2013届人教A版理科数学课时试题及解析(69)坐标系与参数方程
2013年数学试卷(理科)解析卷
2013年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C． D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6与a m，进而得到公差d，由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
2013届高三理科数学综合试卷及答案
2013届高三理科数学综合试卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ）A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i2a +++是实数，则a =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2（3）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（4）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（5）如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45（6）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）A．B ．2C． D ．4（7）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6AB1B1A1D1C C D（8）．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A ．1314 B ．47C ．114D ．37二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。
9．已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x = 。
10．曲线sin y x =在点（32π）处的切线方程为 ；11．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ．12．已知正方形A B C D ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为_____．从以下三题中选做两题，如有多选，按前两题记分.13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()c o s s i n 2ρθθ+=的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）不等式142x x -<-+的解集是 ．15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上 一点。
(完整版)极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1课时 极坐标方程与参数方程
= + sin.
= cos,
2
2
(3)椭圆方程 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为
(θ 为参数)
= sin.
2
=
2
,
2
(4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为
(t 为参数)
= 2.
2
2
2
微点拨1.参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程,
= -1 + 2sin (α为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标
π
= 2cos,
(2)由(1)得曲线 C 的参数方程为
为参数, 且 ≠
2
= sin
∴点 A( 2cos θ,sin θ)到直线 l 的距离
| 2cos -sin -1|
d=
2
=
,
2
,
2
整理得 2cos θ=sin θ 或 2cos θ-sin θ= 3cos(θ+α)=2 其中 tan =
(3)取相同的长度单位
互化公式
x = ρθ,
①
y = ρθ,
ρ2 = x 2 + y 2 ,
②
y
θ = x ( ≠ 0)
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数
倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
4.直线的极坐标方程
(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)
由已知tan θ=2,可得
16cos2θ-8sin θcos θ=0,
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(61)离散型随机变量及其分布列
课时作业(六十一) [第61讲 离散型随机变量及其分布列][时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．10件产品中有3件次品，从中任取两件，可作为随机变量的是( )A ．取到产品的件数B ．取到正品的概率C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )A ．第一枚6点，第二枚2点B ．第一枚5点，第二枚1点C ．第一枚1点，第二枚6点D ．第一枚6点，第二枚1点3则m A.115 B.215 C.15 D.4154．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C 47C 68C 1015的是( ) A ．P (X ＝2) B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)能力提升 5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个6．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·⎝⎛⎭⎫23i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) A.1738 B.2738 C.1719 D.27197．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i 2a，(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( ) A.19 B.16 C.13 D.148．50个乒乓球中，合格品为45个，次品为5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率是( ) A.C 35C 350 B.C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350 D.C 15C 245C 3509．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c k (k ＋1)(k ＝1,2,3,4)，其中c 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝( )A.23B.34C.45D.5610．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X 的取值集合是________．11．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．12．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，公司要求投保人交x 元，则公司收益X 的分布列是________．13．若随机变量X则常数c ＝________.14．(10分)一批产品共100件，其中20件为二等品，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．15．(13分)袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列；(2)求得分大于6分的概率．难点突破 16．(12分)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列．课时作业(六十一)【基础热身】1．C [解析] A 中件数是2，是定值；B 、D 中的概率也是定值；C 中件数为0,1,2，次品件数可作为随机变量．2．D [解析] 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D .3．C [解析] 利用概率之和等于1，得m ＝315＝15. 4．C [解析] 此题为超几何分布问题，15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便，故P(X ＝4)＝C 47C 68C 1015. 【能力提升】5．A [解析] 1～10任取两个的和可以是3～19中的任意一个，共有17个．6．B [解析] 根据题意及随机变量分布列的性质得：a·23＋a·⎝⎛⎭⎫232＋a·⎝⎛⎭⎫233＝1，解得a ＝2738. 7．C [解析] 由分布列的性质，得1＋2＋32a ＝1，解得a ＝3，所以P(X ＝2)＝22×3＝13. 8．C [解析] 出现次品，可以是一个，两个或是三个，与其对立的是都是合格品，都是合格品的概率是C 345C 350，故有次品的概率是1－C 345C 350. 9．D [解析] ∵c ⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1，∴c ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，解得c ＝54，将其代入P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝ P(1)＋P(2)＝c ⎝⎛⎭⎫1－13，得P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝56. 10．{0,1,2,3} [解析] 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X 的取值集合是{0,1,2,3}．11．0.3 [解析] 剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是P ＝C 22C 13C 35＝310＝0.3. 12.[解析] P(X ＝x －a)＝p ，P(X 所以X 的分布列为13.13 [解析] 由随机变量分布列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧ 9c －c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，解得c ＝13. 14．[解答] X 的可能取值为0,1,2.P(X ＝0)＝C 280C 2100＝316495； P(X ＝1)＝C 180C 120C 2100＝160495； P(X ＝2)＝C 220C 2100＝19495. 所以X 的分布列为15.[解答] 1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8. P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435， P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835， P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235， P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135. 故所求得分X 的分布列为(2)P(X>6)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＝1235＋135＝1335. 【难点突破】16．[解答] (1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A.基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31，事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3，所以P(A)＝m n ＝331. (2)依题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，又P(X ＝1)＝C 1531＝531， P(X ＝2)＝C 2531＝1031， P(X ＝3)＝C 3531＝1031， P(X ＝4)＝C 4531＝531， P(X ＝5)＝C 5531＝131， 故X 的分布列为。
13年广东高考理科数学试题详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A 、{}0B 、{}0,2C 、{}2,0-D 、{}2,0,2- 【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．2、定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A 、4B 、3C 、2D 、1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ． 3、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A 、()2,4B 、()2,4-C 、()4,2-D 、()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4、已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 23 P35 310 110则X 的数学期望EX = ( )A 、32B 、2C 、52D 、3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A 、4B 、143C 、163D 、6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2；故()2211412233V =+⨯=,故选B ． 6、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A 、若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B 、若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC 、若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( ) A、2214x = B 、22145x y -= C 、22125x y -= D、2212x -= 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．俯视图侧视图第5题图8、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = ，令集合(){,,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x =∈<<<<且三条件}z x y <<恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ；如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立；配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈； 第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈； 第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈； 第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈； 综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A
课时作业(五十七)A[第57讲排列、组合][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于()C．A734－a D．A834－aA．A827－a B．A27－a34－a2．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法的种数为()A．1 260 B．4 060C．1 140 D．2 8003．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．324．一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上，数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为()A．A77－A55B．A24A55C．A15A16A55D．A66＋A14A15A55能力提升5．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为()A．18 B．108 C．216 D．4326．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56 C．49 D．287．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．6488．研究性学习小组有4名同学要在同一天上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每个同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E实验，则不同的安排方式共有()A．144种B．192种C．216种D．264种9．2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种(用数字作答)．10．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种(数字回答)．11．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个．12．(13分)有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；(5)分成四个组，各组人数分别为1,1,2,2；(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.难点突破13．(12分)从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10名作“夺冠之路”的励志报告．(1)若每个大项中至少选派两人，则名额分配有几种情况？(2)若将10名冠军分配到11个院校中的9个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？课时作业(五十七)A【基础热身】1．D[解析] A834－a＝(27－a)(28－a)…(34－a)．2．D[解析] 基本事件总数是C330，其中不符合要求的基本事件个数是C320＋C310，故所求的种数为C330－(C320＋C310＝2 800.3．C[解析] 四个车位连在一起有四种可能，再乘以3的全排列，即4×A33＝24.4．D[解析] 若数学课在第一节，则有排法A66种；若数学不在第一节，则数学课排法有A14，体育课排法有A15，其余课排法有A55，根据乘法原理此时的排法是A14A15A55.根据加法原理，总的排法种数为A66＋A14A15A55.【能力提升】5．D[解析] 第一步，先将1、3、5分成两组，共C23A22种方法；第二步，将2、4、6排成一排，共A33种方法；第三步：将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种方法．由乘法原理，共有C23A22A33A24＝3×2×6×12＝432种排法．6．C[解析] 方法1：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一个入选，选法有C12·C27＝42；另一类是甲、乙都入选，选法有C22·C17＝7.所以共有42＋7＝49种选法．故选C.方法2：甲、乙均不入选的有C37种，总数是C39，故甲、乙至少一人入选的方法数是C39－C37＝84－35＝49.7．B[解析] 当0排在个位时，有A29＝9×8＝72个；0不排在个位时，有A14·A18·A18＝4×8×8＝256个．由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．故选B.8．D[解析] 根据题意得，上午要做的实验是A，B，C，E，下午要做的实验是A，B，C，D，且上午做了A，B，C实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E实验，其余三人分别做A，B，C实验，有C14·A33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午就选E实验的同学下午选D实验，另三位同学对A，B，C实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N1＝1×2＝2种；②上午选E实验的同学下午选A，B，C实验之一，另外三位从剩下的两项和D一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N2＝C13·3＝9种．于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264种．故选D.9．24[解析] 把需要相邻的两个元素看做一个整体，然后与不相邻的元素外的元素进行排列，在隔出的空位上安排需要不相邻的元素.2件书法作做看作一个整体，方法数是A22＝2，把这个整体与标志性建筑作品排列，有A22种排列方法，其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数A23＝6.根据乘法原理，共有方法数2×2×6＝24(种)．10．70[解析] 分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．直接法：C15C24＋C25C14＝70.间接法：C39－C35－C34＝70.11．210[解析] 如果个位数和百位数是0,8，则方法数是A22A28＝112；如果个位数和百位数是1,9，则由于首位不能排0，则方法数是A22C17C17＝98.故总数是112＋98＝210.12．[解答] (1)即C16C25C33＝60.(2)即C16C25C33A33＝60×6＝360.(3)即C26C24C22A33＝15.(4)即C26C24C22＝90.(5)即C16C15A22·C24C22A22＝45.(6)C16C15C24C22＝180.【难点突破】13．[解答] (1)名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派两人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有C14＝4种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有C24＝6种．∴有C14＋C24＝10种．(2)从11个院校中选9个，再从10个冠军中任取2个组合，再进行排列，有C911C210A99＝898 128 000.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(28)等差数列B
作 (二十八 )B [ 第 28 等差数列 ][ ： 35 分分 ： 80 分]基 身1． 数列 { a n } 随意 n ∈ N *， 足 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，且 a 3＝ 8， S 10 等于 ( )A ． 155B ． 160C ．172D ． 2402． 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，那么 S 13 的 是 ( )A ．65B ．70C ．130D ． 2603． 在等差数列 { a n } 中， a 1＝ 0，公差 d ≠ 0，若 a k ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 7， k ＝ ( )A ．21B ．22C ．23D ． 24 4． S n 等差数列 { a n } 的前 n 和， S 2＝ S 6， a 4＝ 1， a 5＝ ________.能力提高5． 已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 足 S 3－S 2＝1， 数列 { a n } 的公差 d 是 ()132A. 2 B ．1C ．2D ． 3b n ＝ a 3n ， 数列 { b n } 的一个通 公式6． { a n } 是首 1，公差 2 的等差数列，令是( )A ． b n ＝ 3n ＋ 2B ． b n ＝4n ＋ 1C ．b n ＝ 6n － 1D ． b n ＝8n － 37．{ a n } 等差数列，公差 d ＝－ 2， S n 其前 n 和．若 S 10＝S 11， a 1＝ ()A ．18B ．20C ． 22D ．248． 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝ 13，S 3＝ S 11，当 S n 最大 ， n 的 是 ( )A ．5B ．6C ．7D ． 89． 已知数列 { a n } 于随意 p ，q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，若 a 1＝ 1， a 36＝________.910．若数列 { a n } 足1－ 1＝ d(n ∈N * ，d 常数 )， 称数列 { a n } 和数列． 数a n ＋ 1a n列1和数列，且x ＋ x ＋⋯＋ x ＝ 200， x ＋ x ＝ ________.x n1220516已知数列 { a n } 足 a 1＝ t ，a n ＋ 1－ a n ＋2＝ 0(t ∈ N * ，n ∈N *)， 数列 { a n } 的前 n 和11． 的最大 f(t)， f(t)＝ ________.12． (13 分) 已知等差数列 { a n } 足： a 3＝ 7， a 5＋ a 7＝ 26， { a n } 的前 n 和 S n .(1)求 a n 及 S n ；(2)令 b n ＝ 21(n ∈ N * )，求数列 { b n } 的前 n 和 T n .a n － 1点打破13． (12 分) 数列 { a n } 足 a 1 ＝0 且1 －1＝1.1－ a n ＋1 1－a n(1)求 { a n } 的通 公式；(2)设 b n＝1－an＋1，记S n＝n b k，证明：S n＜1.n k＝ 1作 (二十八 )B【基 身】1． A [ 分析 ] 由 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，得 a n ＋1－ a n ＝ 3， 数列 { a n } 是公差 d ＝ 3 的等差数列，由 a 3＝ 8，得 a 1＋2d ＝ 8， a 1＝2，因此 S 10＝ 10× 2＋10×9× 3＝ 155，故 A. 22． C [ 分析 ] 等差数列 { a n } 的公差 d ，由 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，得a 1＋ a 1＋ 8d ＋a 1＋ 10d ＝ 30，即 a 1＋ 6d ＝10，∴ S 13＝ 13a 1＋13× 12d ＝ 13(a 1＋ 6d)＝ 130，故C. 27× 63． B[ 分析 ] 由已知，有a 1＋ (k － 1)d ＝ 7a 1＋2 d ，把 a 1＝ 0 代入，得k ＝ 22，故B.6× 54．－ 1 [ 分析 ] 由 S 2＝ S 6，得 2a 1＋ d ＝6a 1＋ 2 d 解得 4(a 1＋ 3d)＋ 2d ＝ 0，即 2a 4＋ d＝ 0，因此 a 4 ＋(a 4＋d)＝0，即 a 5＝－ a 4＝－ 1.【能力提高】5． C[ 分析 ] 由S 3－S 2＝1，得 1(3a 1＋ 3d)－1(2a 1 ＋d)＝1，解得 d ＝ 2，故 C.3 2 3 26．C [分析 ] 由已知，得 { a n } 的通 公式 a n ＝ 2n －1， 数列 { b n } 的前 45,11,17,23，即数列 { b n } 是首 b 1＝ 5，公差 6 的等差数列，它的一个通 公式 b n ＝ 6n － 1，故 C.7． B [ 分析 ] 由 S 10＝ S 11，得 a 11＝ S 11－ S 10＝ 0，∴ a 1＝ a 11＋ (1－11)d ＝ 0＋ (－ 10)(－ 2)＝ 20.故 B.8．C [ 分析 ] 方法 1：S 3＝S 11 得 a 4＋ a 5＋⋯＋ a 11＝ 0，依据等差数列性 可得 a 7＋ a 8＝0，依据首 等于 13 可推知 个数列 减，进而获得 a 7>0， a 8<0 ，故 n ＝ 7 ， S n 最大．方法 2：由 S 3＝ S 11 可得 3a 1＋ 3d ＝ 11a 1＋ 55d ，把 a 1＝ 13 代入得 d ＝－ 2，故 S n ＝ 13n －n(n －1) ＝－ n 2＋ 14n ，依据二次函数性 ，当 n ＝7 S n 最大．方法 3：依据 a 1＝ 13，S 3＝ S 11， 个数列的公差不等于零， 明 个数列的和先是增的， 而后 减， 依据公差不 零的等差数列的前n 和是对于 n 的二次函数， 以及 二次函数 象的 称性，当S ＝ S ，只有 n ＝3＋11＝ 7 ， S 获得最大 ．311 2n9． 4 [分析 ] 因 于随意p ， q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，因此 a n ＋ 1－ a n ＝ a 1＝1，数列{ a n } 是以 a 1＝ 1 首 ，公差 1的等差数列，故 a 36＝ 1＋(36－ 1)× 1＝ 4. 99 9 9 910． 20 [ 分析 ] 由 和数列的定 ，得 x n ＋ 1－ x n ＝ d ，即数列 { x n } 是等差数列， x 1＋ x 20＝ x 2＋ x 19＝⋯＝ x 10＋ x 11，∴ x 1＋ x 2＋⋯＋ x 20＝ 10(x 1＋ x 20)＝ 200，故 x 5＋ x 16＝ x 1＋ x 20＝20.t 2＋ 2t， t 偶数 ，11.4[ 分析 ] 由已知 a n ＋ 1－ a n ＝－ 2， 数列 { a n } 是公差 － 2 的2t ＋ 1 ， t 奇数4等差数列，数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝nt ＋n n － 1×(－2)＝－ n 2＋ (t ＋ 1)n2t ＋ 1 2t ＋ 1 2＝－n － 2＋4 .2若 t 奇数，t ＋ 1n ＝t ＋ 1 t ＋ 12 是整数， 当 ， S n 有最大4；22＋ 2t若 t 偶数，t ＋1不是整数， 当n ＝ t 或 n ＝ t ＋ 1 ， S n 有最大 t4.22 2t 2＋2t4t 偶数 ，故 f(t)＝t ＋1 24t 奇数 .12．[解答 ](1) 等差数 列 { a n } 的公差 d ，因a 3 ＝ 7 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 26 ，因此有a 1＋ 2d ＝ 7，解得 a 1＝ 3， d ＝ 2，2a 1＋ 10d ＝ 26，因此 a n ＝3＋ 2(n － 1)＝ 2n ＋ 1，n n － 12S n ＝ 3n ＋× 2＝ n ＋ 2n.(2)由 (1) 知 a n ＝ 2n ＋ 1，因此 b n ＝ 2 1 ＝ 11 1 1 1 1， 2＝ · ＝ · －n ＋ 1 a n － 1 2n ＋ 1 － 1 4 n n ＋ 1 4 n 因此 T n ＝1·1－ 1＋1－1＋⋯＋ 1－ 14 2 2 3 n n ＋ 1＝11－1 4·n ＋ 1n＝，4 n ＋ 1即数列 { b n } 的前 n 和 T n ＝n .4 n ＋ 1【 点打破】13． [解答 ] (1) 由1 － 1 ＝ 1，1－ a n ＋1 1－ a n即 1 是公差1 的等差数列．1－a n又 1 ＝ 1，故 1 ＝ n.1－ a 1 1－a n 1因此 a n ＝1－ n . (2) 明：由 (1)得b n ＝ 1－ a n ＋1＝ n ＋ 1－ n ＝ 1 －1 ， nn ＋ 1· nnn ＋ 1n n1 －11∴ S n ＝∑ b k ＝∑＝ 1－ <1.k ＋ 1k ＝1k ＝1 kn ＋1。
2013全国高考1卷理科数学试题与答案解析
WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) |x A, yA, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为 （ A ） 3 （ B ）6 （C ） 8 （D ） 10（ 2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有 （ A ） 12 种 （ B ） 10 种 （ C ） 9种 （D ） 8 种（ 3）下面是关于复数 z 2 的四个命题 1ip 1 ： | z | 2 p 2 : z 22i p 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A ) p 2 , p 3（ B ） p 1 ,p 2（ C ） p 2 ，p 4 （ D ） p 3 , p 4（ 4）设 F 1, F 2 是椭圆 E : x2 y 21(a b 0) 的左、右焦点， P 为a 2b 23aF PF 是底角为 30 的等腰三角形，则直线 x 上的一点，2 2 1E 的离心率为(A) 1 2 3 4 (B) 3 (C) (D) 2 4 5（ 5）已知 { a n } 为等比数列， a 4a 7 2 ， a 5 a 6 8 ，则 a 1 a10(A) 7 (B) 5 (C) 5 (D) 7（ 6）如果执行右边的程序图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 , a 2 ,..., a N 输入A, B , 则(A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a N 的和（ B ）AB为 a ,a ,..., a 的算式平均数 2 1 2 N（ C ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（ D ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最小的数和最大的数（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ A ） 6 (B)9 （ C ） 12 （ D ） 18（ 8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 216x 的准线交于 A, B 两点，| AB | 4 3 ，则 C 的实轴长为（ A ） 2 （ B ） 2 2 （ C ） 4 （ D ） 8（ 9）已知 0 ，函数 f (x) sin( x ) 在 , 单调递减，则 的取值范围4 2(A) [ 1 ,5 ](B) [ 1 , 3] (C) (0, 1 ](D) (0, 2]2 4 2 4 2（ 10）已知函数 f ( x) 1 ，则 y f ( x) 的图像大致为1) ln(x x（ 11）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 SC 为 O的正三角形， 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)2(B)3 (C)2(D)2 6 63 2（ 12）设点 P 在曲线 y 1 e x上，点 Q 在曲线 yln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B)2(1 ln2) (C) 1 ln 2 (D)2(1 ln 2) 专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(67)数学证明
作 (六十七 )[第 67数学明 ][ ： 45分分： 100分 ]基身1．在用反法明命“已知a、b、c∈ (0,2) ，求 a(2－ b)、b(2－ c)、c(2－ a)不行能都大于 1” ，反假正确的选项是()A ．假 a(2－b) 、b(2－ c)、 c(2－ a)都小于 1B．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都大于 1C．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都不大于 1D．以上都不1，△ ABC 的形状是 ()2．在△ ABC 中，已知 sinA＋ cosA＝2A ．角三角形B．直角三角形C．角三角形D．不可以确立a＋1， b＋1， c＋13． a， b， c 均正数，那么()b c aA ．都不大于 2B．都不小于 2C．起码有一个不大于2D．起码有一个不小于24．已知 a，b 是不相等的正数， x＝a＋b，y＝a＋b，x，y的大小关系是________．2能力提高5．一个点从 A 出挨次沿中段抵达B、C、 D、 E、F、 G、 H、 I、 J 各点，最后又回到 A(如 K67 － 1 所示 )，此中： AB⊥ BC，AB∥ CD∥ EF∥ HG∥ IJ，BC∥ DE ∥ FG ∥HI ∥ JA.欲知此点所走行程，起码需要量n 条段的度，n＝ ()K67－1A．2 B．3 C．4 D． 56．已知ab＝ ad－ bc，46＋ 1214 ＋⋯＋2 004 2 006＝()c d8101618 2 008 2 010A．－ 2 008 B ．2 008C．2 010 D ．－ 2 0107．△ ABC 的三内角 A、B、C 的分a、b、c，且 a、b、c 成等比数列， cosA、cosB、 cosC 成等差数列，△ABC ()A ．等三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形ax－ 58．已知对于 x 的不等式x2－a<0 的解集 M，且 3∈ M,5?M ，数 a 的取范()55∪ (9,25]A.1，∪ (9,25)B. 1，33C. 1， 5 ∪ [9,25)D. 1，5∪ [9,25]3 3 9．若 a ， b ， c 是不全相等的正数， 出以下判断： ① (a － b)2＋ (b － c)2＋ (c － a)2≠ 0；② a>b 与 a<b 及 a ＝ b 中起码有一个建立；③ a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 不可以同 建立．此中判断正确的个数是 ()A ．0B ．1C ．2D ． 3 10． 察下表： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 78 9 10⋯⋯2第________行的各数之和等于 2 009 .11．如 K67－2 所示，由若干个点 成形如三角形的 形，每条(包含两个端点 )有 n(n>1， n ∈ N )个点，每个 形 的点数a n ，9 ＋ 9 ＋9＋⋯＋9 ＝a 2a 3 a 3a 4 a 4a 5a 2 010a 2 011________.K67－212． 若直 ax ＋ 2by － 2＝ 0(a>0，b>0)始 均分 x 2＋ y 2－ 4x － 2y －8＝ 0 的周 ， 1a＋ 2的最小 ________． b13． 假如函数 f(x)在区 D 上是凸函数，那么 于区 D 内的随意 x 1， x 2，⋯， x n ，都有f x 1 ＋ f x 2 ＋⋯＋ f x n≤ f x 1＋ x 2＋⋯＋ x n .若 y ＝ sinx 在区 (0， π)上是凸函数，那么在 n n△ABC 中， sinA ＋sinB ＋ sinC 的最大 是 ________．114． (10 分)已知 a ， b ，c ∈ (0,1)．求 ： (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以同 大于 4.15. (13 分) 比 n n ＋1 与 (n ＋ 1)n (n ∈ N *) 的大小．当 n ＝1 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n＝2 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝3 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝4 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )．猜想一个一般性 ，并加以 明．难点打破*131222 16． (12 分 )数列 { a n}( n∈N )中， a1＝ 0， a n＋1是函数 f n( x)＝ x － (3a n＋ n)x ＋ 3n a n x 的32极小值点，求通项a n.作 (六十七 )【基 身】1． B[ 分析 ] “不行能都大于1”的否认是“都大于 1”，故 B.1212．C[分析 ] 由 sinA ＋cosA ＝ 2，得，(sinA ＋ cosA) ＝ 1＋ 2sinAcosA ＝4，∴ sinAcosA<0.π∵ A ∈ (0， π)，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A ∈ ， π.故 C.21＋b ＋ 1＋ c ＋1≥ 6，故 D.3． D [ 分析 ] 因 a ＋ bc a4． x<y[ 分析 ] x 2－ y 2＝a ＋b ＋ 2ab－ (a ＋ b)2－ a ＋ b － 2 ab － a － b 2.∵ a ，b 是不相等的正数， ∴ a ≠ b ，∴ (a － b)2>0，＝ 2 ＝2－ a － b2∴<0，∴ x 2<y 2.又∵ x>0， y>0，∴ x<y. 2 【能力提高】 5． B[分析 ] 只要 量 AB ， BC ， GH 3 条 段的 ．4 612 142 004 2 0066．A [分析 ] ∵ 8 10 ＝－ 8， 16 18＝－8，⋯，2 008 2 010＝－ 8，区 [4,2010] 中共有 1 004 个偶数，若每四个偶数 一 ，共有 251 ，∴ 46 ＋12 14 ＋⋯＋ 2 004 2 006＝ ( － 8)＋ (－ 8)＋⋯＋ (－ 8＝－ 8× 2518 1016 182 0082 010251个＝－ 2 008，故 A.7． A[分析 ] ∵cosA ， cosB ，cosC 成等差数列，A ＋C A － C ∴ 2cosB ＝ cosA ＋cosC ＝ 2cos 2 cos 2B A －C ＝ 2sin 2cos 2 ，2∴ cos(A － C)＝ 2cos2A －C－ 1＝2cos B－ 1.①22Bsin 2∵ a ， b ， c 成等比数列，∴ b 2＝ ac ，∴ sin 2B ＝ sinAsinC ，2∴ 2sin B ＝ cos(A －C)＋ cosB ，∴ cos(A － C)＝ 2sin 2B － cosB ，② 将①代入②整理得：(2cosB － 1)(cosB －3)(cosB ＋ 1)＝ 0.∵ 0<B<π，∴ cosB ＝ 1，2π∴ B ＝ ，∴ cos(A － C)＝ 1，3∵－ π<A － C<π，∴ A ＝ C ，∴ A ＝B ＝ C ＝ π3，进而△ ABC 等 三角形，故 A.3a － 53∈M ， 9－ a<0，a>9或a<5， ? a ∈ 1，58．B [分析 ] (1) 当 a ≠ 25 ，??335?M5a －5≥ 01≤ a<2525－ a∪(9,25) ．25x － 51， 3∈M 且 5?(2)当 a ＝ 25 ，不等式2<0 ，解之得M ＝ (－∞，－ 5)∪， 5 x － 25 5M ，∴ a ＝ 25 知足条件，综上可得 a ∈5∪ (9,25] ．1， 39． C [ 分析 ] ①②正确；③中 a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 可能同时建立，如 a ＝1， b ＝ 2， c ＝3.选 C.n 行的各数之和为 (2n － 1)2,2n － 1＝ 2 009，n ＝ 1 005.10．1 005 [ 分析 ] 由题意概括出第 11.2 009[ 分析 ] a n ＝ 3(n － 1)， a n a n ＋1 ＝9n( n － 1)，裂项乞降即可．2 0101＋ 2＝ (a ＋b) 1＋ 212．3＋ 22 [ 分析 ] 由题知直线经过圆心 (2,1) ，则有 a ＋ b ＝ 1，所以 aba b＝ 3＋ba ＋2ab ≥ 3＋ 2 2.3 3A ＋B ＋ Cπ 3313. 2[ 分析 ] sinA ＋ sinB ＋ sinC ≤ 3sin3＝ 3sin 3＝ 2.14． [解答 ] 证明：假定三式同时大于1，4 即 (1－ a)b>1， (1－ b)c>1， (1－ c)a>1，4 4 4三式同向相乘，得 (1－ a)a(1－ b)b(1－ c)c>641.① 又 (1－ a)a ≤ 1－ a ＋ a 2＝1，241 1(1－ b)b ≤，(1－ c)c ≤ .4 4所以 (1－ a)a(1－b) b(1 －c)c ≤ 1，64与①式矛盾，即假定不建立，故结论正确． 15．[解答 ] < < > >结论：当 n ≥ 3 时， n n ＋1 n *>(n ＋1) (n ∈ N )恒建立．证明：①当 n ＝3 时， 34＝ 81>64＝ 43 建立；②假定当 n ＝ k(k ≥ 3)时建立，即 k ＋1k建立，即 k >( k ＋ 1) k ＋1 kk ＋ 1 k >1，则当 n ＝ k ＋ 1 时，k ＋ 2 k ＋ 1 kk ＋1 ∵ k ＋ 1 ＋ ＋1 ＝ kk >1， k ＋ 1＝ (k ＋ 1) · k 1>(k ＋ 1) · k k ＋ 2 k ＋ 2 k ＋ 1 k ＋ 1∴ (k ＋ 1)k ＋ 2>(k ＋ 2)k ＋1，即当 n ＝ k ＋ 1 时也建立．∴当 n ≥ 3 时， n n ＋1>(n ＋ 1)n (n ∈ N *) 恒建立． 【难点打破】16． [思路 ] 先求导，再分类议论求出a n＋1的关系式，最后运用“概括 ——猜想—— 证明”的思想求通项 a n .2 22 2[解答 ] 易知 f ′ n (x)＝ x － (3a n ＋ n )x ＋ 3n a n ＝ (x － 3a n )(x － n )，令 f ′ n (x)＝ 0，得 x ＝ 3a n 或 x ＝n 2 ，2(1)若 3a n <n ，当 x<3a n 时， f ′ n (x)>0 ，f n (x)单一递加；当 3a n <x<n 2 时， f ′ n (x)<0， f n (x)单一递减；当 x>n 2 时， f ′ n ( x)>0 ，f n (x)单一递加，故 f n (x)在 x ＝n 2 时，获得极小值．(2)若 3a n >n 2，仿 (1)可得， f n (x)在 x ＝ 3a n 时获得极小值． (3)若 3a n ＝ n 2， f ′ n (x)≥0， f n (x)无极值． 因 a 1＝ 0，则 3a 1<12，由 (1)知， a 2＝12＝ 1. 因 3a 2＝ 3<22，由 (1)知 a 3＝ 22＝ 4，因 3a 3＝ 12>32，由 (2)知 a 4＝ 3a 3＝ 3× 4，因 3a 4＝ 36>42，由 (2)知 a 5＝ 3a 4＝ 32× 4，由此猜想：当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n － 3 .下边用数学概括法证明：当n≥ 3 时， 3a n>n2.事实上，当n＝3 时，由前面的议论知结论建立．假定当 n＝k(k≥ 3)时， 3a k>k2建立，则由 (2)知 a k＋1＝3a k>k2，进而 3a k＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋ 1)2＝ 2k(k－ 2)＋2k－ 1>0 ，所以 3a k＋1 >(k＋1) 2.故当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n－3，于是由 (2)知，当 n≥ 3 时， a n＋1＝ 3a n，而 a3＝ 4，n－ 3所以 a n＝4× 3，0 n＝1 ，综上所述， a n＝ 1 n＝ 2 ，4× 3n－3 n≥ 3 .。
新课标人教A版选修4-4坐标系与参数方程名校精选综合练习(一)
新课标统考区2013届名校精选分类汇编：坐标系与参数方程（一）一、填空题1 ．（河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟）已知圆C 的参数方程为2x y qq ìï=ïíï=+ïîcos sin q (为参数),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为21r q r q +=cos sin , 则直线被圆所截得的弦长是________.二、解答题2 ．（山西省忻州市2013届高三第一次联考）(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点O (0,0),B (22,π4).[来源：全,品…中&高*考+网](Ⅰ)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程,然后化成直角坐标方程;(Ⅱ)以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为,12,x t y t ⎧⎨⎩＝＝＋(t 为参数).若直线l 与圆C 相交于M,N 两点,圆C 的圆心为C ,求∆MNC 的面积.3 ．（山西省太原市2013届高三下学期第一次模拟）在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C p a a θθ=>过点P(-2,-4)的直线2,2:(4x l t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)与曲线 C 相交于点M,N 两点.(I)求曲线C 和直线l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|l,| MN|,|PN |成等比数列,求实数a 的值4 ．（山西省太原市2013届高三调研）已知曲线C:y 2= 4x,直线l 过点P(-1,-2),倾斜角为30o,直线l 与曲线C相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求直线l 的参数方程; (Ⅱ)求|PA |·|PB|的值.5 ．（山西省2013届高三3月月考）在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (0>>b a ,ϕ为参数),,曲线2C 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线1C 上的点(I)求曲线1C ,2C 的方程; (II)若点.6 ．（山西省山大附中2013届高三1月月考）在直角坐标系xOy 中,作倾斜角为α的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,. (1) 写出直线l 的参数方程; (2) .7 ．（山西省2013届高三第三次四校联考）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)试分别将曲线1C 的极坐标方程θθρcos sin -=和曲线2C 的参数方程sin cos sin cos x t ty t t =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)化为直角坐标方程和普通方程;(2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线1C 和曲线2C 上爬行,求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点).8 ．（山西省2013届高三高考真题演练考试（一）数学（文）试题）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为’(θ为参数),曲线C 2的极坐标方程为(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程,将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程; ⑵试问曲线C 1,C2是 否 相 交 ? 若 相 交, 请 求 出 公 共 弦 的 长 ,若 不 相 交 ,请 说 明 理 由.9 ．（山西省2013届）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=,2cos 3,sin 32ααy x (其中α为参数,R ∈α).在极坐标系(以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,曲线2C 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ.(1)把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为23,求曲线2C 的直角坐标方程.10．（河南省2012-2013高三下学期第二次联考）选修4-4:坐标系与参数方程已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2a sin(aθ是非零常数).(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求a的值.11．（河南省郑州一中2013届高三第七次调考）直线l:4()12x a tty t⎧⎨⎩＝＋为参数＝－－,圆C:ρθ极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同).(Ⅰ)求圆心C到直线l的距离;(Ⅱ)若直线l被圆C求a的值.12．（河南省郑州四中2013届高三第六次调考）已知曲线C(1)将曲线C的极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)若点(,)P x y在曲线C上,恒成立的实数a的取值范围.。
2013年全国高考理科数学坐标系与参数方程试题汇编
2013年全国高考理科数学坐标系与参数方程试题汇编2013年全国高考理科数学试题分类汇编18：坐标系与参数方程一、选择题1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．B．C．D．【答案】B二、填空题2．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知圆的极坐标方程为,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=______. 【答案】3．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________【答案】.4．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于_________.【答案】15．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则【答案】6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.【答案】7．（2013年高考陕西卷（理））C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为______.【答案】8．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为__________【答案】9．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系中,若右顶点,则常数________.【答案】310．（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系中,椭圆的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为___________.【答案】三、解答题11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—4;坐标系与参数方程已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点. 【答案】12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.(I)求与交点的极坐标;(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为,求的值.【答案】13．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））C.选修4-4:坐标系与参数方程]本小题满分10分.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 【答案】C解:∵直线的参数方程为∴消去参数后得直线的普通方程为①同理得曲线C的普通方程为②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为,15．（2013年高考新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ【答案】将消去参数,化为普通方程,即:,将代入得,,∴的极坐标方程为;(Ⅱ)的普通方程为,由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.。
极坐标与参数方程例题示范(分题型)
极坐标与参数方程例题示范(分题型)极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高考考试说明，归纳总结为四类题型。
题型一。
极坐标与直角坐标的互化。
互化原理（三角函数定义）、数形结合。
1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 13（t 为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（πθρ20,0<≤≥）.试题解析：（1）由0cos 2=+θρ得θρcos 2-=，两边同乘以ρ，得x y x 222-=+； （2）由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 13（t 为参数），得直线的普通方程为02=++y x ，联立曲线C 与直线l 的方程得，⎩⎨⎧-=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=02y x ，化为极坐标为)45,2(π或),2(π.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化. 考点：cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+. 2．在极坐标系中，设圆C经过点6π⎛⎫P ⎪⎝⎭，圆心是直线sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．试题解析：法一：6π⎛⎫P ⎪⎝⎭直线sin 32πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭它与x 轴的交点也就是圆心为()1,0所以圆的方程为()2211x y -+=，得2220x y x +-=所以，圆的极坐标方程为：2cos ρθ=法二：因为圆心为直线2sin sin 33ππρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是()1,0 又圆C经过点6π⎫P ⎪⎭，∴圆的半径1r ==，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．考点：（1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.题型二。
高考数学 《坐标系与参数方程》
坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。
分类坐标系与参数方程
分类汇编20：坐标系与参数方程一、选择题 二、填空题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点,则M 、N 的最小距离是______【答案】1 [来源:]2 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））在极坐标系中,直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为____[来源:]【答案】3 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1l 的极坐标系方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,ρ> 02)θπ≤≤,直线2l 的参数方程为{1222x ty t =-=+(为参数),若以直角坐标系的x 轴的非负半轴为极轴,则1l 与2l 的交点A 的直角坐标是____________【答案】解析:sin sin cos cos sin 1444y x πππρθρθρθ⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭{12322x tx y y t =-⇒+==+,由3112x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,2)A ⇒4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在极坐标系中,圆3cos ρθ=上的点到直线co s()13πρθ-=的距离的最大值是______.【答案】745 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A B 、,则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________________.【答案】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(或1cos sin =+θρθρ)6 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________[来源:]【答案】7 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________.【答案】cos 3ρθ=.8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为__________.【答案】349 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(),ρθ(0,02πρθ>≤<)中,曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____【答案】解析:4π⎛⎫⎪⎝⎭两式相除得tan 12sin44ππθθρ=⇒=⇒==,交点的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭10．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 882(t 为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则半径r =________.[来源: 数理化网]【答案】211．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是1(2x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数),则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为________. 【答案】412．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)曲线1C :1co s sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C:12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______【答案】1;13．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））(坐标系与参数方程选做题)过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为__________.[来源:]【答案】sin ρθ=【解析】点(2,)3π的直角坐标为,∴过点平行于x 轴的直线方程为y =即极坐标方程为sin ρθ=14．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知圆M:x 2+y 2-2x-4y+1=0,则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的距离为______.[来源:]【答案】215．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线21x t y t=--⎧⎨=-⎩(t 为参数)截圆22co s ρρθ+-3=0的弦长为____ 【答案】 416．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知直线l 方程是22x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=2,则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是___【答案】222- [来源:]17．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线sin()6πρθ+=3的距离的最小值是____【答案】118．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________[来源:数理化网]【答案】3;19．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C :ρ=和曲线2C :cos()4πρθ+=,则1C 上到2C 的距离等于的点的个数为__________.【答案】3;将方程ρ=与cos()4πρθ+=化为直角坐标方程得222x y +=与20x y --=,知1C 为圆心在坐标原点,半径为,2C 为直线,因圆心到直线20x y --=,故满足条件的点的个数3n =.20．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在极坐标中,圆ρ =4cos θ 的圆心C 到直线 ρ sin (θ +π4)=2 2 的距离为 _*****_.【答案】答案: 2解:在直角坐标系中,圆:x 2+y 2=4x ,圆心C (2,0),直线:x +y =4,所以,所求为2.21．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C到直线l的距离为__________.【答案】22．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知圆C 的参数方程为2x y c o s ,s i n ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C所得的弦长是________.【答案】分析:圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=,直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=,如右图所示,圆心到直线的距离2d ==,故圆C 截直线l 所得的弦长为=[来源:]23．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在直线cos sin 0ρθθ+=上运动,当线段A B 最短时,点B 的极坐标为_______.【答案】1116,π⎛⎫⎪⎝⎭ 答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).24．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系x oy 中,曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θπθ],2,0[∈为参数),若以O 为极点,x轴正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程是________.【答案】4cos ρθ= [来源:]25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点π1,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭引圆8sin ρθ=的一条切线,则切线长为______.【答案】3;26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）直角坐标系xO y 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点,A B 分别在曲线12co s :sin x C y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则||A B 的最大值为__________.【答案】527．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中,曲线(cos sin )1ρθθ+=与(cos sin )1ρθθ-=-的交点的极坐标为_________.【答案】(1,)2π28．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线l 过圆C:s()4πρθ=-的圆心C,且与直线OC 垂直,则直线l 的极坐标方程为_________.【答案】把s()4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+,圆心C 的坐标为(1,1),与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或co s()4πρθ-=29．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为cos()4πρθ-=,曲线C :1ρ=上的点到直线的距离为d ,则d 的最大值为_________.【答案】【解析】直线的直角坐标方程为60x y +-=,曲线C 的方程为221x y +=,为圆;d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为max 11d =30．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭,点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点,设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ,则PA d +的最小值为______.【答案】31．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________.【答案】2.。
2013年理科全国各省市高考真题——坐标系与参数方程(解答题带答案)
2013年全国各省市理科数学—坐标系与参数方程 1、2013重庆理T15.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于,A B 两点，则______AB =2、2013天津理T11.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .3、2013广东理14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.4、2013陕西理T15.C. (坐标系与参数方程选做题)如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2 .x5、2013湖南理T9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .6、2013湖北理16、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。
在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。
若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。
7、2013新课标I 理T23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程式⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ,π20<≤θ）8、2013新课标Ⅱ理T23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(69)坐标系与参数方程
课时作业 (六十九 ) [第 69 讲 坐标系与参数方程 ][时间： 45 分钟分值： 100 分]基础热身1．在极坐标系中，点2， π到圆 ρ＝ 2cos θ的圆心的距离为 ________．3x ＝ sint ＋ 1，(t 为参数 )的一般方程为 ________．2．参数方程y ＝ 2sint －13． 若曲线的极坐标方程为 ρ＝ 2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ________．34．已知曲线 C 的极坐标方程是ρ＝ 2sin θ，设直线 l 的参数方程是x ＝－ 5t ＋ 2，(t4y ＝ 5t为参数 )．设直线 l 与 x 轴的交点是M ，而 N 为曲线 C 上一动点，则 |MN |的最大值是 ________．能力提高5．以极坐标系中的点 π为圆心， 1 为半径的圆的极坐标方程是________．1，6 6． 已知圆的极坐标方程为ρ＝ 4sin θ，则该圆的圆心到直线 ρcos θ－ ρsin θ＝ 4 的距离是 ________．x ＝ 1＋ t ， 7．设直线 l 1 的参数方程为(t 为参数 )，直线 l 2 的方程为 y ＝ 3x ＋4，则 l 1 与y ＝ 1＋ 3tl 2 的距离为 ________．x ＝ t 2＋12，8．t曲线的参数方程是(t 是参数， t ≠ 0)，它的一般方程是 ________．1y ＝ t ＋ t9． 在极坐标系中，设圆 ρ＝ 3上的点到直线 ρ( 7cos θ－ sin θ)＝ 2的距离为 d ，则 d 的2最大值是 ________．10．设极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合．已知曲线C 1 的极坐标方程是：x ＝ 2＋ 2cos θ，(θ为参数 )，若两曲线有公共点，则ρcos θ＋ π＝ m ，曲线 C 2 参数方程为：3y ＝ 2sin θ实数 m 的取值范围是 ________．11．x ＝－ 1＋tcos α，(t 为参数 ) 与圆 ρ＝2cos θ 相切，则此直线的倾斜角α＝直线y ＝ tsin α________.ρsin θ＋π＝ 2，则 l 在直角坐标系下的方程是 ________．12． 直线 l 的极坐标方程为413．x ＝ 2cos α，在直角坐标系xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为(α为参数 )．在极坐y ＝ 3sin α标系 (与直角坐标系 xOy 取同样的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中， 曲线 C 2 的方程为 ρ(cos θ－ sin θ)＋ 1＝ 0，则 C 1 与 C 2 的交点个数为 ________．214． (10 分 )极坐标系中， A 为曲线 ρ＋ 2ρcos θ－ 3＝ 0 上的动点， B 为直线 ρcos θ＋ ρsin θ －7＝ 0 上的动点，求 |AB |的最小值．x ＝－ 4＋ cost ，( t 为参数 )，C 2：x ＝ 8cos θ，15． (13 分)已知曲线 C 1：(θ为参数 )．y ＝ 3＋ sinty ＝ 3sin θ (1)化 C 1， C 2 的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C 1 上的点 π为 C 2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C 3： P 对应的参数为 t ＝ ，Q2x ＝ 3＋ 2t ，(t 为参数 )距离的最小值．y ＝－ 2＋t难点打破16． (12 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x －y ＋ 4＝ 0，曲线 C 的参数方程x ＝3cos α，为( α为参数 )．y ＝ sin α(1)已知在极坐标系正半轴为极轴 )中，点(与直角坐标系 P 的极坐标为xOy 取同样的长度单位， 且以原点 O 为极点，以 π4，2 ，判断点 P 与直线 l 的地点关系；x 轴(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．课时作业 (六十九 )【基础热身】πx ＝ ρcos θ＝ 2cos ＝ 1，1. 3[分析 ] 点 2， π的直角坐标为3 圆 ρ＝ 2cos θ 的直角π3y ＝ ρsin θ＝ 2sin ＝ 3.3坐标方程为 x 2＋y 2＝ 2x ，即 (x － 1)2＋ y 2＝ 1，圆心 (1,0) 到点 (1， 3)的距离为3.2． y ＝2x － 3(0≤ x ≤ 2) [分析 ] 消去参数 sint ，得 y ＝ 2x － 3.由于 sint ∈ [－ 1,1] ，因此 x∈[0,2] ，因此一般方程为 y ＝ 2x － 3(0≤ x ≤2) ．2 2[分析 ]x ＝ ρcos θ， x y 2223． x ＋ y － 4x － 2y ＝ 0由? cos θ＝ ， sin θ＝， ρ＝ x ＋ y ，代入y ＝ ρsin θρρ2y 4x222ρ＝ 2sin θ＋ 4cos θ，得 ρ＝ ρ＋ ρ?ρ＝ 2y ＋ 4x? x ＋ y － 4x － 2y ＝0.4. 5＋ 1 [分析 ] 曲线 C 的直角坐标方程为： x 2＋ y 2－ 2y ＝0，直线的一般方程为 y ＝－ 43(x － 2)，令 y ＝ 0 得 x ＝ 2，即 M 点的坐标为 (2,0)．又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为 (0,1)，半径 r ＝ 1，则 |MC |＝ 5，|MN |≤ |MC|＋ r ＝ 5＋ 1.【能力提高】5． ρ＝ 2cos θ－π[分析 ] 以极坐标系中的点1， π为圆心， 1 为半径的圆的直角坐标6 63 2 1 2 ＝ 1，转变为极坐标方程是： ρ＝ 2cos θ－ π系中的方程是： x － 2 ＋ y －2 6 .6． 3 2 [ 分析 ] 直线 ρcos θ－ ρsin θ＝ 4 化为直角坐标方程为 x － y － 4＝0，圆 ρ＝ 4sin θ 化为直角坐标方程为x 2＋(y － 2)2 ＝ 4，圆心为 (0,2) ，由点到直线的距离公式，得圆心(0,2) 到直线 x － y － 4＝ 0 的距离为 3 2.3 10l 1 的一般方程为 3x － y － 2＝ 0，故 l 1 与 l 2 的距离为 |4＋ 2|7.5 [ 分析 ] 由题知直线＝103 105 .2 [分析]2 1 22121 218．y ＝ x ＋ 2(x ≥2)由于 y ＝ t ＋t ＝ t ＋ 2＋ 2＝ x ＋2，而 x ＝ t ＋ 2≥ 2t ·2 ＝ttt2.9．2 [分析 ] 将 ρ( 7cos θ－ sin θ)＝ 2化为直角坐标方程， 得 7x －y － 2＝ 0，圆心 (0,0)到该直线的距离是 d ＝ 2 ＝ 1，联合图形知 d 的最大值是 d ＋3＝ 2.1 7＋ 12 1210． [ － 1,3] [分析 ] 将两曲线方程化为直角坐标方程，得 C 1： x － 3y － 2m ＝ 0， C 2： (x － 2)2＋ y 2＝ 4.|2－ 2m|由于两曲线有公共点，因此 ≤ 2，即－ 1≤ m ≤ 3，故 m ∈ [－ 1,3]．π 5π [分析 ] 直线与圆的一般方程分别是2 211. 或y ＝ tan α·(x ＋ 1)， (x － 1)＋ y ＝ 1，由直线 6 6 π 5π与圆相切，得|2tan α|2＝ 1，因此 tan 2α＝1.由于 α∈ [0， π)，则 α＝ 或6.1＋tan α3612． x ＋ y － 2＝ 0 [ 分析 ] 将 ρsin θ＋ πππ2，将 x ＝＝ 2睁开得 ρsin θcos ＋ ρcos θsin ＝ 4 44 ρcos θ， y ＝ρsin θ代入上式，化简得 x ＋ y －2＝ 0.x ＝ 2cos α，22 13． 2 [ 分析 ] 曲线 C 1 的参数方程为化为一般方程： x＋y＝1 ①，y ＝ 3sin α，43曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ(cos θ－ sin θ)＋ 1＝0，化为一般方程： x － y ＋ 1＝ 0 ② .联立①，②得 7x 2＋ 8x － 8＝ 0，此时 ＝ 82－ 4×7× (－ 8)>0.故 C 1 与 C 2 的交点个数为 2.x ＝ ρcos θ， 分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程14． [解答 ] 将互化公式y ＝ ρsin θ为( x ＋1) 2＋y 2 ＝ 4，圆心 (－ 1,0)，半径为 2，直线方程为 x ＋ y －7＝ 0， 圆心到直线的距离 d ＝ |－ 1－ 7|＝ 4 2.2因此 |AB|的最小值为 4 2－ 2. x 2 y 22 2＝ 1，C 2：15． [解答 ] (1) C 1： (x ＋ 4) ＋ (y － 3) ＋ ＝1.C 1 为圆心是 (－ 4,3)，半径是 1 的圆； 64 9C 2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．π 3(2)当 t ＝ 时， P( －4,4)，又 Q(8cos θ， 3sin θ)，故 M －2＋ 4cos θ，2＋sin θ.22513C 3 为直线 x － 2y － 7＝0，M 到 C 3 的距离 d ＝ 5 |4cos θ－ 3sin θ－ 13|＝ 5 cos θ＋ α－ 5 其4 3中 cos α＝， sin α＝ .55进而 d 的最小值为8 55.【难点打破】π16． [解答 ] (1) 把极坐标系下的点 P 4， 2 化为直角坐标， 得 P(0,4)．由于点 P 的直角坐标 (0,4)知足直线 l 的方程 x － y ＋ 4＝0，因此点 P 在直线 l 上．(2)由于点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ( 3cos α， sin α)，进而点 Q 到直线 l 的距离为πd ＝ | 3cos α－ sin α＋4|＝2cos α＋ 6 ＋ 42 2 π＝ 2cos α＋ 6 ＋ 2 2.由此得，当 cos α＋ π＝－ 1 时， d 获得最小值，且最小值为2.6。
备战2013年高考数学(理)专题19 坐标系与参数方程 历届高考.pdf
【2012年高考试题】 1.【2012高考真题新课标理23】本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上， 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 （1）求点的直角坐标； （2）设为上任意一点，求的取值范围. 2.【2012高考真题陕西理15】（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为 . 3.【2012高考真题湖南理9】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则. 4.【2012高考真题上海理10】如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角， 若将的极坐标方程写成的形式，则 。
5.【2012高考真题江西理15】（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。
6.【2012高考真题辽宁理23】(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标中，圆，圆。
(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。
【答案】 （选修4：）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 . 8.【2012高考真题安徽理13】在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 9.【2012高考真题天津理12】已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=_________. 【答案】2 【解析】消去参数得抛物线方程为，准线方程为，因M为抛物线上一点，所以有,又,所以三角形为等边三角形，则，解得。
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课时作业(六十九) [第69讲 坐标系与参数方程][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________． 2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ＋1，y ＝2sin t －1(t 为参数)的普通方程为________．3． 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t (t为参数)．设直线l 与x 轴的交点是M ，而N 为曲线C 上一动点，则|MN |的最大值是________．能力提升5．以极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫1，π6为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是________． 6． 已知圆的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则该圆的圆心到直线ρcos θ－ρsin θ＝4的距离是________．7．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2的距离为________．8． 曲线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t 2＋1t2，y ＝t ＋1t (t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是________．9． 在极坐标系中，设圆ρ＝32上的点到直线ρ(7cos θ－sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值是________．10．设极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合．已知曲线C 1的极坐标方程是：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝m ，曲线C 2参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围是________．11． 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆ρ＝2cos θ相切，则此直线的倾斜角α＝________.12． 直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，则l 在直角坐标系下的方程是________． 13． 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．14．(10分)极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB |的最小值．15．(13分)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．难点突破16．(12分) 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．课时作业(六十九)【基础热身】1.3 [解析] 点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝ 3.圆ρ＝2cos θ 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1,0)到点(1，3)的距离为 3.2．y ＝2x －3(0≤x ≤2) [解析] 消去参数sin t ，得y ＝2x －3.因为sin t ∈[－1,1]，所以x ∈[0,2]，所以普通方程为y ＝2x －3(0≤x ≤2)．3．x 2＋y 2－4x －2y ＝0 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ，sin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4xρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.4.5＋1 [解析] 曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0，直线的普通方程为y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则|MC |＝5，|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.【能力提升】5．ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6 [解析] 以极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫1，π6为圆心，1为半径的圆的直角坐标系中的方程是：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1，转化为极坐标方程是：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 6．32 [解析] 直线ρcos θ－ρsin θ＝4化为直角坐标方程为x －y －4＝0，圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)，由点到直线的距离公式，得圆心(0,2)到直线x －y －4＝0的距离为3 2.7.3105 [解析] 由题知直线l 1的普通方程为3x －y －2＝0，故l 1与l 2的距离为|4＋2|10＝3105. 8．y 2＝x ＋2(x ≥2) [解析] 因为y 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝x ＋2，而x ＝t 2＋1t 2≥2t 2·1t 2＝2.9．2 [解析] 将ρ(7cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程，得7x －y －2＝0，圆心(0,0)到该直线的距离是d 1＝27＋1＝12，结合图形知d 的最大值是d 1＋32＝2.10．[ －1,3] [解析] 将两曲线方程化为直角坐标方程，得C 1：x －3y －2m ＝0，C 2：(x －2)2＋y 2＝4.因为两曲线有公共点，所以|2－2m |2≤2，即－1≤m ≤3，故m ∈[－1,3]． 11.π6或5π6[解析] 直线与圆的普通方程分别是y ＝tan α·(x ＋1)，(x －1)2＋y 2＝1，由直线与圆相切，得|2tan α|1＋tan 2α＝1，所以tan 2α＝13.因为α∈[0，π)，则α＝π6或5π6. 12．x ＋y －2＝0 [解析] 将ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2展开得ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，化简得x ＋y －2＝0.13．2 [解析] 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α，化为普通方程：x 24＋y 23＝1 ①，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，化为普通方程：x －y ＋1＝0 ②.联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2.14．[解答] 将互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝4 2.所以|AB |的最小值为42－2.15．[解答] (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆；C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝5⎪⎪⎪⎪cos (θ＋α)－135其中cos α＝45，sin α＝35.从而d 的最小值为855.【难点突破】16．[解答] (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎫4，π2化为直角坐标， 得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。