最新 湘教版 九年级数学下册 公开课课件：2.5《切线的性质(第2课时)》ppt课件
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湘教版初中数学九年级下册2.5.2 第2课时 切线的性质
湘教版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！
第2课时切线的性质
1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点
D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
第4题图第5题图第6题图
5.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，
OD=3，则BC的长为_________.
6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交
AB的延长线于E，则sinE的值为_________.
7.如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
8.已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB 的大小．
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。
湘教版九年级数学下册.圆的切线的判定课件
P
l
O
新知探究
【例题1】如图，已知AD是⊙O的直径,直线BC经过点D，并且AB=AC.
∠BAD=∠CAD. 求证：直线BC是⊙O的切线.
A
证明： ∵AB=AC ， ∠BAD=∠CAD， ∴AD⊥BC. 又∵OD是⊙O的半径，且BC经过点D， ∴直线BC是⊙O的切线.
O
B
D
C
新知探究
分析：当直线与圆没有明确的公共点时，利用 “作垂直，证半径”证明圆的切线.
思考 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA的外端点A，作一条直线l， 那么直线l满足怎样的条件它才是 ⊙O的切线呢？
O
B A l
O l
BA
l⊥OA
l O
B A
新知探究
圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
练习 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC.
∴PE为⊙O的切线.
本课结束
求证：AC是☉O的切线.
B
证明：
O
∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
A
C
新知探究
二、过圆上一点画圆的切线（用三角尺）
如图，已知⊙O上一点P，用三角尺过点P画⊙O的切线.
画法：(1)连接OP，将三角尺的直角顶点放在 点P处，并使一直角边与半径OP重合；
(2)过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l， 则l就是所要画的切线.
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.
（ ×）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ √ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ √ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ √ ）
湘教版2.5.3-切线长定理PPT
做一做
A
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. E O C D
P
（2）写出图中所有相等的角(直角除外)
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC；
B
∠AOC=∠BOC=∠CAP=∠CBP； ∠AOE=∠BOE.
（3）写出图中所有相等的边(半径除外)AC=BC, AP=BP,
试用文字语 言叙述你所 发现的结论
结论
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言表示: ∵PA、PB分别切⊙O于
A、B两点. ∴PA = PB
∠OPA=∠OPB
注意：切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD
的长为____２______。
3.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若
∠A=70°，则∠BOC的度数为（ Ｃ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
4.如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，
2.5.3 切线长定理
湘教版 九年级下册
探究 A
O
B
经过圆外一点作圆的切线，这 点和切点之间的线段的长，叫 做这点到圆的切线长。
P
如图，P是⊙O外一点， PA，PB是⊙O的两条切线，
我们把线段PA，PB叫做点
P到⊙O的切线长。
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
（4）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AO︵C≌︵△BO︵C，︵△AC︵P≌ △︵BCP
2022年湘教版数学九下《切线的性质》立体课件(公开课版)
简单地说，
两点之间线段最短。
走进生活
你能举出利用“两点之间线段最短”的例子吗？
勤于巩固2
村庄A
两点之间线段最短
大桥P
河流
村庄B
如图，村庄A, B之间有一条河流，要在河 流上建造一座大桥P, 为了使村庄A, B之间 的距离最短，请问：这座大桥P应建造在 哪里。为什么？请画出图形。
问题征答
下列说法正确的是( D )
A.过A、B两点的直线长是A、B两点间的距离
B.线段AB就是A、B两点间的距离
C.乘火车从杭州到上海要走210千米，这就是 说杭州站与上海站间的距离为210千米
D.连结A、B两点的所有线中，其中最短的线 的长度就是A、B两点间的距离
喜于收获： 这节课你学会了什么？ 1.线段的长短比较的方法。 2.两点之间的距离：两点之间线段的长度。 3.线段的基本性质：两点之间线段最短。
又∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．
∴∠BAC=∠P=30°．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．BC=
1 2
AB=1，
由勾股定理，得AC= ， AB 2BC 2 3
AP= ． BP 2AB 2 2 3
则CP=BP-BC=4-1=3；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是圆O的切线．
（1）解：连接CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，即CD⊥AB， ∵AD=DB，OC=5， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴AC=BC=2OC=10；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
（2）证明：连接OD，如图所示， ∵∠ADC=90°，E为AC的中点， ∴DE=EC= 1 AC，∴∠1=∠2，
(新)湘教版九年级数学下册2.5.2 第2课时《切线的性质》课件
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2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？ 答：
①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.
3.切线还有什么性质？
合作探究
观察下图： 如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那 么 AT和半径OA是不是一定垂直？
O T A
首页
如果AT是 ⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？
第2课时 切线的性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
情景引入
思考： 1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的切线 有哪些方法? •切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即 •经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是 圆的切线
∴AT⊥OA
A
T
按图填空：(口答) (1)如果AB切⊙O于A， 那么 OA⊥ AB. (2)如果半径OA⊥AB， 那么AB是 切线. A O
B
(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 切点 .
例题学习
例：已知如图,在△ABC中，AC与⊙O相切于点C， BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数.
随堂训练
1. 已知：如图 ,AB 是⊙ O 的弦， AC 切⊙ O 于点 A ， 且∠BAC=54°，求∠OBA的度数.
首页
2.如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD 和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
D
C
3
2 A 1 O B
课堂小结
1.切线性质： ①切线和圆有且只有一个公共点 ②切线和圆心的距离等于半径 ③圆的切线垂直于经过切点的半径
2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？ 答：
①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.
3.切线还有什么性质？
合作探究
观察下图： 如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那 么 AT和半径OA是不是一定垂直？
O T A
首页
如果AT是 ⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？
第2课时 切线的性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
情景引入
思考： 1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的切线 有哪些方法? •切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即 •经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是 圆的切线
∴AT⊥OA
A
T
按图填空：(口答) (1)如果AB切⊙O于A， 那么 OA⊥ AB. (2)如果半径OA⊥AB， 那么AB是 切线. A O
B
(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 切点 .
例题学习
例：已知如图,在△ABC中，AC与⊙O相切于点C， BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数.
随堂训练
1. 已知：如图 ,AB 是⊙ O 的弦， AC 切⊙ O 于点 A ， 且∠BAC=54°，求∠OBA的度数.
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2.如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD 和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
D
C
3
2 A 1 O B
课堂小结
1.切线性质： ①切线和圆有且只有一个公共点 ②切线和圆心的距离等于半径 ③圆的切线垂直于经过切点的半径
九年级数学下2.5.2圆的切线(湘教版)数学课件PPT
3、方法归纳：
当直线与圆有公共点，常连结圆心和公共点（半 径），证明直线垂直于这条半径。
连半径，证垂直
当直线与圆没有公共点，过圆心作直线的垂线， 证明圆心到直线的距离等于半径。
作垂直，证半径
51.事业的成功没有止境，它是一场无终点的追求。 70.人应该活到老学到老，我们不应该取笑那些勤奋好学的老年人，相反，我们应该鼓励和支持他们的精神。 96.志气和贫困是患难兄弟，世人常见他们伴在一起。 60.生活就是这样简单，无须在意别人的评说，走自己的路，做自己的事。人生就是这样单纯，无须在意别人的眼神，尽自己的力，出自己的汗。生活里真正关心你的，也就是那几个，不必太多 的抱怨，那样自己太累。不必过多的讨好，那会迷失自己，本着良心做事就行。
2、切线和圆心的距离等于半径。
B
3、直线l与⊙O相切于点A，则过点A的 直径AB与切线l有怎样的位置关系？垂直 O ·
圆的切线垂直于过切点的半径
4、直线l与⊙O相切，作直径AB，
A
l
且AB⊥l ，则点A是切点吗？
经过圆心垂直于切线的直线必过切点。
5、直线l与⊙O相切于点A，过点A作 AB⊥l ，则AB一定经过圆心吗？
12 ·
DB C
2、如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，
AT=AB，求证:AT是⊙O的切线. ∠BAT=90° ·O
T
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行
已知：如图，AB 是⊙O的直径，
AC、BD是⊙O的切线. 求证: AC∥BD
AB⊥AC AB⊥BD
A AC
·O
BD
4、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、
P
·
C
证明：过P点，作PD⊥OB垂足为D， O
九年级数学下册 2.5 切线的性质(第2课时)课件 (新版)湘教版
精品课件
8
8．(4 分)如图所示，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC ＝120°，⊙A 与 BC 相切于点 D，与 BA 相交于点 E， 则∠ADE＝__60°__．
精品课件
9
9．(8 分)如图，⊙O 的直径 AB＝8 cm，过点 C 的
切线交 AB 的延长线于点 P，∠P＝30°，求点 C 到 AB
精品课件
6
6．(4 分)如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，BC 与⊙O 相切于 B 点，CO 交⊙O 于点 D，且 BC＝8， CD＝4，那么⊙O 的半径是__6__．
精品课件
7
7．(4 分)(2015·湖州)如图，以点 O 为圆心的两个 圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D， 若 OD＝2，tan∠OAB＝12，则 AB 的长是__8__．
的距离．
解：连接 OC，过 C 作 CD⊥PO 于 D，∵PC 切
⊙O 于 C，∴∠PCO＝90°，∵∠P＝30°，∴PO＝
2OC＝AB＝8 cm，PC＝ PO2－OC2＝ 82－42＝4 3，
S△PCO＝12·OP·CD＝12PC·OC，∴OP·CD＝PC·OC， 8CD＝4 3×4，CD＝2 3，∴点 C 到 AB 的距离为 2 3
∠AOB＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∵OB＝
OC，∴∠ACB＝∠OBC，而∠ACB＋∠OBC＝∠AOB
＝60°，∴∠ACB＝30°＝∠A，∴AB＝BC (2)连接
OD，∵B︵D＝C︵D，∴∠BOD＝∠COD，∵∠AOB＝
60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOD＝∠COD＝60°，
又 OB＝OD＝OC，∴△BOD 与△DOC 都是等边三角
精品课件
湘教版九年级数学下册第2课时 切线的性质课件
解： ∵ CB 是⊙O 的切线， 切点为 B， ∴ AB⊥BC. ∵ AB为⊙O 的直径，∴ ∠ADB = 90°. 又∵ AD＝DC， ∴ 在Rt△ABC 中， DB＝AD＝DC， ∴ ∠ABD = 45°.
1. 如图, 已知直线 AD 是☉O 的切线 , A 为切点 , OD 交
☉O 于点 B , 点 C 在☉O 上 , 且∠ODA ＝36°, 则
过圆心 O 作 OB ⊥ l 于点 B. 由于垂线段最短，
可得 OB ＜ OA，那么圆心 O 到直线 l 的距离
O
小于半径，即直线 l 与⊙O 相交. 这与已知直
线 l 是 ⊙O 的切线相矛盾.
因此直线 l ⊥ OA.
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
A
l
O
对于任意一条直线，如果具备下列 条件中的两个，就可以推出第三个结论： （1）垂直于切线； （2）经过切点； （3）经过圆心.
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
切线的性质
如图，直线 l 是⊙O 的切线，A为切点，
切线 l 与半径 OA 垂直吗？
A l
用量角器量得切线 l 与半径
OA 所成的角为 90°，即切线
O
l 与半径 OA 垂直.
如图，直线 l 是⊙O 的切线，A为切点，
1. 如图, 已知直线 AD 是☉O 的切线 , A 为切点 , OD 交
☉O 于点 B , 点 C 在☉O 上 , 且∠ODA ＝36°, 则
过圆心 O 作 OB ⊥ l 于点 B. 由于垂线段最短，
可得 OB ＜ OA，那么圆心 O 到直线 l 的距离
O
小于半径，即直线 l 与⊙O 相交. 这与已知直
线 l 是 ⊙O 的切线相矛盾.
因此直线 l ⊥ OA.
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
A
l
O
对于任意一条直线，如果具备下列 条件中的两个，就可以推出第三个结论： （1）垂直于切线； （2）经过切点； （3）经过圆心.
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
切线的性质
如图，直线 l 是⊙O 的切线，A为切点，
切线 l 与半径 OA 垂直吗？
A l
用量角器量得切线 l 与半径
OA 所成的角为 90°，即切线
O
l 与半径 OA 垂直.
如图，直线 l 是⊙O 的切线，A为切点，
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二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 12．(4 分)如图，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B， 若∠P＝70°，则∠C 等于__55__度．
13．如图，⊙M 与 x 轴相交于点 A(2，0)，B(8， 0)， 与 y 轴相切于点 C， 则圆心 M 的坐标是__(5， 4)__．
Байду номын сангаас
三、解答题(共 40 分) 14．(12 分)如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点， AC 是⊙O 的弦，过 O 作 OH⊥AC 于点 H.若 OH＝2， AB＝12，BO＝13.求： (1)⊙O 的半径； 解：(1)∵AB 切⊙O 于 A，∴OA⊥AB，∴OA＝ (2)AC 的值． OB2－AB2＝ 132－122＝5，∴⊙O 的半径是 5
【综合运用】 16．(14 分)(2015· 襄阳)如图，AB 是⊙O 的直径， 点 C 为⊙O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 E，AE 交⊙O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长 线于点 P，连接 AC，BC，PB∶PC＝1∶2. (1)求证：AC 平分∠BAD； (2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理 由； (3)若 AD＝3，求△ABC 的面积．
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 10． 如图， 两个同心圆的半径分别为 3 cm 和 5 cm， 弦 AB 与小圆相切于点 C，则 AB 的长为( D ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
11．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AD 切⊙O 于 ︵ ＝CB ︵ .则下列结论不一定正确的是( D ) 点 A，EC A．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC
⊙O 于 C，∴∠PCO＝90°，∵∠P＝30°，∴PO＝ 2OC＝AB＝8 cm， PC＝ PO2－OC2＝ 82－42＝4 3， 1 1 S△PCO＝ · OP· CD＝ PC· OC，∴OP·CD＝PC· OC， 2 2 8CD＝4 3×4， CD＝2 3， ∴点 C 到 AB 的距离为 2 3 cm.
1 (2)∵OH⊥AC，∴AH＝ AC，AH＝ OA2－OH2 2 ＝ 52－22＝ 21，∴AC＝2AH＝2 21
15．(14 分)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点， ︵ 的中点． 圆心在 AC 上，∠A＝30°，D 为BC (1)求证：AB＝BC； (2)求证：四边形 BOCD 是菱形．
2.5 切线的性质（第2课时）
1．切线的性质定理：圆的切线__垂直于过切点的 半径__； 2．经过直径两个端点的切线__互相平行__； 3．经过圆上一点可作__一__条圆的切线，经过圆 外一点可作__两__条圆的切线．
切线的性质
1．(4 分)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切 线，PO＝26 cm，PA＝24 cm，则⊙O 的周长是( C ) A．18π cm B．16π cm C．20π cm D．24π cm
2．(4 分)如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，∠CDB＝30°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 sin∠E 的值为( A ) 1 3 2 A. B. C．1 D. 2 2 3
3．(4 分)如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于 点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO＝CD，则∠ACP＝ (D) A．30° B．45° C．60° D．67.5°
解：(1)∵AB 切⊙O 于 B，∴∠ABO＝90°，∴ ∠AOB ＝90 °－∠A ＝ 90 °－ 30°＝60 ° ， ∵OB ＝ OC， ∴∠ACB＝∠OBC， 而∠ACB＋∠OBC＝∠AOB ＝60°，∴∠ACB＝30°＝∠A，∴AB＝BC (2)连接 ︵ ＝CD ︵ ，∴∠BOD＝∠COD，∵∠AOB＝ OD，∵BD 60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠BOD＝∠COD＝60°， 又 OB＝OD＝OC，∴△BOD 与△DOC 都是等边三角 形，∴OB＝BD＝CD＝OC＝OD，∴四边形 BOCD 是 菱形
4．(4 分)如图，△ABC 的边 AC 与⊙O 相交于 C， D 两点，且经过圆心 O，边 AB 与⊙O 相切，切点为 B.已知∠A＝30°，则∠C 的大小是( A ) A．30° B．45° C．60° D．40°
5．(4 分)(2015· 嘉兴)如图，在△ABC 中，AB＝5， BC＝3， AC＝4， 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切， 则⊙C 的半径为__2.4__．
6．(4 分)如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，BC 与⊙O 相切于 B 点，CO 交⊙O 于点 D，且 BC＝8， CD＝4，那么⊙O 的半径是__6__．
7．(4 分)(2015· 湖州)如图，以点 O 为圆心的两个 圆中， 大圆的弦 AB 切小圆于点 C， OA 交小圆于点 D， 1 若 OD＝2，tan∠OAB＝ ，则 AB 的长是__8__． 2
8．(4 分)如图所示，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC ＝120°，⊙A 与 BC 相切于点 D，与 BA 相交于点 E， 则∠ADE＝__60°__．
9．(8 分)如图，⊙O 的直径 AB＝8 cm，过点 C 的 切线交 AB 的延长线于点 P，∠P＝30°，求点 C 到 AB 的距离． 解：连接 OC，过 C 作 CD⊥PO 于 D，∵PC 切
解：(1)连结 OC，∴OC⊥PE，∴OC∥AE，∴∠ PB OCA＝∠OAC＝∠EAC (2)△CPB∽△APC， 得： AB 1 ＝ (3)连结 BD，OC，过点 C 作 CH⊥AB，∵AC 3 AD AB 平分∠EAB，∴CH＝CE，又由 BD∥PE， ＝ ， AE AP 3 3 ∴ ＝ ，∴AE＝4＝AH，同理 BH＝1，又由 CH2 AE 4 5 2 2 ＋OH ＝OC ，OC＝ ，∴CH＝2，∴S△ABC＝5 2