高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第23课时 平面向量共线的坐标表示 含解析
数学人教A版必修4单元检测：平面向量附答案 含解析 精
数学人教A 版必修4第二章平面向量单元检测(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式成立的是( )A ．MN ＝NMB ．a ·0＝0C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．|a ＋b |≤|a |＋|b |2．如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )A ．a ＝bB ．a·b ＝1C ．a ＝－bD ．|a|＝|b| 3．已知A (1,2)，B (3，－1)，C (3,4)，则AB ·AC 等于( )A ．11B ．5C ．－1D ．－2 4．设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－1，m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．25．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，则向量a 与b 的夹角是( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．(2011·广东惠州一模)若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝，则b 等于( ) A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)7．已知M 是平行四边形ABCD 对角线的交点，下列四式中不能．．化简为AD 的是( ) A ．(AB ＋CD )＋BC B ．(AD ＋MB )＋(BC ＋CM ) C ．OC －OA ＋CDD ．MB ＋AD －BM8．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＝b9．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于( ) A ．(2,1)B ．(1,0)C ．31,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0，－1)10．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在l 上，则关于实数x 的方程2x OA ＋xOB ＋AC ＝0的解集为( )A ．B ．{－1}C ．11{}22---D ．{－1,0}二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为__________． 12．已知点A (1,2)，B (3,4)，C (－2,0)，D (－3,3)，则向量AB 在向量CD 上的投影为__________．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ，BC 是腰，AB ＝2CD ，若AB ＝a ，BC ＝b ，则AD ＝__________.14．设O ，A ，B ，C 为平面内四点，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝b·c ＝c·a ＝－1，则|a|2＋|b|2＋|c|2＝__________.15．如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP ＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．若点P 的斜坐标为(3，－4)，则点P 到原点O 的距离|PO |＝__________.三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 垂直？ 17．(15分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝1233OA OB +. (1)求证：A ，B ，C 三点共线； (2)求||||AC CB 的值； (3)已知A (1，cos x )，B (1＋cos x ，cos x )，x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f (x )＝22||3OA OC m AB ⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭的最小值为32-，求实数m 的值．参考答案1.答案：D2.答案：D3. 答案：D4.答案：B5.答案：C6.答案：A7.答案：D8.答案：B9.答案：A10.答案：A11.答案：3212.答案：513.答案：12+ a b14．答案：615.16.解：k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．∵k a＋b与a－3b垂直，则10(k－3)＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19，即当k＝19时，k a＋b与a－3b垂直．17. (1)证明：∵OC＝1233OA OB+，∴OC－OA＝2()3OB OA-，即AC＝23AB.∴AC∥AB.又AC，AB有公共点A，∴A，B，C三点共线．(2)解：由(1)得AC＝23AB＝2()3AC CB+，∴13AC＝23CB.∴AC＝2CB.∴||||ACCB＝2.(3)解：AB＝(1＋cos x，cos x)－(1，cos x)＝(cos x,0)，∵x∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴cos x∈[0,1]．∴||AB＝|cos x|＝cos x.∵AC ＝2CB ，∴OC －OA ＝2()OB OC -．∴3OC ＝2OB OA +＝2(1＋cos x ，cos x )＋(1，cos x )＝(3＋2cos x,3cos x )． ∴OC ＝21cos ,cos 3x x ⎛⎫+⎪⎝⎭. ∴f (x )＝22||3OA OC m AB ⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭＝1＋23cos x ＋cos 2x －22cos 3m x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝(cos x －m )2＋1－m 2，cos x ∈[0,1]．当m ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值1，与已知最小值为32-相矛盾，即m ＜0不合题意；当0≤m ≤1时，当且仅当cos x ＝m 时，f (x )取得最小值1－m 2.由1－m 2＝32-，得m ＝±2舍去)； 当m ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值2－2m ，由2－2m ＝32-，得m ＝74＞1.综上实数m 的值为74.。
高一下学期人教版A版必修4第二章平面向量单元测试及答案
必修4第二章平面向量单元测试班级 座位号 姓名 分数一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案一、选择题(每题5分，共50分)1.若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A.6B.5C.4D.3 2.已知两个力1F 、2F 的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力F 与1F 的夹角为60°，则1F 的大小为( )A.35 NB.5 NC.10ND.25 N 3.下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a ； ③若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑤若非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b ； ⑥对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≥|a －b|； 其中正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．54.若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )A )6,3(-B )6,3(-C )3,6(-D )3,6(-5.设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）A (3,1)B (1,1)-C (3,1)或(1,1)- D 无数多个6.已知向量03≠=b a ，且关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3πC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32π,3π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,6π 7.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，b a +λ与b 垂直，则λ等于( )A.－1B.1C.－2D.2 8.向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于A 2-B 2 C.21 D 12-9.已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a ，0)、B (0，a )，其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上，且有AB t AP = (0≤t ≤1)，则OP OA ⋅的最大值为( )A.aB.2aC.3aD.2a10.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AB=4,AC=3,则=⋅BC AD ( ) A 7- B 2 C 27-D 72二、填空题(每题5分，共20分)11.已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则b 在a 方向上的投影为 . 12.已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =13.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为14.已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________三、解答题(每题15分，共30分) 15.已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？16.如图2，在平行四边形ABCD ， CD CF CB CE AD AB 32,31,====b a ，. (1)用a ，b 表示EF ;(2)若4,1==b a ，∠DAB =60°，分别求EF 和FE AC ⋅的值.图2参考答案及点拨一、1.C 点拨:()()()30318,33,68=+=⋅=⋅-x x c b a ， ∴x ＝4.故选C. 2.B 点拨:1F ＝⋅F cos60°＝5 N. 3.A4. A 设(,2),0b ka k k k ==-<，而53||=b ，则2535,3,(3,6)k k b ==-=-5.C 设(,)P x y ，由AB =2AP得2AB AP =，或2AB AP =-，(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ；(2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -6.B 点拨:设a ，b 的夹角为θ，∵关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，∴∆＝b a a ⋅-2442≥0，即b a a ⋅≥62.∴θcos 62b a a ⋅≥，又∵03≠=b a .∴21cos ≤θ，∵π≤≤θ0，∴ππ≤≤θ3. 7.C 点拨:()23,4--+=+λλλb a ， ∵b a +λ与b 垂直，∴()()()()020********,423,4=+=---+=-⋅--+λλλλλ， ∴2-=λ.8.D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-，则121128,2m m m -+=+=-9.D 点拨: ∵AB t AP =，∴ ()()OB t OA t OA OB t OA AP OA OP +-=-+=+=1(),,at at a -=∴()t a OP OA -=⋅12，∵10≤≤t ，∴2a OP OA ≤⋅.10.c二、9.13 点拨: b 在a 方向上的投影为a b a ⋅=1313=13. 10. →→-b a 2 设c x a y b →=+，则(,2)(2,3)(2,23)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,x y x y x y -=+===- 11.0120 221()0,0,cos 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做12.45-22222()2585a t b a t b a t a bt b t t +=+=++=++，当45t =-时即可三、13.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反 14.答图2分析：（1）利用向量的三角形法则和向量相等及其运算即可得出; （2）利用数量积运算法则和性质即可得出. 解：（1）如答图2所示，.313231323132b a +-=+-=-=-=AD AB CB CD CE CF EF(2) ∵,60,4,1︒=∠==DAB b a ∴.260cos =︒⋅⋅=⋅b a b a∴3329194943132222=+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a a b a EF . 易知b a +=+=AD AB AC ，∴()43163232313132313222-=-+=-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⋅b b a a b a b a FE AC .。
2020年高中数学 人教A版 必修4 单元测试卷 平面向量(含答案解析)
7
7
∴Error!解得 m=2，n= ，∴D(2， )，故选 A.225.答案为：D.
解析：由题意，得 a·b=3×(－3)＋4×1=－5，|a|=5，|b|= 10，
a·b －5 1
则 cos θ=
= =－ .
|a||b| 5 10 10
3
sin θ
∵θ∈[0，π]，∴sin θ= 1－cos2θ= ，∴tan θ=
22.已知 a=(2＋sin x，1)，b=(2，－2)，c=(sin x－3，1)，d=(1，k)(x∈R，k∈R)． ππ
(1)若 x∈[－ ， ]，且 a∥(b＋c)，求 x 的值； 22
(2)若函数 f(x)=a·b，求 f(x)的最小值； (3)是否存在实数 k 和 x，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在， 请说明理由．
3.在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=60°，AD 是边 BC 上的高，则A→D·A→C的值等于( )
9 A．－
4
9
27
B.
C.
D．9
4
4
4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C=2A→D，则顶点 D 的坐标
为( ) 7
A．(2， ) 2
答案解析
1.答案为：D. 解析：A 中，两向量的夹角不确定，故 A 错；B 中，若 a⊥b，a⊥c，b 与 c 反方向， 则不成立，故 B 错；C 中，应为A→B=O→B－O→A，故 C 错； D 中，因为 b⊥c，所以 b·c=0，所以(a＋c)·b=a·b＋c·b=a·b，故 D 正确．
2.答案为：B. 对 A，a 与 b 若其中一个为 0，不合题意，错误．对 B，零向量是 0，正确；对 C，方向相 同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对 D，共线向量所在直线可能平行，也可能重 合，错误．故选 B.
最新高中数学(人教A版,必修四) 第二章 平面向量 2.3.4 课时作业(含答案)
最新人教版数学精品教学资料2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例． 2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．137．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA→＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D.]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.] 6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.] 7.12解析 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 8．(－4，－8)解析 由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．解 由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解 方法一 由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.]14．(2,3)解析 设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．。
平面向量试题分析,人教版高中数学必修4第二章平面向量单元测试卷及答案解析
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高中数学课时作业23平面向量应用举例新人教A版必修4
其中正确的命题有()
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④
解析：因为 － ＝ ＝－ ≠ ，所以①错误. ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝0，所以②正确．由( ＋ )·( － )＝ 2－ 2＝0，得| |＝| |，所以△ABC为等腰三角形，③正确. · >0⇒cosA>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.
又因为a>0，所以a＝ ，即AB的长为 .
答案：B
12．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足 ＝ ＋ ，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
解析：5 ＝ ＋2 ，
2 －2 ＝ － －2为邻边作▱PAEB，
则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则 ＝2 ＝4 ，
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若 · ＝1，则AB的长为()
A．1 B.
C. D.
解析：设AB的长为a(a>0)，
因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ － ，
所以 · ＝( ＋ )· ＝ · － 2＋ 2＝－ a2＋ a＋1.
由已知，得－ a2＋ a＋1＝1.
10．如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：设 ， 分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形，
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题(4)
2.3.4平面向量共线的坐标表示课后篇巩固探究1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于()A.-1B.-2C.-1或3D.0或-2解析由已知得-(2m+3)+m2=0,∴m=-1或m=3.答案C2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).∴b-c=a.∴a与b-c共线.答案C3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量m a+n b共线,则等于()A.-2B.2C.-D.解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),m a+n b=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量m a+n b共线,所以,解得14m=-7n,=-.答案C4.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°解析由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.答案A5.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于()A.2B.C.-3D.-解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,∴|EC|=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案C6.(2018全国Ⅲ高考)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=. 解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.答案7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=.解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).答案(14,7)8.导学号68254080已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n, ②解①②组成的方程组得所以m+n=9或m+n=.答案9或9.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x的值,使向量共线;(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上? 解(1)=(x,1),=(4,x).∵,∴x2=4,x=±2.(2)由已知得=(2-2x,x-1),当x=2时,=(-2,1),=(2,1),∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),∴,此时A,B,C三点共线.又,∴A,B,C,D四点在一条直线上.综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.10.导学号68254081如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.解因为(0,5)=,所以C.因为(4,3)=,所以D.设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20.②联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.11.如图,已知四边形ABCD是正方形,,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y)(x>0),则=(x,y-1),=(1,-1).∵,∴x×(-1)-1×(y-1)=0.①又||=||,∴x2+y2=2.②由①②联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x',1),由=(x',1)和共线,得x'-=0,∴x'=-(2+),∴点F的坐标为(-2-,1).∴=(-1-,0),, ∴||=1+=||,即AF=AE.。
最新新人教A版高中数学必修四 第二章 向量单元测试题(含答案解析)
第二章 向量单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1．已知△ABC 地三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与△ABC 地关系为是 （ ）A ．P 在△ABC 内部B ． P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ． P 在△ABC 地AC 边地一个三等分点上2．在矩形ABCD 中，O 是对角线地交点，若e e 则213,5=== （ ） A ．)35(2121e e+ B ．)35(2121e e-C ．)53(2112e e-D ．)35(2112e e-3．设平面上有四个互异地点ABCD ，已知（则,0)()2=-⋅-+△ABC 地形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．化简)]24()82(21[31--+地结果是 （ ） A ．-2 B ．-2 C ．- D ．-5．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①= ②||||=③||||+=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确地个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．已知|p |=22，|q |=3，p 、q 地夹角为45°，则以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边地平行四边形过a 、b 起点地对角线长为（ ） A ．14 B ．15C ．15D ．167．已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线地单位向量是（ ）A ．)1010,10103(-= B ．)1010,10103()1010,10103(--=或 C ．)2,6(-=e D ．)2,6()2,6(或-=e8．已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ）A ．17B ．18C ．19D ．209．下列各组向量中：①)2,1(1-=e)7,5(2=e②)5,3(1=e)10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e其中能作为表示它们所在平面内所有向量地基底地是（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 10．若32041||-=-b a ，5||,4||==，则与地数量积为（ ） A ．103 B ．－103 C ．102D ．1011．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行地向量是 （ ） A ．),(k k = B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==，且36)51)(3(-=，则地夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，） 13．已知向量ba ,地夹角为3π，=-⋅+==||||,1||,2||则 ．14、已知向量和夹角是ο60，则=+ ；15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若λλ++与平行，则λ= .16．已知为单位向量，||a =4，与地夹角为π32，则在方向上地投影为 .三、解答题（本大题共3小题，共36分．） 17、（12分）已知(0,0),(5,4),(7,10)O A B ，若(),OP OA OB R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r当λ为何值时; （1） P 在第一、三象限角平分线上？（2）P 在第四象限内？18、（ 12分）设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量，向量平行于，试求ODOC OA OD ,时=+地坐标．．19、（12分）设a ，b 是不共线地两个向量，已知,2,,2b a b a b k a ρρρρρρ-=+=+=若A 、B 、D 三点共线，求k 地值. 20、（12分）已知向量(1,2),(3,2)a b ==-r r.（1）若2ka b+r r与24a b-r r 平行，求实数k 地值；（2）若2ka b+r r 与24a b-r r 垂直，求实数k 地值.（12分）21、（ 12分）已知： 、、是同一平面内地三个向量，其中＝（1，2） ⑴若||52=，且//，求地坐标；⑵若||=,5且2+与2-垂直，求与地夹角2θ.22、（14分）已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)地对应关系用)(u fv=表示（1）证明：对于任意向量a，b及常数m，n恒有)(manb=+成立f+mf()a)(bnf（2）设a=(1，1)，b=(1，0)求向量)(a f及)(b f地坐标（30求使),()(q pcf=(p，q为常数）地向量c地坐标第二章向量单元测试题参考答案答案：选择题：DABBCCBCAACB填空题：13、21 14、3 15、1± 16、-217、解析：令(,)(57,410)OP x y OA OB λλλ==+=++u u u r u u u r u u u rQＰ点在第一、三象限角平分线上.∴41057λλ+=+13λ⇒=（２）本使Ｐ点在第四象限内，必须5704100λλ+>⎧⎨+<⎩5275λ⇒-<<-18、解析：设(,),OC x y OC OB=⊥u u u r u u u r u u u r Q ，∴OC OB ⋅=u u u r u u u r，∴20y x -=①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x Θ即：73=-x y ② 联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ∴(14,7),(11,6)OC OD OC OA ==-=u u u r u u u r u u u r u u u r于是19、【解】由A 、B 、C 三点共线，存在实数λ，使得λ= ∵ b a CD b a BC 2,-=+= ∴ b a CD BC BD -=+=2故2a+kb=)2(b a -λ 又a ，b 不共线 ∴ λ=1，k=－1 20、解：∵(1,2),(3,2)a b ==-r r，∴2ka b +r r)42,6()4,6()2,()2,3(2)2,1(+-=-+=-+=k k k k k ，24a b -r r)4,14()8,12()4,2()2,3(4)2,1(2-=--=--=.（1）∵2ka b+r r与24a b-r r 平行，∴442146-+=-k k ，则1-=k ； （2）∵2ka b+r r 与24a b-r r 垂直，∴0)42)(2(=-+k ，21、解析：⑴设20,52,52|),,(2222=+∴=+∴==y x y x c y x Θx y y x 2,02),2,1(,//=∴=-∴=Θ 由⎩⎨⎧=+=02222y x xy ∴⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧-=-=42y x∴)4,2(),4,2(--==或⑵0)2()2(),2()2(=-⋅+∴-⊥+Θ||23||2,02322222=-⋅+∴=-⋅+ ……（※）,45)25(||,5||222===b a Θ代入（※）中，250452352-=⋅∴=⨯-⋅+⨯∴b a b a ,125525cos ,25||,5||-=⋅-==∴==θΘπθπθ=∴∈],0[Θ22．【解】（1）设向量a=),(11y x ，b=),(22y x ，则ma+nb=),(2121ny my nx mx++由)(u f v =，得)22,()(212121nx mx ny my ny my nb ma f --++=+而)22,()2,()2,()()(212121222111nx mx ny my ny my x y y n x y y m b nf a mf --++=-+-=+∴对于任意向量a ，b 及常数m ，n 恒有)()()(b nf a mf nb ma f +=+成立（2）∵ a=(1，1)，b=(1，0)，)(u f v =∴)1,0()(),1,1()(-==b f a f（3）设c=(x ，y)，由),()(q p c f =得 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=p y q p x q x y p y 22 ∴ c=),2(p q p -。
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-2．已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 24．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 37 D. 48．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 12．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．14.已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；(2) //AD BC ，求实数m 的值.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.21．（本小题12分）已知向量a 与b 的夹角为120︒， 2,3a b ==， 32,2m a b n a kb =-=+. （I ）若m n ⊥，求实数k 的值； （II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由.22.（本小题12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C.4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C.D. 2或 【答案】C 【解析】∵向量，且 ∴， ∴.选C. 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ） A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =，3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求； （2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。
2019-2020数学人教A版必修4 第二章 平面向量 单元测试 Word版含解析
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等的向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量解析：选B.对A ，a 与b 若其中一个为0，不合题意，错误．对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.2．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( )A.52B ．－52 C.25D ．－25 解析：选D.∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a·b ＝2，|b |＝5.若a ＋λb 与b 垂直， 则(a ＋λb )·b ＝a·b ＋λb 2＝2＋5λ＝0.∴λ＝－25，故选D. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72) B ．(2，－12) C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A.设点D (m ，n )， 则由题意知，(4,3)＝2(m ，n －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得m ＝2，n ＝72，∴D (2，72)，故选A. 4．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解析：选B.设向量a ，b 的夹角为θ，∵a ＋b ＝c ，∴(a ＋b )2＝c 2，a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2，∴|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ＝|c |2.∵|a |＝|b |＝|c |，∴cos θ＝－12，∴θ＝120°.5．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：选A.f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )＝－a·b x 2＋(a 2－b 2)x ＋a·b ，若函数f (x )的图象是一条直线，那么其二次项系数为0，∴a·b ＝0，∴a ⊥b ，故选A.6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，那么|AM→|等于( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.∵BC →2＝16，∴|BC →|＝4.又∵|AB →－AC →|＝|CB →|＝4，∴|AB →＋AC →|＝4.∵M 为BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)． ∴|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2. 7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．1解析：选B.由投影的定义可知，向量b 在向量a 方向上的投影是|b |cos θ(θ为a 与b 夹角)． 由|2a ＋b |＝2得4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝4.∵|a |＝1，|b |＝2，∴a·b ＝－1，即|b |cos θ＝－1.8．在△ABC 中，AB ＝BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．－94B.94C.274 D ．9解析：选C.分别以BC ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据已知条件可求得以下几点坐标：A (0，332)，D (0,0)，C (32，0)， ∴AD →＝(0，－332)，AC →＝(32，－332)，。
人教a版数学高一必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：第23课时_平面向量共线的坐标表示
第23课时 平面向量共线的坐标表示课时目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．识记强化两向量平行的条件(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0.(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)且(b 1b 2≠0)，则a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，即两条向量平行的条件是相应坐标成比例．课时作业一、选择题1．若三点A (1,1)、B (2，－4)、C (x ，－9)共线，则( )A ．x ＝－1B ．x ＝3C ．x ＝92D ．x ＝5 答案：B解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →与BC →共线．AB →＝(1，－5)，BC →＝(x －2，－5)，所以(x －2)·(－5)＋5＝0.所以x ＝3.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB →，则实数λ的值为( )A ．－23 B.32C.23 D ．－32答案：C解析：根据A ，B 两点的坐标，可得AB →＝(3,1)，∵a ∥AB →，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6答案：D解析：因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.4．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )两向量方向相反，则x ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1答案：A解析：由两向量共线可得x 2－25＝0∴x ＝±5，又两向量方向相反，∴x ＝－5.5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)．若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12B ．2C ．－12D ．－2 答案：D解析：根据题意，得m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋4b 与a －2b 共线，所以(2m －4)×(－1)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2.6．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30°C ．60°D ．30°或60°答案：A解析：由向量共线条件得－2×(－14)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0，即cos 2θ＝12.所以θ＝45°. 二、填空题7．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 答案：1解析：a －2b ＝(3，3)，根据a －2b 与c 共线，得3k ＝3×3，解得k ＝1.8．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．答案：1解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.9．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，若m ∥n ，则λ＝________.答案：－12解析：m ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝(7,8)，由(4＋λ，3－2λ)，k (7,8)，得λ＝－12. 三、解答题10．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4，－1)．(1)若AB →＝CD →，求点D 的坐标；(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值．解：(1)设D (x ，y )．由AB →＝CD →，得(2，－2)－(1,3)＝(x ，y )－(4，－1)，即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝1y ＋1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6. 所以点D 的坐标为(5，－6)．(2)因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，所以k a －b ＝k (1，－5)－(2,1)＝(k －2，－5k －1)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．由k a －b 与a ＋3b 平行，得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0，所以k ＝－13. 11．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，∴3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(3)由a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.能力提升12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,0)，λa ＋μb 与a －2b 共线，则λμ等于( ) A.12B ．2C ．－12D ．－2 答案：C解析：易知a ，b 不共线，则有λ1＝μ－2，故λμ＝－12. 13．已知点A (2,3)、B (5,4)、C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时，(1)点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)点P 在第三象限内？解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)．AB →＋λAC →＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. ∴点P 的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝12. (2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＜－1，λ＜－47.∴λ＜－1. 即当λ＜－1时，点P 在第三象限内．。
第一学期高二数学人教A版必修4第二章课时作业与课件(
平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第23课时 平面向量基本定理
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
基底的概念
1.设 O 是▱ABCD 的对角线交点，下列各组向量：①A→D与A→B；
②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.其中可作为这个平行四边
形所在平面的所有向量的基底的是( )
答案：A
知识点三
用基底表示向量
5．如右图，平行四边形 ABCD 中， A→B＝a，A→D＝b，H、M 分别是 AD、DC 的中点，F 点在 BC 上，且 BF＝13BC，以 a，b 为基底分解向量A→M与H→F.
解：由 H、M、F 所在的位置，得 A→M＝A→D＋D→M＝A→D＋12D→C＝A→D＋12A→B＝b＋12a. H→F＝A→F－A→H＝A→B＋B→F－A→H＝A→B＋13B→C－12A→D＝A→B＋13 A→D－12A→D＝a－16b.
课后提升训练
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A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析：∵A→D与A→B不共线，故可作为平面向量的一组基底， 排除 D；又D→A∥B→C，故②不可以作为基底，排除 A；C→A与D→C 不共线，故③可作为基底，选 B.
答案：B
2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向
量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无
解析：考虑向量 a，b 共线，则有 λ＝12，故当{λ|λ≠12}时， 向量 a、b 不共线，可作为一组基底．
知识点二
向量夹角的概念
4.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角
是( )
高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 Word版含答案.docx
2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2B.12C ．－2D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA→＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d .故c 与d 反向，选D.]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.] 6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.] 7.12解析 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 8．(－4，－8)解析 由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．解 由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解 方法一 由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ，② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.]14．(2,3)解析 设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．。
人教A版精编高中数学必修4课时作业23平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含答案
课时作业23 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．设a ＝(1，－2)，b ＝(3,1)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )·(a －c )等于( ) A ．11 B ．5 C ．－14D ．10解析：a ＋b ＝(4，－1)，a －c ＝(2，－3)． ∴(a ＋b )·(a －c )＝2×4＋(－1)·(－3)＝11. 答案：A2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得a ＋b ＝(3，k ＋2)，由a ＋b 与a 共线，得3×k －1×(k ＋2)＝0，解得k ＝1，所以a ·b ＝2＋2k ＝4.答案：D3．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：设P (x ，y )，由|AB →|＝2|AP →|得AB →＝2AP →，或AB →＝－2AP →， AB→＝(2,2)，AP →＝(x －2，y )， 即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)；(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)． 故P (3,1)或(1，－1)． 答案：C4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )A ．4 2B ．2 5C ．8D ．8 2解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案：D5．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665D ．－1665解析：设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋x ＝36＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以a ，b ＝a ·b|a ||b |＝1665.故选C.答案：C6．以原点O 及点A (5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使A ＝90°，则AB→的坐标为( ) A ．(2，－5) B ．(－2,5)或(2，－5) C ．(－2,5)D ．(7，－3)或(3,7)解析：设AB→＝(x ，y )，由|OA →|＝|AB →|，得52＋22＝x 2＋y 2① 由OA→⊥AB →，得5x ＋2y ＝0② 联立①②，解得x ＝－2，y ＝5或x ＝2，y ＝－5. 故AB →＝(－2,5)或AB →＝(2，－5)． 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，且2a －b 与b 垂直，则|a |等于________．解析：2a －b ＝(3，n )，∵(2a －b )·b ＝0， ∴n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |2＝1＋n 2＝4， ∴|a |＝2. 答案：28．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN→的模为________． 解析：∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0， 解得x ＝4，∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →|＝8 2. 答案：8 29．已知OA→＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP→有最小值，则P 点坐标为________． 解析：设P (x,0)，∴AP →·BP →＝(x －2，－2)·(x －4，－1)＝(x －2)(x－4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．答案：(3,0)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知AB→＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)． (1)若A 、C 、D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC →与CD →的夹角的余弦值． 解：(1)AC→＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)， 又A 、C 、D 三点共线， ∴AC→∥CD →. ∴10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4. (2)设向量BC→与CD →的夹角为θ， 由(1)得BC →＝(4,4)，则BC →·CD →＝2×4＋1×4＝12， 又|BC→|＝42＋42＝42，|CD →|＝22＋12＝5， 则cos θ＝BC →·CD →|BC →||CD →|＝1242×5＝31010.即向量BC →与CD →的夹角的余弦值为31010. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB→＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB→＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)， 所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故两条对角线的长分别为210、4 2.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )×(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，故t ＝－115.12．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当XA →·XB→取最小值时，求OX →的坐标； (2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB 的值． 解：(1)设OX→＝(x ，y )， ∵点X 在直线OP 上， ∴向量OX→与OP →共线． 又OP→＝(2,1)，∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y ， ∴OX→＝(2y ，y )，又XA →＝OA →－OX →＝(1－2y,7－y )， XB→＝OB →－OX →＝(5－2y,1－y )， 于是XA →·XB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.由二次函数知识，可知当y ＝2时，XA →·XB →＝5(y －2)2－8取最小值－8，此时OX→＝(4,2)． (2)当OX →＝(4,2)即y ＝2时，有XA →＝(－3,5)，XB →＝(1，－1)，XA →·XB →＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8，∴cos∠AXB＝XA→·XB→|XA→||XB→|＝－834·2＝－41717.。
人教A版高中数学必修四平面向量单元测试.doc
平面向量单元测试一、选择题：（每小题4分，共40分，请把答案填在答题卷相应位置）1．若平面四边形ABCD 满足0)(,2=⋅-=，则该四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．平行四边形 2．下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是（ ） A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r ，（2）若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅r rg其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为（ ） A．B ． 10C ．D ．25．在OAB ∆中，=a ，=b ，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，则= （ ） A ．32a -31b B ．-32a +31b C ．31a -32b D ．-31a +32b 6．如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的最小值为（ ）A.92；B.9；C.92-； D.－9；7．设a b →→,是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+•-的图像是一条直线，则必有（ ） A ．a b →→⊥B ． //a b →→C ．a b→→= D ．a b→→≠8．已知ϖϖe e 12，为不共线的非零向量，且ϖϖe e 12=，则以下四个向量中模最小者为 （ ） A ．121212ϖϖe e + B ．132312ϖϖe e + C ．253512ϖϖe e + D ．143412ϖϖe e + 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的（ ） 10．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OPC BAcos cos AB AC OP OA AB C AC B λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，[)0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心二、填空题（每小题4分，共20分，请把答案填在答题卷相应位置）11．若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥r r r r r r r满足，则向量b a 与的夹角等于12． ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为_____________13．若向量)1,(),3,1(-==x b a 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围为 。
人教A版2019高中数学必修四习题第二章 平面向量 23 平面向量的基本定理及坐标表示 含答案
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)与的夹角为 ( ABCD中,D ∠DAB=30°,则)已知1.?A.30° B.60° C.120° D.150°2.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( B )A.e=(0,0),e=(1,-2) 21B.e=(-1,2),e=(5,7) 21C.e=(3,5),e=(6,10)21= =(2,-3),e D.e213.如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且则可以表示为 A(2,3),B(4,2),( C )A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j为基底表示=,b=b,则以a若4.AD是△ABC的中线,=已知a,)B (D.b+a -ba) b (A.a-b ) B.(a+) C.(点P则且,,P5.已知M(-2,7),N(10,-2),点是线段MN上的点=-2)的坐标为 ( DB.(22,-11) A.(-14,16)D.(2,4)C.(6,1)6.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为( D )A.-3B.2C.4D.-6+2= (-4,9) . 7.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5), 则8.已知向量a,b是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为3 .,||=6,在第二象限∠xOA=150°,则向量是坐标原点已知O,点A9.. (-3,3)的坐标为10.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),若λa+μb与a+b共线,则λ与μ的关系是λ=μ .11.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,k a-b与a+2b共线?, =a+m b且A,B,C三点共线,(2)求若=2a+3b m的值.【解析】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为k a-b与a+2b共线,k=-.解得×所以2(k-2)-(-1)5=0,(2)因为A,B,C三点共线,λ ,λ∈R,即2a+3b=λ(所以 =a+m b),.m=解得所以．12.设e,e是不共线的非零向量,且a=e-2e,b=e+3e. 211122(1)证明:a,b 可以作为一组基底.(2)以a,b为基底,求向量c=3e-e的分解式. 21(3)若4e-3e=λa+μb,求λ,μ的值.21【解析】(1)若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb, 11则e-2e=λ(e+3e). 21211?, 得由e,e不共线21所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底. 1(2)设c=m a+n b(m,n∈R),则3e-e=m(e-2e)+n(e+3e) 211221=(m+n)e+(-2m+3n)e. 21?所以c=2a+所b以.b,得=(3)由4e-3eλa+μ21 )+λ(e-2eμ(e+3e)=-34ee222111 .μλ+3)e+(-2+=(λμ)e21?所以故所求λ,μ的值分别为3和1.B组提升练(建议用时20分钟)=则,b=,BC,ACABCBE13.AD与分别为△的边上的中线且,a=)B (+b B.a b A.a ++b D.-a C.a -b14.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=k a+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 ( D )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点已知向量A,B,C=(3,-4),15.能构≠ . 应满足的条件为 m 成三角形,则实数m,|OC|=2内,C在∠AOB已知16.A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点=. 则λ + (λ且∠∈AOC=.设=R),λ,中在平行四边形ABCD,=b,=a17.分别表示b试用a,的中点(1)如图1,如果,. E,F 分别是BC,DC,表示,b试用DO的中点,a是与如果(2).如图2,O是ACBD的交点,G+(1)+= =【解析】.b+a=--=-ba=. -==+=b--a=, (2)因为O是BD的中点,G是DO的中点,=(b-=a),所以+b.a所以)=a==a+ +(b-18.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系.=2,求点C的坐标(2).若则A,B,C三点共线,共线. 【解析】(1)若与=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),=(a-1,b-1),所以2(b-1)-(-2)(a-1)=0,所以a+b=2.=2,则(a-1,(2)若b-1)=(4,-4),所以所以所以点C的坐标为(5,-3).C组培优练(建议用时15分钟)19.如图所示,已知△AOB求M,相交于点BC 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),与,AD=,=.的坐标M点．(0,5)=,=【解析】=因为所以.CD因为.==,(4,3)=所以则=(x,y-5),设M(x,y),=. =-因为∥x-2(y-5)=0,,所以即7x+4y=20.①=,又,=因为∥,x-4=0,即所以7x-16y=-20.②的坐标为解得.x=,y=2,故点M,联立①②20.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),求的坐标+=0,+.(1)若 (m,n∈R),且点P在函数(2)若y=x+1=m+n 的图象上,求m-n.(x,y),的坐标为P设点(1)【解析】．+=0,因为+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+ 又++(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).解得所以故(2,2).P的坐标为=(2,2). 所以点(2)设点P的坐标为(x,y),因为A(1,1),B(2,3), 00所以=(2,3)-(1,1)=(1,2), C(3,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1),+n,=m 因为所以(x,y)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), 00所以两式相减得m-n=y-x, 00又因为点P在函数y=x+1的图象上,所以y-x=1,所以m-n=1. 00文档返回原板块关闭Wor d。
高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2-2.3.3 Word版含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]。
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第23课时 平面向量共线的坐标表示
课时目标
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
识记强化
两向量平行的条件
(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0.
(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)且(b 1b 2≠0)，则a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2
，即两条向量平行的条件是相应坐标成比例．
课时作业
一、选择题
1．若三点A (1,1)、B (2，－4)、C (x ，－9)共线，则( )
A ．x ＝－1
B ．x ＝3
C ．x ＝92
D ．x ＝5 答案：B
解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →与BC →共线．
AB →＝(1，－5)，BC →＝(x －2，－5)，所以(x －2)·
(－5)＋5＝0.所以x ＝3.
2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB →，则实数λ的值为( )
A ．－23 B.32
C.23 D ．－32
答案：C
解析：根据A ，B 两点的坐标，可得AB →＝(3,1)，∵a ∥AB →，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23
，故选C.
3．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )
A ．－3
B ．2
C ．4
D ．－6
答案：D
解析：因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.
4．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )两向量方向相反，则x ＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－1
D ．1
答案：A
解析：由两向量共线可得x 2－25＝0∴x ＝±5，
又两向量方向相反，∴x ＝－5.
5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)．若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12
B ．2
C ．－12
D ．－2 答案：D
解析：根据题意，得m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋4b 与a －2b 共线，所以(2m －4)×(－1)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2.
6．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14
)且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30°
C ．60°
D ．30°或60°
答案：A
解析：由向量共线条件得－2×(－14)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0，即cos 2θ＝12
.所以θ＝45°. 二、填空题
7．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 答案：1
解析：a －2b ＝(3，3)，根据a －2b 与c 共线，得3k ＝3×3，解得k ＝1.
8．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．
答案：1
解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.
9．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，若m ∥n ，则λ＝________.
答案：－12
解析：m ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝(7,8)，
由(4＋λ，3－2λ)，k (7,8)，得λ＝－12
. 三、解答题
10．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4，－1)．
(1)若AB →＝CD →，求点D 的坐标；
(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值．
解：(1)设D (x ，y )．
由AB →＝CD →，得(2，－2)－(1,3)＝(x ，y )－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝1y ＋1＝－5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5y ＝－6. 所以点D 的坐标为(5，－6)．
(2)因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，
b ＝BC →＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以k a －b ＝k (1，－5)－(2,1)＝(k －2，－5k －1)，
a ＋3
b ＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由k a －b 与a ＋3b 平行，得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0，
所以k ＝－13. 11．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；
(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
解：(1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，
∴3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．
(2)∵a ＝m b ＋n c ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎨⎧
m ＝59，n ＝89. (3)由a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613
.
能力提升
12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,0)，λa ＋μb 与a －2b 共线，则λμ
等于( ) A.12
B ．2
C ．－12
D ．－2 答案：C
解析：易知a ，b 不共线，则有λ1＝μ－2，故λμ＝－12
. 13．已知点A (2,3)、B (5,4)、C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时，
(1)点P 在第一、三象限的角平分线上？
(2)点P 在第三象限内？
解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)．
AB →＋λAC →＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵AP →＝AB →＋λAC →，
∴(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.
∴点P 的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝12
. (2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧
5＋5λ＜0，4＋7λ＜0.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＜－1，λ＜－47.∴λ＜－1. 即当λ＜－1时，点P 在第三象限内．。