2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估5
高考数学一轮复习 第一节 不等式和绝对值不等式课件 理 新人教A版选修45(广东专用)
若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(1 ＋|a|)． 【证明】 |f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)| ＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a||x＋a－1|＝|x－a||(x－a)＋(2a－1)|， ∵|x－a|<1. ∴|x－a||(x－a)＋(2a－1)|<|(x－a)＋(2a－1)| ≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(1＋|a|)． 若不等式|f(x)－f(a)|<2(1＋|a|)成立．
综合 ①②③ 知，原不等式的解集为{x|x≥1}．
【答案】 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
4．(2012·广州调研)不等式||xx＋ ＋12||≥1 的实数解为________．
【解析】 ||xx＋＋21||≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|且 x＋2≠0， ∴x≤－23且 x≠－2.
【答案】 {x|x≤－32且 x≠－2}
绝对值不等式性质的应用
(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1， 则|x－2y＋1|的最大值为________． 【思路点拨】 思路一 将|x－2y＋1|变形，设法用x－1与y－ 2表示，利用绝对值不等式的性质求最值； 思路二 由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的范围，然后运用不 等式的性质和绝对值的意义求解．
含绝对值不等式的解法
(1)(2011·江苏高考)解不等式：x＋|2x－1|＜3. (2)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
【思路点拨】 (1)将不等式x＋|2x－1|＜3化成|2x－1|＜3－x的 形式，然后用公式求解． (2)去|x＋3|与|x－2|的绝对值，按零点分区间讨论．
浙江省台州市2012届高三数学期末质量评估试题 理 新人教A版
1台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题数 学（理科）2012.01本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．Ⅰ 选择题部分（共50分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π=()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．若,31cos =α则=α2cos （A ）31（B ）31-（C ）97（D ）97-2．在复平面内，复数ii-1对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．“322<<x ”是“2<x ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=-=R y x y x y x A ,,149),(22，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=-=R y x y x y x B ,,123),(，则B A 中元素个数为2（A ）0（B ）1（C ）2（D ）35. 若如图的程序框图输出的4=y ，可输入的x 的值的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）46．设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面， 下列命题中正确的是（A ）若m ∥α，β⊥n ，n m ⊥，则α⊥β （B ）若m ∥α，β⊥n ，n m ⊥，则α∥β （C ）若m ∥α，β⊥n ，m ∥n ，则α⊥β （D ）若m ∥α，β⊥n ，m ∥n ，则α∥β7. 设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,4,,2x y x y x y 则||4x y -（A ）[]6,8--（B ）]4,8[-（C 8. 已知右图是下列四个函数之一的图象，这个函数是（A ）11ln)(-+=x x x f （B ）11ln )(+-=x x x f（C ）1111)(-++=x x x f （D ）1111)(--+=x x x f9．有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2语翻译也可做韩语翻译. 要从中选5人分别接待5韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（A ）900（B ）800 （C ）600 （D ）50010．已知01221212222)a x a x a x a x ab ax n n n n n+++++=+-- （（*N n ∈，常数0>>b a ）.设n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则下列关于正整数n 的不等式中，解集是无限集的是24x y =-3C（A ）n n R T < （B ）n n R T 1.1> （C ）n n T R 9.0< （D ）n n T R 99.0>Ⅱ 非选择题部分（共100分）二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分. 将答案直接答在答题卷上指定的位置） 11．要得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可将函数x y 2sin =的图象向右平移 个单位． 12. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ．13．“如果数列{}n a ()0>n a 是等比数列，那么{}n a lg 必为等差数列”，类比这个结论，可猜想：如果数列{}n b 是等差数列， 那么 ．14．一个袋中有大小、质地相同的标号为3,2,1的三个小球.某人做如下游戏：每次从袋中摸一个小球，记下标号然后放回，共摸球3次.若拿出球的标号是奇数,则得1分,否则得0分，则3次所得分数之和的数学期望是 ．15．已知点P 是椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 的一个交点，21,F F 是椭圆的左右焦点，则=∠21cos PF F ．16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若kx x f -)(有三个零点，则k 的取值范围为 ．17．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点D C ,OB OA ,上，且.BD OC =若1=OA ，120AOB ︒∠=，则的取值范围是 ．三、解答题（本题共5题，共72分；要求写出详细的演算或推理过程）18．（本题满分14分）已知函数()x x x x f cos cos sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在△ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，S 为△ABC 的面积. 若21)(=A f ，32=a ，=S 32，求c b ,. 俯视图 （第12题） （第17题）419．（本题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足：1,2121==a a ，)2(4111≥-=-+n a a a n n n ；nn n b a 2=（*N n ∈）.（Ⅰ）计算321,,b b b ，并求数列{}n b ，}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对于任意的3>n ，都有12345n a a a a a a ++>+++．20．（本题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，CB CA CP ,, 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平面α∥BC ，且α分别交PC PB ,于N M ,，交AC AB ,的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：⊥EF 平面PAC ；（Ⅱ）若BE AB 2=，求二面角N DM P --的余弦值.21.（本题满分15分）如图，在y 轴右侧的动圆⊙P 与⊙1O ：1)1(22=+-y x 外切，并与y 轴相切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹Γ的方程； （Ⅱ）过点P 作⊙2O ：1)1(22=++y x 的两条切线，分别交y 轴于B A ,两点，设AB 中点为()m M ,0.求m 的取值范围.22.（本题满分15分） 已知函数.)1ln()(xx x f +=（Ⅰ）证明：若,1≥x 则 ()ln 2f x ≤；（Ⅱ）如果对于任意,0>x px x f +>1)(恒成立，求p 的最大值.第20题1台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题 数 学（理）答题卷 2012.01一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填入下表内）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．________________________ 12．________________________ 13．14．________________________ 15． 16． 17． 三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）2请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效3请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效45台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题理科数学答案及评分标准一、 选择题 DBABD CBCAD 二、 填空题 11．6π 12．316 {}13.10nb 为等比数列14. ２ 15．13- 16．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 17． 31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦说明：第11题可填)(6N k k ∈+ππ中的任何一个值；第13题的数列可以填{}n b a )1,0(≠>a a 中的任意一个.三、 解答题18题 （Ⅰ）()x x x x f cos cos sin 3)(-=22cos 12sin 23x x +-=212cos 212sin 23--=x x 即=)(x f 21)62sin(--πx ，…………………………………………………………………4分 所以，)(x f 的最小正周期为π，最大值为.21………………………………………………6分（Ⅱ）由21)(=A f 得1)62sin(=-πA ，又,0π<<A 3π=A ， ………8分由32=a ，=S 32利用余弦定理及面积公式得(2222cos ,31sin 23b c bc bc ππ⎧+-⋅=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………12分 解之得2,4==c b 或.4,2==c b …………………………………………………………14分 19题（Ⅰ）.7,4,1321===b b b …………………………………………………………3分 将n n n b a ⋅=21，11121+++⋅=n n n b a ，11121---⋅=n n n b a 代入1141-+-=n nn a a a 中化简得： n n n b b b 211=++-可见，数列{}n b 是等差数列． …………………………………………5分由4,121==b b 知其公差为3，故.23-=n b n …………………………………………………………………………………6分nn n n n a n a 223232-=⇒-=． …………………………………………………………7分6（Ⅱ）设数列}{n a 的前n 项和为.n S 则nn n S 22327242132-++++=， 132223253242121+-+-+++=n n n n n S ，……………………………9分 相减可得：23111113333222222231[1()]13242.2212n n n n n n S n +-+-=++++---=+-- nn n S 2434+-=，………………………………………………………………………12分可见，对于任意的*N n ∈，总有.4<n S 但2819321>=++a a a ，故当3>n 时 .232154a a a a a a n ++<<+++ ……………………………………………………14分20题（Ⅰ）证明：由AC BC PC BC ⊥⊥,可知： ⊥BC 平PAC ；…………………………3分 又因为平面α∥BC ，平面AEF 过BC 且与平面α交于EF ，所以EF ∥BC ．……6分 故⊥EF 平面PAC ． ……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）以CP CB CA ,, 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，并设2=BC .则)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)2,0,0(P ;设平面PAB 的法向量),,(1111z y x n =， 由01=⋅PA n ，01=⋅PB n 可求得)1,1,1(1=n ，……………………………………………10分 )1,0,1(D ,)0,3,1(-E ,).0,0,1(-F设平面DEF 的法向量),,(2z y x n =，由02=⋅DE n ，02=⋅FE n 可得)2,0,1(2-=n ，……………………………13分 .1515==二面角N DM P --的余弦值为.1515…………………………………………14分7注：几何解法相应给分. 21题（Ⅰ）由题意，点P 到点)0,1(的距离等于它到直线1-=x 的距离，故Γ是抛物线，方程为x y 42=(0≠x )．………………………………………………………………………5分注：由1)1(22+=+-x y x 化简同样给分；不写0≠x 不扣分.（Ⅱ）设),4(2t t P （0≠t ），切线斜率为k , 则切线方程为)4(2t x k t y -=-，即042=-+-kt t y kx ．…………………………6分由题意，1)1(22=++y x 的圆心)0,1(-到切线的距离11422=+-+-kkt t k ，……………………………………………………………………8分两边平方并整理得：01)4(8)8(22222=-++-+t k t t k t t ．……………………9分该方程的两根21,k k 就是两条切线的斜率，由韦达定理：)8()4(822221++=+t t t t k k ． ①……………………………………………………………………………………………11分另一方面，在)4(21t x k t y -=-，)4(22t x k t y -=-中令0=x 可得B A ,两点的纵坐标1214k t t y -=，2224k t t y -=，故)(8221221k k t t y y m +-=+=， ② ……………………………………………………………………………………………13分 将①代入②，得842+=t tm tt 4+= ，………………………………………………14分故m 的取值范围是.0,2222≠≤≤-m m ……………………………………15分822题（Ⅰ）函数x x x f )1ln()(+=的导函数为2/)1ln(1)(xx x xx f +-+=， …………1分在[)+∞,0上考虑函数)1ln(1)(x x x x g +-+=，由011)1(1)(2/≤+-+=xx x g ， 可知)(x g 单调递减，结合0)0(=g ，当0>x 时，)(x g 0<，所以，0)(/<x f ，xx x f )1ln()(+=在()+∞,0单调递减 ．…………………………………………………3分 2ln )1(=f ，∴若,1≥x 则 .2ln )(≤x f …………………………………………………………………5分（Ⅱ） 要使得对任意,0>x px x f +>1)(即px xx +>+1)1ln(恒成立，首先由熟知的不等式x x <+)1ln(知0<p …………………………………………………………………7分 令2)1ln()(px x x x h --+=，则只要0)(>x h 恒成立．………………………………8分 以下在[)+∞,0上考虑)(x h .xpp x px px xx h +++-=--+=1)212(22111)(/．………………………………………10分这里0<p ，故若012>+p ，则在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-p p 212,0内，0)(/<x h ，)(x h 单调递减，但,0)0(=h 所以在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-p p 212,0内，0)(<x h ，这与题意不符；…………………12分 反之，若012≤+p ，则当0>x 时恒有0)(/>x h ，)(x h 单调递增，但,0)0(=h 所以对任意,0>x 0)(>x h ，也就是px xx +>+1)1ln(恒成立. …………………………………14分 综上所述，使得对任意,0>x px x f +>1)(恒成立的最大的.21-=p …………………15分9。
2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估2
单元质量评估二(第二章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于( )A ．{x |x >1}B ．ØC ．{y |y ≥1或y ≤－1}D ．{x |x ≥1}解析：可求得集合M ＝{x |－1<x <1}， 集合N ＝{g (x )|g (x )≥1}，则∁R M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，[来源:学|科|网Z|X|X|K] ∴∁R M ∩N ＝{x |x ≥1}，故选D. 答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于( )A.12 B.413 C ．－95D.2541解析：∵f (12)＝|12－1|－2＝－32，∴f (f (12))＝f (－32)＝11＋(－32)2＝413. 答案：B3．(2011·福建龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC.1eD ．e解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， 得f (x )＝ln x (x >0)，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x (x >0)，g (a )＝1⇒ln a ＝－1， ∴a ＝1e .答案：C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如下图，其中a ，b 为常数．则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由f (x )＝log a (x ＋b )为减函数可得0<a <1，y ＝log a (x ＋b )是由y ＝log a x 向左平移b 个单位得到的，且0<b <1，所以g (x )＝a x ＋b 的图象为减函数且是由y ＝a x 向上平移了b 个单位，故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：观察得f (x )在定义域内是增函数，而f (－x )＝ln(－x ＋x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，则f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b )，∴a ＝1－b ，即a ＋b ＝1.[来源:学&科&网][来源:学§科§网Z §X §X §K] 答案：C6．函数f (x )＝－(cos x )|lg|x ||的部分图象是( )解析：特殊值法，通过分离函数得 f 1(x )＝－cos x ，f 2(x )＝|lg|x ||， 由于f 2(x )＝|lg|x ||≥0，观察函数f 1(x )＝－cos x 的符号即可，由于x ∈(－π2，0)∪(0，π2)时，f 1(x )＝－cos x <0，[来源:] 可以得到正确结果． 答案：C7．(2011·皖南八校联考)已知二次函数f (x )的图象如下图所示，则其导函数f ′(x )的图象的大致形状是( )解析：由函数f (x )的图象知：当x ∈(－∞，1]时，f (x )为减函数，∴f ′(x )≤0；当x ∈[1，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f ′(x )≥0.结合选项知选C.答案：C8．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(2)等于( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．3e 2D ．2ln2解析：∵f (x )＝x e x ，∴f ′(x )＝e x ＋x e x . ∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2.故选C. 答案：C9．函数f (x )＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a <1 B ．a <13C ．a <0D ．a ≤0 解析：f ′(x )＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤13x 2在(－∞，＋∞)上恒成立，而13x 2>0，∴a ≤0.故选D. 答案：D10．将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是( )A ．2sin xB ．cos x[来源:学科网]C ．sin xD ．2cos x解析：y ＝1－2sin 2x ＝cos2x ，向右平移π4个单位得cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin2x ＝2cos x ·sin x ，故f ′(x )＝2cos x ，∴f (x )＝2sin x ，故选A.答案：A11．(2010·湖北调研)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件： ①f (x )＝a x g (x )(a >0，a ≠1)； ②g (x )≠0；③f (x )g ′(x )>f ′(x )g (x )． 若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于( ) A.54 B.12 C ．2D ．2或12解析：记h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，则有h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，即a x ln a <0，故ln a <0,0<a <1. 由已知得h (1)＋h (－1)＝52，即a ＋a －1＝52，a 2－52a ＋1＝0，故a ＝12或a ＝2，又0<a <1，因此a ＝12，选B.答案：B12．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)[来源:学#科#网Z#X#X#K]解析：设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论： ①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－12，0)上恒成立，∴a ≥34，∴34≤a <1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－12，0)上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解，综上，可知34≤a <1，故选B.[来源:学科网ZXXK]答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的值域为R ，则函数g (x )＝x 2＋ax ＋1的值域为________． 解析：要使f (x )的值域为R ，必有a ＝0，于是g (x )＝x 2＋1，值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)14．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (12)＝________.解析：设f (x )＝x α，则有4α2α＝3，解得2α＝3，α＝log 23，∴f (12)＝(12)log 23＝2－log 23＝13.答案：1315．(2011·济南模拟)已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ，则(x －1ax )6的展开式中的常数项为________．解析：a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ＝(sin t －cos t )| π＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0)＝2，所以(x －1ax )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－12x )r ＝(－1)r 2－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，故常数项为(－1)32－3C 36＝－52. 答案：－5216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，－2≤x <0g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．解析：由于f (x )为奇函数，当－2≤x <0时，f (x )＝2x 有最小值为f (－2)＝2－2＝14，故当0<x ≤2时，f (x )＝g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)有最大值为f (2)＝－14，而当0<x ≤2时，y ＝log 5(x ＋5＋x 2)为增函数，考虑到g (x )＝f (x )＋log 5(x ＋5＋x 2)，结合当0<x ≤2时，f (x )与y ＝log 5(x ＋5＋x 2)在x ＝2时同时取到最大值，故[g (x )]max ＝f (2)＋log 5(2＋5＋22)＝－14＋1＝34.答案：34三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围． 解：(1)由题图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2， 整理得f (x )＝－2x 2＋4x .由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．(2)由(1)得y ＝g (f (x ))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．由t ＝0得x ＝2±62，又t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为1<m <2＋62.18．(12分)已知关于x 的方程9x ＋m ·3x ＋6＝0(其中m ∈R )． (1)若m ＝－5，求方程的解；(2)若方程没有实数根，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－5时，方程即为9x －5·3x ＋6＝0， 令3x ＝t (t >0)，方程可转化为t 2－5t ＋6＝0， 解得t ＝2或t ＝3，由3x ＝2得x ＝log 32，由3x ＝3得x ＝1， 故原方程的解为1，log 32. (2)令3x ＝t (t >0)．方程可转化为t 2＋mt ＋6＝0①要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根． 当方程①没有实数根时，需Δ＝m 2－24<0， 解得－26<m <26；当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24≥0，－m <0，解得m ≥2 6.综上，实数m 的取值范围为m >－2 6.19．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )， 令a ＝－b ，得f (0)＝f (a )＋f (－a )；令a ＝b ＝0，得f (0)＝2f (0)，[来源:Z&xx&] ∴f (0)＝0.∴f (a )＋f (－a )＝0(a ∈R )． ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (2)解：设x 1<x 2，x 1、x 2∈Rf (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )在R 上是单调递减的．∴f (x )在[－3,3]上的最大值是f (－3)，最小值是f (3)． ∵f (1)＝－2，∴f (2)＝f (1)＋f (1)＝－4， f (3)＝f (2)＋f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.20．(12分)(2010·济南模拟)已知函数f (x )＝ln (1＋x )x .(1)确定y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)设h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值，求a 的取值范围． 解：(1)由题知f ′(x )＝xx ＋1－ln (1＋x )x 2，设g (x )＝xx ＋1－ln(1＋x )(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0在(0，＋∞)上恒成立，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴g (x )<g (0)＝0，∴f ′(x )<0. 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)由h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3可得，h ′(x )＝1x ＋1－1－3ax 2＝－x (3ax 2＋3ax ＋1)x ＋1，若a ≥0，对任意x ∈(0,2)，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,2)上单调递减，则f (x )在(0,2)上无极值．若a <0，h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x )＝3ax 2＋3ax ＋1在(0,2)上有零点，又φ(x )在(－12，＋∞)上单调，∴φ(0)·φ(2)<0，解得a <－118.综上，a 的取值范围是(－∞，－118)．21．(12分)(2011·东北三校二模)已知f (x )＝x 2ln(ax )(a >0)． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝ea 处的切线斜率为3e ，求a 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝2x ln(ax )＋x 2·aax ＝x [2ln(ax )＋1]，∴3e ＝f ′(e a )＝e a [2ln(a ·ea )＋1]，∴a ＝1.(2)由题知x >0，f ′(x )＝x [2ln(ax )＋1]， 令f ′(x )＝0，则2ln(ax )＋1＝0，得x ＝1a e，①当a ≥1时，1a e ≤1e .当x ∈[1e，e]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在[1e，e]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1e )＝1e ln a e ＝1e(ln a －12)；[来源:学科网]②当1e <a <1时，1e <1a e < e.当x ∈[1e ，1a e)时，f ′(x )<0； 当x ∈[1a e ，e]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1e ，1a e ]上是减函数，在[1a e，e]上为增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1a e )＝1a 2e ln 1e ＝－12a 2e ；③当0<a ≤1e 时，1a e ≥ e.当x ∈[1e，e]时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[1e，e]上是减函数， ∴[f (x )]min ＝f (e)＝eln a e ＝e(ln a ＋12)．22．(12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．[来源:学&科&网Z&X&X&K]解：(1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.列表讨论f (x )，f ′(x )的变化情况：(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称．若14<a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45.所以a ∈(14，1]∩[－13，1]∩[0，45]，即a ∈(14，45]．若a >1，则|f ′(a )|＝12a 2>12a .故当x ∈[1,4a ]时|f ′(x )|≤12a 不恒成立．所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是(14，45]．。
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
高考数学一轮复习 第六章 第5讲 数列的综合应用配套课件 理 新人教A版
考点自测
1．若数列{an}为等比数列，则下面四个命题：
①{a2n}是等比数列； ②{a2n}是等比数列； ③a1n是等比数列； ④{lg|an|}是等比数列．其中正确的个数是________．
答案 3
2．(2012·南京一模)若数列{an}满足：lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)， a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为________．
答案 (－∞，7]
5．(2012·盐城第一学期摸底考试)设等差数列{an}满足：公差 d∈N*，an∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的 一项．若a1＝35，则d的所有可能取值之和为________．
解析 由题意知，an＝35＋(n－1)d.对数列{an}中的任意两 项ar，as其和为ar＋as＝35＋35＋(r＋s－2)d，设at＝35＋(t －1)d，则35＋(r＋s－2)d＝(t－1)d，即35＝(t－r－s＋1)d. 因为r，s，t，d∈N*，所以35是d的整数倍，即d所有可能 取值为1,3,9,27,81,243，和为364. 答案 364
∴{an}是以 a4 为首项，a2 为公比的等比数列．
(2)解 bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2. 当 a＝ 2时，bn＝(2n＋2)( 2)2n＋2＝(n＋1)2n＋2. Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，① 2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，② ①－②得 －Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2411－－22n－1－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3. ∴Sn＝n·2n＋3.
2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估4
单元质量评估四(第四章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则x 等于( ) A ．9 B ．1 C ．－9D ．－1解析：设a ＝λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝xλ1＝－3λ，解得x ＝－9.故选C.答案：C2．若非零不共线向量a 、b 满足|a －b |＝|b |，则下列结论正确的个数是( ) ①向量a 、b 的夹角恒为锐角； ②2|b |2>a·b ； ③|2b |>|a －2b |； ④|2a |<|2a －b |. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为非零向量a 、b 满足|a －b |＝|b |，所以由向量a 、b 、a －b 组成的三角形是等腰三角形，且向量a 是底边，所以向量a 、b 的夹角恒为锐角，①正确；②：2|b |2>a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉⇒2|b |>|a |cos 〈a ，b 〉，而|b |＋|a －b |＝2|b |>|a |>|a |cos 〈a ，b 〉，所以②正确；③：|2b |>|a －2b |⇒4|b |2>|a －2b |2＝|a |2－4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2⇒4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉>|a |2⇒4·|b |cos 〈a ，b 〉>|a |，而2|b |cos 〈a ，b 〉＝|a |，所以4|b |cos 〈a ，b 〉>|a |，③正确；④：|2a |<|2a －b |⇒4|a |cos 〈a ，b 〉<|b |，而4|a |cos 〈a ，b 〉<|b |不一定成立，所以④不正确．故选C.答案：C3．已知向量a 、b 的夹角为60°，|a |＝3，|b |＝2，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值是( ) A.3223 B.2342 C.2942D.4229解析：∵(3a ＋5b )⊥(m a －b ) ∴(3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2－5b 2＋(5m －3)a ·b ＝0，∴27m －20＋(5m －3)×3×2cos60°＝0，解得m ＝2942.答案：C4．(2011·广东六校联考)如右图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →解析：排除法．如题图，AC →＝AB →＋AD →，故A 正确． 而BD →＝AD →－AB →，故B 正确．AO →＝12AC →＝12(AD →＋AB →)＝12AB →＋12AD →，故C 正确，所以选D.答案：D5．(2010·绵阳二诊)在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，M 是斜边BC 的中点，则向量AM →在向量BC →方向上的投影是( )A ．1B ．－1 C.355D ．－355解析：依题意得AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝－6，|BC →|＝42＋22＝25，向量AM →在向量BC →方向上的投影等于AM →·BC →|BC →|＝－625＝－355.选D.答案：D6．(2010·广州测试)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B. 3 C ．3D ．9解析：|a ＋b |＝(sin x ＋1)2＋(cos x ＋3)2 ＝5＋2sin x ＋23cos x ≤5＋22＋(23)2＝3. 答案：C7．(2010·福建质检)i 为虚数单位，若a1－i ＝1＋i i ，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i解析：由a 1－i ＝1＋i i 得a ＝1＋i i (1－i)＝2i ＝－2i.答案：C8．(2011·皖南八校联考)若z ＝y ＋3i1＋x i (x ，y ∈R ，i 为虚数单位)是实数，则实数xy 的值为( )[来源:学科网]A ．3B ．－3C ．0 D. 3解析：∵z ＝y ＋3i 1＋x i ＝(y ＋3i )(1－x i )(1＋x i )(1－x i )＝(y ＋3x )＋(3－xy )i 1＋x 2为实数，∴3－xy1＋x 2＝0，∴xy ＝3，故选A.答案：A[来源:学科网ZXXK]9．(2011·惠州调研)在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：因为π2<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z ＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．答案：B10．(2010·安徽联考)已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且AP →＝13AB →＋tAC →，其中t 为实数．若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是( )A ．0<t <14 B ．0<t <13C ．0<t <12D ．0<t <23解析：如右图，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点， 由AP →＝13AB →＋tAC →可知，P 点落在EF 上，而EF →＝23AC →，∴点P 在E 点时，t ＝0，[来源:Z,xx,]点P 在F 点时，t ＝23.[来源:学科网]而P 在△ABC 的内部，∴0<t <23.答案：D11．(2011·皖南八校联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，若O 为△ABC 内部的一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →·BC →＝( )A.12 B.25 C.13D.14解析：由题易知O 为△ABC 的重心，取BC 的中点D ， ∴AO →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝13(AB →＋AC →)(AC →－AB →)＝13(AC →2－AB →2)＝13. 答案：C12．(2010·重庆一诊)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”，若向量a 、b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．a ⊥(a －b )C ．b ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：依题意得|a －t b |≥|a －b |， 即(a －t b )2≥(a －b )2，亦即t 2－2t a·b ＋(2a·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立， 因此有Δ＝(2a·b )2－4(2a·b －1)≤0， 即(a·b －1)2≤0，故a·b －1＝0，即a·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C. 答案：C[来源:学科网]二、填空题(每小题5分，共20分)13．(2010·南京调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________解析：因为z 1·z 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 答案：－114．在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．解析：解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，得P A →＋PB →＋PC →－AB →＝0，即P A →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，得P A →＋P A →＋PC →＝0，即2P A →＝CP →，所以点P 是CA 边上的第二个三等分点，故S △PBC S △ABC ＝23.答案：2:315．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设AB →和AC →的夹角为θ，则θ的取值范围是________．解析：由题意可知：12|AB →||AC →|sin θ＝3，∴|AB →||AC →|＝6sin θ.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos θ＝6cos θsin θ.∵0≤AB →·AC →≤6,0<θ<π，∴0≤6cos θsin θ≤6，∴0≤cos θ≤sin θ，∴θ∈[π4，π2]．答案：[π4，π2]16．(2011·广东茂名一模)O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，若λ＝12时，P A →·(PB →＋PC →)的值为________．解析：由已知得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)，当λ＝12时，得AP →＝12(AB →＋AC →)，∴2AP →＝AB →＋AC →，即AP →－AB →＝AC →－AP →，∴BP →＝PC →， ∴PB →＋PC →＝PB →＋BP →＝0， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0，故填0. 答案：0[来源:Z 。
fx所以fx为偶函数fx所以对任...
2012高考数学一轮复习导学教案全集2012届高三理科数学一轮总复习教案全集(配套教材:新课标人教A版)第一章集合与常用逻辑用语第二章函数第三章导数及其应用第四章平面向量第五章三角函数第六章数列第七章不等式第八章直线和圆的方程第九章圆锥曲线与方程第十章立体几何第十一章算法初步第十二章排列组合、二项式定理、概率第十三章统计案例第十四章推理与证明第十五章复数第十六章几何证明选讲第十七章坐标系与参数方程第十八章不等式选讲第十九章优选法第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求重难点击命题展望1.集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的属于关系;2能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;2在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;2理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;3能使用韦恩Venn图表达集合的关系及运算.4.命题及其关系1理解命题的概念;2了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题,否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3理解必要条件,充分条件与充要条件的意义.5.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.6.全称量词与存在量词1理解全称量词与存在量词的意义;2能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 本章重点:1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算;2.命题的必要条件、充分条件与充要条件,对所给命题进行等价转化.本章难点:1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换;2.充分条件、必要条件的判断;3.对含有一个量词的命题进行否定的理解. 1.考查集合本身的基础知识,如集合的概念,集合间的关系判断和运算等;2.将集合知识与其他知识点综合,考查集合语言与集合思想的运用;3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件,要求考生会对所给命题进行等价转化;4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一集合中元素的性质【例1】设集合A=a+1,a-3,2a-1,a2+1,若-3∈A,求实数a的值.【解析】令a+1=-3?a=-4,检验合格;令a-3=-3?a=0,此时a+1=a2+1,舍去;令2a-1=-3?a=-1,检验合格;而a2+1≠-3;故所求a的值为-1或-4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定-3是集合A的元素,但A中四个元素全是未知的,所以需要讨论;而当每一种情况求出a的值以后,又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.【变式训练1】若a、b∈R,集合1,a+b,a=0,,b,求a和b的值.【解析】由1,a+b,a=0,,b,得①或②显然①无解;由②得a=-1,b=1.题型二集合的基本运算【例2】已知A=x|x2-8x+15=0,B=x|ax-1=0,若B?A,求实数a.【解析】由已知得A=3,5.当a=0时,B=??A;当a≠0时,B=.要使B?A,则=3或=5,即a=或.综上,a=0或或.【点拨】对方程ax=1,两边除以x的系数a,能不能除,导致B是否为空集,是本题分类讨论的根源.【变式训练2】2010江西若集合A=x||x|≤1,x∈R,B=y|y=x2,x∈R,则A∩B 等于A.x|-1≤x≤1B.x|x≥0C.x|0≤x≤1D.【解析】选C.A=[-1,1],B=[0,+∞,所以A∩B=[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A=[2,log2t],集合B=x|x2-14x+24≤0,x,t∈R,且A?B.1对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为b-a,若A的区间“长度”为3,试求t的值;2某个函数fx的值域是B,且fx∈A的概率不小于0.6,试确定t的取值范围.【解析】1因为A的区间“长度”为3,所以log2t-2=3,即log2t=5,所以t=32.2由x2-14x+24≤0,得2≤x≤12,所以B=[2,12],所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y,因为fx∈A的概率不小于0.6,所以≥0.6,所以y≥6,即log2t-2≥6,解得t≥28=256.又A?B,所以log2t≤12,即t≤212=4 096,所以t的取值范围为[256,4 096]或[28, 212].【变式训练3】设全集U是实数集R,M=x|x2>4,N=x|≥1,则图中阴影部分所表示的集合是A.x|-2≤x<1B.x|-2≤x≤2C.x|1<x≤2D.x|x<2【解析】选C.化简得M=x<-2或x>2,N=x|1<x≤3,故图中阴影部分为?RM∩N=x|1<x≤2.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈,?和?,?的使用,实质上就是准确把握两者之间是元素与集合,还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征,准确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想1要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.2学会将集合语言转化为代数、几何语言,借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化,以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时,是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容,如A?B,A ∩B=A,A∪B=B等条件中,集合A可以是空集,也可以是非空集合,通常必须分类讨论.命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.1若m,n都是奇数,则m+n是奇数;2若x+y=5,则x=3且y=2.【解析】1逆命题:若m+n是奇数,则m,n都是奇数,假命题;否命题:若m,n不都是奇数,则m+n不是奇数,假命题;逆否命题:若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数,假命题.2逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,真命题;否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,真命题;逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,假命题.【点拨】写命题的四种形式,关键是找出命题的条件与结论,根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p,则q”为真,则下列命题中一定为真的是A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解析】选 B.题型二充分必要条件探究【例2】设m>0,且为常数,已知条件p:|x-2|<m,条件q:|x2-4|<1,若p是q 的必要非充分条件,求实数m的取值范围.【解析】设集合A=x||x-2|<m=x|2-m<x<2+m,B=x||x2-4|<1=x|<x<或-<x<-.由题设有:q?p且p不能推出q,所以p?q且q不能推出p,所以A?B.因为m>0,所以2-m,2+m?,,故由2+m≤且2-m≥?0<m≤-2,故实数m的取值范围为0,-2].【点拨】正确化简条件p和q,然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题,借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合A=x|a-2<x<a+2,B=x|x≤-2或x≥4,则A∩B=?的充要条件是A.0≤a≤2B.-2<a<2C.0<a≤2D.0<a<2【解析】选A.因为A=x|a-2<x<a+2,B=x|x≤-2或x≥4,且A∩B=?,所以如图,由画出的数轴可知,即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列an的各项都不为零,求证:对任意n∈N*且n≥2,都有++…+=成立的充要条件是an为等差数列.【证明】1充分性若an为等差数列,设其公差为d,则++…+=[-+-+…+-]=-==.2必要性若++…+=,则++…++=,两式相减得=- ?a1=nan-n-1an+1.①于是有a1=n+1an+1-nan+2,②由①②得nan-2nan+1+nan+2=0,所以an+1-an=an+2-an+1n≥2.又由+=?a3-a2=a2-a1,所以n∈N*,2an+1=an+2+an,故an为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念,分别从充分性和必要性两方面进行探求.【变式训练3】设0<x<,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.若xsin x<1,因为x∈0,,所以xsin x>xsin2x,由此可得xsin2x<1,即必要性成立.若xsin2x<1,由于函数fx=xsin2x在0,上单调递增,且sin2=>1,所以存在x0∈0,使得x0sin2x0=1.又x0sin x0>x0sin2x0=1,即x0sinx0>1,所以存在x0′∈0,x0使得x0′sin2x0′<1,且x0′sin x0′≥1,故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别,主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的,所以我们在证明一个命题的真假时,可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有:①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等;②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等;③原命题分类复杂,而逆否命题分类简单;④原命题化简复杂,而逆否命题化简简单.3.p是q的充分条件,即p?q,相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q 之间有包含关系:P?Q,即PQ或P=Q,必要条件正好相反.而充要条件p?q就相当于P=Q.4.以下四种说法表达的意义是相同的:①命题“若p,则q”为真;②p?q;③p 是q的充分条件;④q是p的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一全称命题和特称命题的真假判断【例1】判断下列命题的真假.1?x∈R,都有x2-x+1>;2?α,β使cosα-β=cos α-cos β;3?x,y∈N,都有x-y∈N;4?x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.【解析】1真命题,因为x2-x+1=x-2+≥>.2真命题,例如α=,β=,符合题意.3假命题,例如x=1,y=5,但x-y=-4?N.4真命题,例如x0=0,y0=3,符合题意.【点拨】全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立,若是假命题,举反例即可;特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p:?x∈R,使tan x=1,命题q:?x∈R,x2>0.则下面结论正确的是A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧q”是假命题C.命题“p∨q”是真命题D.命题“p∧q”是假命题【解析】选D.先判断命题p和q的真假,再逐个判断.容易知命题p是真命题,如x=,p是假命题;因为当x=0时,x2=0,所以命题q是假命题,q是真命题.所以“p∧q”是假命题,A错误;“p∧q”是真命题,B错误;“p∨q”是假命题,C错误;“p∧q”是假命题,D正确.题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定,并判断其真假.1p:?x∈R,x2-x+≥0;2q:所有的正方形都是矩形;3r:?x∈R,x2+2x+2≤0;4s:至少有一个实数x,使x3+1=0.【解析】1 p:?x∈R,x2-x+<0,是假命题.2 q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.3 r:?x∈R,x2+2x+2>0,是真命题.4 s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题,一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p:?x∈1,+∞,log3x>0,则p为 .【解析】?x0∈1,+∞,log3x0≤0.题型三命题的真假运用【例3】若rx:sin x+cos x>m,sx:x2+mx+1>0,如果“对任意的x∈R,rx为假命题”且“对任意的x∈R,sx为真命题”,求实数m的取值范围.【解析】因为由m<sin x+cos x=sinx+恒成立,得m<-;而由x2+mx+1>0恒成立,得m2-4<0,即-2<m<2依题意,rx为假命题且sx为真命题,所以有m≥-且-2<m<2,故所求m的取值范围为-≤m<2.【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出,然后由rx为假命题取A的补集,sx为真命题同时成立取交集即得.【变式训练3】设M是由满足下列性质的函数fx构成的集合:在定义域内存在x0,使得fx0+1=fx0+f1成立.已知下列函数:①fx=;②fx=2x;③fx=lgx2+2;④fx=cos πx,其中属于集合M的函数是写出所有满足要求的函数的序号.【解析】②④.对于①,方程=+1,显然无实数解;对于②,由方程2x+1=2x+2,解得x=1;对于③,方程lg[x+12+2]=lgx2+2+lg 3,显然也无实数解;对于④,方程cos[πx+1]=cos πx+cos π,即cos πx=,显然存在x使等式成立.故填②④.总结提高1.同一个全称命题,特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定,一定要注意与否命题的区别:全称命题的否定,先要将它变成特称命题,然后将结论加以否定;反过来,对特称命题的否定,先将它变成全称命题,然后对结论加以否定.而命题的否命题,则是将原命题中的条件否定当条件,结论否定当结论构成一个新的,即否命题.第二章函数高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际生活中,会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法、列表法、解析法表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax a>0且a≠1互为反函数.11.了解幂函数的概念,结合函数y=x, y=x2, y=x3 ,y=, y=的图象,了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程的根的联系,判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象,能够用二分法求相应方程的近似解.14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征;知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点: 1.函数的概念及其三要素;2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义;3.函数的最大小值;4.指数函数与对数函数的概念和性质;5.函数的图象及其变换;6.函数的零点与方程的根之间的关系;7.函数模型的建立及其应用.本章难点:1.函数概念的理解;2.函数单调性的判断;3.函数图象的变换及其应用;4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用;5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系;6.函数模型的建立及求解. 高考对函数的考查,常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质,解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用,而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查,并渗透数学思想方法,突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络函数的概念及表示法典例精析题型一求函数的解析式【例1】 1已知fx+1=x2+x+1,求f x的表达式;2已知fx+2f-x=3x2+5x+3,求f x的表达式.【解析】1设x+1=t,则x=t-1,代入得f x=t-12+t-1+1=t2-t+1,所以f x=x2-x+1.2由f x+2f -x=3x2+5x+3,x换成-x,得f -x+2 f x=3x2-5x+3,解得f x=x2-5x+1.【点拨】已知fx,gx,求复合函数f[gx]的解析式,直接把fx中的x换成gx 即可,已知f[gx],求f x的解析式,常常是设gx=t,或者在f[gx]中凑出gx,再把gx换成x.【变式训练1】已知f =,求f x的解析式.【解析】设=t,则x=,所以f t==,所以f x=x≠-1.题型二求函数的定义域【例2】1求函数y=的定义域;2已知fx的定义域为[-2,4],求fx2-3x的定义域.【解析】1要使函数有意义,则只需要即解得-3<x<0或2<x<3,故所求的定义域为-3,0∪2,3.2依题意,只需-2≤x2-3x≤4,解得-1≤x≤1或2≤x≤4,故fx2-3x的定义域为[-1,1]∪[2,4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,往往列不等式组求解.对于抽象函数f[gx]的定义域要把gx当作fx中的x来对待.【变式训练2】已知函数f 2x的定义域为[-1,1],求flog2x的定义域.【解析】因为y=f2x的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1时2-1≤2x≤21,所以y=fx的定义域为[,2].令≤log2x≤2,所以≤x≤22=4,故所求y=flog2x的定义域为[,4].题型三由实际问题给出的函数【例3】用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架如图,若矩形底部长为2x,求此框围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.【解析】由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,而矩形的长AB=2x,设宽为a,则有2x+2a+πx=l,即a=-x-x,半圆的半径为x,所以y=+-x-x?2x=-2+x2+lx.由实际意义知-x-x>0,因x>0,解得0<x<.即函数y=-2+x2+lx的定义域是x|0<x<.【点拨】求由实际问题确定的定义域时,除考虑函数的解析式有意义外,还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R,但实际问题的意义是矩形的边长为正数,而边长是用变量x表示的,这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,记y=fx,则y=fx的图象是【解析】由题意得y=2≤x≤10,选A.题型四分段函数【例4】已知函数fx=1求f1+f-1的值;2若fa=1,求a的值;3若fx>2,求x的取值范围.【解析】1由题意,得f1=2,f-1=2,所以f1+f-1=4.2当a<0时,fa=a+3=1,解得a=-2;当a≥0时,fa=a2+1=1,解得a=0. 所以a=-2或a=0.3当x<0时,fx=x+3>2,解得-1<x<0;当x≥0时,fx=x2+1>2,解得x>1.所以x的取值范围是-1<x<0或x>1.【点拨】分段函数中,x在不同的范围内取值时,其对应的函数关系式不同.因此,分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】2010全国新课标已知函数fx=若a,b,c互不相等,且fa=fb=fc,则abc的取值范围是A.1,10B.5,6C.10,12D.20,24【解析】不妨设a<b<c,由fa=fb=fc及fx图象知<a<1<b<10<c<12,所以-lg a=lg b=-c+6,所以ab=1,所以abc的范围为10,12,故选C.总结提高1.在函数三要素中,定义域是灵魂,对应法则是核心,因为值域由定义域和对应法则确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数,而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上,解析式不同,则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊,一般情况下,研究函数要求出函数的解析式,通过解析式来解题.求函数解析式的方法有:配方法、观察法、换元法和待定系数法等.2.2 函数的单调性典例精析题型一函数单调性的判断和证明【例1】讨论函数fx= a≠在-2,+∞上的单调性.【解析】设x1,x2为区间-2,+∞上的任意两个数且x1<x2,则fx1-fx2=-=,因为x1∈-2,+∞,x2∈-2,+∞,且x1<x2,所以x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0.所以当a<时,1-2a>0,fx1>fx2,函数fx在-2,+∞上为减函数;当a>时,1-2a<0,fx1<fx2,函数fx在-2,+∞上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性,必须注意x1,x2在给定区间内的任意性,另外本题可以利用导数来判断.【变式训练1】已知函数fx满足fπ+x=fπ-x,且当x∈0,π时,fx=x+cos x,则f2,f3,f4的大小关系是A. f 2<f 3<f 4B. f 2<f 4<f 3C. f 4<f 3<f 2D. f 3<f 4<f 2【解析】B.题型二函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间.1y=|x-1|;2y=x2+2|x-1|;3y=.【解析】1y=|x-1|=所以此函数的单调递增区间是1,+∞,单调递减区间是-∞,1.2y=x2+2|x-1|=所以此函数的单调递增区间是1,+∞,单调递减区间是-∞,1.3由于t=-x2+4x-3的单调递增区间是-∞,2,单调递减区间是2,+∞,又底数大于1,所以此函数的单调递增区间是-∞,2,单调递减区间是2,+∞.【点拨】函数的单调区间,往往需要借助函数图象和有关结论,才能求解出.【变式训练2】在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下:当a≥b时,ab=a;当a<b时,ab=b2.则函数f x=1xx-2x,x∈[-2,2]的最大值是A.-1B.6C.1D.12【解析】B.题型三函数单调性的应用【例3】已知函数fx的定义域为[-1,1],且对于任意的x1,x2∈[-1,1],当x1≠x2时,都有>0.1试判断函数fx在区间[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;2解不等式f5x-1<f6x2.【解析】1当x1,x2∈[-1,1],且x1<x2时,由>0,得fx1<fx2,所以函数fx在区间[-1,1]上是增函数.2因为fx在[-1,1]上是增函数.所以由f5x-1<f6x2知,所以0≤x<,所求不等式的解集为x|0≤x<.【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断,利用函数的单调性解题时,容易犯的错误是忽略函数的定义域.【变式训练3】已知函数y=fx是R上的偶函数,对于x∈R都有fx+6=fx+f3成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题:①f3=0;②直线x=-6是函数y=fx的图象的一条对称轴;③函数y=fx在[-9,-6]上为增函数;④函数y=fx在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为把所有正确命题的序号都填上.【解析】①②④.总结提高1.函数的单调区间是其定义域的子集,因此,讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.2.函数的单调性可以借助函数图象来研究,增函数的图象自左向右是上升曲线,减函数的图象自左向右是下降曲线.3.导数是解决函数单调性问题的有力工具.4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等,既是一种方法,也是一种技巧,应加强函数单调性的应用,提高解题技巧.5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性,它仅仅是函数的局部性质.2.3 函数的奇偶性典例精析题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性.1fx=;2fx=【解析】1由得定义域为-1,0∪0,1,这时fx==-,因为f-x=-=-=fx,所以fx为偶函数.2当x<0时,-x>0,则f-x=--x2-x=-x2+x=-fx,当x>0时,-x<0,则f-x=-x2-x=x2-x=-fx,所以对任意x∈-∞,0∪0,+∞都有f-x=-fx,故fx为奇函数.【点拨】判断函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域是否关于原点对称,再分析f-x与fx的关系,必要时可对函数的解析式进行化简变形.【变式训练1】2010广东若函数fx=3x+与gx=3x-的定义域均为R,则A. f x与gx均为偶函数B. f x为偶函数,gx为奇函数C. f x与gx均为奇函数D. f x为奇函数,gx为偶函数【解析】B.题型二由奇偶性的条件求函数的解析式【例2】若函数fx=是定义在-1,1上的奇函数,求fx的解析式.【解析】因为函数fx=是定义在-1,1上的奇函数,所以f0=0,从而得m=0. 又f+f-=0,解得n=0.所以fx=-1<x<1.【变式训练2】已知定义域为R的函数fx=是奇函数,求a,b的值.【解析】因为fx是奇函数,所以f0=0,即=0,解得b=1,所以fx=.又由f1=-f-1,所以=-,解得a=2. 故a=2,b=1.题型三函数奇偶性的应用【例3】设函数fx的定义域为R,对于任意实数x,y都有fx+y=fx+fy,当x>0时,fx>0且f2=6.1求证:函数fx为奇函数;2求证:函数fx在R上是增函数;3在区间[-4,4]上,求fx的最值.【解析】1证明:令x=y=0,得f0=f0+f0,所以f0=0,令y=-x,有f0=fx+f-x,所以f-x=-fx,所以函数fx为奇函数.2证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,则fx2-fx1=fx2+f-x1=fx2-x1,又x>0时,fx>0,所以fx2-fx1=fx2-x1>0,即fx2>fx1,所以函数fx在R上是增函数.3因为函数fx在R上是增函数,所以fx在区间[-4,4]上也是增函数,所以函数fx的最大值为f4,最小值为f-4,因为f2=6,所以f4=f2+f2=12,又fx为奇函数,所以f-4=-f4=-12,故函数fx在区间[-4,4]上的最大值为12,最小值为-12.【点拨】函数的最值问题,可先通过判断函数的奇偶性、单调性,再求区间上的最值.【变式训练3】定义在R上的函数fx满足fx=则f-1= ,f33= .【解析】4;-2.总结提高1.判定函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域是否关于原点对称,再看f-x与fx的关系,必要时可对函数解析式进行化简变形.2.判定函数的奇偶性时,有时可通过其等价形式:f-x±fx=0或=±1 fx≠0进行处理.3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题,要注意数形结合求解.2.4 二次函数典例精析题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y=fx的图象的对称轴方程为x=-2,在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为2,求fx的解析式.【解析】设fx=ax2+bx+c a≠0,由已知有解得a=,b=2,c=1,所以fx=x2+2x+1.【点拨】求二次函数的解析式,要根据已知条件选择恰当的形式,三种形式可以相互转化,若二次函数图象与x轴相交,则两点间的距离为|x1-x2|=.【变式训练1】已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点Ac,0,且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式是 .【解析】由已知x=c为它的一个根,故另一根为1.所以1+b+c=0,又-=2?b=-4,所以c=3.所以fx=x2-4x+3.题型二二次函数的最值【例2】已知二次函数fx的二次项系数为a,且不等式fx>-2x的解集为1,3.1若方程fx+6a=0有两个相等实根,求fx的解析式;2若fx的最大值为正数,求a的取值范围.【解析】1因为fx+2x>0的解集为1,3.所以fx=ax-1x-3-2x=ax2-2+4ax+3a.①由fx+6a=0?ax2-2+4ax+9a=0,②由②知,Δ=[-2+4a]2-4a×9a=0?5a2-4a-1=0,所以a=1或a=-.因为a<0,所以a=-,代入①得fx=-x2-x-.2由于fx=ax2-21+2ax+3a=ax-2-,又a<0,可得[fx]=-.由?a<-2-或-2+<a<0.【点拨】1利用Δ=0;2利用配方法.【变式训练2】已知二次函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3和最小值2,则m的取值范围是 .【解析】[1,2].题型三二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数fx=ax2+bx+c a≠0,x1<x2,fx1≠fx2,对于方程fx=[ fx1+fx2],求证:1方程在区间x1,x2内必有一解;2设方程在区间x1,x2内的根为m,若x1,m-,x2成等差数列,则-<m2.【证明】1令gx=fx-[ fx1+fx2],则gx1gx2=[ fx1-fx2] [ fx2-fx1]=- [ fx1-fx2]2<0,所以方程gx=0在区间x1,x2内必有一解.2依题意2m-1=x1+x2,即2m-x1-x2=1,又fm=[ fx1+fx2],即2am2+bm+c=ax+bx1+c+ax+bx2+c.整理得a2m2-x-x+b2m-x1-x2=0,a2m2-x-x+b=0,所以-=m2-<m2.【点拨】二次方程ax2+bx+c=0的根的分布问题,一般情况下,需要从三个方面考虑:①判别式;②区间端点对应二次函数的函数值的正负;③相应二次函数的对称轴x=-与区间的位置关系.【变式训练3】已知fx=x-ax-b-2a<b,α,β是fx=0的两根α<β,则实数α,β,a,b大小关系为A.α<a<b<βB.a<α<β<bC.a<α<b<βD.α<a<β<b【解析】A.总结提高1.二次函数的表达式有多种形式,形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素:①开口方向;②对称轴;③与坐标轴的交点.3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,相互渗透,解题时要注意三者的相互转化,重视用函数思想处理方程和不等式问题.2.5 指数与指数函数典例精析题型一指数及其运算【例1】计算:。
届高考数学一轮总复习 第5章 数列 第4节 数列求和课件 理 新人教版
[即时应用]
(2015·青岛一模)等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝15，a5＝9. (1)求数列{an}的通项公式；
解：设数列{an}的公差为 d，首项为 a1， 由题意得3aa1＋1＋46d＝ d＝9， 15， 解得ad1＝＝21.， 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
(2)设
2．若等比数列{an}满足 a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前 n 项和 Sn＝________.
解析：由题意 a2＋a5＝q(a1＋a4)，得 20＝q×10，故 q＝2， 代入 a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得 9a1＝10，即 a1＝190. 故 Sn＝19011－－22n＝190(2n－1)． 答案：190(2n－1)
＝3＋2n－2 1·3n＋1， 所以 Sn＝3＋2n－4 1·3n＋1.
考点四 裂项相消法求和 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和．
裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多 变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列 an 的 通项公式，达到求解目的．
推导方法：乘公比，错位相减法．
(3)一些常见的数列的前 n 项和：
nn＋1 ①1＋2＋3＋…＋n＝_____2____； ②2＋4＋6＋…＋2n＝ n(n＋1) ； ③1＋3＋5＋…＋2n－1＝ n2
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比
或可求和的数列组成的，Байду номын сангаас求和时可用分组求和法，分别求
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和 一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列 的前 n 项和即可用错位相减法求解．
人教A版高三数学理科一轮复习滚动检测试卷(五)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．(·河北衡水中学第二次调研考试)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，2 2 ]C ．[16，413]D ．[213，1]10．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.3411．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ； ②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)14．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．15．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且AA1⊥平面P AB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．20．(12分)(·保定调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．21．(12分)如图，P －AD －C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD ＝120°的菱形，AB ＝2，P A ⊥AD ，E 是CD 的中点，设PC 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)求证：平面P AE ⊥平面PCD ；(2)试问在线段AB (不包括端点)上是否存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°？若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．22．(12分)(·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9．D [t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是[213，1]．]10．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →.又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)，∴|A G →|＝13A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4.∵|A G →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.]12．A [如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域．因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 13．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值， 故⑤正确．14．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，如图所示． 则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE →＝(3，x ，－b )，DE →＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE →＝0， ∴9＋x (x －a )＝0， 即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根， ∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6. 15．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11x d x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)． (2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]． 18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0， ∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13， 综上所述，13≤T n ＜12. 19．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23， ∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1， 经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 －f (x )极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a＜0，所以a ＞1. 综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．21.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0， 令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13， 所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)． 而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22， 整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)，因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.22．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3， 因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3， 所以|CM →|≥3， 当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )， 因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1， 所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。
2012届高考数学一轮复习 1不等式和绝对值不等式课件 (文) 新人教A版选修4-5
)
C.(-4,0)
D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3,得 1<x+1<3或-3<x+1<-1,
∴0<x<2或-4<x<-2,
∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2). 答案:D
5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值 是( A.0 C.-1 ) B.1 D.2
(2)由不等式|2x+5|>7+x,
可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),
整理得x>2或x<-4. ∴原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.
(3)解法一:分别求|x-1|,|x+2|的零点,即1,-2.
由-2,1把数轴分成三部分:
x<-2,-2≤x≤1,x>1. 当x<-2时,原不等式为1-x-2-x<5. 解得-3<x<-2;
[反思感悟] 使用绝对值不等式的性质证明不等式时,常与放缩法结合在一起应用,利用放缩法时要目标明
确,通过添､拆项后,适当放缩.
错源
去绝对值不当致误
【典例】 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2. [剖析] 本题可以按照-,4把实数集分割成三个部分,去掉绝对值后转化为三个不等式组的解处理.可能出 现的错误就在这个去绝对值上,一个是分区时漏掉了端点值- ､ 4,另一个是在各个部分内判断绝对 值内式子的符号,如当- ≤ x<4时认为2x+1<0等.
等式.转化的途径有三种:一是依据实数绝对值的定义:
高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章 函数、导数及其应用 理 新人教A版
单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝ 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数， 当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]， 当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解， 所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0， 消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3， 故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线， 所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2， 即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ， －k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9， 故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]， 当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32； 当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72， 故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ； 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到； 设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x)＝1－x e x ， 易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。
高考数学一轮复习单元质检6数列A含解析新人教A版
单元质检六 数列(A )(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 6=15,S 9=99,则等差数列{a n }的公差是( ) A.14 B.4 C.-4 D.-3答案:B解析:∵数列{a n }是等差数列,a 6=15,S 9=99, ∴a 1+a 9=22,∴2a 5=22,a 5=11. ∴公差d=a 6-a 5=4.2.已知公比为√23的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 16=( ) A.4 B.5 C.6 D.7答案:B解析:由等比中项的性质,得a 3a 11=a 72=16. 因为数列{a n }各项都是正数,所以a 7=4. 所以a 16=a 7q 9=32.所以log 2a 16=5.3.在等差数列{a n }中,已知a 4=5,a 3是a 2和a 6的等比中项,则数列{a n }的前5项的和为( ) A.15 B.20C.25D.15或25答案:A解析:设{a n }的公差为d.∵在等差数列{a n }中,a 4=5,a 3是a 2和a 6的等比中项,∴{a 1+3a =5,(a 1+2a )2=(a 1+a )(a 1+5a ),解得{a 1=-1,a =2, ∴S 5=5a 1+5×42d=5×(-1)+5×4=15.故选A .4.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足3a 1-a 82+3a 15=0,且a 8=b 10,则b 3b 17=( ) A.9B.12C.16D.36答案:D解析:由3a 1-a 82+3a 15=0,得a 82=3a 1+3a 15=3(a 1+a 15)=3×2a 8,即a 82-6a 8=0.因为a 8=b 10≠0,所以a 8=6,b 10=6,所以b 3b 17=a 102=36.5.设公比为q (q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则a 1=( ) A.-2 B.-1C.12D.23答案:B解析:∵S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,∴S 4-S 2=3(a 4-a 2),即a 1(q 3+q 2)=3a 1(q 3-q ),q>0,解得q=32,代入a 1(1+q )=3a 1q+2,解得a 1=-1.6.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=x (1-x ).若数列{a n }满足a 1=12,且a n+1=11-a a,则f (a 11)=( ) A.2 B.-2 C.6 D.-6答案:C解析:设x>0,则-x<0.因为f (x )是定义在R 上的奇函数, 所以f (x )=-f (-x )=-[-x (1+x )]=x (1+x ). 由a 1=12,且a n+1=11-a a,得a 2=11-a 1=11-12=2,a 3=11-a 2=11-2=-1,a 4=11-a 3=11-(-1)=12,……所以数列{a n }是以3为周期的周期数列, 即a 11=a 3×3+2=a 2=2.所以f (a 11)=f (a 2)=f (2)=2×(1+2)=6.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分) 7.已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n+1=2a n a n+1,则a 6= . 答案:111解析:由a n -a n+1=2a n a n+1,得1a a +1−1a a=2,即数列{1a a}是以1a 1=1为首项,2为公差的等差数列.所以1a 6=1a 1+5×2=11,即a 6=111.8.我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列{a (a +1)2}就是二阶等差数列.数列{a (a +1)2}(n ∈N *)的前3项和是 .答案:10 解析:令a n =a (a +1)2,则a 1=1×22=1,a 2=2×32=3,a 3=3×42=6,S 3=1+3+6=10.故答案为10.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.解:(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d=-15. 由a 1=-7得d=2.所以{a n }的通项公式为a n =2n-9. (2)由(1)得S n =n 2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 10.(15分)已知数列{a n }满足a n =6-9a a -1(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{1aa -3}是等差数列;(2)若a 1=6,求数列{lg a n }的前999项的和.答案:(1)证明∵1a a -3−1a a -1-3=a a -13a a -1-9−1a a -1-3=a a -1-33a a -1-9=13(n ≥2),∴数列{1a a -3}是等差数列.(2)解∵{1a a -3}是等差数列,且1a 1-3=13,d=13,∴1aa-3=1a 1-3+13(n-1)=a 3.∴a n =3(a +1)a.∴lg a n =lg(n+1)-lg n+lg3. 设数列{lg a n }的前999项的和为S ,则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=3+999lg3. 11.(15分)设数列{a n }满足a 1=2,a n+1-a n =3·22n-1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)由已知,当n ≥1时,a n+1=[(a n+1-a n )+(a n -a n-1)+…+(a 2-a 1)]+a 1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =22n-1.(2)由b n =na n =n ·22n-1知S n =1·2+2·23+3·25+…+n ·22n-1.①从而22·S n =1·23+2·25+3·27+…+n ·22n+1.②①-②,得(1-22)S n =2+23+25+…+22n-1-n ·22n+1,即S n =19[(3n-1)22n+1+2].。
2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估10
单元质量评估十(第十章) 时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在(x 2－13x )8的二项展开式中，常数项等于( )A.32 B ．－7 C ．7D ．－32解析：(x 2－13x)8的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C 8r (x 2)8－r·(－x －13)r ＝(－1)r C 8r28－r·x 8－43r ， 令8－43r ＝0得r ＝6，所以r ＝6时，得二项展开式的常数项为T 7＝(－1)6C 8628－6＝7. 答案：C2．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相同的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案：C3．从5位志愿者中选派4位在星期五、星期六、星期日参加海地地震募捐公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种解析：按分步计数原理可分三步：第一步：从5位同学中选派4位有C 54种选法；第二步：从4位同学中选派2人在星期五参加活动有C 42种选法； 第三步：剩下2人在星期六、日参加活动有A 22种．∴不同选派方法共有C 54C 42A 22＝60(种)． 答案：B4．(x －13x )10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：∵T r ＋1＝C 10r (x )10－r (－13x)r＝C 10r x 10－r2·(－13)r ·x －r ＝C 10r(－13)r x 5－32r ，由5－32r ∈N *，知r ＝0或r ＝2，∴展开式中第1、3项的x 的指数为正整数．故选B. 答案：B5．在一底面半径和高都是2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 m 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π·22·2＝14π.答案：C6．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14 B.29[来源:Z&xx&] C.736D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B7．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的概率分布如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4 P14 mn112A.13B.14C.16D.18解析：由Y ＝12X ＋7⇒EY ＝12EX ＋7 ⇒34＝12EX ＋7⇒EX ＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112， 又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得m ＝13，故选A. 答案：A8．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为( )[来源:学。
高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版
[最新考纲] 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[考情分析]
[核心素养]
平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向 1.数学运算
量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是 2.直观想象
选择题与填空题，分值为 5 分.
1
课 前 ·基 础 巩 固
‖知识梳理‖ 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 1 __方__向_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 2 _____模____． (2)零向量：长度为 3 ___0______的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 4 _1_个__单__位___的向量．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴kλk－－λ＝1＝0，0. ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
|变式探究| 1．若将本例(1)中“B→C＝2a＋8b”改为“B→C＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解：B→D＝B→C＋C→D＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使B→D＝λA→B， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴4m＝－λ3，＝λ，解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线．
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ 8 __b_＋__a____；
结 合 律 ： (a ＋ b) ＋ c ＝ 9 _a_＋__(b_＋__c_)_
高考数学一轮复习 第5章 平面向量 第3节 平面向量的数量积及应用举例课时跟踪检测 理 新人教A版-
第三节 平面向量的数量积及应用举例A 级·基础过关 |固根基|1.已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B ．2．(2019届某某一中高三入学测试)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，∴|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C ．3．(2019届某某模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n＝－n 2|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m ||n |×13＝－3|n ||m |.又4|m |＝3|n |，∴t ＝－3×43＝－4.故选B ．4．(2019届东北联考)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.故选C ．5．(2019届某某模拟)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →＝1，则BC ＝( ) A ． 3 B ． 2 C ．2D ．3解析：选D 设∠A ＝θ， 因为BC →＝AC →－AB →，AB ＝4，AC ＝3，所以AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝AC →2－AC →·AB →＝9－AC →·AB →＝1，即AC →·AB →＝8，所以cos θ＝AC →·AB→|AC →||AB →|＝83×4＝23，所以BC ＝16＋9－2×4×3×23＝3.故选D ．6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值X 围为( ) A ．[1，2]B ．[2，4]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2.因为－1≤cos θ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故选D ．7．(2020届某某调研)在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，E ，使BD →＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选D 由BD →＝2DA →，得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，得CD →＝23CA →＋13CB →.由AB →＝3BE →，得CB →－CA→＝3(CE →－CB →)，得CE →＝－13CA →＋43CB →.因为∠C ＝π2，即CA →⊥CB →，所以CA →·CB →＝0.所以CD →·CA →＋CE →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CA →＋43CB →·CA →＝23CA →2－13CA →2＝3，故选D ．8.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →的值是( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49解析：选B 因为BF →＝2FO →，r ＝1，所以|FO →|＝13，所以FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO→2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89，故选B ．9．(2019届某某市摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( )A ．33 B ． 3 C ．32D ．23解析：选A ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，∴S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB→|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2.又∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A ． 10．(2020届某某摸底)已知a ，b 均为单位向量，若|a －2b |＝3，则a 与b 的夹角为________．解析：由|a －2b |＝3，得|a －2b |2＝3，即a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，即1－4a ·b ＋4＝3，所以a ·b ＝12，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π311．(2019届某某摸底调研)已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为________．解析：解法一：动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接OA ，OB ，因为|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形，于是不妨设动直线l为y ＝3(x ＋2)，如图所示，根据题意可得B (－2，0)，A (－1，3)，因为M 是线段AB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.设C (x ，y )，因为CB →＝52CA →，所以(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52（－1－x ），－y ＝52（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝533，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3.解法二：连接OA ，OB ，因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形．因为CB →＝52CA →，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋23BA →＝OA →＋23OA →－23OB →＝53OA →－23OB →.又M 为AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，且OA →与OB →的夹角为60°，则OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53OA→－23OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＝56OA →2－13OB →2＋12|OA →||OB →|cos 60°＝56×4－13×4＋12×2×2×12＝3. 答案：312.如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x ，3sin x )，OB →＝(3cosx ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． 解：(1)证明：∵OA →－OB →＝(0，2sin x )， ∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，即x ＝π6.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届某某市第一次联考)已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <0解析：选C 因为点O 是锐角三角形ABC 的外心，所以O 在三角形内部，则m <0，n <0.不妨设锐角三角形ABC 的外接圆的半径为1，因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →.设向量OA →，OB →的夹角为θ，则1＝m 2＋n 2＋2mn cos θ<m 2＋n 2＋2mn ＝(m ＋n )2，所以m ＋n <－1或m ＋n >1(舍去)，所以m ＋n <－1，故选C ．14．已知点P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点A ，B ，C 在以坐标原点O 为圆心的单位圆上运动，且AB →·BC →＝0，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由A ，B ，C 三点在圆x 2＋y 2＝1上，且AB →·BC →＝0，得AC 是该圆的直径．设PO →，OB →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|3PO →＋OB →|＝（3PO →＋OB →）2＝9|PO →|2＋|OB →|2＋6PO →·OB →＝36＋1＋12cos θ＝37＋12cos θ，当θ＝0时，|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值7，故选C ．15．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 是AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的最大值是( )A ．1B ．2－22C ．22D ．2＋22解析：选A 以点C 为坐标原点，CA →，CB →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，所以AB →＝(－1，1)．因为点P 在线段AB 上，AP →＝λAB →，所以AP →＝(－λ，λ)，所以P (1－λ，λ)，所以CP →＝(1－λ，λ)，PB →＝(λ－1，1－λ)，λ∈[0，1]．因为CP →·AB →≥PA →·PB →，所以(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)，化简得2λ2－4λ＋1≤0，解得2－22≤λ≤2＋22.因为λ∈[0，1]，所以2－22≤λ≤1，所以λ的最大值是1.故选A ．16.如图，在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝2，向量AD →在AB →方向上的投影为1，且BD →·DC →＝0，点P 在线段CD 上，则PA →·PB →的取值X 围为________．解析：解法一：由题意知∠DAB ＝45°，且|AB →|＝1，设|PD →|＝x ，则0≤x ≤1，因为AP →＝AD →＋DP →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →＋CP →，所以PA →·PB →＝(－AD →－DP →)·(－AD →－CP →)＝AD →2＋AD →·CP →＋AD →·DP →＋DP →·CP →＝2＋2(1－x )cos 135°＋2x cos 45°－x (1－x )＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．解法二：由题意可知，DB ⊥AB ，以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由题意知B (0，0)，A (－1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则PA →·PB →＝(－1－x ，－1)·(－x ，－1)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．答案：[1，3]17．已知△ABC 的面积为24，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且满足CE →＝3EA →，CD →＝2DB →，连接AD ，BE 交于点F ，则△ABF 的面积为________．解析：解法一：如图，连接CF ，由于B ，F ，E 三点共线，因而可设CF →＝λCB →＋(1－λ)CE →.∵CE →＝3EA →，CD ＝2DB →，∴CF →＝32λCD →＋34(1－λ)CA →.又A ，F ，D 三点共线，∴32λ＋34(1－λ)＝1，解得λ＝13，∴CF →＝13CB →＋23CE →＝13CB →＋12CA →.∵AF→＝CF →－CA →＝13CB →－12CA →，FD →＝CD →－CF →＝13CB →－12CA →，∴F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC＝4.解法二：如图，过D 作AC 的平行线，交BE 于H ，则由已知CD →＝2DB →，得DH ═∥13CE ，又CE →＝3EA →，因而DH ═∥EA ，△AEF ≌△DHF ，则F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC ＝4. 答案：4。
高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和课件理新人教A版
(2)由(1)得 bn＝3n＋2n－1，
所以
Sn
＝
(3
＋
32
＋
33
＋
…
＋
3n)
＋
(1
＋
3
＋
5
＋
…
＋
2n
－
1)
＝
3（1－3n） 1－3
＋
n（1＋2n－1） 2
＝32(3n－1)＋n2
＝3n2＋1＋n2－32.
考点二 裂项相消法求和问题 【例 2】 (2020 届合肥调研)已知在等差数列{an}中，a2＝12，a5＝24，数列{bn}满 足 b1＝4，bn＋1－bn＝an(n∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求使得b11＋b12＋b13＋…＋b1n＞187成立的最小正整数 n 的值．
(2)由(1)得b1n＝2n2＋1 2n＝2n（n1＋1）＝121n－n＋1 1， ∴b11＋b12＋b13＋…＋b1n＝121－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝121－n＋1 1＝2（nn＋1），即 2（nn＋1）＞187，解得 n＞16， ∴满足条件的最小正整数 n 的值为 17.
►名师点津 利用裂项相消法求和的注意事项
|跟踪训练| 2．(2019 届安徽模拟)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求证：aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1._________
证明：(1)由 an＋1＝2an＋1，得 an＋1＋1＝2(an＋1)． 又 a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 an＋1＝2n，因此{an}的通项公式为 an＝2n－1. (2)由(1)知aanna＋n＋11＝（2n－1）2（n 2n＋1－1）＝2n－1 1－2n＋11－1，于是aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋ aanna＋n＋11＝21－1 1－22－1 1＋22－1 1－23－1 1＋…＋2n－1 1－2n＋11－1＝1－2n＋11－1，所以aa1＋1a21＋ aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1.
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算
2
f'(x0)= ,所以切线方程为
0
解得
1
x0=e ,
则直线 l:y=2ex-4,所以 b=-4.
y-2ln
2
x0= (x-x0),则
0
2
x0),f'(x)= ,
提示:不一定.
2.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ex
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f(x)=ln x
f(x)=logax(a>0,a≠1)
导函数
f'(x)= 0
f'(x)= αxα-1
f'(x)= cos x
C.6
D.14
(3)(2021 广西南宁模拟)下列函数求导运算正确的是(
ln2
A.(log2x)'=
C.(xcos x)'=cos x+xsin x
)
B.(e-x)'=e-x
2
D.[ln(2x+1)+f'(1)]'=2+1
)
)
答案:(1)D (2)C
解析:(1)由题意得
(3)D
1
f'(x)= +3x2,所以
导数就是质点在x=x0时的 瞬时 速度,在(a,b)内的导数就是质
点在(a,b)内的 速度 方程
微点拨(1)一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导
数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的导函数,简称为导数.
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—5 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式
(2)若f(x)>g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解: (1)由f(x)+a-2>0,可得|x-3|>2-a(a<2),
所以x-3>2-a或x-3<a-2,即x>5-a或x<a+1,
故不等式的解集为(-∞,a+1)∪(5-a,+∞);
(2)f(x)>g(x)恒成立,所以m<|x-3|+|x+4|恒成立.
4.柯西不等式
(1)定理1:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,
等号成立.
(2)定理2:柯西不等式的向量形式,设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅
当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
(3)设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则(12 + 22 +…+2 )(12 + 22 +…+2 )
当
7
2-a≤-2,即
所以 a∈
a≥
11
,
+
2
11
时,f(x+a)≥g(x)成立.
2
∞ .
突破技巧求与绝对值不等式有关的参数范围,可以通过构造函数或者利用
已有的函数,画出函数的图象,通过观察图象的位置关系找出使不等式恒成
立的范围.
对点训练2(2021河南焦作三模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-5|-7.
3
-4, ≤ - 2 ,
2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估7
∴sin∠PDO＝＝＝.
20．(12分)
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝，AC＝2，A1C1＝1，＝.
(1)证 明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；[来源:]
单元质量评估七
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．给出以下四个命题：
①线段AB在平面α内，直线AB不在平面α内；
②两平面有一个公共点，则两平面一定有无数个公共点；
③三条平行直线一定 共面；
④有三个公共点的两平面重合．
其中正确命题的个数为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：①中直线AB上有两点在平面α内，则AB在α内，命题不成立；
答案：B
3．如果底面直径和高相等的圆柱的体积是V，则圆柱的侧面积是()
A.B.
C．πD.
解析：设圆柱的高为h，则底面半径为，
∴π()2·h＝V，∴h＝，
∴侧面积S＝2π··h ＝πh2＝
答案：D
4．(2011·江南十校联考)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
所以MH为△EDC的中位线，所以MH綊DC.
因为四边形ABCD为平 行四边形，所以DC綊AB.
故MH綊AB.
因为N为AB的中点，所以MH綊AN.
所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH.
因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE.
解法二：取EB的中点F，连接MF、NF.
因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，所以BM⊥EC.因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单元质量评估五(第五章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋2a 10＝4，则此数列的前13项的和等于( ) A ．8 B ．13C ．16D ．26[来源:学|科|网]答案：B2．(2011·东北师大附中高三月考)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( )A.12B.22C. 2D ．2解析：由a 3·a 9＝2a 25知a 21·q 10＝2a 21·q 8， ∵q >0，∴q 2＝2，即q ＝2，a 1＝a 2q ＝12＝22.答案：B3．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }，则数列{a n }的第四项为( ) A ．3 B ．－1 C ．2D ．3或－1解析：由x 2－2x －3<0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D. 答案：D4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( ) A ．91 B ．152 C ．218D ．279解析：a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152.选B. 答案：B5．在等比数列{a n }中，a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26等于( ) A.ba B.b 2a 2[来源:学+科+网Z+X+X+K] C.b 2aD.b a2解析：由等比数列性质，知a 5＋a 6，a 15＋a 16，a 25＋a 26成等比数列．∴a 25＋a 26＝b2a .答案：C6．等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.310 B.13 C.19D.18解析：设S 4＝m ，则S 8＝3m ，S 8－S 4＝2m ， 由于S 4＝m ，S 8－S 4＝2m ，S 12－S 8＝3m ， S 16－S 12＝4m ，相加可得S 16＝10m ，则S 8S 16＝310.答案：A7．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．6解析：∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－12n )＝n －(12＋14＋18＋…＋12n )＝n －12[1－(12)n ]1－12＝n －1＋12n .由S n ＝32164＝n －1＋12n ，观察可得出n ＝6.答案：D8．已知{a n }是递增数列，对任意的n ∈N *，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则λ的取值范围是( )[来源:Z_xx_]A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞) 解析：结合二次函数f (x )＝x 2＋λx ， 可知开口向上，对称轴是－λ2，∴要使f (x )在[1，＋∞)上递增，只需－λ2≤1，但由于a n ＝n 2＋λn 中n ∈N *， 故只需－λ2<32，∴λ>－3.答案：D9．某林场年初有木材存量S m 3，木材以每年25%的速度增长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后木材存量增加50%，则x 的值是( )[来源:学科网ZXXK]A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：依题意，一次砍伐后存量为S (1＋25%)－x ，二次砍伐后存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ，即(54)2S －54x －x ＝S (1＋50%)， 即94x ＝(2516－32)S ，∴x ＝S 36. 答案：C10．已知数列{a n }的通项a n ＝(23)n －1[(23)n －1－1]，则下列叙述正确的是( )A ．最大项为a 1，最小项为a 3B ．最大项为a 1，最小项不存在C ．最大项为a 1，最小项为a 4D ．最大项不存在，最小项为a 3解析：设(23)n －1＝t ，则t 是关于n 的减函数，t ∈(0,1]，当n ＝1时，t ＝1为最大值．a n ＝t 2－t ，对称轴为t ＝12的二次函数，当n ＝1时，t ＝1，a 1取最大值．当n ＝3时，t ＝49距t ＝12最近，所以a 3最小．答案：A11．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2009等于( )A ．0B ．2C ．2009D ．4018解析：a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2.∴S n ＝2n ，S 2009＝2×2009＝4018.故选D. 答案：D 12．设f 1(x )＝21＋x ，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]，且a n ＝f n (0)－1f n (0)＋2，n ∈N *，则a 2009等于( ) A ．(12)2010B ．(－12)2009C ．(12)2008D ．(－12)2007解析：a n ＝f n (0)－1f n (0)＋2＝f 1[f n －1(0)]－1f 1[f n －1(0)]＋2＝2f n －1(0)＋1－12f n －1(0)＋1＋2＝2－f n －1(0)－12＋2f n －1(0)＋2＝－12·f n －1(0)－1f n －1(0)＋2＝－12a n －1(n ≥2)，∴{a n }构成以a 1＝f 1(0)－1f 1(0)＋2＝14为首项，q ＝－12为公比的等比数列．∴a n ＝14·(－12)n －1，则a 2009＝14×(－12)2009－1＝(12)2010.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13．(2010·山东淄博期末)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝18，S n ＝240，若a n－4＝30(n >9)，则n ＝__________. 答案：1514．已知公差不为零的等差数列{a n }中，M ＝a n ·a n ＋3，N ＝a n ＋1·a n ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：设{a n }的公差为d ，则d ≠0. M －N ＝a n (a n ＋3d )－[(a n ＋d )(a n ＋2d )]＝a 2n ＋3da n －a 2n －3da n －2d2[来源:]＝－2d 2<0，∴M <N . 答案：M <N15．(2011·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0； ②S 11>0； ③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上)[来源:] 解析：由S 6>S 7得a 7<0，由S 6>S 5得a 6>0， 由S 7>S 5得a 6＋a 7>0. ∵d ＝a 7－a 6，∴d <0， S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0， S 12＝(a 1＋a 2＋…＋a 12)＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7) ＝6(a 6＋a 7)>0，[来源:Z*xx*] ∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大． 故正确的命题为①②. 答案：①②16．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又W n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n，如果a 8＝10，那么S 15 W 15＝________.解析：设{a n }的公比为q (q ≠0)， 则q ≠1时，W n ＝1a 1·1－1q n1－1q ＝S na 21q n －1，∴S n W n ＝a 21q n －1，∴S 15W 15＝a 21q 14＝(a 1q 7)2＝a 28＝100. 若q ＝1，则S 15W 15＝15×1015×110＝100.答案：100三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q (q >0)的等比数列，并且2a 1，12a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 3＝2a 1＋a 2，得q 2＝2＋q . ∴q ＝2，q ＝－1(舍去)． ∴a n ＝1×2n －1＝2n －1.(2)∵a n ＝2n －1，∴b n ＝2n －1＋n .∴T n ＝(1＋2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝2n －1＋n (n ＋1)2.18．(12分)在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2，a 14＝b 3，(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)令c n ＝ba n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋3d ＝3q 3＋12d ＝3q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝3， ∴a n ＝2n －1，b n ＝3n .(2)由(1)得c n ＝ba n ＝b 2n －1＝32n －1.[来源:]∵c n ＋1c n ＝32n ＋132n －1＝9，c 1＝3， 所以{c n }是首项为3，公比为9的等比数列． ∴T n ＝3(1－9n )1－9＝38(9n－1)．19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ，对一切正整数n ，点(n ，S n )都在函数f (x )＝2x＋2－4的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.②②－①，得T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.20．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否成等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．故数列{1a n}是等差数列．(2)由(1)的结论可得b n ＝1a n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，∴S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对n ≥2恒成立． 设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，C n ＋1>C n ，∵n ＝2时，C n 的最小值C 2为283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．21．(12分)设等比数列{a n }的前n 项和S n ，首项a 1＝1，公比q ＝f (λ)＝λ1＋λ(λ≠－1,0)．(1)证明S n ＝(1＋λ)－λa n ；(2)若数列{b n }满足b 1＝12，b n ＝f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求数列{b n }的通项公式；(3)若λ＝1，记c n ＝a n (1b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：当n ≥2时，2≤T n <4.(1)证明：S n ＝a 1(1－q n)1－q＝a 1[1－(λ1＋λ)n]1－λ1＋λ＝(1＋λ)[1－(λ1＋λ)n ]＝(1＋λ)－λ(λ1＋λ)n －1，而a n ＝a 1(λ1＋λ)n －1＝(λ1＋λ)n －1，∴S n ＝(1＋λ)－λa n .(2)解：f (λ)＝λ1＋λ，∴b n ＝b n －11＋b n －1.∴1b n ＝1b n －1＋1. ∴{1b n }是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列． 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，即b n ＝1n ＋1. (3)证明：λ＝1时，a n ＝(12)n －1，∴c n ＝a n (1b n －1)＝n (12)n －1.∴T n ＝1＋2(12)＋3(12)2＋…＋n (12)n －1.∴12T n ＝12＋2(12)2＋3(12)3＋…＋n (12)n . 相减得12T n ＝1＋(12)＋(12)2＋…＋(12)n －1－n (12)n ＝2[1－(12)n ]－n (12)n .∴T n ＝4－(12)n －2－n (12)n －1<4.又∵T n ＋1－T n >0，∴T n 单调递增． ∴T n ≥T 2＝2.故当n ≥2时，2≤T n <4.22．(12分)(2011·南京模拟)已知数列{a n }中，a 2＝2，前n 项和为S n ，且S n ＝n (a n ＋1)2.(1)证明数列{a n ＋1－a n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(2a n ＋1)(2a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．解：(1)由题意，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1＋12，则a 1＝1，a 2＝2，则a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (a n ＋1)2－(n －1)(a n －1＋1)2＝12[na n －(n －1)a n －1＋1]，[来源:学#科#网Z#X#X#K] a n ＋1＝12[(n ＋1)a n ＋1－na n ＋1]，则a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1]，则(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0， 即a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，则数列{a n ＋1－a n }是首项为1，公差为0的等差数列．从而a n －a n －1＝1，则数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以a n ＝n (n ∈N *)．(2)b n ＝1(2a n ＋1)(2a n －1)＝1(2n －1)(2n ＋1)[来源:Z&xx&]＝12(12n －1－12n ＋1)， 所以，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 由于T n ＋1－T n ＝n ＋12n ＋3－n 2n ＋1＝1(2n ＋3)(2n ＋1)>0，因此T n 单调递增，故T n 的最小值为T 1＝13.令13>k57，得k <19， 所以k 的最大正整数值为18.。