平截长方棱锥体质量计算
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
【课件】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3 2
a
4
因此，四面体P-ABC的表面积
S P ABC
3 2
4
a 3a 2
4
例析
1. 已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，
求它的表面积．
84
新知探索
一、棱柱的体积
1.还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
V正方体=a3 (a为正方体的棱长)
所以正四棱台的侧面面积为48 15.
练习
方法技巧：
1.求解正轮胎的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，
并注意两个直角梯形的应用：
①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；
②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
2.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤：
①清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积；
浇制一个这样的预制件需要多少立方米的混凝土?(钢筋体积略去不
计，精确到0.01立方米)
练习
题型三：组合体的表面积和体积
例3.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，
浇制一个这样的预制件需要多少立方米的混凝土?(钢筋体积略去不
计，精确到0.01立方米)
解：将预制件看成一个由长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱
h1
设t
, 则t为上底面边长和下底面边长的相似比.
h h1
S'
S' 2
h1
S ' 即h
h
于是，有 t ，所以
， 1
S S'
S
h h1
S
1
1 '
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BCBFBEV⋅⋅=21水是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。
棱锥的性质及其计算公式
棱锥的性质及其计算公式棱锥是一种几何体，具有一定的性质和计算公式。
本文将介绍棱锥的性质，并提供相关的计算公式。
首先，棱锥是由一个多边形的底面和一个顶点连接而成的立体图形。
底面可以是任意形状的多边形，而顶点与底面上的各个顶点连线的线段称为棱。
棱锥的侧面是由底面上的各个顶点与顶点连线所围成的三角形。
根据底面的形状不同，可以有正棱锥、直棱锥、斜棱锥等不同类型的棱锥。
棱锥有以下几个重要的性质：1. 底面积：棱锥的底面积可以根据具体的底面形状来计算。
例如，如果底面是一个正多边形，则可以根据正多边形的边长和边数来计算底面积。
若底面面积为A，则底面积公式为：A = (n * s^2) / (4 * tan(π/n))其中，n表示底面多边形的边数，s表示底面边长，π为圆周率。
2. 侧面积：棱锥的侧面积指的是所有侧面三角形的面积之和。
侧面积的计算与底面形状和棱锥的高度有关。
对于任意形状的底面，可以使用海伦公式将侧面积计算为三角形三边长度的函数。
3. 总表面积：棱锥的总表面积等于底面积加上侧面积。
即S = A + L其中，S表示总表面积，A表示底面积，L表示侧面积。
4. 体积：棱锥的体积可以根据底面积和棱锥高度来计算。
体积的计算公式为：V = (A * h) / 3其中，V表示体积，A表示底面积，h表示棱锥的高度。
除了以上的基本性质，棱锥还涉及到一些其他的概念和计算公式：5. 斜高：棱锥的斜高是指从棱锥顶点到底面上一条边的距离。
斜高可以使用勾股定理计算，即斜高^2 = 高^2 + 距离^2其中，高表示棱锥的高度，距离表示从顶点到底面上一条边的垂直距离。
6. 母线：棱锥的母线是由棱锥顶点连接到底面上一条边上的点的线段。
母线的长度可以使用勾股定理计算，即母线^2 = 高^2 + 距离^2其中，高表示棱锥的高度，距离表示从顶点到底面上一条边的垂直距离。
综上所述，棱锥是一种由底面和顶点组成的立体图形，具有多个性质和计算公式。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
1234 5
(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
棱锥的结构和计算公式
棱锥的结构和计算公式棱锥是一种立体几何体，由一个多边形的底面和一个顶点通过直线段相连而组成。
本文将详细介绍棱锥的结构以及相关的计算公式。
一、棱锥的结构棱锥由两个重要的部分组成：底面和侧面。
底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等，具体形状可以根据实际情况而定。
侧面是由棱线连接底面上的各个顶点和棱锥的顶点形成的。
1. 底面：棱锥的底面通常是一个多边形，由若干个顶点和边组成。
底面的形状决定了棱锥的种类，如三角形底面的棱锥被称为三棱锥，四边形底面的棱锥被称为四棱锥，以此类推。
2. 侧面：棱锥的侧面是由底面上各个顶点和棱锥顶点相连形成的。
侧面的形状是由底面的形状决定的。
例如，三角形底面的棱锥有三个侧面，而四边形底面的棱锥有四个侧面。
3. 顶点：棱锥的顶点是连接底面各个顶点和侧面的点。
顶点是棱锥的最高点，也是所有侧面所共有的一个点。
二、棱锥的计算公式在实际应用中，我们常常需要计算棱锥的各个参数，如体积、表面积等。
下面是一些常用的计算公式：1. 体积公式：棱锥的体积可以用以下公式计算：V = (1/3) * 底面积 * 高其中，底面积是指底面的面积，高是指从棱锥顶点到底面的垂直距离。
2. 表面积公式：棱锥的表面积可以用以下公式计算：S = 底面积 + 侧面积其中，底面积同上述体积公式中的定义，侧面积是指各个侧面的面积之和。
3. 斜高公式：斜高是指从底面上某一点到棱锥顶点的距离。
对于正棱锥（侧面都是等边三角形）来说，斜高的计算公式为：Sl = a * √(1 + 1/4 * φ^2)其中，a为底边的边长，φ为底边与棱锥顶点连线的夹角。
以上是棱锥的一些基本结构和计算公式。
通过了解棱锥的结构和公式，我们可以更好地理解和应用棱锥的相关知识。
在实际问题中，我们可以根据给定的条件，利用这些公式计算出棱锥的各个参数，为问题的解决提供便利。
钢板重量和圆的计算公司
钢板重量和圆的计算公司钢板重量和圆的计算公司一、圆面积公式：圆的半径=r 直径=d圆周率（π）设为3.14（圆面积）S圆=πr2二、圆周长C＝2πR=πd三、弧长计算公式：弧长公式:弧长=θ*r ,θ是角度r是半径l＝nπr÷180在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l ＝nπR÷180。
例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为l＝nπR÷180＝45×π×1÷180约等于=0.785(cm)四、圆柱的体积圆柱的体积=派（3.14159265358979）×底面半径的平方×圆柱的高V柱=SH=πr²h五、平截正圆锥体几何特性计算六、球面扇形体几何特性计算七、平截长方棱锥体几何特性计算八、平截空心圆锥体几何特性计算钢板重量的计算公式一、题目：钢板厚度0.8mm 宽度1250mm 每米45元求每吨价格。
计算方法：1、先算每米重量Q，长L=1（m）、宽W=1250mm=1.25m、厚H=0.8mm=0.0008m。
2、每米重量Q=L(m)×W(m)×H(m)×7.8（KG）=0.0078吨(kg/m)。
3、每吨长度为LT=1／Q=128.205m。
4、价格S=LT×45=5769元。
二、1、钢板重=Sx7.85x钢板厚(mm)= 吨(kg/m)2、钢板重=长x宽x厚x材料的比重7.85常用黑色金属材料一、钢板单位重量表钢板每平方米重量表花纹钢板每平方米重量表二、圆钢单位重量表热轧圆钢每米重量表冷拉圆钢每米重量表三、热轧扁钢每米重量表四、角钢单位重量表热轧等边角钢每米重量表热轧不等边角钢每米重量表。
高中数学《棱柱、棱锥、棱台的结构特征 》课件
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课后课时精练
数学 ·必修2
解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形 成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何 体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点， 故②对．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之 间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相 交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确.
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．
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拓展提升 空间几何体的展开图
(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构 特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标 上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
数学 ·必修2
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义
(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．
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【跟踪训练 3】 根据如下图所给的平面图形，画出立 体图．
2020-2021高中数学人教版第二册学案：8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台含解析第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台［目标］1。
记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2。
理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题．［重点］棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征．[难点］棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解．要点整合夯基础知识点一空间几何体[填一填]1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：一条平面曲线（包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．［答一答］1．多面体与旋转体的主要区别是什么?提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．2．多面体最少有几个面，几个顶点,几条棱？提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．知识点二棱柱的结构特征［填一填］1．有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．2．一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．[答一答]3．棱柱的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的?提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．4．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示．知识点三棱锥的结构特征［填一填]有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．［答一答]5．棱锥的侧面是什么样的多边形?有什么特征？提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．6．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？提示：不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示．知识点四棱台的结构特征[填一填]用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．［答一答]7．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示:棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．8．观察下面的几何体,思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示:题图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点．不一定,题图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台。
棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)
3.如 图， 已知 长 方体 ABCD－ A1B1C1D1，过 BC 和 AD 分别作 一个平面交底面 A1B1C1D1 于 EF、 PQ，则长方体被分成的三个几何 体中，棱柱的个数是________．
答案： 3
4．在正方体上任意选择四个顶点,它们可能是如 下各种几何体的4个顶点．这些几何体是 ________．<写出所有正确结论的编号> ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三 角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
答案： D
2．以下三种说法,其中正确的是< >
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部
分是棱台；
②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面
体是棱台；
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的
六面体是棱台．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： 对①如图中的<1>,当截面不平行于底面 时棱锥底面和截面之间的部分为非棱台． 对②③,如图<2>中AA1,DD1交于一点,而BB1,CC1 交于另一点,此几何体不能还原成四棱锥,故不是 棱台．
[正解] 按题意作出如下图形,该几何体有两个面 互相平行,其余各面都是平行四边形,但它不是棱 柱．所以有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形的多面体不一定是棱柱．
[提示] 可以．
一、空间几何体
1．空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分,若只考 虑这些物体的_形__状___和_大__小___,而不考虑其他 因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就 叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类
立体几何中的截面问题及球的切接问题--备战2022年高考数学一轮复习配套(创新设计版)
(2)(2020·名校仿真训练五)棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别 为棱 C1D1 与 C1B1 的中点，则经过点 B，E，F 的平面截正方体所得的封闭图
形的面积为( A )
A.92 B．3 10 C.32 D. 10 解析 (2)
如图，经过点 B，E，F 的平面 BEF 截正方体所得截面为四边形 BDEF， 因为 E，F 分别是 C1D1，C1B1 的中点，正方体的棱长为 2， 所以 EF∥BD，且 EF＝12BD， 所以四边形 BDEF 是下底为 BD＝2 2，上底为 EF＝ 2的等腰梯形．
|OM|
23
解得|ON|＝ 3，
则圆 N 的半径 r＝ 42－（ 3）2＝ 13，圆 N 的面积为πr2＝13π，故选 D.
感悟升华
此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特 殊情况使问题得到简化．
【训练 1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平
2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心 (1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正 方体或长方体． (2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．
【训练 2】(1)一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的
表面积为( A )
感悟升华
求内切球的半径常用等积法 (1)正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心 到多面体任一面的距离． (2)正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合．
【训练 3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆
棱锥体计算公式
棱锥体计算公式棱锥体是我们在数学学习中会遇到的一种几何体，要想搞清楚棱锥体的相关知识，首先得从它的定义和特点说起。
棱锥体呢，简单来说，就是由一个多边形底面和若干个三角形侧面围成的立体图形。
它的形状多种多样，就像我们生活中的金字塔，那就是一种棱锥体。
棱锥体的体积计算公式是 V = 1/3 × S × h 。
这里的 V 表示体积，S表示底面积，h 表示高。
这个公式看起来简单，可真要用起来，还得好好琢磨琢磨。
我记得有一次，在给学生们讲解棱锥体体积计算的时候，发生了一件有趣的事儿。
当时我在黑板上画了一个三棱锥，让同学们自己去思考怎么计算它的体积。
有个调皮的小家伙，眼睛瞪得大大的，嘴里嘟囔着：“老师，这东西看起来好复杂呀，怎么算嘛！”我笑了笑，鼓励他说：“别着急，咱们一步步来。
”于是，我带着大家一起先算出底面三角形的面积，再测量出棱锥的高。
在这个过程中，同学们七嘴八舌地讨论着，有的量错了尺寸，有的算错了面积，教室里热闹极了。
终于，我们算出了这个三棱锥的体积。
那个一开始觉得难的小家伙，这时候脸上露出了开心的笑容，大声说：“原来也不难嘛！”通过这件事，我更加深刻地体会到，让学生们自己动手去探索和计算，比单纯地告诉他们公式效果要好得多。
在实际生活中，棱锥体的体积计算也有很多用处呢。
比如说，建筑工人在建造金字塔形状的建筑物时，就需要用到棱锥体的体积计算公式，来确定需要多少建筑材料。
还有，我们在设计一些具有棱锥形状的装饰品或者包装时，也得依靠这个公式来计算所需的空间和材料。
再来说说棱锥体的表面积计算。
它的表面积等于底面积加上各个侧面三角形的面积之和。
这就需要我们先算出底面多边形的面积，然后再分别算出每个侧面三角形的面积，最后把它们加起来。
听起来有点繁琐，但是只要掌握了方法，也不是什么难事。
为了让大家更好地理解棱锥体的计算公式，我们可以多做一些练习题。
比如，给出一个四棱锥的相关数据，让大家去计算它的体积和表面积。
棱锥的表面积和体积计算公式
棱锥的表面积和体积计算公式棱锥是一种特殊的立体几何图形，具有一个基面和若干个侧面。
表面积和体积是计算棱锥特征的重要参数。
本文将介绍棱锥的表面积和体积的计算公式。
一、棱锥表面积的计算公式棱锥的表面积是指棱锥所有面的总面积。
一个棱锥包括一个底面和若干个侧面，因此棱锥的表面积可以分为底面积和侧面积两部分。
1. 底面积的计算棱锥的底面通常是一个正多边形，可以是三角形、四边形、五边形等。
不同形状的底面需要使用不同的计算方法。
以底面为正多边形的棱锥为例，假设正多边形的边长为a，那么底面积可以通过以下公式计算：底面积 = (边长a)^2 * cot(180°/边数n)其中cot表示余切函数，边数n表示正多边形的边数。
2. 侧面积的计算棱锥的侧面是一个个三角形，其面积可以通过三角形面积公式计算。
对于每个侧面，假设侧面的底边长为a，侧面的高为h，那么侧面积可以使用以下公式计算：侧面积 = 1/2 * a * h3. 总表面积的计算将底面积和侧面积相加，即可得到棱锥的总表面积。
总表面积 = 底面积 + 侧面积二、棱锥体积的计算公式棱锥的体积是指棱锥所占据的空间大小。
棱锥的体积计算公式与其底面积和高有关。
假设棱锥的底面积为A，高为h，那么棱锥的体积可以使用以下公式计算：体积 = 1/3 * A * h其中1/3是棱锥体积公式的系数。
总结：本文介绍了棱锥的表面积和体积的计算公式，包括底面积、侧面积和总表面积的计算方法，以及体积的计算公式。
根据不同的底面形状和高，可以灵活运用这些公式来计算棱锥的表面积和体积。
体积重量计算表
开放组织的名词解释在当今快速变化的现代社会中，一种新的组织形式——开放组织，逐渐受到人们的关注。
开放组织作为一种灵活、创新且高度透明的组织模式，受到越来越多的组织和企业的青睐。
本文将对开放组织进行名词解释，旨在帮助读者更好地理解这一新兴概念。
一、开放组织的定义开放组织可以被理解为一种注重开放性、合作性和透明度的组织形式。
相对于传统的封闭式组织结构，开放组织倡导员工之间、团队之间以及组织与外界之间的多元互动和协作。
开放组织的决策方式也更加民主，注重员工的参与和贡献。
二、开放组织的特点1. 弹性和适应性：开放组织强调动态性和灵活性，能够迅速适应环境变化。
相比于传统组织的僵化结构，开放组织更容易调整和改变其内部组织形式和流程，以适应市场需求以及技术的发展。
2. 充分的信息共享：开放组织鼓励成员间的信息共享和知识掌握。
这种信息的流通可以从内部成员的交流，也可以是通过与外界的合作和合作伙伴的互动中产生。
开放组织的信息共享有助于集体智慧的发挥，促进创新和决策的准确性。
3. 平等和扁平的层次结构：开放组织避免了传统组织中的等级制度和层次关系，强调团队合作和平等的工作环境。
开放组织的管理层次更加扁平，员工之间的沟通更为直接，从而激发员工的创造力和积极性。
4. 开放式创新：开放组织鼓励成员的创新和探索精神，促进全体成员在问题解决和创新方面的参与。
开放组织在组织结构和流程上给予成员更大的自主权和决策权，提高了创新的速度和效果。
5. 多元文化和价值观：开放组织注重建立一个包容和多元的工作环境，尊重个体的差异性和多元化的意见。
此外，开放组织也强调各个成员间的共同价值观，鼓励员工对组织的使命和价值感到认同，并为实现组织目标而努力。
三、开放组织的优势1. 创新能力增强：开放组织能够吸收多样化的观点和经验，并通过跨学科和跨部门的合作激发创新。
开放组织创造了一个积极的创新文化，鼓励成员独立思考和尝试新的想法。
2. 员工参与度高：开放组织赋予员工更多的自主权和参与决策的机会，提高员工的参与度和责任感。
高中数学教(学)案第10讲棱锥
题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体棱锥高考要求1要使学生理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质，会求其侧面积及体积结合例题讲清求体积的常用方法2以棱锥为载体，训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力 知识点归纳1棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）． 2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面5．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形题型讲解例1 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A =AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD（1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论 （2）当a =4时，求D 点到平面PBC 的距离（3）当a =4时，求直线PD 与平面PBC 所成的角分析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算 解：（1）以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 当a =2时，BD ⊥AC ， 又P A ⊥BD ，故BD ⊥平面P AC故a =2（2）当a =4时，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、P （0，0，2）、FB =（0，2，－2），BC =（4，0，0）设平面PBC 的法向量为n ，则n ·PB =0，n ·BC =0， 即（x ，y ，z ）·（0，2，－2）=0，（x ，y ，z ）·（4，0，0）=0， 得x =0，y =z ，取y =1， 故n =（0，1，1）则D 点到平面PBC 的距离d =|||n DC n |⋅=2 （3）DP =（4，0，2），cos 〈DP ，n 〉=||||DP n DP n ⋅=1010>0， 证〈，n 〉=α，设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ=sin （2π－α）=cos α=1010所以直线PD 与平面PBC 所成的角为arcsin 1010例2 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点 ⑴求证：AE ⊥平面PCD ；⑵若AD =AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值； ⑶当ADAB为何值时，PB ⊥AC ？ ∆PAD 是⑴证： 设N 为AD 中点，Q 为BC 中点，则因为正三角形，底面ABCD 是矩形， 所以，PN AD ⊥，QN AD ⊥， 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以，PN ABCD ⊥面，QN PAD ⊥面， 以N 为坐标原点，NA 、NQ 、NP 所在直线分别为,,x y z轴如图建立空间直角坐标系 设1AD =，ABa =，则P ⎛ ⎝⎭，1,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02D ⎛⎫-⎪⎝⎭，14E ⎛-⎝⎭ ∴34AE ⎛=-⎝⎭，1,0,2PD ⎛=- ⎝⎭，()0,,0DC a=，∴3104242AE PD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0AE DC ⋅=所以，,AE PD AE DC ⊥⊥ 又PDDC D =，,PD DC PDC ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD⑵当1a =时，由（2）可知：34AE ⎛=- ⎝⎭是平面PDC 的法向量； 设平面PAC 的法向量为()1,,n x y z =，则1n PA ⊥，1n AC ⊥，即1022x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，取1x =，可得：1,y z == 所以，131,1,3n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭向量AE 与1n 所成角θ的余弦值为：1131||||4cos 3n AE n ACθ-+⋅===⋅所以，tan θ=又由图可知，二面角A －PC －D 的平面角为锐角， 所以，二面角A －PC －D ⑶1,,22PB a ⎛=-⎝⎭，()1,,0AC a =-，令0PB AC ⋅=，得2102a -=，所以，2a = 所以，当ADAB=PB ⊥AC 例3 如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3．点E 在棱PA 上，且PE=2EA ．（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角； （Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ； （Ⅲ）求二面角A —BE —D 的大小．解：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系B —xyz,(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0)(,0,0),BC a A P D C a =设则(3,3,0),(3,3,3),CD a PD =-=- ,0,3(3)90. 6.CD PD CD PD a a ⊥∴⋅=-+=∴=即(3,3,0),(0,3,3),CD PA =-=-1cos ,.2||||3CD PA PA CD CD PA ⋅∴<>===⋅60.CD AP ∴异面直线与所成的角为（Ⅱ）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，11,,.//.22,//.AG AD AE AG AEPC EG GC BC EP GC EPEG EBD PC EBD PC EBD ∴===∴=∴⊄∴又又平面平面平面Ø（Ⅲ）设平面BED 的法向量为1(,,1),(0,2,1),(3,3,0),n x y BE BD ===因为由1111,0,210,112,,(,,1).330,1220,.2x n BE y n x y n BD y ⎧=⎧⎪⋅=+=⎧⎪⎪=-⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩得所以于是 又因为平面ABE 的法向量2(1,0,0)n =12,cos,6n n <>==所以 所以所求二面角A —BE —D 的大小为例4 如图，正四棱锥P —ABCD 中，AB=2，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角为60° （1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使得AE ⊥PC ，若存在，试确定点E 的位置，并加以证明，若不存在，请说明理由解（1）如图O 为底面ABCD 的中心则∠PAO 为PA 与底面所成的角，∴∠PAO=60° ∵2=AO ∴PO PA ==过O 作OM ⊥BC 于M，连PM 由三垂线定理得BC ⊥PM∴∠PMO 为侧面与底面所成二面角平面角． ∵OM=1，PO=,6tan PMO ∴∠=即侧面与底面所成角为（2）如图，建立空间直角坐标系，(0,A C P B 则,,,(,0,).11PB E E PB E γγγ++假设在上存在一点满足条件设分的比为则26(,2,),(0,2,11AE PC γγγ∴==++,0,AE PC AE PC ⊥∴⋅=620, 2.1rγ∴-==+解得 ,2,E E PB AE PC ∴⊥存在点且点分的比为时满足例5 四棱锥P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC =2，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，CD ∥AB ，AB =4，CD =1，点M 在PB 上，且MB =3PM ，PB 与平面ABC 成30°角，（1）求证：CM ∥面P AD ；（2）求证：面P AB ⊥面P AD ；（3）求点C 到平面P AD 的距离 分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法如下图，建立空间直角坐标系O —xyz ，C 为坐标原点O ，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标（1）证明：如图，建立空间直角坐标系∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，即∠PBC =30°∵|PC |=2，∴|BC |=23，|PB |=4得D （1，0，0）、B （0，23，0）、A （4，23，0）、P （0，0，2） ∵|MB |=3|PM |， ∴|PM |=1，M （0，23，23）， CM =（0，23，23），DP =（－1，0，2），DA =（3，23，0）设CM =x DP +y DA （x 、y ∈R ），则（0，23，23）=x （－1，0，2）+y （3，23，0）⇒x =43且y =41， ∴CM = 43DP + 41DA ∴CM 、DP 、DA 共面又∵C ∉平面P AD ，故CM ∥平面P AD （2）证明：过B 作BE ⊥P A ，E 为垂足 ∵|PB |=|AB |=4，∴E 为P A 的中点∴E （2，3，1），BE =（2，－3，1）又∵BE ·DA =（2，－3，1）·（3，23，0）=0， ∴BE ⊥DA ，即BE ⊥DA 而BE ⊥P A ，∴BE ⊥面P AD∵BE ⊂面P AB ，∴面P AB ⊥面P AD （3）解：由BE ⊥面P AD 知， 平面P AD 的单位向量0n =||BE BE =221（2，－3，1） ∴CD =（1，0，0）的点C 到平面P AD 的距离 d =|0n ·CD |=|221（2，－3，1）·（1，0，0）|=22例6 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F（1）证明：P A ∥平面EDB ；（2）证明：PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小 解法一：（向量法） 如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点设DC =a （1）证明：连结AC 交BD 于G 连结EG依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，2a ，2a ） ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为（2a ，2a，0） 且PA =（a ，0，－a ），EG =（2a ，0，－2a） ∴PA =2EG 这表明P A ∥EG而EG Ø平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB（2）证明：依题意得B （a ，a ，0），PB =（a ，a ，－a ） 又DE =（0，2a ，2a）， A故PB ·DE =0+22a －22a =0∴PB ⊥DE由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE =E ，∴PB ⊥平面EFD（3）解：设点F 的坐标为（x 0，y 0，z 0），PF =λPB ， 则（x 0，y 0，z 0－a ）=λ（a ，a ，－a ） 从而x 0=λa ，y 0=λa ，z 0=（1－λ）a ∴FE =（－x 0，2a －y 0，2a－z 0） =［－λa ，（21－λ）a ，（λ－21）a ］由条件EF ⊥PB 知FE ·PB =0，即 －λa 2+（21－λ）a 2－（λ－21）a 2=0， 解得λ=31 ∴点F 的坐标为（3a ，3a ，32a ）， 且FE =（－3a ，6a ，－6a ），FD =（－3a ，－3a ，－32a）∴PB ·FD =－32a －32a +322a =0，即PB ⊥FD故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角∵FE ·FD =92a －182a +92a =62a ，且|FE |=61·a ，|FD |=32·a ，∴cos ∠EFD21a=21∴∠EFD =3π∴二面角C —PB —D 为3π 解法二：（几何法）（1）证明：连结AC 交BD 于O 连结EO∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在△P AC 中，EO 是中位线，∴P A ∥EO而EO ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC ∵PD =DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥PC ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，A∴BC ⊥平面PDC而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE ② 由①和②推得DE ⊥平面PBC 而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB又EF ⊥PB 且DE ∩EF =E ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角 由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB设正方形ABCD 的边长为a ，则PD =DC =a ，BD =2a ， PB =22BD PD +=3a ，PC =22DC PD +=2a ，DE =21PC =22a在Rt △PDB 中，DF =PB BD PD ⋅=aaa 32⋅=36a在Rt △EFD 中，sin ∠EFD =DF DE=a a3622=23，∴∠EFD =3π∴二面角C —PB —D 的大小为3π小结：1空间向量是是立体几何问题代数化的桥梁，学习时，要给予重视2在解答棱锥的综合练习时，要善于联想，灵活运用柱、锥的性质和线面关系，善于揭示一类问题的共同特征，掌握基本方法，对于正棱柱问题借助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握 学生练习1棱锥的底面积为S ，高位h ，平行于底面的截面面积为S '，则截面与底面的距离为( A )A(S －S ')hSB(S ＋S ')hSC(S －S ')hSD(S ＋S ')hS2三棱锥P －ABC 的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 3三棱锥P －ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的(B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 4三棱锥P －ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( A ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心5三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( C ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心6三棱锥V －ABC 中，VA ＝BC ,VB ＝Ac ,VC ＝Ab ，侧面与底面ABC 所成的二面角分别为α、β、γ(都是锐角)，则cos α＋cos β＋cos γ＝(A ) A 1B 2C 12D 137四面体的四个面中，下列说法错误的是( C ) A 可以都是直角三角形 B 可以都是等腰三角形 C 不能都是顿角三角形 D 可以都是锐角三角形8正n 棱锥侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成角为β，则tan α∶tan β＝( B ) Asin πnBcos πnCsin 2πn Dcos 2πn9若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）解析：取BC 的中点D ，连结SD 、AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥B C∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α在平面SAD 中，作SO ⊥AD 与AD 交于O ，则SO 为棱锥的高AO =2DO ，∴OD =323又V S —ABC =31·21AB ·BC ·sin60°·h =1， ∴h =43∴tan α=DO SO =33243=83∴α=arctan 83答案：arctan 8310过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S 侧1∶S 侧2∶S 侧3= 1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5答案：1∶3∶511已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H 设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于A 91B 94C 41D 31 解析：如图所示，正四面体ABCD 四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ， ∴四面体EFGH 也是正四面体 连结AE 并延长与CD 交于点M ， 连结AG 并延长与BC 交于点N ∵E 、G 分别为面的中心，∴AM AE =AN AG =32∴MN GE =32又∵MN =21BD ，∴BD GE =31 ∵面积比是相似比的平方，∴S T =91答案：A12在三棱锥S —ABC 中，∠ASB =∠ASC =∠BSC =60°，则侧棱SA 与侧面SBC 所成的角的大小是_____________答案：arccos33 13三棱锥一条侧棱长是16 cm ，和这条棱相对的棱长是18 cm ，其余四条棱长都是17 cm ，求棱锥的体积解：取AD 的中点E ，连结CE 、BE ，∵AC =CD =17，DE =8，CE 2=172－82=225，BE =CE ，∴取BC 的中点F ，连结EF ，EF 为BC 边上的高，EF =22CF CE -=22915-=12 ∴S BCE ∆=108∵AC =CD =17cm ，E 为AD 的中点，CE ⊥AD ，同理BE ⊥AD ， ∴DA ⊥平面BCE∴三棱锥可分为以底面BCE 为底，以AE 、DE 为高的两个三棱锥 ∴V A －BCD =V A —BCE +V D —BCE =2·31S BCE ∆·AE =2×31×108×8=576（cm 3） 14如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点求：（1）SMAM的值； （2）二面角S —BC —A 的大小； （3）正三棱锥S —ABC 的体积 解：（1）∵SB =SC ，AB =AC ，M 为BC 的中点，∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC 由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即 3×21BC ×SM =2×21BC ×AM ，得SM AM =23 （2）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，GM =31AM ∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角 在Rt △SGM 中， ∵SM =32AM =32×3GM =2GM ，∴∠SMA =∠SMG =60°， 即二面角S —BC —A 的大小为60°（3）∵△ABC 的边长是3，∴AM =233，GM =23，SG =GM tan60°=23·3= 23 ∴V S —ABC =31 S ABC ∆·SG =31·439·23=839 15已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ABC BAD ，⊥PA 平面ABCD ，PA=AD=3BC=3，AB=2（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）若点M 分PA 的比为2，求二面角M —CD —A 的正切值解：以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系（1）过D 作,,,DQ AC Q PA DQ DQ PAC ⊥⊥∴⊥于平面DQ ∴就是D 到平面PAC 的距离 设()(2,1,0),AQ mAC m AB BC m ==+=(0,3,0)(2,1,0)(2,3,0),DQ DA AQ m m m ∴=+=-+=- 由23,4(3)0,5DQ AQ DQ AQ m m m m ⊥⋅=+-=∴=得6||(5DQ == （2）过A 作,(2,2,0).AK DC K DK DC λλ⊥==-于点设则(2,32,0).AK AD DK λλ=+=-3,0,,4AK AD AK DK λ⊥∴⋅=∴= 3||(AK ∴== ,.MA ABCD MK CD ⊥∴⊥平面 MKA ∴∠就是M —CD —A 的平面角 ||2tan 3||MA MKA AK ∴∠== 课前后备注。