2010高数D期中考试试卷
金兰组织2010学年第一学期期中考试高二数学试题(文科)答案
金兰组织2010学年第一学期期中考试 2010.11高二数学试题（文科）答案第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，第Ⅱ卷(非选择题共80分)二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分11、条件结构；12、系统抽样；13、24x y =-；14、32 15、2y = 16、2 17、31三、解答题：（本大题含5个小题，共59分。
解答应写出文字说明、证明过程） 18、（10分）分别求满足下列各条件的圆锥曲线的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)2,3(-A 、)1,32(-B 的椭圆的标准方程； (2)经过点)6,2(M ，且与椭圆455922=+y x 具有共同焦点的双曲线的标准方程. 解：（1）设所求椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,且n m ≠)，依题意得⎩⎨⎧=+=+112143n m n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==51151n m ， ----------4分 从而所求椭圆的标准方程为151522=+y x .------------5分 （2）由455922=+y x 可得2c =,且焦点在y 轴上，---------6分可设所求的双曲线方程为222221(04)4y x a a a-=<<-，将)6,2(M 代入，得22a =,----------10分 所以所求的双曲线方程为 22122y x -=-----------12分19、（12分）为了了解高一女生的身高情况，某中学对高一某班女生的身高（单位：cm ）进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：（1）求出表中x 、y 、M 、N 所表示的数值； （2）画出频率分布直方图；（3）估计高一女生身高在[155,165]的概率．解：（1）2x =，0.04y =，50M =，1N =． -------3分(2) 频率分布直方图略（注意纵坐标） ------------7分（3）由频率分布表中数据，可得：高一女生身高在[155,165]的频率为157.5155165161.50.40.30.160.69157.5153.5165.5161.5--⨯++⨯=--， 由此估计：高一女生身高在[155,165]的概率约为0.69 ------------12分20、（12分）直线13:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B .（1）求实数k 的取值范围；（2）若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，求直线方程.解：（1）22221(3)220,31y kx k x kx x y =+⎧⇒---=⎨-=⎩ ………………（2分） 设1122(,),(,)A x y B x y 则 122203x x k-=<-,解得33<<-k . …………（6分） （2）由（1）知12122222,,33k x x x x k k -+==-- 又1212,0.OA OB y y x x ⊥+=所以又A ，B 两点在直线l 上，所以1,12211+=+=kx y kx y 代入上式有.01)()1(21212=++++x x k x x k ……① ………………（10分）代入解得k =±1，即直线l 的方程为.1+±=x y ………………（12分） 21、（12分）线段AB 过x 轴正半轴上一定点(,0)M m ，端点,A B 到x 轴的距离之积为4,m 以x 轴为对称轴，O 为坐标原点，过,,A O B 三点作抛物线。
2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题及答案(理科)
2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题及答案（理科）2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上. 学科网 1．已知命题，则 : . 2．“ ”是“直线与圆相交”的条件。
（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件） 3. 函数，的单调递增区间是． 4. 有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根” 的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。
其中真命题的个数是________. 5．若，则等于 6．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}成等比数列的充要条件是r＝． 7．计算 8．观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ____ ________. 9．已知复数满足 =2，则的最大值为． 10．设… ，则 . 11．已知函数在处有极大值，则 = 。
12. 已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f’(1)= .13．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 .二、解答题 15.（本小题满分14分）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）已知 p：，q：．⑴ 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围；⑵ 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围．17. (本题满分15分) 已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1, 求证：(1) ab≤ (2) + ≥8; (3) + ≥ . (5分+5分+5分)18. (本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an （n∈N*）. （1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (7分) （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. (8分) 19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ (6分) 20．（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直． (1) 求实数的值； (6分) (2) 求在（为自然对数的底数）上的最大值； (5分) (3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？ (5分) 2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
2010-2011期中考卷
( A)2 2
(B)
2 2
(C )2
(D)4 2
ab a
ab a
b cos(a,b) cos(a,b)
b
sin(a,b) 8
2 2
4
2
2 2
3、双曲线
x2 4
z2 5
1绕z轴旋转一周而成的旋转
y 0
曲面的方程为( )
( A)
x2
4
Hale Waihona Puke y2z2 51
(C ) ( x
y)2 4
在xoy面上的投影曲线为
z
0
.
x2 4 y2 z2 4 消去z xza
x2 4 y2 (a x)2 4
(投影柱面方程)
4、两平行平面2x 3 y 4z 9 0与2x 3 y 4z 15 0 的距离是( )
(
A)
6 29
(B
)
24 29
(C )
24 29
(D)
6 29
{1,
2t0 ,
3t02 }
切线 // 平面 T n T n 0
即：1 1 2 (2t0 ) 1 3t02 0
解得：t0
1或
t0
1 3
8、若级数 (an bn )收敛，则( ) n1
( A) an， bn都收敛
n1 n1
(B) an， bn至少有一个收敛
n1 n1
(C ) an， bn不一定收敛 (D) an bn 收敛
1
s
6、 1n
n0
1 3n n!
xn的收敛区间是(, )
,和函数是e
x 3
=
1 x n n0 n! 3
2010-2011 《 高等数学（工）2 》期中试卷
【优质文档】2010—2011第一学期高二数学期中试题
17． (本小题满分 12 分 )比较 x6 1与 x 4 x2 的大小，其中 x R .
y 轴反射后到点
B( 1,6) ，
18． (本小题满分 12 分 )已知直线 l 满足下列两个条件： （1） 过直线 y x 1和 y 2x 4 的交点；（2） 与直线 x 3 y 2 0垂直，求直
线 l 的方程 .
2010—— 2011 第一学期高二数学期中试题
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．已知 a、 b、 c R ,下列命题中正确的是
A ． a > b ac2 > bc2
B ． ac 2 > bc2
a> b
（）
C． a3 > b3
1< 1 ab
（
4
1 A． 或 3
3
1 B． 或 3
3
1 C． 或 3
3
D． 1 或 3 3
5．若直线 (2a 5) x (a 2) y 4 0 与直线 (2 a)x ( a 3) y 1 0 互相垂直，则
为（ ）
） a 的值
A． a 2
B． a 2
C． a 2或 a 2 D ． a 2,0, 2
6．若 M ( x, y) 在直线 x 2 y 1 0 上移动时 , 则 2x 4 y 的最小值是
9．点 P1 (x1, y1 ) 是直线 l : f ( x, y) 0 上一点，直线 l 外一点 P2 (x2, y2) ，则方程
f ( x, y) f (x1, y1) f ( x2, y2 ) 0 表示的直线是
（）
A ．与 l 重合
B．过 P1 与 l 垂直 C．过 P2 与 l 平行
2010级高等数学(下)期中试卷参考解答
2010级《高等数学》（下）期中试卷（考试时间 120分钟）班级 姓名 学号 成绩 一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求du dx。
二（10分）设函数()x,y f 在点(1,1)处可微，且()(,)(,),11111112,3,f f f ,x y∂∂===∂∂()()(x)f x,f x,x ϕ=，求()1d d 3=x x xϕ。
三（10分）求曲面22z x y =+垂直于直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的切平面方程。
四（10分）求曲面224y x z --=和)(3122y x z +=所围闭区域Ω的体积.五（10分）求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域.六（10分）求面密度为常数μ的锥面22y x z +=（)10≤≤z ）对z 轴的转动惯量。
七（10分）求函数22222),(y x y x y x f -+=在闭区域}0,4),({22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值。
八（10分）计算积分224L xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周222(1)(1)x y R R -+=≠（按逆时针方向）．九（10分）计算曲面积分⎰⎰∑++=xydxdy zydzdx xzdydz I 32，其中∑为有向曲面)10(4122≤≤--=z y x z 方向取上侧。
十（10分）设函数),(||),(y x y x y x f ϕ-=，其中),(y x ϕ连续，问： （1）),(y x ϕ应满足什么条件，才能使偏导数)0,0(x f ，)0,0(y f 存在。
（2）在上述条件下，),(y x f 在点)0,0(处是否可微？中国矿业大学2010级《高等数学》（下）期中试卷参考解答（考试时间 120分钟）一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求dudx。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
郑州市2010--2011年高二数学期中考试题及答案
郑州市2021----2021学年度上学期五校联考期中考试高中一年级 数学试卷命题学校：郑州二十中本试卷分第Ｉ卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
考试完毕后，将答题卷交回。
考前须知：１答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科涂写在答题卡上。
２．每题选出答案后，用２B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ｉ卷〔选择题 共60分〕一．选择题〔共10题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的〕〔答案涂在答题卡上，否那么无效〕1.全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}，那么A∩(C U B)等于〔 〕A ．{4，5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3} 2．函数22(13)y x x x =--≤≤的值域是( ) A ．[1,1]- B ．[1,3]- C ． [1,15]- D ． [1,3] 3．以下函数中，与函数xy 1=有一样定义域的是〔 〕A.x x f ln )(=B.xx f 1)(=C.3)(x x f =D.xe xf =)( 4M ab =〔a ＞0，b ＞0，M ≠1〕,x b M =log ， 那么a M log 的值为〔 〕 A.x -1 B. x +1C.x1D. 1-x 5．假设{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，那么A B ⋃=( )A ． {}|0x x ≤B ． {}|2x x ≥C ． {}20≤≤x x D ． {}|02x x <<6.函数xa y 1+=在),0(+∞∈x 上是增函数，那么〔 〕 A a ＞0 B a ＜0 C a ＞-1 D a ＜-17、三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是〔 〕A. a ﹤c ﹤bB. a ﹤b ﹤cC. b ﹤a ﹤cD.b ﹤c ﹤a8．函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是〔 〕 A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D. )25,2( 9、函数xy ⎪⎫⎛=1的图像是〔〕10x ＞0时x f )(，那么的值是〔 〕 A.100- B.1001 C.100 D.1001-第II 卷二、填空题〔每题4分，共16分，请把每题的答案填在题后横线上〕 11．函数21)(--=x x x f 的定义域为__________________ 12．计算：641log ln 3842log 323+⨯e = 。
2010—2011第一学期高二数学期中试题
2010——2011第一学期高二数学期中试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知a 、b 、c R ∈,下列命题中正确的是（ ） A ．22a b ac bc ⇒>>B ． 22ac bc a b ⇒>>C ． 3311a b a b⇒>< D ． 22a b a b ⇒>> 2．若三点(3,1)A (2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于 （ ）A ．2B ．3|C ．9D ． 9-3．若,0ac bc >0<，则实数0ax by c ++=必不经过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知直线220x y +-=和10mx y -+=的夹角为4π，则m 的值为 （ ） A ．133--或 B ．133-或 C ．133-或 D ．133或 5．若直线(25)(2)40a x a y ++-+=与直线(2)(3)10a x a y -++-=互相垂直，则a 的值为 （ ）A ．2a =B ．2a =-C ．22a a ==-或D ．2,0,2a =- 6．若(,)M x y 在直线210x y ++=上移动时, 则24x y +的最小值是 （ ） BBC． D．7．设x a ε-<，y a ε-<，则下列不等式中必成立的是 （ ）A ．x y ε+<B ．x y ε-<C ．2x y ε->D ．x y ε-<2 8．直线240x y --=绕它与x 轴的交点逆时针方向旋转4π，所得直线方程为 （ ）A ．320x y --=B ．360x y -+=C ．360x y +-=D ．20x y +-=9．点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，直线l 外一点222(,)P x y ，则方程 1122(,)(,)(,)0f x y f x y f x y --=表示的直线是 （ ）A ．与l 重合B ．过1P 与l 垂直C ．过2P 与l 平行D ．过2P 与l 相交10．若(,)P x y 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为 （ ）AB．C ．D ．211．已知点(3,2)P 与点(1,4)Q 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y -+=B ．0x y -=C ．10x y ++=D ．0x y +=12．不等式组36020x y x y ++⎧⎨-+⎩≥<表示的平面区域是 （ ）C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设0x ≠，则函数21()1y x x =+-在x = ________时，有最小值______________.14．不等式321x y -≤的解是_______________. 15．设z x y =-，式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-⎧⎨-⎩≥≥，则z 的最小值为 .16．光线从点(3,4)A -出发射到x 轴上，被x 反射到y 轴上，又被y 轴反射后到点(1,6)B -， 则光线所经过的路途长为 .三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．(本小题满分12分)比较61x +与42x x +的大小，其中x R ∈.18．(本小题满分12分)已知直线l 满足下列两个条件：（1） 过直线1y x =-+和24y x =+的交点；（2） 与直线320x y -+=垂直，求直线l 的方程.19．(本小题满分12分) 解下列不等式 （1）322150x x x --> （2）22411372x x x x -+-+<20．(本小题满分12分)有两种物资（石油和粮食），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘21．(本小题满分12分) 在ABC ▷中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=， A ∠的平分线所在的直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和C 的坐标.22．(本小题满分14分) 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线方程是320x y -+=，直角顶点142(,)55C ，求两条直角边所在的直线方程和此时三角形面积。
2010高数试卷及答案(经济管理类)
高数试卷及答案一．(本题30分，每题3分)1.极限lim2nn→+∞⎛⎫=⎪⎪⎝⎭。
解：记))112nα+=，则ln6lim2nnnα→+∞=，))()ln61211lim lim1lim122nnnn nnn n neααα→+∞→+∞→+∞⎛⎫+⎛⎫⎡⎤⎪=+=+== ⎪⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭2. 设()f x在1x=处可导，且(1)0f=，(1)1f'=，则极限()1131()d dlim(1)xtxt f u u tx→=-⎰⎰。
解：()()()()()()()()111132111d d d dlim lim lim61131xt x xx x xt f u u t x f u u f u u xf xxx x→→→-==---⎰⎰⎰⎰()()()1'1lim66xf x f x xf x→---==-。
3.设yx=⎰，则334d y dydx dx-=。
解：将yx=⎰y微分得到dxdy=dydx=224'4d y yyydx==，334'd yydx==，简单计算可得3340d y dydx dx-=。
4. 设()f x有一个原函数是sin xx，那么2()xf x dxππ'=⎰。
解：首先由分部积分公式有2222()()()()xf x dx xdf x xf x f x dxππππππππ'==-⎰⎰⎰，又()f x 有一个原函数sin x x，所以'2sin cos sin ()x x x x f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 222cos sin sin 4()1x x xx xf x dx xxπππππππ-'=-=-⎰。
5. 曲线211y x=+绕其渐近线旋转所得旋转体体积V = 。
解：渐近线为x 轴，22224221111seccos 2V dx dt x t tπππππ+∞-∞-⎛⎫==⋅=⎪+⎝⎭⎰⎰。
2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷及答案
2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题（每题3分，共36分）：1．化简2)1(42i i ++（其中i 是虚数单位）的结果是i -2 2．已知),(,2R b a i b ai ∈++是某实系数一元二次方程的两个根，则=+b a 13．设O 是正方体1111D C B A ABCD -底面ABCD 的中心，则直线O B 1和D D 1的位置关系是 相交4．以直线032=+x 为准线的抛物线的标准方程是x y 62=5．双曲线222=-y x 的焦点坐标是)0,2(±6．已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，若焦距为4，则=m 8 7．若直线a 和平面α相交，则直线a 和平面α所成角的范围是]2,0(π 8．设复数z 满足12=+-i z ，则z 的最小值为15-9．设P 是双曲线11222=-y x 上一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积是 1210．设抛物线x y 82=内一点P （2,3），Q 是抛物线上一点，则QF PQ -的最大值是 311．已知复数R b a bi a z ∈+=,(且)0≠b ，若bz z 42-是实数，则有序实数对),(b a 可以是 )1,2( （符合b a 2=且0≠b 即可） 12．对于非零实数b a ,，以下四个命题都成立：①01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+；③若b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的序号是 ②④二、选择题（每题4分，共16分）：13．若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，则实数x 的值为（ B ）（A ）1± （B ）1- （C ）1 （D ）014．设n m l ,,均为直线，其中n m ,在平面α内，则“α⊥l ”是“m l ⊥且n l ⊥”的（ A ）（A ）充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分条件又非必要条件15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的半径是（ B ）（A ）a （B ）b （C ）ab （D ）22b a +16．如图，过正方体1AC 的顶点A 作平面BD A 1的垂线。
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
2010-2011学年度第一学期工科高等数学期中考试参考答案
2010-2011学年第一学期工科高等数学期中考试参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．用区间表达函数1ln(1)y x =+-的定义域为(1,2)(2,3]⋃.2. 函数221()23x f x x x -=+-的可去间断点是=x 1 .3. 3limexx x →+∞= 0 .4. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x ，在1t =处的切线方程为3240x y --=. 5. 设函数2133xy x=+-，则==0d x y13dx .6. 已知函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=有 2 个实根. 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. )(0-x f 、)(0+x f 存在，是()x f x x 0lim →存在的（ A ）条件.(A) 必要； (B) 充分； (C) 充分必要； (D) 既不充分也不必要. 2. 当0→x 时，下列无穷小中，与3x x -等价的无穷小是（ B ）.(A) x sin ； (B) sin x -； (C) 3x -； (D) 3x .3．下列函数中，（ A ）的导数不是sin 2x . (A) 11cos 22x +； (B) 11cos 22x -；(C) 2sin x ； (D) 2cos x -. 4．设)(x f 在x a =处可导，则（ C ）不成立. (A)()()lim()x a f x f a f a x a→-'=-； (B) 0(2)()lim2()h f a h f a f a h→+-'=；(C) 0()()lim()h f a h f a f a h→--'=； (D) 0()()lim()x f a f a x f a x∆→--∆'=∆.5．设bxa x f -=e)(，则=)()(x fn （ D ）.(A) bxa -e； (B) bxa n a -e； (C) bxa nb -e； (D) bxa n nb --e)1(.6．函数1()f x x=满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ B ）.(A) [2,2]-； (B) [1,2]； (C) [0,1]； (D) [2,0]-.三、求下列极限（每小题5分，共20分） 1. 2135(21)lim.3n n n →∞++++-+原式2(121)/2lim3n n n n →∞+-=+（3分）22lim13n nn →∞==+.（5分）2.22lim (1cos)n n nπ→∞-．原式222(2)lim 2n nnπ→∞=（3分）22π=.（5分）3.011lim .e 1xx x→⎛⎫-⎪-⎝⎭原式0e 1lim(e 1)xxx x x →--=-（2分）2e 1limxx xx→--=（3分）0e 1lim2xx x→-=（4分）12=.（5分）4. 1sin 0lim (13)x x x →-.原式31sin 30lim (13)xx xx x --→⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（3分）3e -=.（5分）四、求导数（每小题6分，共18分） 1．设()ln(e x f x =+，求(0)f '.解：2()e xx x f x ⎛⎫'=+=,（4分）所以,(0)2f '=.（6分）2. 已知隐函数()y y x =由方程2e31x yy x +=-确定，求y 的微分dy ．解：对方程两边微分，得 e ()6xydy ydx xdy xdx ++=, （3分）故(e 1)(6e )xyxyx dy x y dx +=- , 6e e1xyxyx y dy dx x -=+.（6分）3. 已知2sin x y e x =，求y ''.解：222()sin (sin )(2sin cos )x x x y e x e x e x x '''=+=+. （2分）2[(2sin cos )]xy e x x '''=+（3分）222(2sin cos )(2cos sin )xxe x x e x x =++- （4分）2(3sin 4cos )xex x =+. （6分）五、求解下列各题（每小题6分，共12分）1．确定常数b a 、的值，使函数32,0()3,x e a x f x x bx x ⎧+<=⎨++≥⎩，处处可导. 解：要使)(x f 在每一点都可导，只需)(x f 在0=x 处连续且可导，（1分） 而3lim ()lim (3)3x x f x x bx ++→→=++=； a a x f xx x +=+=--→→2)e 2(lim )(lim 0. （2分）由)(x f 在0=x 处连续，有(0)(0)(0)3f f f -+===，于是23a +=，得1a =.（3分）又 3()(0)33(0)lim lim x x f x f x bx f b xx+++→→-++-'===，()(0)2e 132(e 1)(0)lim lim lim 2xxx x x f x f f xxx----→→→-+--'====.（4分）由)(x f 在0=x 处可导，有)0()0(+-'='f f ，于是得2=b . 故当1a =，2=b 时，)(x f 处处可导. （6分）2. 设函数()()()f x x a x ϕ=-，其中函数)(x ϕ在a x =点连续，讨论)(x f 在a x =点处的可导性. 解：由()()limx af x f a x a→--()lim()x ax a x x aϕ→-=-lim ()x ax ϕ→= （3分）因为)(x ϕ在a x =点连续，lim ()x ax ϕ→()a ϕ= （4分）因此()()limx af x f a x a→--lim ()x ax ϕ→=()a ϕ=，知)(x f 在a x =点处可导.（6分）六、证明题. （每小题7分，共14分） 1.证明：对任意实数a ，均有222222111lim 12n n n an an na →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭.证明：设222222111()2n x n n an an na=++++++ ，（1分） 则，≤n x 222222222111()n nn y n an a n a n a +++==++++ ；（2分） ≥n x 222222222111()n nn z n nan nan nan na+++==++++ ，（4分） 因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，（5分） 由夹逼准则,有 lim 1n n x →∞=，因此，222222111lim 12n n n an an na →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭.（7分）。
2010-2011 第二学期 高等数学 期中考试 答案
中国矿业大学徐海学院2010－2011学年第二学期《高等数学》（理工类）期中试卷答案一、 填空题（每小题3分，共27分）．1. }1,0,0|),{(2≠>≥-x x y x y x2. 43.)2,1(-4. 320y y y '''-+=5.(1,0)2(2)dz edx e dy =++6.22400y x z ⎧-+=⎨=⎩7. 2220y z x +-=8. 2360x y z -++=或(1)2(1)3(1)0x y z +--++= 9. 4二、计算下列偏导数或导数1、已知arctan()z xy =，而x y e =，求d z d x. 解：d z d x =z z dy x y dx ∂∂+∂∂221()1()xy x e xy xy =+++2(1)1()y x xy +=+2、设函数z z x y =(,)由方程e z xy z+=+1所确定，求x z ∂∂，z y ∂∂，∂∂∂2zx y.解：zx x ze yz yz e +==+1,)1( (),e z xz x ez y y z+==+113222)1()1()1(1z zz z y zze xye e e z ye e y x z +-+=+-+=∂∂∂ 或 设1),,(--+=xy z e z y x F z,x F y =-,y F x =-1z z F e =+1x x z z F y z F e =-=+，1y y zz F xz F e=-=+ 22231(1)(1)(1)z zz zy z z e ye z z e xye x y e e +-∂+-==∂∂++ 3、设2(,)z f xy x y =+，(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂.解：''12zyf f x∂=+∂ 2'"''''''111122122(2)2z f y xf yf xf yf x y∂=++++∂∂ 三、计算题1、求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程. 解：已知两平面的法向量为1(1,0,2),n = 2(0,1,3),n =-则所求直线的方向向量12,,s n s n ⊥⊥12102013i j ks n n =⨯=-(2,3,1),=-则所求直线的方程为024231x y z ---==-。
2010年秋季高一数学期中考试参考答案(打印版)
参考答案
一、选择题:
1．C解析:①中 ，两个函数的值域不同；②中 与 解析式不同；③④中函数的定义域、对应关系都相同；
2．D解析:A※B= ，子集个数为 ；
3．C解析:
4．A解析: 在 上是递增函数，而 是奇函数，均不符合；
5．D解析:当 ， ，设 且 ；由题知:
；又由 为奇函数，可得: ，所以 ；由奇函数图象特征，易知 在 上为增函数；
∴
②当 ＞0时， ＜0，由已知得 ＞1，
又 ， ，
∴0＜ = ＜1，即 ＞0时，0＜ ＜1.
③任取 ＜ ，则 ，
∵ ＜0，∴ ＞1，又由(1)(2)及已知条件知 ＞0，
∴ ＞ ，∴ 在定义域 上为减函数.
(2) =
又 ， 在 上单调递减.
∴原不等式等价于 ≤0不等式可化为 ≤0
当2＜ ，即 ＞ 时，不等式的解集为 ≤ ≤ ；
(3)易知 是 上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为 ，则 ；故 是 的两个不等根，即方程组为:
有两个不等非负实根；
设 为方程 的二根，则 ，
解得: 的取值范围
10．A解析:设 则 ，因为 在 上单调递增，由图象可知函数 也是单调递增，由复合函数的单调性可知 在定义域上递增，故 ；又 ，由图象可知: ，则 ，解得
二、填空题:
11．4
12．-1解析:由 ， 知 ，所以只能 ，所以 ，此时 ， ，所以 ，又 ，所以 ；代入即可得；
13． 解析:令 ，即 ；设 ，则 ， ；所以 ，
，即 ，此式对于任意 都成立等价于 ，因为 ，所以 ，所以 ；代入(2)式得: ，即 对于任意 都成立，相当于 ，从而 的取值范围为 ；
(2)对于任意 ，且 ，由 ，得 ，所以 ， ，从而
文科高数(D)期中试卷答案(终结版)
1 9 x 。 4 4
5）函数图像如下所示。
令t ln e, 则 原式 lim t
t 1 1 1t
e
ln t lim t 1 1 t
e
1 lim t t 1 1
e 1
1 e
2.（1）解：
由x 0且cos( ) 0，得 x 2 x 0且x ，k 2k 1 所以间断点为x 0和x 2 ，k 2k 1 2 < ， 2n 1
3.计算下列函数的导数
1 y 1 x2 1 2x2 1 x2
dy dx
2 y x
a2 x2
x a2 x2
dy x2 a2 a2 x2 dx a 2 x 2 (a 2 x 2 ) a 2 x 2 解： a2 2x2 a2 x2 a2 (a 2 x 2 ) a 2 x 2
2010 年文科高等数学（D）期中考试答案
一、 判断（理由只要言之有理即可） 1． 错误。前半句正确，但后半句错误，反例：an=(-1)n 2． 错误。因为 f(0-)=f(0+)=0=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续 3． 正确。这是零点存在定理的表述 4． 错误。反例： f(x)=x2 是偶函数， 但导数 f ’(x)=2x 是奇函数； g(x)=x3 是奇函数， 但导数 g ’(x)=3x2 是偶函数
0, 0 0, 0
因此，对 x 0 ，有 f x 0 。得证。
x 52 ，其定义域为 D x | x 1, x R ，垂直渐近线是 x 1 。 4 x 1
8 dy x 3x 5 d 2 y 2） ， 2 2 dx dx x 13 4x 1
江苏省南通市2010届高三期中考试数学试卷
B（第13题）江苏省南通市2010届高三期中考试数学试卷2009.11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在答题卡相应位置上． 1．已知集合M ＝{1，2，3，4，5}，N ＝{2，4，6，8，10}，则M ∩N ＝ ▲ ． 2．复数i·(1+2 i) (i 是虚数单位)的虚部为 ▲ ．3．已知a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则ab 的最大值为 ▲ ． 4．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第 ▲ 象限． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若向量m a +n b 与向量a －2b 共线，则mn＝ ▲ ． 6．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均 数为9，则这组数据的方差是 ▲ ．7．若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 ▲ ．8．若双曲线焦点为，渐近线方程为2xy =±，则此双曲线的标准方程为 ▲ ．9．将一颗骰子（一个六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体）先后抛掷两次，向上的点数分别记为a ，b ，则a +b 为3的倍数的概率是 ▲ ．10．函数π2sin()3y x ω=+的图象与直线2y =-的公共点中，相邻两点之间的距离为π，则正数ω＝ ▲ ．11．若关于x 的不等式2x 2－3x +a ＜0的解集为( m ，1)，则实数m ＝ ▲ ． 12．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为 ▲ ． 14．若函数3||()2x f x kx x =-+有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请（第12题）BADCFE（第16题）在答题卡指定区域内作答. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知4cos 5A =，3sin()5B A -=，求sin B 的值．16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ．17．（本小题满分15分）已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数．．，且满足a 1+3＜a 3，a 2+5＞a 4，数列{b n }满足11n n n b a a +=⋅，其前n 项和为S n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若S 2为S 1，S m (m ∈N *)的等比中项，求m 的值．18．（本小题满分15分）如图，已知圆O ：x 2+y 2=2交x 轴于A ，B 两点，点P (－1,1)为圆O 上一点．曲线C 是以AB的椭圆，点F 为其右焦点．过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的右准线l 于点Q ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）证明：直线PQ 与圆O 相切．19．（本小题满分16分）（第18题）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a 元（1≤a ≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x 元（8≤x ≤9）时，一年的销售量为(10－x )2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式L (x )（销售一件商品获得的利润l ＝x －(a +4)）；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值M (a )．20．（本小题满分16分）已知函数12()416mx f x x =+，||21()()2x m f x -=，其中m ∈R ． （1）若0<m ≤2，试判断函数f (x )=f 1 (x )+f 2 (x )()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论； （2）设函数12(),2,()(), 2.f x x g x f x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围．高三期中考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{2，4} 2．1 3．14 4．二 5．12- 6．1 7．2 8．2214x y -= 9．13 10．211．12 12．20 13．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．{k |2732k <-或k >0}二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）解：在△ABC 中，cos A =45，∴sin A =35．又sin(B －A )=35，∴ 0＜B －A ＜π． ∴cos(B －A )=45，或cos(B －A )=45-． ………………………6分 若cos(B －A )=45， 则sin B =sin[A +(B －A )]=sin A cos(B －A )+cos A sin(B －A )252453545453=⋅+⋅=． ………………………12分 若cos(B －A )=45-，则sin B =sin[A +(B －A )]=sin A cos(B －A )+cos A sin(B －A )05354)54(53=⋅+-⋅=（舍去）． 综上所述，得sin B =2425． ………………………14分 （注：不讨论扣2分） 16．（本小题满分14分）（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ．∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分 又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ……………………… 7分（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分 17．（本小题满分15分）解：（1）由题意，得111132,53,a a d a d a d +<+⎧⎨++>+⎩解得32< d <52． ………………………3分又d ∈Z ，∴d = 2．∴a n =1+(n －1)⋅2=2n －1． ………………………6分 （2）∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-+111()22121n n =--+，∴111111[(1)()()]23352121n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)22121nn n =-=++．11分 ∵113S =，225S =，21m m S m =+，S 2为S 1，S m (m ∈*N )的等比中项， ∴221m S S S =，即2215321m m ⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭， ………………………14分 解得m =12． ………………………15分18．（本小题满分15分）解：（1）由题意，得ae，∴c =1，∴b 2=1． 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ……………………… 6分（2）∵P (－1，1)，F (1，0)，∴12PF k =-，∴2OQ k =．所以直线OQ 的方程为y =2x ． ……………………… 10分 又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q (2，4)，所以4112(1)PQ k -==--．又1OP k =-，所以1PQ OP k k ⋅=-，即OP ⊥PQ ．故直线PQ 与圆O 相切． ……………………… 15分19．（本小题满分16分）G BADCFE解：（1）该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为L (x )= (x －4－a )(10－x )2，x ∈[8,9]．………………………4分（2）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=----- =(10－x )(18+2a －3x )， …………6分令()0L x '=，得x =6+23a 或x =10（舍去）． ∵1≤a ≤3，∴203≤6+23a ≤8． ………………………10分所以L (x )在x ∈[8,9]上单调递减，故L max =L (8)=(8－4－a )(10－8)2=16－4a ．即M (a ) =16－4a ． ………………………15分答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为16－4a 万元． ………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）f (x )为单调减函数． ………………………1分 证明：由0<m ≤2，x ≥2，可得12()()()f x f x f x =+=21()4162x m mx x -++=212()4162mx mx x +⋅+． 由 2224(4)11()2()ln (416)22m x m x f x x -'=+⋅=+222(4)12()ln 2(28)2mx m x x --⋅+，………………4分 且0<m ≤2，x ≥2，所以()0f x '<．从而函数f (x )为单调减函数． ……………5分 （亦可先分别用定义法或导数法论证函数12()()f x f x 和在[2,)+∞上单调递减，再得函数f (x )为单调减函数．）（2）①若m ≤0，由x 1≥2，111121()()0416mx g x f x x ==+≤，x 2＜2，2||2221()()()02x m g x f x -==>，所以g (x 1) = g (x 2)不成立． ………………………7分 ②若m ＞０，由x ＞2时，2122(4)()()0(28)m x g x f x x -''==<+， 所以g (x )在[2,)+∞单调递减．从而11()(0,(2)]g x f ∈，即1()(0,]16m g x ∈． ……………………9分（a ）若m ≥2，由于x ＜２时，||2111()()()()()2222x m m x m x g x f x --====⋅，所以g (x )在(－∞,2)上单调递增，从而22()(0,(2))g x f ∈，即221()(0,())2m g x -∈．要使g (x 1) = g (x 2)成立，只需21()162m m -<，即21()0162m m --<成立即可． 由于函数21()()162m m h m -=-在[2,)+∞的单调递增，且h (4)=0， 所以2≤m ＜4． ………………………12分 （b ）若0＜m ＜2，由于x ＜2时，||21(),,12()()()12(), 2.2m xx m x m x m g x f x m x ---⎧<⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩≤ 所以g (x )在(,]m -∞上单调递增，在[,2)m 上单调递减． 从而22()(0,()]g x f m ∈，即2()(0,1]g x ∈．要使g (x 1) = g (x 2)成立，只需21,161()162mmm -⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤成立，即21()162m m -≤成立即可．由0＜m ＜2，得2111,()16824m m -<>． 故当0＜m ＜2时，21()162m m -≤恒成立． ……………………15分 综上所述，m 为区间（0，4）上任意实数． ………………………16分2010年南通高三期中考试数学讲评建议第2题:讲评时强调复数a +b i(a ,b ∈R )和实部为a ，而虚部为b ，不是b i 。
2010年秋季高一数学期中考试参考答案
2010年秋季高一数学期中考试参考答案一、选择题：1． C 解析：①中，两个函数的值域不同；②中与解析式()0,()0f x g x ≥≤()g x x =()f x 不同；③ ④中函数的定义域、对应关系都相同；2． D 解析：A ※B=，子集个数为；{1,2}224=3． C 解析：01p m n <<<<4． A 解析：在上是递增函数，而是奇函数，均不符合；,B C (0,1)D 5． D 解析：当，，设且；由题知： ]7,3x ⎡∈--⎣]3,7x ⎡-∈⎣]03,7x ⎡-∈⎣0()5f x -=；又由为奇函数，可得：，所以0()()5f x f x -≥-=()f x 0()()5f x f x -≥-=；由奇函数图象特征，易知在上为增函数；0()()5f x f x ≤=-)(x f ]3,7[--6． B 解析：集合表示的值域，；集合表示的定义M 21y x =-[)1,y ∈-+∞N 21y x =-域，，； 230x -≥x ⎡∈⎣7． B 解析：二次函数的对称轴为，图象开口向下；由与在区间 ()f x x a =()f x ()g x ]2,1[上都是减函数，则应满足：且，解得：1,a ≤11a +>01a <≤8． C 解析：，得，解得：;又，所以123222x -≤<123x ≤-<11x -<≤x ∈Z ；{0,1}A =，得或，且，解得：或，所以 2log 1x >2log 1x >2log 1x <-0x >2x >102x <<，，= ()10,2,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭ 1(,0],22B ⎡⎤=-∞⎢⎥⎣⎦R ð()A B R ð{0,1}9． D 解析：由题可得：，，令12()log f x x =2212(4)log (4)f x x -=-24,u x =-12log y u =在定义域上是减函数，由复合函数单调性可知：的单调增区间应为的2(4)f x -24u x =-单调减区间，且在该区间上；故0u >[0,2)x ∈10．A 解析：设则，因为在上单调递增，由图21,x t b =+-()log a f x t =21x t b =+-R象可知函数也是单调递增，由复合函数的单调性可知在定义域上递增，故()f x log a y t =；又，由图象可知：，则1a >0(0)log (21)log a a f b b =+-=1(0)0f -<<，解得1log 0a b -<<101a b -<<<二、填空题：11．412．-1 解析：由，知，所以只能，所以，此时M N =1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭0b ≠0a b =0a =，，所以，又，所以；代入即可得；}{1,0,M b =}{20,,N b b =21b =2b b ≠1b =-13． 解析：令，即；设，则，；所132,x y ==P ()f x x α=2α=12α=-以， 12()f x x -=()193f =14． 解析：, 即所以,即11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭0x A ∈010,2x ≤<001()2f x x =+0111,22x ≤+<即，所以，即01()1,2f x ≤<0()f x B ∈000[()]2[1()]12f f x f x x A =-=-∈，解得：又由，所以 010122x ≤-<011,4x <≤010,2x ≤<01142x <<15． 解析：因为为偶函数，且当时为增函数，(,0)(4,)-∞+∞ ()f x 0x ≥8)(3-=x x f 则时，为减函数；，所以可得：，解得：0x ≤)(x f (2)0(2)f x f ->=22x ->0,x <或4x >三、解答题：16．证明：（1）由题知的定义域为 ()f x R 所以为奇函数； 31(31)313()()31(31)313x x x xx x x x f x f x --------====-+++A A ()f x （2）在定义域上是单调增函数；任取，且12,x x ∈R 12x x < 2121212112212(33)313122()()(1(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++A12x x < 2112330,310,310x x x x ->+>+>∴21()()f x f x ∴>为上的单调增函数；()f x ∴R 17．解：（1）解||≥1得：或或；1x -0x ≤2x ≥{0,A x x ∴=≤}2x ≥函数的自变量应满足，即 ()f x x 3201x x +-≥+(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨+≠⎩或或；∴1x <-1x ≥{1,B x x ∴=<-}1x ≥或，或，{1,A B x x =<- }2x ≥{0,A B x x =≤ }1x ≥()U C A B ⋃{}01x x =<<（2）函数的自变量应满足不等式。
2010年秋季高一数学期中考试试题
2010年秋季高一数学期中考试试题2010.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()g x =；②()f x x =与()g x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- A. ① ② B. ① ③ C. ③ ④ D. ① ④2．设集合A={1，2}, B={0，1}，定义运算A ※B={z|z=,,}x x A y B y∈∈,则集合A ※B 的子集个数为（ ） A.1 B.2C.3D.43．已知 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，则m 、n 、p 的大小关系（ ）A.p n m <<.B.n p m <<C.n m p << D ．m n p << 4．下列函数中，在(0,1)上为单调递减的偶函数是（ ） A. 2-=xy B. 4x y = C. 21x y = D ．13y x =-5．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是（ ） A. 减函数且最小值是5- B.. 减函数且最大值是5- C . 增函数且最小值是5- D . 增函数且最大值是5-．6．已知集合2{|1,}M y y x x ==-∈R ,{|N x y =∈=R ，则M N = （ ）A.)}1,2(),1,2{(-B.]3,1[-C.]3,0[D.∅7．若ax x x f 2)(2+-=与x a x g -+=1)1()((1a >-且0)a ≠在区间]2,1[上都是减函数,则a 的取值范围是（ ）A.)0,1(-B.]1,0(C.)1,0(D.(1,0)(0,1)- 8．若{}2228xA x -=∈≤<Z ，{}2log 1B x x =∈>R ，则()A B R ð的元素个数为（ ）A.0B.1C. 2D. 39．函数()f x 与的图像与1()()2xg x =图像关于直线y x =对称，则的2(4)f x -的单调增区间是（ ）A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. (2,0]-D. [0,2) 10．已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C.101ba -<<<D ．1101ab --<<<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算11(lg9lg 2)229416()100log 8log 9--++ =_______． 12．已知集合1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}20,,N a b b =+，M N =，则20102011a b +=_______． 13．函数()log 23a y x =-的图象恒过定点P , P 在幂函数()f x 的图象上，则()9f = _______．14．设集合A=10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭, B=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 函数()f x =()1,221,,x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若0x A ∈, 且0[()]f f x ∈A,则0x 的取值范围是_______．15．已知偶函数()f x 满足()08)(3≥-=x x x f ，则(2)0f x ->的解集为_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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3. 若函数 f ( x ) 在 [a, b] 上连续且 f ( a ) f (b) 0 ，则至少存在一点 c [ a , b ] ，使得
f (c ) 0 。
4. 偶函数的导数还是偶函数，奇函数的导数还是奇函数。 5. 若函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上有定义， 在开区间 (a, b) 上连续， 则 f ( x ) 在 [a, b] 上 有最大值与最小值。
条件。
条件， 数列{x
n
}收敛是数
}单调有界的
（2）函数 函数
f ( x) 在 x0 点可导是函数 f ( x) 在 x0 点连续的
条件，
f ( x) 在 x0 点左极限和右极限都存在且相等是函数 f ( x) 在 x0 点连续的
条件。
x
xa e3 ，则 a 4. 若 lim x x a
2010 年期中考试试卷（高等数学 D 类）
（2010 年 11 月 19 日 10:10-12:10） 一、判断下列说法是否正确并简述理由（3 分/题，共计 15 分） 1. 若数列 {a n } 有极限存在，则 {a n } 一定有界；反之，若 {a n } 有界，则它一定有 极限。
1 x sin , x 0 2. 函数 f ( x) 在 x 0 处不连续。 x 0, x 0
x
六、作图题（12 分）
( x 5)2 描绘 y （写出定义域、极值点、求出渐近线、作出图形） 4 ( x 1) 的图形
3
二、选择题（3 分/题，共计 15 分）
x 2 x 1, x 0 1．分段函数 f ( x) 2 是 x x 1, x 0
(A) 奇函数
(B) 偶函数 )
(C) 非奇非偶函数
(D) 既奇又偶函数
1 3x3 2． lim 3 =( x 5 x 2 x 2 4 (A) -1/4 (B) 1/2
lg x3
与y 3lg x源自（2） f ( x) 1 与
( x ) sin 2 x cos 2 x
个实根。
2. 方程 x e x 0 在区间（-1，1）内有
3. 在“充分” 、 “必要” 、 “充要”三者中选择一个正确的填入以下空白处 （1） 数列{x 列{x
n
n
}无界是数列{xn }发散的
。
，
d2y dx 2
8．函数 y
sin x cos x 的最小正周期是
2
四、计算题 （每题 8 分，共计 32 分）
1．求下列极限（8 分） ：
（1） lim
x 0
x sin x x3
1
（2） lim(ln x) 1ln x
x e
2. 求下列函数的不连续点，并判断类型（8 分）
(C) 0 (D) -3/5 .
3．过点(1,3)且切线斜率为 3x 的曲线方程应满足的条件是 (A) y’=3x; (B) y”=3x (C) y’=3x, y(1)=3 (D) y”=3x, y(1)=3
sin x, x0 4．函数 f ( x) 在 x=0 处是( ) x x x 1 1 , 0 1 (A) 没有极限 5.函数 f ( x)
2
(B) 有极限但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导
x2 的间断点为( ) x 3x 4 (B) x=4 和 x=-2
1
(A) x=-1 和 x=4
(C) x=1 和 x=-2
(D) 不存在。
三、填空题（第 3 小题 4 分，其他 2 分/题，共计 18 分） 1.指出以下函数是否相同 （1） y
5. 6. 指出函数
y
x2 x 的间断点 x ( x 2 1)
，一个奇函数与一个偶函 （从 “偶函数” 、 “奇函数” 、 “非奇非偶函数”选
一个奇函数与一个偶函数的和是 数的乘积是
择填空） ， （注：以上都是针对非零值函数而言） 。 7. 已知方程 x
1 dy y sin y 0 ，则 2 dx
（1） y
cos cos
x x
（2） y
x sinx
3．下列函数的导数（8 分）
（1） y x 1 x 2
(2) y x a x
2 2
x a2 x2
。 （8 分） 4．试估算 tan151 的值（可保留根号）
五、证明题（8 分） 用中值定理证明 e 1 x ( x 0)