2019年八年级数学下册专题复习卷菱形性质与判定(无答案)(新版)新人教版
人教版数学八下专题复习之菱形的判定与性质训练卷
人教版数学八下专题复习之菱形的判定与性质训练卷一．选择题（共6小题）1．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE 与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（）A．4B．8C．12D．162．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（）A．只有甲B．只有乙C．甲和乙D．甲乙都不是3．如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，则四边形AEDF为（）A．矩形B．正方形C．菱形D．不是平行四边形4．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（）A．B．C．D．15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中一定成立的是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④6．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（）A．10B．12C．13D．二．填空题（共6小题）7．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．8．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为．10．如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC ∥AB，则四边形CEBD的周长是．11．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和，则此平行四边形的面积为．12．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为．三．解答题（共3小题）13．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝8，，求BD和AE的长．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC⊥BD，垂足为点O，点O是线段AC的中点．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积．15．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．。
2019年人教版八下数学《18.2 菱形》同步复习资料(1)
2019年人教版八下数学《18.2 菱形》同步复习资料【1】一．选择题（共10小题）1．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，四边形AEDF周长为（）A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm2．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°3．如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2cm2B．cm2 C．cm2D．cm24．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A．AD=BC B．BD⊥DE C．四边形ACED是菱形D．四边形ABCD的面积为4【1】【2】【3】【4】5．如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC=60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM=MN=ND．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【5】【6】7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A．1 B．2C．2D．48．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2 B．C．3 D．【7】【8】9．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④10．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（）A．100°B．105°C．110°D．120°【9】【10】二．填空题（共10小题）11．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为．12．下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是（填正确的序号）13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．14．如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是．15．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．【13】【14】【15】16．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．17．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE 的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为．【16】【17】【18】19．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是．20．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=．【19】【20】三．解答题（共7小题）21．如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．22．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．（1）求证：四边形CFGE是菱形；23．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于O，且∠1=∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）F为AD上一点，连结BF交AC于E，且AE=AF，求证：AO=（AF+AB）．24．如图，∠ABC=90°，M为AC的中点，CD∥MB，AD⊥CD，点N在CD上，DN=MB，试说明BD与MN的位置关系．25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．（1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长．26．四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H为BD、AC、AD、BC的中点，问EF、GH的关系？27．已知如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，MN⊥BD且与MD的平行线BN相交于N．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求菱形BNDM相邻两角的度数．第18章《菱形》复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013秋•宁阳县校级期中）如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（）A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED，∴平行四边形AEDF是菱形．∴四边形AEDF周长为4AE=16．故选B．2．（2014•山东模拟）如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BCC．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×AE=CD×AF，∴BC=CD，即AB=BC．故B正确；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．故选：D．3．（2012•凯里市校级三模）如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2cm2B．cm2C．cm2D．cm2【解答】解：如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵AD∥CB，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵纸条宽度都为3，∴AE=AF=3，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC=AB，∵=sinα，∠α=60°，∴BC=AB=2，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=3×2=6（cm2），故选D．4．（2012•山西模拟）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A．AD=BC B．BD⊥DEC．四边形ACED是菱形D．四边形ABCD的面积为4【解答】解：∵△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，∴AD=BC，AD∥BC，故选项A正确；∴四边形ABCD为平行四边形，又△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，由平移可知：AC∥DE，则DE⊥BD，故选项B正确；∵△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，∴AD=CE，AD∥CE，∴四边形ACED为平行四边形，由平移可得△DCE也为等边三角形，∴DE=CE，∴四边形ACED为菱形，选项C正确；过A作AF⊥BC，如图所示：∵△ABC为边长为2的等边三角形，∴BF=CF=BC=1，在Rt△ABF中，AB=2，BF=1，根据勾股定理得：AF==，则S菱形ABCD=BC•AF=2，选项D错误，则原题结论错误的选项为D．故选D5．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1【解答】解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，∵EN=1，∴EG＜1，∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．故选：C．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC=60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM=MN=ND．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，OA=OD=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD，∴△ABC、△ADC是等边三角形，∴OB是等边三角形ABC的高，∵点E是BC的中点，∴AE时等边三角形ABC的高，∴AE=OB，同理：AF=OD，∴AE=AF，∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=BD=OB，EF∥BD，∴AE=AF=EF，即△AEF是等边三角形，∴（1）正确；∵点E，F分别是BC，CD的中点，AC⊥BD，∴OE=BC=CE，OF=CD=CF，∴OE=OF=CE=CF，∴四边形CEOF是菱形，∴（2）正确；∵四边形CEOF是菱形，∴OF∥BC，∵AE⊥BC，∴OF⊥AE，∴（3）正确；∵AE、BO是等边三角形ABC的中线，∴AM=BM，同理：AN=ND，∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°，∵EF∥BD，∴∠AMN=∠AEF=60°，∠ANM=∠AFE=60°，∴∠AMN=∠ANM=60°，∴AM=AN，∴BM=MN=ND，∴（4）正确；正确的结论有4个，故选：D．7．（2016•陕西一模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A．1 B．2C．2D．4【解答】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，则菱形的面积是：AE•BC=2．故选：C．8．（2015春•启东市期中）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：设AP，EF交于O点，∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=AC•BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．故选：B．9．（2015春•滨江区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG=CD=AB，∴①正确；∵AB∥CE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，∴②不正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，∴S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选：A．10．（2014春•大庆期中）如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（）A．100°B．105°C．110°D．120°【解答】解：∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，∴∠DAB+∠B=180°，∵△AEF是等边三角形，AE=AB，∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，设∠BAE=∠FAD=x，则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，解得：x=20°，∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，故选A．二．填空题（共10小题）11．（2014•泸州）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为4．【解答】解：∵平行四边形两条对角线互相平分，∴它们的一半分别为2和，∵22+（）2=32，∴两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴S=4×2=4．故答案为：4．12．（2016春•江汉区期中）下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是①③（填正确的序号）【解答】解：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等，说法正确；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误；③菱形的对角线互相垂直，说法正确；④对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；正确的说法是①③，故答案为：①③．13．（2012•长春一模）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为4 cm．【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，∵OA=OB，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC=×2×OC=4，解得OC=4cm．故答案为：4．14．（2012春•浦东新区期末）如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是AB=2BC．【解答】解：过A作AE⊥CD于E、作AF⊥GH于F，根据题意得：甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，则AF=AE，∵四边形AGHD是平行四边形，∴∠AGF=∠ADE，在△AGF和△ADE中，，∴△AGF≌△ADE，∴AG=AD，又∵AG=AB=AG，AD=BC，∴AB=BC，∴AB=2BC．故答案为：AB=2BC．15．（2015春•太康县期末）如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是①②④．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．【解答】解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形BEPG是平行四边形，∴PE=BG，PG=BE，在△BEP和△PGB中，∴△BEP≌△PGB（SSS），∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EBP=∠GBP，∵PE∥BG，∴∠EPB=∠GBP，∴∠EBP=∠EPB，∴BE=PE，∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，同理AE=HP=DF=PF=CG，∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；故答案为：①②④．16．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．17．（2015春•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是5﹣5．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．故答案为：5﹣5．18．（2014春•泗阳县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为15．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，∴BD=DF=AC，∴四边形BDFG是菱形，过点B作BH⊥AG于点H，∵四边形BDFG是菱形，∴GF=DF=5，∵∠BEF=∠EFH=∠BHF=90°，∴四边形BHFE是矩形，∴BH=EF=CF=3，∴S菱形BDFG=GF•BH=15．故答案为：15．19．（2012春•莱州市期末）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是4千米．【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，∵村庄C到公路l1的距离为4千米，∴CF=4千米，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF=4千米，即C到公路l2的距离是4千米．故答案是：4千米．20．（2012•凉山州）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= 36．【解答】解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=BD=3，同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EF=GH=AC=3，FG=BD=3，∴EH=EF=GH=FG=3，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥HF，且垂足为O，∴EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36．故答案为：36．三．解答题（共7小题）21．（2013秋•姜堰市期末）如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．【解答】解：（1）∵EF垂直平分AC，∴AO=OC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1=∠4=∠3，∴AF=AE，∴AE=EC=CF=FA，∴四边形AECF是菱形．（2）∵AC⊥CD，AC⊥EF∴EF∥CD∴EF=AB=6∵BC=10，∴由勾股定理得：AC=8，∴四边形AECF的面积为：AC•EF=×6×8=24；22．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．（1）求证：四边形CFGE是菱形；【解答】解：（1）证明：设BE交CG于M．如图所示：∵BE是∠CBA的平分线，∴∠1=∠2，∵CG⊥BE，∴∠3=∠4=90°，在△BMG和△BMC中，，∴△BMG≌△BMC（ASA），∴MC=MG，∴EC=EG，FG=FC，∵CD⊥AB，∴∠DFB+∠1=90°，∵∠CEF+∠2=90°，∠CFE=∠DFB，∴∠CEF=∠CFE，∴EC=FC，∴EC=EG=FG=FC，∴四边形CFGE是菱形；23．（2016秋•江阴市校级月考）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于O，且∠1=∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）F为AD上一点，连结BF交AC于E，且AE=AF，求证：AO=（AF+AB）．【解答】解：（1）证明：∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠2=∠ACB，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形；（2）∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE=∠EBC，又∵AF=AE，∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，∴∠EBC=∠BEC，∴BC=CE，∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，∴OA=（AF+BC），又∵AB=BC，∴OA=（AF+AB）．24．如图，∠ABC=90°，M为AC的中点，CD∥MB，AD⊥CD，点N在CD上，DN=MB，试说明BD与MN的位置关系．【解答】解：如图，连接BN，∵CD∥MB，DN=MB，∴四边形BNDM是平行四边形，∵∠ABC=90°，AD⊥CD，M为AC的中点，∴BM=DM=AC，∴平行四边形BNDM是菱形，∴BD与MN的位置关系BD⊥MN．25．（2012•枣阳市校级模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．（1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长．【解答】（1）证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CE=AC，∵CD=AC，∴CE=AC，∴CE=DE，∵DF∥BC，∴∠EDG=∠ECB，在△EDG和△ECB中，，∴△DEG≌△CEB（ASA），∴EG=BE，∴四边形BCGD是平行四边形，∵CD⊥AB，∴▱BCGD是菱形．（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，∴CE=AC=CD，∴CE=ED．∴BC=BD=1．又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，∴BE=BC=BD=，在直角三角形ABC中，∠A=30°，则AB=2BC=2．则AE=AB﹣BE=，∵Rt△AEC≌Rt△DFC，∴DF=AE=．26．（2011秋•鹤山区校级月考）四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H为BD、AC、AD、BC的中点，问EF、GH 的关系？【解答】解：EF⊥GH．理由如下：连接EG，GF，FH，EH，∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点∴EG=AB，EH=CD，又∵AB=DC，∴EG=EH，∵EG∥AB，HF∥AB，∴EG∥HF，同理GF∥EH，∴四边形EGFH是菱形，EF，GH分别为对角线，∴EF⊥GH．27．已知如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，MN⊥BD且与MD的平行线BN相交于N．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求菱形BNDM相邻两角的度数．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，∴BM=DM=AC，设BD与MN相交于点O，∵MN⊥BD，∴BO=DO，∵MD∥BN，∴∠MDO=∠NBO，在△MDO和△NBD中，，∴△MDO≌△NBD（ASA），∴OM=ON，∴BD、MN互相垂直平分，∴四边形BMDN是菱形；（2）解：∵∠BAC=30°，∠ACD=45°，∴∠BMC=30°×2=60°，∠CMD=90°，∴∠BMD=60°+90°=150°，∵DM∥BN，∴∠MBN=180°﹣150°=30°，∴菱形BNDM相邻两角的度数是150°，30°．。
新人教版八年级下册菱形基础知识点及同步练习、含答案
学科：数学教学内容：菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．解：在菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC和△DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°， 过A 作AE ⊥BC 于E ， ∴∠BAE=30°，1AB 21BE ==∴，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 312B E AB AE 2222=-=-=∴，（勾股定理） 32AE BC S ABCD =⋅=∴菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高） 解法二：如图4-28，∠B ∶∠A=1∶2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结AC 、BD 交于点O ，︒=∠=∠∴30B 21ABD ，AC ⊥BD ． （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直） 在Rt △ABO 中，1AB 21AO ==， 312AO AB B O 2222=-=-=∴，∴AC=2，32BD =， 3232221BD AC 21S ABCD =⨯⨯=⋅=∴菱形． 答：菱形的面积为32．【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC与△CDA为等边三角形．∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴ AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF为等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴ 60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°．例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE∴ AE=AG，∴∴四边形AEFG为平行四边形．又∵ AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵ AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．∴∠DAE=2∠ABD．∵∠DAE=2∠BAE，∴∠ABD=∠BAE，∴ OA=OB．∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴∠BOE=2∠BAE．∴∠BEA=∠BOE，∴ OB=BE，∴ AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．解：∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，∴∠1=40°，∠2=50°，∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．【同步达纲练习一】 一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45°， 135° (B)60°， 120° (C)90°， 90° (D)30°， 150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( )(A)S (B)S 21 (c)S 321 (D)S 521二、填空题3．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 4．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.三、解答题 7．已知：O 为对角线BD 的中点，MN 过O 且垂直BD ，分别交CD 、AB 于M 、N ．求证：四边形DNBM 是菱形．8．如图4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( ) A ．2:3B ．3:3C ．1：2D ．1:32．已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm 3．菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直B ．互相平分且相等C ．互相平分且垂直D ．互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4．已知菱形的面积等于2cm 160，高等于8cm ，则菱形的周长等于____________． 5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 6．菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 7．如图4-29，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AG ⊥BC ，且BD 、AG 相交于点E ，DF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．8．如图4-30，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ．求证：四边形AFCE 是菱形．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ；二、3．80°；4．222b a +，ab 21；5．对角线互相垂直，各边长相等． 6．4厘米．三、7．由已知MN 为BD 的垂直平分线， 有 DM=BM ，DN=BN ，又由△DOM ≌△BON ，得DM=BN ，∴ DM=BM=BN=DN ．∴四边形DNBM 是菱形.8．过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 为菱形的一条高． 又∵ AC 、BD 互相垂直平分于O ，∴ 821==AB OA 厘米，621==BD OB 厘米． 由勾股定理，得 1022=+=BO AO AB (厘米)．又∵OA BD DH AB ⋅=⋅2121， ∴812211021⨯⨯=⨯⨯DH ，DH=9.6厘米．【同步达纲练习二】1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．80cm ； 5．5； 6．10； 7．证法一：在Rt △ABD 和Rt △FBD 中，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠FBD ，∠DAB=∠DFB=90°， 又∵BD=BD ，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD ∴AD=DF ，∠ADE=∠EDF又∵DF ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴DF//AE ，∴∠EDF=∠DEA ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ， ∴AE=DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 为菱形． 证法二：同证法一得DF=DA=AE ，∵Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ， ∴AE=EF ，∴DF=DA=AE=EF ，∴四边形AEFD 是菱形． 证法三：同证法一：Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ， ∴△ABE ≌△FBE ，∴∠GAB=∠EFB ，又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°， ∴∠C=∠GAB ，∴∠C=∠EFB ，∴EF ∥AC ， 又∵DF ∥AG ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 是菱形．8．∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又∵AE ∥CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴四边形AFCE是菱形．。
八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析
八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．482．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线相等且互相垂直C．两条对角线互相垂直D．两条对角线互相垂直平分5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC6．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC7．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD8．菱形的周长为52，一条对角线长为10，则此菱形的面积为．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB于点H，则OH 的长为．11．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．12．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．13．要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是．（写出一种即可）14．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．16．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．20．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．（1）求证：AE＝CF；（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．21．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC＝2OC，BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG（1）若CE＝8，∠ACE＝∠ACB，求AB；（2）求证：FG＝AG．参考答案与解析1．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．故选：C．4．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．5．解：需要添加的条件是AB＝BC；理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故选：D．6．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：D．7．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；故选：B．8．解：如图所示∵菱形的周长为52，即4AB＝52，∴AB＝13，∵AC＝10，∴AO＝AC＝5，∵AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得BO＝12，∴BD＝2BO＝24，∴菱形的面积＝×10×24＝120．故答案为：120．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，∴BC＝13，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，∴×24×10＝13×DE，解得：DE＝，故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝，故答案为：．11．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．12．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC或AC⊥BD．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．14．解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．15．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝AB＝EB，∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF为菱形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DF A＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，∴∠DEC+∠DFC＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠DFC，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF，∵点G为BE的中点，∴BG＝GE，在△AGE和△HGB中，，∴△AGE≌△HGB（AAS），∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（SAS），∴AF＝AH，∴AF＝2AG．21．（1）解：延长EF与BC交于点K∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∵BC＝2OC∠OBC＝30°，∴∠EBF＝30°，∴∠BEF＝30°，∠ABC＝60°，∠EKB＝90°，∠ACB＝60°∠ACE＝∠ACB＝×60°＝15°，∠ECK＝45°，在Rt△CKE中，EK＝CK＝CE＝，在Rt△EKB中，BK＝∴BC＝，即AB＝；（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．∵G为CE中点，∴EG＝GC，在△EFG与△CHG中，，△EFG≌△CHG（SAS），∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，∴CH＝BF，CH∥EF，由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF＝∠ACH，在△AFB与△AHC中，△AFB≌△AHC（SAS），∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH∵FG＝GH，∴AG⊥FG，∴∠F AG＝∠HAG∵∠BAC＝∠BAF+∠F AC＝60°，∴∠CAH+∠F AC＝60°，即∠F AH＝60°，∴∠F AG＝∠HAG＝30°，∴。
人教版八年级下册数学《菱形的性质与判定》同步练习(含答案)
菱形的性质与判定一 、填空题（本大题共6小题）1.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是 ．2.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．3.如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．4.已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．5.菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为6.已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是二 、解答题（本大题共7小题）DCAB 图21CBAE F DBCA7.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．8.如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．9.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．10.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBAC'DCB A EQEP NMDCBA11.如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH ，相互垂直平分12.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．13.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBACDH GFEBAGF E DCBAFEDCBA菱形的性质与判定答案解析一 、填空题 1.42.AB AD AC BD =⊥，3.120︒；由题意可知：构成三角形为等边三角形4.2或65.56.150°；如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，则12AC BD BC AE ⋅=⋅，又2AC BD AB ⋅=，得1302AE AB ABC =∠=︒，，150BAD ∠=︒二 、解答题7.⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）． ⑵ 150︒．8.根据题意可知则. ∵， ∴. ∴， ∴.∴， ∴四边形为菱形. 9.如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线EDCBA'CDE C DE ∆≅∆'''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，，//AD BC C DE CDE '∠=∠CDE CED ∠=∠CD CE =CD C D C E CE ''===CDC E 'QNMD C∴PQ AC ∥且12PQ AC = 同理MN AC ∥且12MN AC = ∴MN PQ ∥且MN PQ = ∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD =∴1122PQ AC BD PN ===. 10.连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．11.连结EG GF FH HE ，，，，根据题意，EG HF ，分别是DAB CAB ∆∆，的中位线，所以12EG HF AB ==，同理可证：12GF EH CD ==，因为AB CD =，所以ABCDEFEG HF GF EH ===，则四边形EGFH 是菱形，所以EF GH ，相互垂直12.当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形．∵AB GF ∥，AG BF ∥ ∴四边形ABFG 是平行四边形 ∵Rt ABE ∆中，60B ∠=︒ ∴30BAE ∠=︒ ∴12BE AB =∵BE CF =，32BC AB = ∴12EF AB = ∴AB BF =∴四边形ABFG 是菱形．13.连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ABEFGHD CABCDEF∴18∠=︒CEF分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．。
2020—2021年新人教版初中数学八年级下册菱形的性质与判定专项练习题及答案精品试卷.docx
八年级数学下册菱形性质与判定练习题一选择题：1.下列四边形中不一定为菱形的是（）A.对角线相等的平行四边形B.每条对角线平分一组对角的四边形C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.下列说法中正确的是（）A.四边相等的四边形是菱形B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分的四边形是菱形3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15.四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A.1种B.2种C.3种D.4种6.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（）A．100°B．104°C．105°D．110°7.如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG为等腰直角三角形,则EF的长为（）A.10B.10C.12D.128.用一条直线将一个菱形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为M 和N,则M+N值不可能是（）A.360°B.540°C.630°D.720°9.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为（）A.1B.2C.3D.410.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A.4.8B.5C.6D.7.211.如图,把长方形纸片ABCD折叠,使其对角顶点C与A重合.若长方形的长BC 为8,宽AB为4,则折痕EF的长度为（）A.5B.3C.2D.312.如图,四边形ABCD,AD与BC不平行,AB=CD.AC,BD为四边形ABCD的对角线,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点.下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH 是矩形；③HF平分∠EHG；④EG =（BC﹣AD）；⑤四边形EFGH是菱形.其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二填空题：13.如图,在菱形ABCD中，∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E 为垂足,连接DF,则∠CDF的度数=度．14.如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,点E、F分别在BC、CD上,则∠B的度数是．15.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是．16.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.如果AC=8,BD=14,AB=x,那么x取值范围是．17.在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为．18.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为．三解答题：19.如图,已知△ABC中,D是BC边的中点,AE平分∠BAC,BE⊥AE于E点,若AB＝5,AC＝7,求ED．20.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了),连EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．21.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF ∥BE交DE的延长线于F，连接CD．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）．22.如图,已知在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于M,过M作ME⊥CD于E,∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．23.如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD 中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN.（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长.参考答案1.A2.A3.D4.B5.D6.B7.B8.C9.C．10.A 11.C 12.C13.答案为：60．14.案为：80°．15.答案为：60．16.答案为：3＜x＜11．17.【解答】解：当点E在CB的延长线上时，如图1所示．∵AB=5，AE=4，∴BE=3，CE=BC+BE=8；当点E在BC边上时，如图2所示．∵AB=5，AE=4，∴BE=3，CE=BC﹣BE=2．综上可知：CE的长是2或8．故答案为：2或8．18.【解答】解：分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，如图1所示，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴BM=AB=1，∴AM=BM=，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，∴AC==2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，BP===2；（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：则CP=AM=，∴BP==；综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2或．19.ED＝1，提示：延长BE，交AC于F点．20.【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF 为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO=4，∴AE=2AO=8．21.【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC=2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形．∵BE=2DE，BC=2DE，∴BE=BC．∴▱BCFE是菱形；（2）解：①∵由（1）知，四变形BCFE是菱形，∴BC=FE，BC∥EF，∴△FEC与△BEC是等底等高的两个三角形，∴S△FEC=S△BEC．②△AEB与△BEC是等底同高的两个三角形，则S△AEB=S△BEC．③S△ADC=S△ABC，S△BEC=S△ABC，则它S△ADC=S△BEC．④S△BDC=S△ABC，S△BEC=S△ABC，则它S△BDC=S△BEC．综上所述，与△BEC面积相等的三角形有：△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．22.【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．23.略。
数学人教版八年级下册期末复习专项练习05菱形答案及解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！数学人教版8年级下册期末复习真题汇编卷菱形一、单选题1．（2022春·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边BC AD 、上，将边AB 沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠、点D 恰好落在AC 上的点N 处，若四边形AECF 是菱形，则BAE Ð的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°2．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ^于H ，则DH 等于（）A ．125B ．65C ．5D ．2453．（2023春·江苏·八年级期末）如图，菱形ABCD 的对角线BD 长度为4，边长AB =M 为菱形外一个动点，满足BM DM ^，N 为MD 中点，连接CN ．则当M 运动的过程中，CN 长度的最大值为（）A．1B．12+C．1D．2 4．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AB边的中点，若菱形的周长为24，则OE的长是（）A．1B．20C．3D．4 5．（2023秋·重庆·九年级校考期末）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE BC^，交BC于点E，若4AC=，6BD=，则BE的长度是（）A B C．1310D．756．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角7．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE AC∥，DF AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD BC^，则四边形AEDF是矩形B ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形C ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形D ．若AD 平分BAC Ð，则四边形AEDF 是菱形8．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 的交点与原点重合，顶点,A C 在x 轴上，,B D 在y 轴上，且()3,0C ，()0,4D ，若一只瓢虫从点A 出发以5个单位长度/秒的速度沿着A B C D A ®®®®循环爬行，则第2023秒瓢虫的位置在（）A ．()0,4B ．()3,0-C ．()0,4-D ．()3,09．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知菱形的周长等于40cm ，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（）A ．12cm ，16cmB ．6cm ，8cmC ．3cm ，4cmD ．24cm ，32cm10．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若添加一个条件，使得ABCD Y 一定为菱形，该条件是（）A ．90ABC Ð=°B ．AC BD =C ．AC BD ^D ．ABD CDBÐ=Ð11．（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．若6AC =，8BD =，AE BC ^，垂足为E ，则AE 的长为（）A ．12B ．14C ．245D ．48512．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且68AC DB ==，，AE BC ^于点E ，则AE =（）A ．6B ．8C ．245D ．48513．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +则PE 的最小值为（）A ．2BC ．1D ．0.514．（2023秋·四川巴中·九年级统考期末）如图，已知菱形ABCD 的周长为两条对角线AC 、BD 的和为8，则菱形ABCD 的面积为（）A ．6B ．12C ．D ．15．（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC Ð=°，2BC AB =．下列结论：①·ABCD S AB AC =；②4AD OE =；③EF AC ^；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF ．若2EF =，3BD =，则菱形ABCD 的面积为________.17．（2019春·山东德州·八年级校联考期末）菱形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，则菱形的边长为____________．18．（2021春·北京东城·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC Ð=°，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP AP +的最小值为___________．19．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，60A Ð=°，6AB =．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB AD 、交于点E 、F ．当点M 在BC 上时，DF 长的最大值为__________．20．（2021春·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD BD 、的中点，若2EF =，则BC 长为________．21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知，菱形ABCD 中，60BAD Ð=°，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在菱形ABCD 的边上，且与顶点不重合，若OE OB =，则EOA Ð的度数为__________．22．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）菱形ABCD 的周长为32cm ，一条对角线长为12cm ，则另一条对角线的长为________cm ．23．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，2410AC BD ==，，则菱形ABCD 的周长为___________．24．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），PE OA ^于点E ，PF OB^于点F ，若2,60AB BAD =Ð=°，则EF 的最小值为_______．25．（2023秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）面积为224cm ，一条对角线长为6cm ，则这个菱形的周长是_________cm ．26．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）点E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若要使四边形EFGH 是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①90A Ð=°，②AB BC ^，③AC BD =，④AC BD ^．（请填写正确的序号）27．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧交AD 于点E ，分别以点C 、E 为圆心，大于12CE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AD 的延长线于点F ，60CBE Ð=°，4BC =，则BF 的长为______．28．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，AOB 与COD △关于公共顶点O 成中心对称，连接AD ，BC ，添加一个条件____，使四边形ABCD 为菱形．29．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，菱形的边长ABCD 为10cm ，其中对角线AC 的长为16cm ，则菱形ABCD 的面积为_________2cm ．30．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，^于点E，则AE的长为___________．BD的长分别为6，8，过点A作AE CD三、解答题31．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD ，．上一点，连接AE CE(1)求证：AE CE=；(2)若AE DE AE AB，，求ABD=^Ð的度数．32．（2023秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、∥交BE的延长线于H，连接CH与BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH BCDH．(1)求证：BCE HOE△≌△；(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．33．（2018·浙江金华·八年级校联考期末）我们定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．(1)请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．(2)如图1，B，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，已知四边形EFGH是菱形，求证：四边形ABCD是和美四边形；(3)如图2，四边形ABCD是和美四边形，对角线AC，BD相交于O，60Ð=°，AOBE、F分别是AD、BC的中点，求EF与AC之间的数量关系．34．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，在Rt ABCÐ=°，过△中，90ACB点C的直线∥MN AB，D为AB边上一点、过点D作DE BC^，交直线MN于E，垂足为F，连接CD BE、．(1)求证：CE AD=；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；S的面积．(3)在（2）的条件下，已知304ECB AC，，求三角形BECÐ=°=35．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE AB^于点F．^于点E，交AC于点P，BF DC(1)四边形DEBF 是；(2)若2,4BE BF ==，求DP 的长．36．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB Ð=°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，过点C 作CE ∥AB ，过点B 作BE ∥CD ，CE ，BE 交于点E ．(1)判断四边形CDBE 是什么特殊的四边形，并证明；(2)直接写出当ABC 再满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形．37．（2022秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE CD ^于点E ，点F 在边AB 上，AF CE =，求证：四边形BFDE 是矩形．38．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD 中，AO 平分BAC Ð，OB OC =，延长DC 与AO 交于点P ，连接BP ．(1)求证：CD CP =；(2)判断四边形ABPC的形状，并证明你的结论．39．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在ABCDY中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE BF=，连接AE，AF，CF，CE．(1)求证：四边形AFCE为平行四边形；(2)若AC平分EAFOA=，求四边形AFCE的周长．Ð，60AECÐ=°，4参考答案1．A2．D3．A4．C5．B6．A7．D8．A9．A10．C11．C12．C13．D14．A15．A16．617．518．19．6-/-620．421．30°或150°22．23．522425．2026．①②③27．28．AD AB =（答案不唯一）29．9630．24531．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ABD CBD =Ð=Ð，，在ABE 和CBE △中，AB BCABD CBD BE BE=ìïÐ=Ðíï=î，∴()@△△SAS ABE CBE ，∴AE CE =．（2）解：∵AB AD =，∴ABD ADB Ð=Ð，∵AE DE =，∴EAD ADB ABD Ð=Ð=Ð，∵AE AB ^，∴90BAE Ð=°，∵180ABD ADB DAE BAE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴390ABD Ð=°，∴30ABD Ð=°．32．（1）证明：∵OH BC ∥，∴BCE HOE Ð=Ð，∵E 是OC 的中点，∴CE OE =，在BCE 和HOE 中，BCE HOECE OE BEC HEOÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA BCE HOE △≌△；（2）解：当四边形ABCD 是矩形时，四边形OCHD 为菱形，理由如下：由（1）可知，BCE HOE △≌△，∴BE HE =，∵CE OE =，∴四边形BCHO 是平行四边形，∴CH OB =，CH OB ∥，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD =，∴CH OD =，OC OD =，∴四边形OCHD 是平行四边形，又∵OC OD =，∴平行四边形OCHD 是菱形．33．（1）解： 矩形的对角线相等，\矩形是和美四边形；（2）如图1，连接AC 、BD ，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH BD FG \==，12EF AC HG ==， 四边形EFGH 是菱形，EH EF FG GH \===，AC BD \=，\四边形ABCD 是和美四边形；（3）12EF AC =，证明：如图2，连接BE 并延长至M ，使BE EM =，连接DM 、AM 、CM ，AE ED = ，\四边形MABD 是平行四边形，BD AM \=，BD AM ∥，60MAC AOB \Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是和美四边形，∴AC BD =，∴AM AC =，AMC \是等边三角形，CM AC \=，BMC △中，BE EM = ，BF FC =，1122EF CM AC \==．34．（1）证明：由题意知90DFB ACB Ð=Ð=°，∴∥DE AC ，∵AD CE ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE AD =；（2）解：四边形BECD 是菱形；理由如下：∵在Rt ABC △中，D 在AB 中点，∴CD AD DB ==，∴BCD △是等腰三角形，∵DF BC ^，∴BF CF =，∴F 为BC 中点，∴DF 是ABC 的中位线，∴12DF AC =，∵四边形ADEC 是平行四边形，∴AC DE =，∴12DF DE =，∴DF EF =，∵BF CF =，DF EF =，DE BC ^，∴四边形BECD 是菱形；（3）解：∵30ECB Ð=°，∴30CBA Ð=°，∵4AC =，∴8AB =，4BD =，2EF DF ==，在Rt BDF △中，由勾股定理得BF ==，∴2BC BF ==，∴12BEC SBC EF =´´=∴BEC S 为35．（1）∵,DE AB BF DC ^^，∴90DEB BFD Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ，∴180DEB EDF Ð+Ð=°，∴90EDF DEB BFD Ð=Ð=Ð=°，∴四边形DEBF 是矩形，故答案为：矩形；（2）如图，连接PB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由（1）知，四边形DEBF 是矩形，∴4DE FB ==，设PD BP x ==，则4PE x =-，在Rt PEB △中，由勾股定理得：222(4)2x x -+=，解得：52x =，∴52DP =．36．（1）解：四边形CDBE 是菱形，证明：BE ∥CD ，CE ∥AB ，\四边形BDCE 是平行四边形．90ACB Ð=° ，CD 是AB 边上的中线，CD BD \=，\平行四边形BDCE 是菱形；（2）当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形；理由如下：90ACB Ð=° ，当ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，CD AB \^，90CDB \Ð=°，\四边形BECD 是正方形．37．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，AB CD =．∵AF CE =，∴AB AF CD CE -=-，∴FB ED =．∴四边形BFDE 是平行四边形．∵BE CD ^，∴90BED Ð=°．∴四边形BFDE 是矩形．38．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB DC ，∴BAO CPO Ð=Ð，在ABO 和PCO △中，BAO CPO BOA COP OB OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS ABO PCO ≌△△，∴AB CP =，又∵AB CD =，∴CD CP =；（2）由（1）知()AAS ABO PCO ≌△△∴BAO CPO Ð=Ð，∴AB CP ∥，∵AO 平分BAC Ð，∴BAO CAO Ð=Ð，∴CAO CPO Ð=Ð，∴CA CP =，∵AB CP ∥，AB CP =，∴四边形ABPC 是平行四边形，∵AC CP =，∴四边形ABPC 是菱形．39．（1）证明： 四边形ABCD 为平行四边形，OA OC \=，OB OD =，又DE BF = ，OB BF OD DE \+=+，即：OF OE =，\四边形AFCE 为平行四边形；（2）解： 四边形AFCE 是平行四边形，AF CE \∥，AF CE =，AE CF =，FAC ACE \Ð=Ð，AC 平分EAF Ð，FAC CAE \Ð=Ð，ACE CAE \Ð=Ð，AE CE \=，\四边形AFCE 是菱形，AC EF \^，AF CF EC AE ===，又60AEC Ð=° ，30AEO \Ð=°，28AF CF EC AE OA \=====，\四边形AFCE 的周长为：4832´=．。
人教版2019-2020学年八年级数学下册18.2.2.1 菱形的性质(word无答案)
人教版2019-2020学年八年级数学下册18.2.2.1 菱形的性质(word无答案)一、单选题(★) 1 . 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（）A．2B．3.5C．7D．14(★★) 2 . 如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．9二、填空题(★★) 3 . 如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC、 BD的长分别为6 cm、8 cm，AE⊥ BC于点 E，则 AE的长是_____．(★★) 4 . 如图，在菱形中，对角线、相交于点．，，点为上一动点，点以的速度从点出发沿向点运动．设运动时间为，当________ 时，为等腰三角形．三、解答题(★★) 5 . 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接、，连接交于点.(1)求证: ;(2)若菱形的边长为2, .求的长.(★★) 6 . 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上.（1）求证：；（2）若为中点，，求菱形的周长。
四、单选题(★★★★) 7 . 如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为( )A．B．C．D．(★) 8 . 如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）．A．22B．18C．14D．11(★★) 9 . 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12D．24五、填空题(★★) 10 . 如图，边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，菱形的面积为______ ．(★★) 11 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 _______ ．(★★) 12 . 如图，已知菱形 ABCD的周长为16，面积为， E为 AB的中点，若 P为对角线BD上一动点，则 EP+ AP的最小值为 ______ ．六、解答题(★★) 13 . 如图，已知四边形是菱形，于点，于点.(1)求证：.(2)若，求的度数.(★★) 14 . 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．(★★★★) 15 . 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于A．(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．。
2020年八年级数学下册专题复习卷菱形性质与判定(无答案)(新版)新人教版
菱形的性质与判定A卷1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为（）A.1:2:3B.1:2:1C.1:3:2D.1:3:13.□ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=DO,使得□ABCD是菱形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2:1，则对角线的长分别为（）A.4和2B.1和2 3C.2和2 3D.2和 35.若菱形的两条对角线的比为3:4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于______ cm,它的面积等于________ cm2.8平方厘米，两条对角线的比为1:3,那么菱形的边长为_______.6.菱形的面积为37.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3:4，则菱形的面积为cm2．8.已知菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm，则它的面积是cm2．9.如图,四边形ABCD对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是（填一个条件即可）．10.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点O到边AB的距离 .11.如图,四边形ABCD为菱形,已知A（0,4），B（-3,0）．则点D坐标为；C点坐标为 .12.如图,在菱形ABCD中,∠A=600，AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．13.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动,同时点Q从点B出发向点C运动,点P、Q 的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．B 卷1.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）A.邻角互补B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线互相垂直2.下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ）A.□ABCD 中,AB=BCB.□ABCD 中,AC ⊥BDC.□ABCD 中,AC=BDD.□ABCD 中,AC 平分∠BAD3.菱形和矩形都具有的性质是（ ）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直4.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A.3cm 2B.4cm 2C.3cm 2 D ．32cm 25.如图，在平面直角坐标系中,菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3,4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ）A.M （5,0），N （8,4）B.M （4,0），N （8,4）C.M （5,0），N （7,4）D.M （4,0），N （7,4） 6.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是180，则此菱形的各个内角分别为________7.若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______，边长为_______，8.已知菱形的两条对角线长为10cm 和24cm, 那么这个菱形的周长为________, 面积为_________9.如图，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于E ，且AE=BE ，则∠BCD 的度数为 .10.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=450,OC=2，则点B 的坐标为.14.AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC ，DF//AB 。
人教版八年级下册专项训练专题07 菱形的性质
专题07 菱形的性质一、知识点菱形的特性：边：邻边相等；对角线：互相垂直二、标准例题例1：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等2．菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．每条对角线平分一组对角例2：菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和4√3cm B．4cm和8√3cm C．8cm和8√3cm D．4cm和4√3cm例3：如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45∘，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．(1)求证：BE=CF；(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．三、练习题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两邻角的度数分别为（）A．45∘，135∘B．60∘，120∘C．90∘，90∘D．30∘，150∘2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A．75∘B．45∘C．60∘D．30∘3．如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2√2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）A．3B．6C．2√5D．3√24．已知菱形一条对角线为长8√2cm，周长是24 cm，则这个菱形的面积是______5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为_________；6．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为_____．7．已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60∘，则这个菱形较短的一条对角线长为________．8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为________cm，面积为________cm2．9．如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为_____.2题3题5题9题10．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝∠AFE．11．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．12．在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．13．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形．（2）若AB=8，∠BCD=120°，求四边形AODE的周长．14．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上任一点(不与A，C重合)，连接BP，DP，过P作PE∥CD交AD于E，过P作PF∥AD交CD于F，连接EF.(1)求证：△ABP≌△ADP；(2)若BP=EF，求证：四边形EPFD是矩形．15．如图一，菱形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，且DE⊥AB．(1)求证：△ABD是等边三角形；(2)将图一中△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，连接BF，如图二，求线段BF的长．一、知识点菱形的特性：边：邻边相等；对角线：互相垂直二、标准例题例1：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等【答案】B【解析】A. 四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故A正确；B. 对边相等，矩形、菱形都有的性质，故B错误C. 对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，故C错误；D. 对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A错误；故选：A.点睛：菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直2．菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．每条对角线平分一组对角【答案】B【解析】【分析】根据矩形的对角线的性质（对角线互相平分且相等），菱形的对角线性质（对角线互相垂直平分）可解．【详解】因为矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分.故选:B.【点睛】考查矩形，菱形的性质，熟记菱形和矩形的性质是解题的关键.例2：菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和4√3cm B．4cm和8√3cm C．8cm和8√3cm D．4cm和4√3cm【答案】C【解析】【分析】先连接AC、BD，AC、BD交于点O，由于四边形ABCD是菱形，那么AB=BC=CD=AD，从而易求菱形的边长，再根据∠ABC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可证△ABC是等边三角形，利用勾股定理可得出对角线的长度．【详解】如右图所示，∠ABC=60°，连接AC、BD，AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，又∵菱形的周长为32，∴AB=BC=CD=AD=8，又∵∠ABC=60°，∴△BAC是等边三角形，∴AC=AB=8，AC=4,∴AO=12∴BO=√AB2−AO2=√82−42=4√3，∴BD=2BO=8√3，即两条对角线分别为：8cm、8√3cm．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．关键是画图，求出菱形边长，另外要掌握菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理进行解答，难度一般．例3：如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45∘，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．(1)求证：BE=CF；(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）2√2−2【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≅△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF//AB，再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF=√2AF=2√2，然后计算CF−DF即可.【详解】(1)证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45∘，∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，∴△ABE≅△ACF，∴BE=CF；(2)解：∵四边形ABDF为菱形，∴DF=AF=2，DF // AB，∴∠1=∠BAC=45∘，∴△ACF为等腰直角三角形，∴CF=√2AF=2√2，∴CD=CF−DF=2√2−2．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了菱形的性质.三、练习题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两邻角的度数分别为（）A．45∘，135∘B．60∘，120∘C．90∘，90∘D．30∘，150∘【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质可以判定一个内角为60°，根据平行四边形邻角之和为180°可以求得邻角为180°-60°=120°．【详解】如图，由题意知AB=BC=AC，∵AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形，即∠B=60°，根据平行四边形的性质，∠BAD=180°-60°=120°，故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形邻角之和为180°的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求∠B=60°是解题的关键．2．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（）A．75∘B．45∘C．60∘D．30∘【答案】C【解析】【分析】首先连接AC，由四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，易得△ABC与△ACD是等边三角形，即可求得∠B=∠D=60°，继而求得∠BAD，∠BAE，∠DAF的度数，则可求得∠EAF 的度数．【详解】连接AC．∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，∴AB=AC，AD=AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=AC，AC=CD=AD，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴∠B=∠D=60°，∴∠BAE=∠DAF=30°，∠BAD=180°﹣∠B=120°，∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF=60°．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2√2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）A．3B．6C．2√5D．3√2【答案】C【解析】分析：先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．详解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2√2，连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，=3√2，∴Rt△BHC中，BH=CH=√2∴HG=3√2-2√2=√2，∴Rt△BHG中，BG=√(3√2)2+(√2)2=√20=2√5，∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），∴PE+PF的最小值是2√5．故选：C．点睛：本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．4．已知菱形一条对角线为长8√2cm，周长是24 cm，则这个菱形的面积是______【答案】16√2【解析】【分析】画出草图分析，因为周长是24，所以边长是6，根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．【详解】因为周长是24cm，所以边长是6cm，如图所示：AB=10cm，AC=8√2cm，根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=4√2cm，AB=6cm，在Rt△AOB中，BO=2−AO2=2cm，∴BD=2BO=4cm，×4×8√2=16√2（cm2）．∴面积S=12故答案为16√2．【点睛】本题考查了菱形的四条边相等的性质，以及对角线互相垂直平分的性质，还考查了菱形面积的计算，对角线乘积的一半．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为__________________；【答案】70°【解析】分析：根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可.详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC平分∠DAB，∠DAB，∴∠DAB+∠ADC=180°，∠OAB=12∵∠ADC=140°，∴∠DAB=40°，∠OAB=20°，∵OE⊥AB，∴∠OEA=90°，∴∠AOE=180°-90°-20°=70°.故答案为：70°.点睛：熟记“菱形的相关性质并能由此解得∠OAB=20°”是解答本题的关键.6．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为_____．【答案】24【解析】【分析】根据题意画出图形,利用对角线互相垂直平分,菱形面积等于二分之一对角线乘积即可解题.【详解】解：如下图,∵菱形的周长为20，∴边长A B=5,∵对角线互相垂直平分, 一条对角线长为8，∴BO=4,AO=3（勾股定理）,∴AC=6,×8×6=24.∴S菱形=12【点睛】本题考查了菱形的面积,属于简单题,熟悉菱形的对角线性质是解题关键.7．已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60∘，则这个菱形较短的一条对角线长为________．【答案】6cm【解析】【分析】根据菱形的性质即四边相等解答此题.【详解】已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60∘，则这个菱形的边长为6cm，连接菱形较短的一条对角线，则菱形分为两个等边三角形，所以这个菱形较短的一条对角线长为6cm.【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形四边相等是解决此题的关键.8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为________cm，面积为________cm2．【答案】524【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求菱形的面积即可．【详解】∵菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，∴对角线的一半分别为3cm，4cm，∴根据勾股定理可得菱形的边长为：√32+42=5cm，∴面积S=1×6×8=24cm2．2故答案为：5；24．【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解决本题的关键．9．如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为_____.【答案】2√3【解析】【分析】BD，如图，连接BD交AC于点O．根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据中位线的判定与性质得到FG∥BD，FG=12易证EF∥AC，因为AF=BF，所以BE=CE，根据等边三角形的判定得到△ABC是等边三角形，然后根据题意求得个线段长即可.【详解】如图，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AF=FB，AG=GD，∴FG∥BD，∵∠EFG=90°，∴GF⊥EF，∴BD⊥EF，∵AC⊥BD，∴EF∥AC，∵AF=BF，∴BE=EC，∵AE⊥BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∵AB=4，∴OB=2√3，∴BD=2OB=4√3，BD，∵FG=12∴FG=2√3，故答案为2√3．【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 10．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝∠AFE．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据菱形性质证明△ABE≌△ADF（SAS）,从而得AE＝AF，利用等腰三角形性质即可得∠AEF＝∠AFE．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，∵EC＝FC，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中{AB=AD ∠B=∠D BE=DF∴△ABE≌△ADF（SAS）；∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．【点睛】本题考查了菱形性质的应用,全等三角形的判定,等腰三角形的性质,属于简单题,证明三角形全等是解题关键.11．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】（1）∠ABD=60∘；（2）BE=1；（3）S菱形ABCD=8√3．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=AD，然后根据∠A=60°，即可得出△ABD为等边三角形，即可得出∠ABD的度数；（2）根据O为BD中点，∠ABD=60°，容易求出BE的长度；（3）过D作DF⊥AB于点F，可得DF=2OE，然后根据底×高即可求出菱形的面积．【详解】（1）在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠A=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60∘；（2）∵O是对角线BD的中点，BD=2，∴OB=12∵∠ABD=60∘，=1；∴BE=OBcos60∘=2×12（3）过D作DF⊥AB于点F，由(2)可得：OE=OBsin60∘=√3，∵OE⊥AB，点O为BD中点，∴DF=2OE=2√3，=AB⋅DF=4×2√3=8√3．则S菱形ABCD【点睛】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，得出△ABD为等边三角形．12．在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．【答案】（1）见解析；（2）2√3．【解析】【分析】（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90∘，AB=CD，AB // CD，∴∠ABD=∠CDB，由折叠的性质可得：∠ABE=∠EBD=12∠ABD，∠CDF=12∠CDB，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中{∠A=∠CAB=CD∠ABE=∠CDF，∴△ABE≅△CDF(ASA)，∴AE=CF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD // BC，∴DE=BF，DE // BF，∴四边形BFDE为平行四边形；解法二：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90∘，AB=CD，AB // CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=∠FDB，∴EB // DF，∵ED // BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)解：∵四边形BFDE为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90∘，∴∠ABE=30∘，∵∠A=90∘，AB=2，∴AE=√3=2√33，BE=2AE=43√3，∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=2√33+43√3=2√3．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．13．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形．（2）若AB=8，∠BCD=120°，求四边形AODE的周长．【答案】（1）证明见解析（2）8+8√3【解析】试题分析: （1）首先根据菱形的性质，可得AC⊥BD，然后判断出四边形AODE是平行四边形，即可推得四边形AODE是矩形．（2）根据AB=8，∠BCD=120°，求出AO、BO的大小，即可求出四边形AOD E的面积是多少．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形．（2）解：在菱形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ADC，AD=AB，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵∠BCD=120°，∴∠ADB=12∠ADC=30°，∵AB=8，∴AD=8，∵∠AOD=90°，∴在Rt△AOD中，AO=4，OD=4√3，∴C矩形AODE=2(AO+OD)=2(4+4√3)=8+8√3．点睛：本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形，菱形，平行四边形的关系是解答本题的关键.14．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上任一点(不与A，C重合)，连接BP，DP，过P作PE∥CD交AD于E，过P作PF∥AD交CD于F，连接EF.(1)求证：△ABP≌△ADP；(2)若BP=EF，求证：四边形EPFD是矩形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可；（2）先证明四边形EPFD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出BP=DP，由已知证出DP=EF，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，∵在△APB和△APD中，{AD＝AB∠PAB＝∠PADAP＝AP，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）证明：∵PE∥CD，PF∥AD，∴四边形EPFD是平行四边形，由（1）得：△ABP≌△ADP，∴BP=DP，又∵BP=EF，∴DP=EF，∴四边形EPFD是矩形．15．如图一，菱形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，且DE⊥AB．(1)求证：△ABD是等边三角形；(2)将图一中△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，连接BF，如图二，求线段BF的长．【答案】(1)证明见解析；（2）√7．【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而利用菱形的性质得出AD=AB，即可得出△ABD是等边三角形；（2）利用旋转的性质以及平行线的性质得出∠FDB=90°，再结合勾股定理得出得出BF的长．【详解】解：(1)证明：如图一，∵点E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD=BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∴AD=DB=AB，∴△ABD是等边三角形；(2)解：如图二，由(1)得：△ABD是等边三角形，则∠ADE=∠BDE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB // DC，∵DE⊥AB，∴∠EDC=90∘，∴∠BDF=∠FDC+∠CDB=∠EDB+∠CDB=90∘，∵△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，∴DF=ED=√3，BD=2，∴BF=√7．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及旋转的性质和等边三角形的判定、菱形的性质等知识，熟练利用已知得出AD=BD是解题关键．。
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题(2) 新人教版.doc
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题（2） 新人教版● 基础训练● 判断正误：(对的打“√”错的打⏹ ⑴.两组邻边分别相等的四边形是菱形.( )⏹ ⑵.一角为60°的平行四边形是菱形.( )⏹ ⑶.对角线互相垂直的四边形是菱形.( )⏹ ⑷.菱形的对角线互相垂直平分.( )● 下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是( )● 有一组对边平行且相等，有一个内角是直角● 两组对边分别相等，且有一组邻角相等● 有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直。
● 有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角。
● 菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )⏹ A ．对角线互相平分； B ．四条边都相等；⏹ C ．对角相等； D ．邻角互补● 能够判定一个四边形是菱形的条件是( )。
⏹ 对角线相等且互相平分⏹ 对角线互相垂直且互相平分⏹ 对角线相等且互相垂直⏹ 对角线互相垂直● 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2)，依此规律继续拼下去(如图3)，……，则第n 个图形的周长是●⏹ A .2n B .4n C .12n + D .22n +● 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：● ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG ＝34CG 2； ● ③若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ．其中正确的结论⏹ 只有①②． B ．只有①③．C ．只有②③． D ．①②③．A◆ 6题图 7题图● 如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A ．B 、D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是( )◆ A ．3公里 B ．4公里 C ．5公里 D ．6公里● 菱形的两个邻角之比为2：3，周长为4a ，则较短的对角线的长为___________.● 在四边形ABCD 中，给出四个条件：⑴AB ＝CD ，⑵AD ∥BC ，⑶AC ⊥BD ，⑷AC 平分∠BAD ，由其中三个条件可以推出四边形ABCD 为菱形你认为这三个条件是___________.● 已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2 3，那么AP 的长为_______.● 已知如图菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为_____● 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O作OH⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．● 如图，菱形AB 1C 1D 1的边长为1，∠B 1＝60°；作AD 2⊥B 1C 1于点D 2，以AD 2为一边，作第二个菱形AB 2C 2D 2，使∠B 2＝60°；作AD 3⊥B 2C 2于点D 3，以AD 3为一边，作第三个菱形AB 3C 3D 3，使∠B 3＝60°；……依此类推，这样作的第n 个菱形AB n C n D n 的边AD n 的长是______．● 已知：如图所示，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 边相交于点E ，∠ABC 的平分线与AD 边相交于点F ．⏹ 求证：四边形ABEF 是菱形．● 如图所示，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD ，BC ，AC 分别交于点E ，F ，O ，连接AF ，EC ，则四边形AFC E 是菱形吗？为什么？●●如图所示，在△ABC中，AB＝AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形还是矩形？说明你的理由．●如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．⏹⑴求证：四边形AECD是菱形；⏹⑵若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．⏹ 拓展提升● 已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O .⏹ ⑴如图，连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；⏹ ⑵如图，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中，⏹ ①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值.⏹ ②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ，ab ≠0)，已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式.A B C D EF O。
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题(1) 新人教版.doc
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题（1） 新人教版拓展提升● 对角线互相垂直平分的四边形是( )．⏹ A .平行四边形 B .矩形⏹ C .菱形 D .任意四边形● 顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．⏹ A .矩形 B .平行四边形⏹ C .菱形 D .任意四边形● 下列命题中，正确的是( )．● 两邻边相等的四边形是菱形● 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形● 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形● 对角线垂直的四边形是菱形● 菱形具有而矩形不一定具有的特征是( )．⏹ A ．对角相等且互补 B ．对角线互相平分⏹ C ．一组对边平行，另一组对边相等;⏹ 对角线互相垂直● 如图所示的是我们熟悉的衣帽架，它是由三个菱形组成的，菱形的边长为20cm ，⑴当处于图⑴所示的形状时，衣帽架总长为72cm ，这时衣帽架的宽度是( )；⑵我们把衣帽架拉开，如图⑵所示，使总长度变为96cm ，则它的宽度变成了( )⏹⏹ A . ⑴16cm ⑵18cm B . ⑴32cm ⑵24cm⏹ C . ⑴18cm ⑵16 D . ⑴16cm ⑵24cm ● 在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，如果它的一条对角线长为12cm ，求菱形ABCD 的边长( )．⏹ A . 4 3 cm B . 18 cm⏹ C . 12cm D . 12cm 或43cm● 菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．◆ A . 12 B .4 C .1 D .2● 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )．⏹ A .4 B .8 C .12 D .16B⏹ 8题图 9题图● 如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则∠EAF 等于( )⏹ A .75° B .60° C .45° D .30°● 菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC ＝21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________.● 若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm ，则它的一组对边的距离等于__________ cm ，它的面积等于________ cm 2.● 若菱形的两条对角线长分别是6cm ，8cm ，则它的周长为______cm ，面积为______cm 2． ● 菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD ＝21AD ，则四个内角为________. ● 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4． ⏹ 求：⑴∠ABC的度数；⑵菱形ABCD 的面积．● 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．◆ 拓展提升● 如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE＋CF ＝2．A◆⑴求证：△BDE≌△BCF；◆⑵判断△BEF的形状，并说明理由；◆⑶设△BEF的面积为S，求S的取值范围．。
人教版八年级数学下册第03课菱形性质与判定同步练习
初中数学试卷金戈铁骑整理制作第 03 课菱形的性质与判断同步练习【例 1】如图 ,AC 是矩形 ABCD 的对角线 ,过 AC 的中点 O 作 EF ⊥ AC,交 BC 于点 E,交 AD 于点 F,连接 AE,CF ．（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）若 AB=，∠ DCF=30° ,求四边形AECF的面积.（结果保留根号）【例 2】如图 ,在四边形ABCD 中 ,AB ∥ CD,∠ B＝∠ D ．(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若点 P 为对角线 AC 上的一点 ,PE⊥ AB 于 E,PF⊥ AD 于 F,且 PE＝ PF.求证：四边形ABCD 是菱形．【例 3】如图 ,已知在矩形 ABCD 中 ,把∠ B、∠ D 分别翻折 ,使点 B、D 分别落在对角线 BC 上的点 E 、F 处 ,折痕分别为CM、 AN ．（1）求证：△ ADN ≌△ CBM ．（2）请连接 MF、 NE, 证明四边形 MFNE 是平行四边形 ,四边形 MFNE 是菱形吗？请说明原由．【例 4】如图 ,矩形 ABCD 中 ,点 P 是线段 AD 上一动点 ,O 为 BD 的中点 ,PO 的延长线交BC 于 Q．（1）求证： OP=OQ ；（ 2）若 AD=8 厘米 ,AB=6 厘米 ,P 从点 A 出发 ,以 1 厘米 / 秒的速度向 D 运动（不与 D 重合） .设点 P 运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD 的长；并求 t 为何值时 ,四边形 PBQD 是菱形．【例 5】如图，已知□ABCD 的对角线AC、BD 交于 O ，且∠ 1= ∠ 2．（ 1）求证：□ ABCD 是菱形；（ 2） F 为 AD 上一点 ,连接 BF 交 AC 于 E,且 AE=AF. 求证： AO=（AF+AB）．【例 6】如图 ,四边形 ABCD 中,AC⊥ BD 于点 O,且 AO=CO=12,BO=DO=5,点P为线段AC上的一个动点．（1）填空： AD=CD=______ ．（2）过点 P 分别作 PM⊥AD 于 M 点,作 PH ⊥DC 于 H 点．①试说明 PM+PH 为定值．P,使PM+PH+PB的值最小？若存在,央求出该最小值；②连接 PB,试试究：在点P 运动过程中 ,可否存在点若不存在，请说明原由．课堂同步练习一、选择题：1、菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（）2、如图 ,小红在作线段弧 ,订交于 C,D,则直线A. 矩形ABCD垂直均分线时 ,是这样操作的 :分别以点A,B 为圆心 ,大于线段AB 长度一半的长为半径画即为所求 .连接 AC,BC,AD,BD, 依照她的作图方法可知,四边形 ADBC 定是（）B. 正方形C.菱形D. 平行四边形第2题图第3题图3、如图 ,菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5,P 是对角线AB 于 E ，PF∥ CD 交 AD 于 F,则阴影部分的面积是()AC上任一点(点第 4题图P 不与点A、 C重合 )且PE∥ BC 交B. D.4、如图 ,在菱形 ABCD 则∠ OBC 的度数为 (中 ,M，N)分别在AB， CD上,且AM ＝ CN,MN与 AC 交于点O,连接BO,若∠ DAC ＝ 28°，°°° D.72 °5、如图 ,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2 ,对角线AC=24cm, 则四边形ABCD的周长为（）第5题图6、如图 ,点 P 是菱形ABCD对角线BD第6题图上一点 ,PE⊥ AB 于点E,PE=4, 则点第 7题图P 到 BC 距离等于（）7、如图 ,在菱形ABCD中 ,对角线AC、 BD订交于O,E为AB中点 ,且OE ＝ a,则菱形ABCD周长为 ()8、如图为菱形ABCD与△ ABE重叠状况,D 在BE上 .若AB=17,BD=16,AE=25,则DE的长度为（）第 8题图9、如图 ,四边形 ABCD是菱形 ,AC=8,DB=6,DH⊥ AB于第 9题图H,则 DH等于（）A.B.10、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为）围成的花坛,如图中的阴影部分所示,校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形地域以下列图为（ ）,并在新扩大的部分种上草坪，则扩建后菱形地域的周长第 10题图11、如图 ,菱形 ABCD 中 ,对角线AC 、 BD 第 11题图交于点 O,AC=16,BD=12,点 E 是 第 12题图AB 的中点 ,点 P 在 AC 上 ,则PE+PB的最小值为（）12、如图,在菱形ABCDB.中,∠ A=60 °,E 、F 分别是 C.AB,AD中点 ,DE 、BF 订交于点 G, 连接BD,CG. 有以下结论：①∠ BGD=120° ;② BG+DG=CG; ③△ BDF ≌△ CGB; ④S △ ABD =AB 2 其中正确的结论有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题 :13、如图 ,已知菱形ABCD 中 ,对角线AC 、 BD交于O点,AB=10,BD=12,则AC=．14、如图 第 13题图,已知矩形 ABCD的对角线长为 第 14题图8cm ， E 、 F 、G 、 H分别是 第15题图AB 、 BC 、 CD ． DA 的中点 ,则四边形EFGH的周长等于15、如图，在菱形 cm ． ABCD 中，对角线AC 、 BD订交于点O ， H为 AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则 OH的长等于．16、如图,在菱形ABCD中,AB=4, 线段AD垂直均分线交AC于点N, △ CND周长是10,则AC长为．第16题图第17题图第18题图17、如图 ,菱形 ABCD 中 ,AB=4, ∠ B=60 ° ,E,F 分别是 BC,DC 上的点 ,∠ EAF=60 ° ,连接 EF, 则△ AEF 的面积最小值是．18、菱形 ABCD 的边长为2,∠ ABC=60 ° ,E 是 AD 边中点 ,点 P 是对角线BD 上的动点 ,当 AP+PE 的值最小时， PC 的长是．19、如图，将两张长为9，宽为 3 的矩形纸条交织，使重叠部分是一个菱形，简单知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是．第 19题图第20题图20、在菱形ABCD 中 ,AB=5,AC=8, 点 P 是 AC 上的一个动点 ,过点 P 作 EF 垂直于 AC 交 AD 于点 E,交 AB 于点 F，将△ AEF 沿 EF 折叠 ,使点 A 落在点 A'处 ,当△ A'CD 是直角三角形时,AP 的长为.三、简答题 :21、如图 ,在梯形 ABCD 中,AD ∥ BC,AB=CD ， E 、F、 G、 H 分别为边AB、 BC、 CD、 DA 的中点 .求证：四边形EFGH 为菱形．22、如图 ,在菱形 ABCD 中,AB=2, ∠ DAB=60 ° ,点 E 是 AD 边的中点 ,点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合），延长ME 交射线 CD 于点 N,连接 MD 、 AN ．（ 1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（ 2）当 AM 的为何值时，四边形AMDN是菱形？23、如图 ,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 订交于 O,过 A 作 AE ∥ BD, 过 D 作 ED ∥ AC,两线订交于 E.（1）求证：四边形 AODE 是菱形；（2）连接 BE，交 AC 于点 F,若 BE ⊥ ED 于点 E,求∠ AOD 的度数。
人教版八年级数学下册18.2.2--1菱形的判定和性质(基础训练) (无答案)
18.2.2菱形的判定和性质基础训练一知识要点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、菱形的性质（4和5是补充性质）1）、菱形具有平行四边形的一切性质；2）、菱形的四条边都相等；3）、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角4）、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形还是中心对称图形5）、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高3、菱形的判定方法：1）.有一组邻边相等的平行四边形。
2）.对角线相互垂直的平行四边形。
3）.四条边都相等的四边形。
二例题教学：题型一菱形的性质例1 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD 的延长线于的F.(1)求证：CE=CF；(2) 求证：DF=BE.题型二菱形的面积例2 如图，已知菱形的周长为40cm,两邻角度数比为1:2.（1）求菱形的两条对角线的长；（2）求菱形的面积题型三菱形的判定（有一组邻边相等的平行四边形）例3 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E,F为对角线AC上两点，且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形题型四菱形的判定（对角线相互垂直的平行四边形）例4 如图平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形。
题型五菱形的判定（四条边都相等的四边形）例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
题型六菱形的性质和判定综合运用例6 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．HGFE DCBA三巩固练习：1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即可).6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）．A. 两组对边分别平行B. 菱形对角线互相平分C. 菱形的对边相等D. 菱形的对角线相等7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在9、下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC•于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）．A．2 B．4 C．6 D．814.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )A.1B.3C.2D.2315.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.516.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A.3.5B.4C.7D.1417.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.18.如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若BD=6，则菱形ABCD 的面积是( )A.6B.12C.24D.4819、菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）．A ．15B ．3215 C ．7.5 D ．315 20、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）．A ．8cmB ．9cmC ．12cmD ．15cm21、菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）．A ．3：1B ．4：1C ．5：122.如图，已知AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( )A.△ABD 与△ABC 的周长相等B.△ABD 与△ABC 的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍23.如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( )A.40°B.50°C.80°D.100°24.已知一个菱形的周长是20 cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.48 cm 2D.96 cm2 25.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )A.4B.125C.245D.526.如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是__________.27.如图，将菱形纸片ABCD 折叠.使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF.若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝120°，则EF ＝__________cm.28.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长.29.如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别是边CD ，AD 的中点.求证：AE=CF.30、如图，菱形ABCD 中，E 是AB 中点，DE ⊥AB ，AB=4.求（1）∠ABC 的度数； （2）AC 的长； （3）菱形ABCD 的面积．31.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO=∠DCO.32、如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形33、如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD 满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．34.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.35.如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.(1)求证：∠AEF=∠AFE；(2)求∠B的度数.ABDEG H。
人教版八年级下册专项训练专题08 菱形的判定
专题08 菱形的判定一、知识点菱形判断方法二、标准例题例1：如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定例2：如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．三、练习1．如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( )A．四条边相等的四边形是菱形B．一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形2．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AD=CD C．AB=BC D．AC=BD3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为( ) A．60°B．90°C．100°D．110°4．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误1题3题4题5．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：_____．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：__________⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．7．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90∘；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________，是菱形的条件有________．（填序号）8．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC，AD=3，DF=1，四边形DBEC 面积是_____9．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE // AC，DF // AB．(1)如果∠BAC=90∘，那么四边形AEDF是________形；(2)如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是________形．10．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，进行如下操作：①以B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点F；②再分别以D，F为圆心，BD长为半径作弧，两弧恰好相较于AC上的点E处；③连接DE，FE.若AB＝6，BC＝4，那么AD＝________．5题 8题 9题 10题11．如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB ＝CD ．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分∠EHG，④EG＝12 (BC －AD)，⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ∥BC ，且CE =CD ． （1）求证：∠B =∠DEC ；（2）求证：四边形ADCE 是菱形．13．已知：如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 边上的中点．(1)求证：四边形ADEF 是菱形；(2)若AB =24，求菱形ADEF 的周长．14．如图，在三角形纸片ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AB 相交于E ，与AC 相交于F ，求证：四边形AEDF 是菱形．15．如图，△ABC 中，∠ACB =90∘，∠A =30∘，CD 为△ABC 的中线，作CO ⊥AB 于O ，点E 在CO 延长线上，DE =AD ，连接BE 、DE ．(1)求证：四边形BCDE 为菱形；(2)把△ABC 分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC =6，求两条分割线段长度的和．16．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，E、F分别是AD、BC上两点，并且AC垂直平分EF，垂足为O．(1)连接AF、CE．说明四边形AFCE为菱形；(2)求AF的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，点F在AD上，且AF=AB，连接EF．（1）判断四边形ABEF的形状并证明；（2）若AE、BF相交于点O，且四边形ABEF的周长为20，BF=6，求AE的长度及四边形ABEF的面积．18．如图，已知△ABC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点O，过点C作CE∥AB交直线OD于点E，连接AE、CD.⑴如图1，求证：四边形ADCE是菱形；⑵如图2，当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求AC的长度.专题08 菱形的判定一、知识点菱形判断方法例1：如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．【详解】（1）∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCF．∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA，∴∠FCB＝∠EDA．在△ADE与△BCF中，∵{AD=BC∠FCB=∠EDADE=CF，∴△ADE≌△BCF（SAS）；（2）∵DE∥AC，且DE＝AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DC＝EF，且DC∥EF．又∵AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形．∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC．∵∠BAF+∠AED＝180°，∴∠BAF+∠BFC＝180°．又∵∠BF A+∠BFC＝180°，∴∠BAF＝∠BF A，∴BA＝BF，∴四边形ABFE为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定和全等三角形的判定解答．例2：如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定【答案】B【解析】分析：根据菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形进行判定即可．详解：根据作图方法可得AC=AD=BD=BC，因此四边形ADBC一定是菱形，故选：B．点睛：此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定定理．三、练习1．如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( )A．四条边相等的四边形是菱形B．一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】A【解析】【分析】根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可．【详解】∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC，∴AB=BD，AC=CD，∵AB=AC，∴AB=BD=CD=AC，∴四边形ABDC是菱形；故选A.【点睛】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AD=CD C．AB=BC D．AC=BD【答案】D【解析】【分析】根据菱形的判定方法结合各选项的条件逐一进行判断即可得.【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键.3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为( )A．60°B．90°C．100°D．110°【答案】B【解析】【分析】由DE∥AC，DF//AB，得AEDF为平行四边形.再证平行四边形AEDF是菱形，由平行四边形AEDF 对角线互相垂直可得.【详解】因为，DE∥AC，DF//AB，所以，AEDF为平行四边形，因为，AD是△ABC的角平分线，所以，∠DAE=∠DAF，所以，平行四边形AEDF是菱形，所以，平行四边形AEDF对角线互相垂直，所以，∠AOF=90°故正确选项为B.【点睛】此题考核知识点：平行四边形的判断，菱形判定和性质.解题关键：抓住对角线平分对角的平行四边形是菱形，且菱形对角线互相垂直.4．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误【答案】C【解析】试题解析：根据甲的作法作出图形，如下图所示.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，.DAC ACB ∴∠=∠∵EF 是AC 的垂直平分线，.AO CO EF AC ∴=⊥，在AOE V 和COF V 中，{EAO BCA AO CO AOE COF ∠=∠=∠=∠，∴AOE V ≌COF V ，.AE CF ∴=又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形. EF AC ⊥Q ， ∴四边形AECF 是菱形. 故甲的作法正确.根据乙的作法作出图形，如下图所示.∵AD ∥BC ， ∴∠1=∠2，∠6=∠7.∵BF 平分ABC ∠，AE 平分BAD ∠， ∴∠2=∠3，∠5=∠6， ∴∠1=∠3，∠5=∠7， AB AF AB BE ∴==，，.AF BE ∴==，∵AF∥BE，且AF BE∴四边形ABEF是平行四边形.=，∵AB AF∴平行四边形ABEF是菱形.故乙的作法正确.故选C.点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边相等的平行四边形是菱形.5．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：_____．【答案】四条边相等的四边形是菱形．【解析】【分析】由作法知，AB=AD=BC=CD,根据菱形的定义可知所得四边形ABCD为菱形.【详解】由作法知，AB=AD=BC=CD,∴四边形ABCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.故答案为：四条边都相等的四边形是菱形.【点睛】本题考查了尺规作图和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键. 本题考查了菱形的判定定理：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：__________⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．【答案】（1）（2）（6）,（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）【解析】试题解析：菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形．先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，所以平行四边形是菱形．（3）（4）（5）⇒ABCD是菱形．由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．由（3）（4）得出四边形是平行四边形，再由（6）得出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，所以平行四边形是菱形．故答案为：(1)(2)(6),(3)(4)(5).7．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90∘；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________，是菱形的条件有________．（填序号）【答案】①⑤②③④【解析】【分析】四边形ABCD是平行四边形，要成为矩形加上一个角为直角或对角线相等即可；要使其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．【详解】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90∘；⑤AO=DO,2个即可；要使得平行四边形为菱形添加：:②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD3个即可，故答案为：①⑤，②③④.【点睛】考查矩形，菱形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键.8．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC，AD=3，DF=1，四边形DBEC 面积是_____【答案】4√2 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC 为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD ，得出四边形DBEC 是菱形，由三角形中位线定理和勾股定理求得AB 边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答． 【详解】∵CE ∥DB ，BE ∥DC ， ∴四边形DBEC 为平行四边形．又∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是AC 的中点， ∴CD=BD=12AC ，∴平行四边形DBEC 是菱形；∵点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，AD=3，DF=1， ∴DF 是△ABC 的中位线，AC=2AD=6，S △BCD =12S △ABC ，∴BC=2DF=2． 又∵∠ABC=90°，∴AB=√AC 2−BC 2＝√62−22=4√2． ∵平行四边形DBEC 是菱形，∴S 四边形DBEC =2S △BCD =S △ABC =12AB•BC=12×4√2×2=4√2，故答案为：4√2. 【点睛】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质即可解题.9．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE // AC ，DF // AB ．(1)如果∠BAC =90∘，那么四边形AEDF 是________形；(2)如果AD 是△ABC 的角平分线，那么四边形AEDF 是________形．【答案】矩菱【解析】【分析】（1）根据平行线得出四边形是平行四边形，根据∠CAB=90°即可推出四边形是矩形；（2）首先得出平行四边形，推出∠EDA=∠CAD=∠BAD，推出AE=DE，即可推出平行四边形是菱形．【详解】（1）解：四边形AEDF是矩形，理由是：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案是：矩．（2）解：四边形AEDF是菱形，理由是：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD，∴∠EDA=∠BAD，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF是菱形，故答案是：菱．【点睛】考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点．10．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH(BC－AD)，⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是 ( )是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝12A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析： ∵E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，∴EF=12CD ，FG=12AB ，GH=12CD ，HE=12AB ， ∵AB=CD ，∴EF=FG=GH=HE ，∴四边形EFGH 是菱形，∴①EG ⊥FH ，正确；②四边形EFGH 是矩形，错误；③HF 平分∠EHG ，正确；④当AD ∥BC ，如图所示：E ，G 分别为BD ，AC 中点，∴连接CD ，延长EG 到CD 上一点N ，∴EN=12BC ，GN=12AD ， ∴EG=12（BC ﹣AD ），只有AD ∥BC 时才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故本小题错误； ⑤四边形EFGH 是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质．11．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ∥BC ，且CE =CD ．（1）求证：∠B =∠DEC ；（2）求证：四边形ADCE 是菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DB=DC ，从而∠B=∠DCB ，由DE ∥BC ，得到∠DCB=∠CDE ，由CE=CD ，得到∠CDE=∠DEC ，利用等量代换，得到∠B=∠DEC ；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形ADCE 是平行四边形，再由CD=CE ，证明平行四边形ADCE 是菱形.（1）证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∴CD=DB，∴∠B=∠DCB，∵DE∥BC，∴∠DCB=∠CDE，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∴∠B=∠CED．（2）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠DEC，∴∠ADE=∠DEC，∴AD∥EC，∵EC=CD=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵CD=CE，∴四边形ADCE是菱形．故答案为：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定.12．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点．(1)求证：四边形ADEF是菱形；(2)若AB=24，求菱形ADEF的周长．【答案】（1）详见解析；（2）48.【解析】【分析】D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点，则可以想到三角形的中位线定理，易证四边形ADEF是平行四边形．要证明是菱形，只要再证明它的一组邻边相等即可．(1)证明：∵D、E分别是AB、BC边上的中点，∴DE // AC且DE=12AC，同理EF // AB，EF=12AB，∴四边形ADEF是平行四边形．又∵AB=AC，∴EF=DE，∴四边形ADEF是菱形．(2)解：AB=24，则AD=12，∴菱形ADEF的周长12×4=48．【点睛】本题主要应用了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．13．如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90∘在△AEO和△AFO中，{∠EAO=∠FAOAO=AO∠AOE=∠AOF，∴△AEO≅△AFO(ASA)，又∵A点与D点重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形∵点A与点D关于直线EF对称，∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．14．如图，△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和．【答案】(1)证明见解析；（2）两条分割线段长度的和为6．【解析】【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE=AD=BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE 为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN=AM+MC=AC=6即可．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，∴BC=12AB，CD=12AB=AD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠BDC=30°+30°=60°，∴△BCD是等边三角形．∵CO⊥AB，∴OD=OB，∴DE=BE．∵DE=AD，∴CD=BC=DE=BE，∴四边形BCDE为菱形；则MN=MC=12BM，∠ABM=∠A=30°，∴AM=BM．∵AC=6，∴BM+MN=AM+MC=AC=6；即两条分割线段长度的和为6．【点睛】本题考查了菱形的判定、等边三角形的判定、角平分线的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解决问题的关键．16．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，E、F分别是AD、BC上两点，并且AC垂直平分EF，垂足为O．(1)连接AF、CE．说明四边形AFCE为菱形；(2)求AF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC的长为5cm．【解析】【分析】（1）首先证明△AOE≌△COE，进而得出EO=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可利用菱形的判定得出答案；（2）设AF=FC=x，则BF=8-x，在Rt△ABF中利用勾股定理得到方程42+（8-x）2=x2，求得x的值即可．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD矩形，∴AD // BC，∴∠EAC=∠ACF，∵EF平分AC，∴AO=OC，在△AOE和△COE中，{∠EAC=∠ACFAO=CO∠AOE=∠COF，∴△AOE≅△COE，∴EO=OF，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．(2)设AF=FC=x，则BF=8−x；在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即：42+(8−x)2=x2，解得：x=5，∴AC的长为5cm．【点睛】考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理等知识点，掌握菱形的判定方法是解题的关键.17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，点F在AD上，且AF=AB，连接EF．（1）判断四边形ABEF的形状并证明；（2）若AE、BF相交于点O，且四边形ABEF的周长为20，BF=6，求AE的长度及四边形ABEF的面积．【答案】（1）四边形ABEF是菱形；理由见解析；（2）AE=8；四边形ABEF的面积是24．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由AF=AB得出BE=AF，即可得出结论．FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=12长，进而可得AE的长．菱形的面积=对角线乘积的一半．【详解】（1）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF=AB，∴四边形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=12FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO=√52−32=4，∴AE=2AO=8．∴四边形ABEF的面积为：12BF⋅AE=12×6×8=24．综上所述，AE=8；四边形ABEF的面积是24．【点睛】此题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．18．如图，已知△ABC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点O，过点C作CE∥AB交直线OD于点E，连接AE、CD.⑴如图1，求证：四边形ADCE是菱形；⑵如图2，当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求AC的长度.【答案】（1）见解析；（2）AC＝8【解析】分析：（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，进而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形；（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC的长．详（1）证明：∴直线DE是线段AC的垂直平分线，∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；且AD=CD、AO=CO，又∵CE∥AB，∴∠1=∠2，在△AOD和△COE中{∠1＝∠2∠AOD＝∠COE＝90°AO＝CO，∴△AOD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵A0=CO，DO=EO，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AC⊥DE，∴四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，∴ODBC ＝AOAC＝12，又∵BC=6，∴OD=3，又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9，即AD=9-AO，∴OD=√AD2−AO2=3，可得AO=4，∴AC=8．点睛：此题主要考查了菱形的判定，根据已知得出△ADO∽△ABC进而求出AO的长是解题关键．。
专题资料（2021-2022年）2019人教版八年级下册数学菱形
D
56
A
1 2
O
3 4
C
78
B
A
D
O
B
C
菱形ABCD中，对
D
cm，BD=8cm,你
A
1 2
O
3 4
C
能求出菱形ABCD的面
78
积吗？
B
分析：菱形的对角线把菱形分成了
例题讲解
如图， ABCD的对角线AC、 BD交于点O，AB=5，AO=4, BO=3，求证 ABCD是菱形.
分析：已知条件与对角线有关，所以需
利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”证明。该四边形是平行四边形，故只要证 明两条对角线互相垂直即可。已知条件是线 段的长度，由线段长度判断是否是直角三角 形,需要根据勾股定理的逆定理来判断。
A
D
A
D
AC⊥BD
B
C
□ABCD
B
C
菱形ABCD
∵□ABCD，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
判定 3：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D AB=BC=CD=DA
A
D
B C
四边形ABCD
B
C
菱形ABCD
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定：
文字语言
一组邻边相等的
定义 平行四边形是菱
形
判定 一
对角线互相垂直 的平行四边形是 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
二
图形语言
A
D
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菱形的性质与判定
A卷
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2.菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为（）
A.1:2:3
B.1:2:1
C.1:3:2
D.1:3:1
3.□ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=DO,使得
□ABCD是菱形的条件有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图,菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2:1，则对角线的长分别为（）
A.4和2
B.1和2 3
C.2和2 3
D.2和 3
5.若菱形的两条对角线的比为3:4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于______ cm,它的面积等于________ cm2.
8平方厘米，两条对角线的比为1:3,那么菱形的边长为_______.
6.菱形的面积为3
7.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3:4，则菱形的面积为cm2．
8.已知菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm，则它的面积是cm2．
9.如图,四边形ABCD对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是（填一个条件即可）．
10.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点O到边AB的距离 .
11.如图,四边形ABCD为菱形,已知A（0,4），B（-3,0）．则点D坐标为；C点坐标为 .
12.如图,在菱形ABCD中,∠A=600，AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．
13.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动,同时点Q从点B出发向点C运动,点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
B卷
1.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）
A.邻角互补
B.内角和为360°
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ）
A.□ABCD 中,AB=BC
B.□ABCD 中,AC ⊥BD
C.□ABCD 中,AC=BD
D.□ABCD 中,AC 平分∠BAD
3.菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线互相垂直
4.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）
A.3cm 2
B.4cm 2
C.3cm 2 D ．32cm 2
5.如图，在平面直角坐标系中,菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3,4），
则顶点M 、N 的坐标分别是（ ）
A.M （5,0），N （8,4）
B.M （4,0），N （8,4）
C.M （5,0），N （7,4）
D.M （4,0），N （7,4） 6.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是180，则此菱形的各个内角分别为________
7.若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______，边长为_______，
8.已知菱形的两条对角线长为10cm 和24cm, 那么这个菱形的周长为________, 面积为_________
9.如图，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于E ，且AE=BE ，则∠BCD 的度数为 .
10.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=450,OC=2，则点B 的坐标为
.
14.AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC ，DF//AB 。
求证：四边形AEDF 是菱形
.
15.如图，已知菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，
AE=2.
求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积.
16.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．。