无网格法简介
无网格方法(刘欣著)PPT模板
5.6.1界面问 题的增强函 数
5.6.3数值 计算
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第6章有限点方法
第6章有限点方法
6.1对流-扩散方程的有限点形式 6.2对流-扩散方程的有限点法求解 6.3Burgers方程的高阶时间格式有限点方法求解 6.4油藏数模的有限点法 6.5有限点方法在金融工程中的应用
第6章有限点 方法
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第9章流体-结构相互作用的无网 格方法研究进展
第9章流体-结构相互作用的无网 格方法研究进展
9.1流体-结构相互作用的计算研究 概述 9.2流体-结构相互作用模型描述 9.3FSI问题的扩展有限元方法求解 9.4浸入粒子方法 9.5气动弹性计算中的径向基函数法
第9章流体-结构相互作用的无网格方法研究进展
5.4增强型单位分解有限元方法
5.4.1增强 型覆盖函数 的实现
5.4.2数值 计算
第5章单位分解 有限元方法
5.5单位分解有限元在断裂力学中 的应用
1
5.5.1裂纹尖端附近的渐近解
2
5.5.2平面裂纹的单位分解有限 元计算
第5章单位分 解有限元方法
5.6单位分解有限元在界面问题中 的应用
5.6.2界面问 题的增强方 式
7.6.3数值求解
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第8章自适应无网格方法
第8章自适应无网 格方法
8.1自适应无网格Galerkin法 8.2结构动力问题的自适应无网 格计算 8.3hp自适应无网格方法
第8章自适应无网格方法
8.1自适应无网格Galerkin法
8.1.1后验误差估计
8.1.2背景网格重构 算法
8.1.3自适无网格静 力分析
无网格方法(刘欣著 )
无网格法的理论及应用
为了验证该方法的有效性和可行性，我们进行了一系列实验。实验过程中采 用了某稠油油田的实际数据集，包括地层压力、温度、渗透率等参数。同时，采 用了可视化评估指标，以便直观地评估计算结果的准确性。实验结果表明，该方 法在稠油热采数值模拟过程中具有较高的计算精度和计算效率，可为稠油热采技 术的优化提供有力支持。
1、算法开发：针对稠油热采的物理化学过程，开发相应的数值模拟算法， 如有限元法、有限差分法等。
2、软件架构：设计并实现数值模拟软件的架构，包括前后处理、求解器等 模块，以便用户进行快速高效的计算。
3、数据处理：针对稠油热采数值模拟过程中产生的大量数据，开发相应的 数据处理技术，如数据压缩、可视化等。
无网格法的数值积分采用移动最小二乘法（Moving Least Squares，MLS） 来实现。该方法通过对节点进行加权，构造一个局部近似函数来逼近真实的解。 数值积分通过在节点上建立局部近似函数，然后对该函数进行求导和积分来计算。 无网格法的数值积分具有高精度和高效性，同时避免了传统网格法中的网格生成 和数据处理问题。
1、结构分析
无网格法在结构分析中具有广泛的应用，可以处理各种复杂形状和材料属性 的结构。例如，桥梁、建筑物和飞机等结构分析中，无网格法能够适应复杂的几 何形状和非均匀的材料属性，同时提高计算效率和精度。此外，无网格法在疲劳 分析和振动分析中也得到了广泛应用。
2、流体分析
无网格法在流体分析中也有着广泛的应用，可以处理各种复杂的流体流动问 题。例如，无网格法可以应用于计算流体动力学（CFD）中的复杂流场模拟、燃 烧模拟以及噪声辐射模拟等。无网格法能够适应复杂的几何形状和流场特性，提 高计算精度和效率。
参考内容
稠油热采是一种重要的石油开采方法，具有提高采收率、降低开采成本等优 势。随着计算机技术的不断发展，数值模拟已成为稠油热采领域的重要工具。本 次演示旨在探讨稠油热采数值模拟自适应网格法计算软件的开发研究及实例应用。
多物理场模拟仿真
多物理场模拟仿真第一部分多物理场概述 (2)第二部分仿真模拟技术发展 (3)第三部分数值求解方法介绍 (6)第四部分计算流体力学应用 (8)第五部分热传导与温度调控 (11)第六部分电磁场模拟与优化 (13)第七部分光学现象与仿真应用 (15)第八部分多物理场耦合问题研究 (17)第一部分多物理场概述括对流、热传导、电磁学、力学等多个物理学科的交叉，要求研究人员具备丰富的知识和技能。
在过去的几十年中，随着计算机技术的飞速发展和数值方法的不断创新，多物理场模拟仿真技术得到了广泛应用。
例如，在航空航天领域，需要模拟气动弹性、传热、结构强度等多种物理现象。
在能源方面，需要模拟温度、压力、化学反应等物理参数，以提高能源转换效率和减少污染排放。
此外，在生物医学、环境科学等领域也都需要进行多物理场模拟仿真来提高研究水平。
然而，多物理场模拟仿真的实现并不容易。
它涉及到多种不同的物理现象，需要精确描述每个物理场的相关方程，还需要处理不同时间尺度、空间尺度和物理单元之间的复杂相互作用。
因此，多物理场模拟仿真需要强大的计算能力和先进的算法支持。
为了解决这些问题，研究人员开发了各种多物理场模拟仿真方法。
其中最常用的方法是有限元法，该方法通过将连续体离散化为网格节点，并利用插值函数将物理量从节点扩展到整个区域，从而求解偏微分方程。
此外，还有有限差分法、边界元法、谱元法等多种方法可供选择。
尽管已经取得了一些进展，但多物理场模拟仿真仍然是一个充满挑战的领域。
随着物理问题的复杂性和计算能力的不断提高，新的方法和算法仍需不断研发，以满足日益增长的需求。
第二部分仿真模拟技术发展仿真模拟技术是一种通过计算机模拟真实世界中的物理现象和过程的技术，在科研、工程设计和教学等领域具有广泛的应用。
随着计算能力的提高和数值方法的发展，仿真模拟技术不断进步，为人类社会的发展做出了巨大的贡献。
早在 20 世纪 40 年代，仿真模拟技术就已经开始萌芽。
无网格法介绍
无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的 无网格法是在建立问题域的系统代数方程时， 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域 离散的方法。（刘桂荣，2009） 离散的方法。（刘桂荣，2009） 。（刘桂荣
无网格法概述
无网格法求解过程 FEM对比 对比） （与FEM对比）
导出无网格法公式
基于弱强式的无网格法
• MFree弱-强式法 弱 强式法 强式法(NWS)的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 局部弱式建立起离散系统方程式，即对不同组别的节点根据其不同 局部弱式建立起离散系统方程式， 条件分别形成不同类型的方程，其中局部弱式被用于位于或接近导 条件分别形成不同类型的方程， 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 • 代表方法：MWS 代表方法： • MWS特点。MWS法使用最少数量的背景网格用于积分，对各类力学 特点。 法使用最少数量的背景网格用于积分， 特点 法使用最少数量的背景网格用于积分 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。
构造无网格形函数
PIM形函数性质
• 一致性 如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有 C p 一致性 如果单项式的完备阶数是 ， • 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 • 线形独立性 PIM基函数在支持域上是线性独立的 基函数在支持域上是线性独立的 • δ 函数性
目
无网格法
无网格法（Mesh-less method）无网格方法（Mesh-less method）是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，就可方便地模拟各种复杂形状的流场。
该法大致可分成两类：一类是以Lagrange方法为基础的粒子法（Particle method），如光滑粒子流体动力学（Smoothed particle hydrodynamics，简称SPH）法，和在其基础上发展的运动粒子半隐式（Moving－particle semi－implicit，简称MPS）法等；另一类是以Euler方法为基础的无格子法（Gridless methods），如无格子Euler／N—S算法（Gridless Euler／Navier-Stokes solution algorithm）和无单元Galerkin法（Element free Galerkin，简称EFG）等。
无网格方法可以方便地利用坐标点计算模拟复杂形状流场计算，但不足之处是在高雷诺数流动时提高数值计算精度较困难。
无网格方法中比较常见的还有径向基函数方法（Radious Basis Function），主要使用某径向基函数（如（MQ）f(r)=r^5）的组合，来逼近原函数。
吴忠敏院士在这方面有比较突出的工作。
最近在了解有限元法和无网格法，介绍中知道它们都是数值计算方法，主要区别一个是基于网格的，一个是无需借助于网格的。
但从有关数值计算方法的书和其他资料中，基本上没有见提到有限元法和无网格法，数值计算方法的书中基本上主要内容都包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等等。
而在有限元法和无网格法的具体算法计算过程中也都会用到上述数值计算方法中的某些。
有限元、边界元、无网格法的比较
首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解：1、网格划分有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。
单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时间。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。
无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。
节点的生成可完全由计算机自动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。
几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的任意一点可由近似函数插值。
(a)有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替(b)无网格法中光滑边界由节点替代图1 网格-节点示意图2、形函数的产生：有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是形函数的构造。
有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。
形函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。
无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理过程。
3、边界条件有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。
无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本质边界条件的精确实现造成困难。
，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方法。
4、系统离散方案有限元法是建立在虚功原理上的。
若给出控制微分方程，对于固体结构或流体, 都可以从加权残值法推出更普遍意义上的有限元公式，其可以得到一个对称的刚度矩阵。
无网格——精选推荐
第一章绪论计算流体力学的发展现状计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是现代流体力学中的一个重要学科分支。
作为一门多学科交叉融合而形成的新兴学科，它是流体力学、计算数学和计算机科学相结合的产物。
随着计算机性能的飞速提高以及数值计算方法的不断发展，计算流体力学技术正在逐渐走向成熟。
计算流体力学经历了数值求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程、Euler方程和Navier-Stokes方程等发展阶段。
20世纪80年代以前，由于受到计算机技术的限制，计算流体力学的数值模拟主要以求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程为主，其中有代表性的是基于拉普拉斯方程的面源法以及有限差分法求解小扰动速势方程和全速势方程。
在随后的二十多年中，在计算机技术发展的推动和广大计算流体力学工作者的努力下，计算流体力学在求解Euler方程和Navier-Stokes方程以及数值模拟复杂流场方面都取得了重大突破。
在此期间，计算流体力学数值模拟的方法以有限差分法、有限体积法、有限元法为主。
随着诸如TVD格式、ENO格式、NND格式等高阶精度、高分辨率差分格式的提出，计算流体力学对激波、漩涡等复杂问题的模拟能力也有了很大的提高。
目前，计算流体力学工作者正致力于研究和发展更高精度(二阶以上)的计算格式和方法，以适应更精细、更复杂的流动研究和设计的需要。
计算流体力学研究的一个重要分支是计算网格的生成技术，它是计算流体力学走向工程实用阶段所必须面临的关键技术之一。
一般来讲，适合工程使用的网格生成技术应该具备以下特点:(1) 网格生成过程直观明了、简单易行、效率高、自动化程度好。
(2) 通用性、普适性好，对复杂外形、复杂流动的适应能力强。
(3) 网格几何灵活性好，尺度变化易于控制，网格自适应加密简便易行。
目前，已经成熟并走向工程实用中的计算网格有结构网格、非结构网格以及结构非结构的混合网格。
在结构网格方面，出现了代数生成网格法、解微分方程生成网格法、保角变换法等多种网格生成方法，网格类型也由单一的C型网格、0型网格、H型网格发展到嵌套网格和多块对接网格等。
无网格—有限元耦合原理
无网格—有限元耦合原理作者：高玉静王德华来源：《楚商》2016年第03期摘要：无网格法，是一种不依赖于网格，只根据一组节点信息构造近似函数的无网格方法。
EFGM-FE耦合法处理问题边界，说明该耦合方法是可行有效的。
关键词：EFGM-FE 耦合法一、移动最小二乘形函数及其导数函数u（x）的移动最小二乘（MLS）近似的uh（x）为式中pi（x）表示任意阶的基函数，m表示基函数的项数，而？琢（x）表示一个特定的系数矩阵，与空间坐标x有关。
对基函数p（x）可以是线性基： pT=（1，x） m=2在一维中（1-2）式（1-1）是全局近似，其对应的局部近似为：为了确定，在局部范围内构造带权重的函数，并使取得最小值：式中xI是x的周围节点，共有n个，成为x的影响域（Support or influence domain）内的点。
这n个节点不必连成单元，构成EFGM的特点；w（x-xI）是权函数，对影响域外的xI，w（x-xI）=0，对影响域内的xI，w（x-xI）≠0，u*（xI）是u*在xI处的值。
二、耦合原理EFG-FE耦合法的耦合模型如下：在具体计算中，不同的求解区域使用相应的位移近似函数其中N（x）是形函数NI（x）是有限元形函数，I（x）是过渡区域形函数， I（x）是无网格形函数。
过渡区域形函数为其中，是坡度函数，且参考文献：[1] Li S， Liu W K. Meshfree and particle methods and their applications. Applied Mechanics Review，2002.[2]T. Belytschko， D. Organ， Y. Krongauz. A coupled finite element-elementfree Galerkin method. Computational Mechanics， 1995.作者单位：山东科技职业学院。
10_无网格方法
a( x) A1 ( x) B( x)u (8)
把式(8)代入式(1)得近似函数为
u ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u N T ( x, x)u (9)
U T RA T a d V T RB T a d 0
式中 RA a A a 和 RB a B a 为余量。 虽然 U 和V
T T T Tຫໍສະໝຸດ
为任意权函数，但在实际应用时，不可能也不需要取无穷多个权函数。 与试函数表达式类似，可以把权函数也写成已知基函数的组合，即
pT ( x) [1, x, y, x 2 , xy, y 2 ]
m6
m 10
基函数的个数 m 、 基函数中包含的完备多项式的最高阶数 n 和问题的维数 nDim 之间的关系为
m
(n 1)(n 2) (n nDim ) nDim !
(3)
在移动最小二乘近似的（MLS）中，坐标 ai ( x ) 的选取应该使近似位移
p ( x) [1, x, y, r cos , r sin , r sin sin , r cos sin ] 2 2 2 2
T
式中：r 为某点距裂纹尖端的距离， 为该点与裂纹尖端连线与裂纹线的夹角。
若把式(1)作为有限单元容许位移函数，则 p1 ( x) 1 可以保证单元容许位
求解方法。只要试函数是利用离散点来建立的，则由紧支试函
数加权余量法导出的各种近似方法都称为无网格方法。
紧支近似函数 紧支近似函数是定义在局部区域(支撑区域)中的函数，它只 在支撑域中有定义，而在支撑域外为零。在二维问题中，支撑 域一般为圆形或矩形，与求解域相比，支撑域是一个很小的区 域，并且是可以互相重叠。有限元网格表示的区域是不能彼此 重叠的。
element-free_galerkin_(efg)方法_概述说明
element-free galerkin (efg)方法概述说明1. 引言1.1 概述Element-Free Galerkin (EFG)方法是数值计算中一种重要的无网格方法，它在求解偏微分方程问题中具有独特的优势和广泛的应用。
相比传统有限元方法，EFG方法不需要构建网格，能够更好地处理复杂几何形状和大变形问题。
本文旨在对EFG方法进行全面的概述和说明，介绍其原理、基本步骤以及在工程应用中的优势和应用领域。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将对EFG方法进行概述，并介绍文章的结构安排。
其次，在第二部分我们将详细描述EFG方法的简介、原理以及在工程应用中的优势。
第三部分将介绍EFG方法的基本步骤，包括离散化与网格生成、加权残差法与弱形式表达以及局部插值与求解偏微分方程。
第四部分将探讨EFG方法在结构力学、流体力学和生物医学工程等领域中的广泛应用。
最后，在第五部分我们将总结本文讨论内容及发现结果，并对EFG方法未来发展提出展望和建议。
1.3 目的文章旨在提供关于EFG方法的全面概述和说明，介绍其原理、基本步骤以及在工程应用中的优势和应用领域。
通过本文，读者将能够了解EFG方法的基本原理和特点，并了解其在不同领域中的应用情况。
同时，我们还将对EFG方法未来发展进行展望，为相关研究提供参考和建议。
2. Element-Free Galerkin (EFG)方法概述:2.1 EFG方法简介:Element-Free Galerkin (EFG)方法是一种用于求解偏微分方程的数值方法。
与有限元法类似，EFG方法也是将问题域离散化为小区域，并在每个区域上构建逼近解。
但与有限元法不同的是，EFG方法不需要网格。
在EFG方法中，问题的域被离散化为一系列节点。
每个节点处都需要定义一个试探函数以及相应的待定系数。
通过加权残差法和弱形式表达，在整个领域内建立起一个连续性误差逼近解。
2.2 EFG方法原理:EFG方法的核心思想是利用无网格自由度进行逼近求解，因此避免了传统有限元网格划分所带来的困难和误差。
固体力学中的无网格方法
• • • • • 无网格方法的概述 无网格方法的近似方案 不连续性近似 离散化实现 基本边界条件的实现
无网格方法的概述
无网格法是在建立问题域的系统代 数方程时，不需要利用预定义的网 格信息，或者只利用更容易生成的 更灵活、更自由的网格进行域离散 的方法。（刘桂荣，2009）
无网格方法的概述
最近几年，Duarte和Oden等人提出了单位分解法， 并且认识到基于移动最小二乘法的近似方法实际上是 单位分解法的一种特例，从而将这类近似方法加以扩 展；Liu等人也对此类方法做了大量的研究工作，并对 其收敛性给以证明。
无网格方法的概述
无网格法求解过 程（与FEM对比）
无网格方法的概述
无网格方法模拟裂纹扩展
无网格方法的近似方案
• 核函数近似方法 • 移动最小二乘近似(MLS) • 单位分解法
无网格方法的近似方案
核函数近似方法
核函数近似方法最初主要用于SPH方 法。它对函数u（x）利用核函数进行近 似 u ( x ) x y , h u ( y ) d x y , h 被称为核函数或权函数，h是紧 支集尺寸的一个度量。
无网格方法的概述
一条构造无网格方法的途径是采用 移动最小二乘法（moving least square approximation method，简记为MLS）进 行近似。Nayroles等人最早将移动最小二 乘近似用于Galerkin方法，并将之称为扩 散单元法（difflnse elernent methods，简 称DEM）。Belytschko等人提出了无单元 的Galerkin法（element free galerkin method，简称EFG）。这类方法具有较 好的协调性及稳定性。
无网格法的理论及其应用
无网格法的理论及其应用张雄清华大学航天航空学院无网格法，清华大学出版社/有限元法存在的某些困难无网格法是直接利用分布在求解域中的离有限元法存在的某些困难七十年代：非规则网格有限差分法(Nayroles等)Liu等、RKPM）Onate等，FPM）年：单位分解有限元法和广义有限元将无网格法的思想引入有限元法中紧支径向基函数配点法Computer Methods in Engineering有限元法存在的某些困难紧支试函数只定义在局部域中有限元法存在的某些困难(Kernel approximation)用积分核变换近似在边界附近不满足对非均匀布点不能满足含伸缩系数的紧支核函数有限元单位分解近似单位分解条件()1x IIφ=∑()x I φ—定义在子域上ΩI 的非零函数1()()(())x x x m h kII iI i I i u u b q φ==⋅+⋅∑∑(x )I I u u =iI b —待定系数()x i q —基函数hp云团法点插值法m∑ uh (x) = Pi (x) ⋅ ai (x) = P(x)a(x) i =1与MLS类似，但取n = m 是一种插值 系数矩阵的奇异性问题基于径向基函数的点插值法Nm∑ ∑ g(x) = ck ⋅φ( x − xk ) + bi pi (x)k =1i =12005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄无网格法的理论及其应用 有限元法存在的某些困难 无网格法的研究历史 紧支试函数加权残量法¾紧支试函数 ¾加权残量法 无网格法总结 无网格法的应用2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄加权残量法 控制方程 A(u(x)) = 0 In Ω B(u(x)) = 0 On Γ∫ ∫ WA(uh (x)) d Ω + WB(uh (x)) d Γ = 0 Γ Ω2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄加权残量法 Galerkin Collocation Local Petrov Galerkin Least Square Collocation Weighted Least Square Galerkin Least Square Galerkin Collocation2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Collocation 微分方程在域内节点处满足，边界条件在 边界节点处满足A(uh (xI )) = 0 ∀xI ∈ Ω B(uh (xI )) = 0 ∀xI ∈ Γ¾ 计算效率高，方法简单 ¾ 精度差，稳定性差 ¾ 系数矩阵不对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Galerkin 在域内取W = φJ，在边界上取 W = −φJ∫ ∫ ΩφJ [ A(uh (x))]dΩ − ΓφJ [B(uh (x))]dΓ = 0¾ 计算量大 ¾ 精度高，稳定性好 ¾ 系数矩阵对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Galerkin 积分 ¾ 背景网格积分 ¾ 有限元网格积分 ¾ 节点积分（稳定化方案） ¾ 单位分解积分 本质边界条件的处理 ¾ 拉格朗日乘子法 ¾ 修正变分原理 ¾ 罚函数法 ¾ 位移约束方程法 ¾ 变换法2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Local Petrov-Galerkin 残差在各个节点的子域中消除，且 W ≠ φJ∫ ∫ WA(uh (x))dΩ + WB(uh (x))dΓ = 0ΩIΓI¾ 不需要背景网格 ¾ 需使用特殊的积分方案 ¾ 系数矩阵不对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Least square collocation 除节点外，在域内设置一些辅助点。
无网格法介绍
无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域 离散的方法。（刘桂荣，2009）
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无网格法概述
无网格法求解过程 （与FEM对比）
FEM和MFree法流程图
4
无网格法概述
形成逼近函数 光滑粒子法 移动最小二乘法 单位分解法 重构核粒子法 径向基函数法
函数性 MLS形函数不具备 函数性，本质边界条件不易施加
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目
录
1
无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
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3 4 5
无网格法研究主要进展及参考文献
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导出无网格法公式
基于全局弱式的无网格法
MFree全局弱式法中，控制偏微分方程连同其边界条件通过各种技术 转化为一组积分方程，再利用建立在问题域上的全局背景网格进行 数值积分操作而将其弱式转化为一组代数系统方程。 代表方法：无单元Galerkin法(EFG)，无网格径向基点插值法 (MRPIM) EFG特点。优点：具有很好的精度和收敛性，对点的分布不敏感； 缺点：需要背景网格，应用本质边界条件困难，计算效率低。 MRPIM特点。优点：本质边界条件容易施加，插值稳定；缺点：径 向基参数不好确定，计算效率较低，形状函数难于满足全域的相容 性条件。
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导出无网格法公式
基于局部弱式的无网格法
MFree局部弱式法核心是对控制方程在每一个局部子域采用局部加权 残值法，使一个需要在全域求解的问题简化为在各个子域上对局部 伽辽金方程的求解问题,从而避免了全域的数值积分 代表方法：无网格局部伽辽金法(MLPG)，局部点插值法(LPIM) MLPG特点。优点：避免全局数值积分，减小了对背景积分网格依赖； 缺点： “刚度阵”带状但不对称，增加了计算难度，尽管在大部分 的边界积分可通过选用适当的权函数消除掉 ，但在问题域的边界上 或附近,边界积分是不可避免的，使其难以应用于复杂边界。 LPIM特点。优点：更易满足本质边界条件且有较好 的精度和收敛性； 不需满足全域相容性，更有应用前景；缺点：插值力矩阵容易发生 奇异，需要特殊处理。
无网格法的理论及应用(正在看1)
自动生成仍然是极具挑战力的任务. 其他一些基 于网格的数值方法, 如有限差分法、边界元法等也 或多或少的存在上述问题.
鉴于有限元、边界元等基于网格的数值方法 的这些缺陷, 国际计算力学界从 20 世纪 90 年代开 始兴起了无网格法的研究热潮 [1∼5]. 与基于网格 的有限元等方法不同, 无网格法用一组点来离散 求解区域, 直接借助于离散点来构造近似函数, 可 以彻底或部分地消除网格, 不需要网格的初始划 分和重构, 不仅可以保证计算的精度, 而且可以减 小计算的难度. 然而, 无网格法也存在一些固有缺 陷. 例如, 无网格近似函数一般均很复杂, 其计算量 较大; 大多数的无网格近似函数不具有插值特性, 因此无网格法本质边界条件的施加比有限元法繁 琐.
对于多维问题, 近似函数式 (1) 可以改写为
n
ui(x) ≈ uhi (x) = NI (x)uiI = N (x)u (2)
I =1
其中 uiI = ui(xI ), N (x) = [N1(x)I, N2(x)I, · · · , Nn(x)I], u = [u11, u21, u31, u12, · · · , u3n]T, I 为单 位矩阵. 不同的无网格近似函数具有不同的形函 数. 与有限元法不同, 大多数无网格近似函数不具 有插值特性, 因此 uI 一般不再是试函数 uh(x) 在 节点 xI 处的值, 即 uh(xI ) = uI , NI (xJ ) = δIJ .
MLS 近似中将权函数 wI (x) 在域 ΩI 内取为 1, 在 域 ΩI 外取为 0, 则 MLS 近似退化为标准的最小二 乘近似 (LSQ).
MLS 近似可以精确地重构包含在基底中的任
何函数 pi(x)(即
n I =1
基于当地笛卡儿架构的无网格方法
2 离散方法
我们选用下面的Poisson方程来说明本文方法的离散思想：
2 2 Q( x, y ) x 2 y 2
（1）
在无网格方法中，需要运用某一点的一系列邻近点的函数值来近似该点的 函数值及其导数。那么一个重要任务就是为某个样点选择适当的邻点。下面将 说明本文方法的选点过程。 首先，在所研究的区域中任意布点。然后 y 选取点0作为要在其上构造导数的样点。 3 引入一个笛卡儿架构0xy ，其原点与点0重 3’ 4 合, 如图1所示。如果某一点在笛卡儿架构 0xy的第四象限中，并且该点离点0和x轴最 5 2 近，那么我们将这一点定义为点1，可以看 6’ 1’ 0 出点1不会是点0本身。如果某一点在笛卡儿 x 6 架构0xy的第一象限中，并且该点离点0和 1 x轴最近，那么我们将这一点定义为点2。如 7 8 8’ 果某一点在笛卡儿架构0xy的第一象限中， 并且该点离点0和y轴最近，那么我们将这一 点定义为点3。依据同样的原则可以定义出 图1中的点4—点8。对于所研究的区域中的 所有样点均实行同样的操作，那么为每一个 图1 样点0上的笛卡儿架构及点0的邻点 样点配置8个邻点的工作就完成了。
0.9
91
1. 5
2
95
4
7 93
3.5
2.5
25
5
49 1. 18 7
3.4 94 3
2.4
1.9 92 5
0.5
7
93 12
1
3
图2 点分布与等u线(441个节点)
0.4 90 62 5
0.9 9 12 5
2.99375
1.5
3.995
1.49187
1.9925
2.5
2
无网格法 流体
无网格法流体介绍无网格法流体的定义和背景引述无网格法流体在科学计算和工程应用中的重要性解释无网格法的基本思想和原理着重介绍无网格法在流体模拟中的应用描述无网格法流体模拟的一般步骤包括数据准备、网格生成和流体模拟等关键步骤强调无网格法在流体模拟中的优势和独特之处比较网格法和无网格法的差异和优缺点概述无网格法在不同领域中的应用情况包括工程流体力学、生物流体学和天气模拟等方面讨论无网格法流体模拟的发展趋势和前景提出可能的改进和创新方向总结无网格法流体的重要性和应用前景强调进一步开展相关研究的意义和必要性以上是《无网格法流体》的大纲，该文将以简洁的语言呈现无网格法流体模拟的基本原理、步骤、优势、应用领域和发展趋势，以及结论的总结。
本文将介绍无网格法流体的概念和定义。
无网格法流体（Mesh-free Fluid）是一种基于流体力学原理的数值模拟方法，用于模拟液体或气体在复杂几何形状中的流动行为。
与传统的网格方法（Grid-based Method）不同，无网格法在建立数值模型时不需要网格结构，而是以粒子为基本计算单元。
无网格法流体的核心思想是将流体连续介质看作一系列粒子，通过离散化的方式模拟流体运动。
在模拟过程中，粒子之间的相互作用和影响被计算和更新，从而实现对流体的模拟和预测。
与传统网格方法相比，无网格法具有更高的自由度和适应性，能够处理复杂的流体现象和几何形状。
无网格法流体广泛应用于各个领域，包括工程、物理学和计算机图形学等。
它在模拟自然界中的流体行为、计算流体力学、研究海洋环境、仿真特殊效果等方面具有重要的作用。
通过使用无网格法流体，研究人员和工程师能够更准确地预测和分析复杂流体系统的行为，为各个领域的科学研究和工程设计提供有力的支持。
本文将探讨无网格法流体在不同领域的应用，例如仿真、计算流体力学等。
无网格法流体在仿真领域具有广泛的应用。
通过使用无网格法，可以更精确地模拟涉及流体的各种物理过程，如水流、燃烧等。
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无网格法简介
2008-01-12 14:19:34| 分类：默认分类| 标签：|字号大中小订阅
近几十年来，有限元法已成为计算力学中解决工程问题的主要数值手段，然而随着其应用范围的扩展，其固有的一些缺陷也日益突出。
在金属冲压成形、高速碰撞、流固耦合等涉及特大变形的领域中，基于拉格朗日法的有限元网格可能产生严重的扭曲，甚至使得单元的雅可比行列式为负值，不仅在计算中需要网格重构，而且严重地影响解的精度；对高速冲击等动态问题，显式时间积分的步长取决于有限元网格的最小尺寸，因而网格的扭曲将使得时间积分步长过小，大幅度地增加了计算工作量；对裂纹的动态扩展问题，由于裂纹的扩展方向不能事先确定，因而在计算过程中需要不断地重新划分网格以模拟裂纹的动态扩展过程。
由于有限元近似基于网格，因此必然难于处理与原始网格线不一致的不连续性和大变形。
网格重构不仅计算费用昂贵，而且会损害计算精
度。
鉴于这种缺陷，近几年来国际上许多著名的计算力学学者，如T. Belytschko, O.C. Zienkiewicz, S.N. Atluri, J.T. Oden, W.K. Liu 等都对无网格方法表现出了极大的兴趣，并进行了大量的研究工作。
无网格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，不需要网格的初始划分和重构，不仅可以保证计算的精度，而且可以大大减小计算的难度。
然而，由于目前的无网格近似一般没有解析表达式，且大都基于伽辽金原理，因此计算量很大，要超出传统的有限元法；另外，无网格近
似大都是拟合，因此对于位移边界的处理比较困难，多采用拉格朗日乘
子法处理。
目前已提出了十余种无网格法，其主要区别在于离散微分方程的方法（如伽辽金法、配点法、最小二乘法、彼得洛夫-伽辽金法等）和建立近似函数的方法（移动最小二乘近似、核近似、重构核质点近似、单位分解法、hp云团法、径向基函数法、点插值法等）。