不等式和绝对值不等式2
2.基本不等式
则x y 的最大值是
。
解决最大（小）值问题
结论：利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
（3）三相等Βιβλιοθήκη 求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
1．利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积其中之一为定值； (3)等号能否成立，
即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可．
注意：要特别注意不等式成立的条件及等号成 立的条件．
创设应用基本不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而 拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正 必 要时需出现积为定值或和为定值．
第一讲 不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式(定理一）：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、基本不等式（定理二）
如果a, b>0, 那么
当且仅当a=b时，等号成立。
如果a,b都是正数，我们就称 a b为a,b的 算术平均数 2
高中数学《不等式和绝对值不等式》课件2 新人教A版选修4-5
问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正 方体的体积最大. 解：设长方体的三边长 度分别为x、y、z,则长 方体的体积为 而 S 2 xy 2 xz 2 yz
v xyz
x z y
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？
2答案 3答案
基础练习: 2．设 A=1+2x ，B=2x +x ，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
提示:比较大小,最简单、最有效的方法 是作差→变形→定符号. 变形方法有二种: 一、是分解因式； 二是配方.
4 3 2
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)= (2x4 2x3 ) (1 x2 ) = 2x3 ( x 1) (1 x)(1 x) = ( x 1)(2x3 x 1) = ( x 1)( x 1)(2x2 2x 1) 1 2 1 2 = ( x 1) 2( x ) 0 2 2 ∴A>B
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a + b ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
2 2
几何解释
b
a b a b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
2 则 3b 2a 的最大值是____.5 2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 u 的最小值是______________。 则 x y x2 8 ( x 1) 的最小值为______. 3.函数 y x 1 4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为 R，并 联后等效电阻值为 r，若 R k r ,则实数 k 的取值 范围是_____.
高中数学 1.2.3绝对值不等式的解法(二)课件 新人教A版选修45
第七页，共20页。
∴－1－x＋1－x＝3，得 x＝－32，
同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点距离和为 3，B1
栏 目
对应数轴上的 x， ∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝32.
链 接
从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之 和都小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的
第一(dìyī)讲 不等式和绝对值不 等式
1.2 绝对值不等式 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)
第一页，共20页。
栏 目 链 接
第二页，共20页。
会利用(lìyòng)绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
栏 目 链 接
第三页，共20页。
A．{x|x<－1}
B．{x|x<1}
栏
C．{x|x<1，且x≠－1}
目 链
接
D．{x|x>1}
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变式 训练
解析：∵y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数(hánshù)，
又a>0，∴2－ax为减函数(hánshù)．
∴0<a<1，即y＝logax为减函数(hánshù)．
第十五页，共20页。
变式 训练
由于A、B两点的距离1，线段AB上的点不符合要求，利用图形
(如上图)，可知符合条件的点应该(yīnggāi)是在A点的左侧离A最近距
离是2，在B点的右侧离B最近距离为2的点处，即x>4或x<－1，
栏
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
目 链
接
第十六页，共20页。
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3， 解得 4≤x<7 或－2<x≤1， 故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2， 所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法 化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
《不等式和绝对值不等式》学案2(人教A版选修4-5)
不等式的解法及应用★★★高考在考什么【考题回放】 1．不等式112x <的解集是（ D ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞2．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的（ A ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件 3．已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( A )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定4．不等式0121>+-x x的解集是 1(1,)2- . 5．已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 46．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．【专家解答】（Ｉ）设椭圆方程为22221y x a b+=（0a b >>），半焦距为c, 则21||a MA a c=-,11||A F a c =-,由题意，得 22222()24a a a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得 2,1a b c ===故椭圆方程为22143y x += （II ）设P(0,),||1m y m >, 当00y =时，120F PF ∠=当00y ≠时, 12102F PF PF M π<∠<∠< ∴只需求12tan F PF ∠的最大值即可。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式(第2课时)自我小测 新人教A版选修4-
1.2 绝对值不等式 2自我小测1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|＞3}，则集合A ∩B 等于( )A ．{x |2≤x ≤3} B．{x |2≤x ＜3}C ．{x |2＜x ≤3} D．{x |－1＜x ＜3}2．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A ．{x |x ＞32}B ．{x |32＜x ≤3} C ．{x |x ≥3} D．{x |－3＜x ≤0}3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值X 围是( )A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是增函数，则不等式log a |x ＋1|＞log a |x －3|的解集为( )A ．{x |x ＜－1}B ．{x |x ＜1}C ．{x |x ＜1且x ≠－1}D ．{x |x ＞1}6．不等式|1－x 1＋x|≥1的解集为____________________． 7．不等式|2x －1|＋x ＞1的解集是________．8．关于x 的不等式1＜|2x ＋1|≤3的解集为________．9．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值．10．已知实数a ，b 满足：关于x 的不等式|x 2＋ax ＋b |≤|2x 2－4x －16|对一切x ∈R 均成立．(1)请验证a ＝－2，b ＝－8满足题意；(2)求出所有满足题意的实数a ，b ，并说明理由；(3)若对一切x ＞2，均有不等式x 2＋ax ＋b ≥(m ＋2)x －m －15成立，某某数m 的取值X 围．参考答案1．解析：∵A ＝{x |2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2或x ＜－1}．∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．答案：C2．解析：当x ≤－3时，有－(x ＋3)＋(x －3)＞3，即－6＞3，无解．当－3＜x ＜3时，有x ＋3＋x －3＞3，则x ＞32， ∴32＜x ＜3. 当x ≥3时，有x ＋3－(x －3)＞3，即6＞3，∴x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >32.答案：A3．解析：由绝对值的几何意义得，|x ＋3|－|x －1|的最大值为4.∴a 2－3a ≥4恒成立，即a ≥4或a ≤－1.答案：A4．解析：|x －2|＜a ⇒2－a ＜x ＜2＋a ，|x 2－4|＜1⇒－5＜x ＜－3或3＜x ＜ 5. 当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立， 可知⎩⎨⎧ 2－a ≥－5，2＋a ≤－3⇒⎩⎨⎧ a ≤2＋5，a ≤－2－3⇒a ≤－2－ 3.∵a ≤－2－3与a ＞0矛盾，∴舍去．或⎩⎨⎧ 2－a ≥3，2＋a ≤5⇒⎩⎨⎧ a ≤2－3，a ≤5－2⇒a ≤5－2.∴0＜a ≤5－2.答案：B5．解析：因为a ＞0，且a ≠1，所以2－ax 为减函数．又因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是增函数，所以0＜a ＜1，则y ＝log a x 为减函数．所以|x ＋1|＜|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0.由|x ＋1|＜|x －3|，得(x ＋1)2＜(x －3)2，即x 2＋2x ＋1＜x 2－6x ＋9，解得x ＜1.又x ≠－1且x ≠3，所以解集为{x |x ＜1且x ≠－1}．答案：C6．(－∞，－1)∪(－1,0]7．解析：方法一：把|2x －1|＋x ＞1移项，得|2x －1|＞1－x ，把此不等式看作|f (x )|＞a 的形式得2x －1＞1－x 或2x －1＜－(1－x )，∴x ＞23或x ＜0， 故解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞23或x ＜0. 方法二：用分类讨论的方法去掉绝对值符号．当x ＞12时，2x －1＋x ＞1，∴x ＞23； 当x ≤12时，1－2x ＋x ＞1，∴x ＜0. 综上得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞23或x ＜0. 答案：⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞23或x ＜08．解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ |2x ＋1|≤3， ①|2x ＋1|>1. ②解不等式①，得－3≤2x ＋1≤3，∴－2≤x ≤1.解不等式②，得2x ＋1＞1或2x ＋1＜－1，∴x ＞0或x ＜－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}∩{x |x ＞0或x ＜－1}＝{x |0＜x ≤1或－2≤x ＜－1}．答案：{x |0＜x ≤1或－2≤x ＜－1}9．答案：解：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5， x ≤－12，3x －3， －12<x <4，x ＋5， x ≥4.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图象略)，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. (2)由y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图象略)可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92.10．答案：解：(1)当a ＝－2，b ＝－8时，有|x 2＋ax ＋b |＝|x 2－2x －8|≤2|x 2－2x －8|＝|2x 2－4x －16|.(2)在|x 2＋ax ＋b |≤|2x 2－4x －16|中，分别取x ＝4，x ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ |16＋4a ＋b |≤0，|4－2a ＋b |≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋4a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0，所以a ＝－2，b ＝－8，因此满足题意的实数a ，b 只能是a ＝－2，b ＝－8.(3)由x 2＋ax ＋b ≥(m ＋2)x －m －15(x ＞2)，所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)． ∴对一切x ＞2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立，而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2 ≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)， ∴实数m 的取值X 围是(－∞，2]．。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法习题课件
7．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1 的解集为________．
解析： 由于||x－2|－1|≤1， 即－1≤|x－2|－1≤1， 即|x－2|≤2， 所以－2≤x－2≤2，所以 0≤x≤4.
答案：[0，4]
5 1 8．关于 x 的不等式|mx－2|＜3 的解集为{x|－ ＜x＜ }，则 m 6 6 ＝________．
9．已知函数 f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)求证：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式 f(x)≥x2－8x＋15 的解集．
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5| －3，x≤2， ＝2x－7，2＜x＜5， 3，x≥5. 当 2＜x＜5 时，－3＜2x－7＜3， 所以－3≤f(x)≤3.
－3≤x≤3 即 ， 2x＋1>4或2x＋1<－4
5 3 解得－3≤x<－ 或 <x≤3. 2 2
2．不等式|x－1|＋|x－2|≤3 的最小整数解是( A．0 C．1 B．－1 D．2
x>2 A.原不等式可化为 或 x－1＋x－2≤3
)
解析：选
1≤x≤2 x<1 或 ， －（ x － 1 ）－（ x － 2 ）≤ 3 x － 1 －（ x － 2 ）≤ 3
解析：|mx－2|＜3⇔－3＜mx－2＜3⇔－1＜mx＜5， 1 5 ①若 m＞0，则－ ＜x＜ ， m m 1 5 5 1 由题意得－ ＝－ 且 ＝ ，无解． m 6 m 6 －1 5 ②若 m＜0，则 ＜x＜ ， m m 5 5 －1 1 由题意得 ＝－ 且 ＝ ，所以 m＝－6. m m 6 6 综上可得 m＝－6. 答案：－6
(2)因为不等式 f(x)≥x2－8x＋15，
高三数学不等式的解法2
(a 1) (a 1) | x | 2、关于实数x的不等式： 2 2
2
2
与x 3(a 1) x 2(3a 1) 0(a R)
2
的解集分别为A、B，求使 A B
时实数a的取值范围
3、已知a、b是不相等的实数，且
a b a b
3 3 2
2
4 求证 : 0 a b 3
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神山壹带强者如林,比之咱们奇幻之地不会少多少,咱们行事壹切低调,先到了长生神山再说吧丶""好丶"叶问情也早就不想呆在这里了,要不是怕艾姐姐小瞧了她,她壹个人の话,早就赶紧闪人了丶二人不在这里继续呆了,艾丽立即带着叶问情前往长生神山主山丶而在她们离开后不久,这片血 湖林子旁边,刚刚那个黑衣女人又出现了丶女人抬头看了看二女离开の方向,喃喃自语道："这个女人の身上,竟然有那个家伙の气息,看来那家伙有可能就在前面,跟上她们丶"叶问情和艾丽哪里知道,她们此时已经被人给盯上了,二女却全然没有察觉,连艾丽也没有任何发现丶此地距离长生神 山只有八千多万里了,壹路上二人也着急赶路,就算是遇到了壹些麻烦,艾丽会直接带着叶问情绕道而过丶路上这里也有不少の强者,最近不知道为何,这壹带の争斗,长生神山外围の地带の厮杀越来越激烈了丶有许多の强者,出现了许多在这外面,埋伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在 长生神山の范围,所以神山也不会管这里の事情,他们只管那神山忠の情况,外面の事情与他们无关丶龙亭并没有精力,去管这些事情,不过因为这里の劫杀事件日益增多,还是令这许多人对长生神山望而生畏了丶猫补忠文叁677魔界变故(猫补忠文)叁677有许多の强者,出现了许多在这外面,埋 伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在长生神山の范围,所以神山也不会管这
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节第2课时绝对值不等式的解法创新应用课件新人教a版选修45
绝对值不等式的常见类型及其解法： (1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当 a＞0 时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a 或 f(x)＜－a； ②当 a＝0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)≠0； ③当 a＜0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)有意义．
[问题思考]
1．|x|以及|x－a|± |x－b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原 点 O 的距离； |x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数 x 的点 与表示数 a，b 的点的距离之和(差)．
2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的 不等式的解集？
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋5|＞7＋x； 1 1 (3) 2 ≤ . x －2 |x|
[ 精讲详析 ]
本题考查较简单的绝对值不等式的解
法．解答本题(1)可利用公式转化为 |ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋ b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分 两种情况去掉绝对值符号， 还可用平方法转化为不含绝对值 的不等式． (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． (1)法一：原不等式等价于不等式组
(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2 ⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0. (3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)， ②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x) 可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决， 就显得较复杂．
含绝对值的不等式解法(2)
不等式｜ x ｜ a（a R） 当a 0 时， {x ｜ a x a }；
当a 0时， 不等式｜ x ｜ a的解集为.
不等式｜ x ｜ a（a R） 当a 0时， {x ｜ x a ，或 x a } .
当a 0 时，不等式｜ x ｜ a的解集为R.
解法二:
由|x+2|+|x-5|的几何意义,知它表示数轴上的点 P(x)到点A(-2)、点B(5)的距离之和
A -2 B 5
|PA|+|PB|≥|AB|= 5 - (-2) = 7. 即 对一切x∈R，|x+2|+|x-5|≥7 欲对一切实数x,|x+2|+|x-5|>a恒成立,只有a < 7 故实数a的取值范围是 a< 7
例3： 已知A={x||x-a|<4}，B={x||x-2|>3} ， 且 A∪B=R .求a的取值范围.
解| x a | 4 4 x a 4 A {x | a 4 x a 4}
| x 2 | 3 x 2 3, 或x 2 3 B {x | x 1，或x 5}
例1.解不等式 :| x 1 | m, m R
不等式｜ x ｜ a 当a 0 时， {x ｜ a x a }； 当a 0时， 不等式｜ x ｜ a的解集为.
(1)当m 0时, 原不等式等价于: m x 1 m 1 m x 1 m
x 5 x 5 （3） x5 x 5 (2 x 3) 1 x 9
-7
1/3
5
综上所述得原不等式的 解集为 1 {x | x 或x 7} 3
人教版2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二第2课时绝对值不等式的解法学案新人教A版选修4_5
第2课时绝对值不等式的解法学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．知识点一|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法思考1 |x|≥2说明实数x有什么特征？答案x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.∴x≥2或x≤－2.思考2 若|2x－3|≤5，求x的取值范围．答案{x|－1≤x≤4}．梳理(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法①|x|＜a⇔错误!②|x|＞a⇔错误!(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.知识点二|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法思考如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？答案采用零点分段法．即令|x－a|＋|x－b|＝0，得x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)|x－a|＋|x－b|＝错误!梳理|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．类型一 |ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c (c ＞0)型的不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.解 (1)由|5x －2|≥8，得5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≥2或x≤－65. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2， ①|x －2|≤4，②由①得x －2≤－2或x －2≥2，∴x ≤0或x ≥4， 由②得－4≤x －2≤4，∴－2≤x ≤6.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}． 反思与感悟 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法 (1)当c ＞0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c .(2)当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |＜c 的解集为∅. (3)当c ＜0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练1 解关于x 的不等式： ||x －1|－4|＜2.解 ||x －1|－4|＜2⇔－2＜|x －1|－4＜2 ⇔2＜|x －1|＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|＞2，|x －1|＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜－2或x －1＞2，－6＜x －1＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞3，－5＜x ＜7⇔－5＜x ＜－1或3＜x ＜7.∴不等式||x －1|－4|＜2的解集为{x |－5＜x ＜－1或3＜x ＜7}． 类型二 |x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解关于x 的不等式：|3x －2|＋|x －1|＞3. 解 方法一 分类(零点分段)讨论法|3x －2|＝0，|x －1|＝0的根23，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x －2|＋|x －1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集． ①因为当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝2－3x ＋1－x ＝3－4x ，所以当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔3－4x ＞3⇔x ＜0.因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤23，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为{x |x ＜0}．②因为当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1， 所以当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔2x －1＞3⇔x ＞2. 因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23＜x ＜1，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为∅.③因为当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3， 所以当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔4x －3＞3⇔x ＞32.因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即{x |x ＜0}∪∅∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞32. 方法二 构造函数f (x )＝|3x －2|＋|x －1|－3，则原不等式的解集为{x |f (x )＞0}．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x≤23，2x －4，23＜x ＜1，4x －6，x≥1.作出函数f (x )的图象，如图．它是分段线性函数，函数的零点是0和32.从图象可知，当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，有f (x )＞0. 所以原不等式的解集是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.反思与感悟 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 跟踪训练2 解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3.解 方法一 |x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．方法二 令x ＋7＝0，得x ＝－7，令x －2＝0，得x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3，∴－9≤3成立，∴x＜－7.②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．方法三 将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12，x ＜－7，2x ＋2，－7≤x≤2，6，x ＞2.作出函数的图象，由图象可知，当x ≤－1时，y ≤0， 即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]． 类型三 含绝对值不等式的恒成立问题 例3 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x ＋a |. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＞a 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵当a ＝－3时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|， ∴f (x )≤6，等价于|2x ＋1|＋|2x －3|－6≤0， 令g (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|－6，令|2x ＋1|＝0，得x ＝－12，令|2x －3|＝0，得x ＝32.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －4，x≤－12，－2，－12＜x≤32，4x －8，x ＞32.作y ＝g (x )的图象，如图，∴f (x )≤6的解集为[－1,2]．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x ＋a |≥|(2x ＋1)－(2x ＋a )|＝|a －1|， ∴f (x )min ＝|a －1|.要使f (x )＞a 恒成立，只需|a －1|＞a 成立即可． 由|a －1|＞a ，得a －1＞a 或a －1＜－a ， ∴a ＜12，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 引申探究若f (x )＝|2x ＋1|－|2x ＋a |且f (x )＜a 恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝|2x ＋1|－|2x ＋a |≤|(2x ＋1)－(2x ＋a )| ＝|a －1|，∴f (x )max ＝|a －1|.∵f (x )＜a 恒成立，∴|a －1|＜a ，∴－a ＜a －1＜a ， ∴a ＞12，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.反思与感悟 不等式解集为R 或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题．f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ，f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .跟踪训练3 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m .根据以下情形分别求出m 的取值范围． (1)若不等式有解； (2)若不等式的解集为R ； (3)若不等式的解集为∅.解 方法一 因为|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差，即|x ＋2|－|x ＋3|＝|PA |－|PB |.则(|PA |－|PB |)max ＝1，(|PA |－|PB |)min ＝－1. 即－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m ＜1，m 的取值范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m ＜－1，m 的取值范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．方法二 由|x ＋2|－|x ＋3|≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1， |x ＋3|－|x ＋2|≤|(x ＋3)－(x ＋2)|＝1， 可得－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1. (1)若不等式有解，则m ∈(－∞，1)． (2)若不等式的解集为R ，则m ∈(－∞，－1)． (3)若不等式的解集为∅，则m ∈[1，＋∞).1．不等式|x ＋1|＞3的解集是( ) A ．{x |x ＜－4或x ＞2} B ．{x |－4＜x ＜2} C ．{x |x ＜－4或x ≥2} D ．{x |－4≤x ＜2}答案 A解析 |x ＋1|＞3，则x ＋1＜－3或x ＋1＞3， 因此x ＜－4或x ＞2.2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12且x≠－3D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜32 答案 C解析 原不等式⇒⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2，x ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2，x≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x≠－3.3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|＜5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 答案 C解析 |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到与－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|＜5解集是(－4,1)．4．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|＜m 有解，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1B ．m ≥1C ．m ＞2D ．m ≥2 答案 C解析 ∵|x －5|＋|x －3|≥|(x －5)－(x －3)|＝2， ∴m ＞2.5．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解 (1)当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8 ⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，∴x ≤－95.(2)当－23＜x ＜12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ≥5， ∴x ∈∅. (3)当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇒x ≥75，∴x ≥75.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．解不等式|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c(1)当c ≥0时，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，解之即可；|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，解之即可．(2)当c ＜0时，由绝对值的定义知|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．解|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； (4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．一、选择题1．不等式x 2－|x |－2＜0(x ∈R )的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 答案 A解析 当x ≥0时，不等式化为x 2－x －2＜0， 解得－1＜x ＜2，所以0≤x ＜2；当x ＜0时，不等式化为x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1，所以－2＜x ＜0. 故原不等式的解集为{x |－2＜x ＜2}．2．若关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2答案 B解析 ∵|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴|a －2|≥a ，即a －2≥a 或a －2≤－a ，∴a ≤1.3．设函数f (x )＝错误!则使f (x )≥1的自变量x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[0,4]B ．(－∞，－2]∪[0,1]C ．(－∞，－2]∪[1,4]D ．[－2,0]∪[1,4]答案 A4．关于x 的不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 ∵|x ＋3|－|x －1|≤|4|＝4，∴a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0，解得a ≤－1或a ≥4.5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确答案 B解析 由|x －2|＜a ，得a ＞0，且－a ＋2＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3. ∴⎩⎨⎧ a ＋2≤5，－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2， 或⎩⎨⎧ a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，无解．∴0＜a ≤5－2.二、填空题6．不等式|a ＋b||a|－|b|≥1成立的充要条件是________． 答案 |a |＞|b |解析 |a ＋b||a|－|b|≥1⇔错误!≥0 ⇔(|a |－|b |)·[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.7．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53＜x ＜13，则a ＝________. 答案 －3解析 ∵|ax －2|＜3，∴－1＜ax ＜5.当a ＞0时，－1a ＜x ＜5a，与已知条件不符； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a ＜0时，5a ＜x ＜－1a，又不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53＜x ＜13x ，故a ＝－3. 8．已知函数f (x )＝|x －a |＋a ，g (x )＝4－x 2，若存在x 0∈R 使g (x 0)≥f (x 0)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178 解析 若存在x 0∈R 使g (x 0)≥f (x 0)，则x 2＋|x －a |＋a －4≤0有解．当x ≥a 时，x 2＋x －4≤0，显然有解；当x ＜a 时，x 2－x ＋2a －4≤0，由Δ＝1－4(2a －4)≥0，解得a ≤178.故答案为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178. 9．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 由题意可知，|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，2x －1≤2－x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＜0，1－2x≤2－x ，解得12≤x ≤1或－1≤x ＜12， 故x 的取值范围是{x | －1≤x≤1}．10．已知集合A ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，B ＝{x |a ＜x ＜6}且A ∩B ＝(2，b )，则a ＋b ＝________.答案 711．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a ＝________.答案 －4或8解析 ①当a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a －1，x ＜－1，－x ＋1－a ，－1≤x≤－a 2，3x ＋a ＋1，x ＞－a 2. ②当a ＞2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a －1，x ＜－a 2，x ＋a －1，－a 2≤x≤－1，3x ＋a ＋1，x ＞－1，由①②可得f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＋1＝3，解得a ＝－4或8. 三、解答题 12．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，即－7＜|x －1|＜3，得不等式的解集为{x |－2＜x ＜4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5.故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)∪(－∞，－5]．13．已知a ＋b ＝1，对任意的a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，求x 的取值范围．解 因为a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥9， 故1a ＋4b的最小值为9， 因为对任意的a ，b ∈(0，＋∞)，使1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立， 所以|2x －1|－|x ＋1|≤9，当x ≤－1时，2－x ≤9，所以－7≤x ≤－1；当－1＜x ＜12时，－3x ≤9，所以－1＜x ＜12； 当x ≥12时，x －2≤9，所以12≤x ≤11. 综上所述，x 的取值范围是[－7,11]．四、探究与拓展14．(2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝5－|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x≤－1，2，－1＜x≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当(x ＋a )(x －2)≤0时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a ，b ∈R )恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)当x ≤1时，f (x )＝－(x －1)－(x －2)＝－2x ＋3；当1＜x ≤2时，f (x )＝(x －1)－(x －2)＝1；当x ＞2时，f (x )＝(x －1)＋(x －2)＝2x －3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3，x≤1，1，1＜x≤2，2x －3，x ＞2.图象如图所示．(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )，得|a ＋b|＋|a －b||a|≥f (x )． 又因为|a ＋b|＋|a －b||a|≥|a ＋b ＋a －b||a|＝2， 所以2≥f (x )，解不等式2≥|x －1|＋|x －2|，得12≤x ≤52.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5
——教学资料参考参考范本——高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．(1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x≥2或x≤－， ∴原不等式的解集为.(2)原不等式价于⎩⎨⎧|x－2|≥2， ①|x－2|≤4. ②由①得x －2≤－2，或x －2≥2，∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x ≤0或4≤x ≤6}．|ax ＋b|≥c 和|ax ＋b|≤c 型不等式的解法：①当c>0时，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c.②当c ＝0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|<c 的解集为∅. ③当c<0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|≤c 的解集为∅.1．解下列不等式：(1)|3－2x|<9；(2)|x －x2－2|>x2－3x －4；(3)|x2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.∴－9<2x －3<9. 即－6<2x<12.∴－3<x<6.∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}． (2)∵|x－x2－2|＝|x2－x ＋2|， 而x2－x ＋2＝2＋>0，∴|x －x2－2|＝|x2－x ＋2|＝x2－x ＋2.故原不等式等价于x2－x ＋2>x2－3x －4⇔x>－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.解得x>5或x<－1或－1<x<3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．2．已知常数a满足－1＜a＜1，解关于x的不等式：ax＋|x＋1|≤1.解：若x≥－1，则ax＋x＋1≤1，即(a＋1)x≤0.因为－1＜a＜1，所以x≤0.又x≥－1，所以－1≤x≤0.若x＜－1，则ax－x－1≤1，即(a－1)x≤2.因为－1＜a＜1，所以x≥.因为－1＜a＜1，所以－(－1)＝＜0.所以≤x＜－1.综上所述，≤x≤0.故不等式的解集为.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解不等式|x－3|－|x＋1|<1.解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图象分析求解．法一：在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，C，P，而B点对应的实数为，B点到C点的距离与到A点的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含B 点)时不等式成立，故不等式的解集为.法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x<－1，或②⎩⎨⎧ －1≤x<3， 或③⎩⎨⎧x≥3，①的解集为∅，②的解集为， ③的解集为{x|x ≥3}．综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0， 构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，即y ＝x≤－1，－1<x<3，x≥3.作出函数的图象(如下图所示)，它是分段函数，函数与x 轴的交点是，由图象可知， 当x>时，有y<0，即|x －3|－|x ＋1|－1<0， 所以原不等式的解集是.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解：①当x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8⇔－5x≥9⇔x≤－，∴x≤－；②当－<x<时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，∴x∈∅；③当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥，∴x≥.∴原不等式的解集为∪.4．设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a＞0，得f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5，得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5，得＜a≤3.综上所述，a的取值范围是.含绝对值不等式的恒成立问题已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的取值范围．解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m 的取值范围．法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.又(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为．6．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分别求出m的取值范围．解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x＋2)－(x ＋3)|＝1，即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可，即m∈R； (2)若不等式解集为R ，即m∈(－∞，1)； (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m∈∅.课时跟踪检测(五)1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x|x<－4或x>2} B ．{x|－4<x<2} C ．{x|x<－4或x≥2}D ．{x|－4≤x<2}解析：选A |x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x<－4或x>2.2．满足不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72解析：选C |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )A.∪B.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32C.∪D.∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32解析：选D 由1≤|2x－1|<2，得1≤2x－1<2或－2<2x －1≤－1，因此－<x≤0或1≤x<.4．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C．(－4,2) D．解析：选A 由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函数f(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要满足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m＞2或m＜－4，故实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2，即x≥－1，∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x－1|<x＋1⇔－x－1<2x－1<x＋1⇔⇔0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为________．解析：因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值为3－|a2－2a|.由题意，得|a2－2a|＜3，解得－1<a<3.答案：(－1,3)8．解不等式：|x2－2x＋3|<|3x－1|.解：原不等式⇔(x2－2x＋3)2<(3x－1)2⇔<0⇔(x2＋x＋2)(x2－5x＋4)<0⇔x2－5x＋4<0(因为x2＋x＋2恒大于0)⇔1<x<4.所以原不等式的解集是{x|1<x<4}．9．解关于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R)．解：若2m－1<0，即m≤，则|2x－1|<2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1>0，即m>，则－(2m－1)<2x－1<2m－1，所以1－m<x<m.综上所述：当m≤时，原不等式的解集为∅；当m>时，原不等式的解集为{x|1－m<x<m}．10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y ＜0， 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}． (2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3， 所以x≥a－2对x∈都成立． 故－≥a－2，即a≤. 从而a 的取值范围是.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(湖南高考)若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( ) A. B ．2 C ．2D ．4解析：选C 由＋＝，知a ＞0，b ＞0， 所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a ＝，b ＝2时取“＝”，所以ab 的最小值为2. 2．(重庆高考)设a ，b>0，a ＋b ＝5，则＋的最大值为________． 解析：令t ＝＋，则t2＝a ＋1＋b ＋3＋2＝9＋2≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝，b ＝. ∴tmax ＝＝3. 答案：3 23．(重庆高考)若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________.解析：由于f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|，当a>－1时，f(x)＝⎩⎨⎧作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a ＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.答案：－6或44.(全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝错误!故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.5．(江苏高考)设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.证明：因为|x－1|＜，|y－2|＜，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.6．(全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即＋≥.又min＝，所以≥，解得a≥2.所以a的取值范围是“a＋c>b＋d”是“a>b 且c>d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a>b且c>d.A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．由x－2y＋3z＝0，得y＝，则y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．3设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得＋＋≥3.即＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋＋abc≥＋abc，而＋abc≥2＝2.所以＋＋＋abc≥2，当且仅当abc＝时，等号成立.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．2．平方法|f(x)|>|g(x)|⇔2>2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．解下列关于x的不等式：(1)|x＋1|>|x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|>2x.(1)法一：|x＋1|>|x－3|，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8.∴x>1.∴原不等式的解集为{x|x>1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；当－1<x≤3时，有x＋1>－x＋3，即x>1，此时1<x≤3；当x>3时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.∴原不等式的解集为{x|x>1}．(2)分段讨论：①当x<－时，原不等式变形为2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，∴原不等式的解集为.②当－≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－.∴原不等式的解集为.③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，解得x<－，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为.不等式的恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)≤a ⇔f(x)max≤a，f(x)≥a ⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简便的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．设有关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a. (1)当a ＝1时， 解此不等式．(2)当a 为何值时，此不等式的解集是R? (1)当a ＝1时， lg(|x ＋3|＋|x －7|)>1， ⇔|x ＋3|＋|x －7|>10，⇔或⎩⎨⎧ －3<x<7，10>10或⎩⎨⎧x≤－3，4－2x>10，⇔x>7或x<－3.∴不等式的解集为{x|x<－3或x>7}． (2)设f(x)＝|x ＋3|＋|x －7|， 则有f(x)≥|(x＋3)－(x －7)|＝10， 当且仅当(x ＋3)(x －7)≤0，即－3≤x≤7时，f(x)取得最小值10.∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1.要使lg(|x＋3|＋|x－7|)>a的解集为R，只要a<1.。
人教A版选修4-5数学优化课件：绝对值不等式 2 绝对值不等式的解法
－c≤ax＋b≤c
，再
ax＋b≥c
或 ax＋b≤－c ，再进一步利
2．利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分成几个区间， 然后确定各个绝对值中的多项式的 符号 ，进而去掉 绝对值符号 ． 3．可以通过 构造函数 ，利用 函数图象 ，得到不等式的解集．
[双基自测] x－2 x－2 1．不等式| x |> x 的解集是( A．(0,2) C．(2，＋∞) ) B．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
x－2 解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于 x <0，即 x(x－2)<0， ∴0<x<2，故选 A.
答案：A
2．不等式|x－1|＋|x－2|<2 的解集是________．
1 解析：当 x≤1 时，1－x＋2－x<2，即 2x>1，∴ <x≤1；当 1<x<2 时， 2 x－1＋2－x<2 恒成立，即 1<x<2；当 x≥2 时，x－1＋x－2<2，即 2x<5， 5 ∴2≤x< . 2 1 5 综上， <x< . 2 2
(4)形如 a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a<|f(x)|<b(0<a<b) ⇔a<f(x)<b 或－b<f(x)<－a. (5)形如|f(x)|<f(x)，|f(x)|>f(x)型不等式 此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0； |f(x)|<f(x)⇔x∈∅.
1．解下列不等式： (1)2<|3x－1|<3； (2)(1＋x)(1－|x|)>0； (3)|2x－1|<x.
1 2 2绝对值不等式的解法
(5)方法 1：分类讨论求解． (ⅰ)当 2x<0 时，即 x<0. ∵x2－12≥0 对任意 x∈R 恒成立， ∴x2－12>2x 恒成立． ∴x<0 是原不等式的解． (ⅱ)当 2x＝0 时，即 x＝0. ∵x2－12＝0－12＝12>0， ∴x＝0 是原不等式的解．
(ⅲ)当 2x>0 时，即 x>0.
4．解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒 等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例 1】 解下列不等式： (1)|x－1|≤2； (2)|2x－1|<2－3x； (3)3≤|x－2|<4； (4)|x＋2|>|x－1|； (5)x2－12>2x.
解 (1)|3－2x|－4≥0⇔|2x－3|≥4⇔2x－3≥4 或 2x－3≤－ 4⇔2x≥7 或 2x≤－1⇔x≥72或 x≤－12.所以原不等式的解集为 x|x≤－12或x≥72.
(2)2<|3x－1|<3 ⇔2<3x－1<3 或－3<3x－1<－2 ⇔3<3x<4 或－2<3x<－1
⇔1<x<43或－23<x<－13. 所以原不等式的解集为 x|－23<x<－13或1<x<43. (3)|x2－1|>3⇔x2－1>3 或 x2－1<－3 ⇔x2>4 或 x2<－2(无解) ⇔|x|>2⇔x>2 或 x<－2. 所以原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>2}．
人教A版选修4-5 第一章 二 1.绝对值三角不等式 课件(28张)
第一讲 不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方 法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
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第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2， 当且仅当(x－1)(x＋1)≥0， 即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2， 当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大 值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
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第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
第一讲 不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1， 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
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第一讲 不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1， 所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式(第2
一 不等式2.基本不等式1．了解两个正数的几何平均与算术平均．2．会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题．1．定理1如果a ，b ∈________，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______ 时，等号成立． 2．定理2(基本不等式) (1)定理2：如果________，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当________ 时，等号成立．(2)________称为a ，b 的算术平均，__________称为a ，b 的几何平均． (3)基本不等式可以表述为：两个正数的________不小于(即大于或等于)它们的________． (4)基本不等式的几何意义．直角三角形斜边上的______不小于斜边上的______．基本不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”．【做一做1－1】 log a b ＋log b a ≥2成立的必要条件是( ) A ．a ＞1，b ＞1 B ．a ＞0,0＜b ＜1 C ．(a －1)(b －1)＞0 D ．以上都不正确 【做一做1－2】 下列各式中，最小值等于2的是( ) A.x y ＋y x B.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x3．重要的不等式链设0＜a ≤b ，则a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤__________________≤a 2＋b 22≤b .【做一做2】 下列结论中不正确的是( ) A ．a ＞0时，a ＋1a≥2B.b a ＋a b≥2 C ．a 2＋b 2≥2abD ．a 2＋b 2≥a ＋b224．应用基本不等式求函数最值 已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当且仅当______时，积xy 取得最大值________； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当且仅当______时，和x ＋y 取得最小值__________．基本不等式应用中有“积定和最小，和定积最大”的规律．【做一做3－1】 设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________．【做一做3－2】 已知lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为________．答案：1．R a ＝b 2．(1)a ，b ＞0 a ＝b (2)a ＋b2ab(3)算术平均 几何平均 (4)中线 高【做一做1－1】 C 因为log a b 与log b a 互为倒数，符合基本不等式的结构．但两个数应是正数，所以a ，b 同时大于1或a ，b 都属于区间(0,1)．【做一做1－2】 D ∵2x＞0,2－x＞0，∴2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当2x ＝2－x，即x ＝0时，等号成立．3.a ＋b2【做一做2】 B 选项A 、C 显然正确；选项D 中，2(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥a ＋b22成立；而选项B 中，b a ＋ab≥2不成立，因为若ab ＜0，则不满足不等式成立的条件．4．(1)x ＝ys 24(2)x ＝y 2p【做一做3－1】 3－2 3 y ＝3－(3x ＋1x )≤3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立．∴y max ＝3－2 3.【做一做3－2】 15∵lg x ＋lg y ＝2，∴lg(xy )＝2.∴xy ＝102.∴1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2100100＝15，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立．认识基本不等式中的数a ，b剖析：在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”．例如在试题“已知2x ＋y ＝1，x ，y ∈R ＋，求xy 的最大值”中，“两个数”不是“x ”与“y ”，而是已知条件中的“2x ”与“y ”，这是因为定值是“2x ＋y ＝1”，而“x ＋y ”不是定值，因而要求xy 的最大值应视作求12(2x )·y 的最大值，即xy ＝12(2x )·y ≤12×(2x ＋y 2)2＝18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立． 定位准确基本不等式中的“数”是使用基本不等式的大前提．再如：在“设实数a ，b ，x ，y 满足a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，求ax ＋by 的最大值”中要求的“ax ＋by ”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值．ax ＋by ≤a 2＋x 22＋b 2＋y 22＝a 2＋b 2＋x 2＋y 22＝2.但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“＝”的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ，b ＝y ，这与a 2＋b 2＝1和x 2＋y 2＝3矛盾．因此正确的解法应是三角换元法：令a ＝cos α，b ＝sin α，x ＝3cos β，y ＝3sin β， ∴ax ＋by ＝cos α·3cos β＋sin α·3sin β＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3cos(α－β)≤3，当且仅当cos(α－β)＝1，即α＝β时，等号成立．∴ax ＋by 的最大值是 3.题型一 利用基本不等式证明不等式【例1】 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手．反思：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．题型二 利用基本不等式求函数最值【例2】 已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．分析：由x ＜54，可知4x －5＜0，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值．反思：在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：①首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； ②其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；③利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．题型三 基本不等式的实际应用【例3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x (万件)与年促销费t (万元)之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？分析：(1)两个基本关系式是解题的关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式． 反思：(1)应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．(2)解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：①阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．②建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．③讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．④作出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论． 题型四 易错辨析【例4】 已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值．错解：方法一：∵对任意a ＞0恒有a ＋1a≥2，∴z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，∴z 的最小值为4. 方法二：∵x ＋y ＝1， ∴x 2＋y 2＋2xy ＝1， ∴x 2＋y 2＝1－2xy ，∴z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝1xy(x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝2＋x 2y 2－2xy xy ＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝22－2.∴z 的最小值为22－2.错因分析：方法一：z ＝4成立的条件是x ＝1x 且y ＝1y，即x ＝1且y ＝1，与x ＋y ＝1相矛盾；方法二：z ＝22－2的条件是2xy ＝xy ，即xy ＝2，这与0＜xy ≤14相矛盾．答案：【例1】 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a.同理：1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．【例2】 解：∵x ＜54，∴5－4x ＞0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时上式等号成立．∴当x ＝1时，y 的最大值为1. 【例3】 解：(1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. ∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1)＋3. 当销售x 万件时， 年销售收入为150%[32(3－2t ＋1＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－(t ＋12＋32t ＋1)≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大．【例4】 正解：由x ＋y ＝1知x 2＋y 2＋2xy ＝1，x 2＋y 2＝1－2xy ，从而有z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝1xy(x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝1xy (2＋x 2y 2－2xy )＝1＋1－xy2xy，令xy ＝t (0＜t ≤14，t ＝14时，x ＝y ＝12)，则z ＝1＋1－t2t＝2t＋t －2，令f (t )＝2t＋t ，不难证明f (t )＝2t ＋t 在(0，14]上单调递减，故当t ＝14时，f (t )＝2t ＋t 取最小值334，∴当x ＝y ＝12时，z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )取最小值254.1．函数y ＝22631x x ++的最小值是( )A ．3B ．－3C ．D ．32．(2012广州三中高考模拟)已知a ＞0，b ＞0，则11a b++( )A ．2B ．C ．4D ．53．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：111a b c++≥9. 4．(1)若x ＞0，求f (x )＝123x x+的最小值； (2)若x ＜0，求f (x )＝123x x+的最大值． 5．(2011山东枣庄模拟，理18)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3 m ，AD ＝2 m.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不小于6 m ，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．答案：1．D y ＝3x 2＋261x +＝3x 2＋3＋261x +－3， 又∵3x 2＋3＞0，261x +＞0，∴y ≥3＝3.2．C 因为11a b++a ＝b 1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4.3．分析：(1)注意“1”的代换．(2)a b c a ++＋a b c b ++＋a b cc++3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋ac)＋(c b ＋bc)．这一步为使用基本不等式创造了条件． 证明：111a b c ++＝a b c a b c a b c a b c ++++++++＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．4．解：(1)x ＞0，由基本不等式，得f (x )＝123x x+≥12. 当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，f (x )取最小值12. (2)∵x ＜0，∴－x ＞0，则f (x )＝12x ＋3x ＝－(－12x －3x )＝－[(－12x)＋(－3x )]≤-12， 当且仅当12x-＝－3x ，即x ＝－2时，f (x )取最大值－12. 5．解：(1)设AN ＝x (m)(x ＞2)， 则ND ＝(x －2)m.∵ND DC ＝AN AM ，∴23x -＝x AM ， ∴AM ＝32xx -，∴32x x x ⋅-＞32，∴3x 2－32x ＋64＞0， ∴(3x －8)(x －8)＞0， ∴2＜x ＜83或x ＞8. ∴AN 的长的范围为(2，83)∪(8，＋∞)． (2)由(1)知，S 矩形AMPN ＝232x x -＝23(2)12(2)122x x x -+-+-＝3(x －2)＋122x -＋12≥12＝24. 当且仅当x ＝4时取等号．∴当AN 的长度为4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，矩形AMPN 的最小面积为24 m 2. (3)由(2)得S 矩形AMPN ＝3(x －2)＋122x -＋12(x ≥6)，令x －2＝t (t ≥4)， 则S 矩形AMPN ＝3t ＋12t ＋12(t ≥4)． 设f (t )＝3t ＋12t ＋12(t ≥4)，∴f ′(t )＝2123t-，当t ≥4时，f ′(t )＞0，∴函数f (t )在[4，＋∞)上单调递增， ∴f (t )min ＝f (4)＝27，此时x ＝6.∴若AN 的长度不小于6 m ，则当AN 的长度是6 m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27 m 2.。
绝对值不等式(2)
原不等式可化为:x 2 x 1 5 0,
令y x 2 x 1 5,则
y
2x 6, x 2, y 2, 2 x 1,
2x 4, x 1
作出该函数的图象 , 如右图,
3 O 2 x 2
所以,原不等式的解集为 x x 3或 x 2 .
绝对值不等式的解法 例5.解下列不等式.
.
绝对值不等式的解法
例3.解关于 x的不等式 : x 1 1(a R). 平方法去绝对值 xa
解法 2:
x 1 xa
1 x 1 x a .
(3)当a 1 0,即a 1时, 解得 : x 1 a .
(x 1)2 (x a)2.
2
综合可知: (1)当a 1时,
即:2(a 1)x (a 1)(1 a). (1)当a 1 0,即a 1时,
绝对值不等式的解法 例 2. 解下列不等式 .
(1) 3x 1 2. (2) 2 3x 7.
(1)解:由 3x 1 2得: 2 3x 1 2,
解得 : 1 x 1, 3
原不等式的解集为 x
1 3
x
1.
思考:你还有其它的解法吗? 数轴法:绝对值的几何意义
(2)解:由 2 3x 7得: 2 3x 7 或 2 3x 7 ,
解得 : x 5 或 x 3, 3
平方法去绝对值 零点分段讨论法去绝对值
原不等式的解集为 x
x
5 3
或
x
3.
图象法
绝对值不等式的解法
(3)
x x2
2
x2
3x 4.
x x
x2 x2
2 2
(x2 3x 4) , x2 3x 4,
等价转化
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1.2.1绝对值三角不等式1.学习目标： 1. 对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用2.旧知复习①．绝对值的定义：a R ∀∈，a =②. 对于任意的实数a ,都有 a 2a ③. ab b a •，b aba ()0≠b 3.自主预习、新知建构1.绝对值的几何意义：10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，那么||a b -的几何意义是 2.请同学们根据上面绝对值的几何意义，探究a ，b 与b a +，b a -之间的关系. ① b a + b a +定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当 时, 等号成立.（请同学们据右图对上述不等式的几何意义进行阐述，并用代数 方法证明）②b a - b a + 由①②可有：b b a ++ ()b b a -+ a ，b b a +- ()b b a +- a 于是有：③b a - b a +，④b a - b a -即：b a - b a ± b a +（绝对值三角不等式）3.如果在上述定理中用b a -代替a ，用c b -代替b 则可得到什么？定理2.如果R c b a ∈,,，则ca -cb b a -+-，当且仅当 时，等号成立.4.自主探究例1.已知0>ε，ε<-a x ，ε<-b y ，求证 ε53232<--+b a y x .例2.(1)求函数13+--=x x y 的最大和最小值； (2)设R a ∈，函数())11(2≤≤--+=x a x ax x f . 若1≤a ，求()x f 的最大值5.当堂检测1.设b a 、是满足0<ab 的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A.b a b a ->+ B.b a b a -<+ C.b a b a -<- D.b a b a +<-2.设0>ε，4ε<-a x ，6ε<-b y ，求证：ε<--+b a y x 3232.3.若R b a ∈,，且2,3≤≤b a 则b a +的最大值是 ，最小值是 .4.求函数()11++-=x x x f 的最小值.5.若对任意实数，不等式a x x >--+21恒成立，求a 的取值范围.6.课堂小结1.理解掌握绝对值三角不等式及其几何意义；2.绝对值三角不等式的应用.7. 课时跟踪训练1.对于b a -≤b a +≤b a +，下列结论正确的是 （ )A.当b a ,异号时，左边等号成立B.当b a ,同号时，右边等号成立C.当0=+b a 时，两边等号均成立D.当0>+b a 时，右边等号成立；当0<+b a 时左边等号成立 2.不等式1<++ba b a 成立的充要条件是 （ ）A.b a ,都不为零B.0<abC.ab 为非负数D.b a ,中至少有一个不为零 3.函数64-+-=x x y 的最小值为 .4.若24,81<<-<<b a ，则b a -的取值范围是 .5.求证：(1).a b a b a 2≥-++；(2).b b a b a 2≤--+； (3).()021≠≥+x xx ； (4).b x a x b a b x a x -+-≤-≤---； 6.设函数34-+-=x x y .求(1)y 的最小值；（2）使a y <有解的a 的取值范围；（3）使a y ≥恒成立的a 的最大值.§1.2.1含绝对值不等式的解法 1知识情景：1．绝对值的定义：a R ∀∈， ||a ⎧=⎨⎩2. 绝对值的几何意义：10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，那么||a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式：①0a b ⋅>时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++. 综上,得定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当 时，等号成立.定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当 时,等号成立.定理3 如果,,a b c R ∈, 那么||||____||____||||a b a b a b -±+. ☻建构新知：含绝对值不等式的解法1．设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示.2．设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图 3．设a 为正数, 则10.()f x a <⇔;20.()f x a >⇔; 30设0b a >>,则()a f x b ≤<⇔.4．10. ()f x ≥()g x ⇔ ； 20. ()()f x g x <⇔ . ☆案例学习：例1解不等式(1)|2x-3|≤7；(2)|2x-3|>4；(3) 4|23|7x <-≤（4） |2||1|x x -<+；例2解不等式(1)213+<-x x ; (2)x x ->-213.例3解不等式(1)52312≥-++x x ; (2)512≥-+-x x .例4 (1)（03北京春）若不等式26ax +<的解集为()1,2-，则实数a 等于( ) .A8 .B 2 .C 4- .D 8-(2) 不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，实数a 的取值范围 是（3） 已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.§1.2.1含绝对值不等式的解法 2学习目标：1. 对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 进一步熟练解决绝对值不等式不等式并会简单应用解不等式1、 .1122>-x2、01314<--x3、423+≤-x x .4、 x x -≥+21.5、1422<--x x6、 212+>-x x .7、 42≥-+x x 8、 .631≥++-x x9、 21<++x x 10、 .24>--x x11. 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{x ∈R|-1≤x ≤c}，求c a 2+的值。
12. 解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13. 解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈§1.2.3含绝对值不等式的解法3学习目标： 1. 对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 进一步熟练解决绝对值不等式不等式并会简单应用1、已知x a b -<的解集为{}39x x -<<，则,a b 的值分别为 （ ） A 、—3，9 B 、3，6 C 、3，9 D 、—3, 6 2、已知集合A={}13x x -<，B={}11x x ->，则A B 等于 （ ）A 、{}24x x -<<B 、{}20x x -<< C 、{}2024x x x -<<<<或 D 、{}04x x x <>或 3、不等式123x -<的解集是 （ ）A 、{}1x x <B 、{}12x x -<<C 、{}2x x >D 、{}12x x x <->或 4、已知不等式28ax +<的解集为{}35x x -<<，则a 的值是 （ ） A 、14 B 、58C 、2-D 、2 5、已知11x -=，则x 的取值范围是 （ ）A 、12x ≤≤B 、1x ≤C 、12x x <>或D 、2x ≥ 6、与不等式132x x -<-的解集相同的不等式是 （ ）A 、2132x x x -<-<B 、2312x x x <-<-C 、2312x x x -<-<D 、以上答案都不对 7、集合{}013x N x ∈<-<的真子集个数为 （ ） A 、16 B 、15 C 、8 D 、78、不等式2123x x -<-的解集是 （ ） A 、315x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 B 、35x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ C 、113225x x x ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或 D 、133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭二、填空题 （每小题5分）9、不等式49x +>的解集是_______________________10、已知1∈{}2x x a +>，则a ∈___________________________ 11、不等式x x >的解集是____________________ 三、解答题（需要有解题过程） 12、（12分）解不等式211x x -<-13、（12分）解不等式31423x x+->+14、（13分）解不等式125x x -++<不等式练习案1 含绝对值不等式的解法学习目标： 1. 对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握；2. 进一步熟练解决绝对值不等式不等式并会简单应用1．已知=>-=<-=B A x x B x x A 则},11{},21{ （ ）A ．}31|{<<-x xB ．}20|{><x x x 或C ．}01|{<<-x xD ．}3201|{<<<<-x x x 或 2．不等式)32(21)123(41+-≤--x x 的解集为 （ ）A ．}95|{<<-x xB ．}95|{≤≤-x xC ．}95|{>-<x x x 或D ．}95|{≥-≤x x x 或、3．以下说法正确的是 （ ） A.不等式a x >的解集是{}a x a x <<-B ．不等式a x <的解集表示数轴上到原点的距离小于a 的点的集合 C. 2x x -≤的解集一定不是空集 D.21a x -≥-的解集一定是空集4．设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于 （ ） A 、｛x|x <-2或x >0｝ B 、｛x|x <1或x ＞3｝ C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3} D 、｛x|1<x<3｝5．不等式|ax+b|≤c 的解集为非空集合，则c 的取值范围是 （ ） A 、c ≥0 B 、c>0 C 、c<0 D 、c ≤06．若不等式|1-kx |<2的解集是{x |-1<x <3}，则的k 为 （ ） A 、-2<k<1 B 、31-<k<1 C 、k=1 D 、k=-3 7．不等式1|12|1>+x 的解集是 （ ）A 、｛x|0<x <1｝B 、｛x|-1<x <0｝C 、｛x|-1<x <0且x ≠21-｝D 、｛x|x<-1或x >0｝ 8．使不等式11->-x x 成立的实数x 的取值范围为_______________________ 9. 不等式x x ->+21的解集是_____________________________10．不等式2123≥+-x x 的解集是_______________________ 11．不等式|x -|2x -1||>1的解集为_____________________。