数列递推公式强化训练

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数列的递推公式知识点、例题、练习

4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系．要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项．【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式，所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求．【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-，整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-，两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=，解得1007n =．故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值．【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++，所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==，当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10，故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =．【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列所以21124b a a ==，4111816a a b ==，因为22411644a ab ==，所以4b =±，当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，（2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可（1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ，所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭，所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①，所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =，所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式．【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。

数列递推求通项专题训练(中档+拔高)

(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式
6.已知数列满足，，，且是比数列。
1）求出通项公式；2）求证： …
1.已知在数列中，，， .
（1）求的通项公式；（）设数列的前项和为，证明： .
2..数列首项，前项和与之间满足
1）求数列的通项公式2）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值。
3.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*，设bn＝Sn－3n.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
5．已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{a }的前n项和为Tn，且3Tn＝S ＋2Sn，n∈N*.

高中数学《数列的递推公式》习题(含解析)

第8课时数列的递推公式知识点一利用数列的递推公式求数列的项1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是() A．15B．255C．16D．63答案B解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．2．已知a1＝1，a n＋1＝a n3a n＋1，则数列{a n}的第4项是()A．116B．117C．110D．125答案C解析a2＝a13a1＋1＝13＋1＝14，a3＝a23a2＋1＝1434＋1＝17，a4＝a33a3＋1＝1737＋1＝110．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－1答案A解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)．4．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21答案C解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3．∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{a n}，a n＝a n＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2解析＝a ＋m ，＝a 2＋m ，＝－1，＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2．6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2011＝________；a 2018＝________．答案01解析∵a 2011＝a 503×4－1＝0，∴a 2018＝a 2×1009＝a 1009＝a 4×253－3＝1．7．数列{a n }满足递推公式a 1＝5，a n ＝nn ＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前四项依次为________，它的通项公式为________．答案5，103，52，2a n ＝10n ＋1解析由a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2，n ∈N *)，得a 2a 1＝23，a 3a 2＝34，…，a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，将以上各式两两相乘得a n a 1＝23·34·…·n n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＝10n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，又a 1＝5符合上式，所以其通项为a n ＝10n ＋1．所以a 1＝5，a 2＝103，a 3＝52，a 4＝2．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解累加法：a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1n，累加可得a n－a1＝1－1 n．又a1＝1，所以a n＝2－1 n．9．在数列{a n}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．答案－4028解析由题意知a n＋1－a n＝－2，所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，求a n．易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1)2仅适用于n∈N*且n≥2时的情况，因此两式相除得到a n＝n2(n－1)2也仅适用于n≥2时的情况，从而错误断定a n＝n2(n－1)2是数列的通项．解当n＝1时，a1＝1．由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1)2，两式相除得a n＝n2(n－1)2(n≥2，n∈N*)，故a n，n≥2，n∈N*.一、选择题1．已知a n＝3n－2，则数列{a n}的图象是() A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点答案D解析∵a n＝3n－2，n∈N*，∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．2．在数列{a n}中，a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5等于()A．－163B．163C．－83D．83答案B解析∵a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1，∴a2＝(－1)2×2×13＝23，a3＝(－1)3×2×23＝－4 3，a4＝(－1)4×2×－43＝－8 3，a5＝(－1)5×2×－83＝16 3．3．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案A解析∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，f(n＋1)>f(n)，…．∴f(n)是递增数列．4．数列{a n}的构成法则如下：a1＝1，如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2，否则用递推公式a n＋1＝3a n，则a6＝() A．－7B．3C．15D．81答案C解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15．故选C．5．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是()A ．415B ．425C ．435D ．445答案D解析由题知：a n ＋1＝2na n －(n －1)a n －1n ＋1，a 3＝2×2×3－13＝113，a 4＝2×3×113－2×34＝4，a 5＝2×4×4－3×1135＝215，a 6＝2×5×215－4×46＝266，故a n ＝5n －4n ．所以a 20＝5×20－420＝245＝445．故选D ．二、填空题6．在数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，对于数列{b n }，b 1＝a 1，当n ≥2时，b n ＝ab n－1，则b 4＝________，b 5＝________．答案3163解析由a n ＝2n ＋1，知b 2＝ab 1＝a 3＝7，b 3＝ab 2＝a 7＝15，b 4＝ab 3＝a 15＝31，b 5＝ab 4＝a 31＝63．7．已知F (x )＝1是R 上的奇函数．a n ＝f (0)＋f (1)(n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝n ＋1解析因为F (x )＋F (－x )＝0，所以x 2，即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2．于是由a n ＝f (0)＋…＋f (1)(n ∈N *)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]…[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，所以a n ＝n ＋1．8．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2019＝________．x 12345f (x )51342答案5解析由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2，1，5，2，1，…故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2019＝x 3×673＝x 3＝5．三、解答题9．数列{a n }中a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2．(1)求a 3，a 5；(2)探究256225是否为此数列中的项；若是，是第多少项？(3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解(1)∵对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2＝22，a 1·a 2·a 3＝32，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52．∴a 3＝94，a 5＝2516．(2)∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴n ≥3时，∴a n ，且a 1＝1，a 2＝4，而256225＝，∴256225是数列中的项，是第16项．(3)∵a na n＋1＝>1，∴a n>a n＋1(n≥2)．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．解解法一：将n＝1，2，3，4依次代入递推公式得a2＝23，a3＝24，a4＝25，又a1＝2 2，∴可猜想a n＝2n＋1．应有a n＋1＝2n＋2，将其代入递推关系式验证成立，∴a n＝2n＋1．解法二：∵a n＋1＝2a na n＋2，∴a n＋1a n＝2a n－2a n＋1．两边同除以2a n＋1a n，得1a n＋1－1a n＝12．∴1a2－1a1＝12，1a3－1a2＝12，…，1a n－1a n－1＝12．把以上各式累加得1a n－1a1＝n－12．又a1＝1，∴a n＝2n＋1．故数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1(n∈N*)．。

数列培优教程通项公式及递推关系配套练习(有答案)

数列培优教程通项公式及递推关系练习题1.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式.2.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.3.已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.4.已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.5. 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.6.已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a .7．已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式.8.已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.9.已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .10. 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式.11.已知数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式.12.数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式.13.{},λ∈*2n n 已知数列a 为递增的数列，且对于任意n N 都有a =n +n 成立，λ则实数的取值范围是（） 0 B 0 C 0 D A λλλλ><=>、、、、-314.已知a 1= a 2=1, a n+2= a n+1+a n ,求a n .15.若数列{}n a 满足)1( )1(4),2( ,121111≥-+=≥>=++-n a a a a n a a a n n n n n n 且.求其通项.16.已知数列{}n a 中，n a n na a n n ++==+)2(,111.求其通项.17.已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足01=a ，32=a ，)2)(2(211++=⋅--+n n n n a a a a （n=3，4，5…）。

必修五数列递推公式经典题型汇总(全)

数列递推公式经典题型汇总（全）1. (2011年高考四川)数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =( ） A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B 解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==2.(2011年高考全国卷设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k = A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D 【解析】22111(21)(11)k k k k S S a a a k d a k d +++-=+=++-+++-12(21)a k d =++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。

3.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a an -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -【解析】由25252(3)nn a a n -⋅=≥得nn a 222=，0>n a ，则nn a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.4.1,13111=+⋅=--a a a a n n n 则其通项为解：取倒数：11113131---+=+⋅=n n n n a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n5 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

用递推公式求数列通项公式的方法及数列求和的方法精讲与练习(含答案)

数列的通项公式的求法一、观察法（即猜想法，不完全归纳法）观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系例1：根据数列的前4，写出它的一个通项公式：9,99,999,9999，......二、公式法若已知数列的前n 项和与项数n 的关系，求数列的通项公式可用公式法求解。

)1()2(111==≥-=-n S a n S S a n n n例2：}{n a 的前n 项和n S ，求}{n a 的通项公式。

三、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。

1.迭加法已知递推关系)(),(*1N n n f a a n n ∈=-+例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.迭乘法已知递推关系是)(),(*1N n n f a a nn ∈=+ 例4：已知数列}{n a 中，n n a nn a a 1,211+==+，求}{n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、待定系数法例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、数学归纳法例6 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =，得 2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

2020年高考数学一轮复习专题4.3利用递推公式求数列通项公式练习(含解析)

第三讲利用递推公式求数列的通项公式1．递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系a n ＋k ＝f (a n ＋k －1，a n ＋k －2，…，a n )称为数列的递推关系．由递推关系及k 个初始值确定的数列叫递推数列．(2)求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法． 2．数列递推关系的几种常见类型（1）公式法：形如S n =f(n)或S n =f(a n )或S n =f(n,a n ) (2)累加法：形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N *，且n ≥2)当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. (3)累乘法：形如a n a n －1＝f (n )(n ∈N *且n ≥2) 当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1. 注意：n ＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．（4）倒数法：（构造等差数列）形如11110nn n n n n n pa a a ka a a qa k++++-==+整式或分式整式：两边同时除以1n n a a + 分式：两边同时取倒数（5）待定系数法①形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N *且n ≥2) 方法：化为a n ＋qp －1＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋q p －1的形式．令b n ＝a n ＋qp －1，即得b n ＝pb n －1，{b n }为等比数列，从而求得数列{a n }的通项公式．②形如a n ＝pa n －1＋f (n )(n ∈N *且n ≥2) 方法：两边同除p n，得a n p n ＝a n －1p n －1＋f (n )p n ，令b n ＝a n p n ，得b n ＝b n －1＋f (n )p n，转化为利用累加法求b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫若f (n )p n 为常数，则{b n }为等差数列，从而求得数列{a n }的通项公式．考向一公式法【例1】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________. (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________.【答案】（1）4n －5 （2）-63 （3）∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【解析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.（2）∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.（3）当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，① ∴a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【举一反三】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.2.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝________.【答案】13n 【解析】因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① 则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .3.若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.【答案】 (－2)n －1【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，所以数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列．故a n ＝(－2)n －1.考向二倒数法求通项【例2】（1）在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________. (2)已知在数列{}a n 中，a 1＝15，且当n ≥2时，有a n －1－a n －4a n a n －1＝0，则a n ＝____________.【答案】（1）2n ＋1，n ∈N * （2）14n ＋1(n ∈N *) 【解析】（1)由已知可知a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)由题意知a n ≠0，将等式a n －1－a n －4a n a n －1＝0两边同除以a n a n －1得1a n －1a n －1＝4，n ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝5，公差d ＝4，故1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1，∴a n ＝14n ＋1(n ∈N *)．【举一反三】1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 【答案】－1n【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.2.若数列{a n }的首项a 1＝12，且a n ＝(a n ＋1)a n ＋1，则a 200a 300＝________.【答案】301201【解析】 a n ＝(a n ＋1)a n ＋1，得a n －a n ＋1＝a n a n ＋1且a n ≠0，所以1a n ＋1－1a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，1为公差的等差数列，1a n＝n ＋1，从而a 200a 300＝301201. 考向三累加法【例3】已知在数列{}a n 中，a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求a n . 【答案】a n ＝(n －1)2【解析】由已知得a n －a n －1＝2n －3，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1) ＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋0＝(n －1)2. 当n ＝1时，a 1＝0符合上式，所以a n ＝(n －1)2，n ∈N *.【举一反三】1．数列{}a n 满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{}a n 的通项．【答案】a n ＝32－1n (n ∈N *)．【解析】由a n －a n －1＝1n 2－n (n ≥2，n ∈N *)且a 1＝12， a n －a n －1＝1n 2－n ＝1n －1－1na n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，…，a 2－a 1＝1－12，各式累加整理得a n ＝32－1n ，n 取1时，32－1＝12＝a 1，所以a n ＝32－1n(n ∈N *)．2.已知数列，，，则数列的通项公式=______．【答案】【解析】数列，，，可得，，，…，累加可得：．故答案为：考向四类乘法【例4】已知在数列{}a n 中，a 1＝2，且na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求a n . 【答案】a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．【解析】由已知得a n ＋1a n ＝n ＋2n ，当n ≥2时，a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n ＋1n －1.n n －2.. (3)1·2＝n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝2也符合上式，所以a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．【举一反三】1．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．【答案】【解析】(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *.考向五待定系数法【例5】（1）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (2)已知在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3·2n，则a n ＝________.【答案】（1）a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)．（2）2n·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *【解析】（1）∵a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 1＋2＝4，∴{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)．（2）在递推关系a n ＋1＝2a n ＋3·2n的两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋32，令b n ＋1＝a n ＋12n ＋1，则b n ＋1＝b n ＋32，b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，32为公差的等差数列．所以b n ＝1＋32(n －1)＝32n －12，故a n ＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.【举一反三】1.已知数列{}a n 满足a n ＝13a n －1＋2，a 1＝1，求数列{}a n 的通项公式．【答案】a n ＝3－23n －1(n ∈N *)【解析】设a n ＋λ＝13(a n －1＋λ)，解得λ＝－3，则a n －3＝13(a n －1－3)，令b n ＝a n －3，则数列{}b n 是以b 1＝a 1－3＝－2为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝－23n －1，所以a n ＝3－23n －1(n ∈N *)．2．已知在数列{}a n 中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝________.【答案】32n －23n (n ∈N *) 【解析】在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1的两边同乘以2n ＋1得2n ＋1·a n ＋1＝23·(2n a n )＋1，令b n ＝2na n .则b 1＝53，b n ＋1＝23b n ＋1，于是可得b n ＋1－3＝23(b n －3)，∴b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，【套路总结】使用条件：型如1n n a pa q +=+（其中,p q 为常数，且(1)0,pq p -≠）解题模板：第一步假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )；第二步由待定系数法，解得1qt p =-；第三步写出数列{}1n qa p +-的通项公式；第四步写出数列{}n a 通项公式.∴b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝32n －23n (n ∈N *)．1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.2.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，则a n ＝________. 【答案】 2n －1【解析】方法一由已知2S n ＝a n ＋1，得当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入已知得2S n ＝S n －S n －1＋1，即S n －1＝(S n －1)2. 又a n >0，故 S n －1＝S n －1或S n －1＝ 1－S n (舍)，即S n －S n －1＝1(n ≥2)，由定义得{S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴S n ＝n .故a n ＝2n －1.方法二 ∵2S n ＝a n ＋1，∴4S n ＝(a n ＋1)2，当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，两式相减，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，化简可得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2， ∵2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.3．已知a 1＝3，a n ＋1＝3n －13n ＋2a n (n ≥1，n ∈N *)，则a n ＝________. 【答案】 63n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝3(n －1)－13(n －1)＋2·3(n －2)－13(n －2)＋2·…·3×2－13×2＋2·3－13＋2a 1＝3n －43n －1·3n －73n －4·…·58·25·3＝63n －1. a 1＝3也符合上式，所以a n ＝63n －1. 4．已知在数列{}a n 中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋14n 2－1，则a n ＝____________. 【答案】 4n －34n －2(n ∈N *) 【解析】由已知可得a n ＋1－a n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，令n ＝1,2，…，(n －1)，代入得(n －1)个等式累加，即(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1， ∴a n －a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1，∴a n ＝a 1＋12－12·12n －1，即a n ＝1－14n －2＝4n －34n －2(n ∈N *)⎝ ⎛⎭⎪⎫经验证a 1＝12也符合. 5．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________. 【答案】 2＋ln n (n ∈N *)【解析】 ∵当n ≥2时，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝a n －1＋ln n n －1， a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2， a n －2＝a n －3＋ln n －2n －3， …，a 2＝a 1＋ln 2，累加可得a n ＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×2＝a 1＋ln n ， ∴a n ＝2＋ln n ，n ∈N *(经验证a 1＝2也符合此式)． 6．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为____________．【答案】 a n ＝3n －1【解析】由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1>1，得a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为____________．【答案】 a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *) 【解析】 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12≠1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. 设c n ＝a n －1，∵首项c 1＝a 1－1＝－12. ∴数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．故c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)． 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知4a n －2n ＝3S n ，则a n ＝________.【答案】 3·4n －1－2n －1(n ∈N *)【解析】由已知得4a n ＋1－2n ＋1＝3S n ＋1，∴4(a n ＋1－a n )－2n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1＝4a n ＋2n ， a n ＋1＋2n ＝4a n ＋2n ＋1＝4(a n ＋2n －1)，又4a 1－2＝3S 1，∴a 1＝2，∴{a n ＋2n －1}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴a n ＋2n －1＝3·4n －1， ∴a n ＝3·4n －1－2n －1(n ∈N *)． 9.已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n .(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【答案】见解析【解析】(1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2， ∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2.∵a n ＋1－a n ＝b n ，∴a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，a 4－a 3＝b 3，…a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)，a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2)＝21－2n 1－2－2(n －1) ＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)．∵a 1＝2符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．10．已知是数列的前项和，数列满足，则 __________．【答案】【解析】∵， ∴，两式做差，∴，∴ ，而时，可得：也满足，∴ ，∴ .11.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意n ∈N *，都有2S n =（n+1）a n ，求数列{a n }的通项公式。

数列与递推公式的综合练习题

数列与递推公式的综合练习题数列与递推公式是数学中的重要概念，它们在实际问题中的应用广泛。

本文将为读者提供一些综合的练习题，以加深对数列与递推公式的理解和运用能力。

第一题：已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + 3n + 2，求前10项的和S。

解析：首先，我们可以求出前10项的数列：a1 = 1^2 + 3*1 + 2 = 6，a2 = 2^2 + 3*2 + 2 = 12，...根据题意，我们需要求出前10项的和S。

可以利用等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。

代入已知条件，得到Sn = (6 + 102) * 10 / 2 = 1080。

所以，前10项的和S等于1080。

第二题：已知等差数列{an}的前两项分别为2和5，且满足递推公式an = an-1 + 3，求第10项的值a10。

解析：a2 + 3 = 5 + 3 = 8，a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11，...依次类推，我们可以求得a10的值。

a10 = a9 + 3 = a8 + 3 + 3 = ... = a2 + 3 * (10 - 2) = 5 + 3 * 8 = 29。

所以，第10项的值a10等于29。

第三题：已知等比数列{bn}的通项公式为bn = 2^n，求前5项的和S。

解析：根据已知条件，我们可以求出前5项的数列：b1 = 2^1 = 2，b2 = 2^2 = 4，...根据等比数列的求和公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。

代入已知条件，得到Sn = 2 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 62。

所以，前5项的和S等于62。

第四题：已知递推公式cn = cn-1 + 2 * cn-2，其中c1 = 1，c2 = 3。

求第6项的值c6。

解析：c3 = c2 + 2 * c1 = 3 + 2 * 1 = 5，c4 = c3 + 2 * c2 = 5 + 2 * 3 = 11，...依次类推，我们可以求得c6的值。

考点20 递推公式求通项(第1课时)——2021年高考数学专题复习真题练习

考点20 递推公式求通项（第一课时）【题组一公式法】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．2．设数列的前n 项乘积为，对任意正整数n 都有，则______． {}n a n T 1n n T a =-n T =3．数列的前项和为，，则它的通项公式为______.{}n a n 23n S n n =+n ∈+N4．若数列的前项和为，且，则______. {}n a n n S 21n n S a =+n a =5．数列的前n 项和，则其通项公式________.{}n a 23nn S =+n a =6．已知数列满足，，则_________________．{}n a ()12323213nn a a a na n ++++=-⋅ N n *∈n a =7．若数列，则_______．}{n a 2*3()n n n N +⋅⋅⋅+=+∈n a =8．已知数列满足：，数列的通项公式。

{}n a 2112313333n n n a a a a -+++⋯+=()*n N ∈{}n a9．设数列满足．数列的通项公式。

{}n a 123232n a a a na n ++++= {}n a10．设数列满足，的通项公式。

{}n a 12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈{}n a11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且{}n a n n S 11a =n a =*n N ∈2n ≥）数列的通项公式。

{}n a12．正项数列前项和为，且，.= 。

{}n a n n S ()214n na S +=()n N*∈na13．已知数列前项和为，若，则__________．{}n a n n S 22nn n S a =-n S =【题组二累加法】1．在数列中：已知，，则数列的通项公式为。

求数列通项公式提升练习题(附答案和方法归纳)

数列11、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

5、已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

6、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

数列2 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项4、已知在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a5、已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

6、已知数列{}n a 中，11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求na7、已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .8、已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a9、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

2022届高考数学一轮复习第7章7.1数列含递推公式核心考点精准研析训练含解析新人教B版

第7章核心考点·精准研析考点一数列的有关概念及通项公式1.数列{a n}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,a n=,则a3+a5= ( )A. B. C. D.n=n2-8n+15,则3 ( )A.不是数列{a n}中的项B.只是数列{a n}中的第2项C.只是数列{a n}中的第6项D.是数列{a n}中的第2项或第6项,-,,-,…的一个通项公式为( )n=(-1)n·n=(-1)n·n=(-1)n+1·n=(-1)n+1·4.若数列{a n}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+n+1,则++…+等于( )世纪金榜导学号A. B. C. D.5.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln,则a n=( )世纪金榜导学号A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n【解析】n=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.n=3,即n 2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.n+1=a n+n+1,得a n+1-a n=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,a n-a n-1=(n-1)+1,以上等式相加,得a n-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得a n=1+2+3+…+(n-1)+n=,所以==2,则++…+=2=2= .n+1=a n+ln,所以a n-a n-1=ln=ln(n≥2),所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=ln+ln+…+ln+ln 2+2=2+ln=2+ln n(n≥2).又a1=2适合上式,故a n=2+ln n(n∈N*).将T3改为已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( )n=(-1)n-1n=n=2sin n=cos(n-1)π+1【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,a n=2sin不合题意.(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③各项的符号特征和绝对值特征;④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.(1)累加法:a n+1-a n=f(n).(2)累乘法: =f(n).(3)待定系数法:a n+1=pa n+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为:a n+1-t=p(a n-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.【秒杀绝招】1.代入法解T2根据选项可直接把n=2或n=6代入检验.2.特值检验法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入检验排除C.考点二a n与S n的关系及其应用【典例】1.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2(a n-1)(n∈N*),则a n= ( )-1 nn-1n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,求a n. 世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题(1)看到a n与S n的关系,想到利用a n=S n-S n-1(n≥2)转化为a n与a n-1的关系1(2)也可以先检验n=1,n=2,n=3进行排除(1)利用a n+1=S n+1-S n转化为S n+1与S n的关系2(2)求得S n,代入a n=S n-S n-1(n≥2)得a n,并检验n=1是否成立【解析】1.选C.当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1,所以数列{a n}为首项为2,公比为2的等比数列,所以a n=2n.【一题多解】1=2,a2=4,a3=8,易确定C.n+1=S n+1-S n=S n+1S n,两边同时除以S n+1S n,得-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以S n=-.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-+=,故a n=【答题模板微课】本例题2的模板化过程:建模板:当n=1时,a1=S1=-1, …………求首项当n≥2时,a n=S n-S n-1=-+=,…………作差求通项经检验a1=-1不适合a n=, …………检验故a n=…………结论套模板:已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+1,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4, …………求首项当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1, …………作差求通项经检验a1=4不适合a n=2n+1, …………检验故a n=…………结论答案:n求a n的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换S n中的n得到一个新的关系,利用a n=S n-S n-1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式.(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用a n=S n-S n-1(n≥2)转化为只含S n,S n-1的关系式,再求解.(2)利用S n-S n-1=a n(n≥2)转化为只含a n,a n-1的关系式,再求解.1.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-3,则数列{a n}的通项公式是________.【解析】当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.当n=1时不满足,故a n=答案:a n=2.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n= ( ) n-1 B.C. D.【解析】n=2a n+1得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,=,而S1=a1=1,所以S n=.【变式备选】已知数列{a n}的前n项和为S n,求{a n}的通项公式.(1)S n=2n2-3n.(2)S n=3n+b.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.由于a1也适合此等式,所以a n=4n-5.(2)a1=S1=3+b,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时,a1适合此等式;当b≠-1时,a1不适合此等式.所以当b=-1时,a n=2·3n-1;当b≠-1时,a n=考点三数列的性质及其应用命题精解读考什么:考查数列的单调性、周期性、最值问题怎么考:因为数列可以看作是一类特殊的函数值,所以数列也具备函数应具备的性质,因此常常以数列为载体,考查单调性、周期性以及最值等问题.解题过程中常常渗透逻辑推理的核心素养.新趋势:由递推关系求通项公式考查求通项公式的方法成为考试的新趋势学霸好方法(1)作差比较法(2)作商比较法(3)结合相应函数的图象直观判断.先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项;(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项.数列的函数特性可利用数形结合、分类讨论进行解题数列的单调性【典例】已知递增数列{a n},a n≥0,a1=0.对于任意的正整数n,不等式t2-- 3t-3a n≤0恒成立,则正数t的最大值为( )A.1B.2【解析】选C.因为数列{a n}是递增数列,又t2--3t-3a n=(t-a n-3)(t+a n)≤0,t+a n>0,所以t≤a n+3恒成立,t≤(a n+3)min=a1+3=3,所以t max=3.在数列的恒成立问题中,若涉及求参数的最值问题时,如何进行合理地转化?提示:在涉及求参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性.数列的周期性【典例】若数列{a n}满足a1=2,a n+1=,则a2 022的值为世纪金榜导学号( )A.2B.-3 D.【解析】1=2,a n+1=,所以a2==-3,同理可得:a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,a7=-,a8=,…,可得a n+4=a n,则a2 022=a505×4+2=a2=-3.在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑如何求解?提示:在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项.数列中的最值【典例】数列{a n}的通项为a n=(n∈N*),若a5是{a n}中的最大值,则a的取值X围是________.世纪金榜导学号【解析】当n≤4时,a n=2n-1单调递增,因此n=4时取最大值,a4=24-1=15.当n≥5时,a n=-n2+(a-1)n=-+.因为a5是{a n}中的最大值,所以解得9≤a≤12.所以a的取值X围是[9,12].答案:[9,12]当数列涉及最大项或最小项问题时,除了用不等式组求解,还可以考虑什么方法?提示:解决数列的最值问题,除了用不等式组求解,还可以将数列看作某个函数,利用求函数的最值的方法求数列的最值.1.已知数列{a n}满足a n=(n∈N*),则数列{a n}的最小项是第______项.【解析】因为a n=,所以数列{a n}的最小项必为a n<0,即<0,3n-16<0,从而n<.又n∈N*,所以当n=5时,a n的值最小.答案:52.已知数列{a n}中,a n=n2+λn,且{a n}为递增数列,某某数λ的取值X围.【解析】因为a n+1-a n=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+λ+1,所以由{a n}为递增数列可得2n+λ+1>0,即λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立.因为n=1时,-2n-1取得最大值-3,所以λ>-3,即λ∈(-3,+∞).【一题多解】函数f(n)=n2+λn的图象的对称轴是n=-,如图,只需要-<,则λ>-3,即λ∈(-3,+∞).1.(2020·某某模拟)已知在正项等比数列中,a2 020=4a2 018,a2+a4=20,则a2 020的个位数字是( )A.2B.4【解析】选C.设公比为q(q>0),依题意得解得a1=q=2,故a2 020=2×22 019=22 020,注意到21个位数字是2,22个位数字是4,23个位数字是8,24的个位数字是6,25的个位数字是2,26的个位数字是4,…,故2n的个位数字的周期为4,而22 020=2505×4,故其个位数字为6.2.数列{a n}的通项公式为a n=,则数列{a n}中的最大项是( )B.19C.D.【解析】选 C.令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3n=,所以≤,由于n∈N*,故当n=9或n=10时,a n=最大.。

《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习(一)

《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习一．选择题1.已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A． B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+22.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023C．2048 D．20473.已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）A．2014×2015 B．2015×2016C．2014×2016 D．2015×2015二．填空题4.已知数列{a n}中，，则a n=______．5.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），则a n=______．参考答案1.A2.B3.B4.5.解析1.【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力.利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），可得a1=1a2﹣a1=2a3﹣a2=3a4﹣a3=4…a n﹣a n﹣1=n以上各式相加可得：a n=1+2+3+…+n=n（n+1），故选A．2.【分析】正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前n项和公式是解题的关键. 由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故选B．3.【分析】本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，通过a n+1=a n+2n 可知a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…，a2﹣a1=2，累加计算，进而可得结论．【解答】解：∵a n+1=a n+2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…a2﹣a1=2，累加得：a n﹣a1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]=2•=n（n﹣1），又∵a1=0，∴a n=n（n﹣1），∴a2016=2016（2016﹣1）=2015×2016，故选B．4.【分析】本题主要考查了利用裂项及累计法求解数列的通项，解题的关键是对递推公式的变形=由已知可得，，=，然后利用累计法可求通项【解答】解：∵∴=∴…以上n﹣1个式子相加可得，∵∴a n==故答案为.5.【分析】本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系，以及利用累加法和裂项法是解决本题的关键.根据数列的递推关系，利用累加法和裂项法即可得到结论．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），∴a n+1﹣a n==﹣，（n∈N*），则a2﹣a1=1﹣，a3﹣a2=，…a n﹣a n﹣1=﹣，等式两边同时相加得a n﹣a1=1﹣，故a n=，故答案为.。

高中数学数列的递推公式专项练习

高中数学数列的递推公式专项练习一、选择题1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.232.已知数列{a n }，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则a 1＋a 3的值为( ) A.4 B.5 C.6D.83.已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *).若数列{a n }是常数列，则a ＝( )A.－2B.－1C.0D.(－1)n4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34D.335.设S n 为数列{a n }的前n 项和.若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A.27 B.81 C.93D.2436.(多选题)已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，则下列结论正确的是( ) A.x 2 020＝a B.x 2 022＝a －b C.x 11＝x 2 021D.x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝2b －a7.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数，若a 4＝4，则m 所有可能的取值为( ) A.4 B.5 C.21 D.32二、填空题8.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项. 9..已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________.10.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________. 11.已知各项不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________. 三、解答题12.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *).13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式. (1)S n ＝3n ＋2；(2)S n ＝n 2－n .14.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n .参考答案1.答案：D解析：由题知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23. 2.答案：A解析：由a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，可得a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1＋a 3＝4. 3.答案：A解析：∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝a 2－2a ＋1.∵数列{a n }是常数列，∴a ＝a 2－2a ＋1，解得a ＝－2.故选A.4.答案：C解析：a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a 2＋a 18＝34. 5.答案：B解析：根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n .当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，则a 4＝3a 3＝32a 2＝33a 1＝81. 6.答案：BCD解析：x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ， x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2， ∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 2 020＝x 4＝－a ，A 不正确； x 2 022＝x 6＝a －b ，B 正确； x 2 021＝x 5＝x 11，C 正确；x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a ，D 正确. 7.答案：ABD解析：若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)，若a 1为偶数，则a 12＝2，a 1＝4；若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8；若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去). 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4，5，32. 8.答案：5解析：a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 9.答案：8164解析：a 1a 2…a 8＝82，①a 1a 2…a 9＝92，② ②÷①得，a 9＝9282＝8164. 10.答案：1 024解析：∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a n a n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29×2＝210＝1 024. 11.答案：1n ＋1解析：∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1. ∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *).12.解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9. 猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52. 猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14. 猜想a n ＝－1n (n ∈N *).13.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2) ＝2·3n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n )－[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，又a 1＝0满足a n ＝2n －2，故a n ＝2n －2. 14.解：∵a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，∴a 2－a 1＝11－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …，a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，将以上n －1个式子相加，得∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，即a n －a 1＝1－1n (n ≥2，n ∈N *).∴a n ＝a 1＋1－1n ＝－1＋1－1n ＝－1n (n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时，a 1＝－1也符合上式. ∴a n ＝－1n ，n ∈N *.。

递推数列综合能力提升(高一高二适用)

结论：若 an1 pan q( p 0,1, q 0) ，设方程 x px q 的解为 m ，
则 an1 m p(an m), an m 是等比数列. 【例 2】已知数列 an1 3an 1, a1 1. 求an 的通项公式.
【练 1】
（1）已知数列an 满足 an1 2an 3, a1 1. 求an 的通项公式.
【例 2】已知数列an 满足 nan1 (n 1)an 1, a1 1，求an 的通项公式.
【例 3】已知数列an 满足 an1 2n an , a1 2, 求an 的通项公式.
【练习】
1. 已知数列an 满足 a1 1, an an-1 2n , 求an 的通项公式.
2. 已知数列an 满足 a1 1, an n(an1 an ) ，求an 的通项公式.
【例
1】若数列an 满足 an
1 2
an1
1 2n
, a1
1，求an 的通项公式.
【例 2】若数列an 满足 an 3an1 2n , a1 2 ，求an 的通项公式. 【练 1】若数列an 满足 an 3an1 3n , a1 3 ，求an 的通项公式.
【练 2】若数列an 满足 an 2an1 3n , a1 3 ，求an 的通项公式.
注意需分段讨论，验证结果.
【例 1】设数列an 的前 n 项和是 Sn ， a1 1, an1 3Sn , 求an 的通项公式.
【例
2】设数列an 满足 a1
1, Sn
n
3
2
an ,
求an 的通项公式.
【例
3】已知数列an 的前 n
项和是
Sn
， a1
1,
an
2Sn2 2Sn

专题强化练3 数列的递推公式及通项公式

专题强化练3 数列的递推公式及通项公式一、选择题1.(2019吉林舒兰一中高二月考,)数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=a n +2n ,则a 9=( ) A.1 024 B.1 023 C.510 D.5112.()已知数列{a n }满足a 1=3,a n+1a n +a n+1-a n +1=0,n ∈N *,则a 2 020=( )A.-2B.-13C.12D.33.(2020天津一中高二上期中,)已知数列{a n }满足a n+1=ka n -1(n ∈N *,k ∈R),若数列{a n -1}是等比数列,则 k=(深度解析) A.1 B .-1 C.-2 D.24.(2020湖北鄂州部分高中联考协作体高二上期中,)定义:在数列{a n }中,若满足a n+2a n+1-a n+1a n=d(n ∈N *,d为常数),则称{a n }为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a n }中,a 1=a 2=1,a 3=3,则a 2 020a 2 018=( )A.4×2 0192-1B.4×2 0182-1C.4×2 0172-1D.4×2 0172 二、填空题5.(2020天津耀华中学高二上期中,)已知数列{a n }满足a 1=33,a n+1-a n =2n,则a n n的最小值为 .易错 6.(2020黑龙江东南联合体高一期末,)设S n 为数列{a n }的前n 项和,若S n ={8,n =1,4n ,n ≥2,n ∈N *,则数列{a n }的通项公式为 .7.(2020江苏常州高二上期中,)已知数列{a n}满足a1=1,n(n+1)(a n+1-a n)=a n+1a n,则数列{a n}的通项公式a n=.2三、解答题8.()已知数列{a n}的首项a1=5,前n项和为S n,且S n+1=2S n+n+5(n∈N*).(1)证明:数列{a n+1}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.9.(2020山东淄博一中高二上期中,)(1)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a2=4,2S n=(n+1)a n(n∈N*),求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n}的前n项和为S n,数列{S n}的前n项和为T n,满足T n=2S n-n2,n∈N*,求数列{a n}的通项公式.10.(2020河北冀州中学高三上期末,)(1)已知数列{a n}满足a1=1,且a n+1=a n,求数列{a n}的通项公式;1+2a n(2)已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2×3n+1,a1=3,求数列{a n}的通项公式.答案全解全析一、选择题1.D 由题意可得a n+1-a n =2n ,则a 9=a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 9-a 8)=1+21+22+…+28=29-1=511.故选D. 2.A 将a n+1a n +a n+1-a n +1=0进行变形,得a n+1=a n -1a n +1,则由a 1=3得a 2=12,a 3=-13,a 4=-2,a 5=3,所以数列{a n }是以4为周期的周期数列,又2 020=4×505,所以a 2 020=a 4=-2,故选A.3.D 解法一:设等比数列{a n -1}的公比为q,则a n+1-1=q(a n -1), 得a n+1=qa n +1-q,又a n+1=ka n -1, ∴{q =k,1-q =-1,得{q =2,k =2.故选D. 解法二:依题意得,a 2=ka 1-1,a 3=k(ka 1-1)-1=k 2a 1-k-1, ∵{a n -1}为等比数列, ∴(a 2-1)2=(a 1-1)(a 3-1), 即(ka 1-2)2=(a 1-1)(k 2a 1-k-2),∴(k-2)[a 1(k-1)-1]=0,由此式对任意实数a 1都成立,得k-2=0,即k=2,此时a n+1=2a n -1,即a n+1-1=2(a n -1).即{a n -1}是等比数列,故选D.解题模板由{a n -1}是等比数列,求参数k 的值,可用待定系数法,也可利用前三项是等比的关系,列出等式,求出参数k 的值,再检验所得数列是否符合题意.4.B 由题意得,a2a 1=1,a3a 2=3,∴a 3a 2-a2a 1=2,∴数列{a n+1a n}是首项为1,公差为2的等差数列,∴a n+1a n=2n-1,∴a 2 020a 2 018=a 2 020a 2 019×a 2 019a 2 018=(2×2 019-1)×(2×2 018-1) =(2×2 018+1)×(2×2 018-1) =4×2 0182-1. 二、填空题 5.答案212解析依题意得,a 2-a 1=2,a 3-a 2=4,……,a n -a n-1=2(n-1), ∴a n -a 1=2+4+…+2(n-1)=n(n-1)=n 2-n. ∴a n =n 2-n+33,∴an n=n+33n-1.设f(x)=x+33x-1(x>0).则f(x)=x+33x-1≥2√33-1,当且仅当x=√33≈5.7时取等号,又f(5)=5+335-1=10+35,f(6)=6+336-1=10+12<10+35,故a n n的最小值为a 66=212.易错警示在利用基本不等式解决数列问题时,一定要验证等号成立的条件.6.答案 a n ={8,n =13×4n -1,n ≥2,n ∈N *解析由题意知,当n=1时,a 1=S 1=8;当n ≥2,n ∈N *时,a n =S n -S n-1=4n -4n-1=3×4n-1,经检验,当n=1时不符合上式,所以a n ={8,n =1,3×4n -1,n ≥2,n ∈N *.7.答案n n+1(n ∈N *)解析易知a n ≠0,由n(n+1)(a n+1-a n )=a n+1a n ,得a n+1-a na n+1a n =1n(n+1),∴1a n -1a n+1=1n -1n+1,∴1a n -1-1a n =1n -1-1n(n ≥2).∴当n ≥2时,有1a 1-1a 2=11-12,1a 2-1a 3=12-13,……1a n -1-1a n =1n -1-1n,将以上n-1个等式相加得,1a 1-1a n=1-1n=n -1n(n ≥2).又a 1=12,∴1a n =2-n -1n=n+1n(n ≥2),经验证,当n=1时符合上式,∴a n =nn+1(n ∈N *).三、解答题8.解析 (1)证明:由S n+1=2S n +n+5(n ∈N *), 得当n ≥2时,S n =2S n-1+(n-1)+5. 两式相减得S n+1-S n =2(S n -S n-1)+1, 即a n+1=2a n +1,从而a n+1+1=2(a n +1). 当n=1时,S 2=2S 1+1+5, ∴a 2+a 1=2a 1+6.又∵a 1=5,∴a 2=11,从而a 2+1=2(a 1+1). 故总有a n+1+1=2(a n +1),n ∈N *. 又∵a 1+1=6≠0,∴数列{a n +1}是首项为6,公比为2的等比数列. (2)由(1)知a n +1=6×2n-1=3×2n ,∴a n =3×2n -1.9.解析 (1)由2S n =(n+1)a n (n ∈N *)得,当n ≥2时,2S n-1=(n-1+1)a n-1, 两式相减得,2a n =(n+1)a n -na n-1, 即(n-1)a n =na n-1. 易知a n ≠0,所以a n a n -1=nn -1(n ≥2).又a 2=4,当n=2时,2S 2=3a 2,即2(a 1+a 2)=3a 2,所以a 1=2. 所以a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 3a 2·a2a 1·a 1 =n n -1·n -1n -2·n -2n -3 (4)2·2=2n(n ≥2),经验证,当n=1时也符合上式, 所以a n =2n(n ∈N *).(2)由题意得,当n=1时,T 1=2S 1-1, 因为T 1=S 1=a 1,所以a 1=2a 1-1,所以a 1=1. 当n ≥2时,T n-1=2S n-1-(n-1)2,则S n =T n -T n-1=2S n -n 2-[2S n-1-(n-1)2]=2(S n -S n-1)-2n+1=2a n -2n+1, 因为当n=1时,a 1=S 1=1也满足上式, 所以S n =2a n -2n+1(n ∈N *),① 当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2(n-1)+1,② ①-②,得a n =2a n -2a n-1-2, 所以a n =2a n-1+2(n ≥2), 所以a n +2=2(a n-1+2), 因为a 1+2=3≠0,所以数列{a n +2}是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以a n +2=3×2n-1, 所以a n =3×2n-1-2,n ∈N *. 10.解析 (1)由a n+1=a n1+2a n得,1a n+1=1+2a n a n=1a n+2,∴1a n+1-1a n=2,是常数.又a 1=1,∴{1a n}是以1a1=1为首项,2为公差的等差数列.∴1a n=1+(n-1)×2=2n-1,∴a n =12n -1.(2)将a n+1=3a n +2×3n +1两边同时除以3n+1,得a n+13n+1=a n 3n +23+13n+1, 则a n+13-a n 3=23+13,∴an 3n =(an 3n -an -13n -1)+(an -13n -1-an -23n -2)+a n -23n -2-a n -33n -3+…+(a 232-a 131)+a 13=(23+13n )+(23+13n -1)+(23+13n -2)+…+(23+132)+33=2(n -1)3+13n+13n -1+13n -2+…+132+1=2(n -1)3+132×(1-13n -1)1-13+1=2n 3+12-12×3n , 则a n =2n×3n 3+3n 2-12=4n+32·3n-1-12.。

数学人教B必修5同步训练：2数列的递推公式选学含解析

2.1.2 数列的递推公式（选学）5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.判断下列说法哪个是错误的( )A.递推公式也是数列的一种表示方法B.a n =a n-1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式D.a n =2a n-1(n≥2)是递推公式解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法.a n =a n-1与a n =2a n-1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，所以都是递推公式.答案： C2.已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )A.6B.7C.8D.9解析：∵a 1=1，a 2=2,a n =a n-1+a n-2，∴a 3=a 2+a 1=1+2=3,a 4=a 3+a 2=3+2=5,a 5=a 4+a 3=5+3=8.答案：C3.一个数列{a n }的首项a 1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n =__________________.解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围.答案：2a n-1+a n+1(n≥2)4.在数列{a n }中，a n+1=a n+2+a n ,a 1=2,a 2=5，则a 6的值为_______________.解析：∵a n+1=a n+2+a n ，∴a n+2=a n+1-a n ，则有a 6=a 5-a 4=(a 4-a 3)-a 4=-a 3=-(a 2-a 1)=a 1-a 2=2-5=-3.答案：-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a 1=1，a n+1=22+n n a a (n ∈N *)，依次写出{a n }的前5项为__________，归纳出a n =_________. 解析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，根据递推公式：a n+1=22+n n a a ，将n=2,3,4,5代入可得这个数列的前5项.∴a 2=32,a 3=)42(21=,a 4=52,a 5=)62(31=．∴a n =12+n 答案：1，31,52,21,32 a n =12+n 2.数列{a n }满足a 1=1，a n =a n-1+n(n≥2)，则a 5=_____________.解析：由a n =a n-1+n(n≥2)，得a n -a n-1=n ，则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5，把各式相加得a 5-a 1=2+3+4+5=14,∴a 5=14+a 1=14+1=15.答案：153.已知a 1=2，a n+1=2a n ,写出前5项，并猜想a n .解：将n=2,3,4,5代入a n+1=2a n ，可得：a 1=2,a 2=22,a 3=23,这样我们就很容易猜出通项公式a n =2n .4.已知数列{a n }：1,5,8,9,4，通过公式b n =a n ·a n+1构造一个新的数列{b n }，试写出数列{b n }的前4项.解：将序号1,2,3,4代入公式b n =a n ·a n+1，可得：b 1=a 1·a 2=1×5=5，b 2=a 2·a 3=5×8=40，b 3=a 3·a 4=8×9=72，b 4=a 4·a 5=9×4=36.所以数列{b n }的前4项为：5,40,72,36.5.下面是由数字排列的一个数列：7,9,16,25,41,66,107,173，写出其递推公式.解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和，7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,…所以递推公式为：a 1=7,a 2=9,a n =a n-1+a n-2(3≤n≤8).6.在数列{a n }中，a 1=1，4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N )，写出它的前4项并归纳出用n 表示a n 的式子.解：∵4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N ),∴a n+1(4-a n )+2a n =9.∴a n+1(4-a n )=9-2a n .∴a n+1=nn a a --429. ∴a 2=11429a a -- =3714129=-⨯-， a 3=51337)37(2942922=-⨯-=--a a a ， a 4=7195134)513(2942923=-⨯-=--a a . 则求出的这个数列的前4项为：1，719,513,37，可归纳出通项公式为：a n =1256--n n . 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在数列{a n }中，a n =1，a n+1=a n 2-1(n≥1)，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于( )A.-1B.1C.0D.2解析：由已知a n+1=a n 2-1=(a n +1)(a n -1)，∴a 2=0,a 3=-1，a 4=0,a 5=-1.答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=b （b 为任意正数），a n+1=11+-n a （n=1,2,3，…），能使a n =b 的n 的数值可以是( )A.14B.15C.16D.17解析：∵a 1=b ，a n+1=11+-n a ， ∴a 2=11+-b ，a 3=bb 1+-，a 4=b. ∴{a n }为周期为3的数列.由于a 1=a 4=b ，∴a 16=b.答案：C3.若数列{a n }满足：a n+1=na 11-且a 1=2，a 2006等于( ) A.1 B.2 C.2 D.21 解析：由a n+1=n a 11-以及a 1=2得，a 2=21211=-，a 3=1-2=-1，a 4=2，…，由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，故a 2006=a 3×668+2=a 2=21，故选D ．答案：D4.数列{a n }的前9项是1,5,7,17,31,65,127,257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式a n =_____________.解析：1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案：a 1=1,a 2=5,a n =a n-1+2a n-2(n≥3)5.某网络公司，2005年的市场占有率为A ，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：则该公司2007年的市场占有率为____________；写出其中的递推关系式：____________. 解析：2005年的市场占有率为A ，2006年的市场占有率为A+2A ，2007年的市场占有率为A+42A A +，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式.答案：47A 递推关系式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--221111n A a a n A a n n n 6.设二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n ∈N )有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3.试用a n 表示a n+1.解：根据韦达定理，得α+β=n n a a 1+,α·β=n a 1，由6α-2αβ+6β=3得6·321+=+n n n a a a ，又在二次方程中a n ≠0，故a n+1=3121+n a . 7.已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=αa n +β，且a 2=3,a 4=15，求α,β的值.解：由a 2=αa 1+β=α+β=3，得β=3-α.故a 3=αa 2+β=3α+β=2α+3，a 4=αa 3+β=α(2α+3)+3-α=2α2+2α+3=15.化简得α2+α-6=0.解得α=-3或α=2，代入β=3-α得β=6或β=1.故⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.6,3,6,3βαβα或代入检验皆成立. 8.平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，用a n 表示交点的个数，试写出a n 与a n-1的关系式.解：要想弄清a n 与a n-1的关系，需要先研究n=1,2,3,…,具体的关系.当n=2时，两条直线相交，交点只有1个，当n=3时，三条直线相交，交点有3个，……当n-1条直线相交时，交点个数为a n-1，现在来考虑n 条直线的情况.任取其中的1条直线，记为l ，除l 以外的其他n-1条直线的交点个数a n-1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的a n-1个交点也两两不相同.从而平面内n 条直线交点的个数是a n =a n-1+(n-1).9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n 年与第(n-1)年（n ∈N 且n≥2）的产量之间的关系式（不要求证明）.解：不妨设改进技术后第n 年的产量为a n ，则a 1=a(1+200%)=3a ，a 2=a 1(1+21×200%)=6a ， a 3=a 2(1+221×200%)=9a ， a 4=a 3(1+321×200%)=a 445. 依此，得a n =a n-1(1+121-n ×200%)=a n-1［1+(21)n-2］（n ∈N *，n≥2）. 10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 ℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{l n }表示成图象，如下图，根据图象完成下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{l n }的通项和金属棒长度l （m ）关于温度t （单位：℃）的函数关系式；（3）在30 ℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解：(1)从图上不难看到第5次量得金属棒长度是 2.005 m ，这时温度为(5-1)×50+100=300 ℃.(2)设l n =dn+b ，由待定系数法可得通项公式l n =0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50，∴n=5050 t ，代入通项公式得所求函数关系式为l n =0.000 02t+1.999. （3）设当t=30 ℃时,金属板在某个面上长度为l′ m,当t=500 ℃时金属板在该个面的长度为l″ m ,l′=0.000 02×30+1.999,l″=0.000 02×500+1.999,则l″-l′=0.000 02×(500-30)=0.000 02×470=0.00 94(m)，这就是至少要留的空隙.。

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1．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：0n a ≠,113a =，112n n n n a a a a ++-=⋅，（n N *∈）．（1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）证明：122311...6n n a a a a a a ++++<．2．（本小题满分12分）已知数列{a }n 的首项al ＝1，*14()2nn n a a n N a +=∈+．（1）证明：数列11{}2n a -是等比数列；（2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 3．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和12-=n n a S ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若23-=n b n ，求数列}{n n b a 的前n 项和n T ．4．（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和23S 2n n n -=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{3}n n a -⋅的前n 项和．5．（本小题满分13分）设关于x 的一元二次方程n a 2x -1n a +x 1+0= （n N *∈）有两根α和β，且满足6263ααββ-+=．（1）试用n a 表示1n a +；（2）求证：数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式，并求数列}{n na 的前n 项和n T ． 6．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足1252,14a a a =+=，且对任意*n n ∈，函数()212()n n n f x a x a a x++=-+满足(1)0f '=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111n n n b a a =-+，记数列{}n b 的前项和为n S ，求证：12n S <． 7．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a = ,且满足112()n n n a S n +*+=+∈N . （1）证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; （2）求：12n S S S +++ . 8．已知数列中}{n a 中，111,(*)3nn n a a a n N a +==∈+ （1）求证：数列}211{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式n a （2）若数列}{n b 满足n n nn a nb ⋅⋅-=2)13(，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 9．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()2n n a S +=)(*N n ∈．（Ⅰ）证明数列{}n a 为等差数列并求其通项公式；（Ⅱ）设11+=n n n a a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T10．（本题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ，n a ，12成等差数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若42n b n =-()n N *∈，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 11．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且对于任意n N +∈，都有12n n na S +=（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设131n n n b a a ++=，且数列的前n 项之和为n T ，求证：512n T <12．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，（*n N ∈）求：（1）数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若3n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

13．（本题满分9分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12()n n a a n N +=∈，且2a 是2S 与1的等差中项．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对任意*n N ∈，n T λ<恒成立，求实数λ的最小值．14．（本小题满分14分）设n S 是数列}[n a 的前n 项和，)2(21,121≥⎪⎭⎫⎝⎛-==n S a S a n n n ．（1）求}{n a 的通项；（2）设12+=n S b nn ，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 15．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为22n n n S a =-，（1）求1a ，2a ；（2）设n n n a a c 21-=+，证明：数列{}n c 是等比数列；（3）求数列12n n c ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ． 16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且()21+=n n n a a S ，*N n ∈。

（1）求数列{}n a 的通项；（2）设nn S b 21=，n n b b b T +++= 21，求n T 。

17．（12分）数列{}n a 的前n 项和记为12,1,11+==+n n n S a a S ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为3322113,,,15b a b a b a T T n +++=又且成等比数列，求n T ．18．（本小题满分12分）数列{}n a 满足2112,66()n n n a a a a n N *+==++∈，设5log (3)n n c a =+．（Ⅰ）求证：{}n c 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设21166n n n n b a a a =--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <-．19．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和14122().333n n n S a n N +*=-⨯+∈ （1）求12,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2()nn nT n N S *=∈，证明：123.2n T T T +++<L20．设数列{}n a 的前n项和为nS ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ *()n N ∈．（1）求23a a ，的值；（2）求证：数列{}2n S +是等比数列；（3）设8142n n n b S -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小自然数n 的值．21．（本小题满分12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，满足35,473==S a ；n T 是数列{}n b 的前n 项和，满足：)(22*∈-=N n b T n n 。

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅)(log 12n n b a 的前n 项和n R22．（本小题满分13分）数列}{n a 满足)(22,1111+++∈+==N n a a a a nn nn n （1）证明:数列}2{nna 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）设(21)(1)n n b n n a =-+，求数列}{n b 的前n 项和n S ．23．（本小题满分14分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且有11a =，11n n S a ++=（n *∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足4n nnb a =，其前n 项和为n T ，求证：114n ≤T <．24．（本小题12分）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式（3）设存在正数k，使121+)(1)(1)n S S S ++≥L （n N *∈都成立，求k 的最大值．25．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，212n n a a +=，又2log n n b a =．（Ⅰ）求证：数列{}1n b +是等比数列；（Ⅱ）设n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n T参考答案1．（1）证明见解析，121n a n =+；（2）证明见解析．2．（1）证明详见解析；（2）11222n n nnS -=--．3．（112-=n n a ）；（2）52)53(T +-=n n n4．（1）2n a n =-；（2）55()3424n n -⋅-． 5．（1）11123n n a a +=+；（2）详见解析；（3）22232n n n n +++- 6．（1）2(*)n a n n N =∈;（2）见解析． 7．（1）证明详见解析；（2）12(1)2n n T n +=+-⋅. 8．（1）132-=n n a ；（2）32<<-λ； 9．（Ⅰ）12-=n a n ；（Ⅱ）略；10．（1）22-=n n a ；（2）1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n T11．（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）详见解析．12．（1）*21,()n a n n N =+∈；（2） 13n n T n +=⋅*()n N ∈ 13．（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）214．（1）1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩，（2）21n n T n =+． 15．（1）122,6a a ==；（2）见解析；（3）13322n n n T ++=- 16．（1）n a n =（2）1n n T n =+ 17．（1）13,n n a n N -+=∈（2）22,n T n n n N +=+∈18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1253.n n a -=-；（Ⅲ）211.459n n T =--- 19．（1）12,221==a a （2）n n n a 24-=（3）见解析 20．（1）234,8a a ==；（2）见解析；（3）521．（1）1+=n a n ，n n b 2=；（2）1nn +22．（1）详见解析；（2）21n n a n =+；（3）()12326n n +-+23．（1）12n n a -=;（2）314n T ≤< 24．（1）详见解析；（2） 1 (1)2(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩；（3）332． 25．（1）见解析；（2）()214122n n n n T n ++-=--。