设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单 调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围． [自主解答] 由f(m)＋f(m－1)>0， 得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)． 又∵f(x)在[0，2]上为减函数且f(x)在[－2，2]上为奇函数． ∴f(x)在[－2，2]上为减函数．
[例 2]
[研一题]
已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x＋ 2x3－，3x，<x0>0，判断 f(x)
的奇偶性．
[自主解答] (1)当x<0时，－x>0. f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)． (2)当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)， 综上可知f(x)为奇函数．
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第
一 1.3
章
函
1.3.2
集数
合 与 函 数
的 基 本 性
奇 偶 性
概质
念
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
1．函数的奇偶性
奇偶性
[自主解答] (1)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R， ∴－x∈R. 又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
人教高中数学A版必修1--第一单元 1.3.2《奇偶性》课件PPT
第一章 集合与函数概念
1.函数奇偶性的定义．
2.函数奇偶性的判定
➢定义法
①考查函数定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
f (x)
f ( x) 0,
f (x) f ( x)
1.
➢利用性质
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
3.性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点
➢一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
函数的奇偶性
函数f(x)=x2的图像
一般地，设函数f(x)的定义域是A， 如果对任意的x∈A，都有-x∈A ， 且f(-x) = -f(x) 那么称函数f(x)为奇函数
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
函数的奇偶性
关于原点对称 f(-x) = -f(x) f(x)为奇函数
➢一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内
➢奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. ➢偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有
相反的单调性.
栏目 导引
易知其定义域为R，关于原点对称，且对任意的x∈R， 有f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)，
从而函数f(x)=x3是奇函数
（2）函数f(x)=x4
易知其定义域为R，关于原点对称，且对任意的x∈R， 有f(-x) = (-x)4 = x4 = f(x)，
从而函数f(x)=x4是偶函数 （3）函数f(x)= 1
根据下列条件求函数在R上的解析式.
人教A版数学必修一函数的奇偶性.pptx
(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，
当x∈R时，－x∈R，
∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，
f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)
∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)因为函数的定义域关于原点不对称， 存在3∈[－1,3]，而－3∈/[－1,3]． ∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也1.3 函数的基本性质
1.3.3 函数的奇偶性
栏 目 链 接
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
栏
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
目 链
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有
f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内
解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.
当x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．
栏
(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.
目 链
∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
接
∴f(x)＝x2＋1是偶函数．
题型二奇偶函数的图象及应用 例2(1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( )
栏 目 链 接
(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图 象如图所示，则不等式0的解集是________．
解析：(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点
对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－a，
高一数学人教A版必修1课件：1.3.2 奇偶性(第1课时)
(1)这两个函数图象对称性上有什么共同图特象征吗关？于 原 点 对 称
(2)相应的两个函数值是怎样体现这些特征的？
f ( x)=x
f (x) 1 x
函数值 f(-3) =， f(3)；f(-2)，= f(2)；f(-1)，= f(1)有何关系？
当自变量任取两个互为相反数的值时，
对应的函数值 互为相反数 。
(1) f ( x) x4;
(2) f ( x) x 1 ; x
1 (3) f ( x) (x 1)2
(3)
f
(
x)
(x
1 1)2
的定义域为{ x
|
x
1}，不 关 于 原 点 对 称 ，
f (x) 1 既不是奇函数也不是偶函数. (x 1)2
规律总结：
“定义法”判断函数奇偶性的一般步骤：
对应的函数值 相等 。
二、新课讲解 1、偶函数的定义：
图象关于y轴对称
一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
f ( x定)与义f (中 x")都任有意意一义个，x则，x都、有x必f (须 同x)时 在f 定( x义)成域立中"，
4、定义在R上的偶函数f ( x)在区间[0, )上单调递增，
则满足f (2x 1) f ( 1 )的x的取值范围（ ） 3
A.
，2 3
B.
1 3
，2 3
C.
，32
D.
1 3
，2 3
若f (x)为偶函数，则f (x) f (x) f (| x |)
(2)相应的两个函数值是怎样体现这些特征的？
f ( x)=x
f (x) 1 x
函数值 f(-3) =， f(3)；f(-2)，= f(2)；f(-1)，= f(1)有何关系？
当自变量任取两个互为相反数的值时，
对应的函数值 互为相反数 。
(1) f ( x) x4;
(2) f ( x) x 1 ; x
1 (3) f ( x) (x 1)2
(3)
f
(
x)
(x
1 1)2
的定义域为{ x
|
x
1}，不 关 于 原 点 对 称 ，
f (x) 1 既不是奇函数也不是偶函数. (x 1)2
规律总结：
“定义法”判断函数奇偶性的一般步骤：
对应的函数值 相等 。
二、新课讲解 1、偶函数的定义：
图象关于y轴对称
一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
f ( x定)与义f (中 x")都任有意意一义个，x则，x都、有x必f (须 同x)时 在f 定( x义)成域立中"，
4、定义在R上的偶函数f ( x)在区间[0, )上单调递增，
则满足f (2x 1) f ( 1 )的x的取值范围（ ） 3
A.
，2 3
B.
1 3
，2 3
C.
，32
D.
1 3
，2 3
若f (x)为偶函数，则f (x) f (x) f (| x |)
1.3.2奇偶性课件-人教版高中数学必修一(共32张PPT)
[典例] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单 调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[活学活用] 设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋ a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
3．已知函数f(x)＝
x＋m x2＋nx＋1
是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数
m，n的值分别为________．
4．设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象 如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴求定义域，看定义域是否关于原点对称. ⑵代-x，求f(－x) (3)判断f(－x〕与f(x)的符号
1“求〞，2“代〞，3“判断〞
偶函数
奇函数
一般地，如果对于函数 一般地，如果对于函数f(x)
定义
f(x)的定义域内任意一个x，的定义域内任意一个x， 都有__f_(－__x_)_＝__f(_x_)，那么 都有 f(－x)＝－f(，x)那么
函数的奇偶性
复习引入：
探究1、这两个函数图象有什么共同特征吗？
y
f (x)=x2
x … -2 -1 0 1 2 …
y …4 1 0 1 4
…
O
x
f (x)=|x|
y
问题：你发现了什么？？
f(x)f(x)
O
x
x … -2 -1 0 1 2 …
y …210 12
…
一、偶函数
1、定义： 一般地，对于函数f(x)的定义域内的 任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶 函数．
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图像特征：关于原点对称。
活学活用
例1：请判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x
4
(2) f ( x) x5
1 (4) f ( x ) x2
1 (3) f ( x ) x x
1
请判断下列函数的奇偶性
变式训练
(1) f ( x ) 1; (2) f ( x)
x2 1 1 x2 ;
学生活动： 阅读教科书第 34 页观察 ~35 页第三自然段的相 关内容，小组讨论交流探究 奇函数定义，并回答问题。
一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，那么称函数f(x)为奇函数。
奇函数满足的条件
（1）定义域：关于原点对称（前提）
（2）解析式：f（-x）=-f（x）
作业: 1、P36练习：1，2
2、本节资料习题
选做题：P39习题1.3A组第6题 思考题：P39习题1.3B组第3题
函 数 的
奇 偶 性
偶函数定义
一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都 有f(-x)=f(x)成立，那么称函数f(x)为偶函数。
自主探究
（1）函数f(x)=x2， xR 是不是偶函数？ 是 （2）函数f(x)=x2，x [-2,3]是不是偶函数？ 不是 （3）函数f(x)=x2，x [-3,3]是不是偶函数？ 是
[-b,-a]
o
[a ,b] x
即对于定义域内的任意一个 x ，则 -x 也一定是定义域内 的一个自变量
偶函数满足的条件
（1）定义域：关于原点对称（前提）
（2）解析式：f（-x）=f（x）
y x
图像特征：关于y轴对称。
O
f ( x) x 2
自主探究
（3）奇函数的图像具有什么特征？ （2）根据定义，概括奇函数应该满足什么条件？ （1）奇函数的定义中注意哪些关键词？
2 3 f ( x ) 3 x , x x x 1
(4) f ( x) x 1
用定义判断函数奇偶性的步骤：
求定义域
定义域 是否关于 原点对称
非奇非偶函数
看f(x) 与f(-x)的关系
若f（-x）=f（x）， 则为偶函数 若f（-x）=f（x）且 f（-x）= -f（x）， 则为既奇又偶函数
y
0
x
课堂小结
1、偶函数满足的条件：定义域关于原点对称 f(-x)=f(x)
2、奇函数满足的条件：定义域关于原点对称 f(-x)=-f(x)
3、图像特征：偶函数图像关于y轴对称，而奇函数的图像是关于原 点对称。反之，也成立。 4、用定义判断奇偶性的三部曲： 一求、二看、三判断 5、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性 是函数的整体性质。
判断
若f（-x）=-f（x）， 则为奇函数
用定义判断函数奇偶性的步骤：
一求
二看
三判断
2
变式训练
已知函数f(x)是R上的偶函数，在（- ，0] 上的图像如图，你能试作出[0,+ ）的图像吗？
y
0
x
3
变式训练
已知函数f(x)是R上的奇函数，在（- ，0]上 的图像如图，你能试作出[0,+ ）的图像吗？
一般地，如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个x，都 y 有f(-x)=f(x)成立，那么称函数f(x)为偶函数。
x O -2 O2 x 3 -3 O 3
y
y
x
偶函数的定义域应该满足什么条件？
要点强调
☆
对偶函数前提条件 的特别说明
定义域关于原点对称。
判断是不是偶函数？
(1) f ( x)= x , x x | x 1 (2) f ( x)= x 1 , x ( 1,1]