上海市实验学校2021届高三月考数学试卷(2020.09)
2021届上海市上海实验学校高三上学期9月第一次月考数学试题Word版含解析
2021届上海市上海实验学校高三上学期9月第一次月考数学试题一、单选题1．若a,b ∈R ，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】根据不等式的性质，由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1，即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件，故选A. 2．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A ．2B ．12x xC ．4 D．【答案】C【解析】根据基本不等式求最值.【详解】11113()(3)224333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y +的最小值为4，选C.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.3．设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[]3,4上的值域为[]2,5-，则()f x 在区间[]10,10-上的值域为（ ）A.[]16,12-B.[]12,10-C.[]15,11-D.[]18,14-【答案】C【解析】根据已知中()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，由函数()()f x x g x =+在区间[3，4]上的值域为[2-，5]，结合函数的周期性，我们可以分别求出()f x 在区间[10-，9]-，[9-，8]-，⋯，[9，10]上的值域，进而求出()f x 在区间[10-，10]上的值域．【详解】函数()()f x x g x =+，()()g x f x x =-∴。
()g x 为R 上周期为1的函数，则()(1)g x g x =+，∴(1)(1)()f x x f x x +-+=-，∴()(1)11f x f x =+-（）或()(1)12f x f x =-+（），当[3,4]x ∈时，[]()2,5f x ∈-，利用（2）式()(1)1f x f x =-+可得：当[4,5]x ∈时，则[](1)[3,4](1)2,5x f x -∈⇒-∈-，∴[]()1,6f x ∈-，当[5,6]x ∈时，则[](1)[4,5](1)1,6x f x -∈⇒-∈-，∴[]()0,7f x ∈，当[6,7]x ∈时，则[](1)[5,6](1)0,7x f x -∈⇒-∈，∴[]()1,8f x ∈，当[9,10]x ∈时，则[](1)[8,9](1)3,10x f x -∈⇒-∈，∴[]()4,11f x ∈，利用（1）式()(1)1f x f x =+-可得：当[2,3]x ∈时，则[](1)[3,4](1)2,5x f x +∈⇒+∈-，∴[]()3,4f x ∈-，当[1,2]x ∈时，则[](1)[2,3](1)3,4x f x +∈⇒+∈-，∴[]()4,3f x ∈-，当[0,1]x ∈时，则[](1)[1,2](1)4,3x f x +∈⇒+∈-，∴[]()5,2f x ∈-，当[10,9]x ∈--时，则[](1)[9,8](1)14,7x f x +∈--⇒+∈--，∴[]()15,8f x ∈--，由分段函数的值域是由每一段并起来，∴()f x 在区间[10,10]-上的值域为[]15,11-故答案为：[]15,11-。
上海市实验学校2023届高三上学期11月月考数学试卷(解析版)
由 ，设 根据题意可知直线 的斜率存在，可设直线斜率为 ，则直线 的方程为 ，
把它代入椭圆 的方程，消去 整理得：
由韦达定理得 则 ， ；
所以线段 的中点坐标为 .
（i）当 时，则 ，线段 垂直平分线为 轴，
于是 ，由 解得 .
（ii）当 时，则线段 垂直平分线的方程为 .
由点 是线段 垂直平分线的一点，令 ，得 ；
【详解】直线 的倾斜角 的正弦值为 ，
则当 为锐角时， ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 ，
所以直线 的点斜式方程为 ，
当 为钝角时， ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 ，
所以直线 的点斜式方程为 ，
综上，直线 的点斜式方程为 或 ，
故答案为： 或 .
4.已知向量 ， ，且 在 上的投影为 ，则 ______．
考点：1．三角函数的图象变换；2． 的图象和性质．
15.直线 平面 ，垂足是 ，正四面体 的棱长为4，点 在平面 上运动，点 在直线 上运动，则点 到直线 的距离的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】先将问题转化为点O在以BC为直径的球上运动，再去求球心到直线 的距离，进而求得点 到直线 的距离的取值范围
故选：B
16.在平面直角坐标系 中，已知向量 点 满足 .曲线 ，区域 .若 为两段分离的曲线，则
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】试题分析：设 ，则 ， ，区域 表示的是平面上的点到点 的距离从 到 之间，如下图中的阴影部分圆环，要使 为两段分离的曲线，则 ，故选A.
考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.
上海市2020-2021学年第一学期9月月考高三数学试题
第一学期高三数学9月月考一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数tan 2y x =的最小正周期为________．)B =___．4．正实数x 、y 满足21x y +=，则xy 的最大值为________．5．已知函数()1log a f x x =+，()1y f x -=是函数()y f x =的反函数，若()1y f x -=的图像过点()2,4，则a 的值为________．6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24S =，42S =，则6S =________．7．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数的取值集合为________． 8．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为________．若存在0x ∈R 使得()()004f x g x -=-，则a 的最小值为________．10．在()91x +的展开式中任取两项，其系数的乘积是偶数的概率为________． 11．设A 、B 分别是抛物线24y x =和圆()22:41C x y -+=上的点．若存在实数λ使得AB BC λ=，则λ二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．()124cos 20116x π+-32x13．直线230x y -+=的一个法向量为（ ）．（A ）()1,2 （B ）()1,2- （C ）()2,1 （D ）()2,1-14．已知αβ、是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“αβ∥ ”的（ ）．（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件15．关于函数()cos f x x x =+的说法中正确的是（ ）．（A ）()f x 是周期函数 （B ）()f x 在R 上有最小值（C ）()f x 在[]0,π上有零点 （D ）()f x 的图像是中心对称图形16．能使命题“给定m 个非零向量（可以相同），若其中任意()1n n m ≤<个向量之和的模等于另外m n -个向量之和的模，则这m 个向量之和为零向量”成为真命题的一组m 、n 的值为（ ）．①4m =，2n = ②5m =，2n = ③6m =，3n = ④7m =，3n =（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点．（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，若a b ==2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求边c 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公司利用App 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完．据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t ()*t ∈N 天的关系满足：()10,110=10200,1020t t f t t t ≤≤⎧⎨-+<≤⎩，()220g t t t =-+()120t ≤≤，产品A 每件的销售利润为()40,11520,1520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）． （1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）给定椭圆22:142x y C +=．过坐标原点的直线与C 交于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．（1）求直线GP 与直线GQ 斜率的乘积；（2）求证：PQG △是直角三角形；（3）求PQG △面积的最大值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设{}n a 是无穷正项等比数列，公比为q ．对于正整数集*N 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．（1）若11a =，3q =，{}2,4,5T =，求T S ；（2）设102q <≤．若A 、B 是*N 的非空有限子集且A B =∅，求证：A B S S ≠； （3）若对*N 的任意非空有限子集C 、D ，只要C D S S ≥，就有2C C D D S S S +≥，求公比q 的取值范围．1、最困难的事就是认识自己。
2020-2021学年上海市杨浦高级中学高三(上)月考数学试卷(9月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市杨浦高级中学高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//α，m⊥n，则n⊥α2.已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得β=kπ+(−1)kα”是“sinα=sinβ”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差4.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5.已知集合A={0,1，2，8}，B={−1,1，6，8}，那么A∩B=．6.函数f(x)=ln(4−x2)的定义域为______．7.如图正方体ABCD−A1B1C1D1，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为______.(结果用反三角函数表示)8.方程9x−3x+1−4=0的实数解为______．9.已知△ABC中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cosA=−35，B=π6，a=8，则b=______．10.(x−1x2)6的展开式的常数项是______ ．11.已知f(x)=x23，g(x)=x−2，则不等式f(x)<g(x)的解集为______．12.圆锥的侧面积是底面积的3倍，若圆锥的母线长为3，则该圆锥的体积为______.(结果保留π)13.已知函数f(x)=3x2−ax，x∈R(a为常数)在区间[2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______．14.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=√3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=．15.从1、3、5、7、9中任取2个不同的数字，从0、2、4、6中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为______.(用最简分数作答)16.已知函数f(x)={x 2,x≥0−x,x<0，若关于x的方程f(x)−|kx−2|=0，k∈R恰有3个不同的实数根，则k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6．(1)求四棱锥P−ABCD的体积；(2)求异面直线PB与DC所成角的正切值．18.已知f(x)=lg(x+1)(1)若0<f(1−2x)−f(x)<1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g(x)=f(x)，求函数y=g(x)(x∈[1,2])的反函数．19.如图所示，某校把一块边长为2a的等边△ABC的边角地辟为生物园，图中DE把生物园分成面积相等的两部分，D在线段AB上，E在线段AC上(均含端点)．(1)设AD=x(x≥a)，AE=y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时AD、DE分别长多少？如果DE是参观路线，即希望它最长，此时AD、DE又分别长多少？20.函数f(x)=−√2cos(2x−π)+6sinxcosx−2cos2x+1，x∈R．]上的最大值和最小值；(2)求f(x)的最小正周期并求f(x)在区间[0,π2(3)把y=f(x)图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数y=g(x)的图象，个单位长度，得到函数y=ℎ(x)的图再把函数y=g(x)图象上所有的点向左平移π4象，若函数y=ℎ(x)−√2在区间[0,m]上至少有20个零点，求m的最小值．21.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，而y=f(x)在区间I上是减函数，x则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”．(1)分别判断f(x)=x+4，g(x)=x2+4x+2在区间(1,2)上是否是“弱增函数”(不必证明)；)x+b(m、b是常数)在区间(0,1]上是“弱增函数”，(2)若函数ℎ(x)=x2+(m−12求m、b应满足的条件；(3)已知f(x)=|x−1|+|x−2|+|x−3|+k|x−4|(k是常数且k≠0)，若存在区间I使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型，属于基础题．A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A.若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C.若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错；D.若m//α，m⊥n，则n//α或n⊂α或n⊥α或n与α相交，故D错．故选B．2.【答案】C【解析】解：由sinα=sinβ，可得β=2nπ+α，或β=2nπ+π−α，n∈Z，即存在k∈Z 使得β=kπ+(−1)kα.∴“存在k∈Z使得β=kπ+(−1)kα”是“sinα=sinβ”的充要条件．故选：C．由sinα=sinβ，可得β=2nπ+α，或β=2nπ+π−α，n∈Z，进而判断出关系．本题考查了三角函数方程的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题． 【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：A ．4.【答案】D【解析】【试题解析】解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f(−x)=ln|−2x +1|−ln|−2x −1| =−(ln|2x +1|−ln|2x −1|)=−f(x)， ∴f(x)为奇函数；由f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1| =ln|2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|，∵2x +12x −1=2x −1+22x −1=1+22x −1=1+22(x−12)=1+1x−12．可得内层函数t =|2x+12x−1|的图象如图，在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,12)上单调递增，再(12,+∞)上单调递减．)上单调递减．由复合函数的单调性可得，f(x)在(−∞,−12故选：D．求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数|的单调性，由复合函数的单调性得答案．t=|2x+12x−1本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．5.【答案】{1,8}【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．【解答】解：∵A={0,1，2，8}，B={−1,1，6，8}，∴A∩B={0,1，2，8}∩{−1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1,8}．6.【答案】(−2,2)【解析】解：由题意得：4−x2>0，解得：−2<x<2，故函数的定义域是(−2,2)，故答案为：(−2,2)．根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．7.【答案】arccos√63【解析】解：如图，连接AC，因为几何体是正方体，所以AC是AC1在底面ABCD上的射影，所以∠C1AC是设正方体的列出为：1，则AC=√2，AC1=√3，所以cos∠C1AC=ACAC1=√2√3=√63，所以∠C1AC=arccos√63．故答案为：arccos√63．画出图形，找出直线AC1与平面ABCD所成角，然后求解即可．本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是基础题．8.【答案】x=log34【解析】解：令t=3x>0，原方程可化为t2−3t−4=0，解得t=4或t=−1(舍去)，即3x=4，所以x=log34，故答案为：log34.令t=3x>0，原方程可化为t2−3t−4=0，解得t，进而解得x，即可得出答案．本题考查了换元法解一元二次方程，指数与对数的转化，属于中档题．9.【答案】5【解析】解：由cosA=−35，可得sinA=√1−cos2A=√1−925=45，又B=π6，a=8，可得b=asinBsinA=8×1245=5．故答案为：5．由同角的平方关系可得sin A，再由正弦定理可得b．本题考查三角形的正弦定理的运用，以及同角的平方关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】15【解析】解：在(x−1x2)6的展开式的通项公式T r+1=C6r⋅(−1)r⋅x6−3r中，令6−3r=0，求得r=2，可得展开式的常数项为C62=15，故答案为：15．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题11.【答案】(−∞,0)∪(0,+∞)【解析】解：f(x)=x23的定义域为R，g(x)=x−2的定义域为{x|x≠0}，∵f(x)<g(x)，∴x23<x−2，∴x83<1，∴x8<1，∴−1<x<1且x≠0，∴不等式f(x)<g(x)的解集为(−∞,0)∪(0,+∞)．故答案为：(−∞,0)∪(0,+∞)．先求出两个函数的定义域，再把x23<x−2转化为x8<1即可．本题考查含指数不等式的解法，属中档题．12.【答案】2√23π【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由于圆锥的侧面积是底面积的3倍，故12⋅l⋅2πr=3⋅πr2，整理得l=3r，由于l=3，所以r=1，故V=13⋅π⋅12⋅√32−1=2√2π3．故答案为：2√2π3．直接利用圆锥的定义，侧面积和体积公式的应用求出圆锥的体积．本题考查的知识要点：圆锥的定义，侧面积和体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】(−∞,4]【解析】解：设t=x2−ax，则y=3t是增函数，要使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数，则只需要t=x2−ax，在区间[2,+∞)上是增函数，即对称轴x=−−a2=a2≤2，即a≤4，即实数a的取值范围是(−∞,4]，故答案为：(−∞,4]．利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查复合函数单调性之间的应用，利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性是解决本题的关键，是中档题．14.【答案】−14【解析】【分析】根据条件可知D、E、F三点重合，分别求得BC、CF、BF即可．本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，属于中档题．【解答】解：由已知得BD=√2AB=√6，BC=2，因为D、E、F三点重合，所以AE=AD=√3，BF=BD=√2AB=√6，则在△ACE中，由余弦定理可得CE2=AC2+AE2−2AC⋅AE⋅cos∠CAE=1+3−2√3×√32=1，所以CE=CF=1，则在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB=BC2+CF2−BF22BC⋅CF =1+4−62×1×2=−14，故答案为：−14．15.【答案】1021【解析】解：从1、3、5、7、9中任取2个不同的数字，从0、2、4、6中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，基本事件总数n =C 52C 11C 3133C 31A+C 52C 32A 44=1260， 所组成的四位数是奇数包含的基本事件个数m =C 52C 11C 31C 21C 21A 22+C 52C 32C 21A 33=600，则所组成的四位数是奇数的概率P =m n=6001260=1021．故答案为：1021．基本事件总数n =C 52C 11C 3133C 31A +C 52C 32A 44=，所组成的四位数是奇数包含的基本事件个数m =C 52C 11C 31C 21C 21A 22+C 52C 32C 21A 33，由此能求出所组成的四位数是奇数的概率．本题考查概率的概念和有关计算，古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】(−∞,−1)∪(2√2,+∞)【解析】解：因为f(x)−|kx −2|=0， 所以f(x)=|kx −2|，当k <0时，直线y =kx −2过定点(0,−2)，如图所示，当k <−1时，函数y =|kx −2|的图象和函数y =f(x)有三个交点，满足题意，当k =0时，f(x)=|kx −2|有两个不同的零点，不满足题意， 当k >0时，联立{y =kx −2y =x 2，得x 2−kx +2=0， 当△=k 2−8=0，所以k =−2√2(舍)或k =2√2，当k =2√2时，如图所示，f(x)=|kx −2|有两个不同的零点，不满足题意，当k>2√2时，如图所示，f(x)=|kx−2|有3个不同的零点，满足题意，综上所述，k的取值范围为(−∞,−1)∪(2√2,+∞)，故答案为：(−∞,−1)∪(2√2,+∞)．问题转化为y=f(x)与y=|kx−2|交点有三个，分三种情况：当k<0时，当k=0时，当k>0时，作出图像，结合图象，即可得出答案．本题考查函数的零点，参数的取值范围，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6．∴四棱锥P−ABCD的体积V=13sℎ=13⋅42⋅6=32(2)∵AB//DC，∴∠PBA就是异面直线PB与DC所成的角，∵PD⊥平面ABCD，∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥PA，在Rt△PAB中，PA=2√13，AB=4，tan∠PBA=√132，∴异面直线PB 与DC 所成角的正切值为√132【解析】(1)由底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =6能求出四棱锥P −ABCD 的体积．(2)由AB//DC ，得∠PBA 就是异面直线PB 与DC 所成的角，由此能求出异面直线PB 与DC 所成角的三角函数值．本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识18.【答案】解：(1)f(1−2x)−f(x)=lg(1−2x +1)−lg(x +1)=lg(2−2x)−lg(x +1)，要使函数有意义，则由{2−2x >0x +1>0解得：−1<x <1． 由0<lg(2−2x)−lg(x +1)=lg 2−2x x+1<1得：1<2−2x x+1<10，∵x +1>0，∴x +1<2−2x <10x +10， ∴−23< x <13．由{−1<x <1−23<x <13，得：−23<x <13．(2)当x ∈[1,2]时，2−x ∈[0,1]，∴y =g(x)=g(x −2)=g(2−x)=f(2−x)=lg(3−x)， 由单调性可知y ∈[0,lg2]， 又∵x =3−10y ，∴所求反函数是y =3−10x ，x ∈[0,lg2]．【解析】(1)应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可； (2)结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．19.【答案】解：(1)∵△ABC为正三角形，边长为2a，∴S△ABC=12×(2a)2×√32=√3a2，∵AD=x(x≥a)，AE=y，∴S△ADE=12AD⋅AE⋅sinA=12xy⋅√32=√3xy4，∵S△ADE=12S△ABC，∴y=2a2x，∵a≤AD≤2a，∴y=2a2x，a≤x≤2a．(2)由余弦定理可得，DE2=AD2+AE2−2AD⋅AE⋅cosA=x2+4a4x2−2⋅x⋅2a2x⋅12=x2+4a4x2−2a2,a≤x≤2a，设x2=t，a2<t<4a2，f(t)=t+4a4t−2a2，a2<t<4a2，观察可知函数f(t)为对勾函数，f(t)=t+4a4t −2a2≥2√t⋅4a4t−2a2=2a2，当且仅当t=4a4t，即t=2a2，等号成立，∴当t=2a2时，f(t)取得最小值，即AD=DE=√2a，当t=a2或4a2时，即x=AD=a或x=AD=2a，f(t)取得最大值3a2，即DE取最大值√3a，综上所述，DE是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时AD=DE=√2a，如果DE是参观路线，即希望它最长，此时AD=a或2a，DE=√3a．【解析】(1)根据已知条件，结合S△ADE=12S△ABC，即可求解．(2)根据余弦定理可得，f(t)=t+4a4t−2a2，a2<t<4a2，观察可知函数f(t)为对勾函数，再结合对勾函数的性质，即可求解．本题考查了函数的实际应用、余弦定理，以及对勾函数的性质，需要学生有很强的综合能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=−√2cos(2x−π4)+6sinxcosx−2cos2x+1=−√2(√22cos2x+√22sin2x)+3sin2x−cos2x=−cos2x −sin2x +3sin2x −cos2x =2sin2x −2cos2x =2√2sin(2x −π4)，x ∈R ．(2)f(x)的最小正周期T =2π2=π，在区间[0,π2]上，2x −π4∈[−π4,3π4]，故当2x −π4=π2时，f(x)取得最大值2√2；当2x −π4=−π4时，f(x)取得最小值−2． (3)把y =f(x)图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数y =g(x)=2√2sin(x −π4)的图象，再把函数y =g(x)图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y =ℎ(x)=2√2sinx 的图象，若函数y =ℎ(x)−√2在区间[0,m]上至少有20个零点，即ℎ(x)=2√2sinx 和直线y =√2在区间[0,m]上至少有20个交点， 即sinx =12在区间[0,m]上至少有20个解．由于sinx =12在一个周期区间[0,2π)有2个解，为x =π6，x =5π6，故m ≥9×2π+5π6=1136π，故m 的最小值为113π6．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，可得结论． (2)由题意利用正弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论．(3)由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得ℎ(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)由于f(x)=x +4在(1,2)上是增函数，且F(x)=f(x)x=1+4x 在(1,2)上是减函数，所以f(x)=x +4在(1,2)上是“弱增函数”； g(x)=x 2+4x +2在(1,2)上是增函数，但g(x)x=x +4+2x在(1,2)上不单调，所以g(x)=x 2+4x +2在(1,2)上不是“弱增函数”；(2)由题意，ℎ(x)=x 2+(m −12)x +b 在(0,1]上是增函数，ℎ(x)x =x +b x +(m −12)在(0,1]上是减函数，∴−m−122≤0，b ≥1，∴m ≥12，b ≥1；(3)∵f(x)=|x −1|+|x −2|+|x −3|+k|x −4|，当x <1时，f(x)=−(k +3)x +(6+4k)，f(x)x=−(k +3)+6+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +3)>06+4k >0，无解，当1≤x <2时，f(x)=−(k +1)x +(4+4k)，f(x)x=−(k +1)+4+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +1)>04+4k >0，无解，当2≤x <3时，f(x)=(1−k)x +4k ，f(x)x=(1−k)+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{1−k >04k >0，解得：0<k <1，当3≤x <4时，f(x)=(3−k)x +(4k −6)，f(x)x=(3−k)+4k−6x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3−k >04k −6>0，解得：32<k <3，当x ≥4时，f(x)=(3+k)x +(−4k −6)，f(x)x=(3+k)+−4k−6x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3+k >0−4k −6>0，解得：−3<k <−32，综上，k 的取值范围是(−3,−32)∪(0,1)∪(32,3)．【解析】(1)依据“弱增函数”的定义判断即可；(2)由于ℎ(x)在(0,1]上是“弱增函数”，所以ℎ(x)在(0,1]上单调递增，y =ℎ(x)x在(0,1]上单调递减，由此可求出m 及b 满足的条件； (2)通过讨论x 的范围，求出f(x)x的解析式，根据“弱增函数”的定义，得到关于k 的不等式组，解出即可．本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．。
上海市实验学校2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试卷
上海市实验学校2021学年度第一学期高三数学月考试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{﹣1，0，2，3}，C ＝{x ∈R |﹣1≤x ＜2}，则（A ∪B ）∩C ＝______________2．不等式≥4的解集是______________3．命题“若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0”的逆否命题为____________________________4．已知且，则23x y -的取值范围是.（答案用区间表示）5．设x ，y ∈R +，若4x +＝1．则的最大值为______________6．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M .若3∈M ，且5∉M ，则实数a 的取值范围是____________7．函数f （x ）＝log a （10﹣3x ）+9的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数g （x ）的图像上，则g （8）＝_____________|)32||1(||||1||12+--≥-+-x x m m m x 9．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E 、F 分别在AB 、BC 边上．5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设CF x =，AE y =．则写出y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围：______________________14x y -<+<23x y <-<O A B C F E |m 8．已知对于任意非零实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13．设命题甲为:;命题乙为:;则甲是乙的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 14．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是( ) A ．1123x x >B ．221111x x x x >-+++C ．221112x x >++D ．2112||1x x >+15．设x ，y 满足约束条件，且z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为1，则的最小值为（ ）A ．64B ．81C ．100D ．121 ⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ⎩⎨⎧<<<<3210yx19、（本题满分14分．第（1）小题6分，第（2）小题8分）{Z|a }（1）解关于x 的不等式；（2）若A =关于x 的不等式（a 2﹣16）x 2﹣（a ﹣4）x ﹣1≥0的解集为空集,（1）中不等式的解集是B ，A ∩B 中有且只有三个元素，求实数m 的取值范围．20、（本题满分16分．第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B＝{x|lg（x2+x+8）＝1}，集合C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}．（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为∁n，记有限集合M的所有元素和为S（M），求S（C1）+S（C2）+…+S（∁n）的值．（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．21、（本题满分16分．第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设函数f （x ）＝log a （x ﹣3a ）（a ＞0，且a ≠1），当点P （x ，y ）是函数y ＝f （x ）图象上的点时，点Q （x ﹣2a ，﹣y ）是函数y ＝g （x ）图象上的点．函数1()22()()()2h x h x h x F x aa a ---=-+，（a ＞0，且a ≠1）在的最大值为，求a 的值． （1）写出函数y ＝g （x ）的解析式；（2）若当x ∈[a +2，a +3]时，恒有|f （x ）﹣g （x ）|≤1，试确定a 的取值范围；（3）把y ＝g （x ）的图象向左平移a 个单位得到y ＝h （x ）的图象，。
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D 都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设AC∩BD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图，∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，∴AD=2，BD==2，设AC∩BD=E，则BE=，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，设OE=x，在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，∴在Rt△POH中，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2=x2﹣2+4，∴2+x2=x2﹣2+4，解得x=，∴R=，∴此球的表面积S=4πR2=4π×=．故选：B．2. 已知集合，则集合（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合的运算A1C因为，所以，则选C.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行解答.3. 已知等差数列的前项和为，公差，且，则（）A．－10 B．－11 C．－12 D．－14参考答案：C4. 若,且,则与的夹角是A. B. C. D.参考答案：D略5. 设函数若，则关于x的方程的个数为（A）（B）（C）（D）4参考答案：答案：C6. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A．B．C．D．参考答案：C略7. 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（）A．，y1＞y2 B．，y1=y2C．，y1=y2 D．，y1＜y2参考答案：B8. 已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．设动点M （x，y），若实数x，y满足不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0恒成立，则?的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[3，5]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】根据函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0，即有x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，运用向量的数量积的坐标表示可得范围．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，∴不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0等价于不等式f（x2﹣8y+24）≥f（6x﹣y2），∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，∴x2﹣8y+24≤6x﹣y2，即为x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，①则?=1?x+0?y=x，由①可得，|x﹣3|≤1，解得2≤x≤4．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+x﹣3，则f（x）的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点当x＞0时，令f（x）=2x+x﹣3=0，则2x=﹣x+3，分别画出函数y=2x，和y=﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点． 综上所述，f （x ）的零点个数为3个， 故选C ．【点评】本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点． 10. 设i 是虚数单位，复数( ) A ．3﹣2iB ．3+2iC ．2﹣3iD ．2+3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i ，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=，，,则圆的半径等于 ．参考答案：712. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是．参考答案：13. 已知，若实数满足则的最小值为 ▲ .参考答案：略14. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x ，y ）的值依次记为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），若程序运行中输出的一个数组是（t ，﹣8），则t 为 ．参考答案：8115. 已知则与方向相同的单位向量为 .参考答案：16. 已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率是▲．参考答案：答案：17. 图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第5行中白圈与黑圈的“坐标”为_______________.参考答案：(40,41)三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市上海实验学校2021届高三数学上学期9月月考试题(含解析)
上海市上海实验学校2021届高三数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,3,1,0,1U A B =--==-，则()U C A B ⋂=_______. 【答案】{}1,0- 【解析】 【分析】先求U C A ，再利用交集的运算性质可得()U C A B ⋂． 【详解】{}2,1,0,2U C A =--，(){1,0}U C A B ⋂=-∴.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合间的基本运算，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 2.命题：“若a b >，则1a b +≥”逆否命题是______. 【答案】若1a b +<，则a b ≤ 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义即可得到结论．【详解】命题“若a b >，则1a b +≥”的逆否命题是：若1a b +<，则a b ≤ 故答案为：若1a b +<，则a b ≤【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，即原命题与逆否命题的形式． 3.若函数()f x 的定义域为[)2,1-，则()1f x +的定义域为_______.【答案】[)3,0- 【解析】 【分析】将1x +整体代入区间[)2,1-，求出x 的范围即为()1f x +的定义域.【详解】因为函数()f x 的定义域为[)2,1-， 所以21130x x -≤+<⇒-≤<， 所以()1f x +的定义域为[)3,0-.故答案为：[)3,0-.【点睛】本题考查抽象函数的定义域，求解抽象函数定义域要注意两个原则：一是已知或求解定义域，都是指自变量x 的取值范围；二是对应关系f 作用的对象范围要一致. 4.不等式13x x+≤ 的解集为________________． 【答案】102xx x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或 【解析】分析：直接利用分式不等式的解法，化简求解即可. 详解：原不等式()112213000210x x x x x x x x+---≤⇔≤⇔≥⇔-≥且0x ≠， 解得12x ≥或0x <. 故答案为：1|02x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或. 点睛：简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 5.函数()()210f x x x =+≤的反函数()1fx -=_________.【答案】[)1,x ∈+∞ 【解析】 【分析】从条件中函数式()()210f x x x =+≤，中反解出x ，再将x ，y 互换即得．【详解】()210y x x =+≤，1)x y ∴=≥，∴函数()()210f x x x =+≤的反函数为[)1,y x =∈+∞.故答案为：[)1,x ∈+∞．【点睛】本题主要考查反函数的求法，解题的关键是反解，考查基本运算求解能力，属于基础题． 6.函数1y x x=-在区间[]1,2上的值域为______.【答案】302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】由两个增函数和仍是增函数得函数1y x x=-在区间[]1,2上单调递增，将区间端点代入函数解析式即可求出值域. 【详解】因函数y x =与1y x=-在区间[]1,2上均为增函数， 所以1y x x=-在区间[]1,2上为增函数， 当1x =时，0y =；当2x =时，32y =；所以函数的值域为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故答案为：302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题考查利用函数的单调性求函数的值域，考查基本的运算求解能力. 7.若()2132f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_______.【答案】(0,1) 【解析】 【分析】由已知得到关于x 的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之． 【详解】由()0f x <得到2132x x -<<，所以761x <且0x >，解得01x <<. 故答案为：(0,1)．【点睛】本题考查根式不等式的解法；一般的转化为整式不等式解之，但要注意定义域优先法则．8.已知实数，y 满足约束条件01?0x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值_______．【答案】2【分析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入2z x y =+，即可判断函数的最大值。
2021年高三数学月考试题沪教版
2021年高三数学月考试题沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．(理)计算： . (文) .2.若是关于的实系数方程的一个复数根，则 3．设集合，若，则 。
4.若函数，则方程的解 ．5. 在二项式的展开式中，含的项的系数是6. 以为起点作向量，，终点分别为、．已知：，，，则的面积等于7. 在锐角中，分别是角所对的边，且，则角的大小为 8.阅读右边的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填写_____ 9． （理）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则______(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.10. 从5名候选同学中选出3名，分别保送北大小语种（每个语种各一名同学）：俄罗斯语、阿拉伯语与希伯莱语，其中甲、乙二人不愿学希伯莱语，则不同的选法共有 ___种。
11.（理）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为__________________（文）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为____________12.（理）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则 _____ （文）已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为______13．对实数a 和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是_________________14. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_________________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，选对得4分，否则一律得零分． 15．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16. 下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为 （ ） 的共轭复数为 的虚部为 17．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点18．已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，则的值为 （ ）A ．3B ．C ．2D ．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．(本题满分14分)已知命题：，其中为常数，命题：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为，且函数在上单调递增。
上海民办杨浦实验学校 2020-2021学年高三数学文月考试题含解析
上海民办杨浦实验学校 2020-2021学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆C：x2+y2=1，点P为直线+=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设P的坐标为P（4﹣2m，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．【解答】解：因为P是直线+=1的任一点，所以设P（4﹣2m，m），因为圆x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（2﹣m，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣2+m）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m﹣4）x﹣my+1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣4）x﹣my+1=0，即m（2x﹣y）+（﹣4x+1）=0，由得x=，y=所以直线AB恒过定点（，），故选B．2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若=2C，则∠A的大小是( ) A．B．C．D．参考答案：C考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：运用正弦定理和正弦函数的值域，结合基本不等式的运用，即可得到三角形为等腰直角三角形，进而得到A的值．解答：解：由正弦定理可得，+=2sinC，由sinC≤1，即有+≤2，又+≥2，当且仅当sinA=sinB，取得等号．故sinC=1，C=，sinA=sinB，即有A=B=．故选：C．点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件和正弦函数的值域，属于中档题．3. 若实数满足则的最小值是（）A. 1B.C.D.参考答案：D略4. 设sin（＋θ）＝，则sin2θ等于A．－B． C． D．参考答案：A5. 设函数,若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C略6. 三个数之间的大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：由于，，，，所以，故答案为B考点：指数函数和对数函数的图象和性质7. 若复数满足（为虚数单位），则=（）参考答案：C设Z=a+bi则(a+bi)( 1+i)=2i| (a-b)( a+b)i=2ia-b=0 a+b=2解得a=1 b=1Z=1+1i ==8. 在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则（）A．B． C. 2 D．3参考答案：B9. 函数 (a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是() A．(0,1) B． C． D．参考答案：B10. 已知函数若,则实数=（）（A）4 （B） 1或（C）或4 （D）1, 或4参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是．①当时，S为四边形；②当时，S 为五边形；③当时，S 为六边形； ④当时，S 为菱形.参考答案：①②④12. （4分）（2015?杨浦区二模）已知n∈N *，在坐标平面中有斜率为n 的直线l n 与圆x 2+y 2=n 2相切，且l n 交y 轴的正半轴于点P n ，交x 轴于点Q n ，则的值为．参考答案：【考点】： 极限及其运算；直线与圆的位置关系．【专题】： 直线与圆．【分析】： 设切线l n 的方程为：y=nx+m ，由于直线l n 与圆x 2+y 2=n 2相切，可得=n ，取m=n．可得切线l n 的方程为：y=nx+n，可得P n ，Q n ，可得|P n Q n |．再利用数列极限的运算法则即可得出．解：设切线l n 的方程为：y=nx+m ，∵直线l n 与圆x 2+y 2=n 2相切，∴=n ，取m=n．∴切线l n 的方程为：y=nx+n，∴P n，Q n ．∴|P n Q n |==1+n 2．∴===．故答案为：．【点评】： 本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.展开式中含项的系数为 .参考答案： 1展开式的通项公式为，由，得，所以，所以的系数为1.14. 在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则△的面积为______________．参考答案：2因为，所以，所以，因为，所以，所以△的面积。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷月考试卷一数学文科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷月考试卷一数学文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．【详解】，∴故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z，求出其共轭复数，从而得到答案.【详解】∵复数===﹣1﹣3i，∴，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，3），故对应的点位于在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.执行如图所示的程序图，如果输入，，则输出的的值为A. 7B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，此时满足条件a＞6，输出a=8，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．6.在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果.【详解】∵，数列是以3为公比的等比数列，∴∴故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.7.设，且，则等于A. 2B.C. 8D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得 asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f （）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题．8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，由三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，则该几何体的表面积为．选D考点：几何体的表面积，三视图9.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，则函数的图象A. 关于点（，0）对称B. 关于直线对称C. 关于直线对称D. 关于点（）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到，然后研究函数的对称性.【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为，令得，，取知为其一条对称轴，故选：C.【点睛】函数的性质(1) .(2)周期由求对称轴由求增区间;由求减区间.10.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．11.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标系，则,设，所以，所以，，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13.锐角中，，△ABC的面积为，则＝_______。
2020-2021上海月浦实验学校高三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021上海月浦实验学校高三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5C ．6D ．4或54)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．25．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A．10 kmBkmC ．D ．7．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A B ．34C．32或2D．34或28．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()-+∞C ．[)3,-+∞D ．)⎡-+∞⎣9．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3511．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B ．13+C ．12+D ．412．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．3 C ．5 D ．7 二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．15．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____． 17．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．不等式211x x --<的解集是 ．20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______．三、解答题21．在平面四边形ABCD中，已知34 ABCπ∠=，AB AD⊥，1AB=．（1）若5AC=，求ABC∆的面积；（2）若25sin5CAD∠=，4=AD，求CD的长．22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝5百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cosθ＝55-时，求小路AC的长度；（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．23．已知ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,,2cos(cos cos)0.a b c C a C c A b++=，（1）求角C的大小；（2）若2,23,b c==，求ABC∆的面积.24．已知数列{}n a是递增的等比数列，且14239,8.a a a a+==（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）设n S为数列{}n a的前n项和，11nnn nabS S++=，求数列{}nb的前n项和nT．25．已知等比数列{}n a的各项均为正数，234848a a a=+=，．(Ⅰ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅱ)设4log.n nb a=证明：{}n b为等差数列，并求{}n b的前n项和n S．26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
上海实验学校中学2021年高三数学文联考试卷含解析
上海实验学校中学2021年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知、为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则（）A． B．C． D．参考答案：C2. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．24－πB．24－3πC．D．参考答案：C由三视图，可知该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个半径为2 的八分之一球，则该几何体的体积为；故选C.3. 若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0] C．（，+∞）D．（0，+∞）参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：即0＜2x+1＜1解得故选A4. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．10π参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴×2×1×sin60°×AA1=，∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=．设△ABC外接圆的半径为R，则=2R，∴R=1．∴外接球的半径为，∴球的表面积等于4π×（）2=8π．故选：C．5. 若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，则a的取值范围为（）A．B．C．[，+∞）D．参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，∵曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，则设公切线与曲线C1切于点（），与曲线C2切于点（），则，将代入，可得2x2=x1+2，∴a=，记，则，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0．∴当x=2时，．∴a的范围是[）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题．6. 若函数y＝a x＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．0<a<1，且b>0 B．a>1，且b>0 C．0<a<1，且b<0 D．a>1，且b<0参考答案：C7. 7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有（）A. 35种B. 50种C. 60种D. 70种参考答案：D【分析】根据题意，分2步分析，①先将7人分成2组，1组4人，另1组3人；②将分好的2组全排列，对应2辆汽车，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步分析，①，先将7人分成2组，1组4人，另1组3人，有C74＝35种分组方法，②，将分好的2组全排列，对应2辆汽车，有A22＝2种情况，则有35×2＝70种不同的乘车方法；故选：D．【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．8. 已知，且，则A． B． C． D．参考答案：，，，，则，故选9. 若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f （+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（4x+）D．f（x）=cos6x参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．解答：解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=﹣1，是最小值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．10. 为了得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．解答：解：函数=cos2（x﹣），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知不等式的解集为，则，且的值为 .参考答案：4，4.12. 函数的定义域是___________．参考答案：略13. 已知数列若，求=_______。
上海市实验学校2023-2024学年第二学期高三年级第四次月考数学试卷及答案
1上海市实验学校2023-2024学年第二学期高三年级第四次月考2024.02.21时间：120分钟； 满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{}{}1,2,3,4,13,A B x x ==−<<则A B = ______2．抛物线22(0)y px p =>过点(3,3)P ，则点2,4x x yx y y+=到抛物线准线的距离为______ 3．复数z 满足(3)5i z i −=（i 为虚数单位），则z =______ 4.若正数,x y 满足24x y +=，则xy的最大值为______ 5．若圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为0120的扇形，则该圆锥的体积为___．6．已知7280128()(1),x a x a a x a x a x +−=+++⋅⋅⋅+且113a =，则0120______7．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以 指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为______8．高三年级某8位同学的体重分别为90,100,110,120,140,150,150,160（单位：kg ），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是______9．已知a 、b 均为单位向量，且22a b −=，则a 与b a − 的夹角为______10．已知曲线21,0:0x x x C y x −+≤ = >，点,P Q 是曲线C 上任意两个不同点，若POQ ∠≤θ，则称,P Q 两点心有灵犀，若,P Q 始终心有灵犀，则θ的最小值0θ的正切值0tan θ=______211．已知数列{}:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,n a ⋅⋅⋅其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的两三项是0132,2,2,⋅⋅⋅，以此类推，则下列说法正确的是______ （1）第10个1出现在第46项；（2）该数列的前55项的和是1012； （3）存在连续六项之和是3的倍数；（4）满足前n 项之和为2的整数幂，且100n >的最小整数n 的值为440． 12．已知函数1()(2)ln x f x x e a x −=−−的最小值为0，则a 的值为______二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相 同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛， 他还需要知道21名同学成绩的（ ）A.平均数B.中位数C.众数D.方差 14．将函数sin(4)3y x π=+的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移6π个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（ ） A. (,0)2π− B.(,0)6π C. 5(,0)12πD.(,0)3π15．如图，三棱柱111ABC A B C −满足棱长都相等，且1AA ⊥平面,ABC D 是棱的中点，1CC E 是棱1AA 上的动点，设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成钝二面角的平面角是（ ）A.减小B.先减小再增大C.先增大再减小D.增大16．已知12304x x x <<<<π，函数()sin f x x =在点(,sin )(1,2,3)i i x x i =处的切线均经过坐标原点，则（ ） A.3113tan tan x x x x < B.3113tan tan x x x x >C. 1322x x x +<D.1322x x x +>3三、解答题（本大题满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数25()sin(2)cos 16f x x x π=+−+. （1）求函数()f x 的最小值和单调增区间； （2）设角,,A B C 为ABC ∆的三个内角，若11cos ,()324C B f ==−，求sin A .18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，,E F 分别为1,BB AC 的中点． （1）求证：//CF 平面1A EB ：（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ABB A ．419.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S a +=+,（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列1(1)3(*)2n n n a n N ++−⋅∈的前n 项和T n .20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2（1）小题满分6分，第2（11）小题满分8分）在平面直角坐标系xoy 中，点,A B 的坐标分别为(0,1)和(0,1)−，设ABM ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，当3Sr=时，记顶点M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）已知点,,,E F P Q 在C 上，且直线EF 与PQ 相交于点A ，记,EF PQ 的斜率分别为12,k k .（i ）设EF 的中点为,G PQ 的中点为H ，证明：存在唯一常数λ，使得当12k k =λ时，OG OH ⊥;（ii ）若1243k k =，当EF PQ −最大时，求四边形EFPQ 的面积.521.（本超满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数2()()x f x x a e =− （1）讨论函数()f x 的单调性：（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记1122(,()),(,()),A x f x B x f x 证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ；（3）在（2）的条件下，判断是否存在常数(,1)(*)n n n N λ∈+∈，使得AB BC =λ,若存在，求出n 的值，若不存在，说明理由.6参考答案一、填空题1.{}134x x x −<≤=或;2.154; 6.2; 7.36; 8.2556;9.arccos(; 10.2; 11.(1)(3)(4); 12.1211．已知数列{}n a ：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，…其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的两三项是02，12，22，…，以此类推．则下列说法正确的是________． （1）第10个1出现在第46项； （2）该数列的前55项的和是1012； （3）存在连续六项之和是3的倍数；（4）满足前n 项之和为2的整数幂，且100n >的最小整数n 的值为440． 【答案】（1）（3）（4）【解析】将数列{}n a 排成行的形式:1, 1,2, 1,2,4, 1,2,4,8,第()åk k N ∈行为:0112,2,,2k − ,则第k 行和为()1122112kk kb , ×−==−−前k 行共有(1)2k k +个数,前k 行的和为()121222,12k k k S k k +×−=−=−−−对于(1),第10个1出现在第123456789146+++++++++=项,故(1)正确; 对于(2),因为10(101)552×+=,所以数列的前55项的和是111022102036S =−−=, 故(2)错误;7对于(3)，因为34567821241212a a a a a a +++++=+++++=,是3的倍数, 所以存在连续六项之和是3的倍数,故(3)正确;对于(4),设前n 项由前k 行和第1k +行前()*11,?m m k m N ≤≤+∈项组成,则(1)2k k nm ++.前n 项和为12221k m n k m T S b k +=+=−−+−, 若前n 项和为2的整数幂,则有221m k +−,即32m k +=.因为**,m N k N ∈∈,所以当324m k +时,1k =,2,3100m n ==<; 当328m k +时,5,3,18100k m n ===<; 当3216m k +时,13,4,95100k m n ===<; 当3232m k +时,29,5,440100k m n ===>;所以满足前n 项之和为2的整数幂,且100n >的最小整数n 的值为440,故(4)正确. 12．已知函数1()(2)ln x f x x e a x −=−−的最小值为0，则a 的值为________． 【答案】12【解析】由()1()2ln x f x x e a x −=−−,得11()(1)2x f x x e a x′−=+−−,且(0,)x ∈+∞, 令()()g x f x ′=,则121()(2)0x g x x e x −′=++>,即()g x 在(0,)+∞上递增, 所以()f x ′在(0,)+∞上递增,又()f x 有最小值为0,故()f x 先减后增, 所以0(0,)x ∃∈+∞使()()010001120x f x x e a x−′=+−−=,且()()010002ln 0x f x x e a x −=−−=,则()()001001001122ln x x x e a x x e a x −− +−= −= , 所以01200ln 1x x e x −+=,解得01x =,所以1212a a =⇒=.故答案为:12.8二、选择题13.B; 14.A; 15.C; 16.C15．如图，三棱柱111ABC A B C −满足棱长都相等，且1AA ⊥平面,ABC D 是棱的中点，1CC E 是棱1AA 上的动点，设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成钝二面角的平面角是（ ）A.减小B.先减小再增大C.先增大再减小D.增大 【答案】C【解析】以AC 中点O 为坐标原点,,OB OC 分别为,x y 轴,并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系。