CHP3-1

11

1 0   0   x x   u;   0 2  b2  y  [c1 , c2 ]x
1  1 x1 x 2  2 x2  b2u x
+

x2
0 x   x2 

x1
能控子空间



x1

c1

1
u(t)

b2

+

+



x2

c2

+ + +

y

能控状态？

Pn

5

x ( t0 )
能控性

u(t) [t0,tf]

x(t f )

x ( 0)

x(t f )

0

能达性

x ( t0 )

0

x(t f )

6

3-1-2 线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统

  A(t ) x  B(t )u x

状态能控

x ( t0 )

u(t) [t0,tf]

x(t f )
 c11 c12 c c22 21  y (t )     cm1 cm 2  c1n   e 1t x10   2 t    c2 n  e x20         n t   cmn  e xn 0 

0

 c11 c12 c c22 21  C    cm1 cm 2
第三章 线性控制系统的能控性和能观性

S
u(t)
(输入)

动力学 部分

x(t)
(状态)

测量 部分

y(t)
(输出)

1

第三章 线性控制系统的能控性和能观性
3-1 能控性的定义 3-2 线性定常系统的能控性判别 3-3 线性连续定常系统的能观性 3-4 离散时间系统的能控性与能观性 3-5 时变系统的能控性与能观性 3-6 能控性与能观性的对偶关系 3-7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3-8 线性系统的结构分解 3-9 传递函数矩阵的实现问题 3-10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系

系统状态完全能控

状态x(t)的转移,与t0时刻的选取有关
7

3-1-3离散时间系统
单输入的n阶线性定常系统

x(k  1)  Gx(k )  Hu(k )

状态能控

x( k )

u(i)

i  k , k  1,, l  1
系统状态完全能控

x(l )

0

8

3-2 线性定常系统的能控性判别
1. 具有约旦标准型系统的能控性判别 2. 直接从A与B判别系统的能控性
系统状态完全能观测 系统能观

24

几点说明
（1）在分析能观测问题时，可以令 u  0 （2）观测时间应满足 t f  t0 （3）一般只讨论初始状态x(t0)的能观性，因为一旦确定了 初始状态x(t0),便可根据

x(t )  (t  t0 ) x(t0 )   (t   )Bu ( )d

 c1n   c2 n       cmn 

1  1 x1 x  2  1 x2 x   n  n xn x

 e 1t x10   2 t  e x20   x(t )      n t  e xn 0 

27

A为约旦标准型矩阵
j 0

n 1

t  t f , x(t f )  0
(t f  t0 ) x(t0 )    (t f   )bu( )d
t0 tf

1 k k (t )  e   A t k  0 k!
At



x(t0 )   (t f  t0 ) (t f   )bu( )d



rankM  n
rankM  rankM  M
T

22

3-3 线性连续定常系统的能观性
1. 能观性定义 2. 定常系统能观性的判别

23

3-3-1 能观性定义
线性定常连续系统

  Ax  Bu; x(t0 )  x0 x

y  Cx

y (t )

u(t)

x ( t0 )

状态能观

t  [t 0 , t f ]
t0

t

求得各个瞬时的状态

25

3-3-2 定常系统能观性的判别
1. 转换成约旦标准型的判别方法
(1) A为对角线矩阵
判据1：输出矩阵C中没有全为零的列

(2) A为约旦标准型矩阵
判据2：输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列的元素不全为零

2. 直接从A,C阵判断系统的能观性
判据3：能观性矩阵的秩为n
 C   CA   N      n 1  CA 

n 1

x(t0 )   A j b   j (t0   )u ( )d
tf j 0 t0

  A j b j
j 0

n 1

 j    j (t0   )u( )d
t0
19

tf

x(t0 )   A b  j (t0   )bu( )d   A j b j t
1 t0

tf

   (t0   )bu( )d
t0

tf

18

x(t0 )   (t0   )bu( )d
t0

tf

A   a jk A
k j 0

n 1

j

1 k k (t )  e   A t k  0 k!
At



n 1 k n 1  1 k n 1 t    j (t ) A j (t )   t  a jk A j   A j  a jk k! j 0 k  0 k! j 0 j 0 k 0

1

16

3-2-2 直接从A与B判别系统的能控性
1. 单输入系统

  Ax  bu x
判据1

M  b Ab A b  A b
2



n 1



满秩

rankM  n
17

证明：
x(t )  (t  t0 ) x(t0 )   (t   )bu( )d
t0 t

Ak   a jk A j

N T  CT



AT CT  ( AT )n1CT



26

A为对角线矩阵
1     2  A       n  

0

y1  c11x1  c12 x2    c1n xn y2  c21x1  c22 x2    c2 n xn  ym  cm1 x1  cm 2 x2    cmn xn





20

3-2-2 直接从A与B判别系统的能控性
1. 单输入系统

  Ax  Bu x
判据2：

Wux ( s)  ( sI  A) b
无零极点对消

1

21

3-2-2 直接从A与B判别系统的能控性
2. 多输入系统

  Ax  Bu x
判据3：

M  B AB A B  A B
2



n 1
28

直接从A,C阵判断系统的能观性
x(t )  (t  t0 ) x0
(t  t0 )    j (t  t0 ) A j
j 0 n 1

y (t )   0 I

 C   CA   x0 1I   n 1I      n 1  CA 

+



x1

c1

+ +

y

1

1

13

1 1  b1   x x   u;   0 1   0  y  [c1 , c2 ]x
u(t)

1  1 x1  x2  b1u x 2  1 x2 x

b1
+



x2
+

+ +



x1

c1

y
+ +

1

1

c2
14

1 0   0   x x   u; 1. 系统的能控性取决于矩阵A和b   0 2  b2  系统的结构、参数，控制作用的施加点 y  [c1 , c2 ]x 1 1   0  2. A为对角阵，控制矩阵b不能有零元素  x x   u;   0 1  b2  y  [c1 , c2 ]x 1 1  b1   x x   u;   0 1   0  y  [c1 , c2 ]x
1 1 0  A  J   0 1 1      0 0 1  
 c11 c12 c13  C   c21 c22 c23     c311 c32 c33  

1 2 1t   1t 1t e x  te x  t e x30  10 20  x1 (t )   2!  t     x ( t )  x2 ( t )   e 1 x20  te 1t x30     1t  e x30   x3 (t )         y1 (t )  c11 c12 y (t )   y2 (t )  c21 c22      y3 ( t )    c31 c32 1 2 1t   1t 1t c13  e x10  te x20  2! t e x30   c23   e1t x20  te 1t x30   1t c33  e x30      

2

 0  x (t )    x ( t )  2 
12

1 1   0   x x   u;   0 1  b2  y  [c1 , c2 ]x

1  1 x1  x2 x  2  1 x2  b2u x

c2
u(t)

b2

+

+



x2

+

1  j (t  t0 )   a jk (t  t0 )k k! k 0
y(t )  Cx(t )    j (t  t0 )CA x0
j j 0 n 1



29

补充内容 —运动的模态
微分方程解的结构 d 4x d 3x d 2 x dx 0.025 4  0.55 3  1.5 2   x  u  t  dt dt dt dt 齐次方程
j tf
0

n 1 j 0

n 1 j 0

 0    x(t0 )   b Ab A2b  An 1b  1        n 1 





 0   x1 (t0 )     x (t )  1  1    b Ab A2b  An 1b  2 0             x ( t )  n 1   n 0 

2

3-1 能控性的定义
1. 线性连续定常系统的能控性的定义 2. 线性连续时变系统的能控性定义
3. 离散时间系统

3

3-1-1 线性连续定常系统的能控性定义
线性定常连续系统

x  Ax  Bu

状态能控

x ( t0 )

u(t) [t0,tf]

x(t f )

系统状态完全能控
பைடு நூலகம்
4

x2

P P2 0

P1
x1

0

0

0

0 0

0

1  2  n

 b1  b  2  b    bn 
10

1 0   0   x x   u;   0 2  b2  y  [c1 , c2 ]x 1 1   0   x x   u;   0 1  b2  y  [c1 , c2 ]x 1 1  b1   x x   u;   0 1   0  y  [c1 , c2 ]x
3. A为约旦标准型，控制矩阵b中相应 于约旦块的最后一行的元素不能为零

结论

15

3-2-1 具有约旦标准型系统的能控性判别
2. 具有一般系统矩阵的多输入系统

  Ax  Bu x

x  Tz

  z  T Bu z

1

  Jz  T Bu z
判据1：当A的特征根互异时，T-1B的各行元素不能全为零 判据2：当A的特征根有重根时， （1）T-1B中与每个约当块最后一行相对应的一行的元素不能全为零 （2）T-1B中对应于互异特征值部分，其各行元素不能全为零

9

3-2-1 具有约旦标准型系统的能控性判别
1. 单输入系统

  x  bu x
1     2         n 

  Jx  bu x
1 1      1      1   J  1    q1      0 0  n   