一次函数 (1)

第十讲一次函数最新课标导航1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。

2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式。

3.能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。

4.理解正比例函数。

5能用一次函数解决简单实际问题。

基础知识梳理一. 一次函数的概念1.一次函数的定义：形如函数y=kx+b(k、b是常数，其中k≠0)叫做一次函数，当b=0时，一次函数y=kx+b 即y=kx，此时成为一次函数的特殊形式.我们把形如函数y=kx(k是常数，k≠0)叫做正比例函数.【概念辨析】（1）正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数；（2）y=kx+b中，当k=0时，y=b不是一次函数，其图象是平行于x轴的一条直线.二.一次函数的图象和性质1. 正比例函数图象：y=kx（k≠0)的图象是经过（0，0）点的一条直线.画正比例函数图象一般取（0，0）和（1，k）即可.2.一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点( 0 ，b ),(bk，0 ）的一条直线.画一次函数的图象一般先取（0，b）,再结合一次函数的特征取另一点即可.如画y=12x-1的图象取（0，-1）和（2，0）点即可.3.一次函数y=kx+b的图象和性质.解析式y=kx(k≠0) y=kx+b(k≠0)k k>0 k<0 k>0 k>0 k<0 k<0b b=0 b=0 b>0 b<0 b>0 b<0 图象与x轴交点(0,0) (0,0) 负半轴正半轴正半轴负半轴与y轴交点(0,0) (0,0) 正半轴负半轴正半轴负半轴增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而增大y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而减小图象经过象限一、三二、四一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四核心考点突破考点一.一次函数的图象和性质【考点解析】直接考查一次函数图象与性质的中考题型，一般以辨析一次函数图象为主要考查点.【典例1】 解题思路： 解： 【解法广角】 【活学活用】变式训练1：如图，点A 、B 、C 、在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为—1、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是 （ ）.A ．1B ．3C ．3(1)m -D ．3(2)2m - 解：由题意可得：A 点坐标为（-1，2+m ），B 点坐标为（1，-2+m ），C 点坐标为（2，m-4），D 点坐标为（0，2+m ），E 点坐标为（0，m ），F 点坐标为（0，-2+m ），G 点坐标为（1，m-4）．所以，DE=EF=BG=2+m-m=m-（-2+m ）=-2+m-（m-4）=2，又因为AD=BF=GC=1，所以图中阴影部分的面积和=12×2×1×3=3. 答案：B.变式训练2：.在同一坐标系中，函数y kx =与2xy k =-的图象大致是（ ）.解：令k>0,则y kx =过一、三象限，∴排除A 、B 、D 选项，C 选项中另一直线图象与2xy k =-中b=-k<0相矛盾，故k>0时没有正确选项；令k<0,则y kx =过二、四象限，∴排除C 、D 选项. A 选项中另一直线图象与2x y k =-中b=-k>0相矛盾，答案：项A 不符合题意.B 选项中另一直线图象与2xy k =-中b=-k>0对应无矛盾. 答案：B.考点二.一次函数的解析式【考点解析】求一次函数解析式常见题型：（1）利用点的坐标求函数关系式；（2）利用图像求函数关系式；（3）利用表格信息确定函数关系式；（4）根据实际情况收集信息求函数关系式；（5）根据一次函数图象的平移求函数解析式. 【典例2】 解题思路： 解：方法点评：一次函数解析式的求法：确定一次函数解析式常用待定系数法.求函数解析式的一般步骤可归纳为：“一设、二列、三解、四写”：一设：设出函数关系式的一般形式y=kx 或y=kx+b;二列：根据已知两点的坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k 、b 的值；四写：把求得的k 、b 的值代入y=kx+b ，写出函数解析式. 【活学活用】 变式训练1： 变式训练2：考点三.一次函数图象的平移【考点解析】1.直线y=kx+b 可由直线y=kx 平移得到，当b>0时，直线y=kx 向上平移b 个单位长度得到直线y=kx+b ；当b<0时，直线y=kx 向下平移|b|个单位长度得到直线y=kx+b.反之也可.2.直线y=kx+b向左或向右平移可以通过转化为直线上点的坐标的平移来解决.3.一次函数y=k1x+b1和一次函数y=k2x+b2中，当k1=k2，b1≠b2时，直线y=k1x+b1和y=k2x+b2平行;当k1≠k2时，直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交.【典例3】解题思路：解：方法点评：【活学活用】变式训练1：变式训练2：考点四.一次函数的应用【考点解析】1.一次函数与图形的面积：已知一次函数y＝kx＋b，求其与两坐标轴围成的三角形面积.2.一次函数与一次方程的关系：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是方程ax+b=0(a≠0）的解．3.一次函数与不等式之间的关系：如图，直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x相交于点P(x0，y0)，则当x<x0时，k1x ＋b1＜k2x；当x>x0时，k1x＋b1＞k2x.4.根据一次函数的增减性来确定最佳方案：（1）首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式；（2）根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围；（3）根据一次函数的增减性，确定最佳方案.【典例4】某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）.请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【解题思路】（1）由图表中知，每升利润是1元，利用销售利润＝（售价－成本价）×销售量即可求得；（2）通过求得点A ，B ，C 的坐标即可求得线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）由一次函数中常量k 的实际意义或通过相应线段上点的坐标，求出利润率可做出判断.解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4×（5﹣4）=4（万升）． 答：销售量x 为4万升时销售利润为4万元；（2）点A 的坐标为（4，4），从13日到15日万升利润为5.5﹣4=1.5（万元）， ∴销售量为1.5÷（5.5﹣4）=1（万升），∴点B 的坐标为（5，5.5）． 设线段AB 所对应的函数关系式为y=kx+b ，解得∴线段AB 所对应的函数关系式为y=1.5x ﹣2（4≤x ≤5）．从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5+4×（5.5﹣4.5）=5.5（万元）． ∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11（万元），∴点C 的坐标为（10，11）．1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10万升．设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n，则解得∴线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x（5≤x≤10）；（3）线段AB．【温馨提示】求解实际问题中线段的解析式时，要注意自变量的取值范围.【解法广角】解答一次函数实际应用时，（1）要细致阅读理解图表和题目中的信息，并做好信息的关联性理解；（2）通过建立一次函数模型，把实际问题中的量和一次函数中的常量、变量做好关联；（3）把握关键点，比如本问题中的利润，运用数形结合，逐次分解问题，进而获得问题的答案.【活学活用】变式训练1：（2014•德州中考）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型25 30乙型45 60（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得25x+45（1200﹣x）=46000，解得：x=400．∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只．答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得y=（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），即y=﹣10a+18000．∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%，解得a≥450．∵y=﹣10a+18000，k=﹣10＜0，∴y随a的增大而减小，∴a=450时，y最大=13500元．∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.变式训练2：（2016·滨州中考）星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶．爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9:30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km．设爸爸骑行时间为x（h）．(1)请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；(2)请在同一个平面直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象；(3)请回答谁先到达老家．解：(1)y1=20x （0≤x≤2），y2=40x－40（1≤x≤2）．(2)图象为：(3)同时到达老家．当y1=40时，20x=40，解得x=2．当y2=40时，40x－40=40，解得x=2，∴他们都是经过2小时到家． 基础达标训练1. （2015•德州调研）若实数a ，b ，c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=cx+a 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.解：由a+b+c=0,且a ＜b ＜c 可以判断a ＜0,且c ＞0.则函数y=ax+c 的图象经过一、二、四象限. 答案：A.2.（ 2015•德州调研 ）直线 y=43 x ＋4与x 轴交于A ，与y 轴交于B, O 为原点，则△AOB 的面积为（ ）.A ．12B ．24C ．6D ．10解：对于函数y=43 x ＋4，当x=0时y=4；当y=0 x=-3.∴S △AOB =12×4×3=6.答案：C.3.（2015•德州三校一模）若y-1与x+2成正比例，则（ ）. A.y 是x 的一次函数B.y 与x 没有任何函数关系C.y 是x 的函数，但不是一次函数D.y 是x 的正比例函数解：∵y-1与x+2成正比例，设y-1=k(x+2)，整理得y=kx+2k+1.所以y 是x 的一次函数. 答案：A.4. （2015•德州模拟）一条直线y=kx+b ，其中k+b=﹣5、kb=6，那么该直线经过（ ）. A ．第二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三象限D ．第二、三、四象限解：选D ．∵k+b=﹣5、kb=6，∴k ＜0，b ＜0∴直线y=kx+b 经过二、三、四象限. 5. （2015•德州质检）如图所示，函数y 1=|x|和y 2=13x+43的图象（-1，1），（2，2）两点．当y 1>y 2时，x 的取值范围是（）.A．x＜-1 B．-1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜-1或x＞2解：当x≥0时，y1=x，y2=13x+43,∵两直线的交点为（2，2），∴当x＜0时，y1=-x，y2=13x+43,∵两直线的交点为（-1，1），由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜-1或x＞2．答案：D.6. （2015•德州中考改编）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第象限．解：函数y=kx+2的y的值随x的值增大而增大，因此，k>0.又∵b=2>，∴它的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限.答案：四7.（2015•德州校级一练）生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm时，蛇长为45.5㎝；当蛇的尾长为14cm时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm时，蛇长为㎝. 解：由蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数，设y=kx+b.由题意得6k45.514105.5bk b+=⎧⎨+=⎩，解得k7.5b0.5=⎧⎨=⎩.∴一次函数解析式为y=7.5x+0.5.当x=10时，y=7.5x+0.5=10×7.5+0.5=75.5cm.答案：75.58. （2015•德州调研）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤120时，具有一次函数的关系，如下表所示．x 50 80 100 120y 40 34 30 26（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果现计划每天比原计划多修建20米，那么可提前15天完成修建任务，求现计划平均每天的修建费.（1）设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ．解：根据题意，得4050k b 30100k b =+⎧⎨=+⎩，解得：15b 50k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴y 关于x 的函数解析式为：y=-15x+50．（2）设现计划修建的时间为m 天，则原计划修建的时间为（m+15）天． 根据题意，得6000600020m 12m -=+．整理得m 2+15m-45000=0．解得m=-75或m=60．经检验，m=-75或m=60都是原方程的解，但m=-75不符合题意．∴m=60，∴y=-15×60+50=38．答：现计划平均每天的修建费为38万元．9.10.11. 综合提升训练1. 直线y=2x+6与x 轴交点的坐标是（ ）.A ．（0，－3）B ．（0，3）C ．（3，0） D.（－92 ,1）解：当y=0时，x=3．∴一次函数y=-2x+6的图象与x 轴交点坐标是（3，0）.答案：C.2.已知一次函数y=mx+n-2的图象如图所示，则m 、n 的取值范围是 （ ）.A.m＞0，n＜2B.m＞0，n＞2C.m＜0，n＜2D.m＜0，n＞2解：由直线y=mx+n-2经过一、二、四象限知m0n-20⎧⎨⎩＜＞，即m＜0，n＞2 .答案：D.3.两个一次函数y1=mx+n．y2=nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）.解：当x=1时y1=y2=n+m，即两直线的交点为（1，m+n）,排除C、D选项；选项A中一条直线经过一、二、三象限，m>0,n>0,一条直线经过二、一、四象限，n<0,m>0,两结论发生矛盾，A错误.答案：B.4.某种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱．其中正确的个数是( )．A.1个B.2个C.3个D. 4个解： 由0≤x ≤10时，函数为y=5x ；当x>10时，函数关系式为y=50+150505010--(x-10)=2.5X+25. 所以当数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克，①正确；超过10千克时，把x=30代入y=2.5x+25得y=100，故②是正确；由x ＞10时，知每千克2.5元，超过l0千克的那部分种子的价格打五折，故③是正确；把x=40代入y=2.5x+25中，y=125，当x=20代入y=2.5x+25=75，两次共150元，两种相差25元，故④也正确.答案：D.5.一次函数y=2x ＋4的图象如图所示，根据图象可知，当x>-2时，则y ＞0；当y<0时，则x ．答案：>-2 <-26.在函数y=－2x+3中当自变量x 满足 时，图象在第一象限．解：将y=0代入y=-2x+3中得，x=32 ，∴y=－2x+3与x 轴交于(32，0)，又∵函数y=-2x+3图象在第一、二、四象限，∴当0＜x ＜32时，图象在第一象限． 答案：0＜x ＜327.如图，一个正比例函数图象与一次函数图象点P,则这个正比例函数的表达式是 .解：∵正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P ，P 点的纵坐标为2，∴2=-x+1，解得：x=-1. ∴点P 的坐标为（-1，2），设正比例函数的解析式为y=kx ，∴2=-k ，解得：k=-2，∴正比例函数的解析式为y=-2x.答案：y=-2x8.把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是 ．解：如图所示：（2）把直线y=-x+3向上平移1个单位后，与直线y=2x+4的交点为（0，4），如向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是m ＞1．答案：m ＞19.如图，边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，A （－1，3），B （3，－2）．（1）设AB 交y 轴于点C ，求点C 的坐标；（2）求△AOB 的面积.解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b. 将A （－1，3），B （3，－2）代入得， 332k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得5474k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 的解析式为y=54-x+74. 当x=0时,y=74,即该直线与y 轴的交点C （0,74）． (2)S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×74×1+12×74×3=72.10.（2014•珠海中考）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？解：（1）方案一：y=0.95x；方案二：y=0.9x+300；（2）当x=5880时，方案一：y=0.95x=5586，方案二：y=0.9x+300=5592，由5586＜5592，所以选择方案一更省钱．11. （2015•德州调研）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中y与x之间的函数表达式；（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．解：(1)不同．理由如下：∵往返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时，∴往返速度不同．(2)设返程中y与x之间的表达式是y=kx+b，2.5k b1205k b0+=⎧⎨+=⎩，即k48b240=-⎧⎨=⎩，∴y=-48x+240(2.5≤x≤5).(3)当x=4时，汽车在返程中，∴y= -48×4+240=48．∴这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48 km.12. （2015•德州质检）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为8 km，乙、丙两地之间的距离为2 km；（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出t的取值范围．解：（1）8，2；（2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为8÷[2×（8+2）÷2]=8÷10=0.8（小时），第二组由乙地到达丙地所用的时间为2÷[2×（8+2）÷2]=2÷10=0.2（小时）；（3）根据题意得A、B的坐标分别为（0.8，0）和（1，2），设线段AB的函数关系式为s2=kt+b，根据题意得：解得：∴图中线段AB所表示的s2与t之间的函数关系式为s2=10t-8，自变量t的取值范围是0.8≤t≤1.13.（2014•安徽中考）2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？解：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得，解得．答：该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；（2）设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，根据题意得，，解得x≥60．∵a=100x+30y=100x+30（240﹣x）=70x+7200，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，∴最少需要支付这两种垃圾处理费为70×60+7200=11400（元）．答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．。